1991考研数三真题与解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xyz e=则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()()n fx 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1xx e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤=则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nn n a ∞=-∑(C)1n ∞=21(1)n n n a ∞=-∑(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1n A λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x xnxxx e e e n →⎛⎫+++⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y 轴与曲线1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxyx y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)xf x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一? (3) β不能由123,,ααα线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T nT T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中Ti α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分5分) 设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xyexy ydx xdy +【解析】方法一：先求出两个偏导数z x ∂∂和z y∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xyxy xy z e xy y ye xy xze xy x xe xy y∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂sin cos ()xyexy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f ag b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =.(3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x xx xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x fx =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x fx =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填110B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭. (5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xx e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x t t+→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===.故选项(A)正确. (2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n a n n==,则可知 (A) 11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 111212n n n n∞∞∞=====∑ 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.(4)【答案】(D) 【解析】A B AB =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n xe→+++-=,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有 20ln()ln limx x nx x e e e n x→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++.所以 11220lim n xxnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y x x nx xxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.而10lim(1)y y y e →+=,所以01limlim (1)x y y xyx x y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=2000111111lim lim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.由1x y a b +=,得21x y b a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 因此 ()()22412120001122b x aab x aaaDb x I ydxdy dx ydy dx y dx a --⎛⎫⎡⎤====- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 令1x t a=-,有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故 422040112(1)22a b x b I dx t a t dt a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du xdx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+将yu x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 11x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111a aS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以22331a=⋅+,即12a +=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦2211223202120051395p .p p .p =-+--.由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦2211228051602035q q q q =-+--.由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0xf x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞. 方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x xx→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x'=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)xξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01xf x x x x'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦.若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为 2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TTn n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2TTD A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),D x y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩DS 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,))f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx -=⎰.故22,rrEX r π-=⎰22rrEY rπ-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏.。