苏科版-数学-九年级上册-知识拓展 布丰的投针试验
蒲丰投针试验讲解课件
该试验不仅在理论上具有重要意义，对 于理解随机性和几何规律的本质有重要 贡献，而且在实际应用中也有广泛的应
用价值。
蒲丰投针试验可以应用于统计学、物理 学、计算机科学等多个领域，为相关领
域的研究提供了重要的启示和工具。
蒲丰投针试验的局限性
01
02
03
04
蒲丰投针试验虽然是一个经典 的试验，但是它也存在一些局
针方向与平行线垂直。
重复投掷蒲丰投针N次，记录每 次投掷的结果。
测量与计算阶段
测量投掷后蒲丰投针 与平行线之间的距离 ，记录下来。
根据公式π=2*n/N ，计算π的近似值， 其中n为相交次数， N为投掷次数。
根据记录的数据，计 算蒲丰投针与平行线 相交的次数。
CHAPTER 03
试验结果分析
蒲丰投针试验的预期结果
蒲丰投针试验是一种估算π值的方法，其预期结果是通过投掷 一根针到一张白纸上，然后统计针与白纸边缘相交的次数， 来估算π的值。
蒲丰投针试验的预期结果是根据概率论和几何学原理推导出 来的，即当投掷次数足够多时，针与白纸边缘相交的频率接 近于π/4。
实际结果与预期结果的比较
在实际进行蒲丰投针试验时，需要记录针与白纸边缘相交的次数，并计 算出相应的π值。
限性。
首先，该试验的结果受到投针 方式、试验环境等因素的影响 ，可能导致结果存在误差。
其次，蒲丰投针试验的应用范 围相对有限，主要适用于一些 特定的几何形状和随机性问题
。
最后，蒲丰投针试验的结论仅 适用于理想化的模型，与实际
情况可能存在差异。
未来研究方向与展望
随着科学技术的发展和研究的深入， 蒲丰投针试验在未来仍有广阔的研究 前景。
蒲丰投针试验讲解课 件
投针实验详解
一、 问题的提出在人类数学文化史中，对圆周率π精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。
在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰（Boffon ）在1777年提出的“投针实验”。
与传统的“割圆术”等几何计算方法不同的是，“投针实验”是利用概率统计的方法计算圆周率的值，进而为圆周率计算开辟了新的研究途径，也使其成为概率论中很有影响力的一个实验。
本节我们将借助于MATLAB 仿真软件，对“投针实验”进行系统仿真，以此来研究类比的系统建模方法和离散事件系统仿真。
二、 系统建模“投针实验”的具体做法是：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a ；然后把一枚长为l (0<l <a )的均匀钢针随意抛到这一平面上。
投针的结果将会有两种，一种是针与这组平行线中的一条直线相交，一种是不相交。
设n 为投针总次数，k 为相交次数，如果投针次数足够多，就会发现公式2ln ak计算出来的值就是圆周率π。
当然计算精度与投针次数有关，一般情况下投针次数要到成千上万次，才能有较好的计算精度。
有兴趣的读者可以耐心地做一下这个实验。
为了能够快速的得到实验结果，我们可以通过编写计算机程序来模拟这个实验，即进行系统仿真。
所谓的系统仿真是指以计算机为工具，对具有不确定性因素的、可模型化的系统的一种研究方法。
建立能够反映实验情况的数学模型是系统仿真的基础。
系统建模中需解决两个问题，一个是如何模拟钢针的投掷结果，另一个是如何判断钢针与平行线的位置关系。
这里，设O 为钢针中点，y 为O 点与最近平行线之间的距离，θ为钢针与平行线之间的夹角（0180θ≤< ）。
首先，由于人的投掷动作是随机的，钢针落下后的具体位置也是随机的，因此可用按照均匀分布的两个随机变量y 和θ来模拟钢针投掷结果。
其次，人工实验时可以用眼睛直接判断出钢针是否与平行线相交，而计算机仿真实验则需要用数学的方法来判别。
如下图所示，如果y 、l 和θ满足关系式1sin 2y l θ≤，那么钢针就与平行线相交，否则反之，进而可以判断钢针与平行线的位置关系。
蒲丰投针实验模拟
蒲丰投针求兀问题一、蒲丰投针问题在平面上画有等距离的一些平行线，平行线间的距离为a(a>0),向平面上随机投…长为l(lva)的针，针与平行线相交的概率p,结果发现Ji =2*l/(a*p)・二、试验方法可以采用MATLAB软件进行模拟实验，即用MATLAB编写程序来进行“蒲丰投针实验”。
1、基本原理由丁•针投到纸上的时候，有各种不同方向和位置，但是，每一次投针时，其位置和方向都可以由两个量唯一确定, 那就是针的小点和偏离水平的角度。
以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，B表示针与平行线的交角。
显然有0<=x<=a/2, 0<=f3<=Pi o用边长为a/2及Pi 的长方形表示样本空间。
为使针与平行线相交, 必须x<=l*sin 3 *0.5,满足这个关系的区域面积是从0到Pi 的严sin B对B的积分，可计算出这个概率值是(21)/(Pi*a)o只要随机牛成n对这样的x和P，就可以模拟n次的投针实验, 然后统计满足x<=l*sin B *0.5的x的个数，就可以认为这是相交的次数。
