高一数学随堂练习题

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高一数学一次因式检验法习题精练

高一数学一次因式检验法习题精练1.一次因式检验法(牛顿定理)：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 为一整系数n 次多项式，若b ax -为)(x f 的整系数一次因式且1),(=b a ，则0,a b a a n ,)1()1(-+-f b a f b a ，。

【证明】 f (x ) = a n x n + a n - 1x n - 1 + … + a 1x + a 0= (ax - b )(b n - 1 x n - 1 + b n - 2 x n - 2 + … + b 1x + b 0)，其中b 0，b 1，…，b n - 1 ∈ Z令g (x ) = b n - 1 x n - 1 + b n - 2 x n - 2 + … + b 1x + b 0为整数n - 1次多项式，a ，b 为互质整数(1)比较二式系数得a n = ab n - 1，a 0 = - bb 0 ∴ a | a n ，b | a 0(2) f (1) = (a - b )g (1)，f (- 1) = (- a - b )g (- 1)，f (1)，f (- 1)，g (1)，g (- 1) ∈ Z∴ a - b | f (1)，a + b | f (- 1)2.利用一次因式检验法求方程式的根：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++为一整系数n 次多项式，若b a为()0f x =的一个有理根﹐其中,a b 皆为整数且互质﹐即ax b -为()f x 的一个一次因式﹐则a 为n a 的因子，b 为0a 的因子3.泰勒展开式：【2211)1()(,)()(---==⇒=n n n x n n x f nx x f x x f 】)(x f 除以)(a x -余式为)(a f)(x f 除以2)a x (-余式为))((')(a x a f a f -+)(x f 除以ka x )(-余式为11)()!1())((')(----++-+k k a x k f a x a f a f 。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章随堂检测

1．与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程为( )A ．5x －12y ＋32＝0B ．5x －12y －20＝0C ．5x ＋12y ＋32＝0或5x ＋12y －20＝0D ．5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0解析：选D.法一：设所求直线方程为5x －12y ＋c ＝0，在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝⎛⎭⎫0，12，则点P 0到直线5x －12y ＋c ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12×12＋c 52＋(－12)2＝|c －6|13， ∴|c －6|13＝2，∴c ＝32或c ＝－20. 故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0和5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线方程为5x －12y ＋c ＝0，由两条平行直线间的距离公式得||c －652＋(－12)2＝2，解得c ＝32或c ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0和5x －12y －20＝0.2．(2012·高考天津卷)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析：选D.由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.故选D.3．已知空间直角坐标系中A (2,1,3)，B (2，－1,4)，C (1，－1,3)，那么△ABC 的面积为________．解析：|AB |＝(2－2)2＋[1－(－1)]2＋(3－4)2＝5，|AC |＝(2－1)2＋[1－(－1)]2＋(3－3)2＝5，|BC |＝(1－2)2＋[－1－(－1)]2＋(3－4)2＝2，所以BC 边上的高为h ＝5－24＝322， ∴S △ABC ＝12|BC |·h ＝12×2×322＝32. 答案：324．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解：法一：设光线l 所在直线的方程为y －3＝k (x ＋3)，则反射点的坐标为(－3(1＋k )k，0)(k 存在且k ≠0)． ∵光线的入射角等于反射角，∴反射光线l ′所在直线的方程为y ＝－k [x ＋3(1＋k )k]，即l ′：y ＋kx ＋3(1＋k )＝0.∵圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，且l ′与圆相切，∴圆心到l ′的距离d ＝|2＋2k ＋3(1＋k )|1＋k2＝1， ∴k ＝－34或k ＝－43， ∴光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.法二：已知圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆C ′的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，如图所示．可设光线l 所在直线方程为y －3＝k (x ＋3)，∵直线l 与圆C ′相切，∴圆心C ′(2，－2)到直线l 的距离d ＝|5k ＋5|1＋k 2＝1. 解得k ＝－34或k ＝－43. ∴光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.。

人教版新课标高一数学必修一第一章集合与函数的概念 1..1 集合集合的运算教案及课后习题

微课程2：集合的运算子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合A⊆B，但存在元素x ∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意x∈A，有x∈B，则A⊆B。

