姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法

姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法，因为效率高，所以喜欢，仅此而已！录入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！
一、 分部积分的表格法
分部积分主要针对被积函数为两类函数乘积的类型，主要可以归纳为反幂、对幂、幂三、幂指和三指五种，幂可以扩展为多项式函数，三主要指正弦和余弦两类三角函数，基本原则是把其中一类函数拿去凑微分，遵循“反对幂三指”、越往后越先凑微分的原则，前四种称为“终止模式”，最后一种称为“循环模式”。

当涉及到幂函数（多项式函数）次数较高时，需多次用到分部积分，计算较繁且易出错，因此介绍一个推广公式：
定理：设(),()u u x v v x ==有1n +阶连续导数，则
(1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)n n n n n n n uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-++-⎰
⎰。

（此定理及证
明可略，仅告诉大家，我不是瞎编乱造，而是有理论依据的！） 【证：用数学归纳法。

当0n =时，''uv dx uv u vdx =-⎰⎰。

设1n k =≥时，(1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-+
+-⎰⎰
（*）
则当1n k =+时，(2)(1)(1)(1)'k k k k uv dx udv uv u v dx ++++==-⎰⎰⎰， 将上式的'u （*）式中的u ，则有
(1)()(1)(2)1(2)'''''''(1)k k k k k k u v dx u v u v u v u vdx +--++=-+++-⎰
⎰，
从而(2)(1)()(1)(2)2(2)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx ++--++=-+-+
+-⎰⎰，得证。

】
上述式子并不好记，它的一个直观表达就是表格法，如下表。

1))1)2)
v v +--
下面通过例子给予演示：
（1）“幂三”型
例1.1 52(325)cos x x x xdx +-+⎰ 解：
5+ 2 206 x
-所以原式=
()()()5
2432325sin 562cos 206sin 60cos 120sin 120cos x
x x x x x x x x x x x x x C +-+++--+-+++
（2）“幂指”型
例1.2 432(21)x x x e dx --⎰ 解：
1-
x
所以原式=433222214612122412242481632x
x x x x x x x e C ⎛⎫------+-++ ⎪⎝
⎭
=4322123312x x x x x e C ⎛⎫
-+-++ ⎪⎝⎭
（3）“反幂”型（尤其是反三角函数次数高于1时）
例1.3 ()2
arcsin x x dx ⎰
解：令arcsin u x =，则sin x u =，cos dx udu =
所以原式=221
sin cos sin 2u u udu u udu ⋅⋅=⎰⎰
从而原式=2cos 2sin 22cos 2488
u u u u u C -⋅+⋅++
222111
(arcsin )(12)(12)428
x x x x C =--++-+。

（4）“对幂”型（尤其是对数函数次数高于1时）
例1.4 34(ln )x x dx ⎰
解：令ln x u =，则u x e =，u dx e du =，
故原式= 343444(ln )u u u x x dx e u e du u e du ==⎰⎰⎰（这是幂指类型了，用表格法自己解解看吧！） = 43241333
(ln ln ln ln )44832
x x x x x C -+-++。

（5）“三指”型（此为循环模式，想想与前面的有何不同？）
例1.5 2sin x xe dx ⎰ 解：
所以有222111
sin (sin cos )sin 244x x x xe dx x x e xe dx =--⎰⎰，
求解得22411
sin (sin cos )524
x x xe dx x x e C =-+⎰。

二、 求n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的微分算子法
n 阶常系数非齐次线性微分方程为：
()(1)(2)121'()0n n n n n y p y p y p y p y f x ---+++
++=≠ （**）
求解非齐次方程（**）的特解*()y x 常有三种方法：待定系数法、常数变易法和微分算子法。

常数变易法在教材中一阶非齐次线性微分方程中已有介绍，待定系数法在二阶非齐次微分方程中着重讲解，因此，在此，主要讲微分算子法。

首先引进记号：2
22,,
,n
n n d d d D D D dx dx dx ===， 于是22()
2','',,n n n n dy d y
d y
y Dy y D y y
D y dx dx
dx
======， （**）式变为111()()n n n n D p D p D p y f x --++
++=。

记111()n n n n F D D p D p D p --=++
++，
于是()()F D y f x =，从而得特解*()1
()()()
f x y f x F D F D =
=。

下面关键是要弄清楚
1
()
F D 这个算子是如何进行作用的呢？ 通常()f x 为幂、三、指、幂三、幂指、三指和幂三指几种类型，下面分别讨论
（主要采用书上的例子）。

（1）幂：()f x 为多项式函数，采用多项式除法进行计算，什么是多项式除法
呢？
例2.1 2''3'25y y y x -+=+
解：原方程的一个特解为2*
2532
x y D D +=-+。