然后利用公式求得兀值。
2、MATLAB 编程clear ('n')clearCa')clear('x')clear(T)clear ('y‘)clear ('m')dis"本程序用来进行投针实验的演示」代衣两线间的宽度, 针的长度l=a/2, n代表实验次数a=input(f iH 输入a： *);n=input(*W输入n： *);x=unifrnd(0,a/2,[n, 1 ]);f=unifmd(O,p i,[n,l]);y=x<0.25*a*sin(f)；m=sum(y);PI=vpa(a* n/(a* m))三、实验数据(部分程序截屏见后)四、实验结论从上述数据分析可知，随着模拟次数的越来越多，PI的值逐渐稳定在H值附近，即越来越趋近于匚，故蒲丰投针实验确实可以模拟出兀的值。
圆周率的近似计算——蒲丰投针问题实验报告
实验序号：2日期：2015年3月27日
班级
姓名
<
学号
实验
名称
，
蒲丰投针问题
问题的背景：
在历史上人们对 的计算非常感兴趣性，发明了许多求 的近似值的方法，其中用蒲丰投针问题来解决求 的近似值的思想方法在科学占有重要的位置，人们用这一思想发现了随机模拟的方法.
蒲丰投针问题：平面上画有间隔为 的等距平行线，向平面任意投一枚长为 的针，求针与任一平行线相交的概率. 进而求 的近似值.
:
实验所用软件及版本：MicrosoftofficeExcel 2010
主要内容(要点):
蒲丰投针问题：下面上画有间隔为d(d>0)的等距平行线，喜爱那个平面内任意投一枚长为l(l<d)的针，求针与任一平行线相交的概率，进而求π的近似值。设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，通过重复实验，以频率估计概率，求得未知数的近似值。试验次数越多，近似值就越精确。
教师评语与成绩：
实验过程：（含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等）
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实验结果与实验总结(体会)：
实验总结：做了多越来越大时，得到的值会越来越接近π的值，所以以后做实验的时候我们要多做几组数据，并且样本空间取得越大越准确。
进一步讨论或展望:
通过这次试验，我们发现，当做同一n值的多次试验时，只要我们改动其中的随机变量的值，也就是用随机发生器产生一组数据的时候我们就可以得到一组新的数据，这样就会很方便的得到我们想要的结果，因此我们要多多钻研Excel的各种强大的功能，方便我们以后的学习与生活。
（4）理解概率的统计定义
实验原理与数学模型：
实验原理：由于投针投到纸上的时候，有各种不同方向和位置，但是，每次投针时，其位置和方向都可以由两个量唯一确定，那就是针的中点和偏离水平的角度。
北师大版-数学-九年级上册-拓展资源-布丰的投针试验
布丰的投针试验公元1777年的一天，法国科学家布丰（D．Buffon1707-1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。
”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。
一把小针扔完了，把它捡起来又扔。
而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。
最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。
总数2212与相交数704的比值为3.142。
”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙。
“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。
不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。
”说着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。
由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。
布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：在上面故事中，针长l等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。
布丰投针实验
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布丰投针实验
作者：
来源：《初中生世界·九年级》2014年第02期
把一根质量均匀的小棒向一个画了一些平行线的平面上随意地扔几千下，就能得到有六个准确数字的圆周率π的近似值，你相信吗？肯定有很多人不相信. 事实上，确实有这样的数学实验.
