数学物理方程第二版答案

数学物理方程第二版答案

第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为

)()(x l g x T -=ρ

且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为

)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+--θρθρ

其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角

又 .

sin x u tg ∂∂=≈θθ 于是得运动方程

x u x x l t u x ∂∂∆+-=∂∂∆)]([22ρ∣x

u

x l g x x ∂∂--∆+][ρ∣g x ρ

利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得

])[(2

2x u

x l x g t u ∂∂-∂∂=∂∂。

5. 验证 2

221),,(y x t t y x u --=

在锥2

22y x t -->0中都满足波动方程

222222y u x u t u ∂∂+∂∂=∂∂证：函数2221),,(y

x t t y x u --=在锥2

22y x t -->0内对变量t y x ,,有

二阶连续偏导数。且

t y x t t

u

⋅---=∂∂-

23

222)( 22

52222

3

2222

2

)

(3)

(t y x t y x t t u ⋅--+---=∂∂-

-

)2()(2

2223

222y x t y x t ++⋅--=-

x y x t x

u

⋅--=∂∂-

23

222)(

(

)()

2252222322

22

23x y x t y x

t x

u ----+--=∂∂

(

)()222

252222y x t y x t -+-

-=-

同理 ()()222252222

22y x t y x t y

u

+---=∂∂-

所以 ()()

.22

22

2225222222

2t

u y x t y x t y

u x

u ∂∂=++--=∂∂+

∂∂- 即得所证。

§2 达朗贝尔公式、 波的传抪

3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(002

2

222x u x u x u a

t

u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)

所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2

(x

ϕ-F(0).

且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(

ϕ)2at x ++)2

(at

x -ψ-).0(ϕ 即为古尔沙问题的解。

8．求解波动方程的初值问题

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=∂∂==∂∂-∂∂==x t u u x

t x u t u t t sin |,0sin 002222 解：由非齐次方程初值问题解的公式得

τξξτααττd d d t x u t t x t x t

x t x ⎰⎰⎰-+--+-+=0)

()

(sin 21

sin 21),(

=⎰----+---+-t

d t x t x t x t x 0

))](cos())([cos(21

)]cos()[cos(21ττττ

=⎰

-+t

d t x t x 0

)sin(sin sin sin τττ

=t

t t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。

§3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解：

(1)

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧==<<-=∂∂=∂∂=∂∂==0),(),0()0()1(,3sin 0

22

222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o

t t π

解：边界条件齐次的且是第一类的，令

)()(),(t T x X t x u =

得固有函数x l

n x X n π

sin

)(=，且 t l

an B t l an A t T n n n π

πsin cos )(+=，)2,1(Λ=n

于是 ∑∞

=+=

1

sin )sin cos

(),(n n n x l

n t l an B t l an A t x u π

ππ