基本不等式完整版(非常全面)43185

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若a,b R，则a2+b22ab

2）若a,b R，则ab a2+ b2

2

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若a,b R*，则a+b 2 ab

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若a,b R*，则a+2b ab

2）若a,b R*，则ab a+b

2

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a = b时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论（1）若x0，则x+1 2 （当且仅当x=1时取“=”）

x

（2）若x0，则x+1-2 （当且仅当x = -1时取“=”）

x

（3）若ab 0，则a + b 2 （当且仅当a = b时取

“=”）ba

（4）若a,b R，则ab（a+b）2a +b

22

（5）若a,b R*，则1ab a+b a +b

1 1ab

2 2

ab 特别说明：以上不等

式中，当且仅当a = b时取“=” 6、柯西不等式（1）若a,b,c,d R，则（a2+b2）（c2

+d2）（ac+bd）2

2)若a1,a2,a3,b1,b2,b 3 R，则有：

(a2+a2+a2)( b2+b2+b2)(ab +a b +ab )2

(3)设a1,a2,,a n与b1,b2,,b n是两组实数，则有

(a12+a22++a n2)(b12+b22++b n2) (a1b1+a2b2

++a n b n)2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等

式

1、设a,b均为正数，证明不等式: ab≥ 2 1+1 ab

2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：

a2+b2+c2ab + bc + ca

3、已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c 213

4、已知a,b,c R+，且a+b+c=1

(1-a)(1-b)(1-c ) 8abc

5、已知a,b,c R+，且a+b+c=1

求证：

求证：

6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,证明: 题型二：利用不等式求函数值域

1、求下列函数的值域

1

（1） y = 3 x +

（2） y = x （4 -

x ）

(Ⅰ) ab + bc + ca

;

3

(Ⅱ)a 2+b 2+c 2

1.

bca

(3) y = x + 1( x

0) x

(4) y = x + 1( x

0)

x

题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）

4

1、已知x

2 ，求函数y =2x -4+

的最小值；

2x -4

7、（2013 年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知a

b

0，求证:2a 3 -b 3 2ab 2 -a 2b

变式2：已知x

2 ，求函数y =2x + 4 的最大值；

2x -4

变式 1： 已知 x

2，

求函数 y =2x + 4 的最小值；

2x -4

练习：1、已知x 5 ，求函数 y =4x -2+ 1 的最小值； 4 4x -5

2、已知x

5 ，求函数 y =4x -2+ 1 的最大值；

4

4x -5

变式：若0x 4，求y = x (8 - 2x ) 的最大值；

1、当 时，求 y = x (8- 2x ) 的最大值； 3、求函数y = 2x -1+ 5- x 5)的最大值；

(提示：平方，利用基本不等式)

变式1：当

时，求y =4x (8-2x )的最大值；

变式：求函数y = 4x -3+ 11-4x (3 x 11)的最大值；

变式2：设0

x 3 ，求函数y =4x (3-2x )的最大值。

2、若0 x 2，求y = x (6-3x ) 的最大值；

题型四：利用不等式求最值 (二)(凑系数)

题型五：巧用“1”的代换求最值问题

1、已知a,b 0,a + 2b =1，求t = 1+ 1的最小值；ab 法一：

19

变式4：已知x,y0，且1+9=4，求x+y的最小值；

xy

法二：

变式1：已知a,b0,a+2b=2，求t = 1+ 1的最小值；

ab

28

变式 2：已知x, y0, 2+ 8= 1

xy

求xy的最小值；

变式3：已知x,y0，且1+ 1=9，求x+ y的最小值。

xy 变式 5：

（1）若x,y0且2x+ y =1，求1+ 1的最小值；xy （2）若a,b,x,y R+且a+b =1，求x+ y的最小值；

xy

变式 6：已知正项等比数列a n满足：a7= a6+ 2a5，

若

存在两项a m, a n，使得a m a n = 4a1，求1+ 4的最小值；

m n m n 1

m n