抛物线基础知识(详尽版)
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抛物线基础知识
标准方程的求法:若已知对称轴在坐标轴上而不知开口方向,可简单设为22,ax y ay x
==,避免讨论。
1. 直线与抛物线的位置关系
直线,抛物线,,消y 得:
(1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时,
Δ>0,直线l 与抛物线相交,两个不同交点;Δ=0, 直线l 与抛物线相切,一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :
b kx y += 抛物线
,)0(>p
①
联立方程法:⎩⎨⎧=+=px
y b kx y 22
⇒0)(22
22=+-+b x p kb x k 设交点坐标为
)
,(11y x A ,
)
,(22y x B ,则有
>∆,以及
2
121,x x x x +,还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+,2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 (1)相交弦AB 的弦长
2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ∆+=2
1
或
2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+
=a
k ∆+=2
1
(2)中点),(00y x M , 2
2
10
x x x +=
,
2
2
10y y y +=
(3)点差法:设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得
1212px y = 22
22px y =
将两式相减,可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-
,
2
121212y y p
x x y y +=
--
a.
在涉及斜率问题时,2
12y y p k AB
+=
b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段
AB 的中点为),(00y x M ,0
2
12
121222y p
y p y y p x x y y ==+=--,
即0
y p k AB
=,
同理,对于抛物线)0(22
≠=p py x
,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点),(00y x M 是弦AB 的中点,则有
p
x p x p x x k AB 0
021222==+=
(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)