线性代数同济大学第五版课件4-5
线性代数(第五版)课件
• 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就 是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果 你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞 图像处理，大量的图像数据处理更离不开 矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量 的后期电脑制作没有线代的数学工具简直 难以想象。
• 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计 算机计算出了由美国统计局的25万条经济数 据所组成的42个未知数的42个方程的方程组， 他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。
这些模型通常都是线性的，也就是说，它们
是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫 “投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了 1973年的诺贝尔经济学奖。
• 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一 个重要议题是线性规划。许多重要的管理 决策是在线性规划模型的基础上做出的。 线性规划的知识就是线代的知识啊。比如， 航空运输业就使用线性规划来调度航班， 监视飞行及机场的维护运作等；又如，你 作为一个大商场的老板，线性规划可以帮 助你合理的安排各种商品的进货，以达到 最大利润。
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
二、线性代数的课程特点
高度的抽象性和严密逻辑性,并缺乏直观 的思维模型.
开设时间为大一、大二年级. 线性代数课时短, 内容多. 理论多, 例题少.
同济大学线性代数第四章PPT课件
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
线性代数同济大学第五版课件4-5PPT课件
三、向量的坐标
定义 8 如果在向量空间 V 中取定一个基
a1 , a2 , ···, ar , 那么 V 中任一向量 x 可唯一地表 示为
x = 1a1 + 2a2 + ···+ rar , 数组 1 , 2 , ···, r 称为向量 x 在基 a1 , a2 , ···, ar
V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间.
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例如： 由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成的向量空间
L ={ x = 1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, ···, m R }, 显然向量空间 L 与向量组 a1 , a2 , ···, am 等价, 所以向量组 a1 , a2 , ···, am 的最大无关组就是L 的 一个基, 向量组 a1 , a2 , ···, am 的秩就是 L 的维数.
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即基变换公式为
(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P , 其中表示式的系数矩阵 P = A-1B 称为从旧基到
新基的过渡矩阵.
设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为
y1 , y2 , y3 和 z1 , z2 , z3 ，即
y1
z1
x (a1, a2 , a3 ) y2 , x (b1, b2 , b3 ) z2 ,源自例 20 齐次线性方程组的解集
S = { x | Ax = 0 }
因为由齐次线性方程组的解的性质1、2，
即知其解集 S 对向量的线性运算封闭.
S是一个向量空间，
称为齐次线性方程组的解空间.
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线性代数(同济大学第五版)线性方程组讲义、例题
第四章 线性方程组本章以矩阵的理论作为工具,研究线性方程组有解的条件及其解法.§1 线性方程组的几种表示一、一般形式n m ⨯的齐次线性方程组的一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1） 二、向量形式n m ⨯的齐次线性方程组的向量形式为βααα=+++n n x x x 2211,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mi i i i a a a 21α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b 21β.三、矩阵形式n m ⨯的齐次线性方程组的矩阵形式为β=Ax其中n m ⨯矩阵][ij a A =是方程组的系数矩阵,T n x x x x ],,,[21 =是n 维未知数向量,特别地,当0=β时,0=Ax 称为齐次线性方程组,而当0≠β时,β=Ax 称为非齐次线性方程组,并称0=Ax 为β=Ax 的导出组.§2 齐次线性方程组的解任何一个齐次线性方程组一定有解,因为当021====n x x x 就是它的一个解,通常称为零解或平凡解.一、齐次线性方程组有非零解的充分（或必要）条件(1) 0=Ax 有非零解的充分必要条件是A 的列向量组相性相关 (2) 若方程个数小于未知向量个数,则0=Ax 必有非零解.(3) 当n m =,即A 为方阵时,则0=Ax 有非零解的充分必有条件是.0=A二、齐次线性方程组解的性质性质 1 如果 1ξ=x ,2ξ=x 是方程组0=Ax 的解,那么21ξξ+=x 也是方程组0=Ax 的解.性质 2 如果是1ξ=x 方程组0=Ax 的解,k 为实数,那么也1ξk x =是方程组0=Ax 的解.推论：如果m ξξξ,,,21 都是方程组0=Ax 的解,m k k k ,,,21 是常数,那么m ξξξ,,,21 的线性组合m m k k k ξξξ+++ 2211也是方程组0=Ax 的解.性质3 n 维向量ξ是n 齐次线性方程组0=Ax 的解,ξ一定与A 的每一个行向量均正交.由于0=ξ必是0=Ax 解向量,所以有性质1、2可知0=Ax 全体解向量的集合对于通常意义上的向量加法和数乘运算可构成向量空间,称为解空间.三、齐次线性方程组解的结构设s ξξξ,,,21 是0=Ax 的一组线性无关解向量,如果0=Ax 的任一解向量均可由s ξξξ,,,21 线性表示出,则称s ξξξ,,,21 为0=Ax 的解空间的一个基.亦即是0=Ax 的一个基础解系.