第七章 随机信号分析基础

[ x
k 1
N
k
(n) m1 (n)]2
x { x (1), x (1),..., x ()}
或 x (n), n 1, 2,...,
2 2
均方差 D (n) x
n 常数 E X n xn
lim 1 p ( xn )dx E N N
自相关函数特性 •对偶性
rx ( ) rx* ( )
•中心最大性 rx (0) rx (m)
•远隔不相关性 •周期性
m
lim rx (m) 0
Digital Signal Processing
自协方差函数
cx (n1 , n2 ) E[( X n1 m1 (n1 ))* ( X n2 m1 (n2 ))] ( xn1 m1 (n1 ))* ( xn2 m1 (n2 )) p( xn1 , xn2 ; n1 , n2 )dx
Digital Signal Processing
随机过程的低阶统计量描述
xk (n), n 0,1,..., k 1, 2,..., N
一阶统计量 均值
lim 1 x (n) m1 (n) n 常数 E X n xn p( xn )dx E N N
k k v 0
Digital Signal Processing
随机变量的累积量
d k (v) c ( j ) v 0 dvk 第二特征函数和累积量的关系
k k
(v) 1
ck ( jv)k O(v M ) k 1 k !
M
高斯分布零均值随机变量的高阶矩和高阶累积量
Digital Signal Processing
第七章 随机信号分析基础
随机信号特性
确定性信号可通过明确的数学表达式表示，时域波形具 可预测或重复性。 随机信号，时域观察具不可预测性或时域信号具实验 不可重复性
Digital Signal Processing
常见随机信号
确定性过程过于复杂，很难用精确模型描述时，将其当作随 机信号看待，则可以用更简单的模型加以描述
信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）较低的信号属于随机信号
系统噪声
观测噪声
动态系统的状态量
+
测量系统
+
观测值
Digital Signal Processing
k x 典型随机信号（放大器温漂） (n), n 0,1,...
随机信号分析方法
用统计方法进行分析
通过采集大量样本弥补对单样本信号认识不足的缺陷
均匀分布 [a, b] 1 ,a x b p( x) b a x 0, other
rand()产生均匀分布的随机向量
2 高斯分布 X N ( , )
p( x)
1 2
2
e
1 x 2 ( ) 2
randn()产生零均值、方差等于1的正态分布随机序列
p( x)
x x d , dx d
mx E[ X (n)] xp( x)dx
2 0
1 A sin(2 nfTs ) d 0 2
lim 1 M x(n) A sin(2 nfTs ), N 2M 1 N N n M 0 mx
Digital Signal Processing
狭义平稳随机过程
高阶联合概率分布函数满足：
P( x1 , x2 ,...x ; n1 , n2 ,..., n ) P( x1, x2 ,... x ; n1 m, n2 m,..., n m), m为任意常数
•高阶联合概率分布与时间起点无关，称该随机过程狭义平稳 或严格平稳
Digital Signal Processing
随机过程的高阶统计量描述
•一阶统计量考虑随机过程单一时刻随机变量的概率分布
•二阶统计量考虑随机过程二个不同时刻随机变量的概率分布
•高阶统计量考虑随机过程三个或以上时刻随机变量的概率分布
Digital Signal Processing
随机变量的特征函数、矩函数和累积量
Digital Signal Processing
p( x)
x x d , dx d
m
互协方差函数
cxy (n1 , n2 ) E[( X n1 m1 (n1 ))* (Yn2 m1 (n2 ))] ( xn1 m1 (n1 ))* ( yn2 m1 (n2 )) p( xn1 , yn2 ; n1 , n2 )dxdy

1 N k E [ x (n1 ) m1 (n1 )]*[ y k (n2 ) m1 (n2 )] N N k 1 lim
r (v ) ( j ) k2 kM v1k1 v2 ...vM
r
v 0
cn c11...1
n (v ) E[ x1 , x2 ,..., x n ] ( j ) v1 v2 ...vn
n
v 0
Digital Signal Processing
随机过程的概率密度描述
特定时刻随机变量 X i 的概率密度
P( xi ) P( X i xi ; ni )
不同时刻随机变量之间的高阶联合概率密度函数
p( x0 , x1 ,...xM ; n0 , n1,..., nM )
Digital Signal Processing
常见概率分布

ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 x (n) M M
k0 k0 k0 *
x
n 0
k0
(n)

