一元二次不等式及其解法

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一元二次不等式及其解法

例1．解不等式：
（1）x2－2x+3>0；（2）x2－2x+3<0. 解: ∵△=(－2)2－4×1×3<0 ∴（1）x2－2x+3>0的解集为实数集R ；（2）x2－2x+3<0无解，即它的解集为空集.
-1 O -1 y 3 2 1 1 2 3 x
例2．解下列不等式：（1）x2+4x+4 >0. （2）x2+4x+4 <0. 解: ∵△=42－4×4=0
是
输出区间 (, x1 ) ( x2 ,)
输出区间 ( ,)
输出区间 b b (, ) ( ,) 2a 2a
结束
∴ x2+4x+4=(x+2)2 ∴（1）x2+4x+4>0的解集为实数集{x∈R|x≠ － 2}； -2 （2）x2+4x+4<0的解集为空集.
-1 O
y 3 2 1 x
1
-1
小组讨论：解一元二次不等式的一般步骤。
（1）将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）；（2）计算Δ=b2-4ac；（3）若Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；（4）根据图象写出一元二次不等式的解集。
数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0) 其中a，b，c均为常数。也可以是 ≥ 2 设 f(x)=ax +bx+c (a≠0)，或≤ 一元二次不等式 f(x)>0或f(x)<0 (a≠0) 的解集与二次函数f(x)之间有什么样的关系？ f(x)>0 (a≠0)的解集：是使二次函数f(x)的函数值为正值时的自变量x的取值的集合。 f(x)<0 (a≠0)的解集：是使二次函数f(x)的函数值为负值时的自变量x的取值的集合。 f(x)=0 (a≠0) 的解集：是使二次函数f(x)的函数值为零时的自变量x的取值的集合。

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学点四
根的分布问题
关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根
都大于2，求实数m的取值范围.
图3-2-1
【解析】
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
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3.如何研究根的分布问题？实数k取何值时，含参数m的二次方程ax2+bx+c=0 （1）有实根、无实根、有两个相等实根. （2）有两正根、两负根，一正一负根. （3）有零根. （4）有两个大于k的根，有两个小于k的根，一根大于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间端点处的函数值. 方法有三类：（一）判别式、韦达定理法；（二）判别式、对称轴、构造函数法；（三）求根公式法. 以下几类是常见问题：（在a≠0条件下）（1）方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. 返回目录
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m<-5或m>1， ≨ ≨1<m<19. 1<m<19，
综上1≤m<19. 【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为

a>0,
Δ<0.
（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为 a<0, Δ<0.
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不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立，求 a与m之间的关系. 解：

一元二次不等式及其解法

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2 1 ∴原不等式的解集为{x|－ ≤ x≤ }． 3 2 (2)∵ Δ＝(－ 4)2－ 4× 2× 7＝－ 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解为－ <x< ， 2 3
2
求 2x2＋bx＋a<0 的解．
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax ＋5x＋c>0 的解集为{x| <x< }， 3 2
2．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(
)
A．(0,2)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2，故选A. 答案：A
3．不等式－ 6x2－ x＋ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A． {x|－ ≤ x≤ } 3 2 1 C． {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时，(x－1)(x－ )<0⇔1<x< ； a a 1 ②当 a＝1 时，(x－1)(x－ )<0⇔(x－1)2<0⇔x∈Ø； a 1 1 ③当 a>1 时，(x－1)(x－ )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述：当 a<0 时，解集为{x|x< 或 x>1}；当 a a 1 ＝0 时，解集为{x|x>1}；当 0<a<1 时，解集为{x|1<x< }； a 1 当 a＝1 时，解集为 Ø；当 a>1 时，解集为{x| <x<1}． a
)
2 1 B．{x|x≤－或 x≥ } 3 2 2 D． {x|x≤－ } 3

