18.2二元线性规划问题的图解法教案

合集下载

任务二图解法求解线性规划问题

任务二图解法求解线性规划问题情境导入：我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质任务引入：现在我们要想办法求解例1的数学模型MaxZ=2x 1+3x 2⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥⋅≤≤≤+012416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。

是求解线性规划的一种几何解法。

只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。

这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。

[1]图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。

针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。

2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。

3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。

4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。

以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。

因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。

由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。

18.2二元线性规划问题的图解法1

2A
B
2
y=2
o
x
x=2
1.判断平面区域位置的方法：
方法一: Ax+By+C>0 Ax+By+C<0 方法二: 直线右侧区域直线左侧区域
y kx b y kx b上方区域 y kx b y kx b下方区域
(1)画直线；(2)判断区域的位置. 2. 画平面区域步骤：
解析：由于在异侧，则（解析：由于在同侧，则（1 1，，2 2）和（）和（1 1，，1 1））
代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值异号，所得数值同号，则有（ <0 0 则有（3-2+m 3-2+m）（）（3-1+m 3-1+m））＞
所以（ <0 所以（m+1 m+1））(m+2) (m+2)＞ 0
2x+y=10 A (4,2)
大，故所对应的z值也随之
增大。因此， z=2x+3y在
原点0（0,0）取得最小值，（0,0）
x+2y=8
在A点（4,2）取得最大值。
所以z∈〔0,14〕
解：∵目标函数
2.z=abx+y 变式2：观察例 1的平面区在 A （ 4,2 ）域，若使目标函数 z=abx+y(a ＞0 ，b＞0)取得处取得最大值为 14，最大值为14，则ab的值为，a+b的最小值为。
2.线性规划的有关概念（1）线性约束条件——由条件列出一次不等式（或方程）组. （2）线性目标函数——由条件列出一次函数表达式. （3）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.

中职二元线性规划问题的图解法PPT学习教案

7 x 7 y 5
174xx174
y y
6 6
x
0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
第15页/共22页
（三）例题分析
④求 (求 Z 的最值 )
③移 (平移目标函数,寻找最优解)
②画 (画可行域)
解方程组
1
5
7
M
3 7
1 7
12 77 28X+21y=0
如何求点M的坐标?
7 x 7 y 5
第7页/共22页
2x+y=10 (4,2)
A
x+2y=8
归纳总结：
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域 .
（2）移：作出目标函数的等值线.
（3）确定最优解：在可行域内平最行优移解动目
标函数等值线，从而确定
.
（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小第8值页/共. 22页
食物／kg
A B
碳水化合物／ kg
0.105
0.105
蛋白质/kg
0.07 0.14
脂肪／kg
0.14 0.07
第14页/共22页
分析:
①列(列线性约束条件,目标
线性约束条件
函0.10数5x＋) 0.10y 0.075
00..1047xx＋ 00..0174
y y
0.06 0.06
x 0
y 0
y
2x+y=10
2x+y=10
A
(4,2)
0
x+2y=8
x
x+2y = 8 2x+y = 10

18-2-1二元线性规划的图解法(一)

于是 ≤ 可以看作横坐标取，纵坐标取小于等于的点的全体.在平面直角坐标系中，表示直线下方（包括直线）的阴影区域如图5-1所示.即 ≤500表示
交流讨论
要点说明
总结
总结
准哦
直线下方（包括直线）的阴影区域.
例2在平面直角坐标系中，指出 ≥0所表示的区域.
解将整理，得，在平面直角坐标系中表示斜率为2，截距为4的直线。该直线上的点的横坐标取时，纵坐标取 .
在上节问题2中，我们看到约束条件中有不等式
≥10， ≥9.
由平面解析几何知识可以知道 ( 不同时为0）在平面直角坐标系中表示一条直线.一条直线将一个平面划分成两个半平面.
现考察 ≤0（或） ≥0的几何意义.
例1在平面直角坐标系中，指出 ≤500所表示的区域.
解将整理，得，它在平面直角坐标系中表示斜率为，截距为125的直线.当该直线上的点的横坐标取时，纵坐标取 .
教学难点
会用图解法解决简单的二元线性规划问题.
更新、补充、
删节内容
无
课前准备
线性规划问题的有关概念
课外作业
学习指导P22-231、2
板
书
设
计
1、二元线性规划复习
2、二元线性规划图解法。
引例1例2
总结
教
学
感
想
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
新授
归纳总结：
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域.
（2）移：作出目标函数的等值线.
（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定.
（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

§18.2.1二元线性规划的解法(平面区域)