若集合A⊆B，但存在元素x ∈B ，且x∉A，则A B表示方法A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A。

A不是B的子集时，记作A B或B A。

若集合A是集合B的真子集，记作A B或B A。

性质①A⊆A ②∅⊆A③A⊆B，B⊆C⇒A⊆CA B，且B C⇒A C子集个数含n个元素的集合A的子集个数为n2含n个元素的集合A的真子集个数为n2－1空集不含任何元素的集合，记为∅。

空集是任何集合的子集，用符号语言表示为∅⊆A；若A非空（即A≠∅），则有∅A。

集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。

（3）图形语言（Venn图）表示：。

2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。

（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。

（3）图形语言表示（Venn图）：。

3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且x∉A}。

（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。

【典例精析】例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。

（1）{∅}表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；（5）如果A ⊇B 且A≠B ，那么B 必是A 的真子集；（6）A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立。

高中必修一高一数学交集、并集随堂练习及答案

高中必修一高一数学交集、并集随堂练习及答案1．设A=(]3,1- ，B=[)4,2，求A ∩B2．设A=(]1,0，B={0}，求A ∪B3．在平面内，设A 、B 、O 为定点，P 为动点，则下列集合表示什么图形（1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}4．设A={（x,y ）|y=—4x+b},B={（x,y ）|y=5x —3 }，求A ∩B5．设A={x|x=2k+1，k ∈Z}，B={x|x=2k —1，k ∈Z}，C= {x|x=2k ，k ∈Z}，求A ∩B ，A ∪C ，A ∪B[巩固提高]1．设全集U={a ，b ，c ，d ，e}，N={b ，d ，e}集合M={a ，c ，d}，则C U （M ∪N ）等于2．设A={ x|x ＜2}，B={x|x ＞1}，求A ∩B 和A ∪B3．已知集合A=[)4,1， B=()a ,∞-，若A B ，求实数a 的取值范围 ⊂ ≠4．求满足{1,3}∪A={1，3，5}的集合A5．设A={x|x 2—x —2=0}，B=(]2,2-，求A ∩B6、设A={（x,y ）| 4x+m y =6},B={（x,y ）|y=nx —3 }且A ∩B={（1，2）}，则m= n=7、已知A={2，—1，x 2—x+1}，B={2y ，—4，x+4}，C={—1，7}且A ∩B=C ，求x ，y 的值8、设集合A={x|2x 2+3px+2=0}，B={x|2x 2+x+q=0}，其中p ，q ，x ∈R ，且A ∩B={21}时，求p 的值和A ∪B9、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：⑴只乘电车的人数 ⑵不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数10、设集合A={x|x 2+2（a+1）x+a 2—1=0}，B={x|x 2+4x=0} ⑴若A ∩B=A ，求a 的值⑵若A ∪B=A ，求a 的值答案：1、[2，3]2、[0，1] 3、（1）直线（2）圆 4、{（1，2）} 5、A 或B ，Z ，A 或B[巩固提高]1、φ2、（1，2），R 3、 a ≥4 4、{5}，{3，5}，{1，5}，{1，3，5} 5、A 6、1，5 7、3，21- 8、35-，{2，21，—1} 9、66，36，98，80 10、a=1或a ≤—1， a=1。