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法基础知识1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表二、常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一一元二次不等式的解法考法(一) 不含参数的一元二次不等式[典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4；[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为}342|{≤≤-x x .(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式[典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a )1(ax -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{ax x <<；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为}11|{<<x ax . [题组训练]1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.}291|{≥-≤x x x 或 B.}291|{≤≤-x x C.}129|{≥-≤x x x 或D.}129|{≤≤-x x 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是}129|{≤≤-x x .故选D. 2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是]31,21[--，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.)21,31( D.)31,(-∞∪),21(+∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为)4,(a--∞∪),3(+∞a ；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为)3,(a --∞∪),4(+∞-a. 考点二一元二次不等式恒成立问题考法(一) 在R 上的恒成立问题[典例] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[)2,2(-C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [答案] C解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[典例] 若对任意的x ∈[)2,1(-，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，0] C ．),1[+∞[ D DD D ．]1,(-∞(解析] 法一：令f (x )＝x 2－2x ＋a ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3，故选A.法二：当x ∈[)2,1(-]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立，则由题意，得a ≤(－x 2＋2x )min (x ∈[)2,1(-])．而－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则当x ＝－1时，(－x 2＋2x )min ＝－3，所以a ≤－3，故选A. 答案] A [解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . 考法(三) 给定参数范围求x 范围的恒成立问题[典例] 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0(|a |≤1)恒成立的x 的取值范围．解] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4，综上可知，使原不等式恒成立的x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． [解题技法]给定参数范围求x 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． [题组训练]1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3,0)D ．[－4，＋∞)解析：选A x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝x 2－4x ，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取到最小值，为－3，∴实数m 的取值范围是(－∞，－3]，故选A. 2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：)0,22(-3．不等式(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立，则x 的取值范围是________．解析：由题意知(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立等价于(x 2－4x )a －3x 2＋2x ＜0对a ∈(0,1)恒成立．令g (a )＝(x 2－4x )a －3x 2＋2x ，当x ＝0时，g (a )＝0，不满足题意．当x ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝－3x 2＋2x ≤0，g (1)＝(x 2－4x )－3x 2＋2x ≤0，得x ≤－1或x ≥23.答案：(－∞，－1]∪),32[+∞ [课时跟踪检测]1．(2019·石家庄模拟)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( )A ．[－1,0)B ．[－1,2)C ．(0,1]D ．[1,2)解析：选C 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C. 2．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.}231|{≤≤x x B.}312|{≤>x x x 或 C.}231|{<≤x x D ．{x |x <2} 解析：选C 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.3．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.}231021|{<≤≤<-x x x 或 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.}2321|{<<-x x D.}2321|{≥-≤x x x 或解析：选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.4．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A.}3121|{-<<-x x B.}2131|{-<->x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 解析：选A 由题意得⎩⎨⎧5a＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x－1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为}3121|{-<<-x x ，故选A. 5．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,(-∞)B B ． (－∞，－6]]C ． ]2,6[-D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析：选D 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( )A ．1 B.14 C.12D ．－1解析：选C 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－m －3m <0，f (1)＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m ≤12，所以m的最大值为12.故选C.8．(2018·北京东城区期末)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆]3,1[，则a 的取值范围为( )A.]511,1(- B.)511,1( C.)511,2( D ．[)3,1( 解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[]3,1[]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，f (1)≥0，f (3)≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为]511,1(-，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．答案：{x |0<x <2}10．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．解析：因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．答案：(a ，－a )11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．解析：关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤ a 5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值范围是[45,80)．答案：[45,80)12．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]13．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为)23,21(-。

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法
一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或 < 0）的不
等式，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法如下：
1. 将不等式转化为二次函数的形式，也就是a(x - h)^2 + k > 0（或 < 0），其中(h, k)是二次函数的顶点坐标。

2. 找到二次函数的顶点坐标(h, k)。

3. 根据二次函数的开口方向（a的正负）来确定不等式的解集。

a) 当a > 0时，二次函数开口向上，解集为函数上半部分的区间。

b) 当a < 0时，二次函数开口向下，解集为函数下半部分的区间。

4. 根据二次函数与x轴的交点来确定不等式的解集。

a) 当k > 0时，二次函数与x轴的交点分别为x1 = h +
√(k/a)和x2 = h - √(k/a)，解集为这两个交点之间的区间（即
x1 < x < x2）。

b) 当k < 0时，二次函数与x轴没有交点，解集为空集。

c) 当k = 0时，二次函数与x轴只有一个交点x = h，解集为{x = h}。

通过以上步骤，可以找到一元二次不等式的解集。

根据具体的
系数和常数，解集可能是一个区间、两个区间的并集、或者为空集。

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式是数学中的重要概念，其解法涉及判别式Δ＝b2－4ac的计算和应用。当Δ>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两相异实根x1和x2，此时不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<x1或x>x2}，而不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}。当Δ＝0时，方程有两相等实根，不等式的解集情况会有所不同。若a>0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为除了根x1以外的所有实数，而不等式ax2＋bx＋c<0无解。当Δ<0时，方程无实根，此时不等式ax2＋bx＋c>0的解集为体实数，不等式ax2＋bx＋c<0同样无解。这些公式和规则构成了一元二次不等式解法的基础，对于理解和应用一元二次不等式具有重要意义。

《一元二次不等式及其解法》

题3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、
ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
解：解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数的图象的对称轴为x=a,
①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f(x)在［-1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a，解得-3≤a<-1; ②当a∈［-1,+∞）时，f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-2≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.
都大于2，求实数m的取值范围.
【分析】借助二次函数图象考查
二次方程根的分布问题.有3个条件
f(2)>0
Δ≥0 或者利用韦达定理. - m>22
2
【解析】
图3-2-1
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
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已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈［-1,+∞)时f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.
有两正根）

