2020年华中师范大学一附中中考数学押题卷 (解析版)

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押题卷05-决胜2020年中考数学押题卷(全国通用)(解析版)

押题卷05一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是( )A.B. C. D.【答案】 C【解析】A.主视图是3个正方形，左视图是两个正方形，俯视图是5个正方形，故本选项不合题意；B.主视图是2个正方形，左视图是3个正方形，俯视图是4个正方形，故本选项不合题意；C.三视图都相同，都是有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2；符合题意；D.主视图和俯视图相同，有两列，从左到右正方形的个数分别为：2、1；左视图有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2，故本选项不合题意．故选C ．2.点M (−sin60°,cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是( )A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 B⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21,23 C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--21,23 D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--23,21 【答案】C【解析】∵ 点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23 ∴点M 关于x 轴对称的点的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,23 故选C ．3.已知函数y =(k -1)x 2-4x +4与x 轴只有一个交点，则k 的取值范围是( ) A. k ⩽2且k ≠1 B. k ＜2且k ≠1 C. k =2 D. k =2或1 【答案】D【解析】当k -1=0，即k =1时，函数为y =-4x +4，与x 轴只有一个交点；当k -1≠0，即k ≠1时，令y =0可得(k -1)x 2-4x +4=0由函数与x轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即(-4)2-4(k-1)×4=0解得k=2，综上可知k的值为1或2 ，故选D．4.已知如图△ABC，点D,G分别在AB,CD上，GE//AB，GF//BC分别交BC,AC于E,F，GE=GF，AB=6,BC=4 ，则AD=( )A. 3.5B. 3.6C. 3D. 2.4【答案】B【解析】：如图，作DM//FG交AC于点M，∵FG//DM，EG//BD，∴△CFG∽△CMD，△CGE∽△CDB，∴FG:MD=CG:CD,EG:BD=CG:CD∴FG:MD=EG:BD，∵GE=GF，∴MD=BD，设AD=x.则MD=BD=6−x，∵GF//BC,FG//DM，∴MD//BC，∴△AMD∽△ACB，即(6−x ):4=x :6 ，解得：x =3.6．故选B ．5.若关于x 的一元二次方程ax 2+bx −1=0(a ≠0)有一根为x =2019，则关于x 的一元二次方程a (x −1)2+b (x −1)=1必有一根为( ) A20191B. x =2020C. x =2019D. x =2018 【答案】B【解析】对于一元二次方程a (x −1)2+b (x −1)−1=0 设t =x −1，所以at 2+bt −1=0，而关于x 的一元二次方程ax 2+bx −1=0(a ≠0)一根为x =2019 所以at 2+bt −1=0有一个根为t =2019，则x −1=2019，解得x =2020，所以一元二次方程a (x −1)2+b (x −1)=1必有一根为x =2020 故选B ．6.如图，在平行四边形ABC D 中，E 是CD 上的一点，DE ︰EC =2︰3，连接AE ，BE ,BD,且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于( )A. 2︰5︰25B. 4︰9︰25C. 2︰3︰5D. 4︰10︰25 【答案】D【解析】根据图形知：△DEF 的边DF 和△BFE 的边BF 上的高相等，并设这个高为h ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵DE：EC=2：3 ，∴DE：AB=2 ：5 ，∵DC//AB，∴△DEF∽△BAF，∴52,2542===⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆BFDFABDEABDESSABFDEF∴104522121====∆∆BFDFBFhDFhSSEBFDEF∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4 ：10：25，故选D．7.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度) ，把一根长5m的竹竿ACAC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为( )A43B 3 C53D 4【答案】B【解析】如图，过C作CF⊥AB于F，则DE//CF，∴AD:AC=DE:CF，即1:5=0.6:CF解得CF=3，∴Rt △ACF 中，AF =43522=- 又∵AB =3 ∴BF =4−3=1， ∴石坝的坡度为313==BF CF 故选B ．8.如图，在矩形ABC D 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（）A ．313 B ．29 C ．3134 D ．52【解答】解：连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABC D 中，∵∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点， ∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°， ∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形， ∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2， ∴DE ＝3，∵DM 是⊙O 的切线， ∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ， ∴CM ＝5﹣2﹣MN ＝3﹣MN ，在Rt △DM C 中，DM 2＝CD 2+CM 2， ∴（3+NM ）2＝（3﹣NM ）2+42，∴NM ＝34， ∴DM ＝3+34＝313，故选：A ．9.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC =2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC,DC 于点M,N .若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )Aa 32 B 241a C 295a D 294a 【答案】D【解析】如图，过E 作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD =90° ，又∵∠EPM =∠EQN =90° ， ∴∠PEQ =90° ， ∴∠PEM +∠MEQ =90° ， ∵三角形FEG 是直角三角形， ∴∠NEF =∠NEQ +∠MEQ =90° ， ∴∠PEM =∠NEQ ，∵AC 是∠BCD 的角平分线，∠EPC =∠EQC =90° ， ∴EP =EQ ，四边形PCQE 是正方形，在△EPM 和△EQN 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EQN EPM EQ EP QEN PEM∴△EPM ≌△EQN (ASA ) ∴S △EQN =S △EPM ，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQ 的面积， ∵正方形ABCD 的边长为a ， ∴AC =2a ， ∵EC =2AE ， ∴EC =322a ∴EP =PC =32a ∴正方形PCQE 的面积=32a ×32a =294a ∴四边形EMCN 的面积=294a ，故选D ．10.如图，在直角坐标系中有线段AB ，AB =50cm ，A,B 到x 轴的距离分别为10cm 和40cm ，B 点到y 轴的距离为30cm ，现在在x 轴、y 轴上分别有动点P ,Q ，当四边形P ABQ 的周长最短时，则这个值为( )．A 50B 550C ()1550- D ()1550+【答案】D【解析】过B 点作BM ⊥y 轴交y 轴于E 点，截取EM =BE ，过A 点作AN ⊥x 轴交x 轴于F 点，截取NF =AF ，连接MN 交x,y 轴分别为P ,Q 点，过M 点作MK ⊥x 轴，过N 点作NK ⊥y 轴，两线交于K 点．MK =40+10=50，作BL ⊥x 轴交KN 于L 点，过A 点作AS ⊥BP 交BP 于S 点． ∵LN =AS =()4010405022=--∴KN =60+40=100． ∴MN =550105022=+∵MN =MQ +QP +PN =BQ +QP +AP = 550 ∴四边形P ABQ 的周长=550+50 故选D ．二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)11.如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则其中每一个小长方形的面积为______ cm 2．【解答】解：设一个小长方形的长为x cm ，宽为y cm ，则可列方程组⎩⎨⎧=+=+x y x y x 2312，解得⎩⎨⎧==39y x ．则一个小正方形的面积=3cm×9cm=27cm 2 故答案为27；12.如图，EB ，EC 是⊙的两条切线，与⊙O 相切于B ，C 两点，点A ，D 在圆上．若∠E =46°，∠DCF =32°，则∠A 的度数是______°【解答】解：∵EB ，EC 是⊙O 的两条切线， ∴EB =EC∴∠ECB =∠EBC ， ∴∠ECB =21(180°−∠E )=21×(180°−46°)=67° ∴∠BCD =180°−∠ECB −∠DCF =180°−67°−32°=81° ∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠A +∠BCD =180°， ∴∠A =180°−81°=99°．故答案为99；13.已知二次函数y =ax 2+2ax +3a 2+3(其中x 是自变量)) ，当x ⩾2时，y 随x 的增大而增大，且−2⩽x ⩽1时，yy 的最大值为9 ，则a 的值为【解析】y =ax 2+2ax +3a 2+3=a (x +1)2+3a 2−a +3， ∴对称轴为x =−1．∵当x ⩾2时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＞0．∵−2⩽x ⩽1时，yy 的最大值为9，∴结合对称轴及增减性可得当x =1时，y =9，代入得4a +3a 2−a +3=9 ，解得a 1=1，a 2=−2(不合题意，舍去)) ， ∴a =1．14.如图，在平面直角坐标系中，点E (10,0) ,F (0,5) ,A (−1,0) ,D (0,2) ，四边形ABCD 为菱形，且点B,C 都在第二象限，向右平移菱形ABCD ，平移的距离为d .当点B 在△EOF 的边上及内部时，d 的取值范围是【答案】15+＜d ＜5211-【解析】因为点A 的坐标为(−1,0) ，点D 的坐标为(0,2) ，所以AD =5又四边形ABCD 是菱形，所以AB =AD =5，所以点B 在以点A 为圆心，5为半径的圆上．设点B 的坐标为(a,b ) ．又点B,C 都在第二象限内，所以点B 的横坐标a 的取值范围为15--＜a ＜−1 ．又点E 的坐标为(10,0) ，点F 的坐标为(0,5) ，所以直线EF 的函数表达式为y =21-x +5 当a =−1时，点B 的坐标为(−1,5)则点B 平移到直线EF 上时，对应点B ′的坐标为(10−25,5) 所以d 的取值范围为0−(−1)⩽d ⩽10−25−(−1),即1⩽d ⩽5211- 当a =15--时，点B 的坐标为(15--,0) ，所以d 的取值范围为15+⩽d ⩽511+ 综上，d 的取值范围为15+＜d ＜5211-． 15.如图，P 为反比例函数xky =(k ＞0) 在第一象限内图象上的一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交一次函数y =-x -4的图象于点A ，B.若∠AOB =135°，则k 的值是【解析】如图所示，过B作BF⊥x轴于F，过A作AD⊥y轴于D，∵一次函数y=−x−4中，令x=0，则y=−4；令y=0，则x=−4∴OG=4=OC，∴∠OGC=∠OCG=45°，∴△COG、△BFG和△ACD都是等腰直角三角形，∴BG=2BF，AC=2AD=，∵∠AOB=135°，∴∠OBG+∠OAB=45°，又∵∠OBG+∠BOG=45°，∴∠BOG=∠BAO，同理可得∠AOC=∠ABO，∴△AOC∽△OBG，∴AC：OG=OC：BG，即AC•BG=OG•OC=16设P(m,n)则BG=2BF=2n，AC=2AD=2m∴2m×2n=16，即mn=8∴k =mn =8三解答题(共11小题,计75分.解答应写出过程)16.(本小题满分4分)计算：1132cos60(2020)3π-⎛⎫-+︒--+ ⎪⎝⎭【解析】：原式 1321+32=⨯- 3+3=17.(本小题满分4分)先化简，再求值：11129613222+++-++÷-+x x x x x x x ，其中x 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+<1529121335x x x x 的整数解．解：()()()()()()()()()()()321312133131113111322+=+++=++++++-=+++-⨯+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x 原式解不等式组：由：335+<x x ，得x ＜3 由1529121+<-x x ，得，x ＞−4 ∴−4＜x ＜3∴整数x =−3、−2、−1、0、1、2． ∵x ≠−3、−1、1， ∴当x =0时，原式=32( 答案不唯一) 也可以是：当x =−2时原式=2；也可以是：当x =2时原式=52 18.(本小题满分5分)如图，在菱形ABC D 中，∠BAD =60º，求作：以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；解：如图，⊙D即为所求；19.(本小题满分5分)甲、乙两家快递公司揽件员(( 揽收快件的员工)) 的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过40，超过部分每件多提成2元．如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：(1)现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40(不含40)的概率；(2)根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．【答案】解：(1)因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，所以甲公司揽件员人均揽件数超过40(不含40)的概率为152304=； (2)①甲公司各揽件员的日平均件数为(38×13+39×9+40×4+41×3+42×1)÷30=39 ②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2=148元，乙公司揽件员的日平均工资为:()[]()4.1593063251435840739738=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯元，因为159.4＞148 ，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．20.(本小题满分6分)在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =2x +b 的图象与xx 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B,直线AB 与反比例函数xky =的图象交于点C (−1,m )． (1) 求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点P 是这个反比例函数图象上的点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，连接OP ，BP ，当S △ABM =2S △OMP 时，求点P 的坐标．【答案】解：(1)将A (2,0)代入直线y =2x +b 中，得2×2+b =0， ∴b =−4， ∴直线：y =2x −4，将C (−1,m )代入直线y =2x −4中，得2×(−1)−4=m ∴m =−6， ∴C (−1,−6) ，将C (−1,−6)代入xk y = ∴k =6∴ 反比例函数的解析式为xy 6=(2)如图，根据题意，设点P 坐标(a,6a ) ，有OM =|a |，PM =a6，AM =|a −2|，OB =4 根据S △ABM =2S △OMP ∴21×AM ×OB =2×21×OM ×PM ， 21×AM ×4=6 ∴AM =|a −2|=3，解得a =5或−1， ∴点P 的坐标为(−1,−6)或(5,56) 21(本小题满分6分)在物理实验中，当电流在一定时间段内正常通过电子元件时，每个电子元件的状态有两种可能；通电或断开，并且这种状态的可能性相等．(1)如图1，当有2个电子元件a 、b 并联时，请你用树状图表示图中P 、Q 之间电流能否通过的所有可能情况，并求出P 、Q 之间有电流通过的概率；(2)如图2，当有3个电子元件并联时，求P ，Q 之间有电流通过的概率．【答案】解：(1)用树状图表示为：则P ，Q 之间电流通过的概率43(2) 画树状图得：7则P，Q之间电流通过的概率是822.(本小题满分7分)如图所示，矩形ABC D中，点EE在边CD上，折叠△BCE使点C落在AD边上的点F处，折痕为BE,过点FF作FG//CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．【答案】(1)证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG//CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABC D中，AB=6，AD=10，BC=BF，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，∴AF=8∴DF =2，设EF =x ，则CE =x ，DE =6−x ∵∠FDE =90° ， ∴22+(6−x )2=x 2，解得，x =310∴CE =310 ∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF =310×2=320 23(本小题满分8分)如图，在海面上生成了一股强台风，台风中心(记为点M )位于滨海市(记作点A )的南偏西15°，距离为261km ，且位于临海市(记作点B )的正西方向360km ，台风中心正以72km/h 的速度沿北偏东60°的方向移动(假设台风在移动过程中的风力保持不变)，距离台风中心60km 的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭． (1)滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭?? 请说明理由． (2)若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时??【答案】解：(1)滨海市不会受到此次台风侵袭，临海市会受到此次台风侵袭．理由如下：如图，设台风中心运行的路线为射线MN ，则∠AMN =60°−15°=45°，∠BMN =90°−60°=30° 过点A 作AH 1⊥MN 交MN 于点H 1，则△AMH 1为等腰直角三角形．∵AM =261km ，∴AH 1=AM •sin ∠AMN =61km ＞60km ∴∴ 滨海市不会受到此次台风的侵袭．再过点B 作BH 2⊥MN 交MN 于点H 2． ∵MB =360km ，∠H 2MB =30° ， ∴BH 2=MB •sin ∠BMN =360km ＜60km 临海市会受到此次台风的侵袭．(2)设以点B 为圆心，以60km 为半径的圆弧与射线MN 分别交于点T 1，T 2，如上图，则BT 1=BT 2=60km ．在△BT 1T 2中，sin ∠BT 1T 2=236033012==BT BH ∴∠BT 1T 2=60°又∵BT 1=BT 2，∴△BT 1T 2 为等边三角形， ∴T 1T 2=60km ，∴台风中心经过线段T 1T 2所用的时间为657260=(h ) 答：临海市受到台风侵袭的持续时间为65h24(本小题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过x 轴上一点C,与y 轴分别相交于A.B 两点，连接AP 并延长分别交⊙P 、x 轴于点D,点E,连接DC 并延长交y 轴于点F ,若点F 的坐标为(0,1),点D 的坐标为(6,−1) ． (1)求证：DC =FC ；(2)判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由； (3)求直线AD 的解析式．【答案】(1)证明：如图，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则∠CHD =∠COF =90° ，∵点F 的坐标为(0,1) ，点D 的坐标为((6,−1) ， ∴DH =OF ，∵在△FOC 与△DHC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠HD OF DHC FOC DCHFCO 90∴△FOC ≌△DHC (AAS ) ， ∴DC =FC ；(2)答：⊙P 与x 轴相切．理由如下：如图，连接CP ．∵AP =PD ，DC =CF ， ∴CP //AF ，∴∠PCE =∠AOC =90° ，即PC ⊥x 轴．又PC 是半径，∴⊙P 与x 轴相切；(3)解：由(2)可知，CP 是△DF A 的中位线， ∴AF =2CP ． ∵AD =2CP ， ∴AD =AF ．连接B D ．∵AD 是⊙P 的直径， ∴∠ABD =90° ，∴BD =OH =6 ，OB =DH =FO =1设AD 的长为x,则在直角△AB D 中，由勾股定理，得 x 2=62+(x −2)2，解得 x =10∴点A 的坐标为(0,−9) ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b (k ≠0)，则⎩⎨⎧-=+-=169b k b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=349k b∴直线AD 的解析式为：y =34x −9 25(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =41-x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点A 的坐标为(0,8)，点B 的坐标为(−4,0) ． (1)求该二次函数的表达式及点CC 的坐标；(2)点D 的坐标为(0,4)，点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD ，CF ，以CD ，CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ． ①求S 的最大值；②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．【答案】解：(1) 把A (0,8)，B (−4,0)代入y =41-x 2+bx +c ，得⎩⎨⎧=+--=0448c b c ，解得⎩⎨⎧==18b c {b =1,c =8,{b =1,c =8, 故二次函数的解析式为y =41-x 2+x +8 当y =0时，41-x 2+x +8=0，解得x 1=−4，x 2=8，故点C 坐标为(8,0)． (2)①连接DF ，OFO ，设F (t,41-t 2+t +8) ， ∵S 四边形OCFD =S △CDF +S △OCD =S △ODF +S △OCF∴S △CDF =S △ODF +S △OCF −S △OCD =21×4t +12×8(41-t 2+t +8)−21×4×8 =−t 2+6t +16=−(t −3)2+25 ，∴当t =3时，△CDF 的面积有最大值，最大值为25 ．∵四边形CDEF 为平行四边形，∴S 的最大值为50．②∵四边形CDEF 为平行四边形，∴CD //EF ，CD =EF ．∵点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，∴点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E (t −8,41-t 2+t +12).在抛物线上， ∴41-(t −8)2+t −8+8=41-t 2+t +12，解得t =7．当t =7时，S △CDF =−(7−3)2+25=9 ，此时S =2S △CDF =18 ．26(本小题满分12分)用线段DE 截△ABC (点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上) ，DE 把△ABC 的周长与面积分为上、下两部分，分别为22,l l ，22,S S ,设BC =a ，AC =b ，AB =c ．(1)如图(1)，若S 1=S 2，当a =3，b =4，c =5时，求AD ，AE 之间存在的数量关系;;(2)如图(2)，若22l l =，当DE +BC =BD +CE 时，求DE 的长(用含a ，b ，c 的式子表示););(3)如图(3)，若DE 恰好经过△ABC 的内心I ，求证：2121S S l l =．【答案】解：(1)如图(1)，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．图1易得△ABC 为直角三角形，DF =53A D ．∵S △ABC =21×3×4=6 ，S 1=S 2，∴S △ADE =3，即21DF •AE =3，∴DF •AE =6 ，∴53AD •AE =6，即AD •AE =10．(2)由22l l =，得c −BD +b −CE =BD +CE +a ，即BD +CE =21(b +c −a )．又DE +BC =BD +CE ，∴DE +a =21(b +c −a )，∴DE =21(b +c −3a )(3)证明：如图(2)，连接A I ，B I ，C I ，过点I 作I G ⊥BC 于点G ，I H ⊥ AC 于点H ，I J ⊥AB 于点J ．图2易得I G =I H =I J∵S △ABC =S 1+S 2=S △A I B +S △A I C +S △B I C =21I G (a +b +c )S △ADE =21(AD •I J +AE •I H )=21I G (AD +AE ) ，∴AE AD cb a S S S +++=+121．∵AEAD c b al l l +++=+121，∴121121l l l S S S +=+，∴2121S Sl l =。