0.105 x 0.105 y 0.075 0.07 x 0.14 y 0.06 关于变量x、y的一组一次不等式， 0.14 x 0.07 y 0.06 称为线性约束条件． x0 y0
在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．
特别地：当C≠0时，直线不过原点，常把原点作为特殊点；当C＝0时，常把(1,0)，(0,1)作为特殊点．
直线定界，特殊点定域．
画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域．解： (1)原不等式即x + 4y – 4 <0 （化标准式） (2)先画直线x + 4y – 4 = 0 （画成虚线）（直线定界） (3)取原点(0，0)，代入x + 4y – 4中，（特殊点定域）得 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内，不等式x+4y–4< 0表示如图所示的直线x+4y–4= 0左下 y 方的区域．
我们知道：一元一次不等式 x>2的解集在数轴上可以表示为区间：
2 那么，在直角坐标系内，二元一次方程的解集表示什么图形？ y
x-y+1=0
1 -1
o
x
在直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示什么图形？
平面直角坐标系中，所有的点被直线x-y+1=0分成哪几类？
②在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区域内
0 x-2y=0
x 2x+y-4=0
x 3y 6 0 不等式组表示的平面区域是（ x y 2 0
B）
用平面区域表示不等式组 y x=1

课题名称-线性规划图解法47-50

课题名称18．2二元线性规划问题的图解法授课班级授课时间13级课题序号授课课时第47到50 授课形式讲练结合使用教具教学目的知识目标：了解解线性规划问题的图解法；理解二元一次不等式（组）表示的平面区域，也就是二元一次不等式（组）的几何意义.能力目标：（1）通过对二元一次不等式（组）的几何意义的学习,培养和提高学生数形结合的（2）通过对图解法解线性规划问题的学习,培养学生的作图能力和对图象的观察能力.教学重点理解二元一次不等式（组）表示的平面区域.教学难点作图能力和对图象的观察能力.更新、补充、删减内容课外作业P72-2、3授课主要内容或板书设计（1）通过讲解例题1；2，理解二元一次不等式（组）表示的平面区域. 从而归纳出CByAx++≤0（或）CByAx++≥0的几何意义.（2）通过讲解例题3；4，归纳总结出利用图解法解线性规划问题的5个步骤（3）通过练习，巩固知识．教学后记主要教学内容及步骤教学过程师生活动设计意图等*动脑思考探索新知概念（1）含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值叫做它的解.（2）二元一次不等式：C By Ax ++≤0（或C By Ax ++≥0 ）的几何意义： 5.2.2 图解法例3 试解二元线性规划:约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+-0,021y x y x y x目标函数y x Z 3max +=yxx+y=221Az=3z=2z=1z=0-x+y=1O12图 5-4解在平面直角坐标系中，分别作出约束条件中各不等式对应的平面区域，满足线性约束条件的点集是由四个半平面区域的公共部分组成（图5-4中的阴影部分）图5-4中阴影区域（包括边界）上任何一点的都能满足四个不等式；反之，阴影区域外任一点，其坐标都不能同时满足这四个不等式.因此，阴影区域（包括边界）内每一点的坐标都是这个线性规划问题的可行解，所有可行解的全体就构成了这一线性规划问题的可学生参与讨论，回答教师的即时问题，自主完成思考；学生独立思考，被抽检学生回答教师提问，学生评价，发表不同的看法，教师和学生进行形成性评价。

18.2 线性规划问题的图解法1

[2(m 3) (m 2) m 2] [2(m 3) 2(m 2) m 2] 0
(2m 3)(m 8) 0
解得 m
3 2
或 m>8
18.2 线性规划问题的图解法
课堂练习 3
P96 3
作业 P99 1，2
取原点（0，0），代入x＋y－9，得：
0＋0－9＝－9＜0
原点在直线x＋y－9=0的左下方，所以直线x＋y－9=0的左下方的区域就是不等式x＋y －9＜0表示的平面区域．
18.2 线性规划问题的图解法
y 9
x+y-9=0
O
9
x
18.2 线性规划问题的图解法
课堂练习 1
画出下列不等式表示的平面区域：（1）4x－7y － 28＜0
所表示的平面区域。
解:
画直线x+y-12=0(画成实线）
不等式x＋y ≥ 12表示直线x＋y－12＝0上及其右上方的点的集合；不等式0 ≤ x≤10是夹在直线x＝0和x=10之间的区域（包括直线 x＝0和x=10）
不等式0 ≤ y≤15是夹在直线y＝0和y=15之间的区域（包括直线y＝0和y=15） y x=10
“实例考察”中生产问题的线性约束条件）
的解集表示的图形又是什么？
18.2 线性规划问题的图解法
在平面直角坐标系中，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）表示一条直线，它把平面分成两个区域。二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线
Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域。
18.2 线性规划问题的图解法
二、二元一次不等式组的解表示的平面区域
二元一次不等式组的解表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