0 (x1 n) (x1 n)

一元二次不等式及其解法

2021年新高考数学总复习第七章《不等式》一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3． y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73， ∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案 (－4，1)。

一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集

等价形式
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、不等式的性质以及数轴等方法，逐步化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平面区域来表示，通过确定临界点和约束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物线的开口方向和顶点坐标来表示，一元高次不等式的解集可以通过相应函数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不等式的解集，有助于解决复杂的不等式问题。
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函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体等问题时，可以通过一元二次不等式来描述物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一元二次不等式可以用来描述波的传播范围以及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为两个一次不等式的乘积形式，从而求解。

一元二次不等式及其解法

【解】
由f(x)＝ x － 2x－ 4ln x，定义域为(0，＋∞ )， 2 4 2（ x － x－ 2） ∴ f′(x)＝ 2x－ 2－＝， x＞ 0， x x 由 f′(x)＞ 0且 x＞ 0，得 x2－ x－ 2＞0且 x＞0，即 (x－ 2)(x＋ 1)＞ 0且 x＞ 0，解之得x＞ 2， ∴不等式f′(x)＞ 0的解集为{x|x＞ 2}.

(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号； (3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根； (4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的

(2013·九江调研)若将例1的函数f(x)的解析式改为“f(x)＝x2－2x－4ln x”，求不等式 f′(x)＞0的解集． 2

一元二次不等式及其解法

1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a＞0)的图像
一元二次方程有两相异实根 2 ax ＋ bx＋c＝ 0 x1，x2(x1＜ x2) (a＞ 0)的根一元二次不等 {x| x＜x1 式或x＞x2 } ax2＋ bx＋c＞ 0 ____________ (a＞ 0)的解集 ax2＋ bx＋c＜ 0 {x|x ＜x＜x } 1 2 ___________ (a＞ 0)的解集
6＜ s1＜ 8，图6－2－1所示，其中 14＜ s2＜ 17.
(1)求n的值； (2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？【审题视点】 (1)由图象信息，将v＝40， v＝70时，代入求s1，s2，得关于n的不等式组；(2)解关于v的不等式，求最大值．

一元二次不等式及其解法

＞0(a＞0) 的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
Δ＞0 {x|x＜x1 或x＞
R
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
当一元二次不等式二次项系数a＜0时，不等式该怎
么解？当首项系数为含有字母参数时，解不等式，应
该注意哪些问题？提示：(1)当一元二次不等式的首项系数a＜0时，要首先在不等式两边同乘以－1，使首项系数为正，然后
2.对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是： (1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次
不等式；
(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0； (3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向； (4)判断二次不等式两根的大小.
解下列不等式：
对于这类问题，应紧抓“定义”，转化为一般关系式，从而进行求解.若运算法则不变，试求满足x⊙(x－m)＜0的实数 x的取值范围.
(2)0＜x2－x－2≤4， (3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0).
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点
( ，0)和(6,0). ≤x≤6}.
所以原不等式的解集为{x|
解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
所以0＜x＜5，所以所求x的范围是(0,5).