高一数学分式方程习题精练

高一数学分式方程习题精练1.分式方程式：在一个方程式中﹐未知元x ﹐y ﹐…等出现在分母的式子﹐就称此方程式为分式方程式2.分式方程式的解法：(1)在等号两端先同时乘以所有分母﹐得一多项式方程式﹒(2)再以多项式方程式求解的方法解之﹒(3)其解必须检验使得分母不为0﹒典型例题1.试解方程式213122x x +=+-﹒ 【解答】原式两端同时乘以2(1)(2)x x +-得4(2)2(1)3(1)(2)x x x x -++=+- 22663(2)390x x x x x ⇒-=--⇒-=3(3)0x x ⇒-=∴0x =或3又将0及3分别代入原式的分母皆不为0故0x =或32.试解方程式3211x x -=-﹒ 【解答】原式两端同时乘以1x -得(21)(1)3x x --= 22320(21)(2)0x x x x ⇒--=⇒+-= ∴12x =-或2 又将12x =-及2分别代入原式的分母﹐均不使分母为0﹐故12x =-或23.解方程式)35(232+-x x -531022+-x x =51﹒ 【解答】)35(232+-x x -531022+-x x =51 ⇒ )35(232+-x x -53)35(22-+-x x =51令x 2 - 5x + 3 = y ﹐则y23-532-y =51 乘以10y 得15 - 2y (2y - 3) = 2y ⇒ 4y 2 - 4y - 15 = 0⇒ (2y + 3)(2y - 5) = 0 ⇒ y =23-或25 若y =23-﹐则x 2 - 5x + 3 =23- ⇒ 2x 2 - 10x + 9 = 0 ⇒ x =275± 若y =25﹐则x 2 - 5x + 3 =25 ⇒ 2x 2 - 10x + 1 = 0 ⇒ x =2235± 故所求解为275±﹐2235± 随堂练习.分式方程式1x x －＋22x ＋＝312x x （－）（＋）之解为x ＝。

复数的概念(课时2)高一数学练(人教A版2019必修第二册)

随堂检测·精评价
2.（多选题）已知复数的模等于2，则实数的值为( ).
A. B. C. D.
AC
[解析] 依题意可得，解得或 .
3.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 在复平面内对应的点在第二象限，∴ 解得，则实数的取值范围是 .
情境设置
合作探究·提素养
问题1：高斯认为复数与有序实数对之间有什么对应关系？
[答案] 一一对应关系.
问题2：有序实数对与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？
[答案] 一一对应关系.
问题3：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[答案] 不对.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数.
复数模的计算
（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
已知，复数（是虚数单位），则的取值范围是( ).
4.已知，则，，的大小关系为__________________________.
[解析] 由，得， .而，，，， .
方法总结
已知复数（，为虚数单位），若是纯虚数，求 .
[解析] 因为是纯虚数，所以解得，所以，故 .
巩固训练
1.已知复数，复平面内对应点的坐标为( ).
A. B. C. D.
A
[解析] 复数的实部为0，虚部为，故复平面内对应点的坐标为 .

苏教版数学高一第31课时(对数的换底公式)

4、已知，则。
5、已知，求。
四、回顾小结
1、对数的换底公式和恒等公式及其应用。
2、指导学生阅读课本P61-62例8、例9。
课后作业
班级：高一（）班姓名__________
一、基础题：
1、已知且，则的值为。
2、。
3、已知，则。
4、若，则。
5、若，求的值。
6、用换底公式求值：
（1）（2）
二、提高题：
7、计算：
8、求的值。
三、能力题：
9、已知，，试用表示。
10、设，试用表示。
得分：____________________
批改时间：
2、换底公式
3、对数恒等式：
二、例题分析
例1、用常用对数表示
例2、（1）求的值；（2）求的值。
例3、已知，，试用表示。
例4、设，求的值。
例5、设，且，求证：。
三、随堂练习
1、给出下列等式：
（1）；（2）；（3）；（4）；
其中正确的是。
2、若，则等于。
3、若 Байду номын сангаас则用表示为。
总课题
对数函数
分课时
第3课时
总课时
总第31课时
分课题
对数的换底公式
课型
新授课
教学目标
进一步熟悉对数的运算性质；掌握对数的换底公式和恒等公式；会用换底公式和恒等公式进行简单的化简与证明。
重点
对数的换底公式和恒等公式及其应用。
难点
对数的换底公式和恒等公式及其应用。
一、复习引入
1、对数的运算性质