第二节线性规划的图解法线性规划的图解法---解的几何表示

75
5
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？用图解法求解。
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2 ≤ 65 2x1+x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 (A) (B) (C) (D, E)
11
[例2.7]在例2.2的线性规划模型中, 如果约束条件（A）、（C）变为：
3 x1 + 2 x2 ≥ 65 3 x2 ≥ 75 (A’） (C’）
并且去掉（D、E）的非负限制。那么，可行域成为一个上无界的区域。这时，没有有限最优解，如下图所示：
12
无有限解的情况
13
[例2.8]在例2.2的线性规划模型中，如果增加约束条件（F）为： x1 + x2 ≥ 40 （F）那么，可行域成为空的区域。这时，没有可行解，显然线性规划问题无解。如下图所示：
1
图解法求解线性规划问题的步骤如下： (1)分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向量建立直角坐标系。
2
（2）对每个约束（包括非负约束）条件，先取其等式在坐标系中作出直线，通过判断确定不等式所决定的半平面。
各约束半平面交出来的区域(存在或不存在），若存在，其中的点表示的解称为此线性规划的可行解。这些符合约束限制的点集合，称为可行集或可行域。否则该线性规划问题无可行解。
14
无可行解的情况
15
可行域和解有哪些情况？
16
线性规划的可行域和最优解的几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解；

18.2二元线性规划问题的图解法2

问题：max z=5x+4y
3 x 4 y 250
2 x y 100
x
0
y 0
二、线性规划的概念：目标函数（线性目标函数）
max z=5x+4y
3 x 4 y 250
2 x y 100
x
0
y 0
线性约束条件
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；
可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；
可行域
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；
可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；
最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
max z=5x+4y
3 x 4 y 250
2 x y 100
x
0
y 0
解: 四边形OABC所围成的区域就是该问题的可行域
问题转化为在四边形OABC找一点，
使得目标函数在该点取得最大值。 y
观察z=5x+4y取值的变化规律。
方程5x+4y=c表示一条直线，当c取不同的值时，得到一组平行的直线（图中虚线）。
当直线往右上方平移时，直线上的横坐标x和纵坐标y的值随之增大，所以对应的z 值也在不断地增大，当移到四边形OABC的顶点B时，z 取得最大值。
2X+y=100
C B(30,40) 3X+4y=250
x
o
A
5X+4y=c 5X+4y=0

二丶线性规划的图解法

a<0，b<0
a a>0，b<0
. #;
图解法小结
使用条件：仅有两个至多不超过三个决策变量的线性规划。
基本步骤：
第一步－－建立平面直角坐标系；第二步－－根据约束条件和非负条件画出
可行域。第三步－－作出目标函数等值线（至少两
条），结合目标函数优化要求，平移目标函数等值线求出最优解。
图解法的优缺点：简单、直观但有局限性。
. #;
综上，用图解法求解线性规划时，各种求解结果与各种类型的可行域之间的对应关系可以用下图加以描述：
解的类型
可行域类型
唯一最优解
无穷多个最优解
非空有界
最优解无界（无“有限最优解”）
无界
无解（不存在可行域）
空集
. #;
课堂练习1-2：用图解法求解下面的线性规划
MaxZ 2 x 1 5 x 2
或“最优解无界”。如果一个实际问题抽象成像例1－4这样的
线性规划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某些资源是无限的，产品的产量可以无限大，解释不合理。此时应重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一最优解或无穷多个最优解。比如目标要求为minZ=x1+2x2或maxZ=－2x1+x2，而约束条件不变的例子。
. #;
第一次作业—— P69 习题1：1-2；P70 1-3 交作业时间：
下周周二（9月17日）按小组交
/ /
3y 2 3y 2
2 3
y1 , y2 0
. #;
它的图解见右图。其中L1和L2分别为两个约束半平面的边界，虚线为目标函数等值线，可行域为图中阴影部分，沿着与箭头（目标函数值递增的方向）相反的方向平移目标函数等值线（注意：对偶规划中要求对目标函数极小化）

第二章线性规划的图解法

s
.t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x1, x 2 0
第10页，本讲稿共64页
第二章线性规划的图解法
什么是线性规划模型：
决策变量为可控的连续变量。
x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0
x 1 =0,1,2,3…n
目标函数和约束条件都是线性的。
Ma7 xx1f1x2 2
4x1 16
4 x2 12
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
最优生产方案 :产品1生产 4kg，产品2生产2kg，最大利润14元(最优值）。
第22页，本讲稿共64页
第二章线性规划的图解法
• 结论：
• 线性规划问题如果有最优解,则最优
解一定在可行域的边界上取得.
设备原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ 1 2 0 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
第12页，本讲稿共64页
第二章线性规划的图解法
• 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
位于同一直线上的点，具有相同的目标函
数，称为“等值线”。
|||| 6789
x1
第21页，本讲稿共64页
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4—
3 —A
B
2—
1—
0
|| |
O
12 3
C
| D|
45