一元二次不等式及其解法

3.2.1 一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．破疑点：(1)在一元二次不等式的表达式中，一定有条件a≠0，即二次项的系数不为零．(2)对于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论．练习：判断下列不等式中哪些是一元二次不等式．①x2>0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6>0；④mx2－5y<0(m为常数)；⑤ax2＋bx＋c>0.[解析]①②是．③不是，因为x3的最高次数是3，不符合定义．④不是．当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0，它含有两个未知数x，y.⑤不一定是．当a＝0时，它不符合一元二次不等式的定义；当a≠0时，是．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．破疑点：(1)解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式．(2)一元二次不等式解集的形式是在a>0的条件下给出的，若a<0，应将不等式两边同乘以－1转化为二次项系数为正的形式，再求解．练习：画出函数y＝x2－2x－3的图象，观察图象．回答问题：(1)x∈________时，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根为________．(2)x∈________时，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集为________；(3)x∈________时，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集为________．[答案](1){－1,3}x1＝－1，x2＝3(2){x|x<－1或x>3}{x|x<－1或x>3} (3){x|－1<x<3}{x|－1<x<3}[解析]方程x2－2x－3＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝3，函数y＝x2－2x －3的图象如图所示．由图象可知，当x∈{－1,3}时，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根为x1＝－1，x2＝3.当x∈{x|x<－1或x>3}时，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}．当x∈{x|－1<x<3}时，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－1<x<3}．3．一元二次不等式的解法．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：(1)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；(2)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设△＝b2－4ac，则：①△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1、x2，设x1＜x2，则不等式(1)的解集为{x|x＜x1或x＞x2}，不等式(2)的解集为{x|x1＜x＜x2}；②△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的根，即x1＝x2＝－b2a，此时不等式(1)的解集为{x∈R|x≠－b2a}，不等式(2)的解集为∅；③△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式(1)的解集为R；不等式(2)的解集为∅.对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先依据不等式的性质把二次项系数化成正数，再参照上述两种形式求解．也可以直接参照a＞0的情形画出图象，对比图象上的正负值区间写出解集．练习：解不等式6x－2－3x2>0.[解析]原不等式可化为3x2－6x＋2<0，∵Δ＝36－4×3×2＝12>0，∴方程3x2－6x＋2＝0的两实根分别为x1＝1－33，x2＝1＋33，∴原不等式的解集为{x|1－33<x<1＋33}．考点一：简单的一元二次不等式的解法例1、解下列不等式：(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－3x＋5>0；(3)－6x2－x＋2≥0；(4)－4x2≥1－4x；(5)2x2－4x＋7<0.[解析](1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，∴方程2x2－3x－2＝0有两个不同实根，分别是－12，2，∴原不等式的解集为{x|x>2，或x<－1 2}．(2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20<0，∴x2－3x＋5>0的解集为R.(3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－23，12，∴原不等式的解集为{x|－23≤x≤12}．(4)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0.∴原不等式的解集是{x|x＝1 2}．(5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0，∴不等式2x2－4x＋7<0的解集为∅.跟踪练习：不等式x2－4x＋5＜0的解集为________．[答案]∅[解析]∵Δ＝16－20＝－4<0，∴方程x2－4x＋5＝0无实根，∴原不等式的解集为∅.考点二：一元二次不等式的实际应用例2、某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？[解析]如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处．由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.故在3.75h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5h.跟踪练习：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过12m，乙车的刹车略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？[解析]要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速度，要弄清速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构建数学模型，由题意列出不等式甲：0.1x＋0.01x2＞12，乙：0.05x＋0.005x2＞10，∵x＞0，∴解得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h，经比较知乙车超过限速，应付主要责任.考点三：“三个二次”关系的应用例3、若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－13≤x≤2}，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解析]解法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－13≤x≤2}，知a<0，又(－13)×2＝ca<0，则c>0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53. ∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式cx2＋bx＋a<0化为(－23a)x2＋(－53a)x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0.又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0⇔(2x－1)(x＋3)<0.∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|－3<x<1 2}．跟踪练习：已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2＋bx－1>0.[解析](1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1>0化为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1. ∴不等式ax 2＋bx －1>0的解集为{x |12<x <1}．例 4 设f (x )、g (x )都是R 上的奇函数，关于x 的不等式f (x )>0的解集为{x |4<x <10}，g (x )>0的解集为{x |2<x <5}，则关于x 的不等式f (x )·g (x )>0的解集为( )A ．{x |2<x <10}B ．{x |4<x <5}C ．{x |－10<x <－2或2<x <10}D ．{x |－5<x <－4或4<x <5} [错解] 选B.[辨析] f (x )g (x )>0⇔⎩⎨⎧ f (x )>0g (x )>0或⎩⎨⎧f (x )<0g (x )<0.