江苏省—高一数学必修四随堂练习及答案：04向量的数乘1

随堂练习：向量的数乘（1）1．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的有2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为3．已知四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，若AB＝a，AD＝b，则BE＝4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝________.5．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.6．如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a，b，c表示向量OM.答案：1.答案：①②③2.解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3. 所以x －y ＝3.答案：33.解析：BE ＝CE －CB ＝12BA ＋BC ＝答案：b －12a .4.解析：3a －b ＝3(e 1＋2e 2)－(3e 1－2e 2)＝3e 1＋6e 2－3e 1＋2e 2＝8e 2.答案：8e 25.解析：∵向量ka ＋2b 与8a ＋kb 的方向相反，∴ka ＋2b ＝λ(8a ＋kb )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(舍正根，∵方向相反时λ<0⇒k <0)．答案：－46解：如右图，连接AM 并延长交BC 于点D .∵M 是△ABC 的重心，∴D 是BC 的中点，且AM ＝23AD . ∴AM ＝23AD ＝23(AB ＋BD ) ＝23AB ＋23BD ＝23AB ＋23⎝⎛⎭⎫12 BC ＝23AB ＋13BC ＝23(OB －OA )＋13(OC －OB )＝23(b －a )＋13(c －b ) ＝－23a ＋13b ＋13c . ∴OM ＝OA ＋AM ＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＋13c ＝13(a ＋b ＋c )．。

高中必修一高一数学集合复习课随堂练习及答案

高中必修一高一数学集合复习课随堂练习及答案1．已知A={x|x<3}，B={x|x<a}（1）若B ⊆A ，求a 的取值范围（2）若A ⊆B ，求a 的取值范围（3）若C R A C R B ，求a 的取值范围2．若P={y|y=x 2，x ∈R}，Q={y| y=x 2+1，x ∈R }，则P ∩Q =3．若P={y|y=x 2，x ∈R}，Q={（x ，y ）| y=x 2，x ∈R }，则P ∩Q =4．满足{a ，b} A ⊆{a ，b ，c ，d ，e}的集合A 的个数是[巩固提高]1．已知集合M={x|x 3—2x 2—x+2=0},则下列各数中不属于M 的一个是（）A ．—1B ．1C ．2D ．—22．设集合A= {x|—1≤x ＜2}，B={ x|x<a }，若A ∩B ≠φ，则a 的取值范围是（）A ．a ＜2B ．a ＞—2C ．a ＞—1D ．—1≤a ≤23．集合A 、B 各有12个元素，A ∩B 中有4个元素，则A ∪B 中元素个数为4．数集M={x|N k k x ∈+=,41}，N={ x|N k k x ∈-=,412}，则它们之间的关系是 5．已知集合M={（x,y ）|x+y=2 }，N={（x,y ）|x —y=4}，那么集合M ∩N=6．设集合A={x|x 2—px+15=0}，B={x|x 2—5x+q=0}，若A ∪B={2，3，5}，则A= B=7．已知全集U=R ，A={x|x ≤3}，B={ x|0≤x ≤5}，求（C U A ）∩B8．已知集合A={x|x 2—3x+2=0}，B={x|x 2—mx+(m —1)=0}，且B A ，求实数m 的值⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠9．已知A={x|x 2+x —6=0}，B={x|mx+1=0}，且A ∪B=A ，求实数m 的取值范围10．已知集合A={x|—2＜x ＜—1或x ＞0}，集合B={ x|a ≤x ≤b}，满足A ∩B={x|0＜x ≤2}，A ∪B={x|x ＞—2}，求a 、b 的值答案：1、（1）a ≤3 ，（2）a ≥3，（3）a ＜32、{y|y ≥1}3、φ4、7个[巩固提高]1、 D2、C3、20个4、M N5、{(3，—1)}6、{3，5}，{2，3} 7、]5,3( 8、2 9、0，31或21- 10、—1，0⊂ ≠。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章随堂检测

