(完整版)等腰直角三角形中的常用模型

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八年级数学人教版(上册)小专题(十一)等腰直角三角形常见的解题模型

第十三章轴对称
小专题(十一) 等腰直角三角形常见的解题模型
模型 1 等腰直角三角形＋斜边的中点，常连接直角顶点和斜边中点
如图，在等腰 Rt△ABC 中，D 为斜边的中点，则连接 AD⇒AD ＝BD＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件，通过证明△BDE ≌△ADF 或△ADE≌△CDF 得出相关结论.
【变式】将第 3 题中的“∠AEB＝45°”改为“∠AEC＝ 135°”，第 3 题中的结论还成立吗？并说明理由.
解：第 3 题中的结论仍然成立. 理由：如图，过点 A 作 AF⊥AE，交 CE 的延长线于点 F，则∠BAE＝90°＋∠CAE＝∠CAF. ∵∠AEC＝135°， ∴∠AEF＝45°.
1.如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点， E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BE＝AF.求证：△DEF 为等腰直角三角形.
证明：连接 AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点， ∴AD＝BD＝CD，且 AD 平分∠BAC． ∴∠BAD＝∠CAD＝45°＝∠B．
模型 2 变式等腰直角三角形及 8 字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线段构造直角
如图，已知等腰 Rt△ABC，∠AEB＝45°，常过点 A 作 AF⊥ AE，则∠FAE＝90°，∠1＝∠2.
3.(T2 变式)如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， AB＝AC，D 是 AC 上一点.若∠AEB＝45°，求证：CE⊥BD．
∵∠BAD＝∠CED＝90°，∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABF＝∠ACE. AB＝AC，
在△ABF 和△ACE 中，∠ABF＝∠ACE， BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE(SAS).

《等腰直角三角形中的常用模型》

等腰直角三角形中的常用模型一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。

2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。

熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F。

（1）求证：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

2.如图1，等腰Rt△ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。

（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB，求MBPC的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：3、如图：RtΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。

（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：如图，在R t△ABC中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD 于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC 于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。

等腰直角三角形模型、三垂直模型

精彩文档45°45°C BA D CB A题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3 图4全等三角形的经典模型（一）ABCOMN AB COMN典题精练【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，∵在△ANO 和△CMO 中，AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ，又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠= ∴DAB △为等腰直角三角形. ∵D M M B =， MEDCBA ABCOM NMEDCBA精彩文档FE DCBANM 12A B CDE F312A BCDEF 3∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=． ∴105MDE MAC ∠=∠=，∴ED M △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ．求证：ADB CDF ∠=∠．【解析】证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°．∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠．∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=°∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =．在ADM △和CDF △中， AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△．∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =．在CMF △和CDF △中，P CB A PC B AD 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ， ∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。

专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)

专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。

八上数学小专题(十二) 等腰直角三角形常见的解题模型

【变式】将第 3 题中的“∠AEB＝45°”改为“∠AEC＝135°”，第 3 题中的结论还成立吗？并说明理由．
解：第 3 题中的结论仍然成立．理由：如图，过点 A 作 AF⊥AE，交 CE 的延长线于点 F，则∠BAE＝90°＋∠CAE＝∠CAF. ∵∠AEC＝135°， ∴∠AEF＝45°. ∴△AEF 为等腰直角三角形，AE＝AF.
模型二等腰直角三角形＋8 字模型中有两直角，常用截长补短若 BE⊥CE，则有∠1＝∠2.常通过在 BE 上取点 F，使得 BF＝CE⇒△ABF≌△ACE.
2．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC， D 是 AC 上一点．若 CE⊥BD 于点 E，连接 AE.求证：∠AEB＝45°.
证明：在 BE 上截取 BF＝CE，连接 AF. 易证∠ABF＝∠ACE， △ABF≌△ACE(SAS)，得等腰 Rt△AFE， ∴∠AEB＝45°.
模型二变式等腰直角三角形及 8 字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角
如图，已知等腰 Rt△ABC，∠AEB＝45°，常过点 A 作 AF⊥AE，则∠FAE＝90°，∠1＝∠2.
4．如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，AC 由 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°而得，则点 C 的坐标为 (3，2)．
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模型一等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点
如图，在等腰 Rt△ABC 中，D 为斜边的中点，则连接 AD⇒AD＝ BD＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件证△BDE≌△ADF 或 △ADE≌△CDF 得出相关结论．
1．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点， E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BE＝AF.求证：△DEF 为等腰直角三角形．