222
22323137+248
231
311223122393244
7344
D D D D D D D D D D D D D +-+-+--+- （后面可以继续写下去，但是想想，函数2()5f x x =+，还有必要吗？）
从而*22137+(5)248y D D x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
221371317(5)22248224x x x x =++⋅+⨯=++。

（2）指：()x f x e λ=，当λ不是特征方程的根时，将λ直接代入分母的D ；当λ
是特征方程的单根时，将分子乘以一个x ，分母对D 求导数，然后将λ代入分母；当λ是特征方程的二重根时，将分子乘以一个2x ，分母对D 求两阶导数，然后将
λ代入分母。

例2.2.1 2''2'3x y y y e +-=
解：222*
222322235
x x x
e e e y D D ===+-+⨯-（因为2λ=不是特征方程2230
r r +-=的根。

）
例2.2.2 ''2'3x y y y e +-=
解：*
2
2322
2124
x x
x x
e x e
x e x e
y D D D ====+-+⨯+（因为1λ=是特征方程2230r r +-=的单根。

）
例2.2.3 ''2'x y y y e -++=
解：2*
221222
x x x
e xe x e y D D D ---===+++（因为1λ=-是特征方程2210r r ++=的二
重根。

）
（3）三：()f x 为正弦函数或余弦函数时，由于欧拉公式连接了正、余弦函数，
所以正、余弦函数可以转化为指数函数来求解，一般采用定理3.5进行求解。

例2.3 ''2'cos y y y x ++= 解：cos Re()ix x e =（实部） 所以先求解方程''2'ix y y y e ++=，
此时*1
2
21(cos sin )sin cos 21212222
ix ix ix e e ie i i
y x i x x x D D i i ===-=-+=-++++， 故原方程的一个特解**
1
1Re()sin 2
y y x ==。

（4）幂三、幂指、三指或幂三指，基本原则：三角函数看成复数域内指数
函数的实部或虚部，从而转化成幂指类型，将指数函数提前，后面的算子中D 换成D λ+。

例2.4.1 3''6'95(1)x y y y x e -+=+（幂指）
解：3*332
2
2
5(1)5(1)5(1)
69
(3)6(3)9x
x
x
x e x x y e e D D D D D +++===-++-++（注：
2
1
D 表示两次不定积分） 213332121
5()
55
2()62
x x x x c e e x x c x c D ++==+++
由于取的是一个特解，所以12,c c 可以随便取，不妨取为0吧，从而得一个特解
*32355
()62
x y x x e =+。

例2.4.2 ''sin 2x y y e x -=（三指） 解：2(12)sin 2Im()Im()x x i x i x e x e e e +==， 所以先求解(12)''i x y y e +-=，
解得(12)(12)*(12)1
22
1
(1)1(12)18
i x i x i x e e y i e D i +++===-+-+- [][]1(1)cos 2sin 2(cos 2sin 2)(cos 2sin 2)88x x
e i e x i x x x i x x =-++=--++
所以原方程的一个特解为*
*1
Im()(cos 2sin 2)8
x
e y y x x ==-+。

例2.4.3 ''sin 2y y x x -=（幂三）
解：2sin 2Im()ix x x xe =，所以先求解2''ix y y xe -=，
解得2*1
22222
1(2)154ix ix
ix x x e e
D i iD D xe y D ==+--++=-(这里用了多项式除法) 2144()(cos 2sin 2)()525525
ix i x i
e D x x i x =--=+--
44cos 2sin 2sin 2cos 2525525x x x x i x x ⎛⎫⎛⎫
=-++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以原方程的一个特解为**
1
4sin 2co Im()s 2525
x x y x y =--=。

例2.4.4 ''2'5sin 2x y y y xe x -+=（幂三指） 解：2(12)sin 2Im()Im()x x i x i x xe x xe e xe +==， 所以先求解(12)''2'5i x y y y xe +-+=， 解得
(12)*(12)(12)(12)1
22225(12)2(12)54(4)
i x i x i x i x
xe x x x y e e e
D D D i D i D iD D D i ++++====-+++-+++++(12)(12)(12)2(12)21111(
)111416416()()216216
i x
i x i x i x D x x i i i
e e e x x e x x D D i ++++++===+=-+（注：1D 表示求不定积分，且用到了多项式除法哦！）
22211111(cos 2sin 2)()cos 2sin 2sin 2cos 21616
2162x x i e x i x x x e x x x x i x x x x ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+-+=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
所以原方程的一个特解为**
2111Im()sin 2cos 162x y y x x x x e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭。