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上海初二下学期数学函数压轴题.

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2020-2021学年下学期沪教版八年级数学压轴题集第十一讲动点求函数解析式

2020-2021学年下学期沪教版八年级数学压轴题集第十一讲动点求函数解析式

第十一讲动点求函数解析式【要点导航】函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想.由于某--个点或某图形有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系.这种变化关系就是动点问题中的函数关系.这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系,并根据实际情况确定自变量的取值范围.【典型例题】【例1】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，在射线AC、CB上分别有两个动点M、N，且AM= BN，联结MN交AB于点P。

(1)如图1所示，当点M在边AC(与点A、C不重合)上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论。

(2)当点M在射线AC上，若设AM=x，BP=y，求y与x的函数关系式及定义域。

(3)过点M作直线AB的垂线，垂足为Q，随着点M、N的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定.请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由。

图1利用线段和差建立函数关系式.【例2】如图2所示, 在长方形ABCD中，AB= 8，AD= 6，点P、Q分别是AB边和CD 边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP= CQ，设AP= x，BE= y.(1)线段PQ的垂直平分线与BC边相交，设交点为点E，求y与x的函数关系式及x取值范围.(2)在(1)的条件下，是否存在x使△PQE为直角三角形? 若存在，请求出x的值；若不存在,请说明理由.图2方法点晴应用勾股定理建立函数解析式.1. (★★)如图3所示，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC交BC边于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。

小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D的对称点为E、F 两点，延长EB、FC相交于点G ，证明四边形AEGF是正方形。

初中数学中考压轴题及答案详解(上海篇)

初中数学中考压轴题及答案详解(上海篇)

专题训练125．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若1tan3BPD∠=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用)参考答案：（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ∴∠EPC＝30°∴三角形BDP为等腰三角形∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1∴在RT△ECP中，EC=12EP=12（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ∵AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ACB＝90°∴△ADQ与△ABC相似∴AD AQ AB AC=即113ax=+，∴31 ax=+∵在RT△ADQ中2222328111x x DQ AD AQx x+-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭∵DQ AD BC AB=∴228111x x x x x +-+=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似，∴AE ADAC AF=，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP ==(3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =-∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+ 即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++ ∴5533,44x xAB BC ++==∴三角形ABC 的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0专题训练21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE ，1=2tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值．参考答案：解：（1）二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），∴，解得。

上海初中八年级数学试卷压轴题

上海初中八年级数学试卷压轴题

图④图③图②图①P NMAC BBCAACBBCA上海初中八年级数学试卷压轴题28．已知一直角三角形纸片ABC （如图①），∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4。

折叠该纸片，使点B 落在边AC上，折痕与边BC 交于点M ，与边AB 交于点N 。

（1）若折叠后，点B 与点C 重合，试在图②中画出大致图形，并求点C 与点N 的距离； （2）若折叠后，点B 与点A 重合，试在图③中画出大致图形，并求CM 的长；（3）若折叠后点B 落在边AC 上的点P 处（如图④），设CP ＝x ，CM ＝y ，求出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。

26．已知：如图，正比例函数ax y =的图像与反比例函数xky =的图像交于点A (3,2)． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的解析式；（2）根据图像回答：在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值?（3）)(n m M ，是反比例函数图像上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．AM BC OD xy26、小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、图2．图1中，90,30,5cm B A BC ∠=︒∠=︒=；图2中，90,45,3cm D E DE ∠=︒∠=︒=．图3是小刘同学所做的一个实验：他将DEF ∆的直角边DE 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在DEF ∆沿AC 方向移动的过程中，小刘同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐_______； （填“不变”、“变大”或“变小”）（2）小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：问题①：当DEF ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当D E F ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?请你分别完成上述两个问题的解答过程．ABC图1图2 FDEAB CFDE图3第26题图27、如图：在直角坐标平面内，正比例函数直线x y 3=与一反比例函数图像交于第一象限内A 点，x AB ⊥轴于B ，6=AB①求反比例函数的解析式。

上海初二下学期数学函数压轴题

上海初二下学期数学函数压轴题

1在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．（1） 由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（2） 联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3） 如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．CBP（供操作实验用）（供证明计算用）（第2题图）D ABB3．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，CE =AE ，F 是AE 的中点，AB = 4，BC = 8．求线段OF 的长．4已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC 的边AC = 5．（1）求点C 的坐标；为常数，且（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、bk <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y且E 为OC 中点，BC //x 轴，且BE ⊥AE ，联结AB ， （1）求证：AE 平分∠BAO ；（2）当OE =6， BC=4时，求直线AB 的解析式．6．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（2）AC = 2DG ．AB CDOEF（第3题图）（第4题图）A BFDEG第6题图7．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。

初二下学期数学压轴题

初二下学期数学压轴题

初二下学期数学压轴题(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除21在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=CD=AD=5cm ，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值； （3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论； （2）（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （4） 如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．3AC的中点，AB = 4，BC = 84x AOBC 的边AC = 5．（1）求点C 的坐标；（2）如果点A 、C 在一次函数y=kx+b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C（供证明计算用）（第2题图）G D AB （第3（第4题图）3与点E 在y 轴上，且E 为OC 中点，BC //x 轴，且BE ⊥AE ，联结AB ， （1）求证：AE 平分∠BAO ；（2）当OE =6， BC=4时，求直线AB 的解析式．6．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（2）AC = 2DG ．7．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P作PF ⊥CD 于点F ，作PE⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。

沪教版数学八年级第二学期期末压轴题(答案)

沪教版数学八年级第二学期期末压轴题(答案)

1、已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（5分）/2、如图，直线y =+与x 轴相交于点A，与直线y =相交于点P . (1) 求点P 的坐标.(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由. |(3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式.3、已知直角坐标平面上点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q（如图）.（1）试证明：AP =PQ ； （2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______； （3）当APQ AOQ S S ∆∆=32时，求点P 的坐标.…DA 《ED CA B|FH G4、（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ， （1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系并证明；（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．《…5、（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分, 第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC 的面积；（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式； （3）当∆OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）.B图1图2，6、如图已知一次函数y =－x +7与正比例函数y =x 34的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O ﹣C ﹣A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒)0( t ．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是QA=QP 的等腰三角形若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．!7、已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合）， 过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F . （1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），O ABC Pxy① 求证：PB=PE ；② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；[（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断 上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．\（1） 8、如图，已知在梯形ABCD 中，AD 60B ∠=︒120EMF ∠=︒A B C D A→→→→求证：∠A =2∠CBD ；（2） ？（3）当点P 从点A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示．试求CD 的长；（4） 在（2）的情况下，点P 从点A B C D A →→→→移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰三角形若能，请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的取值；若不能，请说明理由．\*DCB|AE P 。

专题12 一次函数解答题压轴训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)

专题12 一次函数解答题压轴训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)

专题12 一次函数解答题压轴训练（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，定义如下：点M 与点N 的“直角距离”为1212x x y y -+-，记作MN d ．例如：点()1,5M 与()7,2N 的“直角距离”17529MN d =-+-=．（1）已知点1234311111(1,0),,,,,,222422P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则在这四个点中，与原点O 的“直角距离”等于1的点是__________；（2）如图，已知点()()1,0,0,1A B ，根据定义可知线段AB 上的任意一点与原点O 的“直角距离”都等于1．若点P 与原点O 的“直角距离”1OP d =．请在图中将所有满足条件的点P 组成的图形补全； （3）已知直线2y kx =+，点(),0C t 是x 轴上的一个动点．①当3t =时，若直线2y kx =+上存在点D ，满足1CD d =，求k 的取值范围；①当2k =-时，直线2y kx =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上任意一点H 都满足14CH d ≤≤，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）P 1，P 4；（2）见解析；（3）①-1≤k ≤13-；①-2≤t≤0或t=2 【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断；（2）根据“直角距离”的定义得|x |+|y |=1，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）①先根据题意可得点C 的坐标为（3，0），根据d CD =1，并由（2）可得：点D 在正方形EFMN 边上，如图2，通过观察图2可得：k 的最大值是过点E 的直线，k 的最小值是过F ，M 的直线，代入可得结论；①根据k =-2可得直线EF 的解析式为：y =-2x +2，计算点E 和F 的坐标，设H （m ，-2m +2），根据点H 在线段EF 上，可得0≤m ≤1，根据“直角距离”的定义列式得d CH =|t -m |+|-2m +2|=|t -m |-2m +2，列不等式后分两种情况进行讨论可得结论． 【详解】解：（1）①点1234311111(1,0),,,,,,222422P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①d P 1O =|-1|+0=1，d P 2O =31222-+=，d P 3O =113244-+-=，d P 4O =11122-+-=， ①与原点O 的“直角距离”等于1的点是P 1，P 4； 故答案为：P 1，P 4； （2）设P （x ，y ），①点P 与原点O 的“直角距离”d OP =1， ①|x |+|y |=1，当x ＞0，y ＞0时，x +y =1，即y =-x +1， 当x ＞0，y ＜0时，x -y =1，即y =x -1， 当x ＜0，y ＞0时，-x +y =1，即y =x +1， 当x ＜0，y ＜0时，-x -y =1，即y =-x -1， 如图1所示，（3）①当t =3时，点C 的坐标为（3，0），由（2）可得：d CD =1，则点D 在正方形EFMN 边上，如图2，①F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），又①点D在直线y=kx+2，又直线y=kx+2过点（0，2），由图2可知：当直线y=kx+b过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k 的最小值是过F，M的直线，把点E的坐标（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=13 -，把点F的坐标（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，故k的取值范围是：-1≤k≤13 -，①当k=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，①E（1，0），F（0，2），设H（m，-2m+2）（0≤m≤1），d CH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，①1≤d CH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，又0≤-2m+2≤2，即-1≤|m-t|≤4，当t≤m时，有-1≤m-t≤4，①0≤m≤1，①-4≤t≤2，又t≤m，①-4≤t≤1，当t＞m时，有-1≤t-m≤4，①0≤m≤1，①-1≤t ≤5， 又t ＞m ， ①1≤t ≤5，当-4≤t ＜-2时，d CH ＞4，不符合题意， 当0＜t ＜2时，d CH ＜1，不符合题意， 当2＜t≤5时，d CH ＞4，不符合题意， 综上，t 的取值范围为：-2≤t≤0或t=2． 【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．2．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，4OA =，2OC =，点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结AC ，PQ ，点B 1是点B 关于PQ 的对称点．（1）若四边形OABC 为长方形，如图1，①若点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上中点，求直线PQ 的解析式； ①若BQ BP =，且点1B 落在AC 上，求点1B 的坐标；（2）若四边形OABC 为平行四边形，如图2，且OC AC ⊥，过点1B 作1//B F x 轴，与对角线AC ，边OC 分别交于点E ，点F ．若11:1:3B E B F =，点1B 的横坐标为m ，求点1B 的纵坐标（用含m 的代数式表示）【答案】（1）①132y x =-+；①8(3，2)3；（2）5或2 【分析】（1）①根据A 、C 坐标和中点的定义得到P 、Q 坐标，再利用待定系数法求解． ①求出直线AC 的解析式，利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形：①当点1B 在线段FE 的延长线上时，如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，①当点1B 在线段FE （除点E ，F 外）上时，如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，分别求解即可解决问题． 【详解】 解：（1）①4=OA ，2OC =，四边形OABC 是矩形，①BC =4，AB =2， ①B （4，2），又点P 和点Q 是BC 和AB 中点，①P （2，2），Q （4，1），设PQ 的解析式为y kx b =+，则2214k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①PQ 的解析式为132y x =-+； ①设BP BQ a ==，则1(4,2)B a a --，如图1，设直线AC 的解析式是12y k x =+，把(4,0)A 代入，得1042k =+，解得112k =-，∴直线AC 的解析式是122y x =-+， 把1(4,2)B a a --代入上式，得12(4)22a a -=--+，解得43a =．18(3B ∴，2)3；（2）4=OA ，2OC =，OC AC ⊥，30OAC ∴∠=︒，C ．11:1:3B E B F =，∴有以下两种情况：①当点1B 在线段FE 的延长线上时，如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，由题意可知1(0)B G m m =>，设GF b =，则OG =，2OF b =， 22CF b ∴=-，2(22)44FE b b =-=-，11222B E EF b ∴==-，(44)(22)b b b m ∴+-+-=，解得65mb -=．∴点1B①当点1B 在线段FE （除点E ，F 外）上时，如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，同理可求得1B综上所述，满足条件的1B 的纵坐标为5或2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，且ABO 的面积为9．（1）如图1，求k 的值；（2）如图2，若点P 是线段AO 上的一动点，过点P 作PC ①AB ，交y 轴于点C ，设点P 的横坐标为t ，线段BC 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点D 为线段AB 的延长线上一点，连接DO ，DO 与PC的延长线交于点E ，若①BPC ＝2①BOD ，BP ﹣PE ，求点D 的坐标． 【答案】（1）k ＝12；（2）d ＝12t +3；（3）(1，72) 【分析】（1）根据题意先求出点A ，B 的坐标，依据三角形面积列方程求解即可；（2）先根据两直线平行时，其解析式一次项系数相等，求出直线PC 的解析式，进而求出点C 的坐标，即可得到答案；（3）在y 轴的负半轴上取一点F ，使FO ＝BO ＝3，连接PF ，延长DO 交PF 于点G ，过点B 作BH //PF 交OD 于H ，证明①BHD 和①FGO ，过点D 作DT ①y 轴于T ，设D （m ，12m +3），根据题意建立方程求解． 【详解】解：（1）①直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，①A（﹣3k，0），B（0，3），①OA＝|﹣3k|，OB＝3，①S①ABO＝12•OA•OB＝12×|﹣3k|×3＝92|1k|，①S①ABO＝9，①92|1k|＝9，解得：k＝±12，①由题图知k＞0，①k＝12；（2）①PC//AB，P（t，0），设直线PC的解析式为y＝12x+n，则0=12t+n，①n=-12t，①直线PC的解析式为y＝12x﹣12t，令x＝0，得y＝﹣12t，①C（0，﹣12 t），①BC＝3﹣（﹣12t）＝12t+3，①线段BC的长为d，①d＝12t+3；（3）如图3，在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，①BF ①PO ，FO ＝BO ， ①BP ＝PF ，设①BOD ＝α，①PBO ＝β， ①①BPC ＝2①BOD ，①①BPC ＝2α，①OFG ＝①PBO ＝β，①GOF ＝①BOD ＝α， ①PGE ＝①PFO +①GOF ＝α+β，①①BCE ＝①PBO +①BPC ＝①BOD +①PEO ， ①β+2α＝α+①PEO ， ①①PEO ＝α+β， ①①PEO ＝①PGE ， ①PE ＝PG ，过点B 作BH //PF 交OD 于H ， ①①BHD ＝①PGE ，①BHO ＝①FGO ， ①PC //AB ， ①①BHD ＝①PEO ， ①①BHD ＝①BDH ， ①BD ＝BH ，在①BHO 和①FGO 中，BOH FOG BHO FGO BO FO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①BHO 和①FGO （AAS ），①GF ＝BH ＝BD ，①BP ﹣PE ，BP ＝PF ，PE ＝PG ，①PF ﹣PG ，即GF ，①BD ，过点D 作DT ①y 轴于T ，设D （m ，12m +3），且m ＞0，则TD ＝m ， TB ＝TO ﹣BO ＝12m +3﹣3＝12m ， 在Rt ①BTD 中，TD 2+BT 2＝BD 2，即m 2+（12m ）2）2， 解得：m 1＝1，m 2＝﹣1， 当m ＝1时，12m +3＝12×1+3＝72， ①D (1，72)． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．4．一次函数y x +2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边①ABC ．（1）求C 点的坐标；（2）在第二象限内有一点M （m ，1），使S ①ABM ＝S ①ABC ，求M 点的坐标；（3）将①ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点E 处；再将①ABE 绕点E 顺时针方向旋转15°，点B 落在点F 处，过点F 作FG ①y 轴于G ．求①EFG 的面积．【答案】（1）(-4)；（2）(-1)；（3）2【分析】（1）先求得A 、B 的坐标，然后可得到30BAO ∠=︒，依据含30直角三角形的性质可得到24AB OB ==，则90CAO ∠=︒，然后依据勾股定理求得AB 的长，从而可得到点C 的坐标；（2）过点C 作//CM AB ，则ABM ABC S S ∆∆=．设直线CM 的解析式为3y x b =+，将点C 的坐标代入求得b 的值，然后将1y =代入MC 的解析式可求得点M 的横坐标；（3）先求出30FHG ∠=︒，进而表示出FG ，EG ，用勾股定理建立方程求出2a ，最后用面积公式即可得出结论．【详解】解：（1）当0x =时，2y =，(0,2)B ∴．当0y =时，x =-(A ∴-，0)．2OB ∴=，=OA30BAO ∴∠=︒，24AB OB ==．ABC ∆为等边三角形，60ACB ∠=︒∴．90CAO ∴∠=︒．(C ∴-4)．（2）如图，过点C 作//CM AB ．//CM AB ，ABM ABC S S ∆∆∴=．设直线CM 的解析式为3y x b =+，将点C (4b -+=，解得6b =．∴直线CM 的解析式为6y x =+．将1y =代入MC 的解析式得：16x =+，解得：x =-，(M ∴-1)． （3）如图，由（1）知(A -0)，(0,2)B ，4AB ∴=，ABC ∆为等边三角形，4BC AB ∴==，由折叠知，4BE BC ==，由旋转知，4EF BE ==，15BEF ∠=︒，取EG 上取一点H 使，EH FH =，连接FH ，30FHG ∴∠=︒，设FG a =，HG ∴=，2FH a =，2EH a ∴=，2(2EG EH HG a a ∴=+==，在Rt EFG △中，根据勾股定理得，22[(2]16a a +=，2a ∴=211(2222EFG S EG FG a a ∆∴=⨯=+⨯== 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．5．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4．点P 从点A 出发，沿A →D →C →D 运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点 A 出发向点B 运动，速度为每秒1个单位长度． P 、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t （秒）．连结PQ 、AC 、CP 、CQ ．（1）点P 到点C 时，t = ； 当点Q 到终点时，点P 的运动路程为 ； （2）用含t 的代数式表示PD 的长；（3）设①CPQ 的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式；（4）如图①，当点P 在线段DC 上运动时，将①APQ 沿PQ 折叠，点A 落在平面内的点A ′ 处，PQ 与AC 交于点E ．当QA '与①ACD 的边DC 、AC 平行时，直接写出t 的值．【答案】（1）6，16（2）当0＜t ≤2时，PD = 4－2t ，当2＜t ≤6时PD = 2t －4，当6＜t ≤8时，PD = 20 －2t ；（3）当0＜t ≤2时，s t t =-+210，当2＜t ≤6时，s t =-+424，当6＜t ≤8时，s t =-424；（4）,,t t t t ===-=+12342041243【分析】（1）计算AC 的长，除以速度即可；计算点Q 的运算时间AB ÷速度，得到的时间乘以点P 的速度即可；（2）根据t 的运动特点，分0＜t ≤2，2＜t ≤6，6＜t ≤8三种情形计算；（3）根据（2）的情形，对应计算三角形的面积即可；（4）在2＜t ≤6，6＜t ≤8两种情形下，分别计算QA '∥DC 和QA '∥AC 计算．【详解】解：（1）当点P 到点C 时 ， t =122=6， ①点Q 的运动时间为：8÷1=8，故答案为：6,16；①点P 的运动路程为2×8=16（2）当0＜t ≤2时，①P A =2t ，P A +PD =AD =4，①PD = 4－2t ；当2＜t ≤6时，①P A =2t ，AD +PD =P A ，AD =4，①PD = 2t －4；当6＜t ≤8时， ①2t =AD +CD +PC ，PC +PD =CD ，AD =4，①PD =8-(2t -12)= 20 －2t ；（3）当0＜t ≤2时，s =111482(42)8(8)4222t t t t ⨯-⨯⨯--⨯--⨯ 210t t =-+；当2＜t ≤6时，1(122)44242s t t =-⨯=-+； 当6＜t ≤8时， 1(212)44242s t t =-⨯=-； （4）当2＜t ≤6，且QA '∥AC 时，如图1，根据折叠的意义，得①AQP =①A 'QP ，①四边形ABCD 是矩形，①AB∥CD ，①①AQP =①CPE ，①QA '∥AC ,①①A 'QP =①CEP ，①①AEQ=①CEP，①①AQP=①CPE=①A'QP =①CEP=①AEQ，①AE=AQ，CP=CE，①四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4①BC=4,①ABC=90°，AC=设点Q运动时间为t，则P A=2t,AQ=t,①CP=12-P A=12-2t，①AE+EC=AC,①AQ+PC=AC,①12-2t+t=①t=12-当2＜t≤6，且QA'∥DC时，如图2，根据折叠的意义，得①AQP=①A'QP=90°，①四边形ABCD是矩形，①①DAQ=90°，①AD∥PQ，①四边形AQPD是矩形，①PD=AQ，设点Q运动时间为t，则P A=2t,AQ=t,①PD=2t-4，①2t-4=t,①t=4；当6＜t≤8，且QA'∥AC时，如图3，根据前面的证明，得到AC=CP=CE,AQ=AE，设点Q运动时间为t，则AQ=t, CP=2t-12，①AE+EC=AC,①AQ+PC=AC,①2t-12+t=①t=4+；3当6＜t≤8，且QA'∥DC时，如图4，根据前面的证明，得到AQ=PD，设点Q运动时间为t，则AQ=t, DP=20-2t，①20-2t =t ,①t =203；综上所得，t 的值为,,t t t t ===-=+12342041243 【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，函数的表达式，分类思想，灵活运用分类思想，适当分割图形表示面积是解题的关键． 6．某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元． （1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？【答案】（1）购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）200400a ≤≤；（3）购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低【分析】（1）设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得； （2）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；（3）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，总费用为W ，即可得出W 关于a 的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．【详解】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x 元，乙种树苗的单价为y 元．依题意得： 5020500030102800x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：x 60y 100=⎧⎨=⎩， 答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，由题意得，60100(500)4200015004a a a a +-≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩， 解得，200400a ≤≤．①甲种树苗数量a 的取值范围是200400a ≤≤．（3）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，总费用为W ，①60100(500)5000040W a a a =+-=-．①400-<，①W 值随a 值的增大而减小，①200400a ≤≤，①当400a =时，W 取最小值，最小值为500004040034000-⨯=元．即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，不等式组的解法，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．7．如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合．①求点G 、点E 的坐标；①若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；①-15≤n ≤-4；（2）5 【分析】（1）①根据折叠的性质求出OG ，根据勾股定理计算求出GN ，得到点G 的坐标，设CE =x ，根据勾股定理求出x ，求出点E 的坐标；①利用待定系数法求出OE 所在直线的解析式，根据平行的性质求出m ，分别把点M 、点A 的坐标代入解析式求出n ，得到答案；（2）连接OB ，OG ，求出BC =OC =OG =5，推出当O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值，从而计算．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=，①点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ，①GN =4，①GM =5-4=1，在Rt ①EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+， 解得：x =53， ①点E 的坐标为（53，5）； 设OE 所在直线的解析式为：y =kx ， 则53k =5， 解得，k =3，①OE 所在直线的解析式为：y =3x ，①直线l ：y =mx +n 平行于直线OE ，①m =3，即直线l 的解析式为y =3x +n ，当直线l 经过点M （3，5）时，5=3×3+n ，解得，n =-4，当直线l 经过点A （5，0）时，0=3×5+n ，解得，n =-15，①直线l 与长方形ABMN 有公共点时，-15≤n ≤-4；（3）连接OB ，OG ，①OC =BC =5，①OCB =90°，①BC =①点C 关于直线OE 的对称点为点G ，①OC =OG =5，①BG ≥OB -OG ，①当O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值，①BG 的最小值为5．【点睛】本题考查的是一次函数的知识、折叠的性质、最短路径问题，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤，得到O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值是解题的关键． 8．如图，正方形ABCD 边长10AB =cm ，点E 在边AD 上，且4AE =cm ，点N 从点A 出发，以5cm/s 的速度在A 、B 之间往返匀速运动，同时，点M 从点E 出发，以2cm/s 的速度沿路径E D C →→匀速运动，当点M 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t （单位：s ）．在运动过程中AMN 的面积S （单位：2cm ）随运动时间t 的变化而变化．（1）当点N 运动到点B 时，求t 值及此时AMN ∆的面积．（2）在整个运动过程中，求S 与t 的关系式．【答案】（1）t =2，此时AMN ∆的面积=402cm ；（2）见解析【分析】（1）先根据点N 的运动速度得出时间，再得出AM 的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案；（2）分①当0＜t ≤2时，①当2＜t ≤3时，①当3＜t ≤4时，①当4＜t ≤6时，①当6＜t ≤8时，五种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）①当点N 运动到点B 时，10AB =cm ，点N 的速度为5cm /s ， ①t=2s 5=AB ， ①点M 的速度为2cm /s ，①EM =2×2=4cm ，①AM =AE +EM =4+4=8，①AMN ∆的面积=21181040cm 22⨯⨯=⨯⨯=AM AB ． （2）①当点M 运动到点C 时，两点都停止运动， ①20-4t=8s 2=， ①当0＜t ≤2时，AN =5t ，AM =4+2t ，AMN ∆的面积=()2115t 4+2t 5t +10t 22⨯⨯=⨯⨯=AM AN ； ①当2＜t ≤3时，AN =20-5t ，AM =4+2t ，AMN ∆的面积=()()21120-5t 4+2t -5t +10t+4022⨯⨯=⨯=AM AN ； ①当3＜t ≤4时，AN =20-5t ，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()110520-5t -25t+1002⨯⨯=⨯=AN ； ①当4＜t ≤6时，AN =5t -20，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()11055t-2025t-1002⨯⨯=⨯=AN ； ①当6＜t ≤8时，AN =40-5t ，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()110540-5t 25t+2002⨯⨯=⨯=-AN ； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积计算，分类讨论的数学思想，确定点M 、N 所在的位置，是解决本题的关键．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴相交于()6,0A 、()0,2B 两点，动点C 在线段OA 上，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90︒得到CD ，此时点D 恰好落在直线AB 上时，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．（1）求证：BOC CED ≌；（2）求经过A 、B 两点的一次函数表达式．如图2，将BCD △沿x 轴正方向平移得B C D '''∠，当直线B C ''经过点D 时，求点D 的坐标及B C D '''∠的面积；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）123y x=-+，()3,1D，2.5；（3）存在，)1,0P，)1,0P，()5,0P．【分析】(1)由“”AAS即可证明Rt BOC Rt CED≅；(2)由B C D'''∠的面积BCD=∆的面积2BCOBOEDS S=-梯形，即可求解；(3)分PC PD=、PC CD=、PD CD=三种情况，分别求解即可．【详解】解：()190BOC BCD CED∠=∠=∠=︒，①90OCB DCE∠+∠=︒，90DCE CDE∠+∠=︒，①BCO CDE∠=∠，BC CD=，①()Rt BOC Rt CED AAS≅；()2设直线AB解析式为y kx b=+，把()6,0A，()0,2B代入上式得062k bb=+⎧⎨=⎩，解得132kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AB的解析式为123y x=-+，由BOC CED≅得：CO DE=，设CO DE m==，而2OB CE==，()2,D m m∴+，点D在直线123y x=-+上，把()2,D m m+代入上式并解得1m=，()3,1D ∴，点()1,0C ，B C D '''∠的面积BCD =∆的面积()112123221 2.522BCO BOED S S =-=⨯+⨯-⨯⨯⨯=梯形； ()3存在，理由：设点P 的坐标为(,0)t ，而点C 、D 的坐标分别为()1,0、()3,1，由点P 、C 、D 的坐标得：22(1)PC t =-，22(3)+1PD t =-，22215CD =+=，当PC PD =时，则22(1)(3)1t t -=-+， 解得：94t =， 当PC CD =时，则2(1)5t -=，解得：1t =当PD CD =时，则2(3)15t -+=，解得：1t =(舍去)或5，故点P 的坐标为9,04⎛⎫⎪⎝⎭或)1,0或()1或()5,0． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等和面积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．10．已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家，图中x 表示时间（单位是分钟），y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表：（2）填空：①小明在文化宫停留了________min ；①小明从家到体育场的速度为________km/min ；①小明从文化宫回家的平均速度为_________km/min ；①当小明距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为_______min ．（3）当045x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式． 【答案】（1）23，1，0.5；（2）①25；①115；①160①9或42；（3）1(015)151(1530)12(3045)30x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-+<≤⎩ 【分析】（1）由图可知，前15min 小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成正比例函数，利用待定系数法解得该正比例函数，再依次代入x =10，x =15解题，从图中可知，当小明离开家的时间为45min 时，小明离家的距离为0.5km ，据此计算填表；（2）①从图中可知，小明离家为45min 时，到达文化馆，小明离家时间为70min 时，离开文化馆，将二者时间相减即可解题；①从图中可知，小明离家时间为15min 时，到达1km 的体育馆，根据速度公式解题；①从图中可知，小明离家时间为70min 时，离开距家0.5km 的文化馆，小明离家时间为100min 时，根据速度公式解题；①从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6km ,分别在0min 到15min 和30min 到45min 之间，满足1,(015)15y x x =≤≤令0.6y =，解得他离开家的时间为9min ，由图可知，在30min 到45min 之间小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成一次函数，利用待定系数法解得此函数，再计算当0.6y =时，x 的值即可解题；（3）由（1）（2）中的解析式解题．【详解】解：（1）由图可知，前15min 小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成正比例函数， 设小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 的关系式为：(0,015)y kx k x =≠≤≤ 把(15,1)代入得，115k = 1(015)15y x x ∴=≤≤ 当x =10时，1210153y =⨯=， 当x =15时，115115y =⨯=， 从图中可知，当小明离开家的时间为45min 时，小明离家的距离为0.5km ， 故答案为：23；1；0.5； （2）①从图中可知，小明离家为45min 时，到达文化馆，小明离家时间为70min 时，离开文化馆，故小明在文化馆停留了：70-45=25min ；①从图中可知，小明离家时间为15min 时，到达1km 的体育馆，则速度为：11/min 15min 15km km =； ①从图中可知，小明离家时间为70min 时，离开距家0.5km 的文化馆，小明离家时间为100min 时，回到家中，则速度为：0.51/min (10070)min 60km km =-； ①从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6km ,分别在0min 到15min 和30min 到45min 之间，满足1,(015)15y x x =≤≤当0.6y =时，即10.615x =， 9x ∴=，则小明第一次距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为9min ，由图可知，在30min 到45min 之间小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成一次函数， 则设小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 的函数关系式为：(0,3045)y kx b k x =+≠≤≤将(30,1),(45,0.5)代入得，301450.5k b k b +=⎧⎨+=⎩ 1302k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩12(3045)30y x x ∴=-+≤≤ 则当0.6y =时，即120.630x -+= 42x ∴=则小明第二次距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为42min ，故答案为：①25；①115；①160①9或42； （3）由图可知，在15min 到30min 之间小明离家的距离不变1km,由（1）（2）1,(015)15y x x =≤≤和12(3045)30y x x =-+≤≤知， 当045x ≤≤时，1(015)151(1530)12(3045)30x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-+<≤⎩．【点睛】本题考查函数的图象与性质、待定系数法解一次函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条可以从南京——镇江——扬州——淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁最高速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为y1千米，图①中的折线O—A—B—C—D—E表示在整个行驶过程中y1与x的函数图像．（1）甲车速度为千米/分；（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发多久后与甲车相遇？（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙的范围为．【答案】（1）3；（2）乙车出发30分钟后与甲相遇；（3）307＜v乙＜5或278＜v乙＜154【分析】（1）根据线段OA段然后利用速度=路程÷时间求解即可；（2）首先求出乙车的速度，然后表示出乙车行驶的路程，然后根据甲乙的路程相等即可求出时间；（3）分别求出三种临界状态：①甲、乙两车在镇江站之前相遇；①甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小；①甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，然后即可得出乙车的速度的范围．【详解】解：（1）根据线段OA段，30分钟行驶了90千米，①甲车的速度为90303÷=千米/分；（2）①乙车行驶1小时到达淮安，①乙车的速度为27060 4.5÷=千米/分，①y乙＝4.5（x－20），y BC＝90+3（x－35），当y乙＝y BC时，4.5（x－20）＝90+3（x－35）解得：x＝50，50－20＝30．所以，乙车出发30分钟后与甲相遇．（3）①甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小，则v乙909 3020>=-，由题意得v乙5≤，故不符合题意；①甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小，则150 5520<-v乙903520<-，即307<v乙6<，①v乙5≤，①307<v乙6<①甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，则270 10020<-v乙1506020<-，即278<v乙154<，综上所述，307＜v乙＜5或278＜v乙＜154．【点睛】本题主要考查一次函数与行程问题，利用方程的思想解题是关键．12．问题提出（1）如图①，在Rt①ABC中，①A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将①ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图①，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a①b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断①AOM与①BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图①，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）图见解析，52；（2）S①AOM＝S①BON，理由见解析；（3）存在，549y x=-+【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将①ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出①AOM与①BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，则①OBG的面积等于①AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为①BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【详解】（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，①BC25AC+=，①点D为BC的中点，①AD＝12BC＝52．（2）S①AOM＝S①BON，理由如下：由图可知，S①AOM＝S①ABM﹣S①AOB，S①BON＝S①ABN﹣S①AOB，如图①，过点M作MD①AB于点D，过点N作NE①AB于点E，①MD①NE，①MDE＝90°，又①MN①DE，①四边形MDEN是矩形，①MD＝NE，①S①ABM＝12AB MD⋅⋅，S①ABN＝12AB NE⋅⋅，①S①ABM＝S①ABN，①S①AOM＝S①BON．（3）存在，直线BP的表达式为：y＝59-x+4．如图①，连接AB，过点O作OF①AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，由（2）的结论可知，S ①OBG ＝S ①AFG ，①S 四边形OACB ＝S ①BCF ，取CF 的中点P ，作直线BP ，直线BP 即为所求．①A (4,0)，B (0,4)，C (6,6)，①线段AB 所在直线表达式为：y ＝﹣x +4，线段AC 所在直线的表达式为：y ＝3x ﹣12，①OF ①AB ，且直线OF 过原点，①直线OF 的表达式为：y ＝﹣x ，联立312y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， ①F （3，﹣3），①点P 是CF 的中点，①P 93(,)22，①直线BP 的表达式为：y ＝59-x +4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形一边上的中线的性质以及待定系数法求一次函数解析式等内容，作出辅助线并进行面积转化是解决本题第三问的关键．13．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表．05a <（1）若印制2千册，则共需多少元？（2）该校先印制了x 千册纪念册，后发现统计失误，补印了y （5y ）千册纪念册，且补印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同． ①用含x 的代数式表示y ．①若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？【答案】（1）28600元；（2）①()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩；①101200元． 【分析】（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案．（2）①分05x <≤和5x ≥两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得到答案；①先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即可．【详解】解：（1）①印制的册数为2千册，①彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每张，黑白页的页数=2000×6=12000页，①需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），故一共需要28600元；（2）①第一种情况当05x <≤时， 2.1410000.86100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，13200220011000x y +=，即 1.20.2y x =+，①5y ≥，①1.20.25x +≥即45x ≤<；第二种情况当5x ≥时，2410000.56100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，11000220011000x y +=即0.2y x =+，①()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩， ①设两次一共需要印刷的册数为m ，需要的钱数为W ，则m x y =+，()()2410000.5610002200W x y x y =⨯⨯++⨯⨯++，①()110002200W x y =++，①()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩， ①()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩， ①()()242004400452200044005x x W x x ⎧+≤<⎪=⎨+≥⎪⎩， 故()()24200444001012004522000544001144005x W x ⎧⨯+=≤<⎪=⎨⨯+=≥⎪⎩最小， 故当4x =，5y =时所需要的的钱数最少为101200元．【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况进行分析求解．14．太湖龙之梦动物世界车行区全程总长7200米，某一时刻一辆私家车和一辆观光车同时驶入车行区，行驶过程中均为匀速行驶，私家车在最后一站骆驼观赏区停车投喂后快速离开．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，线段OA 和折线O B C A ---分别为观光车，私家车行驶的路程12,y y （米）和行驶时间x （分）的函数关系的图象．请结合图象解答下列问题：。

二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

2021年上海市八年级数学第二学期各区填空压轴题之旋转变换解析版

2021年上海市八年级数学第二学期各区填空压轴题之旋转变换解析版

2021年上海市各区初二期末压轴题图文解析各区填空压轴题之旋转变换例 2021年上海市闵行区初二下学期期末第18题如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为边AD 的中点，点P 在边CD 上．如果将△BPC 沿直线BP 翻折后，点C 恰好落在线段CE 上的点Q 处．那么线段EQ 的长为_______．图1如图2，在Rt △CDE 中，CD ＝2，DE ＝12AB ＝1，所以CE S △CDE ＝1． 因为∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2．又因为∠BCD ＝∠CDE ，BC ＝CD ，所以△BCP ≌△CDE ．所以BP ＝CE 又因为△BCP 与△BQP 关于BP 对称，所以△BQP ≌△BCP ≌△CDE ．所以S 四边形BCPQ ＝12BP CQ ⋅＝22CQ =．解得CQ EQ ＝CE －CQ图2如图1，点E为正方形ABCD内一点，如果BE＝30，CE＝20，DE＝10，那么正方形ABCD的面积为______________．图1答案500+如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBE′．在Rt△CEE′中，CE＝CE′＝20，所以∠CE′E＝45°，EE′＝在△BEE′中，E′B＝DE＝10，E′E＝BE＝30，所以E′B2＋E′E2＝BE2．所以△BEE′是直角三角形，∠BE′E＝90°（如图3所示）．所以∠CE′B＝∠CE′E＋∠BE′E＝135°．如图3，作CH⊥BE′，交BE′的延长线于点H．在Rt△CE′H中，∠CE′H＝45°，CE′＝20，所以CH＝HE′'＝．如图4，在Rt△BCH中，CH＝，BH＝HE′＋E′B＝＋10，由勾股定理，得BC2＝CH2＋BH2＝()2＋(＋10)2＝500+所以S正方形ABCD＝BC2＝500+图2 图3 图4如图1，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点P 、点F 在对角线AC 上，点E 在边CD 上，如果EP ⊥PB ，EF ⊥AC ，那么线段PF 的长为______________．图1答案在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝2，所以AC ＝如图2，联结PD ，那么PD ＝PB ，∠PBC ＝∠PDC ．在四边形PBCE 中，∠BEC ＝∠BCE ＝90°，所以∠PBC ＋∠PEC ＝180°．又因为∠PED ＋∠PEC ＝180°，根据同角的补角相等，得∠PBC ＝∠PED ．等量代换，得∠PDC ＝∠PED ．所以PD ＝PE ．所以PE ＝PB ．如图3，设AC 的中点为O ，那么BO ＝12AC 根据同角的余角相等，可得∠1＝∠3．又因为∠POB ＝∠EFP ＝90°，所以△POB ≌△EFP ．所以PF ＝BO图2 图3如图1，正方形ABCD的边长为2，点E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长AF交边BC于点G，则BG的长为______________．图1答案32．思路如下：如图2，因为△ADE≌△AFE，所以AD＝AF，DE＝FE，∠AED＝∠AEF．已知E是CD的中点，所以DE＝CE．等量代换，得FE＝CE．又因为EG＝EG，所以Rt△FEG≌Rt△CEG．所以FG＝CG．设FG＝CG＝m．在Rt△ABG中，AB＝2，BG＝BC－CG＝2－m，AG＝AF＋FG＝2＋m．由勾股定理，得AB2＋BG2＝AG2．所以4＋(2－m)2＝(2＋m)2．解得m＝12．所以BG＝2－m＝32．图2折叠矩形纸片ABCD时，点E、G分别在AB、BC边上，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG．若AB＝AD＋2，EH＝1，则AD＝______________．答案3或3+如图1，因为△ADE≌△FDE，所以DA＝DF，∠A＝∠DFE＝90°．又因为∠ADF＝90°，所以四边形ADFE是正方形．设AD＝AE＝m，那么AB＝DC＝m＋2．如图2，因为△CDG≌△HDG，所以DH＝DC＝m＋2．以点H的位置为分类标准，分两种情况讨论．①如图2，当点H在EF下方时，AH＝AE＋EH＝m＋1．在Rt△ADH中，由勾股定理，得AD2＋AH2＝DH2．所以m2＋(m＋1)2＝(m＋2)2．整理，得m2－2m－3＝0．解得m1＝3，或m2＝－1（舍）．②如图3，当点H在EF上方时，AH＝AE－EH＝m－1．在Rt△ADH中，由勾股定理，得AD2＋AH2＝DH2．所以m2＋(m－1)2＝(m＋2)2．整理，得m2－6m－3＝0．解得m1＝3+m2＝3-．图1 图2 图3贾老师用四个大小、形状等完全相同的小长方形围成了一个大正方形，如果大正方形的面积为3，且m＝3n，那么图1中阴影部分的面积是______________．图1答案34．思路如下：如图1，S大正方形＝(m＋n)2＝(4n)2＝16n2＝3．所以n2＝3 16．所以S阴影＝(m－n)2＝(2n)2＝4n2＝3416＝34．已知点E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AD，过点E作AC 的垂线，交边CD于点F，那么CF的长为______________．答案4-如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，所以AC＝在Rt△CEF中，∠ECF＝45°，CE＝AC－AE＝AC－AD＝2，所以CF＝4-图1一副三角板按如图1的方式摆放，得到△ABC 和△BCD ，其中∠ACB ＝∠BDC ＝90°，∠A ＝60°，∠CBD ＝45°，若AC ＝4cm ，那么边AB 的中点E 到CD 的距离___________cm ．答案如图2，作AH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ．在Rt △ABC 中，AC ＝4cm ，∠A ＝60°，所以AB ＝8cm ，BC ＝．在等腰直角三角形AHC 中，AC ＝4cm ，所以AH ＝．在等腰直角三角形BCD 中，BC ＝，所以BD ＝．如图3，因为EF ⊥DH ，所以AH //EF //BD ．又因为E 是AB 的中点，所以F 是HD 的中点．所以EF 是梯形ABDH 的中位线，EF ＝1()2+AH BD。

