高中数学重点突破专项训练——立体几何

高中数学重点突破专项训练——立体几何

1. 将两块三角板按图甲方式拼好，其中90B D ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AC =，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影恰好在AB 上，如图乙．

(1)求证：AD ⊥平面BDC ； (2)求二面角D AC B --的大小；

(3)求异面直线AC 与BD 所成角的大小．

2. 如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，

D 、

E 分不是1AC 、1BB 的中点，

〔1〕求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；

〔2〕求二面角C AC E --1的大小； 〔3〕求点1C 到平面AEC 的距离．

3. 如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分不为棱AB 和BC 的中点，EF 交BD 于H ．

〔1〕求二面角B EF --1β的正切值；

〔2〕试在棱B B 1上找一点M ，使⊥M D 1平面1EFB ，并证

明你的结论；

〔3〕求点1D 到平面1EFB 的距离．

4. 如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，AC ⊥CB ，∠ABC=45°，

侧面

A 1AB

B 1是边长为a 的菱形，且垂直于底面AB

C ，∠A 1AB=60°，E 、F 分不是AB 1、 BC 的中点.

〔1〕求证EF//平面A 1ACC 1；

〔2〕求EF 与侧面A 1ABB 1所成的角； 〔3〕求三棱锥A —BCE 的体积.

5. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分不为B 1A 、C 1C 、BC 的中点。

〔I 〕求证：DE ∥平面ABC ； 〔II 〕求证：B 1F ⊥平面AEF ；

〔III 〕求二面角B 1—AE —F 的大小〔用反三角函数表示〕。

6. 在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD=a ，

S D=a 2，在线段SA 上取一点E 〔不含端点〕使EC=AC ，截面CDE 与SB 交于点F 。

〔Ⅰ〕求证：四边形EFCD 为直角梯形； 〔Ⅱ〕求二面角B-EF-C 的平面角的正切值；

〔Ⅲ〕设SB 的中点为M ，当AB

CD

的值是多少时，能使△DMC 为直角三角形？

请给出证明。

7. 如图，正四棱柱的底面边长为3，侧棱长为4，连结，过A 作，垂足为F ，且AF 的延长线交于E 。

〔I 〕求证：平面AEC 〔II 〕求三棱锥的体积

〔III 〕求二面角的正切值。

8. 如图．斜三棱柱ABC -111C B A 的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π

，

且侧面11A ABB 垂直于底面AB C ．

〔1〕求证：点1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点； 〔2〕求二面角C -1AB -B 的大小；

〔3〕判定C B 1与A C 1是否垂直，并证明你的结论．

A B

C D

S E

F M

9. 如图，以正四棱锥V -ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O -xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．

〔1〕求cos 〔BE ，DE 〕；

〔2〕记面BCV 为 ，面DCV 为，假设∠BED 是二面角VC -的平面角，求∠BE D ．

10. 长方体ABCD -1111D C B A 中，棱AB ＝BC ＝3，1BB ＝4，连结C B 1，过B 点作C B 1的垂线交1CC 于E ，交C B 1于F ．

〔1〕求证：C A 1⊥平面EBD ；

〔2〕求ED 与平面C B A 11所成角的大小； 〔3〕求二面角E -BD -C 的大小．

11. 如图，在正方体ABCD -1111D C B A 中，E 、F 分不是1BB ，CD 的中点．

〔1〕证明：AD ⊥F D 1； 〔2〕求AE 与F D 1所成的角； 〔3〕证明：面AED ⊥面11FD A ；

〔4〕设1AA ＝2，求三棱锥F -11ED A 的体积11ED A F V ．

12. 长方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，E为AA

1

上一点，平面B

1

CE⊥平面BCE，AB=BC=1，

AA

1

=2。

〔1〕求平面B

1

CE与平面B

1

BE所成二面角α的大小；〔文科只要求求tanα〕

〔2〕求点A到平面B

1

CE的距离。

13. 正三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

的底边长为1，高为h(h>3)，点M在侧棱BB

1

上移动，

到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC

1

所成的角为α；

〔Ⅰ〕〔本咨询6分〕假设α在区间]

4

,

6

[

π

π

上变化，求x的变化范畴；

〔Ⅱ〕〔本咨询6分〕假设BC

AM与

求

为,

6

π

α所成的角.

14. 如下图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，与

夹角的余弦值为

3

3

．

〔1〕建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；

〔2〕在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．

15.如下图，直三棱柱

1

1

1

C

B

A

ABC-中，ACB

∠＝90o，侧面

1

AB与侧面

1

AC所成

的二面角为60°，M为

1

AA上的点，=

∠

1

1

MC

A30°，=

∠

1

CMC90°，a

AB=．