1 x (n) ( x (n m)) M M
lim
x
n 0
k0
(n)(xk0 (n m)*
Digital Signal Processing
时间平均和统计平均的比较
Digital Signal Processing
1 3 ... (k 1) 2 , k 偶数 mk k 奇数 0
0, k 1或k 3 ck 2 ,k 2
Digital Signal Processing
随机信号的特征函数、矩函数和累积量 X [ X1 , X 2 ,... X M ]T

1 N k E [ x (n1 ) m1 (n1 )]*[ x k (n2 ) m1 (n2 )] N N k 1 lim
互相关函数 X (n), Y (n)
* * rxy (n1 , n2 ) E[ X n Y ] x n2 n1 yn2 p( xn1 , yn2 ; n1 , n2 )dxdy 1
rx (n, n m) E[ x(n) x(n m)] E[ A2 sin(2 fnTs ) sin(2 f (n m)Ts )] sin(2 fnTs ) sin(2 f (n m)Ts ) E[ A2 ] 2 sin(2 fnTs ) sin(2 f (n m)Ts ), n 0,1,...,

k 1
N
2 x k (n )
Dx {Dx (1), Dx (1),..., Dx ()}
或Dx (n), n 1, 2,...,
Digital Signal Processing
二阶统计量 自相关函数 X n
* n1
1
X n2

rx (n1 , n2 ) E[ X X n2 ] xn1 * xn2 p( xn1 , xn2 ; n1 , n2 )dx lim 1 N k E [ x (n1 )]* x k (n2 ) N N k 1
Digital Signal Processing
7．1随机信号的描述
随机过程的概率密度描述
ni时刻随机变量 X i
xk (ni ), k 1, 2,..., N
随机信号：随机变量集合
X [ X1, X 2 ,..., X ]
Digital Signal Processing
(v) E[e
j
vk xk
k 1
M
], v [v1 , v2 ,..., vM ]T
(v) ln (v)
k2 kM mk1k2 ...kM E[ x1k1 , x2 ,..., x M ], k1 k2 ... k M r
r (v ) ( j ) k2 kM v1k1 v2 ...vM
随机变量的第一特征函数 p( x)
(v) E[e jvx ] e jvx p( x)dx

随机变量的第二特征函数
(v) ln (v)
随机变量的矩函数
mk E[ x ] x k p ( x )dx
k
k阶原点矩和第一特征函数的关系
d k (v) m ( j ) dvk

xn1 * xn2 p( xn1 , xn2 ; n2 n1 )dx1dx2 rx (n2 n1 )


cx (n1 , n2 ) cx (n2 n1 )
Digital Signal Processing
m1 (n) E[ X (n)] E[ A sin(2 fnTs )] sin(2 fnTs ) E[ A] 0, n 0,1,...,
•随机信号的均值与时间无关相关与时间起点无关时，称随机 信号宽平稳，简称为平稳随机信号
Digital Signal Processing
平稳随机信号的遍历性
一个样本的时间平均和无穷多个样本的统计平均相等
xk0 (n) m1 ,
lim
xk0 (n) ( xk0 (n m))* rx (n0 , n0 m)
2

二阶平稳随机过程 X n , X n
1
2
P( xi , x j ; ni , n j ) P( xi , x j ; ni m, n j m), 其中m为任意常数
rx (n1 , n2 ) xn1 * xn2 p( xn1 , xn2 ; n1 , n2 )dx1dx2
lim 1 N k E [ x (n1 )]* y k (n2 ) N N k 1
Digital Signal Processing
互相关函数特性 •对偶性
rxy (m) ryx (m)
•中心最大性 rx (0)ry (0) rxy (m) •远隔不相关性 lim rxy ( m) 0
r
v 0
mn m11...1
n (v ) E[ x1 , x2 ,..., x n ] ( j ) v1 v2 ...vn
n
v 0
k2 kM ck1k2 ...kM E[ x1k1 , x2 ,..., x M ], k1 k2 ... k M r

xk (n)
n常数
, k 1, 2,..., N X n
k x ( n ) k 1
N
x { x (1), x (1),..., x ()}
或 x (n), n 1, 2,...,
方差
x2 (n) m2 (n)
lim 1 2 2 E n 常数 E X n m1 (n) [ xn m1 (n )] p ( xn )dx N N
7．2随机过程分类
平稳随机过程
一阶平稳随机过程 X ( n)
P( xi ; ni ) P( xi ; ni m), 其中m为任意常数
m1 (n) xp ( x)dx 常数, n 0,1,...,

(n) x 2 p( x)dx 常数, n 0,1,...,