2021年上海市八年级数学第二学期期末压轴题二24,25题解析5

2021年上海市八年级数学第二学期期末压轴题二24,25题解析5

2021年上海市各区初二期末压轴题图文解析各区24,25压轴题例 2021年上海市青浦区初二下学期期末第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝x －4分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，直线BC 与x 轴交于点C (－1, 0)．点D 在第四象限，BD ⊥BA ．（1）求直线BC 的解析式；（2）当S △ABD ＝4S △BOC 时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点E 在x 轴上，点F 在直线BC 上．如果以C 、D 、F 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段OE 的长．图1满分解答（1）由y ＝x －4，得A (4, 0)，B (0,－4)．设直线BC 的解析式为y ＝kx －4（k ≠0）．代入点C (－1, 0)，得－k －4＝0．解得k ＝－4．所以直线BC 的解析式为y ＝－4x －4．（2）如图2，在Rt △AOB 中，AO ＝BO ＝4，所以AB ＝ABO ＝45°． 作DH ⊥y 轴于点H ．因为BD ⊥BA ，所以△BDH 为等腰直角三角形．又因为S △ABD ＝4S △BOC ，所以11422⋅=⨯⋅AB BD OB OC ．所以1144122⨯=⨯⨯⨯BD ．解得BD ＝在等腰直角三角形△BDH 中，BH ＝DH ＝2．所以D (2,－6)．图2（3）线段OE的长为12或52．思路如下：以CE为分类标准，分两种情况讨论．①如图3，当CE为平行四边形的边时，DF//CE//x轴．所以y F＝y D＝－6．将y＝－6代入y＝－4x－4，得x＝12．所以F(12,－6)．所以CE＝DF＝2－12＝32．当点E在点C右侧时，OE＝CE－OC＝12．当点E在点C左侧时，OE＝CE＋OC＝52．②如图4，当CE为平行四边形的对角线时，D、F两点在x轴的两侧，到x轴的距离相等．所以y F＝－y D＝6．将y＝6代入y＝－4x－4，得x＝52-．所以F(52-,－6)．作DM⊥x轴于M，作FN⊥x轴于N．由ME＝CN，得2－x E＝(－1)－5 ()2 -．解得x E＝12．所以OE＝12．图3 图4如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝23，BD⊥DC．M、N分别是AD、CD的中点，联结MN交BD于点Q，点P在线段BQ上．（1）求∠C的度数；（2）求线段DQ的长；（3）联结PM、PN．设PB＝x，△PMN的面积为y，求y关于x的函数关系式．图1满分解答（1）如图2，因为AD＝AB，所以∠1＝∠2．因为AD∥BC，所以∠2＝∠3．所以∠1＝∠2＝∠3．设∠1＝∠2＝∠3＝α．因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠C＝∠ABC＝2α．在Rt△DBC中，3α＝90°．解得α＝30°．所以∠C＝2α＝60°．（2）如图3，因为M、N分别是AD、CD的中点，AD＝AB＝DC＝23，所以DM＝DN＝3．因为∠MDN＝30°＋90°＝120°，所以∠DMN＝∠DNM＝30°．在Rt△QDN中，DN＝3，设DQ＝m，那么QN＝2m．由勾股定理，得DN2＋DQ2＝QN2．所以3＋m2＝(2m)2．解得m＝±1（舍去负值）．所以DQ＝1．（3）如图2，在Rt△BCD中，∠3＝30°，DC＝23，所以BC＝43，BD＝6．如图4，作MH⊥BD于H．在Rt△MHD中，∠MDH＝30°，DM＝3，所以MH＝12DM＝32．当点P在线段BQ上时，PQ＝BD－PB－DQ＝6－x－1＝5－x．所以y＝S△PMN＝S△MPQ＋S△NPQ＝1()2PQ MH DN⋅+＝13(5)(3)22x-⨯+＝33(5)4-x．图2 图3 图4如图1，平行四边形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A(－1, 0)、B(0,－2)，顶点C、D 在反比例函数第一象限的图像上，边AD与y轴交于点E．（1）过点D作y轴的平行线交BC于点F，过点C作CH⊥DF，垂足为H，若点D的坐标为(a, b)，求点C点坐标（用a、b表示）．（2）若四边形BCDE的面积是△ABE的面积的5倍，求反比例函数的解析式．图1满分解答（1）如图2，因为DC//AB，DC＝AB，所以点D按照由A到B的方向平移，就可以得到点C．因为点A(－1, 0)向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点B(0,－2)，所以点D(a, b)平移后得到点C的坐标为(a＋1, b－2)．（2）如图2，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，AD＝BC，AD//BC．又因为DF//EB，所以四边形BEDF是平行四边形．所以EB＝DF，ED＝BF．所以AE＝CF．所以△AEB≌△CFD（SSS）．所以S△AEB＝S△CFD．若S四边形BCDE＝5S△ABE，那么S平行四边形BEDF＝4S△ABE．所以1=42⋅⨯⋅DBE x BE OA．所以x D＝2OA＝2，即a＝2．所以D(2, b)，C(3, b－2)．设反比例函数的解析式为=kyx（k≠0）．将点D(2, b)、C(3, b－2)代入，得23(2)=⎧⎨-=⎩b kb k，．解得612=⎧⎨=⎩bk，．所以反比例函数的解析式为12=yx．图2例2021年上海市世外初二下学期期末第25题如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5．点P是边AD上一点，联结CP，将四边形ABCP沿CP所在直线翻折，落在四边形EFCP的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边CF与边AD的交点为点G．（1）当AP＝2时，求PG的值；（2）如果AP＝x，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结BP并延长与线段CF交于点M，当△PGM是以MG为腰的等腰三角形，求AP的长．图1 备用图满分解答（1）如图2，因为AD//BC，所以∠1＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3．所以GP＝GC．在Rt△DCG中，DC＝2，设GC＝GP＝m，那么GD＝AD－AP－PG＝5－2－m＝3－m．由勾股定理，得DC2＋GD2＝GC2．所以22＋(3－m)2＝m2．解得m＝136．所以PG＝136．（2）如图2，在Rt△DCG中，DC＝2，PG＝CG＝5－y，所以GD＝AD－AP－GP＝5－x－(5－y)＝y－x．由勾股定理，得DC2＋GD2＝GC2．所以22＋(y－x)2＝(5－y)2．整理，得y＝221 210--xx．定义域是0＜x≤3．当x＝3时，G、D两点重合．（3）分两种情况讨论以MG为腰的等腰三角形PGM．①如图3，当MG＝MP时，梯形PBCG是等腰梯形，此时AP＝GD．所以x＝y－x，即2x＝y．所以2212210xxx-=-．解得1=x ，2=x =AP ． ②如图4，当GM ＝GP 时，CM ＝CB ＝5，此时F 、M 两点重合．又因为CP 平分∠BCF ，根据等腰三角形的“三线合一”，可知CP ⊥BF ．于是可证PG 是Rt △MPC 斜边上的中线．所以GM ＝12MC ＝52． 即y ＝221210--x x ＝52．解得x 1＝4（舍），x 2＝1．所以AP ＝1．图2 图3 图4例2021年上海市松江区初二下学期期末第25题如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，BC＝2AD，点E是BC边的中点，AE、BD相交于点F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）设边CD的中点为G，联结EG，求证：四边形FEGD是矩形．图1满分解答（1）如图2，因为点E是BC边中点，所以BC＝2EC＝2BE．因为BC＝2AD，所以AD＝EC＝BE．又因为AD∥BC，所以四边形ABED和四边形AECD是都平行四边形．（2）如图2，因为AD＝AB，所以平行四边形ABED是菱形．所以BD⊥AE，BD＝2DF．如图3，因为EG是△BCD的中位线，所以EG//BD，BD＝2EG．所以EG＝DF，四边形FEGD是平行四边形．已知BD⊥AE，所以平行四边形FEGD是矩形．图2 图3例2021年上海市松江区初二下学期期末第26题如图1，已知在正方形ABCD中，AB＝2，点E为线段AC上一点（点E不与A、C重合），联结DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）求证：DE＝EF；（2）联结CG、EG，设AE＝x，△ECG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）设EG、CD相交于点H，如果△EDH是等腰三角形，求线段AE的长．图1 备用图．满分解答（1）如图2，构造矩形DEFG 的外接矩形MNPQ ，MN ⊥AD ．所以四边形MNCD 和四边形PQDC 是矩形．因为∠3和∠1都与∠2互余，根据同角的余角相等，得∠3＝∠1．又因为MD ＝NC ＝NE ，所以△DME ≌△ENF （AAS ）．所以DE ＝EF ．图2 图3（2）如图2，因为AD ＝MQ ，所以AM ＝DQ ＝CP ．又因为PG ＝ME ，AM ＝ME ，等量代换，得CP ＝PG ．所以△CPG 是等腰直角三角形，CG ＝AE ．所以∠ECG ＝90°．在正方形ABCD 中，AB ＝2，所以AC ＝已知AE ＝x ，所以EC ＝AC －AE ＝x ，CG ＝AE ＝x ．如图3，y ＝S △ECG ＝12⋅EC CG ＝1)2⋅x x 212-x ．定义域是0＜x ＜（3）在正方形DEFG 中，∠DEH ＝45°，分三种情况讨论等腰三角形EDH ． ①如图4，当DE ＝DH 时，点A 与点E 重合，舍去．②如图5，当HD ＝HE 时，△DEH 是等腰直角三角形，点E 是AC 的中点．所以AE ＝12AC ③如图6，当ED ＝EH 时，∠EDH ＝∠EHD ＝67.5°．在△CDE 中，∠DCE ＝45°，∠EDC ＝67.5°，所以∠CED ＝67.5°．所以CE＝CD＝2．所以AE＝AC－CE＝222-．图4 图5 图6例2021年上海市杨浦区初二下学期期末第25题如图1，已知在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数kyx=（k≠0）在第一象限内的图像交于点A(m, 2)，将直线y＝2x平移后与kyx=在第一象限内的图像交于点B，且△AOB的面积为2．（1）求k的值；（2）求平移后的直线表达式．图1满分解答（1）将A(m, 2)代入y＝2x，得2m＝2．解得m＝1．所以A(1, 2)．将A(1, 2)代入kyx=，得k＝2．（2）如图2，设平移后的直线与y轴交于点P，联结AP．因为△AOP与△AOB是同底等高的两个三角形，所以S△AOP＝S△AOB＝2．所以122⋅=AOP x．已知A(1, 2)，所以OP＝4．①如图2，当点P在x轴上方时，P(0, 4)．所以平移后的直线表达式为y＝2x＋4．②如图3，当点P在x轴下方时，P(0,－4)．所以平移后的直线表达式为y＝2x－4．图2 图3考点延伸第（2）题△AOB的面积，还可以这样转化：如图4，如图5，作AG ⊥x 轴于点G ，作BH ⊥x 轴于点H ．因为A 、B 两点在反比例函数2=y x上，所以S △BOH ＝S △AOG ． 所以S △AOB ＝S △BOH ＋S 梯形AGHB －S △AOG ＝S 梯形AGHB ＝2．图4 图5例 2021年上海市杨浦区初二下学期期末第26题已知在平行四边形ABCD 中，AB ≠BC ，将△ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点E 处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：AC //DE ；（2）如图2，如果∠B ＝90°，AB BC ，求△OAC 的面积；（3）如果∠B ＝30°，AB ＝，当△AED 是直角三角形时，求BC 的长．图1 图2 备用图满分解答（1）如图3，因为△ABC ≌△AEC ，△ABC ≌△CDA ，所以△AEC ≌△CDA ． 根据全等三角形对应边上的高相等，可知E 、D 两点到AC 边的距离相等． 所以AC //DE ．（2）如图4，因为AD //BC ，所以∠1＝∠2．又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3．所以OA ＝OC ．在Rt △ODC 中，DC OA ＝OC ＝x ，那么OD ＝BC －OA x ．由勾股定理，得DC 2＋OD 2＝OC 2．所以3＋x )2＝x 2．解得x ．所以OA ＝OC ．所以S △OAC ＝1122⋅==OA DC ．图3 图4（3）分两种情况讨论直角三角形AED．①如图5，当∠EAD＝90°时，延长EA交BC于点G．因为AD//BC，所以∠EGC＝∠EAD＝90°．在Rt△AGB中，∠B＝30°，AB＝，所以AG在Rt△EGC中，∠AEC＝30°，EG＝AE＋AG＝设GC＝m，那么EC＝2m．由勾股定理，得EG2＋GC2＝EC2．所以27＋m2＝(2m)2．解得m＝±3（舍去负值）．所以BC＝EC＝2m＝6．②如图6，当∠AED＝90°时，由ED//AC，得∠BAC＝∠AED＝90°．在Rt△BAC中，∠B＝30°，AB＝，设AC＝n，那么BC＝2n．由勾股定理，得AB2＋AC2＝BC2．所以12＋n2＝(2n)2．解得m＝±2（舍去负值）．所以BC＝2n＝4．图5 图6第（3）题如果没有题干“AD与CE交于点O”的条件限制，还存在如图7、图8两种情况．如图7，四边形ACED是矩形，在Rt△ABC中，AB＝，AC BC＝3．如图8，在Rt△ADE中，AE＝，AD＝2．所以BC＝2．图7 图8例2021年上海市长宁区初二下学期期末第24题如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF//BC交AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．图1满分解答如图2，因为△ABC和△ADE都是等边三角形，所以AB＝AC，AE＝AD，∠EAD＝∠BAC＝∠C＝∠ABC＝60°．所以∠EAD－∠BAD＝∠BAC－∠BAD，即∠1＝∠2．所以△AEB≌△ADC（SAS）．所以∠ABE＝∠C＝60°．所以∠EBC＋∠C＝120°＋60°＝180°．所以EB//FC．又因为EF//BC，所以四边形BEFC为平行四边形．图2例2021年上海市长宁区初二下学期期末第25题如图1，在正方形ABCD中，AB＝1，E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上的一点，且AE＝CF，联结EF交对角线AC于点G．（1）求证：DE＝DF；（2）联结DG，求证：DG⊥EF；（3）设AE＝x，AG＝y，求y关于x的函数解析式及定义域．满分解答（1）如图2，由DA ＝DC ，∠DAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，得△EAD ≌△FCD ． 所以DE ＝DF ．图2 图3（2）如图3，作EH ⊥AB 交AC 于点H ，得等腰三角形AEH ．所以EH ＝AE ＝CF ．因为BC ⊥AB ，所以EH //BC ．所以∠HEG ＝∠CFG ．又因为∠EGH ＝∠FGC ，所以△EGH ≌△FGC ．所以HG ＝CG ，EG ＝FG ．在△DEF 中，DE ＝DF ，EG ＝FG ，由等腰三角形的“三线合一”，得DG ⊥EF ．（3）如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，所以AC在Rt △AEH 中，AE ＝HE ＝x ，所以AH ．所以HG ＝CG ＝12CH所以y ＝AG ＝AC －CG 定义域是0＜x ＜1．。

