第七章 随机信号分析基础
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析基础
i1 p
(4)
a i R h ( k i ) k 0
i1
例：一阶AR模型
AR(1)的系统传输函数及描述此系统的差分方程分别为：
H(z)A1(z)1a11z1
x(n)a1x(n1)e(n)
令e(n)是一均值为零、方差为w 2的白噪声序列，x(n)是在e(n)
激励下系统所产生的输出。
X(n-1)
常 被 表 示 为 ： M A (q )；
输 出 数 据 序 列 x( n ) 称 “ M A 过 程 ” 。
AR模型冲激响应的自相关函数
AR(p)的 系 统 函 数 ： H (z)
d0
p
1 a i z i
i1
p
亦 可 表 示 为 ： H ( z ) a i H ( z ) z i d 0 (1) i1
简 记 为 A R M A 过 程 (A R:A utoregressive,M A:M oving A verage)
相 应 的 系 统 模 型 (差 分 方 程 )称 “ ARM A模 型 ”
2.1 有理分式模型
模型参数专用术语定义：
p
q
对 A R M A 模 型 ： x ( n ) ai x ( n i) b je ( n j )
2 . 若 A ( z ) 常 数 ,则 A R M A (p ,q )模 型 退 化 为 ：
时域的差分方程：
q
x ( n ) b ie ( n i) i 0
Z域 的 系 统 函 数 ：
q
H ( z ) B ( z ) 1 b i z i i 1
称 此 类 模 型 为 “ M A 模 型 、 全 零 点 模 型 H A Z ( z )? ；
《随机信号分析》课件
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析基础第3版
信号恢复
在通信系统中，由于信道噪声和干扰的影响，接收端可能无法准确恢复原始信号。利用随 机信号分析技术，可以对接收到的信号进行去噪、滤波等处理，提高信号恢复的准确性。
随机信号在雷达系统中的应用
定义
概率分布是描述随机信号取值概率的数学工具，用于 描述随机信号的统计特性。
常见概率分布
常见的概率分布有正态分布、泊松分布、指数分布等 。
适用场景
不同的概率分布在不同的场景下有不同的应用，需要 根据实际情况选择合适的概率分布。
随机信号的均值和方差
定义
01
均值是随机信号取值的平均值，方差是随机信号取值偏离均值
通过傅里叶变换计算随机信号的 功率谱密度，可以了解信号的频 率特性和功率分布。
功率谱密度的应用
在信号处理、噪声分析、系统性 能评估等领域中，功率谱密度是 重要的性能指标。
随机信号的互相关函数
互相关函数
描述两个随机信号之间的相似性和相关性，是研 究随机信号之间关系的重要工具。
互相关函数的计算
通过计算两个随机信号的互相关函数，可以了解 它们之间的相似性和变化规律。
随机信号
在通信、雷达、声呐、地震、生物医学等领域中，常常会遇 到一类信号，它们的取值具有不确定性，即不是确定的数值 ，而是按照某种概率分布。这类信号被称为随机信号。
确定性信号
在某些情况下，信号的取值是确定的，即对于给定的时间点 ，信号的值是确定的数值。这类信号被称为确定性信号。
随机信号的分类
平稳随机信号
03
CATALOGUE
随机信号的时域分析
随机信号分析基础(第3版)
随机信号的频域描述
01
02
03
频域描述
通过傅里叶变换将时间域 的随机信号转换为频域表 示，揭示信号的频率成分 和频率特性。
频域特性
描述随机信号在不同频率 下的振幅和相位变化，以 及信号的频率范围和带宽 。
频域分析的应用
用于信号的调制、滤波、 频谱分析和信号处理等领 域。
随机信号的功率谱密度
功率谱密度定义
性。
学习目标
掌握随机信号的基本概念 、统计特性和分析方法。
学习信号处理的基本原理 和技术，包括滤波、谱分 析和调制解调等。
理解随机过程的基本理论 和应用。
熟悉随机信号分析在通信 、雷达、声呐等领域的应 用。
02
CATALOGUE
随机信号的基本概念
随机信号的定义
01
随机信号是一种随时间变化的信 号，其取值在每个时间点上是随 机的，即无法提前预测。
随机信号的时域表示