1777年的一天，法国的博物学家C·布丰伯爵的家里宾客满堂，他们是应主人的邀请来观看一次奇特的试验的.
年已古稀的布丰拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线. 他又拿出一大把准备好的小针，这些小针都是平行线间距离的一半. 布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上扔吧！不过，请大家务必把针与纸上的线相交的次数告诉我. ”
客人们遵照主人的意愿，加入了试验的行列. 一把小针扔完了，把它们捡起来再扔，布丰则把小针与平行线相交的次数记了下来. 实验进行了将近一个小时才结束. 随后布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次. 总数2212与相交数704的比值为3.142. ”大家异常惊奇，这投针的比例怎么会与圆周率如此接近呢？布丰解释说：“这就是概率的原理，因为针长恰好是平行线间距的一半，那针与线相交的概率为0.318，它的倒数就近似于圆周率. ”
著名的布丰公式
后来，布丰又取出一些圆圈，它们的直径均等于平行线的间距. 不管怎样扔下去，它们与平行线都有两个交点. 布丰又把同样大小的一些圆圈拉直，将这些长针随意扔下去，它们与平行线有多种相交情况，交点数或是4个，或是3个，或是2个，或是1个，有的甚至不相交. 当投的长针数越多，针、线的交点总数就越接近针数的两倍. 如果用不同长度的针去投，那针与线的交点数与针的长度成正比. 这就是著名的布丰公式.。
最新数学基础初三年级训练《投针试验》
最新数学基础初三年级训练《投针试验》知识要点较复杂事件发生的概率.
能力要求能用实验的方法估计一些复杂的随机事件
发生的概率.
基础练习 1.如图6-1，在围棋棋盘上有九个黑点，请你作如下实验：抓一把围棋子(如每次20粒)扔到棋盘上，记下每次棋子刚好压住黑点的数目，重复50次，根据实验结果估计棋子压住黑点的概率，并与同伴交流. 2.图6-2是一张9×9方格纸，每个小方格的边长为3cm，抓一把大头针(比如30枚)扔到方格纸上，记下每次有多少枚大头针压住方格边，重复100次，根据实验结果估计大头针压住方格边的概率，并与同伴交流. 综合练习全班同学分成若干小组，每组准备100张卡片，分别写上1、2、3、、100. 实验是这样进行的：将卡片混合均匀后，从中随意抽取两张，记下这两张卡片上的数字，然后放回去，重新混合均匀，再随意抽取两张，记下卡片上的数字，，如此重复100次(或更多)，试估计出现两张卡片上的数字之和等于86的概率. 每组之间进行交流.
只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。
由为您提供的最新数学基础初三年级训练《投针试验》，祝您学习愉快!。
综合实验三 蒲丰投针问题实验
综合实验三 蒲丰投针问题实验一、实验目的1. 掌握几何概型、熟悉Monte Carlo 方法的基本思想；3．会用MATLAB 实现简单的计算机模拟二、实验内容在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用Monte Carlo 方法。
下面通过例子简单介绍Monte Carlo 方法的基本思想．Monte Carlo 方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
这一方法的步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线，见图8.1(1)2) 取一根长度为()l l d <的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．由分析知针与平行线相交的充要条件是 ϕs i n 21≤x 其中πϕ≤≤≤≤0,20d x 建立直角坐标系),(x ϕ,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图 8．l （2）．由几何概率知(*)22s i n 210d l d d G g p ππϕϕπ===⎰的面积的面积 4）经统计实验估计出概率,n m P ≈由(*)式即?2=⇒=ππd l n m Monte Carlo 方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定m 和n ），统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支．问题：(1) 经过n次试验后圆周率估计与的圆周 之间的差的绝对值的规律是？其中n分别取100，1000，2000，5000，10000，20000，50000(2) 参数l，d的不同选择，会对圆周率的估计有什么影响？可以选择d为l.5倍，2倍，3倍，4倍，5倍，8倍，10倍，20倍，50倍三、实验要求写出实验步骤、结果显示及分析四、实验分析以x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，以j表示针与此线间的交角．显然0≤x≤a/20≤j≤p针与平行线相交的充要条件是x≤lsin(j)/2因(x,j)在图(4)中下面的矩形中等可能地取点，可见针与平行线相交的概率p 为图(4)正弦曲线线段与横轴围成的面积同图(4)中矩形面积的比．经计算得p= 另一方面得到如大量得投针实验，利用大数定理知：随着实验次数的增加，针与平行线相交的频率依概率收敛到概率p．那么在上式中以频率代替相应的概率p，则可以获得圆周率p的近似值．下面的程序是用matlab语言编写的计算机模拟投针以计算p 的近似值的程序．五、实验步骤1.编写MATLAB程序cleard=2l=0.5counter=0n=100x=unifrnd(0,d/2,1,n)fi=unifrnd(0,pi,1,n)for i=1:nif x(i)<1*sin(fi(i))/2counter=counter+1endendfren=counter/npihat=2*1/(d*fren)sqrt((pihat-pi)^2)结果显示:fren = 0.3300pihat =3.0303ans =0.1113以此类推：将n=1000，2000，5000，10000，20000，50000分别代入，可得：当n=1000时，fren =0.3240pihat =3.0864ans =0.0552当n=2000时，fren =0.3230pihat =3.0960ans =0.0456当n=5000时，fren =0.3204pihat =3.1211ans =0.0205当n=10000时，fren =0.3190pihat =3.1348ans =0.0068当n=20000时，fren =0.3172pihat =3.1521ans =0.0105当n=50000时，fren =0.3177pihat =3.1478ans =0.00622.