姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法

姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法，因为效率高，所以喜欢，仅此而已！录入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！

一、 分部积分的表格法

分部积分主要针对被积函数为两类函数乘积的类型，主要可以归纳为反幂、对幂、幂三、幂指和三指五种，幂可以扩展为多项式函数，三主要指正弦和余弦两类三角函数，基本原则是把其中一类函数拿去凑微分，遵循“反对幂三指”、越往后越先凑微分的原则，前四种称为“终止模式”，最后一种称为“循环模式”。当涉及到幂函数（多项式函数）次数较高时，需多次用到分部积分，计算较繁且易出错，因此介绍一个推广公式：

定理：设(),()u u x v v x ==有1n +阶连续导数，则

(1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)n n n n n n n uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-++-⎰

⎰。（此定理及证

明可略，仅告诉大家，我不是瞎编乱造，而是有理论依据的！） 【证：用数学归纳法。

当0n =时，''uv dx uv u vdx =-⎰⎰。

设1n k =≥时，(1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-+

+-⎰⎰

（*）

则当1n k =+时，(2)(1)(1)(1)'k k k k uv dx udv uv u v dx ++++==-⎰⎰⎰， 将上式的'u （*）式中的u ，则有

(1)()(1)(2)1(2)'''''''(1)k k k k k k u v dx u v u v u v u vdx +--++=-+++-⎰

⎰，

从而(2)(1)()(1)(2)2(2)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx ++--++=-+-+

+-⎰⎰，得证。】

上述式子并不好记，它的一个直观表达就是表格法，如下表。

1))1)2)

v v +--

下面通过例子给予演示：

（1）“幂三”型

例1.1 52(325)cos x x x xdx +-+⎰ 解：

5+ 2 206 x

-所以原式=

()()()5

2432325sin 562cos 206sin 60cos 120sin 120cos x

x x x x x x x x x x x x x C +-+++--+-+++

（2）“幂指”型

例1.2 432(21)x x x e dx --⎰ 解：

1-

x

所以原式=433222214612122412242481632x

x x x x x x x e C ⎛⎫------+-++ ⎪⎝

⎭

=4322123312x x x x x e C ⎛⎫

-+-++ ⎪⎝⎭

（3）“反幂”型（尤其是反三角函数次数高于1时）

例1.3 ()2

arcsin x x dx ⎰

解：令arcsin u x =，则sin x u =，cos dx udu =

所以原式=221

sin cos sin 2u u udu u udu ⋅⋅=⎰⎰

从而原式=2cos 2sin 22cos 2488

u u u u u C -⋅+⋅++

222111

(arcsin )(12)(12)428

x x x x C =--++-+。

（4）“对幂”型（尤其是对数函数次数高于1时）

例1.4 34(ln )x x dx ⎰

解：令ln x u =，则u x e =，u dx e du =，

故原式= 343444(ln )u u u x x dx e u e du u e du ==⎰⎰⎰（这是幂指类型了，用表格法自己解解看吧！） = 43241333

(ln ln ln ln )44832

x x x x x C -+-++。 （5）“三指”型（此为循环模式，想想与前面的有何不同？）

例1.5 2sin x xe dx ⎰ 解：

所以有222111

sin (sin cos )sin 244x x x xe dx x x e xe dx =--⎰⎰，

求解得22411

sin (sin cos )524

x x xe dx x x e C =-+⎰。

二、 求n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的微分算子法

n 阶常系数非齐次线性微分方程为：

()(1)(2)121'()0n n n n n y p y p y p y p y f x ---+++

++=≠ （**）

求解非齐次方程（**）的特解*()y x 常有三种方法：待定系数法、常数变易法和微分算子法。常数变易法在教材中一阶非齐次线性微分方程中已有介绍，待定系数法在二阶非齐次微分方程中着重讲解，因此，在此，主要讲微分算子法。

首先引进记号：2

22,,

,n

n n d d d D D D dx dx dx ===， 于是22()

2','',,n n n n dy d y

d y

y Dy y D y y

D y dx dx

dx

======， （**）式变为111()()n n n n D p D p D p y f x --++

++=。 记111()n n n n F D D p D p D p --=++

++，

于是()()F D y f x =，从而得特解*()1

()()()

f x y f x F D F D =

=。