随机信号在时间轴上的变化规律可以 用实数序列表示，通常采用离散时间 序列或连续时间信号。
随机信号的特性
包括均值、方差、偏度和峰度等统计 特性，以及信号的波形、幅度和频率 等时域特征。
随机信号的均值和方差
均值
随机信号的均值是信号所有可能取值的平均值，反映了信号 的“中心”位置。
方差
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、共轭性、对称性等，这些性质在信号处 理中具有重要应用。
傅里叶变换的应用
在通信、雷达、声学等领域中，通过傅里叶变换分析信号的频率成 分，实现信号的滤波、调制和解调等操作。
随机信号的拉普拉斯变换和Z变换
拉普拉斯变换
将时域的随机信号转换为复平面 上的函数，用于分析信号的稳定 性及系统函数的极点和零点等。
随机信号分析基础
∫
∞
−∞
2 [ x − mx ]2 p ( x)dx = E[ X 2 (t )] − mx
3.自相关函数与自协方差函数 自相关函数与自协方差函数
（1）自相关函数用于表征一个随机过程本身，根据在t1,t2两个不同时刻 瞬时之间的关联程度，把自相关函数定义为
Rxx (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] =
∫ ∫
当
∞
∞
−∞ −∞
x1 x2 p2 ( x1 , x2 )dx1dx2
有
t1 = t 2 = t
∞
x1 = x2 = x
则
Rxx (t ) = E[ X (t ) X (t )] =
∫ ∫
∞
−∞ −∞
x 2 p1 ( x)dx
说明X（t）的均方值是自相关函数在 t1 时的特例。
= t2
对于平稳随机信号，由于二维概率密度函数只与时间间隔 τ (τ = t 2 − t1 )有关 其自相关函数为：
或
2 x
(t )
2 σ x2 (t ) = C xx (t , t ) = Rxx (t , t ) − mx (t ) = 2 E[ X 2 (t )] − mx (t )
由以上两式可知，如果已知数学期望与自相关函数，就可以求得方 差、自协方差和均方值等，因此数学期望和自相关函数是随机信号 中两个最基本最重要的数字特征。
其中 p2 ( x, y )为两个随机信号 X（t） (t )的二维 ,Y 联合概率密度函数
相应的互协方差函数的定义为
C R
xy xy
( t 1 , t 2 ) = E {[ X ( t 1 ) − m x ( t 1 )][ Y ( t 2 ) − m ( t1 , t 2 ) − m x ( t1 ) m
随机信号分析
第9章 随机信号分析随机信号和确定信号是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分析和处理方法也不相同。
随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的，无法预测未来某时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
随机信号分为平稳和非平稳两类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
本章所讨论的随机信号是平稳的且是各态历经的。
在研究无限长信号时，总是取某段有限长信号作分析。
这一有限长信号称为一个样本（或称子集），而无限长信号x(t)称为随机信号总体（或称集）。
各态历经的平稳随机过程中的一个样本的时间均值和集的平均值相等。
因此一个样本的统计特征代表了随机信号总体，这使得研究大大简化。
工程上的随机信号一般均按各态历经平稳随机过程来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
随机信号序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是自然界里实际存在的物理现象，即它们本身就是离散的。
平稳随机过程在时间上是无始无终的，即其能量是无限的，本身的Fourier 变换也是不存在的；但功率是有限的。
通常用功率谱密度来描述随机信号的频域特征，这是一个统计平均的频谱特性。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(n)无限长，而实际上这是不可能的，只能用一个样本，即有限长序列来计算。