改变d的取值，分别为1.5，2 ，3 ，4，5，8，10，20，50倍仍用1中的程序：cleard=3l=0.5counter=0n=100x=unifrnd(0,d/2,1,n)fi=unifrnd(0,pi,1,n)for i=1:nif x(i)<1*sin(fi(i))/2counter=counter+1endendfren=counter/npihat=2*1/(d*fren)sqrt((pihat-pi)^2)结果显示：d为1.5倍时fren =0.2300pihat =2.8986ans =0.2430d为2倍时fren =0.1700pihat =2.9412ans =0.2004d为3倍时fren =0.1100pihat =3.0303ans =0.1113d为4倍时fren =0.0800pihat =3.1250ans =0.0166d为5倍时fren =0.0600pihat =3.3333ans =0.1872d为8倍时fren =0.0400pihat =3.1250ans =0.0211d为10倍时fren =0.0300pihat =3.3333ans =0.1872d为20倍时fren =0.0100pihat =5ans =1.8539d为50倍时fren =0pihat =Infans =Inf六、结果分析1．经过n次试验后圆周率估计与的圆周π之间的差的绝对值的规律是：n的次数取值越多，圆周率估计与的圆周π之间的差的绝对值越小：圆周率越接近真值。
关于用蒲丰投针求∏值的实验报告
关于用蒲丰投针求∏值的实验报告实验目的理解蒲丰投针的模型，逐渐掌握用数学知识解决实际问题的能力掌握运用matlab 进行一般的数学运算培养团队合作精神实验原理在一张纸上画出间距为l 的多条直线，随机在上面投放长度为 a 的针，投放n 次，记与直线相交的次数为m ，当n 相当大之后，则针与线相交的概率n m p =如下图，通过分析，针与线相交的条件简化为 ϕsin 21≤x 而πϕ≤≤≤≤0,20dx这是一个几何特型的概率问题，通过推理可得(*)22s i n 210d l dd G g p ππϕϕπ===⎰的面积的面积所以，实验过程及结果用matlab 模拟投针过程求∏值 的函数：function f=fun(a,l,n)x=pi.*rand(1,n);y=(a/2).*rand(1,n);c=(y<=((l/2).*sin(x)));m=sum(c);f=2*l*n/(m*a);随机一次实验求得的∏值>> a=input('a=');l=input('l=');n=input('n=');a=20l=15n=1000>> fun(a,l,n)ans =3.131524008350731>>以上得到的∏值不是十分精确，这是由于实验次数有限导致的误差，当实验的次数相当大之后，所得结果必定会更加逼近∏的精确值。
缺点和改进上述模拟实验还不是十分精确，而且没有绘图，不够直观，下次会注意模拟的更加精确，更加直观。
九年级数学上册第六章《2-投针实验》拓展资料布丰的投针试验
公元1777年的一天，法国科学家布丰（D．Buffon1707-1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。
”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙。
“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。
不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。
”说着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。
由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。
布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：在上面故事中，针长等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离d。
可以想象，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。
现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。
显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点、3个交点、2个交点、1个交点，甚至于都不相交。
由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。
蒲丰投针试验
针与某一平行直线相交} 发生的充分必要条件为S 中的点满足 b 0 x sin , 0 π . 2
μ(G ) G的面积 P ( A) μ( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a π aπ 2
历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)
试验者 Wolf Smith
时间 (年）
针长 0.8 0.6
投掷次数 相交次数 π的近似值 5000 3204 2532 1218 3.1596 3.1554
1850 1855
De Morgan 1860
Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟. 取a 1, b 0.85 . 单击图形播放/暂停 ESC键退出
π
o
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时, m 测出针与平行直线相交的次数 m , 则频率值 即可 n 作为 P ( A) 的近似值代入上式, 那么 m 2b 2bn π . n aπ am
利用上式可计算圆周率π 的近似值 .
