2019年人口增长的预测.doc

人口增长的预测

关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口

一题目：

请在人口增长的简单模型的基础上。

" （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型；

" （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证；

" （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测；

" （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。

二摘要：

本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。

做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。

用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。

三问题的提出

1．Malthus模型

英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有：

, (1.1)

这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。

2．Logistic模型

1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为：

，（2.1）

上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解：

N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’）

N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0)

化简后得：

四利用数学模型对中国人口的预测

1给出对于中国人口的预测

表1 中国人口数据

年1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000

人口（亿） 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0

表1给出了1908年到2000年中国人口数据，参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像。（绿色点是普查数据，蓝色是预测曲线，红色为渐近线，画图程序见附录）

图1

由于N（t）描述了一个人口增长得数学模型，所以对函数N（t）的了解实际上也是人口增长规律的了解，而不是仅仅处理一个高等数学综合习题。实际上，人口问题的研究是很复杂的，Logistic模型只是一种近似。

2微分方程解的定性分析

（1）求N＝N（t）的驻点和拐点。

驻点：驻点应满足条件这样立刻得到N=0和N= ，但是无法得到确切的时间值t，除非解被求出，而且相应的t可能会取无穷大。

拐点：拐点满足

直接对方程（2.1）右边求导得

其拐点的纵坐标为N= /2，同样的相应的时间t尚不能直接解出，上面的运算可由符号演算完成：

>>syms t

>>dN2_dt2=diff('r*(1-N(t)/Nm)*N(t)',t),dN2_dt2=factor(dN2_dt2)

dN2_dt2 =

-r*diff(N(t),t)/Nm*N(t)+r*(1-N(t)/Nm)*diff(N(t),t)

dN2_dt2 =

r*diff(N(t),t)*(-2*N(t)+Nm)/Nm

(2)按照函数作图的方法列出定性分析表：

表2

t （0,?）？(?,?) ? (?,+ ) N ( , /2) /2 ( /2, ) ( ,+ ) dN/dt 0 ＋* ＋0 －－＋0 －－＋

解的形态－升（下凸）拐点升（上凸）降（下凸）这个表尚没有提供描述人口模型的足够信息，因为极限性质（渐进线）还没有考虑，而作为人口预测，这种极限信息是非常重要的。

通过方程本身提供的信息来获知解曲线的定性知识，对微分方程的解做定性描述，可以得到非常有用的信息，特别是，它通常使你能够考察在t时N的极限过程和远期情况（预测），而无需给出明确的表达式。通常我们不需要明确的解，或者在技术上求解有困难，或者在初等函数的范围内解根本不存在，在这种情形下，定性解就可能是一种有效的办法。

观察：观察Logistic方程解曲线和相轨线的运动，考察解的极限性态。（画图程序见附录）

图2

步骤1，运行观察程序yundong.m，将出现一图形窗口，你可用鼠标沿着由垂直的虚线所示的N轴（相空间）的以下的位置按下鼠标左键选择初始点(0, )，横轴为时间t，称N轴为相空间，在N轴的/2以下的位置按下鼠标左键选择初始点，程序将画出这一初始点，方程的解曲线（Logistic曲线），拐点（用方形符号标出），并且彗星指令comet将显示质点（曲线上的圆形点）动态运动过程，这表示随着时间的增长人口数增长的情况，见图。