1．(2013·梅州高一检测)三视图如图的几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台解析：选B.由俯视图得其底面为直角梯形，由主视图及左视图可得，该几何体是一侧棱与底面垂直的四棱锥．2．(2013·日照高一检测)如图甲所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图乙所示)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A ．SG ⊥平面EFGB ．SD ⊥平面EFGC ．GF ⊥平面SEFD ．GD ⊥平面SEF解析：选A.∵在折叠过程中始终SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，且GE ∩GF ＝G .∴SG ⊥面GEF .3.如图所示，正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为__________．解析：如图所示，因为正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，所以其高为1，由对称性可知，棱长为2的正八面体也内接于此球，所以球的半径为1，体积为43π. 答案：4π34.如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥平面BCE ；(2)求证：AE ∥平面BFD ；(3)求三棱锥C -BGF 的体积．解：(1)证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF .又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .(2)证明：由题意可得G 是AC 的中点，连接FG .∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ，∴F 是EC 中点．在△AEC 中，FG ∥AE ，∴AE ∥平面BFD .(3)由(1)知AE ⊥平面BCE ，由(2)知AE ∥FG ，∴FG ⊥平面BCF .∵G 是AC 中点，F 是CE 中点，∴FG ∥AE 且FG ＝12AE ＝1， ∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥CE ，∴Rt △BCE 中，BF ＝12CE ＝CF ＝2， ∴S △CFB ＝12×2×2＝1. ∴V C -BFG ＝V G BCF ＝13S △CFB ·FG ＝13.。

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第4章《4.3.2对数的运算》(含答案详解)

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第4章《4.3.2对数的运算》(含答案详解)1、4.3.2 对数的运算学习目标核心素养 1.理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简洁的化简与证明．(易混点)1.借助对数的运算性质化简、求值，培育数学运算素养．2．通过学习换底公式，培育规律推理素养.1．对数的运算性质假如a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．思索：当M0，N0时，loga(M＋N)＝logaM ＋logaN，loga(MN)＝l2、ogaM·logaN是否成立？提示：不肯定．2．对数的换底公式若a0且a≠1；c0且c≠1；b0，则有logab＝.1．计算log84＋log82等于( )A．log86 B．8C．6D．17nD [log84＋log82＝log88＝1.]2．计算log510－log52等于( )A．log58B．lg5C．1D．2C [log510－log52＝log55＝1.]3．log23·log32＝________.1 [log23·lo g32＝×＝1.]对数运算性质的应用【例1】计算以下各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg52＋lg8＋lg53、·lg20＋(lg2)2；(3).[解] (1)原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)27n ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝＝＝＝.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于冗杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收4、成积(商)的对数．1．求以下各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．7n(2)已知log1895、＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解] (1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋lo g235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴log3645＝＝＝＝.(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)[解] ∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，∴log915＝＝＝＝.1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需6、利用换底公式．2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm ＝logab，logab＝等．2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解] (1)原式＝··＝＝＝4.(2)原式＝＝＝·7n＝.对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a＝3b，则等于多少？提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？提示：logab·logba＝1，即logab＝.【例3】已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．[思路点拨] [解]7、∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴＝logc3，＝logc5，∴＋＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝.1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．[解] ∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b ＝log515，∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．7n[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c ＝－＝＝0，∴3a5b.应用换底公式应留意的两个方面(1)化成同底的对数时，8、要留意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要留意将指数式与对数式统一成一种形式.1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．3．娴熟把握对数的运算法则，留意同指数运算法则区分记忆．1．思索辨析(1)log2x2＝2log2x.( )(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．()(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．()(4)logx2＝.( )[答案] (1)×(29、)×(3)×(4)√2．计算log92·log43＝( )A．4 B．2C.D.7nD [log92·log43＝·＝·＝.]3．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝( )A.B.C．abD．a＋bB [∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26＝＝＝.]4．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；(2)log2＋log212－log242－1.[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原10、式＝log2＋log212－log2－log22＝log2＝log2＝log22－＝－.7。

【高中数学】古典概型随堂练习(原卷版)2022-2023学年高一数学(人教版2019必修第二册)