0sin20??bxo的面积的面积sgsgap2d?sin20ab?22ababo蒲丰投针试验的应用及意义2abap那么2bn的近似值代入上式作为即可则频率值的次数测出针与平行直线相交很大时当投针试验次数根据频率的稳定性apnmmn2abnm
投针试验
投针试验投针问题1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。
投针步骤这一方法的步骤是：1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。
2）取一根长度为l（l<a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l<a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。
”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/（πd) π为圆周率利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。
下面是一些资料试验者时间投掷次数相交次数圆周率估计值Wolf1850年5000 2532 3.1596Smith 1855年3204 1218.5 3.1554C.De Morgan 1680年600 382.5 3.137Fox1884年1030 489 3.1595Lazzerini 1901年3408 1808 3.1415929Reina 1925年2520 859 3.1795设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x²+y²；﹤z²；，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x²+y²=z²；围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=（πz²/4-z²/2）/z²=（π-2）/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
数学史上的经典实验：布丰投针实验
布丰投针实验公元1777年的一天，法国科学家D•布丰(D.Buffon1707～1788)的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。
”客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。
一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。
最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的704次。
总数2212与相交数704的比值为3.142。
”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值!”众客哗然，一时疑议纷纷，大家全部感到莫名期妙：“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。
不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。
”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。
由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题，布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所以投的针当中与平行线相交的次数的m，那么当n相当大时有：π≈(2ln)/(dm)在上面故事中，针长l恰等于平行线间距离d的一半，所以代入上面公式简化得：π≈n/m值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算π值。
《投针试验》参考教案
6.2 投针实验教学目标(一)教学知识点能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．(二)能力训练要求经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识和能力．(三)情感与价值观要求1．激发学生实事求是的科学态度．2．亲历实验，提高学生学习数学的兴趣．教学重点：能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．教学难点：借助大量重复实验去感悟实验频率稳定于理论概率．教学方法：小组活动．教具准备：大头针，图钉，多媒体演示教学过程Ⅰ．提出质疑，引入新课[师]上节课我们介绍了用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．也就是计算一些事件的概率就可以在某个试验之前，算出某个结果的概率．但这些方法有一个前提条件，是什么?[生]要求实验出现的各种结果是等可能的，并且实验出现的结果必须是有限个．[师]下面我们来看一个例子．比如掷一枚图钉，有几种结果?它们是等可能的吗?[生]有“朝天”和“倾斜”两个可能结果，但我觉得这两个可能的结果不是等可能的.[师]能不能说“朝天”的概率是21，“倾斜”的概率也是21呢? [生]当然不能．[师]再例如，掷一只墨水笔尖，也有“正”“反”两种可能，但出现的可能性相等吗?[生]不相等．[师]很好．一个试验，虽然结果有有限个，但各个结果出现的可能性不相等，这时怎样求某一事件的概率呢?[生]只有动手做大量的试验．因为我们知道：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率．[师]看来，求这些事件发生的概率只有亲自做很多次实验了．Ⅱ．讲授新课活动一：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉帽着地．你估计哪种事件发生的概率大?活动目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计某一事件发生的概率．活动方式：小组合作交流，全班汇总实验数据，交流研讨．活动工具：形状、大小完全相同的图钉．活动步骤：1．分组：每组5人．2．每组每人做20次实验，根据实验结果，填写下表的表格：3．根据上表你认为哪种情况的频率较大?4．分别汇总本小组其中两人、三人、四人、五人的实验数据，相应得到实验40次、60次、80次、100次时钉帽着地的频率，填写下表，并绘制折线统计图．5．汇总全班各小组其一个组．两个组、三个组、四个组……的实验数据，相应得到实验100次、200次、300次、400次……时钉帽着地的频率，并绘制折线统计图．6．由折线统计图，估计钉帽着地的概率．