(实用版)等腰直角三角形中的实际应用模型

(实用版)等腰直角三角形中的实际应用模型等腰直角三角形是一种具有特殊性质和应用价值的三角形。

在实际生活中，等腰直角三角形的模型被广泛应用于多个领域，包括建筑、工程、地理测量和天文学等等。

建筑领域的应用- 屋顶结构设计：等腰直角三角形的特殊性质使其成为建筑屋顶结构设计中的重要元素。

例如，在典型的尖顶房屋中，等腰直角三角形的形状使其具有良好的结构稳定性和承重能力。

屋顶结构设计：等腰直角三角形的特殊性质使其成为建筑屋顶结构设计中的重要元素。

例如，在典型的尖顶房屋中，等腰直角三角形的形状使其具有良好的结构稳定性和承重能力。

- 建筑布局规划：等腰直角三角形的对称性和刚性特点使其成为建筑布局规划中常用的基本单位。

例如，在城市规划中，可以利用等腰直角三角形构建高效的街道和街区布局模式。

建筑布局规划：等腰直角三角形的对称性和刚性特点使其成为建筑布局规划中常用的基本单位。

例如，在城市规划中，可以利用等腰直角三角形构建高效的街道和街区布局模式。

工程领域的应用- 桥梁设计：等腰直角三角形的稳定性和均匀的压力分布使其成为桥梁设计中的常用形式。

例如，在悬索桥的设计中，等腰直角三角形被广泛应用于桥梁塔台的结构。

桥梁设计：等腰直角三角形的稳定性和均匀的压力分布使其成为桥梁设计中的常用形式。

例如，在悬索桥的设计中，等腰直角三角形被广泛应用于桥梁塔台的结构。

- 测量和计算：等腰直角三角形的特殊关系使其在测量和计算中发挥重要作用。

例如，在三角测量中，可以利用等腰直角三角形的特性来测量远距离和高度。

测量和计算：等腰直角三角形的特殊关系使其在测量和计算中发挥重要作用。

例如，在三角测量中，可以利用等腰直角三角形的特性来测量远距离和高度。

地理测量和天文学中的应用- 方位测量：等腰直角三角形被用于方位测量，即确定一个点相对于一个参考点的方位角。

例如，在地理测量中，可以利用等腰直角三角形和其他测量工具来确定地球上的位置。

方位测量：等腰直角三角形被用于方位测量，即确定一个点相对于一个参考点的方位角。

(基础版)等腰直角三角形中的基本模型

基础版)等腰直角三角形中的基本模型等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有两条边长度相等且与底边垂直的特点。

对于等腰直角三角形，我们可以有一些基本模型来帮助我们理解和解决相关问题。

1.基本定义等腰直角三角形具有以下特点：两条边的长度相等，称为腰；底边与两条腰垂直相交，形成一个直角。

2.边长关系设等腰直角三角形的腰长为 *a*，底边长为 *b*。

由勾股定理可知：a^2 + a^2 = b^2*，即 *2a^2 = b^2*；则 *a = \sqrt{\frac{b^2}{2}}*。

3.高的计算等腰直角三角形的高即为顶点到底边的垂直距离。

根据几何关系可知，高等于腰的一半，即高 *h* 和腰 *a* 的关系为：h = \frac{a}{2}*。

4.面积计算等腰直角三角形的面积可以通过底边长和高的关系来计算，即面积 *S* 和底边长 *b*、高 *h* 的关系为：S = \frac{b \cdot h}{2}*。