误选B ，是忽视了f (x )<0且g (x )<0的情况．[正解] 选D.∵f (x )、g (x )都是R 上的奇函数， ∴f (x )·g (x )为偶函数，f (x )>0且g (x )>0的解集为{x |4<x <10}∩{x |2<x <5}＝{x |4<x <5}．由偶函数的对称性知f (x )<0且g (x )<0的解集为{x |－5<x <－4}，故选D.3.2.2 含参数一元二次不等式的解法1.含参数的一元二次不等式的解法解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况： (1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论．(2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参数进行讨论．(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．练习：解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2＜0.[解析] 原不等式化为(7x ＋a )(8x －a )＜0，方程(7x ＋a )(8x －a )＝0的两根为x 1＝－a 7，x 2＝a 8，∴a ＞0时，解集为{x |－a 7＜x ＜a8}； a ＝0时，解集为∅；a ＜0时，解集为{x |a 8＜x ＜－a7}． 2．分式不等式的解法(1)分式不等式：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式．(2)等价转化法解分式不等式：解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式不等式(组)．具体情况见下表：练习：解下列不等式：(1)4－x 2x ＋3≤0； (2)x ＋12－x ≥3. [解析] (1)4－x 2x ＋3≤0⇔x －42x ＋3≥0⇔⎩⎨⎧(x －4)(2x ＋3)≥02x ＋3≠0⇔{x |x ≥4或x <－32}． ∴原不等式的解集为{x |x <－32或x ≥4}．(2)x ＋12－x ≥3⇔x ＋12－x －3≥0 ⇔4x －52－x ≥0 ⇔4x －5x －2≤0，⇔⎩⎨⎧(4x －5)(x －2)≤0x －2≠0， ⇔{x |54≤x <2}．∴原不等式的解集为{x |54≤x <2}． 3．简单的高次不等式的解法 (1)高次不等式不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式． (2)穿根法解高次不等式的步骤 ①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．练习：解不等式：(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0. [解析] 设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)，则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：所以原不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1，或1≤x ≤2}．[点评] (1)大于0的不等式的解，对应着曲线在x 轴上方部分的实数x 的取值集合；反之，对应着x 轴下方部分的实数x 的取值集合．注意端点处值是否取到．(2)穿根法可形象地称为“穿根引线法”，这样的“线”可看成是函数的图象草图，只不过不画y 轴而已．考点一：含参数的一元二次不等式的解法例1、解关于x 的不等式：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0.[解析] 解法一：∵方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的解为x 1＝m ，x 2＝m ＋1，且知m ＜m ＋1.∴二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 的图象开口向上，且与x 轴有两个交点． ∴不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}．解法二：注意到m 2＋m ＝m (m ＋1)，及m ＋(m ＋1)＝2m ＋1，可先因式分解，化为(x －m )(x －m －1)＜0， ∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1. ∴不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．跟踪练习：当a >0时，解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. [解析] 不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0可化为(ax －1)(x －1)<0， ∵a >0，∴不等式(ax －1)(x －1)<0，可化为(x －1a )(x －1)<0，当a ＝1时，不等式无解；当0<a <1时，1<x <1a ；当a >1时，1a <x <1.综上可知，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，原不等式的解集为空集；当a >1时，原不等式的解集为{x |1a <x <1}.考点二：分式不等式的解法例2、 (1)不等式x －1x ≥2的解集为( ) A ．[－1,0) B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)(2)不等式2x －13－4x ＞1的解集为________．[答案] (1)A (2){x |23<x <34}[解析] (1)x －1x －2≥0∴－x －1x ≥0，∴⎩⎨⎧x (x ＋1)≤0x ≠0，∴－1≤x ＜0.(2)原不等式化为：6x －44x －3＜0， ∴(6x －4)(4x －3)＜0，∴23＜x ＜34，∴原不等式的解集为{x |23＜x ＜34}．跟踪练习：不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A ．{x |34≤x ≤2} B ．{x |x ≤34或x ＞2}C ．{x |34≤x ＜2}D ．{x |x ＜2}[答案] C[解析] 不等式3x －12－x≥1，化为：4x －32－x≥0，∴34≤x ＜2. 考点三：简单高次不等式解法例3、不等式x (x ＋2)x －3＜0的解集为( ) A ．{x |x ＜－2，或0＜x ＜3} B ．{x |－2＜x ＜2，或x ＞3}C ．{x |x ＜－2，或x ＞0}D ．{x |x ＜0，或x ＜3}[答案] A[解析] 原不等式等价于x (x ＋2)(x －3)＜0.结合数轴穿根法(如图)可知：x ＜－2或0＜x ＜3.跟踪练习：解不等式：x (x －1)2(x ＋1)3(x －2)>0.[解析] 原不等式可化为⎩⎨⎧ x (x ＋1)(x －2)>0x －1≠0 ⇔⎩⎨⎧－1<x <0，或x >2x ≠1⇔－1<x <0，或x >2.∴原不等式的解集为{x |－1<x <0，或x >2}.考点四：不等式恒成立的问题例4、关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m <x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1<0对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1<0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎨⎧ m <0Δ＝m 2－4m (m －1)<0⇔⎩⎨⎧ m <03m 2－4m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <0m <0，或m >43⇔m <0. 综上，m 的取值范围为m ≤0.跟踪练习：已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围．[解析] 若a ＝0，则原不等式为－x －1<0，即x >－1，不合题意．故a ≠0.令f (x )＝ax 2＋(a －1)x ＋a －1，∵原不等式对任意x ∈R 都成立．∴二次函数f (x )的图象在x 轴的下方．∴a <0且Δ＝(a －1)2－4a (a －1)<0.即⎩⎨⎧a <0(a －1)(3a ＋1)>0，∴a <－13. 故a 的取值范围为(－∞，－13)．例5、若函数y ＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则k 的取值范围是________．[错解] 0<k ≤1由题意知kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立，∴⎩⎨⎧ k >0Δ＝36k 2－4k (k ＋8)≤0，∴0<k ≤1，即k 的取值范围是0<k ≤1. [辨析] 错解忽视了k ＝0时，kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0也成立，考虑问题不全面导致错[正解] 0≤k ≤1由题意kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立．当k ＝0时满足，当k ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0△＝36k 2－4k (k ＋8)≤0 ，∴0＜k ≤1，综上得0≤k ≤1.。