(注意：①图钉必须从一定高度自由落下，保证着地时的随机性；②组内同学合作时要进行适当的分工；③体现学生的自主性，实验活动以及实验数据的汇总等都可以由学生白行组织完成；④教师认真评价学生合作交流的意识和能力，学生的思维水平，学生的动手能力等)[师生共析]我们一同来研究一下，掷一枚图钉时，出现“钉帽着地”这一结果的概率．将图钉掷200次，每掷20次，统计一下两个组同学“钉帽着地”这一结果出现的次数，并算出相应的频率，如下表．将统计数据(“钉帽着地”的频率)画成折线统计图，看起来更直观．从图中可发现，“顶帽着地”的频率开始“摆动”得很厉害，随着试验次数的增加，这个频率就开始比较稳定了，最后大致在56.5％左右摆动．由此我们可以估计“顶帽着地”的概率约为56．5％，即0.565.[师]在数学的历史上，有一个较为著名的投针实验：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离为a，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交．相交和不相交的可能性相同吗?你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗?[生]相交和不相交的可能性不相同，由于结果的可能性不同，因此这个事件的概率也不能列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率．也必须用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计该针与平行线相交的概率．[师]很好，我们还是分组活动．活动二：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都是a，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们不相交，估计针与平行线相交的概率．活动目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”，并据此估计针与平行线相交的概率．活动方式：小组交流，全班研讨的方法．活动工具：每组学生要在平面上画有相同距离“的一组平行线，并且有长度都为l的针(l<a)．要求针必须粗细均匀．活动步骤：1．分组，两人一组．2．取一张白纸，在上面画一组平行线．它们之间的距离为2厘米，另外准备一根1厘米长的针．在纸下面垫一层柔软的东西，使针落在纸面上时不会弹跳起来．3．每组至少完成100次实验，分别记录下其中相交和不相交的次数．4．统计全班的实验数据，估计针与平行线相交的概率．(在具体实验的过程中，要求每组学生都确定相同的l和a，而对于针可由教师统一准备．这样做是因为如果l和a取不同的值，实验结果是不同的．那样全班就无法统计数据．为了保证随机性。
布丰投针问题
匪夷所思的数学实验——布丰投针问题把一根质量均匀的小棒向一个画了一些平行线的平面上随意地扔几千下，就能得到连一台计算能力比较强的计算机也要算上好长时间的有六个准确数字的圆周率π的近似值，你相信吗？肯定有很多人不相信。
事实上，确实有这样的数学实验。
1777年的一天，法国的博物学家C·布丰伯爵的家里宾客满堂，他们是应主人的邀请来观看一次奇特的试验的。
年已古稀的布丰拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
他又拿出一大把准备好的小针，这些小针都是平行线间距离的一半。
布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上扔吧！不过，请大家务必把针与纸上的线相交的次数告诉我。
”客人们遵照主人的意愿，加入了试验的行列。
一把小针扔完了，把它们捡起来再扔，布丰则把小针与平行线相交的次数记了下来。
实验进行了将近一个小时才结束。
布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。
总数2212与相交数704的比值为3. 142。
”停了一下，布丰先生继续说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”布丰1777年出版了一本名叫《或然性的算术试验》，在这本书，他介绍了著名的“投针实验”：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a，然后，把一个长为l(l<a)的均匀小针任意抛到这一平面上去。
如果针与这组平行线中的任一条直线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则认为是不利的。
如果投针的次数为n，有利的扔出次数为m，那么当n相当大时有：。
这就是著名的布丰公式。
如果小针的长度等于a，那么当n相当大时有。
这样，只需实际去进行大量次数的这样的实验，并计算有利的次数，就可以通过上面的公式求出π的近似值。
扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值。
这就是利用概率求π值的方法。
后来有不少人按照布丰设计的方法来计算π值。
1901年，意大利数学家拉兹瑞尼宣称进行了多次投针试验，每次投针数为3408次，平均相交数为2169. 6次，代入布丰公式，求得π≈3.1415929——准确到小数后六位。
6.2投针实验
3.口袋中有５张完全相同的卡片，分别写有 １cm,2cm,3cm,4cm,5cm.口袋外有２张卡片， 分别写有４cm,5cm.现随机从袋内取出一张 卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡 片上的数量分别为三条线段的长度，回答 下列问题： （１）求这三条线段能构成三角形的概率 （２）求这三条线段能构成直角三角形的概 率 （３）求这三条线段能构成等腰三角形的概 率
7. （2012贵州遵义10分）如图，4张背面完全相 同的纸牌（用①、②、③、④表示），在纸牌的 正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌 背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回）， 再随机摸出一张． （1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的 所有可能结果； （2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四 边形ABCD是平行四边形的概率．
4. （2012贵州贵阳10分）在一个不透明的口袋里有分别 标注2、4、6的3个小球（小球除数字不同外，其余都相 同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字6、7、 8的卡片．现从口袋中任意摸出一个小球，再从这3张背 面朝上的卡片中任意摸出一张卡片． （1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出 现的结果； （2）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则： 规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红 赢；否则，小莉赢． 规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时， 小红赢；否则，小莉赢． 小红要想在游戏中获胜，她会选择哪一种规则，并说明 理由．
