第八章不确定知识的表示与推理

其中 ＝“比较小”=1/1+1/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5+0/6=(1,1,0.5,0.2,0.1,0) 是一个模糊子集， 代表“比较小”这个模糊概念。
一条模糊规则实际上是刻划了其前件中的模糊集与结论中的模糊集之间的一种对应关 系。Zadeh 认为，这种对应关系是两个集合间的一种模糊关系，因而它也可以表示为模糊集 合。特别地，对于有限集，则这个模糊集合就可以表示为一个模糊矩阵。例如有规则
图 8.1 有两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结点的贝叶斯网络示意图
图 8.2 有 6 个节点的贝叶斯网络
一般来说，有 n 个命题 x1,x2,,xn 之间相互关系的一般知识可用联合概率分布来描述。但 是，这样处理使得问题过于复杂。Pearl 认为人类在推理过程中，知识并不是以联合概率分 布形表现的，而是以变量之间的相关性和条件相关性表现的，即可以用条件概率表示。如
特别地，
C(E/S)=-5，表示在观察 S 下证据 E 肯定不存在，即 P(E/S)=0；
C(E/S)=0 ，表示在观察 S 与证据 E 无关，即 P(E/S)=P(E)；
C(E/S)=5 ，表示在观察 S 下证据 E 肯定存在，即 P(E/S)=1。
这样，用户只要对证据 E 给出在观察 S 下的可信度 C(E/S)，系统即可求出相应的 P(E/S)。
来计算出后验概率。这分为四种情况： ①当
故
这就是证据肯定存在的情况。 ②当 故有
这就是证据肯定不存在的情况。
③当
时，Ｅ与Ｓ无关，利用全概率公式有，
④当 即
为其它值时，通过分段线性插值的方法，就可以得到计算
的公式，
该公式称为 EH 公式。
对于初始证据，由于其不确定性是用可信度
给出，此时只要把
与
的对应关系转换公式代入 EH 公式，就可以得到用可信度
2.可能性理论 Zadeh 1965 年提出了模糊集合论，在此基础上 1978 年又建立了可能性理论，并将不确
定性理解为可能性。在本节，我们简单介绍一下可能性理论，欲想进行一步的了解可参考有 关文献。
假设 U 为一论域，x 是取值于 U 上模糊变量， 是 U 上的一个模糊子集。那么对于模
糊命题“x is ”就可以导出一个等于 的可性分布 赋值
式中，
为先验概率；
为后验
概率。Bayes 公式就是从先验概率推导出后验概率的公式。为阐明主观 Bayes 方法，先引入 几个概念：
(1) 几率函数 几率函数定义为
它表示 x 的出现概率与不出现概率之比，显然随 P(x)的加大 (x)也加大，而且 当 P(x)=0 时，有 (x)＝ 0
当 P(x)=1 时，有 (x)＝∞ 于是，取值于[0,1]的 P(x)被放大为取值于[0, ∞]的 (x)。 (2) 充分性度量 充分性度量定义为
它表示 E 对 H 的支持程度，取值于[0, ∞],由专家给出。 (3) 必要性度量
必要性度量定义为
它表示 对Ｈ的支持程度，即 E 对 H 为真的必要性程度，取值范围为[0,+∞]，也是 由专家凭经验给出。
2.证据的不确定性描述 在主观 Bayes 方法中，证据的不确定性也是用概率表示的。在 PROSPECTOR 中，由于 根据观察 S 直接求出 P(E/S)非常困难，所以它采用了一种变通的方法，即引进了可信度 C(E/S) 的概念，用户可根据实际情况在[-5,5]中选取一个整数作为初始证据的可信度。可信度 C(E/S) 与概率 P(E/S)的对应关系可用下式表示：
8.3 模糊逻辑推理与可能性理论
模糊推理与前面几节讨论的不确定性推理有着实质性的区别。前面那几种不确定性推理 的理论基础是概率论，它所研究的事件本身有明确而确定的含义，只是由于发生的条件不充 分，使得在条件与事件之间不能出现确定的因果关系，从而在事件的出现与否上表现出不确
定性，那些推理模型是对这种不确定性，即随机性的表示与处理。模糊推理的理论基础是模 糊集理论以及在此基础上发展起来的模糊逻辑，它所处理的事物自身是模糊的，概念本身没 有明确的外延，一个对象是否符合这个概念难以明确地确定模糊推理是对这种不确定性，即 模糊性的表示与处理。
8.4 缺省推理 1．引言 建立在谓词逻辑基础上的传统系统是单调的，其意思是：已知为真的命题数目随时
间而严格增加。那是由于新的命题可加入系统，新的定理可被证明，但这种加入和被证明决 不会导致前面已知为真或已被证明的命题变成无效。这种系统具有以下优点：