5.例题解析例题 1已知等腰直角三角形的底边长为 8 cm，求其面积。

解析：根据高的计算公式，高 *h* 等于底边长的一半，即 *h =\frac{8}{2} = 4*。

代入面积公式可得：S = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16*。

所以，等腰直角三角形的面积为 16 平方厘米。

例题 2已知等腰直角三角形的腰长为 6 cm，求其底边长和面积。

解析：根据边长关系公式，底边长 *b* 等于 *a* 的平方根的两倍，即*b = 2 \cdot \sqrt{\frac{6^2}{2}} = 12*。

代入面积公式可得：S = \frac{12 \cdot \frac{6}{2}}{2} = 18*。

所以，等腰直角三角形的底边长为 12 厘米，面积为 18 平方厘米。

6.总结等腰直角三角形是一种特殊的三角形，在解题过程中可以利用基本定义、边长关系、高的计算和面积计算等基本模型来求解相关问题。

通过掌握这些基本模型，我们可以更好地理解和应用等腰直角三角形的概念和性质。

等腰直角三角形中的常用模型

等腰直角三角形中的常用模型模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。

（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗若不成立，请写出新的结论并证明。

1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。

（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求MBPC的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。

（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC ，点D 是AB 的中点，GG BACDEF(2)(1)F EDCBADEF FED (2)(1)CCABBA(2)FEDC B AAB C D E F(1)(2)(3)(1)DDEECEAAABAF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。

（完整版）等腰直角三角形中的常用模型

（完整版）等腰直角三角形中的常用模型等腰直角三角形中的常用模型模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。

（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90o，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。

（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求MBPC的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。

（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45o，∠BAC =90o，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .G G B ACD E F (2)(1)FE D C B AF DAA(2)FEDC A A B C DE F (1)(2)(3)(1)DD EEC EA AAB变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。

等腰直角三角形“基本图形”大汇总

等腰直角三角形“基本图形”大汇总等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比1:1：√2”、“45°好角辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。

今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，非常漂亮。

经过“见招拆招”+“破解分解”竟然可以“获得”一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何题！题目：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点，点E在AC上，点F在BC上，∠EDF=90°，边AF，若∠CAF=2∠BDF， AE=3，则DF=_________下面就如何“真实而自然”利用“基本图形”去“拆解破解”这道题！1.看到“AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点”，马上想到连接CD，得到“直角三角形斜边中线等于斜边一半：CD=AD=BD”,CD三线合一垂直AB；再结合“∠EDF=90°”马上能得到“两组全等”，如图，同色三角形全等。

证明方法很多，也不太困难，若用“旋转思想”，则可以“秒证”！而且由DE=DF，可以得到直角三角形△DEF是等腰直角三角形！如图：2.2.连接EF，可以得到“8字型相似”：两个45°角相等+对顶角相等。

右图可得图上有三个α相等。

3.将直角三角形△FEC沿着CF向外“翻折”，可得：①第四个α角相等（如图）；②CF=CE，且和AE“共线”（垂直邻补角）4.如上面第3点，∠GAF=∠EFG,并∠G=∠G,显然这又是“偏A型相似”，如图：染色两个三角形相似。

而三角形△FEG是等腰三角形，所以三角形△AGF也是等腰三角形！漂亮！“竟然”有如此漂亮的美丽结论在后面等着！5.“谋定后动”后面可以“定量计算”了！如图，设EC=CF=x,则等腰△AGF中AF=AG=AE+EF=3+2x，而“旋转全等”（△CDF≌△ADE）得CF=AE=3,又AC=AE+EC=3+x;显然在直角三角形△ACF中，勾股定理可以计算出：x=1.6.如上，x=1求出来后，就可以“发起最后的冲锋了”！在直角三角形△CEF中，EF=√（1+3^2）=√10，而直角三角形△DEF是等腰直角三角形！DF=EF/√2=√5，口算解决！本题解法一路“翻山越岭”，解题过程一路“忍难拼搏”，“一曲肝肠断”，殊为不易！上述解题过程6大步骤，“起承转合”做到“润滑自然”要费点“几何功力”+“大胆尝试”。

第4讲等腰旁等角模型(word版)