2020年中考数学押题试卷(附答案)-2020中考圧题

2020年中考数学押题试卷（附答案）一、单选题（共11题；共22分）1.下列运算正确的是（）A. a3•a3=2a3B. a0÷a3=a﹣3C. （ab2）3=ab6D. （a3）2=a52.2011年某市居民人均收入达到36 200元．将36 200这个数字用科学记数法表示为（）A. 362×102B. 3.62×104C. 3.62×105D. 0.362×1053.将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都朝上的概率为（）A. B. C. D.4.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是( )．A. c>aB. c>0C. |a|<|b|D. a-c<05.如图，直线y=﹣x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y= 的图象于另一点C，则的值为（）A. 1：3B. 1：2C. 2：7D. 3：106.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，平移后C点的坐标是（）A. （5，-2）B. （1，-2）C. （2，-1）D. （2，-2）7.如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（）A. ∠1=∠CB. ∠A=∠CC. ∠2=∠BD.8.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（）个A. 1B. 2C. 3D. 49.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（）A. B. C. D.10.计算：=（）A. B. C. D. 011.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（）A. 3B. 5C.D.二、填空题（共4题；共4分）12.多项式9x2+1加上单项式________后,能成为一个含x的三项式的完全平方式.13.如图，设∠1=x°，∠2=y°，且∠1的度数比∠2的度数的2倍多10°，则可列方程组为________ ．14.设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线的眸径为6时，的值为________. 15.如图，A，B是反比例函数y= 图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D 为OB的中点，△AOD的面积为6，则k的值为________．三、解答题（共6题；共69分）16.解下列方程：（1）解：，x(x-3)=0，x=0，x-3=0，∴x=0，x=3（1）.17.“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：请结合图表完成下列各题：（1）①表中a的值为________，中位数在第________组；②频数分布直方图补充完整________；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．18.将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为.（1）根据上图，将表格补充完整：（2）设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是________；（3）你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？19.如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．20.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC=10，BC=16，求DE的长．21.如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．答案一、单选题1. B2. B3. D4. C5.A6. B7. B8.C9. D 10. C 11. D二、填空题12.±6x或x413.14.15.16三、解答题16. （1）解：.∵a=5，b=-4，c=-1，∴b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0,∴x= ,∴.17.（1）12；3；（2）解：×100%=44%，答：本次测试的优秀率是44%；（3）解：设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，则所有的可能性为：（AB﹣CD）、（AC﹣BD）、（AD﹣BC）所以小明和小强分在一起的概率为：．18. （1）（2）y=35x+5（3）当y=2018时，2018=35x+5，解得x=57.5，不满足要求，∴不存在19.（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，∴反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C．如图所示，延长AO交双曲线于点C1，∵点A与点C1关于原点对称，∴AO=C1O，∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x，可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，解得b'= ，∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，解方程组，可得C2（，）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，设直线AC3的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，解得=﹣，∴直线AC3的解析式为y= x﹣，解方程组，可得C3（﹣，﹣）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．20.（1）证明：连接OD、AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵AB=AC，∴点D是BC的中点，∵O是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠BED，∵DE⊥AB，∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线；∴CD= BC=8，（2）解：∵AB=AC，且∠ADC=90°，∠B=∠C，∴AD= =6，∵∠BED=∠CDA，∴△BED∽△CDA，∴= ，即= ，∴AC=4.8．21. （1）解：∵点A（﹣1，0）在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点D的坐标为（2）解：△ABC是直角三角形．理由如下：当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），则OC=2．当y=0时，，∴x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），∴OA=1，OB=4，∴AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形（3）解：作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM 的周长最小．设直线C′D的解析式为y=ax+b（a≠0），则，解得，∴．当y=0时，，则，∴．。

湖北省武汉市华中师大一附中2019-2020学年中考数学模拟试卷

湖北省武汉市华中师大一附中2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，tanB ＝2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取（）A.2B.3C.4D.52．在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P 1（-3，-83），P 点关于x 轴的对称点为P 2（a ，b （） A ．-2B ．2C ．4D ．-43．如图所示，点A 是双曲线y=1x（x ＞0）上的一动点，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，作AC 的垂直平分线双曲线于点B ，交x 轴于点D ．当点A 在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD 的面积（）A ．不变B ．逐渐变小C ．由大变小再由小变大D ．由小变大再由大变小4．如图，已知点M 为平行四边形ABCD 边AB 的中点，线段CM 交BD 于点E ，S △BEM ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A ．5B ．4C ．8D ．65．已知四边形的对角线相交于点，，则下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是( )A.B.C.D.6．有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是( )A ．2B ．2.5C ．3.5D ．57．将抛物线C ：y=x 2-2mx 向右平移5个单位后得到抛物线C′，若抛物线C 与C′关于直线x=-1对称，则m 的值为（） A ．7-B ．7C ．72D ．72-8．下列说法①﹣5的绝对值是5；②﹣1的相反数是1；③0的倒数是0；④64的立方根是±4，⑤13是无理数，⑥4的算术平方根是2，其中正确的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．59．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准降低了a 元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准每分钟为（） A ．4()3b a -元B ．4()3b a +元C ．5()4b a -元D ．5()4b a +元10．已知，平面直角坐标系中，在直线y ＝3上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，下列说法错误是（）A ．五个点的横坐标的方差是2B ．五个点的横坐标的平均数是3C ．五个点的纵坐标的方差是2D ．五个点的纵坐标的平均数是311．如图，在等边三角形ABC 中，AE ＝CD ，CE 与BD 相交于点G ，EF ⊥BD 于点F ，若EF ＝4，则EG 的长为（）A ．8B ．3C ．4D ．812．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的整数解为（）A ．﹣1，0，1B ．﹣1，0C ．0，1D ．﹣1，1二、填空题13．如图，等腰△ABC 内接于圆⊙O ，AB ＝AC ，∠ACB ＝70°，则∠COB 的度数是_____．14．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC △，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值为________.15．从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是_________．16．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：①D′B的最小值为3；②当DE＝52时，△ABD′是等腰三角形；③当DE＝2是，△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）17．如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为_____．18．计算：112--+=________.三、解答题19．如图，ABC∆为O的内接三角形，AB为O的直径，过A作AB的垂线，交BC的延长线于点D，O的切线CE交AD于点E.（1）求证：12CE AD=；（2）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD=6，AB=3，求CG的长．20．先化简，再求值：2443111x xxx x-+⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭，其中x的值是不等式组3215xx-<⎧⎨+≤⎩的一个整数解.21．（1）计算:11tan60|23-︒⎛⎫+-⎪⎝⎭；（2）先化简22x -2x 1x -1+÷x-1-x 1x 1⎛⎫+ ⎪+⎝⎭,然后从. 22．已知：如图，九年一班在进行方向角模拟测量时，A 同学发现B 同学在他的北偏东75°方向，C 同学在他的正南方向，这时，D 同学与BC 在一条直线上，老师觉得他们的站位很有典型性，就组织同学又测出A 、B 距离为80米，B 、D 两同学恰好在C 同学的东北方向且AD ＝BD ．求C 、D 两名同学与A 同学的距离分别是多少米(结果保留根号)．23．如图1，点E 为正方形ABCD 内部一点，AF ⊥BE 于点F ，G 为线段AF 上一点，且AG ＝BF ．（1）求证：BG ＝CF ；（2）如图2，在图1的基础上，延长BG 交AE 于点M ，交AD 于点H ，连接EH ，移动E 点的位置使得∠ABH ＝∠GAM①若∠EAH ＝40°，求∠EBH 的度数； ②求证：HE ∥AF ．24．如图，在▱ABCD 中，E 、F 为边BC 上两点，BF ＝CE ，AE ＝DF ．（1）求证：△ABE ≌△DCF ；（2）求证：四边形ABCD 是矩形．25．计算：201(3.14)|14cos 452π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭．【参考答案】*** 一、选择题13．80°． 14．215．3 716．①②④17．10 318．1 2三、解答题19．（1）详见解析；（2．【解析】【分析】（1）利用AB是⊙O的直径判断AD是⊙O的切线，利用切线长定理判断出AE=CE，进而得出∠DAC=∠EAC，再用等角的余角相等判断出∠D=∠DCE，得出DE=CE，即可得出结论；（2）先求出tan∠ABD值，进而得出GH=2CH，进而得出BC=3BH，再求出BC建立方程求出BH，进而得出GH，即可得出结论．【详解】（1）∵AB是⊙O直径，AB⊥AD，∴AD是⊙O的切线，∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE=CE，∴∠DAC=∠ECA，∵∠ACD=90°，∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，∴∠D=∠DCE，∴DE=CE，∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，∴CE=12 AD；（2）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，∴tan∠ABD=ADAB=2，过点G作GH⊥BD于H，∴tan∠ABD=GHBH=2，∴GH=2BH ，∵点F 是直径AB 下方半圆的中点， ∴∠BCF=45°，∴∠CGH=∠CHG-∠BCF=45°， ∴CH=GH=2BH ， ∴BC=BH+CH=3BH ，在Rt △ABC 中，tan ∠ABC=ACBC=2， ∴AC=2BC ，根据勾股定理得，AC 2+BC 2=AB 2， ∴4BC 2+BC 2=9，∴BC=5，∴，∴，∴，在Rt △CHG 中，∠BCF=45°，∴．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出tan ∠ABD 的值是解本题的关键． 20．当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．【详解】2443111x x x x x -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭22(2)13111x x x x x ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭2(2)(2)(2)11x x x x x -+-=÷-- 2(2)11(2)(2)x x x x x --=⨯-+-22x x -=+解不等式组3215x x -<⎧⎨+≤⎩得32x -<≤，其整数解：21012212x --≠-、、、、、、、x 可以等于10-、当1x =-时，原式=3-；当0x =时，原式=1- 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（1）0；（2）12或-12. 【解析】【分析】（1）指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值的意义进行计算；（2）先通分做分式的加减法，再将除法转变成乘法，然后把多项式因式分解并进行约分化简.最后选择合适的数代入求值. 【详解】解：(1)原式(2)原式=22-21-1x x x +÷-11x x +-()-1x =()()()2-11-1x x x +÷()()-1--111x x x x ++ =-11x x +÷()2-1--11x x x + =-11x x +÷2-1x x x + =-11x x +·()11x x x +-=-1x.∵满足-2,-1,0,1,2, 又∵x=±1或x=0时,分母的值为0, ∴x 只能取-2或2. 当x=-2时,原式=12,当x=2时,原式=-12.(答对两种情况之一即得满分) 故答案为：12或-12. 【点睛】本题第1小题考查了实数的加减混合运算，整数指数幂，锐角三角函数值等知识点.第2小题考查了分式的四则混合运算和化简求值.熟练掌握实数和分式的运算法则是关键.22．C 、D 两名同学与A 同学的距离分别是米. 【解析】【分析】作AE ⊥BC ，利用直角三角形的三角函数解得即可．【详解】解：作AE ⊥BC 交BC 于点E ，则∠AEB ＝∠AEC ＝90°，由已知，得∠NAB＝75°，∠C＝45°，∴∠B＝30°，∵BD＝AD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADE＝60°，∵AB＝80，∴AE＝12AB＝40，∴40ADsin sin603====∠︒AEADE，40AC452AEsin C sin====∠︒答：C、D两名同学与A同学的距离分别是米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−−方向角问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．23．（1）见解析；（2）①∠EBH＝40°；②见解析.【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，证出∠BAG=∠CBF，由SAS证明△ABG≌△CBF，即可得出BG=CF；（2）①求出∠BAM=90°-40°=50°，由三角形的外角性质得出∠BGF=∠BAM=50°，在Rt△BGF中，由直角三角形的性质即可得出结果；②先证明A、B、E、H四点共圆，由圆内接四边形的性质得出∠BEH+∠BAD=180°，得出∠BEH=90°，HE⊥BE，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠ABF+∠CBF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，在△ABG和△BCF中，AB BCBAG CBF AG BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△CBF（SAS），∴BG＝CF；（2）①解：∵∠EAH＝40°，∴∠BAM＝90°﹣40°＝50°，∵∠ABH＝∠GAM，∴∠BGF＝∠BAG+∠ABG＝∠BAG+∠GAM＝∠BAM＝50°，在Rt△BGF中，∠EBH＝90°﹣∠BGF＝40°；②证明：∵∠EAH＝∠EBH＝40°，∴A、B、E、H四点共圆，∴∠BEH+∠BAD＝180°，∴∠BEH＝90°，∴HE⊥BE，∵AF⊥BE，∴HE∥AF．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、四点共圆、圆内接四边形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC．根据全等三角形的判定定理即可得到结论．（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．根据矩形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，∴BE＝CF．在△ABE和△DCF中，∵AB DC AE DC BE CF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCF（SSS）；（2）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠B＝∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C＝180°．∴∠B＝∠C＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．25．4【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】=++-⨯解：原式14142＝4．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷(文科) (解析版)