因此得到的计算值不是随机信号真正的统计值，而仅仅是一种估计。
本章首先介绍随机信号的数字特征，旨在使大家熟悉描述随机信号的常用特征量。
然后介绍描述信号之间关系的相关函数和协方差。
这些是数字信号时间域内的描述。
在频率域内，本章介绍功率谱及其估计方法，并给出了功率谱在传递函数估计方面的应用。
最后介绍描述频率域信号之间关系的函数---相干函数。
9.1 随机信号的数字特征9.1.1 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)均值可表示为： []⎰∞→==TT x dt t x Tt x E 0)(1)(limμ （9-1）均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随时间而变化。
随机信号分析李晓峰
随机信号分析李晓峰引言随机信号分析是一门研究信号及其性质的学科，其在现代通信、图像处理、生物医学工程等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍随机信号分析的基本概念、常见的分析方法以及李晓峰教授在随机信号分析领域的研究成果。
随机信号的定义随机信号是指在某个时间段内具有随机性质的信号。
其特点是信号的取值在时间和幅度上都是不确定的，只能通过概率统计的方法来描述。
一个随机信号可以用一个概率密度函数来描述其取值的分布情况。
随机信号有两种基本的分类方式：离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是在离散的时间点上进行取样的信号，连续随机信号则是在连续的时间上变化的信号。
随机信号分析方法统计特性分析统计特性分析是随机信号分析的基本方法之一，它通过对信号进行统计分析，从而得到信号的数学特性。
常见的统计特性包括均值、方差、自相关函数和谱密度等。
均值是衡量随机信号集中程度的一个指标，它表示信号的中心位置。
方差则用来衡量信号的离散程度，方差越大表示信号的波动性越大。
自相关函数描述了信号在不同时间点之间的相关性，而谱密度则表示信号在不同频率上的能量分布情况。
概率密度函数分析随机信号的概率密度函数描述了信号取值的概率分布情况。
常见的概率密度函数包括高斯分布、均匀分布和指数分布等。
高斯分布是最常用的概率密度函数之一，其形状呈钟型曲线，具有对称性。
均匀分布则表示信号的取值在一个区间上是均匀分布的，而指数分布则表示信号的取值在一个时间段内的分布服从指数规律。
谱分析谱分析是通过对随机信号进行频域分析来研究其频率成分的分析方法。
常见的谱分析方法有功率谱密度分析和相关函数分析。
功率谱密度分析可以用来分析信号在不同频率上的能量分布情况，通过功率谱密度分析可以得到信号的频谱图。
相关函数分析则是通过对信号进行自相关操作，得到信号的相关函数，从而分析信号在不同频率上的相关性。
李晓峰教授的研究成果李晓峰教授是我国著名的随机信号分析专家，他在随机信号分析领域做出了许多重要的研究成果。
随机信号分析
随机信号分析随机信号是在时间或空间上具有随机性质的信号，其数学模型采用随机过程来描述。
随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其应用广泛涉及通信、控制、电力系统等领域。
本文将从随机信号的基本特性、常见的随机过程以及随机信号分析的方法等方面进行阐述。
随机信号的基本特性包括：平均性、相关性和功率谱密度。
首先，平均性是指随机信号的统计平均等于其数学期望值。
随机信号的平均性是通过计算信号在一定时间或空间范围内的平均值来描述的。
其次，相关性是指随机信号在不同时刻或不同空间位置上的取值之间存在一定程度的相关性。
相关性可以描述信号之间的相似度和相关程度，常用相关函数来表示。
最后，功率谱密度是用来描述信号在频域上的分布特性，它表示了随机信号在不同频率上所占的功率份额。
随机信号的常见模型主要有白噪声、随机行走、随机震荡等。
其中，白噪声是指功率谱密度在整个频率范围内均匀分布的信号，其在通信领域中应用广泛。
随机行走模型是一种随机过程，它描述了随机信号在不同时刻之间的步长是独立同分布的。
随机震荡模型是一种具有振荡特性的随机过程，常用于描述具有周期性或周期性变化的信号。