对于0=Ax ,若n r A R <=)(,则下面将证明0=Ax 的基础解系,并给出了求基础解系的方法:不妨设A 的前r 个列向量线性无关,则A 经若干初等变换可得行最简形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--000000001001,1,111r n r r r n b b b b B0=Bx 与0=Ax 同解,而0=Bx ,即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=-+-+-+nr n r r r n n r n r n r n r x b x b x x b x b x x b x b x ,11,21212,11111其中n r r x x x ,,,21 ++称为自由未知数,显然任给自由未知数的一组值,由上即可唯一确定r x x x ,,,21 的值,于是就得0=Bx 的一个解,也就是0=Ax 的一个解,现在分别取.100,,010,00121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ n r r x x x （n r r x x x ,,,21 ++的r n -组取值形式线性无关的向量组）可得0=Ax 的r n -个线性无关的解向量.,0011111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= r b b ξ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0012122 r b b ξ,, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-100212 r r n b b ξ下面证明0=Ax 的任一解向量()T n r r ,,1,21,,,,λλλλλξ +=均可由r n -ξξξ,,,21 线性表示.作向量r n n r r -+++++=ξλξλξλη 2211则由于r n -ξξξ,,,21 是0=Ax 的解,所以η也是0=Ax 的解,而η的后面r n -个分量与ξ的刚好对应相等,于是知η与ξ的前r 个分量也对应相等,所以ξη=,即r n n r r -+++++=ξλξλξλξ,2,211所以,r n -ξξξ,,,21 是0=Ax 的一个基础解系,亦即是解空间的一个基,从而知解空间的维数是r n -,此时,0=Ax 的解向量可表示为r n n k k k x -+++=ξξξ 2211,其中r n k k k -,,,21 为任意常数,此式称为=Ax 的通解,而解空间可表示为|{2211r n n k k k x -+++=ξξξ },,,21R k k k r n ∈- .例1 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++,0,0,0543321521x x x x x x x x x 的基础解系.解：设系数矩阵为A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010001010010011~111000*********A25125545322521,0c x c x x x x x x x x x x x ==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==--=∴令∴基础解系为：。
线性代数课件(完整版)同济大学
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
4 6 32 4 8 24 14.
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 得
x 2 或 x 3.
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
例1
求解二元线性方程组
3 x1 2 2 x1
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 a44
线性代数(同济版第五版)经典课 4章
线性代数课件--同济大学
用 k 乘第 i 行： 用 k 乘第 i 列：
ri k ci k
“运算性质”
12 3
24 6
1 0 1 2 r1 1 1 0 1
2
01 1
01 1
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。
24 6 12 3 1 0 1 21 0 1 01 1 01 1
性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
对角线法则:
主对角线
a11 a12 a21 a22
副对角线
a11a22 a12a21
例. 解方程组
32x1x1 2
x2 x2
12 1
解： D 3
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 7
3
a11 0 0
a
D
21
a 22
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann
(3) 对角行列式
a11
D
a22
a a11 22 ann
ann
(4) 副对角行列式
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是一个向量空间. 因为若 x1 =1a +1b, 则有 x2 =2a +2b ，
x1 + x2 = (1+2)a + ( 1 + 2 )b L, kx1 = (k1)a + (k1)b L .
这个向量空间称为由向量 a , b 所生成的向量空间.
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一般地, 由向量组 a1 , a2 , · , am 所生成的向量 · ·
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三、向量的坐标
定义 8 如果在向量空间 V 中取定一个基
a1 , a2 , · , ar , 那么 V 中任一向量 x 可唯一地表 · · 示为 x = 1a1 + 2a2 + · + rar , · · 数组 1 , 2 , · , r 称为向量 x 在基 a1 , a2 , · , ar · · · · 中的坐标.
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二、向量空间的基与维数
定义 设有向量空间 V1 及V2 , 若 V1 V2,
就称 V1 是 V2 的子空间. 例如任何由 n 维向量所组成的向量空间 V, 总有 V Rn , 所以这样的向量空间总是 Rn 的子
空间.
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定义 7 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量
a1 , a2 , · , ar V , 且满足 · ·
L2={ x= 1b1 + 2b2 + · + sbs | 1, · , s R }, · · · ·
试证 L1 = L2 .
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证明 设 x L1 , 则 x 可由 a1 , · , am 线性表示. · ·
因 a1 , · , am 可由 b1 , · , bs 线性表示, · · · · 故 x 可由 b1 , · , bs 线性表示, 所以 x L2 . · · 因此 L1 L2 . 类似地可证, L2 L1 . 因为 L1 L2 , L2 L1 , 所以 L1 = L2 .
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例 20
齐次线性方程组的解集 S = { x | Ax = 0 }
因为由齐次线性方程组的解的性质1、2， 即知其解集 S 对向量的线性运算封闭. S是一个向量空间， 称为齐次线性方程组的解空间.
