用MATLAB中的小波函数和小波工具箱

研究生课程考试答题纸研究生学院考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）；B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）；一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。

（20分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。

（25分）三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。

（25分）四、平时成绩。

（30分）一、论述1. 连续小波变换将任意2()L R 空间中函数(t)f 在小波基下展开，称这种展开为函数(t)f 的连续小波变换(CWT),其表达式为,T (,)(),()()()f a R t W a f t t f t dt aτττψψ-=<>=⎰，其中a 为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b为时间平移因子。

其中,()(),0,a t t a R a ττψτ-=>∈为窗口函数也是小波母函数。

任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段a t ∆上包含在中心频率为0a ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。

随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率0a ω及带宽为a ω∆也发生变化。

小波变换是一种便分辨率的时频联合分析方法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而分析高频信号时，其时间窗减小。

这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间长的自然规律。

尺度伸缩，对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩和伸展。

在不同尺度下，小波的持续时间随a时间平移，指小波函数在时间轴上的波形平行移动，如下图所示：由于小波基函数在时间、频率域都具有有限或近似有限的定义域，显然经过平移后的函数在时频域仍是局部性的，如下图所示：连续小波,()a t τψ的时频域窗口中心及其宽度都随尺度a 的变化而伸缩，我们称t ω∆⋅∆为窗口函数的窗口面积。

连续小波基函数的窗口面积不随参数,a τ的变化而变化，t ∆、ω∆的大小是相互制约的，它们的乘积12t ω∆⋅∆≥，且只有当()t ψ为Gaussian 函数时，等式才成立。

将不同的,a τ值下的,()a t τψ的时频窗口绘在同一张图上，我们就可以得到小波基函数的像平面，如下图所示：“小波”就是小区域、长度有限、均值为0的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。

有人把小波变换称为“数学显微镜”。

2. 多分辨率（MRA ）的角度构造正交小波基从数值计算数据压缩等角度，我们仍希望减小它们的冗余度，提出了寻找正交基的要求。

多分辨率的理论是指将信号分解到不同的尺度空间，实现在各个尺度上可以有粗及精地观察。

由多分辨率的思想我们可以将任意函数,,(),()j k j k d f t t ψ=<>0()f t V ∈分解为细节部分1W 和大尺度逼近部分1V ,然后将大尺度逼近部分1V 进一步分解。

如此重复就可以得到任意分辨率上的逼近部分和细节部分。

在MRA 理论中同一尺度下小波函数和尺度函数分别满足。

1212()()()Rf t k f t k dt k k δ--=-⎰同一尺度下小波函数,j k ψ同尺度函数,j k φ正交,,()()0j k j k t t dt ψφ=⎰小波函数()t ψ和尺度函数()t φ在多分辨率分析中满足方程01,0()()()()(2)n n n t h n t h n t n φφφ-==-∑11,1()()()()(2)n n nt h n t h n t n ψφφ-==-∑ 这两个方程就是二尺度方程。

利用二尺度方程可以构造出小波母函数，通过伸缩平移就得到整个平方可积空间的基。

正交尺度函数{()}k z t k φ∈-构造正交小波基，还有当尺度函数为Riesz 基是构造的正交小波基函数。

所以说MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。

二、小波变换的工程应用综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展摘要：小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。

通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。

小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。

小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。

关键词:小波变换 工程应用 小波分析1 引言波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet 在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange ，place 以及A.M.Legendre 的认可一样。

幸运的是，早在七十年代，A.Calderon 表示定理的发现、Hardy 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg 还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies 撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets ）》对小波的普及起了重要的推动作用。

它与Fourier 变换、窗口Fourier 变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。

有人把小波变换称为“数学显微镜”。

2重要的小波理论2.1小波变换的提出傅里叶变换在平稳信号分析中可以知道信号所含有的频率信息，但是不能知道这些频率信息究竟出现在那些时间段上，可见若要提取局部时间段（或瞬间）的频域特征信息，傅里叶变换已经不再适用了。

1946年Carbor 提出了加窗的Fourier 变换。

其基本思想是取时间函21/4/2g()tt e π--=作为窗口函数，用g()t τ-同待分析函数()f t 相乘，然后在傅里叶变换：',(,)()()()()j t f R G f t g t e dt f t g t ωωτωττ-=-=<∙>⎰ （2.1）',()()()jwt jwt g t g t e g t e ωτττ--=-=- （2.2） 这一加窗变换使得我们可以分析出一个信号在任意局部范围的频率特征，这是比傅里叶变换优越之处。

这一类加窗变换Fourier 变换统称为短时傅里叶变换（Short Time FourierTransform ，简称为STFT ）。

但是其时频窗口不随频率和时间的变化而变化，使它的灵活性与普遍性运用受到限制。

2.2小波变换基本理论为了使得短时傅里叶变换的时，频窗口均随频率的变化而变化，以实现对低频分量采用大时窗，对高频分量采用小时窗的符合自然规律的分析方法。

我们设计一组连续变化的伸缩平移基,()a t τψ，()t ψ称为连续小波基函数，来代替STFT 中的',()()jwt g t g t eωττ-=-。

小波函数的确切定义为：设()t ψ为一平方可积函数，也即2()L R ψ∈，若傅里叶变换()ωψ满足条件： 2()r d ωωωψ<∞⎰ （2.3）则()t ψ称为一个基本小波或小波母函数，并称式（2.3）为小波函数的可容许性条件。

连续小波变换(CWT)⎰->==<R τa,f )a τt (f(t)ψa 1(t)ψf(t),τ)(a,WT （2.4）连续小波变换的逆变换(ICWT)ττψττψτψτψd a t a, WT a da C d t a, WT a da C t x f a,f )(a 1)()()()(021-021--==⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞-+∞+∞∞- （2.5） 离散小波 ][)]([)(002000020,00τψτψψτk t a a ka t a a t j j j jjk a j -=-=---- （2.6） 离散小波变换(DWT))2(2)(2,k t t j j k j -=--ψψ（2.7） 2.3小波包变换理论小波包基函数221()(2)()(2)n k n k Z n k n k Z u t h u t k u t g u t k ∈+∈⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（2.8）定义函数集合{}()n n Z u t ∈为由0u φ=所确定的小波包。

固定尺度的小波包基2(){(),}n n L R U clos u t k k Z =-∈ （2.9） 变尺度小波包基{}/22(2);0,1,2,;,k k n u t j n k j Z ---=⋅⋅⋅∈ （2.10）3小波工程应用 小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。