对于随机信号的分析方法，主要包括时间域分析和频域分析两种。
时间域分析是通过观察信号在时间上的波形和变化规律来分析随机信号的特性，常用的方法有自相关函数和互相关函数等。
频域分析是将信号转换为频率域上的功率谱密度来分析信号的频谱特性，常用的方法有傅里叶变换和功率谱估计等。
在实际应用中，随机信号的分析对于信号处理和系统设计具有重要意义。
在通信系统中，随机信号的噪声特性是衡量系统性能的关键因素之一，因此通过对随机信号的分析可以有效地优化通信系统的传输质量。
此外，在控制系统和电力系统中，随机信号的分析也能帮助我们进行系统建模和性能预测，从而实现系统的稳定性和可靠性。
综上所述，随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其对于各个领域的应用具有重要的意义。
通过对随机信号的基本特性、常见的随机过程以及分析方法的了解，可以为我们深入理解和应用随机信号提供帮助。
《随机信号分析》课件
连续随机信号
连续时间和连续幅度的随机信号，如噪声信号。
高斯随机信号
服从高斯分布的随机信号，常用于描述自然界 的随机现象。
非高斯随机信号
不服从高斯分布的随机信号，如脉冲信号和干 扰信号。
常见的随机信号分析方法
自相关分析
用于分析信号的自身相关性和 平稳性。
频谱分析
通过对信号进行频域分析，得 到信号的频谱特性。
统计特性分析
对信号的均值、方差等统计特 性进行分析。
使用MATLAB进行随机信号分析的步骤
1
准备据
收集并整理所需信号的数据。
2
数据预处理
对数据进行去噪、归一化等预处理操作。
3
信号分析
运用MATLAB提供的工具进行信号分析和特征提取。
随机信号分析的应用领域
通信系统
用于优化信道传输和抗干扰能力的研究。
金融市场
用于分析股票价格、汇率等随机变动的特性。
生物医学
用于分析心电图、脑电图等生物信号。
气象预报
用于分析天气数据，提高气象预报的准确性。
总结
通过本课件，您了解了随机信号的定义、特性、分类以及分析方法，以及其在不同领域的应用。
《随机信号分析》PPT课 件
本课件将介绍随机信号分析的基本概念和方法，包括随机信号的定义、特性、 分类以及常见的分析方法。
分析随机信号的定义
1 随机信号
随机信号是不确定的信号，具有随机性和不可预测性。
2 随机过程
随机信号可以看作是随时间变化的随机过程。
3 概率论基础
随机信号的定义和性质可以通过概率论进行分析和描述。
随机信号的特性
1 均值和方差
随机信号的均值和方差是 表征其平均值和离散程度 的重要特性。
《随机信号分析基础》课件
频域分析方法
傅里叶变换
傅里叶变换将信号从时域转换为频域，显示信号在 不同频率上的能量分布。
功率谱密度估计
通过对信号进行功率谱密度估计，可以分析信号在 不同频率上的能量分随机信号
图像处理中的随机信号
随机信号在通信系统中有着重要 的应用，如随机噪声与调制信号。
随机信号在图像处理中被用于增 强图片细节、降低噪声等方面。
为什么学习信号与系统？
信号与系统是电气工程的基础，它涉及到广泛 的应用领域，如通信、控制、图像处理等。
随机过程概述
什么是随机过程？
随机过程是一类随机变量的集 合，它在不同时间点上产生随 机数值，描述了具有随机性的 系统或现象。
随机过程的特点
随机过程具有不可预测性、不 确定性和非平稳性等特点，需 要进行概率统计的建模与分析。
自然界中的随机信号
自然界中的一些现象，如气象数 据和地震信号等，可以用随机信 号进行建模与分析。
分布情况，用于频域分析与滤波设计。
时域分析方法
1 傅里叶级数展开
傅里叶级数展开是一种将 周期信号分解为多个正弦 函数或余弦函数的方法。
2 自相关函数计算
通过计算信号的自相关函 数，可以分析信号在不同 时刻上的相关性。
3 时域滤波
时域滤波是指对信号的幅 度或相位进行调整以实现 信号的变换或去除杂散分 量。
《随机信号分析基础》 PPT课件
本课件将介绍《随机信号分析基础》的主要内容，包括信号与系统简介、随 机过程概述、随机信号定义与分类、常见随机信号的特性分析、时域分析方 法、频域分析方法以及应用示例。
信号与系统简介
什么是信号与系统？
信号与系统研究的是电气工程中信号的产生、 传输与处理，以及系统对信号的描述与分析。
第7章 随机信号分析与处理基础
本小节内容： 本小节内容：