10.1.3古典概型随堂练习一、单选题A ．425B ．1225C ．1325D ．2125 8．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．=100%⨯切割得到的无坏点的芯片数产品良率切割得到的所有芯片数．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（）A ．50%B ．625%．C ．75%D ．875%．二、多选题 9．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）A ．事件A 与事件B 的样本点数分别为12，8 B ．事件A ，B 间的关系为A B ⊆C ．事件A B ⋃发生的概率为1120D ．事件A B ⋂发生的概率为2510．连续掷两次骰子，设先后得到的点数为m ，n ，则（）A ．1m =的概率为16B ．m 是偶数的概率为12C ．m n =的概率为16D ．m >n 的概率为12 三、填空题11．同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．12．哥德巴赫猜想的部分内容如下：任一大于2的偶数可以表示为两个素数（素数是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）之和，如18＝7+11.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是_______.13．《笑林广记》中有这样一则笑话：“有自负棋高者.与人角，连负三局.次日，人问之曰：昨日较棋几局？答曰：三局.又问：胜负如何？曰：第一局我不曾赢，第二局他不曾输，第三局我本等要和，他不肯罢了.”已知每局对弈结果有胜、和、负三种情形，根据“自负棋艺者”的回答，判断他“与人角”仅和了1局，则这一判断正确的概率为______.14．已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，以此类推，第1k +次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第3次取出的球是红球的概率为______．四、解答题15．箱子中有三颗球，编号 1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间：(1)一次取一球，取后放回，连取两次．(2)一次取一球，取后不放回，连取两次．(3)一次取两球． 16．某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m 名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[)60,7016 0.2 [)70,8050 n [)80,90 10 p[]90,1004 0.05 合计 m I(1)求表中n ，p 的值和频率分布直方图中a 的值；(2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在[]60,70和[]90,100的学生中共抽取5人，再从5人中选2人，求这2人成绩在[]60,70的概率.。

集合练习题及答案

高分网高考频道小编整理了高一数学必修1知识点，希望为大家提供服务。

一．知识归纳：1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或，且）3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。

高中数学必修一《集合与函数》练习题

例题1 判断下列命题是否正确，并说明理由。

（1）{R}=R ；（2）方程组⎩⎨⎧+==12x y xy 的解集为{x=1，y=2}；（3）{x|y=x 2－1}={y|y=x 2－1}={（x ，y ）|y=x 2－1}；（4）平面内线段MN 的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}。

答案：（1）{R}=R 是不正确的，R 通常为R={x|x 为实数}，即R 本身可表示为全体实数的集合，而{R}则表示含有一个字母R 的集合，它不能为实数的集合。

（2）方程组⎩⎨⎧+==12x y xy 的解集为{x=1，y=2}是不对的，因为解集的元素是有序实数对（x ，y ），正确答案应为{（x ，y ）|⎩⎨⎧==21y x }={（1，2）}。

（3）{x|y=x 2－1}={y|y=x 2－1}={（x ，y ）|y=x 2－1}是不正确的。

{x|y=x 2－1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x 2－1}={x|x ∈R}=R 。

{y|y=x 2－1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x 2－1}={y|y≥－1}。

{（x ，y ）|y=x 2－1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x 2－1的图象上。

（4）平面上线段MN 的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}，该命题是正确的。

知识点拨：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。

特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{（x ，y ）|⎩⎨⎧==??y x }的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。