上海中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合

上海中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线233333y x x =--+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，3B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-433）、（0，233）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题3．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k（x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3．【解析】【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标， 由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6， 则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）直线CD的表达式为：y＝﹣1m（x+3），令x＝0，则y＝﹣3m，令y＝0，则x＝﹣3，故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m），则点H（﹣32，﹣32m），同理可得：点G（﹣32m，32），则GH2＝（32+32m）2+（32﹣32m）2＝（5）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.6．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，322a b b a+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x 2-4x ， 令y=0，得x 2-2x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A 的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，设P （x ，x 2-4x ）, ∵PA ⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,∴PF AF AE BE =，即244213x x x--=-， 解得，x= −1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．7．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．9．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c 分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m 为何值时，△MAB 面积S 取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标．【答案】（1）点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4；（2）当m=0时，S 取最小值，最小值为12；当m=3时，S 取最大值，最大值为5．（3）满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，12449）．【解析】【分析】（1）代入y=c 可求出点C 、P 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，再由△PCB ≌△BOA 即可得出b 、c 的值，进而可得出点P 的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F 的坐标，过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，由点M 的横坐标可得出点M 、E 的坐标，进而可得出ME 的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=﹣12（m ﹣3）2+5，由m 的取值范围结合二次函数的性质即可求出S 的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M 在线段OP 上方时，由CP ∥x 轴利用平行线的性质可得出：当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，由此可找出点M 的坐标；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，()()22304n -+-DO=DP 可求出n 的值，进而可得出点D 的坐标，由点P 、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线PD 的解析式，再联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M 的坐标．综上此题得解． 【详解】（1）当y=c 时，有c=﹣x 2+bx+c ， 解得：x 1=0，x 2=b ，∴点C 的坐标为（0，c ），点P 的坐标为（b ，c ）， ∵直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， ∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，3）， ∴OB=3，OA=1，BC=c ﹣3，CP=b ， ∵△PCB ≌△BOA ，∴BC=OA ，CP=OB ， ∴b=3，c=4，∴点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4； （2）当y=0时，有﹣x 2+3x+4=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=4， ∴点F 的坐标为（4，0），过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，如图1所示， ∵点M 的横坐标为m （0≤m≤4），∴点M 的坐标为（m ，﹣m 2+3m+4），点E 的坐标为（m ，﹣3m+3）， ∴ME=﹣m 2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m 2+6m+1， ∴S=12OA•ME=﹣12m 2+3m+12=﹣12（m ﹣3）2+5， ∵﹣12＜0，0≤m≤4， ∴当m=0时，S 取最小值，最小值为12；当m=3时，S 取最大值，最大值为5； （3）①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴， ∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ， ∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，∴n 2=（n ﹣3）2+16， 解得：n=256， ∴点D 的坐标为（256，0）， 设直线PD 的解析式为y=kx+a （k≠0）， 将P （3，4）、D （256，0）代入y=kx+a ， 342506k a k a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：2471007k a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线PD 的解析式为y=﹣247x+1007， 联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，得：2241007734y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩﹣，解得：1134x y =⎧⎨=⎩，2224712449x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴点M 的坐标为（247，12449）． 综上所述：满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，12449）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b 、c 的值；（2）利用三角形的面积公式找出S=﹣（m ﹣3）2+5；（3）分点M 在线段OP 上方和点M 在线段OP 下方两种情况求出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

最新上海初二下学期数学函数压轴题(优选.)

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上海初二数学函数压轴题1. 在梯形AB CD AD 5cmABCD 中， AD ∥BC ， ，BC=11cm ，点 P 从点 D 开始沿 DA 边以每秒 1cm 的速度 移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边以每秒 2cm 的速度移动（当点 P 到达点 A 时 ，点 P 与点 Q 同时停止移动），2 假设点 P 移动的时间为 x （秒），四边形 ABQP 的面积为 y （cm ）．（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形 ABQP 的面积与四边形 QCDP 的面积相等时 x 的值；x x （3）在移动的过程中，是否存在 使得 PQ=AB ，若存在求出所有的值，若不存在请说明理由． PADBCQ2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边 AB 上（点E 与点 A 、B 不重合），过点E 作 FG ⊥DE ，FG 与边 BC相交于点 F ，与边 DA 的延长线相交于点 G ．(1)由几个不同的位置，分别测量 BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现 BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎 样的关系？并证明你所得到的结论；x y y x (2)联结 DF ，如果正方形的边长为 2，设 AE= ，△DFG 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式， 并写出函数的定义域；5(3)如果正方形的边长为 2，FG 的长为 ，求点 C 到直线 DE 的距离．2CCDDFBAABEG（供证明计算用）（供操作实验用）（第 2 题图）3．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，CE=AE，F是AE的中点，AB = 4，BC = 8．求线段OF的长．F EA DOB C（第3题图）14已知一次函数y x4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B．梯形AOBC的边AC = 5．2（1）求点C的坐标；（2）如果点A、C在一次函数y k x b（k、b为常数，且k<0）的图像上，求这个一次函数的解析式．yBxO A（第4题图）5．如图，直角坐标平面xoy中，点A在x轴上，点C与点E在y轴上，且E为OC中点，BC//x轴，且BE⊥AE，联结AB，（1）求证：AE平分∠BAO；（2）当OE=6，BC=4时，求直线AB的解析式．yBCE。

初中数学二次函数压轴题(含答案)

初中数学二次函数压轴题(含答案)

面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.专题：压轴题；存在型．分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P 点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠０），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′＝B′B；③B′P∥A′B；④B′A′＝﹣﹣﹣﹣（10分）5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S 和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）?OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF?PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC?BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠０）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠０），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″＋F′P′＋P′C′；P′C′是点C′，C″之间的折线段，而F′C″＋F′P′＋P′C′＞C′C″，由两点之间线段最短可知：F′C″＋F′P′＋即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″＝==．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠０），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．15．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形P ACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF 的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出?P ACB，然后证明点P在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，。

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2013年上海初二数学函数压轴题 2013.2.111. 在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．CB2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．(1)由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；(2)联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．（供操作实验用）（供证明计算用）（第2题图）D ABB3．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，CE =AE ，F 是AE 的中点，AB = 4，BC = 8．求线段OF 的长．4已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC 的边AC = 5． （1）求点C 的坐标；（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y 轴上，且E 为OC 中点，BC //x 轴，且BE ⊥AE ，联结AB ，（1）求证：AE 平分∠BAO ；（2）当OE =6， BC=4时，求直线AB 的解析式．（第4题图）ABC DOEF（第3题图）6．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（2）AC = 2DG ．7．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。

