高三二轮复习立体几何试卷及答案

2020年高考数学专题复习（立体几何）

1．如图，一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．323

π

B ．16π

C ．8π

D ．4π

2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”. 已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积， 则该“堑堵”的体积为( ) A ．

2

3

B ．1

C ．2

D ．4 3．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图 的面积之和为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

4．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）

A ．4π

B ．16π

C ．36π

D ．

643

π

3．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，

AC 与BD 相交于O .剪去AOB ∆，将剩余部分沿

OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、 C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为________.

6．一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD ∆折起，得到三棱锥A BCD -（如图2）.

（1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD .

7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点． （1）求证：； （2）求证：平面

； （3）求三棱锥的体积．

8．在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥平面ABM ，

2

2

BM AB AM AD ===4=. （1）证明：AM ⊥平面ABCD ；

（2）若E 是BM 的中点，3CD =，求E 到平面ACM 的距离.

9．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且3PA AD ==，点E 为线段PD 的中点.

（1）求证：//PB 平面AEC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ； （3）求三棱锥A PEC -的体积.

10．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q M ，分别为AD PC ，的中点，2PA PD ==，

1

12

BC AD =

=，3CD =. （I ）求证：平面PBC ⊥平面PQB ； （II ）求三棱锥P QMB -的体积.

11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E F =,分别是1DD 与BD 的中点． （1）求证：CF ⊥平面11BDD B ． （2）求三棱锥1B CFE -的体积．

12．如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABCD ，如图2. （1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ； （2）求点D 到平面PAB 的距离.

参考答案

1．B 2．C 3．A 4．C

5．

6．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】

试题分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得//EF AC ，由线面平行的判定定理可证明//EF 平面ACD ；

（2）若平面ABC ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面,ABC CD AB ⊥，,AB AC AB ⊥∴⊥Q 平面ACD ，由面面垂直的判定定理可证明

平面ABD ⊥平面ACD .

试题解析：（1）因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以//EF AC ， 又EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以//EF 平面ACD . （2）因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，

CD ⊂平面BCD ，CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，

因为AB ⊂平面ABC ，所以CD AB ⊥.

又因为,AB AC AC CD C ⊥⋂=，AC ⊂平面ACD ，CD ⊂平面ACD . 所以AB ⊥平面ACD .

又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.

7．（1）见解析；（2）见解析；（3）2

3

【解析】

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试题分析：本题考查了空间中的垂直与平行的判断与性质的应用问题，也考查了求几何体的体积的问题，（1）通过证明BD ⊥平面AEC ，得出BD AE ⊥；（2）通过1ACC V 的中位线证明线线平行，再证明线面平行；（3）点A 到平面1B DE 的距离等于点C 到平面1B DE 的距离，利用等积法求出三棱锥1A B DE -的体积．

试题解析：解：（1）【证明】连接BD ，AE ．因四边形ABCD 为正方形，故BD AC ⊥， 因EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，故EC BD ⊥，又EC AC C ⋂=， 故BD ⊥平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，故BD AE ⊥．

（2）连接1AC ，设，连接GE ，

则E 为1AC 中点，而

为

的中点，故GE 为三角形1B DE 的中位线，

，AC ⊄平面1B DE ，//AC 平面1B DE ，故

平面1B DE ．

（3）由（2）知，点A 到平面1B DE 的距离等于C 到平面1B DE 的距离， 故三棱锥1A B DE -的体积，

而

，

三棱锥1A B DE -的体积为

．…12分．

考点：1．直线与平面平行的判定；2．棱柱、棱锥、棱台的体积． 8．（1）证明见解析；（2）8

5

【解析】 【分析】

（1）由勾股定理和线面垂直性质可得AM AB ⊥，AD AM ⊥，由线面垂直判定定理可证得结论；