例题2 已知a ∈{1，－1，a 2}，则a 的值为______________________。

答案：∵a ∈{1，－1，a 2}，∴a可以等于1，－1，a2。

（1）当a=1时，集合则为{1，－1，1}，不符合集合元素的互异性。

故a≠1。

（2）同上，a=－1时也不成立。

天津市第一中学滨海学校2022-2023学年高一上学期期末检测数学试题

2022-2023-1 高一年级数学学科随堂检测试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间45分钟.第Ⅰ卷选择题（40分）一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1.已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （）A ．∅B ．SC ．TD ．Z2.已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:1q x>，则p 是q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知5log 2a =，0.13b =，36log (sin )7c π=，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<4.函数222()cos x xf x x x−−=+在[],ππ−的图象大致为（）ABCD5.函数212()log (4)f x x 的单调递增区间是（）A. (0,) B. (0), C. (2,)D. (,2)6.下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．222x x y −=+C ．4sin sin y x x =+D ．4ln ln y x x=+7.要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的（） A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度C. 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度8.下列命题中正确的个数是（）①命题“0,2sin 0xx x ∃>+<”的否定是“0,2sin 0xx x ∀>+≥”； ②幂函数的图象一定不会出现在第四象限； ③函数23()log f x x x=−的零点所在区间是(2,3)，且()f x 只有一个零点； ④函数sin ||y x =是最小正周期为π的周期函数；⑤()f x =|22,42x k x k k ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；⑥在锐角三角形ABC 中，不等式sin sin cos cos A B A B +>+恒成立. A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（60分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共8小题，共60分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.51log 2266161174()2log 3log 4()cos 4953π−⨯++++=_________.10.已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为_________. 11.已知tan()24πα−=，则25sin 2sin αα−=_________.12.设,x y ∈R ，1,1a b >>，若3xya b ==，a b +=则11x y+的最大值为________. 13.天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55 m ，最高点距离地面的高度为120 m ，开启后按逆时针方向匀速转动，每36 min 转动一圈．喜欢拍照的李津同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5 m 的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，李津同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟．14.给出下列命题：①若角α的终边过点(3,4)(0)P k k k ≠，则4sin 5α=； ②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>； ③函数()4sin(2)3f x x π=+的图象关于点(,0)6π−对称；④若函数()3cos(32)f x x ϕ=+是奇函数，那么ϕ的最小值为4π；⑤若角C 是ABC 的一个内角，且1sin cos 2C C +=，则ABC 是钝角三角形； ⑥已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦单调递增，则02ω<≤. 其中正确命题的序号是_____________.三、解答题：本大题共2小题，共30分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问4分）已知1sin()sin()2()3cos()2f παπααπα++−+=−. （Ⅰ）若α是第三象限角，且3cos 5α=−，求()f α的值；（Ⅱ）若()4f α=−，求sin 1cos αα−的值.16.（本小题满分20分，第Ⅰ问10分，第Ⅱ问4分，第Ⅲ问6分）已知函数2()()2sin()cos 2f x x x x ππ=+−+−（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值，以及相应x 的值；（Ⅲ）若014()625f x π−=，03,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0sin 2x 的值.。

高一下册数学必修四第一章三角函数.知识点及同步练习

巩固练习
1、在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的
关系一定是（）
A．α=－β B．α+β=k·360°(k∈Z) C．α－β=k·360°(k∈Z)
D．以上答案都不对
2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是
（）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度
D．无法
判断
（2）角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角
α终边相同的所有角．例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－ 360°≤β＜720°的元素β写出来．思考题：已知α角是第三象限角，则α/2，α/3，α/4各是第几象限角？
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
11、下列命题是真命题的是（）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是
锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、
C关系是（）
A．B=A∩C B．B∪C=C
度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确
定的？与圆的半径大小有关吗？
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一
个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角α的弧度数的绝
对值|α|=
始边终边顶点 A O B

高一数学分式与根式的运算精讲精练

x( 2 1) y( 3 2 2 ) = 4 2
(3)
x3
1 x3
(x
1 )(x2 x
x
1 x
1 x2
)
(2
5)(18 1) 34
5﹒
5.利用乘法公式﹐因式分解下列各式﹕(1)x6 y6﹒(2)9x4 5x2 1﹒ 【解答】(1)x6 y6 (x3)2 (y3)2 (x3 y3)(x3 y3) (x y)(x y)(x2 xy y2)(x2 xy y2)﹒
(5)（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x3＋（a＋b＋c）x2＋（ab＋bc＋ca）x＋abc。
※ a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca
1 2
a
b
c
a
b2
b
c2
c
a2
※ a4 a2b2 b4 a2 ab b2 a2 ab b2
77 7
77 11
(
11 7 )2 11 7
77 7
77 11
11
2
77 4
7
(
1 7
1 11
1 2
)
77
18 4
113 154
77
9 2
１８
9.设 x, yQ 且 x 3 2 2 y 17 12 2 18 8 2 ﹐则(x, y) = ____________﹒
【解答】原式 x( 2 1) y( 9 8 ) = 16 2
11 7
【解答】(1)
1 3
1 27
1 48
1 3
1 27
1 48
1 1 1 3 33 43
3 3
3 9
3 12
(13