一元二次不等式及其解法

解法编辑解法一当△=b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实根，那么ax²+bx+c可分解为如a(x-x1)(x-x2)的形式。

这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。

一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。

举例：试解一元二次不等式解：利用十字相乘法：2x -3x-2得（2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论。

口诀同一元一次不等式的“数轴法”：大大取大，小小取小；大小小大取中间，小小大大没有解。

1）2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2（不成立）2）2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。

得最终不等式的解集为：解法二此外，亦可用配方法解一元二次不等式。

如上例题中：2x²-7x+6=2(x²-3.5x)+6=2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)²-0.125<02(x-1.75)²<0.125(x-1.75)²<0.0625两边开平方，得：x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。

通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。

解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。

一元二次不等式及其解法

角度一
形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围
角度二
形如 f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
2．对任意 x∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a 的值恒大于零，求 a 的取值范围.
a － 4 4－ a 解：函数f(x)＝x ＋(a－4)x＋4－2a的对称轴为x＝－ 2 ＝ 2 .
答案：D
2．设 a>0，不等式－c<ax＋b<c 的解集是{x|－2<x<1}，则 a∶b∶ c＝ A．1∶2∶3 C．3∶1∶2
b＋c c－ b ∴－ a <x< a . ∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，
( B．2∶1∶3 D．3∶2∶1
)
解析：∵－c<ax＋b<c，又 a>0，
b＋c － a ＝－2， ∴ c－b＝1， a
(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式；年收益y=年销量与每件商品利润的积.
(2)设 k ＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商 2014 年的收益比 2013 年至少增长 20% ?
[解]
(1)设该商品价格下降后为 x 元/件， k 则由题意可知年销量增加到x－4＋a件，故经销商的年收益 (2)当 k＝2a
则不等式f(x)<4
x>0，解析：不等式f(x)<4等价于 2 x ＋1<4，
x≤0，或－x<4，
即0<x< 3或－4<x≤0.因此，不等式f(x)<4的解集是(－4， 3)．
答案：(－4， 3)
6．(2012· 天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈ R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n ＝________.

一元二次不等式及其解法

2
1 2 (5)－2x ＋3x－5>0；
(6)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝_________. (2)已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是－2,3， a>0，那么 ax2－bx＋c>0 的解集是__________________．
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (2)“次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制． (3)必须是整式不等式．
3.2.1一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的定义只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的不等式，称为一元二次不等式．即形如 ax2＋bx＋c>0(≥0) 或 ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的式的解
【跟踪训练 2】
解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0.
题型三例3
“三个二次”之间的转化关系
若不等式 ax2，求
不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．

