运筹学课件OR_6_整数线性规划

1. 各分支的最优目标函数中若有小于下界者，则剪掉这支(用打×表示) ，即以后不再考虑了。若大于下界，且不符合整数条件，则再进行分 支(步骤3.1)。一直到最后得到得最优整数解为止。
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Ex. 分支定界法
9 7 x x 1 1 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 9 7 5 5 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 x x 2 2 1 3 1 5 7 2 0 1 .1 5 .7 7 5
分支定界解法
在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首先 容易想到的方法就是穷举所有可行的整数解，然后比 较它们的目标函数值，从而确定最优解。
对于规模较小的问题，变量个数很少，可行解的组合数也较 小时，这个方法是可行的，也是有效的。
对于大型问题，可行的整数组合数会很大。
适合的解法应是仅检查可行的整数组合的一部分，来 找出最优的整数解。分支定界解法就是其中之一。
最优解是x1=5, x2=1.57, z=341
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分支定界解法
B4问题的最优解比我们的下界差， 故不须再进行讨论。
而B2问题的最优解比下界好，有 可能会存在较佳的整数解，因此
需要继续讨论。
最优解是x1=1.42, x2=3, z=327
最优解是x1=4, x2=2, z=340
分支定界法求解步骤(最大化)
将要求解的整数线性规划问题称为问题A，将与它相 应的线性规划问题称为问题B：
1. 解问题B，可能得到以下情况之一：
1. B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止。 2. B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解
，则停止。 3. B有最优解，但不符合问题A的整数条件，则它为目标的上界。
分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问题。20世 纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是解整数线性规划 的重要方法之一。
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分支定界解法的基本思想
考虑最大化整数线性规划问题A，与它相应的线性规 划记为问题B。
我们从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那 么B的最优目标函数必是A的最优目标函数值z*的上界。
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Ex. 整数线性规划
用舍去尾数的化整，可得 到整数可行解是x1=4, x2=0， z=80, 但它不是可优解。
将线性规划的最优解经过“化整” 来解整数线性规划，虽是最容易想 到的，但常常得不到整数线性规划 的最优解，甚至根本不是可行解。
Ex. 机器台数、工作人数或装货车数。
为满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到 的带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可以了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解；或 虽是可行解，但不一定是最优解。
这种求最优整数解的问题，须要另行研究，这样的问 题则称为整数线性规划 (integer linear programming, ILP)。
我们在B1问题以x2来分析，找出 接近的整数，并把不含整数的部 份去掉。
新问题的最优值再要重新确认。
因为B3问题已为整数解，它会是 我们整数规划问题的下界。
最优解是x1=5, x2=1.57, z=341
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分支定界解法
所以，可以断定问题B3的解x1=4, x2=2, z=340会是最优整数解。
这个整数规划问题的最优解应为 x1=4, x2=1, z=90，目标函数的差 额是因变量不可分所造成的。
在不考虑整数条件，所得到的最 优解是x1=4.8, x2=0, z=96
用化整的方式，很容易找到 最接近的整数解是x1=5, x2=0， 但它不是可行解。
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1. 将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。 不考虑整数条件求解这两个后继问题。
2. 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果，比较所有分支问题 的解，找出最优目标函数值最大者作为新的上界 。从已符合整数条 件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界 。
2. 比较与剪支
而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界。 分支定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分支)的方法
，逐步减小上界和增大下界，最终求到z*。
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分支定界解法
在不考虑整数条件，所得到的最
优解是x1=4.81, x2=1.82, z=356。 在增加整数条件后，最优解不可
最优Hale Waihona Puke 是x1=4, x2=2, z=340
我们在B2问题以x2来分析，找出 接近的整数，并把不含整数的部 份去掉。 新问题的最优值再要重新确认。 B5问题的最优解比我们的下界差， 故不须再进行讨论。 B6问题无可行解。
最优解是x1=5.44, x2=1, z=308
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整数线性规划
Operations Research, Spring 2016, C.-J. Chang
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整数线性规划问题的提出
在前面讨论的线性规划问题中，有些最优解可能是分 数或小数，但对于某些问题，常要求解必须是整数(称 为整数解)。
2. 用观察法找问题A的一个整数可行解，
1. 可取xj=0, j=1, …, n，求得其目标函数值，则它为目标的下界。 2. 目标函数值会落于上界与下界之间。
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分支定界法求解步骤(最大化)
3. 进行迭代
1. 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj ，以［bj］表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件xj≤［bj］和 xj≥［bj］+1
能比它更好，它是我们的上界。
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分支定界解法
继续分解问题，因为B1问题目前 的最优解较好，故先分解B1问题。
最优解是x1=4, x2=2.1, z=349
我们以x1来分析，找出接近的整 数，并把不含整数的部份去掉， 将可行域分成两部份，这个动作 就是分支。
原先最优解的部份已被我们删去， 新问题的最优值会改变，须要重 新确认，这叫作定界。