6. （2012贵州黔南10分）市“消费者协会”联合市 工商局在某中学分别开展打击“地沟油”及“瘦肉精” 的食品宣传讲座，小青同学不知该如何听课，最后他 决定通过掷硬币来确定，掷硬币规则如下：连续抛掷 硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则小 青听两堂讲座；如果两次正面朝上一次反面朝上，则 小青去听有关“地沟油”的讲座；如果两次反面朝上 一次正面朝上，则小青去听有关“瘦肉精”的讲座。 （1）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结 果； （2）小青听两堂知识讲座的概率有多大？ （3）小青用这个游戏规则去选择听“地沟油”或 “瘦肉精”的讲座是否合理？为什么？
大学数学实验 蒲丰投针
蒲丰掷针法一． 实验目的通过蒲丰掷针法来计算pi 的近似值，其本质是蒙特卡罗法随机模拟，通过求概率来求得pi 的近似值。
二． 实验内容与要求（根据问题重新叙述）在白纸上画许多等距为d 的平行线，将一根长为的d/2的直针随机投掷向白纸，在进行n 次实验之后其中有m 次与平行线相交，当n 很大时，pi 的近似值可认为是n/m 。
三． 实验原理（问题假设，分析，模型建立）由于针投到纸上的时候，有各种不同的方向和位置，但是，每一次投针时，其位置和方向都可以由两个量唯一确定，即针的中点距平行线的距离（最近的平行线）d 和偏离水平的角度α。
因此只要随机生成n 对这样的 d 和 α，就可以模拟n 次的投针实验。
设平行线之间的距离为d ，以y 表示针的中点到最近的一条平行线的距离，α表示针与平行线间的夹角，其中0≤y ≤2d ,0≤α≤Pi 。
而直针与一平行线相交的充要条件：0≤y ≤4d sin α ，0≤α≤Pi 。
四． 实验过程（模型求解，模型结果）当n 的值为1000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1546 PI= 3.2895 PI= 3.3223 PI= 3.2573 PI= 3.0303当n 的值为10000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1546 PI= 3.1676 PI= 3.1066 PI= 3.2092 PI= 3.2010 当n 的值为50000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1584 PI= 3.1283 PI= 3.1131 PI= 3.1273 PI= 3.1644五． 实验总结（结果分析）当n 的值越来越大时，可以发现通过随机模拟得到的PI 的值越来越接近真实的pi 的值（pi 的值的前8位为pi=3.1415926）虽然不是很接近pi 的值，但得到的PI 的值离真实的pi 的值越来越近。
且得到的PI 的值也越来越稳定。
六． 附录（源程序）。
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公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon，1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的．
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线．接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半．然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我．”
客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列．一把小针扔完了，把它捡起来又扔．而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头．最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次．总数2212与相交数704的比值为3.142．”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”
众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值．不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了．”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书．
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实．由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题．布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所投的
针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：π≈2ln
dm
．在上面故事中，针长l
等于平行线距离d的一半，可以代入上面公式简化．我想，喜欢思考的读者一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明．
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d．可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点．因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n．
现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝．显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交．
由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的．这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平
行线相交的交点总数应大致为2n．
现在再来讨论铁丝长为l的情形．当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m＝kl，式中k是比例系数．为了求出k来，只。