一元二次不等式及其解法

§15.3 一元二次不等式及其解法一.一元一次不等式的解法一元一次不等式（组）是解其他不等式（组）的基础，熟练掌握逻辑联结词“或”“且”的运用以及集合的“并”“交”运算是解不等式组的关键.二.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.如果一个不等式变形为另一个不等式时，这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形.解不等式的过程就是将不等式进行同解变形，化为最简形式的同解不等式的过程. 三.一元二次不等式的解集,)x∅121.对不等式变形，将代数式移项至不等号的左边，使不等号的右边等于0，且二次项系数大于0；2.计算相应方程的判别式；∆≥时，求出相应的一元二次方程的根；3.当04.根据二次函数的图象写出一元二次不等式的解集.【例1】求不等式2230x x -+-> 的解集.【解析1】2230x x -+-> 2230x x ⇒-+<.2(2)4380∆=--⨯=-< ，∴方程2230x x -+= 无解，∴ 不等式2230x x -+< 无解. 即不等式2230x x -+-> 无解.【解析2】因为223x x -+-2(21)2x x =--+- 22(1)20x =---< ，所以不等式2230x x -+-> 无解. 【解析3】MathematicaIn[1]:= Reduce[−x 2+2x −3>0,x] Out[1]= False【例2】解不等式2340x x --≥ .【解析1】2(3)4(4)250∆=--⨯-=> ，方程2340x x --= 的两个根为1,4- ，所以不等式2340x x --≥ 的解集为(,1][4,)-∞-+∞ .【解析2】2340x x --≥ (1)(4)0x x ⇒+-≥ 1x ⇒≤- 或4x ≥ . 所以不等式2340x x --≥ 的解集为(,1][4,)-∞-+∞ .【解析3】Mathematica 法In[1]:=Reduce[x 2−3x −4≥0,x] Out[1]= x ≤−1||x ≥4【练习1】解下列不等式：（1）(4)5x x -≤ ；（2）2420x x -+> ；（3）(3)(2)1x x x x ->++ .四.含参数的一元二次不等式的解法1.已知参数的范围，求不等式的解集.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法：（1）当二次项系数不确定时，按二次项系数大于零、等于零、小于零三种情况进行分类.（2）判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.（3）判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.结合方程的根、函数的图象得到解集.【例3】解关于x 的不等式2(1)2a x x +≥ . 【解析1】分类讨论法原不等式可化为220ax x a -+≥ .对a 分类讨论.（1）当0a = 时，不等式化为20x -≥ ，解得0x ≤ . （2）当0a > 时，22444(1)a a ∆=-=- .○1当01a << 时，0∆> ，此时方程220ax x a -+= 有两根，1x = ，2x =x ≤ 或x ≥ . ○2当1a = 时，不等式化为2(1)0x -≥ ，此时x R ∈ . ○3当1a > 时，0∆< ，此时x R ∈ . （3）当0a < 时，22444(1)a a ∆=-=- .○1当10a -<< 时，0∆> ，此时方程220ax x a -+= 有两根，1x = ，2x =x ≤≤ . ○2当1a =- 时，不等式化为2(1)0x -+≥ ，此时1x =- . ○3当1a <- 时，0∆< ，此时x ∈∅ . 综上可知：当1a <- 时，不等式的解集为∅ .当1a =- 时，不等式的解集为{|1}x x =- .当10a -<< 时，不等式的解集为{|x x ≤≤ .当0a = 时，不等式的解集为{|0}x x ≤ .当01a << 时，不等式的解集为{ |x x x ≤≥ .当1a ≥ 时，不等式的解集为R .【解析2】Mathematica 法In[1]:= Reduce[a(x 2+1)≥2x,x,Reals]Out[1]= (a ==−1&&x ==−1)||(−1<a <0&&1a −√1−a 2a 2≤x ≤1a +√1−a 2a 2)||(a ==0&&x ≤0)||(0<a <1&&(x ≤1a −√1−a 2a 2||x ≥1a +√1−a 2a 2))||a ≥1【练习2】解关于x 的不等式：2(1)10ax a x +--> .2.求满足不等式的解集的参数的取值范围.【例4】若不等式220ax bx +-< 的解集为1{|2}4x x -<< ，求ab 的值.【解析1】因为不等式220ax bx +-< 的解集为1{|2}4x x -<< ，所以0a > ，方程220ax bx +-= 的两根分别为12,4-，根据韦达定理有1224a --⨯= ，124ba -+=- ，解得4a = ，7b = ，所以28ab = .【解析2】Mathematica 法In[1]:= f[x_]=ax 2+bx −2;Solve[{f[−2]==0,f[14]==0},{a,b}] Out[1]= {{a →4,b →7}}【练习3】已知函数2()f x x ax b =++ （,a b R ∈ ）的值域为[0,)+∞ ，若关于x 的不等式()f x c < 的解集为(,6)m m + ，求实数c 的值.五.不等式恒成立问题1.一元二次不等式的恒成立问题（1）20ax bx c ++> 对任意实数x 都成立0,0;a >⎧⇔⎨∆<⎩20ax bx c ++< 对任意实数x 都成立0,0.a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）若20ax bx c ++< 或20ax bx c ++> （0a ≠ ）在12[,]x x x ∈ 时均成立，可利用根的分布求解.【例5】已知函数2()3f x x ax =++ .（1）当x R ∈ 时，()f x a ≥ 恒成立，求a 的范围；（2）当[2,2]x ∈- 时，()f x a ≥ 恒成立，求a 的范围；【解析1】（1）()f x a ≥ 恒成立，即230x ax a ++-≥ 恒成立，必须且只需24(3)0a a ∆=--≤ ，即24120a a +-≤ ，所以62a -≤≤ .（2）2()3f x x ax =++ 22()324a a x =++- .○1当22a-<- ，即4a > 时，min ()(2)27f x f a =-=-+ ，由27a a -+≥ ，得73a ≤，所以a ∈∅ . ○2当222a -≤-≤ ，即44a -≤≤ 时，2min ()34a f x =- ，由234a a -≥ ，得62a -≤≤ ，所以42a -≤≤ . ○3当22a -> ，即4a <- 时，min ()(2)27f x f a ==+ ，由27a a +≥ ，得7a ≥- ，所以74a -≤<- .综上可得72a -≤≤ .【解析2】Mathematica 法（1）In[1]:= Reduce[ForAll[x,x 2+ax +3≥a],a,Reals] Out[1]= −6≤a ≤2（2）In[2]:= Reduce[ForAll[x,−2≤x ≤2,x 2+ax +3≥a],a,Reals] Out[2]= −7≤a ≤2【练习4】已知不等式244x mx x m +>+- .（1）若对一切实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于04m ≤≤ 的所有实数m ，不等式恒成立，求实数x 的取值范围.2.含参数的不等式的恒成立问题.通过分离参数，把参数的范围转化为函数的最值问题.()a f x > 恒成立max ()a f x ⇔> ；()a f x < 恒成立min ()a f x ⇔< .【例6】若不等式210x kx k -+-> 对(1,2)x ∈ 恒成立，求实数k 的取值范围. 【解析1】因为210x kx k -+-> ，所以21(1)x k x ->- .又因为1x > ，所以2111x k x x -<=+- .因为12x << ，所以213x <+< .因为不等式210x kx k -+-> 对(1,2)x ∈ 恒成立，所以2k ≤ . 【解析2】Mathematica 法In[1]:= Reduce[ForAll[x,1<x <2,x 2−kx +k −1>0],k] Out[1]= k ≤2【练习】1.解下列不等式：（1）22150x x +-> ；（2）221x x >- ；（3）222x x <- .2.已知实数a 满足不等式33a -<< ，解关于x 的不等式：()(1)0x a x -+> .3.已知0a ≠ ，解关于x 的不等式2(2)20ax a x +++> .4.已知函数22()log (3)f x m mx =++ 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.5.若函数y =（k 为常数）的定义域为R ，求实数k 的取值范围.6.解关于x 的不等式(2)(2)0x ax --> .7.设函数2()1f x mx mx =-- .（1）若对于一切实数x ，()0f x < 恒成立，求m 的取值范围. （2）若对于[1,3]x ∈ ，()5f x m <-+ 恒成立，求m 的取值范围.作者：曹亚云Email ：cyy82@ 更多资源：。

一元二次不等式及其解法

当2a＝－1，即 a＝－2 时，原不等式等价于 x＝－1；当2a<－1，即 a>－2，原不等式等价于2a≤x≤－1. 综上所述，当 a<－2 时，原不等式的解集为－1，2a；当 a＝－2 时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<0 时，原不等式的解集为2a，－1；
当 a＝0 时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
而g
a
是一次函数，所以
g g
(1) (1)
x
x2 2
5x 3x
2
6
0
0，
解得x 1或x 3.所以x的取值范围是{x | x 1或x 3}．
5.已知函数y＝lg[(a2－4)x2＋2(a＋2)x＋a－1]的定义域为R，求实数a的取值范围．
a的取值范围是(4，＋∞)．
解关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0.
【自主解答】不等式 x2－2ax－8a2<0 可化为(x＋2a)·(x－ 4a)<0，
(1)当－2a＝4a，即 a＝0 时，不等式即为 x2<0，解集为∅； (2)当－2a>4a，即 a<0 时，则 4a<x<－2a； (3)当－2a<4a，即 a>0 时，则－2a<x<4a. 综上所述：当 a＝0 时，原不等式的解集为∅；当 a<0 时，原不等式解集为{x|4a<x<－2a}；当 a>0 时，原不等式解集为{x|－2a&式恒成立问题
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)的等价条
件是
a＝0 b＝0 c>0
或a>0 Δ<0
；
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的等价条

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法3.2 一元二次不等式及其解法本课时的研究目标如下：1.掌握一元二次不等式的解法（重点）。

2.能够根据“三个二次”之间的关系解决简单问题（难点）。

基础·初探】1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2.一元二次不等式的一般形式1) ax^2 + bx + c。

0 (a ≠ 0)。

2) ax^2 + bx + c ≥ 0 (a ≠ 0)。

3) ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)。

4) ax^2 + bx + c ≤ 0 (a ≠ 0)。

3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集。

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）1) mx^2 - 5x < 0 是一元二次不等式。

（×）解析：当 m = 0 时，是一元一次不等式；当m ≠ 0 时，它是一元二次不等式。

2) 若 a。

0，则一元二次不等式 ax^2 + 1.0 无解。

（×）解析：因为 a。

0，所以不等式 ax^2 + 1.0 恒成立，即原不等式的解集为 R。

3) x^2 - x。

0 为一元二次不等式。

（×）解析：因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 x，故该说法错误。

答案】(1) × (2) × (3) ×二次函数与一元二次不等式的关系】考虑一元二次不等式 f(x)。

0（或 f(x)。

0）。

1.判别式Δ = b^2 - 4ac。

2.求出方程 f(x) = 0 的解集 {x | x1 < x < x2}，其中 x1 和x2 分别是 f(x) = 0 的两个实根。

3.画出函数 y = f(x) 的图像。

4.根据 f(x)。

0（或 f(x) < 0）的条件，得到一元二次不等式的解集。