2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=()A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2.若复数z满足z1+i=1+2i，则z=()A. 1+3iB. 3+iC. −1+3iD. 3+3i3.已知，则()A. c>b>aB. b>c>aC. b>a>cD. a>b>c4.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放，甲、乙两人计划前去游泳，其中甲连续游泳2小时，乙连续游泳3小时．假设这两人各自随机到达游泳馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是()A. 12B. 13C. 16D. 186.平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(2,0)，|b⃗ |=1，则|a⃗+2b⃗ |=()A. 2√2B. 2√3C. 12D. √107.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关扶植政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：根据上述图表信息，下列结论错误的是()A. 2018年4月份我国新能源汽车的销量高于产量B. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆C. 2019年2月份我国插电式混合动力汽车的销量低于1万辆D. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆8.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBb +cosCc=√3sinC，则b的值为()A. √3B. 2√3C. √32D. √69.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈．问积及为粟几何⋅”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少⋅”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛=2700立方寸，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子(单位换算：1立方丈=106立方寸)是()．A. 800两B. 1200两C. 2400两D. 3200两10. 设A ，B 为双曲线x 2a 2−y2b 2=λ(λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，若向量n ⃗ =(0,2)，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |n ⃗⃗ |=−1，则双曲线的离心率为( )A. 2√53B. 3C. 2或3√24D. 3或3√2411. 函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足xf′(x)+2f(x)>0，则不等式(x+2016)f(x+2016)5<5f(5)x+2016的解集为( )A. {x|x >−2011}B. {x|x <−2011}C. {x|−2011<x <0}D. {x|−2016<x <−2011}12. 设ω>0，函数f(x)=sin (ωx +π3)的图象向右平移4π3个单位长度后与原来的图象重合，则ω的最小值为( )A. 23B. 43C. 32D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则x +y 的最大值为______．14. 已知数列{a n }满足a n+1=11−a n，若a 7=2，则a 1=______15. 若∀x ∈[−π4,π4]，m ≤tanx +1为真命题，则实数m 的最大值为．16. 菱形ABCD 边长为6，∠BAD =60∘，将ΔBCD 沿对角线BD 翻折使得二面角C −BD −A 的大小为120∘，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S l5=225，a 3+a 6=16．(Ⅰ)证明：{√S n }是等差数列；(Ⅱ)设b n =2n ⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，.PA=PB，侧面PAB⊥底面ABCD．(1)证明：PA⊥BC；(2)若AB=2，PC⊥BD，PD与平面ABCD所成的角为，求四棱锥P−ABCD的体积．19.2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．满意不满意总计男生女生合计(1)完成2×2列联表；(2)回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”．附公式及表：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−2)，离心率为√33．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)经过点E(0,1)且斜率存在的直线l交椭圆于Q，N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，连接AB，AN.求证：存在实数λ，使k AN=λk AB成立．21.已知函数f(x)=x2e x+ax2+4ax(a∈R)．(1)当a=1时，求f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在(0,+∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosαy=tsinα(t为参数，0≤α<π)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2=21+sin2θ．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)设点M的坐标为(1,0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R．(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}，则A ∩B ={x|0≤x ≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B ，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，可得答案．解：∵z1+i =1+2i ，∴ z =(1+i)(1+2i)=−1+3i ．故选C ．3.答案：C解析：本题考查了对数函数性质，将a 、b 、c 分别与0、1比较，即可得出结论．解：由题意，a =(13)12=√33∈(0,1)，，c =log 312<0=log 31，所以b >a >c ．。

华中师大一附中2020届九年级中考复习测试数学试题

2020年九年级复习验收考试试题数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分120分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷选择题（共42分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试卷上.3.考试结束，将本卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题共42分）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列计算正确的是A.x 7÷x =x 7B.(-3x 2)2=-9x 4C.x 3·x 3=2x 6D.(x 3)2=x 6 2.在△ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则 A ．必有一个内角等于30° B ．必有一个内角等于45° C ．必有一个内角等于60° D ．必有一个内角等于90° 3.不等式组⎩⎨⎧≤-+02062x x φ的解集在数轴上表示为4.若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是A ．9，9B ．10，9C ．9，9.5D ．11，10 5.下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是A ．当心吊物安全B ．当心触电安全C ．当心滑落安全D ．注意安全6.如图，数轴上表示-2的点A 到原点的距离是A.-2B.2C.12-D.127.如图，1120∠=︒，要使//a b ，则2∠的大小是A ．60︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒8.某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是A ．B ．C ．D ．9.某企业1－6月份利润的变化情况如图所示,以下说法与图中反应的信息相符的是 A.1－6月份利润的众数是130万元 B.1－6月份利润的中位数是130万元 C.1－6月份利润的平均数是130万元 D.1－6月份利润的极差是40万元10.化简（x ﹣3）2﹣x （x ﹣6）的结果为A ．6x ﹣9B ．﹣12x +9C ．9D ．3x +911.如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为A ．60°B ．50°C ．40°D ．20° 12.如图,一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为________km.A.30+303B.30+103C.10+303D.30313.如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下结论：（第12题图）-11AB①abc ＞0；②4ac-b 2＞0；③a ﹣b +c ＞0；④ac +b +1＝0．其中正确的个数是A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个14.定义：形如a +bi 的数称为复数（其中a 和b 为实数，i 为虚数单位，规定i 2＝﹣1），a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i ）2＝12+2×1×3i +（3i ）2＝1+6i +9i 2＝1+6i ﹣9＝﹣8+6i ，因此，（1+3i ）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi ）2的虚部是12，则实部是 A ．﹣6 B ．6 C ．5 D ．﹣5第Ⅱ卷（非选择题共78分）注意事项：１．第Ⅱ卷分填空题和解答题.2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．二、填空题：(本大题共5个小题.每小题3分，共15分) 把答案填在答题卡上. 15.分解因式：32363a a a -+= ． 16.当a ＝2020时,代数式()211111a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭+的值是______. 17.一次函数y 1＝－x+6与反比例函数y 2＝8x(x>0)的图象如图所示.当y 1>y 2时,自变量x 的取值范围是____ __.18.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 为斜边BC 上的一个动点，过D 分别作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 .19.阅读材料：设（x 1，y 1），（x 2，y 2），如果∥，则x 1•y 2＝x 2•y 1，根据该材料填空，已知（4，3），（8，m ），且∥，则m ＝．三、解答题（本大题共7个小题，共63分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（本小题满分7分）（﹣2）﹣1﹣9+cos60°+（2019-2018）0+82019×（﹣0.125）2019． 21．（本小题满分7分）我县某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成作业时间不超过1.5小时.该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘2）的一部分. 时间（小时）频数（人数）频率0≤t ＜0.5 4 0.1 0.5≤t ＜1 a 0.3 1≤t ＜1.5 10 0.25 1.5≤t ＜2 8 b 2≤t ＜2.5 6 0.15 合计1图2 （1）在图1中，a= ，b= ；（2）补全频数分布直方图；（3）请估计该校1400名初中学生中，约有多少学生在1.5小时以内完成了家庭作业．22．（本小题满分7分）如图，在75⨯的方格纸ABCD 中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A ，B ，C ，D 重合．（1）在图1中画一个格点EFG ∆，使点E ，F ，G 分别落在边AB ，BC ，CD 上，且90EFG ∠=︒．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ ，使点M ，N ，P ，Q 分别落在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且MP NQ =．2 4 6 10 128 00.51时间（小时）频数（人数）23．（本小题满分9分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？24．（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．25．（本小题满分11分）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．26．（本小题满分13分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案及评分标准说明：解答题只给出一种解法，考生若有其他正确解法应参照本标准给分. 一．选择题1-5：DDCCD, 6-10:BDBDC; 11-14:BBBC. 二、填空题15,3a （a-1）2; 16,2021; 17,2<x<4; 18,51219. 6三．简答题:20，解：原式＝21-﹣3+21﹣1＝﹣3．……………………7分21，解：（1）由0≤t ＜0.5这组数据的频数是4，频率是0.1，所以本次抽查的初中学生数是4÷0.1=40（人），所以a=40×0.3=12，b=8÷40=0.2；…………………………………………3分（2）由（1）得a=12，可补全频数分布直方图…………………………………………5分（3）该校1.5小时以内完成了家庭作业学生数为：1400×4010124++=910（人）………7分22，解：（1）满足条件的EFG ∆，如图1，2所示．（4分）（2）满足条件的四边形MNPQ 如图所示．（3分，满足条件即可得分）23，解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，由题意，得25(1)7.2x +=，…………………………………………3分解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；…………………………………………5分（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.25)20%0.44-⨯=（万册），………………7分到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．……………………9分24，解：（1）FG 与⊙O 相切，理由：如图，连接OF ，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点， ∴CD ＝BD ，∴∠DBC ＝∠DCB ， ∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝∠OCF ， ∴∠OFC ＝∠DBC ， ∴OF ∥DB ，∴∠OFG +∠DGF ＝180°，…………………………………………3分 ∵FG ⊥AB ，∴∠DGF ＝90°， ∴∠OFG ＝90°，∴FG 与⊙O 相切；…………………………………………5分2 46 10 12 8 00.5115. 22.5时间（小时）频数（人数）（2）连接DF ， ∵CD ＝2.5，∴AB ＝2CD ＝5， ∴BC 22AC AB -==4,∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC ＝90°， ∴FD ⊥BC ， ∵DB ＝DC ，∴BF=21BC ＝2， ∵sin ∠ABC=FBFGAB AC =, 即253FG =， ∴FG=56．…………………………………………9分25.解：过点H 作HN ⊥BM 于N ，则∠HNC ＝90°，∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝AB ＝BC ，∠D ＝∠DAB ＝∠B ＝∠DCB ＝∠DCM ＝90°，…………………………………1分①∵将△ADE 沿AE 所在的直线折叠得到△AFE ， ∴△ADE ≌△AFE ，∴∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ， ∴AF ＝AB ，又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴∠BAG ＝∠FAG ，∠AGB ＝∠AGF ，∴AG 是∠BAF 的平分线，GA 是∠BGF 的平分线；…………………………………………4分 ②由①知，∠DAE ＝∠FAE ，∠BAG ＝∠FAG ，又∵∠BAD ＝90°， ∴∠GAF +∠EAF=21×90°＝45°，即∠GAH ＝45°， ∵GH ⊥AG ，∴∠GHA ＝90°﹣∠GAH ＝45°， ∴△AGH 为等腰直角三角形， ∴AG ＝GH ，∵∠AGB +∠BAG ＝90°，∠AGB +∠HGN ＝90°， ∴∠BAG ＝∠NGH ，又∵∠B ＝∠HNG ＝90°，AG ＝GH ，∴△ABG ≌△GNH （AAS ）， ∴BG ＝NH ，AB ＝GN ， ∴BC ＝GN ，∵BC ﹣CG ＝GN ﹣CG ， ∴BG ＝CN ， ∴CN ＝HN ，∵∠DCM ＝90°， ∴∠NCH ＝∠NHC=21×90°＝45°， ∴∠DCH ＝∠DCM ﹣∠NCH ＝45°， ∴∠DCH ＝∠NCH ，∴CH 是∠DCN 的平分线；…………………………………………8分 ③∵∠AGB +∠HGN ＝90°，∠AGF +∠EGH ＝90°，由①知，∠AGB ＝∠AGF ， ∴∠HGN ＝∠EGH ，∴GH 是∠EGM 的平分线；综上所述，AG 是∠BAF 的平分线，GA 是∠BGF 的平分线，CH 是∠DCN 的平分线，GH 是∠EGM 的平分线．…………………………………………11分26，解：（1）函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x +3）＝a （x 2+2x ﹣3），即：﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；…………………………………………3分（2）∵OB ＝OC ，∴∠CBO ＝45°，∵S △CPD ：S △BPD ＝1：2，∴BD＝23BC ＝23×32＝22，y D ＝BD sin ∠CBO ＝2，则点D （﹣1，2）；…………………………………………6分（3）如图2，设直线PE 交x 轴于点H ，∵∠OGE ＝15°，∠PEG ＝2∠OGE ＝30°， ∴∠OHE ＝45°， ∴OH ＝OE ＝1，则直线HE 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1…②，联立①②并解得：x ＝1172-±（舍去正值），故点P （1172--，1172-+）；…………………………………………10分（4）不存在，理由：连接BC ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，直线BC 的表达式为：y ＝x +3，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），点H （x ，x +3），则S 四边形BOCP ＝S △OBC +S △PBC ＝12×3×3+12（﹣x 2﹣2x +3﹣x ﹣3）×3＝8，整理得：3x 2+9x +7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P ．…………………………13分。

【初升高】湖北华中师范大学第一附属中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析

中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．16．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如图，∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故答案为：．17．【分析】依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为7，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y＝，依据点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，即可得到mn的值．【解答】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，2018÷6＝336…2，由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2，∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，由抛物线解析式可得AO＝2，即点C的纵坐标为2，∴C（6，2），∴k＝2×6＝12，∴双曲线解析式为y＝，2025﹣2018＝7，故点Q与点P的水平距离为7，∵点P'、Q“之间的水平距离＝（2+7）﹣（2+6）＝1，∴点Q“的横坐标＝2+1＝3，∴在y＝中，令x＝3，则y＝4，∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，∴mn＝6×4＝24，故答案为：24．18．【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据△ACQ中，AQ＝4，【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．∵⊙O的直径为AB，C为的中点，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，又∵AB＝8，C为的中点，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝4，∴△ACQ中，AQ＝4，∴BQ＝＝4，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值为4﹣4．故答案为：4﹣4．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据整式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1．（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a＝1﹣2a20．【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；（4）利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数；【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，故答案为：200；（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，如图所示：（3）∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：1+m＝x﹣2，解得：x＝m+3，由分式方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠2，解得：m＞﹣3且m≠﹣1．22．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2可得答案．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为；（2）∵在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2，∴到第n个路口都没有遇到红灯的概率为（）n，故答案为：（）n．23．【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，∴CH＝AH•tan∠CAH，∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），∵DH＝1.5，∴CD＝2 +1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，∴CE＝＝（4+）（米），答：拉线CE的长约为（4+）米．24．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD＝2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB＝2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB＝DF，等量代换即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°，∴∠ADE＝∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH，在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH，∵ED⊥DB，FB⊥BD．∴DE∥BF，∵AB∥CD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD＝EB，∴DA＝DF．25．【分析】（1）利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n 格的“特征多项式”；（2）①利用（1）中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；②利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：（1）由表格中数据可得：第4格的“特征多项式”为：16x+25y，第n格的“特征多项式”为：n2x+（n+1）2y（n为正整数）；故答案为：16x+25y，n2x+（n+1）2y（n为正整数）；（2）①由题意可得：，解得：答：x的值为﹣6，y的值为2．②设W＝n2x+（n+1）2y当x＝﹣6，y＝2时：W＝﹣6n2+2（n+1）2＝，此函数开口向下，对称轴为，∴当时，W随n的增大而减小，又∵n为正整数∴当n＝1时，W有最大值，W最大＝﹣4×（1﹣）2+3＝2，即：第1格的特征多项式的值有最大值，最大值为2．26．【分析】（1）首先连接OD，由BE＝EC，CO＝OA，得出OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得△COE≌△DOE，即可得∠ODE＝∠OCE＝90°，则可证得ED 为⊙O的切线；（2）只要证明OE∥AB，推出，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）证明：连接OD，∵E为BC的中点，AC为直径，∴BE＝EC，CO＝OA，∴OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD；由题意EC、ED是⊙O的切线，∴EC＝ED，∵OC＝OD，∴OE⊥CD，∵AC是直径，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AB，∴OE∥AB，∴，在Rt△ECO中，EO＝＝5，∵∠EOC＝∠CAD，∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝，∴AD＝，设OG＝x，则有，∴x＝，∴OG＝．27．【分析】（1）求出E、F两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．只要证明四边形AOMK 是正方形，证明AE+OA＝2AH即可解决问题；（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．构建一次函数利用方程组求出交点P 坐标，分三种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）∵OE＝OA＝8，α＝45°，∴E（﹣4，4），F（0，8），设直线EF的解析式为y＝kx+b，则有，解得∴直线EF的解析式为y＝x+8．（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．在Rt△AEO中，tan∠AOE＝＝，OA＝8，∴AE＝4，∵四边形EOGF是正方形，∴∠EMO＝90°，∵∠EAO＝∠EMO＝90°，∴E、A、O、M四点共圆，∴∠EAM＝∠EOM＝45°，∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，∵EM＝OM，∴△MKE≌△MHO，∴EK＝OH，∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，∴AH＝6，∴AM＝AH＝6．（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．∵A（﹣8，0），E（﹣a，a），∴直线AP的解析式为y＝x+，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，由，解得，∴P（，）．①当PO＝OE时，∴PO2＝2OE2，则有：+＝4a2，解得a＝4或﹣4（舍弃）或0（舍弃），此时P（0，8）．②当PO＝PE时，则有：+＝2[（+a）2+（﹣a）2]，解得：a＝4或12，此时P（0，8）或（﹣24，48），③当PE＝EO时，[（+a）2+（﹣a）2]＝4a2，解得a＝8或0（舍弃），∴P（﹣8，24）综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，8），（﹣8，24），（﹣24，48）．28．【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO＝60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO＝30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD＝1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD ＝P A、AD＝DP、AP＝DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y＝kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．【解答】解：（1）∵C（0，3）．∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣．令y＝0得：ax2﹣2 ax﹣9a＝0，∵a≠0，∴x2﹣2 x﹣9＝0，解得：x＝﹣或x＝3．∴点A的坐标为（﹣，0），B（3，0）．∴抛物线的对称轴为x＝．（2）∵OA＝，OC＝3，∴tan∠CAO＝，∴∠CAO＝60°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO＝30°．∴DO＝AO＝1．∴点D的坐标为（0，1）设点P的坐标为（，a）．依据两点间的距离公式可知：AD2＝4，AP2＝12+a2，DP2＝3+（a﹣1）2．当AD＝P A时，4＝12+a2，方程无解．当AD＝DP时，4＝3+（a﹣1）2，解得a＝0或a＝2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．当AP＝DP时，12+a2＝3+（a﹣1）2，解得a＝﹣4．∴点P的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．（3）设直线AC的解析式为y＝mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3＝0，解得：m ＝，∴直线AC的解析式为y＝x+3．设直线MN的解析式为y＝kx+1．把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，0）．∴AN＝﹣+＝．将y＝x+3与y＝kx+1联立解得：x＝．∴点M的横坐标为．过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG＝+．∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，∴AM＝2AG＝+2＝．∴+＝+＝+＝＝＝．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．。

2020年中考数学押题卷一(附答案)

2020 年中考数学押题卷一（附答案）注意事项：1.本试卷共 5 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟。

2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上在试卷上的答案无效。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12 小题，每题 3 分，共 36 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）1．计算 10+（﹣ 24）÷ 8+2×（﹣ 6）的结果是（）A．﹣ 5B．﹣ 1C．1D． 52．一个正常人的心跳平均每分钟70 次，一天大体跳的次数用科学记数法表示这个结果是（）A．× 105B．× 103C．× 104D． 504× 1023.列方程中有实数解的是A. x2 1 0B.x1C. x 1xD. x2x 121 x21x4. 桌上倒扣着反面相同的 5 张扑克牌，其中 3 张黑桃、 2 张红桃．从中随机抽取一张，则（）A.能够早先确定抽取的扑克牌的花色B.抽到黑桃的可能性更大C.抽到黑桃和抽到红桃的可能性相同大D.抽到红桃的可能性更大5．以下四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120 °后，能与原图形完全重合的是（）6．如图，点A， B， C 是⊙ O 上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ ACB的度数是（）A． 30°B． 4 0°C． 50°D．60°7. 用 4 个完满相同的小正方体搭成以下列图的几何体，该几何体的（）A．主视图和左视图相同B．主视图和俯视图相同C．左视图和俯视图相同D．三种视图都相同8.“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10 户家庭的月用水情况，则以下关于这10 户家庭的月用水量说法错误的选项是（）月用水量（吨）4569户数（户）3421 A．中位数是 5 吨B．众数是 5 吨C．极差是 3 吨D．平均数是吨9．关于 x 的一元二次方程（m﹣ 5）x2+2x+2＝ 0 有实根，则m 的最大整数解是（）A． 2B． 3C． 4D． 510．关于二次函数y＝ 2x2+x﹣ 3，以下结果中正确的选项是（）A．抛物线有最小值是y＝﹣B． x＞﹣ 1 时 y 随 x 的增大而减小C．抛物线的对称轴是直线x＝﹣D．图象与x 轴没有交点11．如图， AB=DB，∠ 1=∠ 2，请问增加下面哪个条件不能够判断△ABC≌△ DBE的是（）A． BC=BE B． AC=DE C．∠ A=∠ D D．∠ ACB=∠ DEB12．如图，△ABC为等边三角形，以AB 为边向形外作△ABD，使∠ ADB＝ 120°，再以点 C 为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE，则以下结论：①D、A、E 三点共线；②DC 均分∠ BDA；③ ∠ E＝∠BAC；④DC＝ DB+DA，其中正确的有（）A．1 个B． 2 个C． 3 个D．4 个第Ⅱ卷二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）13．若一元二次方程x2﹣（ a+2） x+2a=0 的两个实数根分别是 3、 b，则 a+b=．14．在平行四边形ABCD中，对角线 AC、BD 订交于点 O．若是 AB=14，BD=8， AC=x，那么 x 的取值范围是．15．如图，在正方形ABCD中，点 E、F 分别在 BC、CD上，且 BE=DF，若∠ EAF=30°，则 sin∠EDF=．16．如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， AC=15cm，点径为 3cm 的⊙ O 与△ ABC 的边相切时，x=．O 在中线CD 上，设OC=xcm，当半17．如，在平面直角坐系中，△ABC的点坐分（ 4，0 ），（8 ，2），（ 6，4）．已知△ A1B1C1的两个点的坐（ 1，3 ），（ 2，5 ），若△ ABC 与△ A1B1C1位似，△ A1B1C1的第三个点的坐．18．二次函数 y=的象如，点A位于坐原点，点A， A ， A ⋯A在 y 的正半上，点0123nB1， B2， B3⋯B n在二次函数位于第一象限的象上，点C1，C2， C3⋯C n在二次函数位于第二象限的象上，四形A0B1A1C1，四形 A1B2A2C2，四形 A2B3A3C3⋯四形 A n﹣1B n A n C n都是菱形，∠ A0B1A1=B A =∠ A B A ⋯=∠ A B A =60 °，菱形 A B AC 的周．∠ A1 2 2 2 3 3n﹣ 1 n n n﹣ 1 n n n三、解答（本大共 6 小，共 66 分 .解答写出文字明、演算步或推理程.）19.(本10 分 )解不等式合意填空，完成本的解答．（ 1）解不等式①，得；（ 2）解不等式②，得；（ 3）把不等式①和②的解集在数上表示出来：（ 4）原不等式组的解集为．20.(本题 10 分 )如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， M 、N 分别是的中点，延长BC 至点 D，使 CD＝BD，连接DN、 MN ．若 AB＝ 6．（ 1）求证： MN ＝ CD；（ 2）求 DN 的长．21.（本题 10 分 )2019 年 3 月 30 日，四川省凉山州木里县境内发生森林火灾，30 名左右的扑火英雄牺牲，让人感觉痛心，也再次给我们的防火安全意识敲响警钟．为了加强学生的防火安全意识，某校举行了一次“防火安全知识竞赛”（满分100 分），赛后从中抽取了部分学生的成绩进行整理，并制作了如下不完满的统计图表：组别成绩 x/ 分组中值A50≤ x＜ 6055B60≤ x＜ 7065C70≤ x＜ 8075D80≤ x＜ 9085E90≤ x＜ 10095请依照图表供应的信息，解答以下各题：（ 1）补全频数分布直方图和扇形统计图；（ 2）分数段80≤ x＜ 90 对应扇形的圆心角的度数是°，所抽取的学生竞赛成绩的中位数落在区间内；（3）若将每组的组中值（各组两个端点的数的平均数）代表各组每位学生的竞赛成绩，请你估计该校参赛学生的平均成绩．22.(本题 12 分 )如图，在⊙ O 中，半径OD⊥直径 AB，CD 与⊙ O 相切于点D，连接 AC 交⊙ O 于点 E，交 OD 于点G，连接 CB并延长交⊙于点F，连接 AD， EF．（1）求证：∠ ACD＝∠ F；（2）若 tan ∠ F＝①求证：四边形ABCD是平行四边形；②连接 DE，当⊙ O 的半径为 3 时，求 DE 的长．23.(本题 12 分 )如图示一架水平翱翔的无人机AB 的尾端点 A 测得正前面的桥的左端点P的俯角为α其中tanα＝ 2，无人机的翱翔高度AH 为 500米，桥的长度为 1255 米．（1）求点 H 到桥左端点 P 的距离；（2）若无人机前端点 B 测得正前面的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长度 AB．24.(本题 12 分）已知抛物线y＝ ax2﹣ 2ax﹣2（ a≠ 0）．（ 1）当抛物线经过点P（ 4，﹣ 6）时，求抛物线的极点坐标；（ 2）若该抛物线张口向上，当﹣1≤ x≤ 5 时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点 M 的纵坐标为，求点 M 和点 N 的横坐标；（ 3）点 A（ x1， y1）、 B（x2， y2）为抛物线上的两点，设t ≤ x1≤ t+1，当 x≥3时，均有 y1≥ y2，求 t 的取值范围．参照答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12 小题，每题 3 分，共 36 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）第Ⅱ卷二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）13. 5 1 4. 20＜x＜ 3615.16. 2，3或6．17.（ 3， 4）或（ 0， 4）．三、解答题（本大题共7 小题，共 66 分 .解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.）19.解：，（1）解不等式①，得 x＜﹣ 1，（2）解不等式②，得 x≤ 2，（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：（ 4）∴原不等式组的解集为x＜﹣ 1，故答案为： x＜﹣ 1，x≤ 2， x＜﹣ 1．20.（ 1）证明：∵ M 、N 分别是的中点，∴MN ＝ BC， MN ∥BC，∵ CD＝ BD，∴CD＝ BC，∴MN ＝ CD；（2）解：连接 CM，∵MN ∥ CD， MN ＝ CD，∴四边形 MCDN 是平行四边形，∴ DN＝ CM，∵∠ACB＝90°，M 是AB 的中点，∴ CM＝ AB，∴ DN＝ AB＝ 3．21.解：（ 1）样本容量是：10÷5%＝ 200，D 组人数是： 200﹣（ 10+20+30+60）＝ 80（人），D 组所占百分比是：× 100%＝40%，E 组所占百分比是：× 100%＝30%．补全频数分布直方图和扇形统计图以下列图：（ 2）分数段80≤x＜ 90 对应扇形的圆心角的度数是：360°×＝ 144°；一共有 200 个数据，依照从小到大的序次排列后，第100 个与第 101 个数据都落在 D 组，所以所抽取的学生竞赛成绩的中位数落在80≤ x＜ 90 区间内．故答案为144， 80≤ x＜90；（3）（ 55× 10+65× 20+75× 30+85× 80+95× 60）÷ 200＝ 83（分）．所以估计该校参赛学生的平均成绩是83 分．22.（ 1）证明：∵ CD 与⊙ O 相切于点D，∴OD⊥ CD，∵半径 OD⊥直径 AB，∴AB∥ CD，∴∠ ACD＝∠ CAB，∵∠ EAB＝∠ F，∴∠ ACD＝∠ F；（2）①证明：∵∠ ACD＝∠ CAB＝∠ F，∴ tan∠ GCD＝ tan∠GAO＝ tan∠ F＝，设⊙ O 的半径为 r，在 Rt△ AOG 中， tan ∠ GAO＝＝，∴ OG＝r，∴ DG＝ r﹣r＝r，在 Rt△ DGC 中， tan∠ DCG＝＝，∴CD＝ 3DG＝ 2r，∴DC＝ AB，而DC∥ AB，∴四边形ABCD是平行四边形；②作直径DH，连接 HE，如图， OG＝ 1，AG＝＝，CD＝ 6， DG＝ 2， CG＝＝2，∵DH 为直径，∴∠HED＝ 90°，∴∠H+∠HDE＝ 90°，∵DH⊥ DC，∴∠ CDE+∠ HDE＝ 90°，∴∠ H＝∠ CDE，∵∠ H＝∠ DAE，∴∠ CDE＝∠ DAC，而∠ DCE＝∠ ACD，∴△ CDE∽△ CAD，∴＝，即＝，∴ DE＝．23.解：（ 1）在 Rt△ AHP 中，∵ AH＝500，由 tan ∠ APH＝ tanα＝＝＝2，可得PH＝250米．∴点 H 到桥左端点P 的距离为250 米．（2）设 BC⊥HQ 于 C．在 Rt△ BCQ中，∵ BC＝ AH＝ 500，∠ BQC＝30°，∴ CQ＝＝1500米，2020年中考数学押题卷一(附答案) 11 / 11∵ PQ ＝ 1255 米，∴ CP ＝245 米，∵ HP ＝ 250 米，∴ AB ＝ HC ＝250 ﹣245＝ 5 米．答：这架无人机的长度AB 为5 米． 24.解：（ 1）该二次函数图象的对称轴是x ＝＝ 1；（ 2）∵该二次函数的图象张口向上，对称轴为直线x ＝ 1，﹣ 1≤ x ≤5， ∴当 x ＝5时， y 的值最大，即M （ 5，）．把 M （5，）代入 y ＝ ax 2﹣ 2ax ﹣ 2，解得 a ＝，∴该二次函数的表达式为y ＝ x 2﹣ 2x ﹣ 2，当 x ＝ 1 时， y ＝，∴ N （ 1，﹣ ）；（ 3）当 a ＞0 时，该函数的图象张口向上，对称轴为直线 x ＝ 1，∵ t ≤ x 1≤ t+1，当 x 2≥ 3 时，拥有 y 1≥ y 2，点 A （ x 1 ，y 1 ）B （ x 2， y 2）在该函数图象上， ∴ t ≥ 3 或 t+1≤ 1﹣（ 3﹣ 1），解得， t ≥ 3 或 t ≤﹣ 2；当 a ＜ 0 时，该函数的图象张口向下，对称轴为直线x ＝ 1， ∵ t ≤ x 1 2时，拥有12 1 1 22 ≤ t+1，当 x ≥ 3 y ≥ y ，点 A （ x ，y ）B （ x ， y ）在该函数图象上， ∴， ∴﹣ 1≤ t ≤ 2．t 的取值范围﹣ 1≤ t ≤ 2．。

2020年湖北省武汉市华师一附中中考数学模拟试卷

中考数学模拟试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共分）1. 在 -2，3， 0， -1 中，最小的数是（）A. -2B. 3C. 0D. -12. 假如是二次根式，那么x 的取值范围（）A. x＞-1B. x≥-1C. x≥0D. x＞03. 以下图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4. 以下说法正确的选项是（）A.为认识一批灯泡的使用寿命，宜采纳普查方式B.掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面向上这一事件发生的概率为C.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5 点向上是必定事件D. 甲乙两人在同样条件下各射击10 次，他们成绩的均匀数同样，方差分别是S 甲2 2，S 乙，则甲的射击成绩较稳固5. 如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段CD 扩大为本来的 2倍，获取线段AB，则线段AB 的中点 E 的坐标为（）A. （3，3）B. （）C. （2，4）D. （4，2）6.下边两幅图是由几个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的小正方体个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个7.跟着“国家宝藏”的热播，小颖和小梅计划利用假期时间到河南博物院担当“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的解说员，因为能力水平的限制，她们一人只好解说此中一个文物，小颖和小梅制作了三张质地大小完整同样的卡片，反面向上洗匀后各自抽取一张（第一人抽取后不放回），则“贾湖骨笛”未被抽到的概率为（）A. B. C. D.8. 关于两个不相等的实数a b，我们规定符号Max{ a，b}表示a b中的较大值，如：、、Max{2 ， 4}=4 ，依照这个规定，方程Max{ x， -x}= 的解为（）A. 1-B. 2-C. 1+ 或 1-D. 1+或-19. 如图，线段AB=6，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC ACD和等为边作等边△边△BCE，⊙O 外接于△CDE ，则⊙ O 半径的最小值为（）A. 6B.C. 2D. 310. 若关于随意非零实数a，抛物线 y=a（ x+2）（ x-1）总不经过点P（ x0-3， x0-5），则切合条件的点P（）A.有1个B.有2个C.有3个D. 有无量多个二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）11.已知小明近来几次数学考试的成绩分别为： 100， 95， 105， 100， 90．则这组数据的中位数是 ______．12.化简-结果是______．13.如图， E 为 ?ABCD 边 AD 上一点，将△ABE 沿 BE 翻折获取△FBE ，点 F 在 BD 上，且 EF=DF ，若∠BDC=81°，则∠C=______ ．14.以下图，经过 B（ 2，0）、C（ 6， 0）两点的⊙ H与 y 轴的负半轴相切于点A，双曲线y= 经过圆心H，则 k= ______ ．15.如图，四边形 ABCD 中， AB=BC=4，∠ABC=60 °，∠ABD +∠BCD =180 °，对角线 AC 、BD 订交于点 E， H为 BD 的中点．若 CE=1，则 CH 长为 ______．三、解答题（本大题共8 小题，共64.0 分）16.计算：（2a2）3-7a6+a2?a417.如图，若∠1+∠MEN +∠2=360°，求证：AB∥CD．18.某校举办“打造安全校园”活动，随机抽取了部分学生进行校园安全知识测试．将这些学生的测试结果分为四个等级： A 级：优异； B 级：优异； C 级：及格； D 级：不及格，并将测试结果绘制成以下统计图．请你依据图中信息，解答以下问题：（1）本次参加校园安全知识测试的学生有多少人？（2）计算 B 级所在扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）若该校有学生 1000 名，请依据测试结果，预计该校达到及格和及格以上的学生共有多少人？19.在边长为 1 的小正方形构成的网格中，现已知△ABC的三个极点均在小正方形极点上，依据以下要求，利用网格达成作图．（ 1）以点 B 为中心，将△ABC 逆时针旋转90°，获取△A'B'C'．（ 2）在线段AB 上求作一点P，使得点 P 到直线 AC、 BC 的距离之和等于4．（说明：请将所作的点和线用铅笔描粗，标出相应字母，不写作法．）20.如图， PB 与⊙ O 相切于点 B，过点 B 作连结 PA ，AO， AO 的延伸线交⊙ O 于点OP 的垂线 BA，垂足为 C，交⊙ O 于点 A，E，与 PB 的延伸线交于点 D ．（1）求证： PA 是⊙O 的切线；（2）若 tan∠BAD= ，且 OC=4，求 BD 的长．21. 农经企业以 30 元 / 千克的价钱收买一批农产品进行销售，为了获取日销售量p（千克）与销售价钱x（元 /千克）之间的关系，经过市场检查获取部分数据以下表：x /千克）30 35 40 45 50 销售价钱（元日销售量 p（千克）600 450 300 150 0（1）请你依据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比率函数的知识确立 p 与 x 之间的函数表达式；（2）农经企业应当怎样确立这批农产品的销售价钱，才能使日销售收益最大？（3）若农经企业每销售 1 千克这类农产品需支出 a 元（a＞ 0）的有关花费，当 40≤x≤45时，农经企业的日赢利的最大值为2430 元，求 a 的值．（日赢利=日销售收益 -日支出花费）22.如图1，共直角边AB 的两个直角三角形中，∠ABC=∠BAD =90°，AC交BD于P，且 tan∠C= ．（1）求证： AD=AB ；（2）如图 2，BE⊥CD 于 E 交 AC 于 F．①若 F 为 AC 的中点，求的值；②当∠BDC=75°时，请直接写出的值．23. 如图，点A t 0 B（t-6 0）是x轴负半轴上两点，过A，B两点的抛物线（，）和点，与过点 B 的直线 y=kx+ t（ t-6）交于 y 轴上同一点C．（ 1）直接写出线段 AB 的长度： ______；（ 2）若点 P 是抛物线上 x 轴下方的一个动点，求△PAB 面积的最大值；（ 3）若点 P 是抛物线上 y 轴左边一个动点．当∠ACO=∠CBO 时，设△PBC 面积为m．假如关于每一个 m 的值，都有独一确立的点P 和它对应，求 m 的取值范围．答案和分析1.【答案】A【分析】解：∵-2＜ -1＜ 0＜3，∴在 -2， 3， 0，-1 中，最小的数是-2．应选： A．有理数大小比较的法例：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于全部负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．本题主要考察了有理数大小比较的方法，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于全部负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2.【答案】B【分析】解：由二次根式存心义的条件可知：x+1≥0，∴x≥-1，应选： B．依据二次根式存心义的条件即可求出当．本题考察二次根式存心义的条件，解题的重点是娴熟运用二次根式存心义的条件，本题属于基础题型．3.【答案】A【分析】解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．应选： A．依据轴对称图形与中心对称图形的观点求解．本题考察了中心对称图形与轴对称图形的观点．轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180 度后两部分重合．4.【答案】D【分析】解： A、为认识一批灯泡的使用寿命，宜采纳抽样检查的方式，因此 A 选项错误；B、利用树状图获取共有正正、正反、反正、反反四种可能的结果数，因此两枚硬币都是正面向上这一事件发生的概率为，因此 B 选项错误；C、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后， 5 点向上是随机事件，因此 C 选项错误；D 、因为 S 甲2， S 乙2，因此甲的方差小于乙的方差，因此甲的射击成绩较稳固，因此 D选项正确．应选： D．依据全面检查与抽样检查的特色对 A 进行判断；利用画树状图求概率可对 B 进行判断；依据必定事件和随机事件的定义对 C 进行判断；依据方差的意义对 D 进行判断．本题考察了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展现全部等可能的结果n，再从中选出切合事件 A或 B 的结果数量 m，而后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也考察了统计的有关观点．5.【答案】A【分析】【剖析】依据位似变换的性质、联合图形求出点A、点 B 的坐标，依据线段中点的性质解答．本题考察的是位似变换，在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或 -k．【解答】解：∵点 C 的坐标为（ -1 ， -2），点 D 的坐标为（ -2， -1），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段CD 扩大为本来的 2 倍，∴点 A 的坐标为（2， 4），点 B 的坐标为（ 4， 2），∵点 E 是线段 AB 的中点，∴点 E 的坐标为（，），即（ 3， 3） .应选： A．6.【答案】C【分析】解：由俯视图可得最基层有 4 个小正方体，依据主视图可得第二层只有右辺一列有 1 个小正方体，则搭成这个几何体的小正方体有4+1=5（个）；应选： C．依据三视图可得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图和俯视图可得第二层小正方体的个数，最后相加即可．本题考察了由三视图判断几何体，表现了对空间想象能力方面的考察；掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更简单获取答案．7.【答案】B【分析】解：画树状图为：（用A、B、C 分别表示担当“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的解说员）共有 6 种等可能的结果数，此中”贾湖骨笛”未被抽到的结果数为2，因此贾湖骨笛”未被抽到的概率= = ．应选： B．画树状图为（用 A、 B、C 分别表示担当“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的解说员）展现全部 6 种等可能的结果数，再找出”贾湖骨笛”未被抽到的结果数，而后依据概率公式求解．本题考察了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展现全部等可能的结果n，再从中选出切合事件 A 或 B 的结果数量m，而后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率．8.【答案】D【分析】解：当 x＜- x，即 x＜ 0 时，所求方程变形得： -x= ，2去分母得： x +2x+1=0 ，即 x=-1 ；当 x＞ -x，即 x＞ 0 时，所求方程变形得： x= ，即 x2 -2x=1，解得： x=1+ 或 x=1- （舍去），经查验 x=-1 与 x=1+都为分式方程的解．应选： D．依据 x 与 -x 的大小关系，取x 与 -x 中的最大值化简所求方程，求出解即可．本题考察认识分式方程，解分式方程的基本思想是“转变思想”，把分式方程转变为整式方程求解．解分式方程必定注意要验根．9.【答案】B【分析】解：如图，分别作∠A 与∠B 角均分线，交点为 P．∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AP 与 BP 为 CD、 CE 垂直均分线．又∵圆心 O 在 CD 、CE 垂直均分线上，∴∠OAB=∠OBA=30 °，则交点 P 与圆心 O 重合，即圆心 O 是一个定点．连结 OC．若半径 OC 最短，则 OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB =6，∴OA=OB，∴AC=BC =3，∴在直角△AOC 中， OC=AC?tan∠OAC=3 ×tan30 =° ．应选： B．分别作∠A 与∠B 角均分线，交点为P．由三线合一可知 AP 与 BP 为 CD 、 CE 垂直均分线；再由垂径定理可知圆心O 在 CD 、CE 垂直均分线上，则交点P 与圆心 O 重合，即圆心 O 是一个定点；连 OC，若半径 OC 最短，则 OC⊥AB ，由△AOB 为底边 4，底角 30°的等腰三角形，可求得 OC= ．本题考察了三角形的外接圆与外心，需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点．难度不大，注意数形联合数学思想的应用．10.【答案】C【分析】解：关于随意非零实数a，抛物线y=a（x+2）（x-1）必定过点（-2，0），（1，0），当 x0-3=-2 时， x0-5=-4 ，当 x0-3=1 时， x0-5=-1 ，即关于随意非零实数a，抛物线 y=a（ x+2）（ x-1）总不经过点（-2， -4），（ 1， -1），当 x0-5=0 时， x0=5 ，此时 x0-3=2 ，当 x=2 时， y=4a，∵a 为非零实数，则 4a≠0，∴关于随意非零实数 a，抛物线 y=a（ x+2 ）（ x-1）总不经过点（ 2， 0），应选： C．依据题目中的函数分析式可知该函数必定过点（ -2， 0），（ 1， 0），再与点 P 中横纵坐标成立关系，即可解答本题．本题考察二次函数图象上点的坐标特色，解答本题的重点是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】100【分析】解：将数据从小到大排序得：90、 95、100、 100、 105，处在中间地点的，即第 3 个数就是中位数，中位数是100．故答案为： 100．依据中位数的意义，将数据从小到大排序后，处在中间地点的数就是中位数，一共 5 个数，排序后找出处在第 3 位的数即可．考察中位数的意义及求法，中位数反应一组数据的集中变化趋向，一组数据在中位数之上的有一半，以下的有一半．12.【答案】【分析】解：原式 =-==，故答案为：依据分式的运算法例即可求出答案．本题考察分式的运算法例，解题的重点是娴熟运用分式的运算法例，本题属于基础题型．13.【答案】66°【分析】解：∵?ABCD，∴∠A=∠C， AD∥BC， AB∥CD ，∴∠ADF =∠FBC ，∠ABD=∠BDC =81 °，∵EF=FD ，∴∠FED =∠FDE ，由折叠得：∠ABD=∠DBF = ∠ABD =40.5 °，∠A=∠DFB ，设∠C=x，则∠DBC =∠ADB= x，在△BDC 中，由内角和定理得：81°+x+ x=180 °，解得： x=66°，故答案为： 66°．折叠就有全等形，就有相等的边和角，平行四边形的性质，和等腰三角形的性质，能够把要求的角转变在一个三角形中，由三角形的内角和列方程解得即可．考察平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等知识，设适合的未知数，将问题转变到一个三角形中，利用内角和定理列方程解答是常用的方法．14.【答案】-8【分析】解：过 H 作 HE ⊥BC 于点 E，连结 BH ， AH，如图，∵B（ 2， 0）， C（ 6， 0），∴BC=4 ，∴BE= BC =2，∴OE=OB+BE=2+2=4 ，又⊙ H 与 y 轴切于点A，∴AH ⊥y 轴，∴AH =OE=4，∴BH =4，在 Rt△BEH 中， BE=2， BH=4，∴HE =2 ，∴H 点坐标为（ 4， -2 ），∵y= 经过圆心 H ，∴k=-8，故答案为： -8．过 H 作 HE ⊥BC 于点 E，可求得 E 点坐标和圆的半径，连结BH ，在 Rt△BEH 中，可求得 HE 的长，可求得H 点坐标，代入双曲线分析式可求得k．本题主要考察切线的性质和垂径定理，由条件求得圆的半径从而求得 H 点的坐标是解题的重点．15.【答案】【分析】解：∵AB =BC=4，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠BCA =60 °， AB=BC=AC=4，过点 B 作∠ABF=∠CBD ，交 AC 于 F，作 BN⊥AC 于 N，以下图：则 AN=CN=2 ， BN= AB=2 ，在△ABF 和△CBE 中，，∴△ABF ≌△CBE（ASA），∴AF=CE=1，∴CF=3， FE=AC-AF -CE=4-1-1=2 ， FN =EN= EF=1，∴BF=BE，BF===，∴∠BFE=∠BEF ，∵∠ABD+∠BCD =180 °，∴∠ABD=∠CBD +∠CDB ，∵∠ABD=∠ABF +∠FBE=∠CBD +∠FBE，∴∠FBE=∠CDB ，∴BF ∥CD ，∴△FEB ∽△CED，∴===，∴CD = BF=，连结 FD 并延伸交BC 的延伸线于M，则 CD 是△BFM 的中位线，∴DM =DF ，∵H 为 BD 的中点，∴CH 是△BDM 的中位线，∴CH= DM = DF ，∵BF ∥CD ， ∴∠DCE=∠BFE ， ∵∠BEF=∠DEC ， ∴∠DCE=∠DEC ，∴DC =DE = ，作 DG ⊥AC 于 G ， ∴CG=EG= CE= ，∴FG =EF+EG= ， DG = = = ，∴DF = ==，∴CH= DF= ；故答案为：．证明 △ABC 是等边三角形，得出 ∠BAC=∠BCA=60°， AB=BC=AC=4，过点 B 作 ∠ABF=∠CBD ，交 AC 于 F ，作 BN ⊥AC 于 N ，则 AN=CN=2， BN= AB=2，证明△ABF ≌△CBE （ASA ），得出 AF=CE=1，求出 CF=3，FE=AC-AF -CE=2，FN=EN= EF=1，得出 BF=BE ，得出 ∠BFE=∠BEF ，证出 BF ∥CD ，得出 △FEB ∽△CED ，得出 ===，求出 CD = BF= ，连结 FD 并延伸交 BC 的延伸线于 M ，则 CD 是 △BFM的中位线，得出 DM =DF ，证明 CH 是△BDM 的中位线，得出 CH = DM = DF ，证明 DC=DE ，作 DG ⊥AC于 G ，的 CG=EG= CE = ，得出 FG =EF+EG= ，由勾股定理得出DG= = ，DF = = ，即可得出答案．本题考察了全等三角形的判断与性质、等边三角形的判断与性质、等腰三角形的判断与性质、勾股定理、三角形中位线定理、相像三角形的判断与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相像是解题的重点．2 3 6 2 416.【答案】解：（ 2a ）-7a +a ?a666=8 a -7a +a【分析】依据积的乘方法例、归并同类项法例计算即可．本题考察的是幂的乘方与积的乘方、归并同类项，积的乘方法例：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．17【.答案】证明：如图，过点 E 作 EF ∥AB ，则 ∠1+ ∠MEF =180 °，∵∠1+∠MEN+∠2=360 °， ∴∠FEN+∠2=180 °，∴EF ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），又∵EF ∥AB，∴AB∥CD ．【分析】过点 E 作 EF ∥AB，可得∠1+ ∠MEF =180°，再依据∠1+∠MEN+∠2=360°，可得∠FEN+∠2=180 °，依据同旁内角互补，可得出EF ∥CD ，从而获取AB∥CD．本题主要考察了平行线的判断，重点是掌握：同旁内角互补，两直线平行．18.【答案】解：（1）依据题意得：A级人数为4人，A级所占比率为10%，4÷10%=40（人），答：本次参加校园安全知识测试的学生有40 人，（ 2）依据题意得： B 级人数为14 人，总人数为 40，B 级所占的比率为×100%=35% ，B 级所在的扇形圆心角的度数为360 °×35%=126°，C 级人数为 40×50%=20 （人），D级人数为 40-4-14-20=2 （人），补全折线统计图以以下图所示：（3） A、 B、C 三级人数为 4+14+20=38 ，A、 B、 C 三级人数所占比率为×100%=95% ，该校达到及格和及格以上的学生人数为：1000×95%=950（人），答：该校达到及格和及格以上的学生为950 人．【分析】（ 1）依据总人数 =A 级人数÷A 级所占比率即可；（ 2）B 级所占比率 =B 级人数÷总人数， B 级所在的扇形圆心角的度数=360°×B 级所占的比率，由图象可知， C 级所占的比率为50%，算出 C 级人数，从而算出 D 级人数，补全折线统计图即可；（ 3）依据（ 1）（ 2）的结果计算出A、 B、 C 三级人数及所占比率，1000×A、 B、C 所占比率即为所求答案．本题考察折线统计图，用样本预计整体，扇形统计图，掌握知识点概率=所讨状况数与总状况数之比是解题的重点．19.【答案】解：（1 A'B'C'）如图，△即为所求．（ 2）取 AB 的中点 P 即可．点P 以下图．原因：作PE ⊥AC 于 E，PF ⊥BC 于 F．易证 PE= BC= ， PF= AC= ，∴PE+PF= + =4．【分析】（ 1）分别作出A， C 的对应点 A′， C′即可．（2）取格点 G， H ，连结 GH 交 AB 于点 P，此时 PA=PB，点 P 即为所求．本题考察作图 -旋转变换，点到直线的距离等知识，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）连结OB，则OA=OB．如图1，∵OP ⊥AB，∴AC=BC ，∴OP 是 AB 的垂直均分线，∴PA=PB．在△PAO 和△PBO 中，∵，∴△PAO≌△PBO（ SSS），∴∠PBO=∠PAO．∵PB 为⊙ O 的切线， B 为切点，∴∠PBO=90 °，∴∠PAO=90 °，即 PA⊥OA ，∴PA 是⊙ O 的切线；（ 2）连结 BE．如图 2，∵在 Rt△AOC 中， tan∠BAD=tan∠CAO= = ，且 OC=4 ，∴AC=6 ，则 BC=6．在 Rt△APO 中，∵AC⊥OP，∴△PAC∽△AOC，∴AC 2=OC?PC，解得 PC=9 ，∴OP=PC+OC=13．在 Rt△PBC 中，由勾股定理，得 PB= =3，∵AC=BC ，OA=OE，即 OC 为△ABE 的中位线．∴OC= BE， OC∥BE ，∴BE=2OC=8．∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO ，∴=，即=，解得 BD=．【分析】（ 1）连结 OB，由 SSS证明△PAO≌△PBO ，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；（2）连结 BE，证明△PAC ∽△AOC，证出 OC 是△ABE 的中位线，由三角形中位线定理得出 BE=2 OC，由△DBE ∽△DPO 可求出．本题考察了切线的判断与性质、全等三角形的判断与性质、相像三角形的判断和性质、三角形中位线定理等知识；娴熟掌握切线的判断，能够经过作协助线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题（2）的重点．21.【答案】解：（1）假定p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得： k=-30 ，b=1500，∴p=-30x+1500 ，查验：当x=35 ， p=450；当 x=45， p=150；当 x=50， p=0，切合一次函数分析式，∴所求的函数关系为p=-30x+1500 ；（2）设日销售收益 w=p（ x-30） =（ -30x+1500）（ x-30）即 w=-30x2 +2400x-45000，∴当 x=-=40 时， w 有最大值3000 元，故这批农产品的销售价钱定为40 元，才能使日销售收益最大；（3）日赢利 w=p（ x-30-a） =（ -30x+1500）（ x-30-a），即 w=-30x2 +（2400+30 a） x-（ 1500a+45000 ），对称轴为 x=- =40+ a，①若 a＞ 10，则当 x=45 时， w 有最大值，即 w=2250-150a＜ 2430（不合题意）；②若 0<a＜ 10，则当 x=40+ a 时， w 有最大值，将 x=40+ a 代入，可得 w=30 （ a2-10a+100 ），当 w=2430 时， 2430=30（ a2 -10a+100），解得 a1=2，a2=38（舍去），综上所述， a 的值为 2．【分析】（ 1）第一依据表中的数据，可猜想y 与 x 是一次函数关系，任选两点求表达式，再考证猜想的正确性；（ 2）依据题意列出日销售收益w 与销售价钱 x 之间的函数关系式，依据二次函数的性质确立最大值即可；（ 3）依据题意列出日销售收益w 与销售价钱 x 之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种状况进行议论，依照二次函数的性质求得 a 的值．本题主要考察了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数分析式，并将实质问题转变为求函数最值问题，从而来解决实质问题．22.【答案】解：（1）∵∠DAB +∠ABC=180°，∴AD ∥BC，∴= ，∵tan∠C=，∴，∴AD =AB ．（2）①在图 2 中，过 D 作 DH ⊥BC 于 H ，延伸 BE 交 AD 延伸线于 G，易证 ABHD 为正方形，设其边长为 a， DG=b，∵AG∥BC，∴，∵AF=FC ，∴AG=BC，∴四边形 ABCG 是平行四边形，∵∠ABC=90 °∴四边形 ABCG 是矩形，∴FB=FC ，∠BCG=∠AGC=90 °，∴∠FBC=∠FCB ，∵∠FBC+∠BC， E=90 °，∠BCE+∠ECG =90 °，∴∠ECG=∠FBC ，∴∠DCG=∠ACB，∵∠ABC=∠DGC =90 °∴△ABC∽△DGC ，∴，∴，∴a2-ab- b2 =0，∴a=（或a=舍弃），∵DG ∥BC，∴= ===，②由 1 可知四边形ABHD 是正方形，∵∠BDC=75 °，∠BDH =45 °，∴∠HDC =∠DCG =30 °，∵∠DGC=90 °，∴∠CDG=60 °，∠DGE =30 °，设 CH=m，则 DC=2CH =2m， BH =DH = m∴EC= BC= （m+ m）， DE =DC -CE=2m- （ m+ m），∴==．1）依据AD BC得=，又tan C=故AD =AB．【分析】（∥∠故（2）①在图 2 中，过 D 作 DH ⊥BC 于 H ，延伸 BE 交 AD 延伸线于 G，易证 ABHD 为正方形，设其边长为 a， DG=b，依据△ABC∽△DGC ，获取 a、 b 的关系即可解决问题．②依据条件推出∠HDC =∠DCG =30°即可解决问题．本题考察正方形的判断和性质、相像三角形的判断和性质、勾股定理等知识，增添协助线结构特别图形是解决问题的重点．23.【答案】6【分析】解：（ 1）AB =t-（ t-6） =6 ，故答案为6．（ 2）如图 1 中，由题意 C[0， t（ t-6 ） ] ，设抛物线的分析式为y=a（ x-t）（ x-t+6），把点 C 坐标代入，t（ t-6） =at（ t-6），∵t≠0， t≠6，∴a= ，∴抛物线的分析式为y= （ x-t）（ x-t+6）= x2-（ t- ） x+ t2 - t．∵点 P 是抛物线上 x 轴下方的一个动点，∴当点 P 是极点时，△PAB 的面积最大，作PE×⊥AB 于 E，∵点 P 的纵坐标为=- ，∴PE= ，PAB = ×AB PE=．∴△的面积的最大值?（ 3）如图 3 中，设直线l 与 BC 平行，且和抛物线只有一个交点M ，直线 l 交 y 轴于 F ．∵∠ACO=∠CBO ，∠AOC=∠COB ，∴△OAC∽△OCB，∴CO2=OA?OB，2 2∴t （ t-6） =t （ t-6），∵t≠0， t≠6，∴t（t -6） =16，解得 t=-2 或 8（舍弃），∴A（ -2， 0）， B（-8， 0）， C（ 0， 4），∴直线 BC 的分析式为y= x+4 ，设直线l 的分析式为y= x+b，由，消去 y 获取： x2+8x+16-4b=0，由题意△=0， 64-64+16b=0，解得 b=0，∴直线 l 的分析式为 y= x，此时 F 与原点 O 重合，S△BCM=S△BCO= ×4×8=16 ，在点 C 的上方取一点E，使得 OF =OE=4，过 E 作直线 l′ ∥BC，当点 P 在 y 轴左边直线l ′上方时，关于每一个m 的值，都有独一确立的点P 和它对应，∴m＞ 16．（1）用点 A 的横坐标减去点 B 的横坐标即可；（ 2）当点 P 是极点时，△PAB 的面积最大，作 PE×⊥AB 于 E，求出点 P 的纵坐标即可解决问题；（3）如图 3 中，设直线 l 与 BC 平行，且和抛物线只有一个交点M，直线 l 交 y 轴于 F ．首先求出直线 l 的分析式和点 F 的坐标，求出△BCF 的面积，再依据对称性即可解决问题；本题考察二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程、相像三角形的判断和性质、待定系数法等知识，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，学会利用参数建立方程解决问题，本题表现了数形联合的思想，学会利用图象解决问题，属于中考压轴题．。

湖北省武汉市华中师大一附中2020届高考数学押题试卷1(含答案解析)

湖北省武汉市华中师大一附中2020届高考数学押题试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={y|y =x 2,x ∈R}，B ={x||x|≤2,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {x|−2≤x ≤2}B. {x|0≤x ≤2)C. {x|x ≥0}D. ⌀2. 已知复数z 满足(1−3i)z =(1+i)(3+i)，则z 的共轭复数为( )A. −1+iB. 1+iC. −1−iD. 1−i3. 已知a =32,b =log 1213,c =(13)13，则( )A. b >a >cB. c >a >bC. c >b >aD. a >b >c4. 函数f(x)=x−cos(32π−x)x 2−cos(π−x)在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.5. 本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是( )A. 19 B. 16 C. 13 D. 12 6. 若平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=6,(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −3b ⃗ )=−72，则向量b ⃗ 的模为( )A. 2B. 4C. 6D. 127. 随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品“.如图是2015年--2019年，我国对快递行业发展的统计图．下面描述错误的是( )A. 从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B. 2016年，快递业务量增长速度最快C. 从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D. 从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓8. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosB b+cosC c=2√3sinA3sinC，cosB +√3sinB =2，则a +c 的取值范围是( )A. (√32,√3]B. (32,√3]C. [√32,√3]D. [32,√3]9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高两丈．问积及为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少？”如图所示，主人欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛等于2700立方寸，一斛粟米卖540钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子(单位换算：1立方丈=106立方寸)( )A. 800两B. 1600两C. 2400两D. 3200两10. 设A ，B 为双曲线x 2a 2−y2b 2=λ(λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，若向量n ⃗ =(0,2)，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |n ⃗⃗ |=−1，则双曲线的离心率为( )A. 2或3√24B. 3或3√24C. 2√53D. 311. 已知f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<−xf′(x)，则不等式f(x +2)>(x −2)f(x 2−4)的解集是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (2,3)D. (3,+∞)12. 将函数f(x)=cosx 的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在(π2,3π2)上没有零点，则ω的取值范围是( )A. (0,29]∪[23,89] B. (0,29] C. (0,29]∪[89,1]D. (0,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x 、y 满足约束条件{y −x ≤0x +y −1≤0y +1≥0，则z =3x +y +1的最大值为______．14. 若数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n+11−a n，a 2020=______．15. 若π4<x <π2，则函数y =2tan2xtan 3x 的最大值为______．16. 菱形ABCD 边长为3，∠BAD =60°，将△BCD 沿对角线BD 翻折使得二面角C −BD −A 的大小为120°，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }，{b n }中，a n =b n +n +1，b n =−a n +1．(1)证明：数列{a n +3b n }是等差数列； (2)求数列{a n +3b n2}的前n 项和S n ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB =2AD =4，PD =BD =√3AD ，且PD ⊥底面ABCD ． (1)证明：BC ⊥平面PBD ；(2)若Q 为PC 的中点，求三棱锥A −PBQ 的体积．19.2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取100名学生对于线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为3：2，其中男生有50人表示对线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意(1)完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；满意不满意总计男生50女生15合计1002名学生，介绍线上学习的经验，求抽取的两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率．．参考公式：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.6357.87910.82820. 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点A(0,−2)，离心率为√33． (1)求椭圆M 的方程；(2)经过点E(0,1)且斜率存在的直线l 交椭圆于Q 、N 两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接AB ，AN.是否存在实数λ，使得对任意直线l ，都有k AN =λk AB 成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21. 函数f(x)=e x +sinx +ax ．(1)若x =0为f(x)的极值点，求实数a ；(2)若f(x)≥1在[0,+∞)上恒成立，求实数a 的范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数，0≤α<π)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ． (1)求曲线C 的直角坐标方程：(2)设点M 的坐标为(1,0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R．(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A ={y|y =x 2,x ∈R}={y|y ≥0}， B ={x||x|≤2,x ∈R}={x|−2≤x ≤2}， ∴A ∩B ={x|0≤x ≤2}．故选：B ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：由(1−3i)z =(1+i)(3+i)=3+i +3i −1=2+4i ，得z =2+4i1−3i =(2+4i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=−10+10i 10=−1+i ，∴z −=−1−i ．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：因为a =32=log 2√8，b =log 1213=log 23，c =(13)13∈(0,1)，则b >a >c ．故选：A ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题4.答案：D解析：解：函数f(x)=x−cos(32π−x)x 2−cos(π−x)=x+sinxx 2+cosx ，当x =0时，f(0)=0，故排除A ，当x =π2时，f(π2)=π2+1π24>0，故排除C ，当x =π时，f(π)=ππ2−1>0，故排除B ，故选：D ．根据函数值得特点，利用特殊值法即可得到结论．本题考查了函数图象的识别，属于基础题．5.答案：B解析：解：据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则{1≤x ≤41≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则{3≤x ≤42≤y ≤3所对应的正方形区域的面积为1，所以P =16．故选：B ．本题为和面积有关的几何概型问题，列出甲乙各自到达的时间x ，y 应满足的不等关系，而下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习包含的基本事件满足另一不等关系，分别求出它们对应的区域的面积，代入公式即可．本题考查了与面积有关的几何概型问题，属基础题．6.答案：B解析：解：∵(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −3b ⃗ )=−72，∴a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −6b ⃗ 2=−72，即36−6×|b ⃗|×cos60°−6|b ⃗ |2=−72，解得|b ⃗ |=4或−92(舍负)．故选：B ．将已知条件中的等式展开化简后可得a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −6b ⃗ 2=−72，再根据平面向量数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，主要考查学生的运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：对于选项A ：由图可见，从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，故选项A 正确；对于选项B ：2016年，快递业务量增长速度最快，故选项B 正确；对于选项C ：从2016到2019年，快递业务量逐年增长，但快递业务量增长速度逐年放缓，故选项C 错误；对于选项D ：由图可见，从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓，故选项D 正确，故选：C ．根据统计图逐个分析选项即可．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．。

2020年中考数学压轴题(含答案解析)

2020年中考数学压轴题一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）A．B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为．第3题第4题4．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC ＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．三、解答题5．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．6．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD①请说明△ADB∽△OPB；②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接PA，点P在运动过程中，PA﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝，将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入，∴x＝，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：A．2．【分析】在AB上截取AF＝AC＝2，由旋转的性质可得AD＝AE，由勾股定理可求AB＝2，可得BF ＝2﹣2，由“SAS”可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值．【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝2﹣2∵∠DAE＝45°＝∠BAC∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为＝2﹣故选：D．二、填空题3．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD ＝5、BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，∴B′H＝OE＝2.5，∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，∴CG＝B′E＝OH＝＝＝2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，故答案为：4．4．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO 的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，三、解答题5．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；（2）分A′B＝BC、A′B＝A′C两种情况，根据等腰三角形的性质解答；（3）根据题意画出图形，根据锐角三角函数的概念计算．【解答】解：（1）如图1，∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，当点A′落在边BC上时，由题意得，四边形APA′D为平行四边形，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△APD∽△ABC，∵AP＝5x，∴A′P＝AD＝4x，PC＝4﹣5x，∵∠A′PD＝∠ADP，∴A′P∥AB，∴△A′PC∽△ABC，∴，即＝，解得：x＝，∴当点A′落在边BC上时，x＝；（2）当A′B＝BC时，（5﹣8x）2+（3x）2＝32，解得：．∵x≤，∴；当A′B＝A′C时，x＝．（3）Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，∴DH＝PA'＝AD，HE＝B′Q＝EB，∵AB＝2AD+2EB＝2×4x+2×3x＝5，∴x＝，∴A′B′＝QE﹣PD＝x＝；Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，∴B′E＝5x，DE＝5﹣7x，∴cos B＝，∴x＝，∴A′B′＝B′D﹣A′D＝；Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，由（1）有，x＝，∴A′B′＝PA′sin A＝；当A′B′⊥AB时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥BC时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥AC时，x＝，A′B′＝．6．【分析】（1）①由∠ABO＝90°和DB⊥PB可得∠DBA＝∠PBO，结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论．②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，由AD∥OB平行可得∠DAB＝90°，而△ADB∽△OPB可知∠POB＝90°，由已知可求出AD．由Rt△DHO即可计算OD的长，③由△ADB∽△OPB可知，可求AD＝，由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，所以OD的最大值为OD过A点时最大．求出OA即可得到答案．（2）在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，构造△BOP～△POB′，可得＝PA﹣PB′≤AB'，求出AB’即可求出最大值．【解答】解：（1）①∵DB⊥PB，∠ABO＝90°，∴∠ADB＝∠CDP，又∵AB＝3，BO＝4，DB：PB＝3：4，即：，∴△ADB∽△OPB；②如解图（2），过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，∵AD∥OB，∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°，又∵△ADB∽△OPB，∴，∴AD＝，∵四边形ADHB为矩形，∴HD＝AB＝3，HB＝AD＝，∴OH＝OB+HB＝在Rt△DHO中，OD＝＝＝．③在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，∴OA＝5．由②得AD＝，∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，∴OD的最大值为OD过A点时最大，即OD的最大值为＝OA+AD＝5+＝．（2）如解图（4），在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，∵∠BOP＝∠POB′，＝，∴△BOP～△POB′，∴，∴＝PA﹣PB′≤AB'，∴∴有最大值为AB′，在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝＝，∴AB′＝＝＝，即：点P在运动过程中，PA﹣有最大值为，2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°2．如图，P是半圆O上一点，Q是半径OA延长线上一点，AQ＝OA＝1，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQR，连接OR．则线段OR的最大值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题3．如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为．第3题第4题4．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为．三、解答题5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．6．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线AH，∵∠BAE＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝60°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：D．2．【分析】将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，可得ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2，由直角三角形的性质可得EO＝RO，由三角形三边关系可得EO≤PO+EP＝3，即可求解．【解答】解：将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，∴ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2∴EO＝RO，∵EO≤PO+EP＝3∴RO≤3∴OR的最大值＝故选：A．二、填空题3．【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出＝，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝，∵CG＝DG，CF＝FB，∴GF＝BD＝，∵AG⊥FG，∴∠AGF＝90°，∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，∴＝，∴＝，∴b2＝2a2，∵a＞0．b＞0，∴b＝a，在Rt△GCF中，3a2＝，∴a＝，∴AB＝2b＝2．故答案为2．4．【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'D，∵CD⊥AP，∴∠ADC＝90°，∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠CAB＝60°，∴BC＝AB•sin60°＝4，AC＝AB•cos60°＝4，∴AO'＝CO'＝2，∴BO'＝＝＝2，∵O′D+BD≥O′B，∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝2﹣2，故答案为2﹣2．三、解答题5．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADF，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；（2）根据圆周角定理得到AD⊥BF，推出△ACB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质得到结论；（3）设CD＝k，BC＝2k，根据勾股定理得到BD＝＝k＝10，求得＝2，BC＝AC＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．6．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．2020年中考数学压轴题一、选择题1．已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象的一部分如图所示，则a +b +c 取值范围是（）A ．﹣2＜a +b +c ＜0B ．﹣2＜a +b +c ＜2C ．0＜a +b +c ＜2D ．a +b +c ＜22．如图所示，矩形OABC 中，OA ＝2OC ，D 是对角线OB 上的一点，OD ＝OB ，E 是边AB 上的一点．AE ＝AB ，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过D ，E 两点，交BC 于点F ，AC 与OB 交于点M ．EF与OB 交于点G ，且四边形BFDE 的面积为．下列结论：①EF ∥AC ；②k ＝2；③矩形OABC 的面积为；④点F 的坐标为（，）正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 3．如图，二次函数y ＝（x +2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式（x +2）2+m ≤kx +b 的x 的取值范围是．4．如图，AE=4，以AE 为直径作⊙O ，点B 是直径AE 上的一动点，以AB 为边在AE 的上方作正方形ABCD ，取CD 的中点M ，将△ADM 沿直线AM 对折，当点D 的对应点D ´落在⊙O 上时，BE 的长为 .三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，有不重合的两个点Q （x 1，y 1）与P （x 2，y 2）．若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 轴或y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“折距”，记做D PQ ．特别地，当PQ 与某条坐标轴平EA OB D CM D´行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”D PQ＝3．（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则D AO＝，D BO＝．②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出D CO的最小值．（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”D EF的最小值．6．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在AD上，ED＝3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF＝，PF＝．（2）如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值．（3）如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．①当外接圆⊙O与四边形ABCE的边BC或CE相切时，请求出符合要求的t的值；②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．【答案与解析】一、选择题1．【分析】函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下可知a小于0，由于抛物线顶点在第一象限即抛物线对称轴在y轴右侧，当x＝1时，抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围，将a+b+c用a表示出即可得出答案．【解答】解：由图象可知：a＜0，图象过点（0，1），所以c＝1，图象过点（﹣1，0），则a﹣b+1＝0，当x＝1时，应有y＞0，则a+b+1＞0，将a﹣b+1＝0代入，可得a+（a+1）+1＞0，解得a＞﹣1，所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0．又a+b+c＝2a+2，∴0＜a+b+c＜2．故选：C．2．【分析】设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，证明＝即可判断①；表示出D和E的坐标，根据系数k的几何意义求得k的值即可判断②；求得B的坐标，求得矩形OABC的面积即可判断③；求得F的坐标即可判断④．【解答】解：设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，∴B（a，n），∵E，F在反比例函数y＝上，∴ab＝mn，∴BC•AE＝CF•AB，∴＝，∴EF∥AC，故①正确；∵OD＝OB，AE＝AB，∴D（a，n），E（a，n），∵OA＝2OC，∴a＝2n，∴B（2n，n），D（n，n），E（2n，n），∵反比例函数y＝经过点F，E，∴k＝mn＝2n•n，∴m＝n，∴F（n，n），∴BF＝2n﹣n＝n，BE＝n，∵四边形BFDE的面积＝S△BDF+S△BDE＝，∴×n×（n﹣n）+×n×（2n﹣n）＝，解得n＝，∴E（3，），F（，）∴k＝3×＝2，故②④正确；∵B（3，），∴矩形OABC的面积为，故③正确；故选：A．二、填空题3．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．4.三、解答题5．【分析】（1）①D AO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，即可求解；②设点C（m，4﹣m），则D CO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，D CO最小，即可求解；（2）EF1是“折距”D EF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，即可求解．【解答】解：（1）①D AO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，同理D BO＝1，故答案为：5，1；②设点C（m，4﹣m），则D CO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，D CO最小，最小值为4；（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y＝﹣x+4于F1、F2，则EF1是“折距”D EF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，如图3，将直线y＝﹣x+4向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（﹣2，0）、点N（0，6），则MN＝2，则△MON∽△GEO，则，即，则GO＝，EF1＝MG＝2﹣＝．6．【分析】（1）由△PFB∽△ECD，得＝＝，由此即可解决问题．（2）如图2中，由△D′MG∽△CDE，得＝，求出MG，根据PF＝CG＝CM﹣MG，列出方程即可解决问题．（3）①存在．如图4中，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG，由PB＝MF＝MG＝FG＝PC，得到3t＝（5﹣3t），即可解决问题．如图5中，当⊙O与BC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP，由△FGM∽△PFB，得＝，列出方程即可解决问题．②求出两种特殊位置t的值即可判断．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，在Rt△ECD中，∵∠D＝90°，ED＝3．CD＝4，∴EC＝＝5，∵PF∥CE，FG∥BC，∴四边形PFGC是平行四边形，∴∠FPB＝∠ECB＝∠DEC，∴△PFB∽△ECD，∴＝＝，∴＝＝，∴BF＝4t，PF＝5t，故答案为4t，5t．（2）如图2中，∴D、D′关于CE对称，∴DD′⊥CE，DM＝MD′，∵•DE•DC＝•EC•DM，∴DM＝D′M＝，CM＝＝，由△D′MG∽△CDE，得＝，∴＝，∴MG＝，∴PF＝CG＝CM﹣MG，∴5t＝﹣，∴t＝．∴t＝时，D′落在FG上．（3）存在．①如图4中，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG．∵OP⊥BC，BC∥FG，∴PO⊥FG，∴FM＝MG由PB＝MF＝MG＝FG＝PC，得到3t＝（5﹣3t），解得t＝．如图5中，当⊙O与EC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP．∵OG⊥EC，BF∥EC，∴GO⊥PF，∴MF＝MP＝t，∵△FGM∽△PFB，∴＝，∴＝，解得t＝．综上所述t＝或时，⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切．②如图6中，当∠FPG＝90°时，由cos∠PCG＝cos∠CED，∴＝，∴t＝，如图7中，当∠FGP＝90°时，∴＝，∴t＝，观察图象可知：当＜t＜时，外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣82．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值二、填空题3．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF 最大时，S△ADE＝．第3题第4题4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．三、解答题5．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．6．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx﹣对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．2．【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF ＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC﹣S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．二、填空题3．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH ≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．4．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．三、解答题5．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．6．【分析】（1）令二次函数解析式y＝0，解方程即求得点A、B坐标；把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l．（2）把二次函数解析式配方得顶点C（﹣1，﹣4a），由B、C关于直线l对称可知AB＝AC，用a表示AC的长即能列得关于的方程．求得a有两个互为相反数的解，由二次函数图象开口向上可知a＞0，舍去负值．（3）①用待定系数法求直线AC解析式，由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同，再代入点B坐标即求得直线BD解析式．把直线l与直线BD解析式联立方程组，求得的解即为点D坐标．②由点B、C关于直线l对称，连接BN即有B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM最小；作点D关于直线AC的对称点Q，连接DQ交直线AC于点E，可证B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ最小，CN+NM+MD最小值＝BM+MD最小值＝BQ．由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ，即∠BDQ＝90°．由B、D坐标易求BD的长；由B、C关于直线l 对称可得l平分∠BAC，作DF⊥x轴于F则有DF＝DE，所以DQ＝2DE＝2DF＝4；利用勾股定理即求得BQ的长．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）∵直线l：y＝kx﹣经过点A∴﹣3k﹣＝0 解得：k＝﹣∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）∵C、B关于直线l对称，A在直线l上∴AC＝AB，即AC2＝AB2∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2解得：a＝±（舍去负值），即a＝∴二次函数解析式为：y＝x2+x﹣（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c把点B（1，0）代入得：﹣+c＝0 解得：c＝∴直线BD解析式为y＝﹣x+∵解得：∴点D坐标为（3，﹣2）如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ．∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上∴BN＝CN∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB，DE⊥AC∴DE＝DF＝|y D|＝2∴DQ＝2DE＝4∵B（1，0），D（3，﹣2）∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16∵BD∥AC∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°∴BQ＝∴CN+NM+MD的最小值为8．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是（）A．△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ABF的内心D．△ABF的外心2．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．B．C．D．二、填空题3．如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD′，且A′D′与CD相交于CD边的中点E，若AB＝4，则△ECD′的面积是．4．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．三、解答题5．如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．（1）求证：四边形ECDG是菱形；（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．6．如图，已知△BAC为圆O内接三角形，AB＝AC，D为⊙O上一点，连接CD、BD，BD与AC交于点E，且BC2＝AC•CE①求证：∠CDB＝∠CBD；②若∠D＝30°，且⊙O的半径为3+，I为△BCD内心，求OI的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】连接OB、OC，根据AB＝AC，AO平分∠BAC，∠BAC＝50°，可得AO是BC的垂直平分线，∠BAO＝∠CAO＝25°，得OB＝OC，根据折叠可证明∠OAC＝∠OCA＝25°，得OA＝OC，进而OA＝OB＝OC，可得点O是三角形ABC的外心．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵AB＝AC，AO平分∠BAC，∴AO是BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵∠BAC＝50°，AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO＝25°，根据折叠可知：CF＝OF，∠OFE＝∠CFE＝50°，∴∠OFC＝100°，∴∠FCO＝（180°﹣100°）＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠OCA＝∠ACB﹣∠FCO＝65°﹣40°＝25°，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．故选：B．2．【分析】过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC，构造直角△EFN，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，根据相似三角形的对应边成比例，求得NE＝CD＝，运用正方形性质，可得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【解答】解：如图，过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC．∵DE的中点为G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴DE：EF＝2：1．∵∠DCE＝∠ENF＝90°，∠DEC+∠NEF＝90°，∠NEF+∠EFN＝90°，∴∠DEC＝∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∴CE：FN＝DE：EF＝DC：NE＝2：1，∴CE＝2NF，NE＝CD＝．∵∠ACB＝45°，∴当∠NCF＝45°时，A、C、F在一条直线上．则△CNF是等腰直角三角形，∴CN＝NF，∴CE＝NE＝×＝，∴CE＝时，A、C、F在一条直线上．故选：D．二、填空题3．【分析】作A'F⊥BC于F，则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，A'F＝AB＝2，得出∠D'＝∠A'BC＝30°，得出BF＝A'F＝2，由矩形和平行四边形的性质得出BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，得出CD⊥A'D'，得出A'F∥CD，证出四边形A'ECF 是矩形，得出CE＝A'F＝2，A'E＝CF，证出DE＝BF＝2，即可得出答案．【解答】解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝2，∴∠D'＝∠A'BC＝30°，∴BF＝A'F＝2，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝2，A'E＝CF，∴DE＝BF＝2，∴△ECD的面积＝DE×CE＝×2×2＝2；4．【分析】首先，需要证明线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹），如图1所示．利用相似三角形可以证明；其次，证明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的长．【解答】解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，BB i，∵AO⊥AB1，AP⊥AB i，∴∠OAP＝∠B1AB i，又∵AB1＝AO•tan30°，AB i＝AP•tan30°，∴AB1：AO＝AB i：AP，∴△AB1B i∽△AOP，∴∠B1B i＝∠AOP．同理得△AB1B2∽△AON，∴∠AB1B2＝∠AOP，∴∠AB1B i＝∠AB1B2，∴点B i在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹）．由图形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，∴，Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，∴＝，∴，∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，∴∠PAN＝∠B1AB2，∴△APN∽△AB1B2，∴＝＝，∵ON：y＝﹣x，∴△OMN是等腰直角三角形，∴OM＝MN＝，∴PN＝，∴B1B2＝，综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为．故答案为：．。

【精准解析】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020届高三下学期押题考试数学(文)试题

华中师范大学第一附属中学2020年高考押题考试文科数学一、选择题1.若集合{}2,A y y x x R ==∈，{}2,B x x x R =≤∈，则AB =（）A. {}22x x -≤≤ B. {}02x x ≤≤C. {}0x x ≥D. φ【答案】B 【解析】【分析】分别求出集合A 和集合B ,再求交集即可. 【详解】解: {}{}2,0A y y x x R y y ==∈=≥,{}{}2,22B x x x R x =≤∈=-≤≤,A B ={}02x x ≤≤故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.2.已知复数z 满足()()()13i 1i 3i z -=++，则z 的共轭复数为（） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -+D. 1i -【答案】A 【解析】【分析】转化()()()13i 1i 3i z -=++为()()1i 3i 13iz ++=-，再利用复数的乘除法运算计算即可.【详解】解：由题知()()()()()()1i 3i 2413241010===113i 13131310i i i i z ii i i +++++-+==-+---+，所以z 的共轭复数为1i --. 故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，共轭复数的概念，是考查数学运算能力，是基础题.3.已知32a =，121log 3b =，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A. b a c >> B. c a b >>C. c b a >>D. a b c >>【答案】A 【解析】【分析】先比较和0，1的大小，易比较出c 最小，,a b 再进行同底对数变形比较真数的大小即可.【详解】由已知可得：321231log 22a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1211log 3b <=，131031c ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝ 只需比较3212⎛⎫ ⎪⎝⎭和13的大小即可，同时平方321123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b <所以c a b << 故选：A【点睛】此题考查指对数比较大小，一般先和0，1比较缩小比较范围，再同底变化或者通过图像判断等，属于较易题目.4.函数()()23cos 2cos x x f x x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=--的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】化简函数表达式得()2sin cos x xf x x x+=+，然后利用特殊值法和排除法得到答案.【详解】解：()()223cos sin 2cos cos x x x x f x x x x x ππ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭==--+，x ∈R ，()22sin sin ()cos cos x x x xf x f x x x x x--+-===-=-++，∴ ()f x 为奇函数，排除A 选项，当2x π= 时，221242()124f πππππ++==> ，选项B ,C 排除，故选：D .【点睛】此类题目多采用特殊值法，结合奇偶性、单调性得出答案，选特殊值时应该选具有区分度的特殊值和好计算的特殊值.5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放，甲、乙两人计划前去游泳，其中甲连续游泳2小时，乙连续游泳3小时．假设这两人各自随机到达游泳馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是（） A.12B.13C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】设出甲乙到达的时刻，求出满足条件的不等式组，作出对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】解; 据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆,设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则应满足1413x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，如图，所对应的矩形ABCD 区域的面积为6，下午5钟点时，甲、乙两人都在自习，则应满足3423x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所对应的正方形CEFG 区域的面积为1，故16P =.故选：C.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键． 6.若平面向量a 与b 的夹角为60°，6a =，()()2372a b a b +⋅-=-，则向量b 的模为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据向量数量积公式，计算即可.【详解】解：()()2222236cos 60672a b a b a a b b a a b b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，又因为6a =，所以2366cos 60672b b -⋅-=-整理得：2236=0b b +-，解得：=4b 或92b =-（舍），故=4b . 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积，是基础题.7.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2015年—2019年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（）A. 从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B. 2016年，快递业务量增长速度最快C. 从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D. 从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓【答案】C 【解析】【分析】本题首先可以结合图像判断出A 正确，然后求出从2016到2019年每一年的快递业务量增长率，即可得出结果.【详解】结合图像易知，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，A 正确，2016年，快递业务量增长率为312.8206.710051206.7％％； 2017年，快递业务量增长率为400.6312.810028312.8％％； 2018年，快递业务量增长率为507.1400.610027400.6％％； 2019年，快递业务量增长率为635.2507.110025507.1％％；故2016年的快递业务量增长速度最快，B 正确，从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓，C 错误，D 正确，故选：C.【点睛】本题主要考查学生对增长率的理解，能否从题意中找出需要的信息是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.8.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 33sin B C Ab c C+=，cos 32B B +=，则a c +的取值范围是（）A. 2⎛ ⎝B. 32⎛ ⎝C. ⎣D. 32⎡⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简cos cos 3sin B C Ab c C+=求出b ，由cos 2B B +=结合22sin cos 1B B +=，求得sin ,cos B B ，从而求出B 的值，再由正弦定理将,a c 结合,A C 关系，转化为C （或A ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.【详解】由cos cos 3sin B C Ab c C+=可得： cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B Cbc b C ++=()sin sin 3sin B C A b C C +==，∴2b =.1cos 2cos 2B B B B ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2663B πππ<+<∴62B ππ+=，3B π=，1sin bB=，∴23A C π+=，又2032C A ππ<=-<， 02A π<<，∴62A ππ<<，2sin sin sin sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∵62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴33sin 326A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭. 故选B .【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高两丈．问积及为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少？”如图所示，主人欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛等于2700立方寸，一斛粟米卖540钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1立方丈=610立方寸）（）A. 800两B. 1600两C. 2400两D. 3200两【答案】B 【解析】【分析】先计算它的体积，在根据题意计算即可.【详解】解：由底圆周长为12丈，圆周率约为3得底面半径为：2r丈，该堆粟的体积为：211833V Sh r h π==⨯⨯⨯=立方丈，故共有6810⨯立方寸，故主人欲卖得银子为：681027005401000=1600⨯÷⨯÷两. 故选：B.【点睛】本题考查空间几何体的体积的计算，考查数学文化的相关，是中档题.10.设A ，B 为双曲线()22220x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，若向量()0,2n =，3AB =且1AB nn⋅=-，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 3 D. 3【答案】B 【解析】【详解】由题意得11cos ,3AB n AB n AB n n AB nAB⋅⋅==⋅=-⋅， ∴22sin ,3AB n =． ①当双曲线的焦点在x 轴上时，其渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， ∴点（0,2）到渐近线的距离为42sin ,d n AB n ===，整理得2218b a =，∴ 4c e a ====． ②当双曲线的焦点在y 轴上时，其渐近线方程为0ax by ±=， ∴点（0,2）到渐近线的距离为42sin ,3d n AB n ===，整理得228b a=，∴ 3c e a ====．综上双曲线的离心率为4或3．选B ．点睛：（1）解答本题时要读懂题意，结合1AB nn⋅=-可得向量AB 与n 夹角的正弦值，进而得到点（0,2）到渐近线的距离，这是解题的突破口．然后再根据点到直线的距离公式得到3=，变形后根据定义可得双曲线的离心率．（2）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c的方程或不等式，利用222b c a=-和cea=转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．11.已知()f x的定义城为()0,∞+，()f x'为()f x的导函数，且满足()()f x xf x'<-，则不等式()()()2224f x x f x+>--的解集是（）A. ()0,3 B. ()2,3 C. ()3,+∞ D. ()2,+∞【答案】C【解析】【分析】先由()()0f x xf x'+<坐标结构特点想到构造函数()y xf x=并得到其单调性，再对()()()2224f x x f x+>--两边同乘2x+，得到()()()()222244x f x x f x++>--，结合()y xf x=单调性可得不等式224x x+<-，解出答案.【详解】解：构造函数()y xf x=则()()0y f x xf x+''=<所以()y xf x=在()0,∞+上单调递减又因为()()()2224f x x f x+>--所以()()()()222244x f x x f x++>--所以224x x+<-解得3x>或2x<-（舍）所以不等式()()()2111f x x f x+>--的解集是()3,+∞故选:C【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.12.将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A. 228(0,][,]939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]【答案】A 【解析】【分析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象，∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k =0时，解2839ω≤≤，当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A .【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 二、填空题13.已知实数x ，y 满足约束条件01010y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则31z x y =++的最大值为______．【答案】6 【解析】【分析】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数过点A 时，z 取得最大值，求解即可.【详解】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，联立1010y x y +=⎧⎨+-=⎩，可得()2,1A -，目标函数可化为31y x z =--+，当目标函数过点A 时，z 取得最大值，max 32116z =⨯-+=. 故答案为：6.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学方法的应用，属于基础题. 14.若数列{a n }满足a 1＝2，a n +111n na a +=-，a 2020＝_____. 【答案】13【解析】【分析】分别求出2345,,,a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-， ∴121131a a a +==--，同理可得：()3311132a -+==---， 411121312a -+==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，51132113a +==-， …∴数列{}n a 是周期为4的数列，又2020＝505×4，∴2020413a a ==，故答案为：13. 【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式，常用的方法有：（1）通过观察、分析、联想、比较，发现项与项之间的关系；（2）如果关系不明显，可以将该数列同时加上或减去一个数，或分解等，将规律呈现出来，便于找出通项公式；（3）正负号间隔的用()1n-或()11n +-来调整；（4）若项中出现分式，则要分子分母分别找通项，同时要注意分子分母的关系；（5）分别观察奇数项与偶数项的的变化规律，可用分段函数的形式写出通项公式. 15.若42x ππ<<，则函数32tan 2tan y x x =的最大值为______．【答案】16- 【解析】【分析】先根据二倍角正切公式化简，取倒数转化为关于21tan x的一元二次函数，再根据二次函数性质求最值,即得结果. 【详解】解:,tan 142x x ππ<<∴>43222tan 4tan 2tan 1tan 1tan x x y x x x ∴=⨯⋅=--. 42111()4tan tan 1y x x∴=- 令21tan t x=，则(0,1)t ∈2211111()[()]4424t t t y ∴=-=--. 当12t =时，1y 最小值为116-，110,1616y y∴-≤<∴≤-. 即y 的最大值为16-故答案为：16-【点睛】本题考查二倍角正切公式、利用二次函数求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.菱形ABCD 边长为3，60BAD ∠=︒，将BCD 沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120°，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于______．【答案】21π 【解析】【分析】利用三棱锥外接球球心与底面三角形外心的连线垂直于底面，作出ABD △，BCD 的外心1O ，2O ，三棱锥C ABD -的外接球球心O ，利用ABD △，BCD 均为等边三角形得到1213O E O E AE ==，123AO AE =，由120AEC ∠=得到60∠=AEO ，从而求出1OO ，进而求出外接球半径，得出答案. 【详解】如图，E 为BD 的中点，1O ，2O 分别为ABD △，BCD 的外心，O 为三棱锥C ABD -的外接球球心，菱形ABCD 边长为3，60BAD ∠=︒，∴ AEC ∠为二面角C BD A --的平面角，故120AEC ∠=，22332AE CE AB BE ==-=，121332O E O E AE ===，1233AO AE ==，12,△△OO E OO E 均为直角三角形，12==90∠∠OO E OO E12=O E O E ，OE OE =所以12△△≅OO E OO E ，所以=60∠∠=AEO CEO 由11tan OO AEO O E∠=，∴113tan tan 602=∠==OO O E AEO ， ∴222211214R AO AO OO ==+=， ∴球的表面积为2421S R ππ==，故答案为：21π.【点睛】此题关键是作出图形，找到外接球球心位置，要利用好“外接球球心与底面三角形外心的连线垂直于底面”这个性质. 三、解答题（一）必考题17.在数列{}n a ，{}n b 中，1n n a b n =++，1n n b a =-+．（1）证明：数列{}3n n a b +是等差数列；（2）求数列32n n na b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）112n n n S +=-．【解析】【分析】（1）可将1n n b a =-+代入1n n a b n =++，计算可得数列{}n a 的通项公式，然后根据1n n b a =-+可得数列{}n b 的通项公式，即可计算出数列{}3n n a b +的通项公式，再根据定义法可证明数列{}3n n a b +是等差数列；（2）先根据（1）的结果计算出数列32n n na b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减法可求出前n项和n S .【详解】（1）证明：由题意，将1n n b a =-+代入1n n a b n =++，可得11n n a a n =-+++，即22n a n =+， ∴22n n a +=，∴21122n n n n b a +=-+=-+=-， ∴233122n n n na b n ++=-=-． ∵()()()11331111n n n n a b a b n n +++-+=-+--=-， ∴数列{}3n n a b +是以1-为公差的等差数列．（2）由（1）知，3122n n nn a b n+-=，则2011222n n nS --=++⋅⋅⋅+， 23110112222n n n S +--=++⋅⋅⋅+，两式相减，得1231111111111142122222212n n n n n n nS -++⎛⎫- ⎪-----⎝⎭=++⋅⋅⋅+-=---111111122222n n n n n ++-+=-+-=-，所以112n n n S +=-．【点睛】本题主要考查数列求通项公式，等差数列的证明，以及运用错位相减法求和的问题，考查了转化与化归思想、逻辑思维能力和数学运算能力，属于中档题.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，24AB AD ==，PD BD ==，且PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：BC ⊥平面PBD ；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥A PBQ -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）通过条件各边长之间的关系得AD BD ⊥,再利用底面ABCD 为平行四边形可得BC BD ⊥，再根据PD ⊥平面ABCD 求得PD BC ⊥，即可证明BC ⊥平面PBD .（2）利用三棱A PBQ -的积和三棱锥A QBC -的积相等，将体积转化即可。