4 “等腰旁等角”模型知识目标：模块一：等腰直角旁直角例1如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°，求证：∠ADB ＝45°.练习如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∠BDA ＝45°，求证：∠BDC ＝90°.例2如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BDC ＝90°，∠ADB ＝45°，求证：∠BAC ＝90°.练习：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°，∠ADB ＝45°，求证：AB ＝AC总结归纳（1）“等腰直角对直角”和“等腰直角旁直角”本质是一样的（四点共圆），唯一的区别就在于：两个90度异侧时，AD平分∠BDC；两个90度同侧时，AD平分∠BDC的外角.（2）以上四题，仍可分为两种类型：前两题时“知等腰RT△，证外角平分线”，辅助线是“对45°作垂构造手拉手模型”；后两题是“知外角平分线，证等腰RT△”，辅助线是“作双垂”.可见，上一讲总结的“等腰对补角”的作法，对“等腰旁等角”依然适用.（3）要灵活理解题目的条件或结论，如【例1】中要证的∠ADB＝45°等价于∠ADC＝135°.例3如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰直角三角形，C是线段OB上一动点（C点不与OB的中点重合），以AC为直角边作等腰RT△ACD（点A、C、D按顺时针方向标识，C为直角顶点）.在C点的运动过程中，OA与OD的位置关系是否发生变化？请说明理由.例4（2015-2016汉阳区八上期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是AC 边上一动点，CE ⊥BD 于E . （1）如图1，若BD 平分∠ABC 时，①求∠ECD 的度数；②求证：BD ＝2EC .（2）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，猜想线段BE 、CE 、AF 之间的数量关系，并证明你的猜想.练习如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠CAB 的平分线交CB 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连CD ，则下列结论：①AC ＋CE ＝AB ；②BD ＝12AE ；③∠CDA ＝45°；④AC AB AM为定值. 其中正确的有____________________个.图1图2挑战压轴题（2015-2016洪山区八上期中）已知直线AB交x轴于点A（a，0）. 交y轴于点B（0，b），且a、b满足()240a b a+++=（1）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，BE延长线交x轴于点G，连OE，求证：EO平分∠AEG.（2）如图2，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE到D，使BD＝AC，连OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由.（3）如图3，若点C在OB上，点F在AB的延长线上且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于Q，试求2AF BPCQ-的值.图2模块二等腰旁等角例5如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝∠BAC. 求证：∠APC＝∠APD.练习如图，已知△ABC，射线BD上有一点P，且∠CPB＝∠CP A＝∠CAB＝60°. （1）求证：△ABC是等边三角形；（2）试探究P A、PB、PC之间的数量关系.（2015-2016七一中学月考）如图，BD＝CD，AD平分∠BAC的外角.（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）试探究∠BAD与∠BCD的关系并证明.拓展如图，已知BD＝CD，∠ADB＝∠ACB，求证：AD平分∠BAC的外角.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝2∠C ＝2α，点E 在AD 上，点F 在DC 上. （1）如图1，若α＝45°，∠BDC 的度数为_________________；（2）如图2，当α＝45°，∠BEF ＝90°时，求证：BE ＝EF ；（3）如图3，若α＝30°，则当∠BEF ＝_____________时，使得EB ＝EF 成立？请填空并说明理由.图1图2图3挑战压轴题（2016-2017二中八上期中第16题）如图，已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC＝AD＝6，BC＝9，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，BE＝2，点F在射线AC上，则AF的长为____________.第4讲“等腰旁等角”模型○A基础巩固1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAB的平分线交CB于D，BM⊥AD于M，MH⊥AB于H，有下列结论：①AD＝2BM；②AC＋AB＝2AH；③AB－AC＝2BH；④∠AHC＝45°，其中正确的有（）B．2个C．3个D．4个2.如图，四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AB，∠BAD＝90°，∠D＝45°，E是BC上一点，F是CD上一点.（1）若EF⊥AE，求证：AE＝EF.（2）若AE＝EF，求证：EF⊥AE.3.如图，已知等边△ABC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝60°.（1）求证：∠APC＝∠APD＝60°；（2）若BP＝3，P A＝4，求PC的长.4.如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线CE上一动点，且∠BAC＝2∠BDO，过D作DM⊥AB于M.（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）求证：AD平分∠BAE；（3）当A点运动时，AB ACAM的值是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由.○B综合训练5.（2016-2017外校八上期中第24题）已知，在平面直角坐标系中，点A（－3，0），点B（0，3），点Q为x轴正半轴一动点，过点A作AC ⊥BQ于C，交y轴于点D.（1）若点Q的坐标为（2，0），试求点D的坐标；（2）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变；（3）有一等腰直角△AMN绕A旋转，且AM＝MN，∠AMN＝90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明.。