（2分）ABFDEG第6题图第26题图DCB AE FP。

O8．已知一条直线b kx y +=在y 轴上的截距为2，它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，且△ABO 的面积为4．（1）求点A 的坐标；（2）若0<k ，在直角坐标平面内有一点D ，使四边形ABOD 是一个梯形，且AD ∥BO ，其面积又等于20（平方单位），试求点D 的坐标.9．在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，另一个正方形OHIG 绕点O 旋转（如图），设OH 与边BC 交于点E （与点B 、C 不重合），OG 与边CD 交于点F. （1）求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，四边形OECF 的面积是否会变化？若没有变化，求它的面积；若有变化，请简要说明理由；（3）联结EF 交对角线AC 于点K ，当△OEK 是等腰三角形时，求∠DOF 的度数.DCBA 备用图O 。

10 如图，已知矩形ABCD，过点C作∠A的角平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB、MD．求证：MB = MD．11．如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4，E是AB边上的一动点，过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M、DC于点N．（1）请判断△DMF的形状，并说明理由；（2）设EB = x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当x取何值时，S△DMF = 3 ．12．如图1，在ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE 、AC 和BE 相交于点O ．（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由． （2）如图2，P 是线段BC 上的一动点（图2），（点P 不与B 、C 重合），连PO 并延长交线段AE 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为R ．① 四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积．② 当P 在线段BC 上运动时，是否有△PQR 与△BOC 全等？若全等，求BP 的长；若不全等，请叙述理由．13,已知：如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠B =60°，点P 是射线BC 上的一个动点，∠P AQ =60°，交射线CD 于点Q ，设点P 到点B 的距离为x ，PQ =y ． （1）求证：△APQ 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果PD ⊥AQ ，求BP 的值．14．如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点，且CE CA ，联结AE ，过点C 作图１备用图图２DCF AE ⊥，垂足为点F ，联结BF 、FD .（1）求证：FBC ∆≌FAD ∆；（2）联结BD ，若35FB BD =，且10AC =，求FC 的值.FEDCBA15,A B ，两地盛产柑桔，A 地有柑桔200吨，B 地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A 、B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．（1）请填写下表后分别求出A B y y ，与x 之间的函数关系式，并写出定义域；解：（2）试讨论A B ，两地中，哪个运费较少； 解：16.,已知：正方形ABCD 的边长为28厘米，对角线AC 上的两个动点E F ，，点E 从点A 、点F 从点C 同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E 作EH ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于H ；过F 作FG ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于G ，连接HG ，EB ．设HE ，EF ，FG ，GH 围成的图形面积为1S ，AE ，EB ，BA 围成的图形面积为2S （这里规定：线段的面积为0）．E 到达C F ，到达A 停止．若E 的运动时间为x 秒，解答下列问题：（1）如图①，判断四边形EFGH 是什么四边形，并证明； （2）当08x <<时，求x 为何值时，12S S =；（3）若y 是1S 与2S 的和，试用x 的代数式表示y ．（图②为备用图） （1）解：17,如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点)3,2(-A ，与x 轴交于点B ，且与直线383-=x y 平行。

(1)求：直线l 的函数解析式及点B 的坐标；(2)如直线l 上有一点)6,(-a M ，过点M 作x 轴的垂线，交直线383-=x y 于点N ，在线段MN 上求一点P ，使PAB ∆是直角三角形，请求出点P 的坐标。

图①图②18, 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90，∠C =45º，AB =8，BC =14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF //AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，∠EPF =90º， PE =PF ，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE =x ，MN =y ．（1） 求边AD 的长；（2） 如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．（第18题）BDA CEFN MP19, 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF //BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．20, 如图，一次函数42+=x y 的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形．（1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）求直线BD 的表达式．21, 有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球， （1） 用树形图或列表法展现可能出现的所有结果； （2） 求摸到一个红球和一个白球的概率．AB C DEF （第19题）22,已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点（如图2）.求证：（1）MN ∥BC ；（2）)(21AD BC MN -=.23,已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，联结BP 、DP .（1）若将AD 顺时针旋转︒30至AP ，如图3所示，求BPD ∠的度数.（2）若将AD 顺时针旋转α度)900(︒<<︒α至AP ，求BPD ∠的度数.（3）若将AD 逆时针旋转α度)1800(︒<<︒α至AP ，请分别求出︒<<︒900α、︒=90α、︒<<︒18090α三种情况下的BPD ∠的度数（图4、图5、图6）.A B C DPM 图4 A BC DM N图2A BC D P图324, A B C D P图6 A CDPB 图525、某公路上一段道路的维修工程准备对外招标，现有甲、已两个工程队前来竟标，竟标资料显示：若由甲乙两队合作6天可以完成，共需工程费7800元，若单独完成此项工程甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费比乙队多300元。

（1）甲、乙两队单独完成各需多少天？（2）从节约资金的角度上考虑，应选哪个队单独完成？并说明理由26.如图,在△ABC 中,E 是AB 的中点,CD 平分∠ACAB,AD ⊥CD 于带点D.求证:(1)DE=BC;(2)DE=21(BC-AC).BC DE A27.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC,点P 为BC 边上一点,PE ⊥AB,BG ⊥CD,垂足分别为E,F,G. 求证:PE+PF=BG28.如图,等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.(1)求证:四边形MENF 是菱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论.29,.已知如图,在△ABC 中∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交BC 于D, CH ⊥AB 于H 交AD 于F,DE ⊥AB 于E.求证:四边形CDEF 为菱形.CAB H ED FEF BN C AD M A B PE CFG D30.如图.点P 是等腰直角三角形ABC 底边BC 上的一点,过P 作BA,AC 的垂线,垂足为E,F 设D 为BC 的中点.(1)求证:DE ⊥DF;(2)若点P 在BC 的延长线上是DE ⊥DF 吗?试证明你的结论.31,.如图,CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,AE 平分∠BAC 交C,D 于E, EF ∥AB,交AB 于点F,求证:CE=BF.32.如图, Rt △ABC 中∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,AE 平分∠BAC 交CD 于F,过F 作FH ∥AB 交BC 于H.求证:CE=BH.33.如图,梯形ABCD 中AD ∥BC,AB=AD=DC,点E 为底边BC 的中点,且DE ∥AB,试判断△ABC 的形状,并 给出证明.34.如图,已知□ABCD 中,E 为AD 的中点,CE 的延长线交BA 的延长线于点F.(1)求证:CD=FA;(2)若使∠F=∠BCF, □ABCD 边长之间还需要再添加一个什么条件?请补上这个条件,并进行证明.(不再添辅助线).B D PC AE FC AD BF E C AD B HF EB ECD A EC D35.如图所示,已知矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 为BC 上一动点(点E 不与B,C 两点重合), EF ∥BD 交AC 于点F,EC ∥AC 交BD 于点G.求证:四边形EFOG 的周长等于2OB.36,.已知一个六边形的六个内角都是120°,其连续四边的长依次是1cm,9cm,9cm,5cm,那么这个六边形的周长是多少厘米?37,.矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB,CD 的延长线分别交于E,F;(1)求证:△BOE ≌△DOF;(2)当EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 是棱形,并证明你的结论?BBC M N AD O 1cm9cm 9cm5cm38,.等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.求证: (1)四边形MENF 是棱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论?39,.如图在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.(1) 试猜想AE 与BF 有何关系?说明理由;(2) 若△ABC 的面积为23cm ,求四边形ABFE 的面积;(3) 当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由?40. 如图:棱形ABCD 中,AB=4,E 为BC 中点,AE ⊥BC,AF ⊥CD 于点F,CG ∥AE,CG 交AF 于点H,交AD 于点G.(1)求棱形ABCD 的度数.(2)求∠GHA 的度数.41,.已知:如图,正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N.(1)求证:MD=MN;(2)若将上述条件中“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“MD=MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.乙甲 CF E B D A N M F E C B A C F D E B A GH42. 如图:∠MON=90°,在∠MON 的内部有一个正方形AOCD,点A,C 分别在射线OM,ON 上,点1B 是ON 上的任意一点,在∠MON 的内部作正方形D C AB 11.(1) 连接D D 1,求证: 901=∠ADD ;(2) 连接C C 1,猜一猜, CN C 1∠的度数是多少?并证明你的结论;(3) 在ON 上再任取一点2B ,以2AB 为边,在∠MON 的内部作正方形D C AB 22,观察图形,并结合(1),(2)的结论,请你再做出一个合理的判断.43. 已知:如图,在□ABCD 中,E,F 分别为边AB,CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G.(1)求证:△ADE ≌△CBF;(2)若四边形BEDF 是棱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.44.已知:如图, □ABCD 中,AB ⊥AC,AB=1,BC=5,对角线AC,BD 交于点0,将直线AC 绕0顺时针旋转,分别交BC,AD 于点E,F.(1) 证明:当旋转角为 90时,四边形ABEF 是平行四边形;(2) 试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;(3)试说明在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由.并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.M A O D C N1B 1D 1C A45. 已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形。

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