估计质量的评价准则 各态遍历性平稳随机信号数字特征估计
18 X
（1）估计质量的评价准则 统计量一般有： 统计量一般有：
均值 均方差
随机信号统计量的估计质量评价指标： 随机信号统计量的估计质量评价指标：
无偏性/渐近无偏性 无偏性 渐近无偏性 有效性 一致性
19
X
<1> 无偏估计
å
xn (ti ) Pn (ti )
xn(t)
x2(t1) xn(t1) t ti E[X(ti)]
t
1
Pn(ti): ti 时刻样本值 取xn的概率 不同时刻t 随机 不同时刻 时,随机 信号的均值是变量
¥
t t
E[X(t)] E[X(t0)] E[X(t1)]
12
\ E[ X (t )] =
n= -
数值集合 xi(t1)是随机的 是随机的 在某一确定时刻t 是随机变量： 在某一确定时刻 i，X(ti)是随机变量： 是随机变量 全部样本的集合构成随机过程
4 X
概念：随机信号的概率分布 ① 分布函数
F(x1, t1) = P[X (t1) 1] x
表示随机信号X(t)的样本在时刻 1的取值小于 1的概率。 的样本在时刻t 的取值小于x 的概率。 表示随机信号 的样本在时刻 反映随机信号的统计特征
二维概率分布密度： 二维概率分布密度：
x2 ]
p(x1, x2;t1, t2 ) =
¶ 2 [F(x1, x2;t1, t2 )] 抖 x2 x1
7 X
n 维概率分布密度 n 维概率分布函数： 维概率分布函数：
t1时 X (t1) ≤ x1, 且 2时 X (t2 ) ≤ x2的 率 ⋯ 刻 t 刻 概 , ：
通信原理——随机信号分析
x(fx)dxE(X)
称为随机变量X的数学期望，又称均值。用E(X)表 示。 ▪ 方差 设X为一随机变量，则：
E{[X-E(X)]2}＝D(X) 称为随机变量X的方差，用D(X)表示。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ 协方差 设X，Y为两随机变量，则： E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 二维概率分布函数及概率密度函数 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成 一个二维随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，则 F2(x1,x2; t1,t2)=P[ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2] 称为随机过程ξ(t)的二维概率分布函数。
f(x) dF(x) dx
( 导数关系 )
则函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ ▪ 设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设X和 Y是定义在S上的两个随机变量，则由X和Y构成的 向量(X, Y)，叫做二维随机变量/向量。 ▪ 设 (X, Y) 是二维随机变量，对于任意实数x, y，二 元函数： F(x,y)= P{X≤x ,Y≤y} 称为二维随机变量(X, Y) 的概率分布函数。
▪ 相关系数 设X，Y为两随机变量，则： covX(,Y) XY D(X) D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数。
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 随机过程： 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间 波形(称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现 的结果的总体 {x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机 过程，记作ξ(t)。 简言之，无穷多 个样本函数的总 体叫做随机过程， 如图所示。
第七章-随机信号分析基础
mk
(j)k
dk(v) dvk
v0
Digital Signal Processing
▪随机变量的累积量