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例 22
集合
设 a , b 为两个已知的 n 维向量， L = { x = a + b | , R }
即基变换公式为
(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P ,
其中表示式的系数矩阵 P = A-1B 称为从旧基到
新基的过渡矩阵. 设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为 y1 , y2 , y3 和 z1 , z2 , z3 ，即
y1 z1 x ( a1 , a2 , a3 ) y2 , x (b1 , b2 , b3 ) z 2 , y z 3 3
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例 18 集合
V = { x = (0, x2 , · , xn)T | x2 , · , xn R } · · · · 若 a = ( 0 , a2 , · , an )T V, · ·
b = ( 0 , b2 , · , bn )T V , 则 · · a + b = ( 0 , a2 + b2 , · , an + bn)T V , · ·
空间为 L={x=1a1 + 2a2 + · + mam | 1, 2 , · , m R }. · · · ·
例 23 设向量组 a1 , · , am与向量组 b1, · , bs · · · ·
等价, 记
L1={ x= 1a1 + 2a2 + · + mam | 1, · , m R }, · · · ·
(i) a1 , a2 , · , ar 线性无关; · ·
(ii) V中任一向量都可由 a1 , a2 , · , ar 线性 · ·
表示.
那么,向量组 a1 , a2 , · , ar 就称为向量空间 · · V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间.
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例如：
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特别地，在 n 维向量空间 Rn 中取单位坐标 向量组 e1 , e2 , · , en 为基，则以 x1 , x2 , · , xn 为 · · · · 分量的向量 x ，可表示为 x = x1e1 + x2e2 + · + xnen , · ·
可见向量在基 e1 , e2 , · , en 中的坐标就是该向 · ·
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y1 z1 z1 y1 1 故 A y2 B z 2 , 得 z 2 B A y2 , 即 y z z y 3 3 3 3 z1 y1 1 z2 P y2 . z y 3 3
a = ( 0 , a 2 , · , a n ) T V . · ·
V是一个向量空间.
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例 19
集合
V = { x = (1 , x2 , · , xn )T | x2 , · , xn R } · · · · 若 a = (1 , a2 , · , an )T V , 则 · · 2a = (2 , 2a2 , · , 2an )T V. · · V不是向量空间.
B 变为 X = A-1B.
2 1 1 4 2 ( A | B) 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
1 0 0 初等行变换 0 1 0 0 0 1
4 / 3 2/3 1 . 1 2 / 3 2/3
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因为 A ~ E，所以 a1 , a2 , a3 为 R3 的一个基，且
验证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基, 并求 b1 , b2 在这 个基下的坐标.
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解 要证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基, 只要证
a1 , a2 , a3 线性无关, 即只要证 A ~ E . 设 b1 = x11a1 + x21a2 + x31a3 , b2 = x12a1 + x22a2 + x32a3 ,
x11 (b1,b2 ) ( a1,a 2 ,a3 ) x21 x 31
记作 B = AX .
x12 x22 , x32
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对矩阵( A , B ) 施行初等行变换, 若 A 能变为
E, 则 a1 , a2 , a3 为 R3 的一个基, 且当 A 变为 E 时,
由向量组 a1 , a2 , · , am 所生成的向量空间 · · L ={ x = 1a1 + 2a2 + · + mam | 1, · , m R }, · · · · 显然向量空间 L 与向量组 a1 , a2 , · , am 等价, · · 所以向量组 a1 , a2 , · , am 的最大无关组就是L 的 · · 一个基, 向量组 a1 , a2 , · , am 的秩就是 L 的维数. · ·
· · 量的分量. 因此，e1 , e2 , · , en 叫做 Rn 中的
自然基.
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例 24 设
1 4 2 2 1 A (a1,a2 ,a3 ) 2 1 2 , B (b1,b2 ) 0 3 , 1 2 2 4 2
2 1
4 / 3 1 . 2 / 3
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例 25 在 R3 中取定一个基 a1 , a2 , a3 ，再
取一个新基 b1 , b2 , b3 ，设 A = (a1 , a2 , a3) , B = (b1 , b2 , b3) . 求用 a1 , a2 , a3 表示 b1 , b2 , b3 的表示式(基变换公式)，并求向量在两个基中
的坐标之间的关系式(坐标变换公式) .
解 (a1 , a2 , a3) = (e1 , e2 , e3)A，
(e1 , e2 , e3) = (a1 , a2 , a3)A-1， 故 (b1 , b2 , b3) = (e1 , e2 , e3)B = (a1 , a2 , a3)A-1B ,
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这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式.
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第五节
主要内容
向 量 空 间
向量空间的定义 向量空间的基与维数
向量的坐标
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一、向量空间的定义
定义 6 设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V
非空, 且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭, 那 那么就称集合 V 为向量空间. 所谓封闭, 是指在集合 V 中可以进行加法及 数乘两种运算. 具体地说, 若 a V, b V, 则 a + b V; 若 a V, R, 则 a V.