ck
(j)k
dk(v) dvk
v0
▪第二特征函数和累积量的关系
(v)1Mck (jv)k O(vM)
k1k! ▪高斯分布零均值随机变量的高阶矩和高阶累积量
13...(k1)2,k偶数
mk
0
k奇数
0,n0,1,...,
rx(n,nm)E[x(n)x(nm)]
E[A2sin(2fnTs)sin(2f(nm)Ts)] sin(2fnTs)sin(2f(nm)Ts)E[A2] 2sin(2fnTs)sin(2f(nm)Ts),n0,1,...,
Digital Signal Processing
✓狭义平稳随机过程 ▪高阶联合概率分布函数满足：
Sx(ej)Nl im k N ( N 11)rx(k)ejk
Sxy(ej)Nl im E[XN(ej N )YN *(ej)]2
✓平稳随机信号：
Sx(ej)Nl imXN k0
(ej)2 N
Digital Signal Processing
随机过程的高阶功率谱
✓三阶谱
B x( 1, 2)
cx3(m 1,m 2)ej( 1m 1 2m 2)
随机过程的低阶统计量描述
xk(n ),n 0 ,1 ,... ,k 1 ,2 ,...,Nxk(n)n常 数 ,k1,2,...,N X n
✓一阶统计量
▪均值
x ( n ) m 1 ( n )n 常 数 E X n x n p ( x n ) d x N l im E N 1 k N 1 x k ( n )
随机信号分析基础教学设计
随机信号分析基础教学设计1. 简介随机信号分析是现代通信系统，信号处理以及控制工程等领域中的重要基础课程。
它涉及到数学、信号处理和随机过程等多个学科的内容。
本文将讨论基础随机信号分析教学计划的设计。
2. 教学目标本课程的目标是使学生：•掌握基本随机信号描述方法，如：概率密度函数和随机变量等；•熟悉常见随机过程模型和理解常见随机过程性质；•能够利用系统性能分析的方法来评估不同随机信号的特点；•掌握随机信号在通信系统、信号处理和控制系统等方面的应用。
3. 课程安排本课程将包含以下主题：3.1 随机变量和概率密度函数•随机变量定义；•离散和连续随机变量；•概率密度函数的定义；•均值和方差定义。
3.2 随机过程•随机过程基本理论；•独立增量过程，平稳过程等；•Poisson过程和Gaussian过程；•平均值和相关函数。
3.3 系统性能分析•线性系统性能分析；•独立信号传输；•混合信号传输；•带噪声系统的基本性质。
3.4 随机信号的应用•随机信号在通信系统中的应用；•随机信号在信号处理中的应用；•随机信号在控制系统中的应用。
4. 教学方法本课程将采用常规教学方法，包括讲解课程内容、授课示例、小组讨论、编程实例等。
在教学实践中，以下方法也将被采用：•课上讨论：教师将所学内容分配给学生组，并要求学生讨论组间。
•课后作业: 要求学生根据所学内容完成作业，并通过网络课程交付。
•理论与实践相结合：利用编程实例向学生展示所学内容在实际工程应用方面的重要性。
•问题解决：鼓励学生提出问题，并在课堂上和老师和同学一起解决问题。
5. 评价方法本课程的评价方法包括基于作业、期末考试、小组讨论分析，以及每个学生的参与度和出勤率。
6. 总结由于随机信号分析在通信、信号处理和控制系统等领域占据着重要位置，因此，对于计算机科学和工程学生，本课程将是必修的基础课程。
教师应严格教学计划，注意培养学生的动手能力，激发学生的兴趣，目标是使学生掌握扎实的基础知识，提高学生的实际应用能力。
随机信号分析课件
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
随机信号分析基础
p( )
x
( p(1)
p(2 ))
x
1
2
2 1
A2 2
1 A2 2
(注意：同一个X，有两个值)
2.2 随机信号的概率表示
5.多维随机变量的概率分布
对于多个随机变量 x1, x2 ,..., xN 其联合概率分布
函数及联合概率密度函数分别是：
F (x1, x2 ,..., xN ) P(1 x1, 2 x2 ,..., N xN )
y
由1和2 ，得 p( y) p(x f 1( y)) x
y
2.2 随机信号的概率表示
例2-2 随机相位正弦信号 X (t) Asin，(0t是) 均匀[0分, 2 ] 布，求：p(x).
解：
p(
)
1
2
0 2
0 others
arcsin(
) A
0t
1
x A2 x2
p((t))
随机信号分析基础
主要内容
概述 随机信号的概率表示 随机信号的数字特征 随机信号的功率谱密度 离散时间随机信号 随机信号的遍历性 几种常见的随机信号 随机信号数字特征的估计
2.1 概述
2.1.1基本概念
随机信号—通常可看成是一个随机变量随时间变化
的 过 程 ， 可 用 一 个 含 两 个 变 量 的 函 数 X i (t)表 示 ， 其 中 t T 参数集, i样 本集。
1） 样本 连续 随机序列 随机过程（随机
空间
函数）
离散 离散参数链 连续参数链
离散
连续
参数集
2）按 X(t取) 值实数、复数分实、复随机信号 3）一维及多维随机信号
2.2 随机信号的概率表示
《随机信号分析基础》总复习题纲
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系） 8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
随机信号分析共61页文档
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
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随机变量的第一特征函数 p( x)
(v) E[e jvx ] e jvx p( x)dx
随机变量的第二特征函数
(v) ln (v)
随机变量的矩函数
mk E[ x ] x k p ( x )dx
k
k阶原点矩和第一特征函数的关系
d k (v) m ( j ) dvk
2
二阶平稳随机过程 X n , X n
1
2
P( xi , x j ; ni , n j ) P( xi , x j ; ni m, n j m), 其中m为任意常数
rx (n1 , n2 ) xn1 * xn2 p( xn1 , xn2 ; n1 , n2 )dx1dx2
Digital Signal Processing
7．1随机信号的描述
随机过程的概率密度描述
ni时刻随机变量 X i
xk (ni ), k 1, 2,..., N
随机信号：随机变量集合
X [ X1, X 2 ,..., X ]
Digital Signal Processing
xn1 * xn2 p( xn1 , xn2 ; n2 n1 )dx1dx2 rx (n2 n1 )
cx (n1 , n2 ) cx (n2 n1 )
Digital Signal Processing
m1 (n) E[ X (n)] E[ A sin(2 fnTs )] sin(2 fnTs ) E[ A] 0, n 0,1,...,
k 1
N
2 x k (n )
Dx {Dx (1), Dx (1),..., Dx ()}
或Dx (n), n 1, 2,...,
Digital Signal Processing
二阶统计量 自相关函数 X n
* n1
1
X n2
rx (n1 , n2 ) E[ X X n2 ] xn1 * xn2 p( xn1 , xn2 ; n1 , n2 )dx lim 1 N k E [ x (n1 )]* x k (n2 ) N N k 1
7．2随机过程分类
平稳随机过程
一阶平稳随机过程 X ( n)
P( xi ; ni ) P( xi ; ni m), 其中m为任意常数
m1 (n) xp ( x)dx 常数, n 0,1,...,
(n) x 2 p( x)dx 常数, n 0,1,...,
随机过程的概率密度描述
特定时刻随机变量 X i 的概率密度
P( xi ) P( X i xi ; ni )
不同时刻随机变量之间的高阶联合概率密度函数
p( x0 , x1 ,...xM ; n0 , n1,..., nM )
Digital Signal Processing
常见概率分布
rx (n, n m) E[ x(n) x(n m)] E[ A2 sin(2 fnTs ) sin(2 f (n m)Ts )] sin(2 fnTs ) sin(2 f (n m)Ts ) E[ A2 ] 2 sin(2 fnTs ) sin(2 f (n m)Ts ), n 0,1,...,
k k v 0
Digital Signal Processing
随机变量的累积量
d k (v) c ( j ) v 0 dvk 第二特征函数和累积量的关系
k k
(v) 1
ck ( jv)k O(v M ) k 1 k !
M
高斯分布零均值随机变量的高阶矩和高阶累积量
信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）较低的信号属于随机信号
系统噪声
观测噪声
动态系统的状态量
+
测量系统
+
观测值
Digital Signal Processing
k x 典型随机信号（放大器温漂） (n), n 0,1,...
随机信号分析方法
用统计方法进行分析
通过采集大量样本弥补对单样本信号认识不足的缺陷
r (v ) ( j ) k2 kM v1k1 v2 ...vM
r
v 0
cn c11...1
n (v ) E[ x1 , x2 ,..., x n ] ( j ) v1 v2 ...vn
n
v 0
Digital Signal Processing
1 3 ... (k 1) 2 , k 偶数 mk k 奇数 0
0, k 1或k 3 ck 2 ,k 2
Digital Signal Processing
随机信号的特征函数、矩函数和累积量 X [ X1 , X 2 ,... X M ]T
Digital Signal Processing
随机过程的高阶统计量描述
•一阶统计量考虑随机过程单一时刻随机变量的概率分布
•二阶统计量考虑随机过程二个不同时刻随机变量的概率分布
•高阶统计量考虑随机过程三个或以上时刻随机变量的概率分布
Digital Signal Processing
随机变量的特征函数、矩函数和累积量
Digital Signal Processing
p( x)
x x d , dx d
Digital Signal Processing
第七章 随机信号分析基础
随机信号特性
确定性信号可通过明确的数学表达式表示，时域波形具 可预测或重复性。 随机信号，时域观察具不可预测性或时域信号具实验 不可重复性
Digital Signal Processing
常见随机信号
确定性过程过于复杂，很难用精确模型描述时，将其当作随 机信号看待，则可以用更简单的模型加以描述
r
v 0
mn m11...1
n (v ) E[ x1 , x2 ,..., x n ] ( j ) v1 v2 ...vn
n
v 0
k2 kM ck1k2 ...kM E[ x1k1 , x2 ,..., x M ], k1 k2 ... k M r
lim 1 N k E [ x (n1 )]* y k (n2 ) N N k 1
Digital Signal Processing
互相关函数特性 •对偶性
rxy (m) ryx (m)
•中心最大性 rx (0)ry (0) rxy (m) •远隔不相关性 lim rxy ( m) 0
p( x)
x x d , dx d
mx E[ X (n)] xp( x)dx
2 0
1 A sin(2 nfTs ) d 0 2
lim 1 M x(n) A sin(2 nfTs ), N 2M 1 N N n M 0 mx
xk (n)
n常数
, k 1, 2,..., N X n
k x ( n ) k 1
N
x { x (1), x (1),..., x ()}
或 x (n), n 1, 2,...,
方差
x2 (n) m2 (n)
lim 1 2 2 E n 常数 E X n m1 (n) [ xn m1 (n )] p ( xn )dx N N
均匀分布 [a, b] 1 ,a x b p( x) b a x 0, other
rand()产生均匀分布的随机向量
2 高斯分布 X N ( , )
p( x)
1 2
2
e
1 x 2 ( ) 2
randn()产生零均值、方差等于1的正态分rx ( ) rx* ( )
•中心最大性 rx (0) rx (m)
•远隔不相关性 •周期性
m
lim rx (m) 0
Digital Signal Processing
自协方差函数
cx (n1 , n2 ) E[( X n1 m1 (n1 ))* ( X n2 m1 (n2 ))] ( xn1 m1 (n1 ))* ( xn2 m1 (n2 )) p( xn1 , xn2 ; n1 , n2 )dx
[ x
k 1
N
k
(n) m1 (n)]2
x { x (1), x (1),..., x ()}
或 x (n), n 1, 2,...,
2 2
均方差 D (n) x
n 常数 E X n xn
lim 1 p ( xn )dx E N N
Digital Signal Processing
狭义平稳随机过程
高阶联合概率分布函数满足：
P( x1 , x2 ,...x ; n1 , n2 ,..., n ) P( x1, x2 ,... x ; n1 m, n2 m,..., n m), m为任意常数
•高阶联合概率分布与时间起点无关，称该随机过程狭义平稳 或严格平稳
m
互协方差函数
cxy (n1 , n2 ) E[( X n1 m1 (n1 ))* (Yn2 m1 (n2 ))] ( xn1 m1 (n1 ))* ( yn2 m1 (n2 )) p( xn1 , yn2 ; n1 , n2 )dxdy
1 N k E [ x (n1 ) m1 (n1 )]*[ y k (n2 ) m1 (n2 )] N N k 1 lim