(1) 当加入一新命题时，不必检查新命题与原有知识间的不相容性。 (2) 对每一个已被证明了的命题，不必保留一个命题表。它的证明以该命题表中的 命题为根据，因为不存在那些命题会被取消的危险。 可是，这种单调系统不能很好地处理常常出现在现实问题领域中的 3 类情况，即不完全 的信息、不断变化的情况、以及求解复杂问题过程中生成的假设。 很少有能在处理过程中拥有它所需要的一切信息的系统。但当缺乏信息时，只要不出现 相反的证据，就可以作一些有益的猜想。构造这种猜想称为缺省推理(default reasoning)。例 如，假设当你去朋友家吃晚饭，并经过路旁的卖花亭时，对于“你的主人喜欢花吗?”这样一 个问题，你可能没有任何具体信息可作为回答问题的依据。但若利用一般的规则——因为大 多数人们喜欢花，假定这个具体的人也喜欢，除非有相反的证据(如对花过敏)，那么，你可 作出决定。这类缺省推理是非单调的(即加进一条信息就可能迫使取消另一条信息)，因为用 这种方式推导出来的命题是依赖于在某个命题中缺少某种信念，即如果前面那些缺省的命题 一旦加入系统，就必须消除用缺省推理产生的命题。这样一来，如果你拿着花走到门口时， 你的主人立刻打喷嚏，你就应取消以前的信念——你的主人喜欢花。当然，你也必须取消建 立在已被取消的信念基础上的任何信念。 上述举例说明了一个普通类型的缺省推理，称为最可能选择。如果知道一些事情中的某 件事必为真，在缺乏完全知识条件下，应选最可能的那个。如：大多数人喜欢花；大多数狗 有尾巴；对瑞典人而言，最一般的头发颜色为淡黄色。另一重要类型的缺省推理是约束推理 (circumscription)在这种推理中只有当能证明某些对象满足性质 P 时，才认为它们满足性质 P。 例如，设需求解的问题是划船过河，可能列举许多妨碍成功过河的因素，如没有船桨，船漏 水，船搁浅在泥沙中等等。而重要的是，问题求解程序不必去证明这些条件不是真的(因为 可能问题本身的说明根本没提到船桨)。程序能作的是，假定只有那些能够清楚地被证明为 真的事情才是真的(希望没一个为真)，否则不为真。那时，程序才能往前进行并假定能使用 船。
都是有限集，则 就是
这样，一条模糊规则 就可以用隶属度
刻划的模糊集合来描述。
(3) 模糊推理 模糊推理有很多种，在这里我们仅介绍一种简单而常用的方法，如需要更深一步的研究， 可参考其它有关书籍。 模糊推理可以通过模糊关系的合成来进行。假设有规则
： 其推理模式为
=
= 其中，
一般情况下，n=1。
这样， 就是规则 R 按上述方法导出模糊集合，而 就是所推的结论。当然，它仍是 一个模糊集合。如果需要，可再将它翻译为自然语言的形式。
主观 Bayes 方法是在概率论的基础上发展起来的，具有较完善的理论基础，且知识 的输入转化为对 LS 和 LN 的赋值，这就避免大量的数据统计工作，是一种比较实用且较灵 活的不确定性推理方法。但是，它在要求专家给出 LS 和 LN 的同时，还要求给出先验概率
P(H)，而且要求事件间相互独立，这仍然比较困难，从页也就限制了它的应用。
。这样，“x is ”可变成一个可能性
= 它用来定义在 U 中取任何可能值的可能性。例如，令 U 表示人，对于“x 比较小”这一模糊
命题可表示为“
”。其中 x U， = "比较小" = 1/1 + 1/2 + 0.5/3 + 0.2/4 + 0.1/5 + 0/6 =
(1,1,0.5,0.2,0.1,0),那么这一命题就以导出如下的可性分布：
POSS{x=1}=1
POSS{x=2}=1
POSS{x=3}=0.5
POSS{x=4}=0.2
POSS{x=5}=0.1
另外，还规定
POSS{x=6}=0
POSS(x=a∧x=b)= min{poss(x=a),poss(x=b)} POSS(x=a∨x=b)= max{POSS(x=a),POSS(x=b)} POSS(x a)=1－POSS(x=a) 综上所述,x 的可能性分布本质上就是一个模糊子集。因此，可能性分布与模糊集合 的表现形式是一致的，所以我们可以用模糊集合的一些运算规则对可能性分布进行操作。总 之，果如以可能性来度量不确定性，则我们就可运用可能性理论来讨论不确定性推了。
对于组合证据
E＝E1 AND E2AND …AND En 则
对于组合证据
P(E/S)＝min{P(E1/S), P(E2/S), …,P(En/S)}
E＝E1 OR E2 OR … OR En 则
P(E/S)＝max{P(E1/S),P(E2/S),…,P(En/S)}
3.基于主观 Bayes 方法的不确定性推理 在主观 Bayes 方法中，知识是用产生式规则表示的，具体形式为：
计算
的公式：
该公式称为 CP 公式。
这样，当用初始证据进行推理时，根据用户告知的
通过运用 CP 公式就可以求出
当用推理过程中得到的中间结论作为证据进行推理时，通过运用 EH 公式就可求出
4.结论不确定性的合成算法 若有 n 条规则都支持相同的结论，而且每条规则的前提条件所对应的证据Ｅi（i = 1,2,…,n）都有相应的观察 Si 与之对应，此时只要先对每条规则分别求出
由以上两式可得，
即有， 若需要以概率的形式表示，再由公式
计算出
这就是把先验概率 P(H)更新为后验概率 P(H/E)的计算公式。 (2)证据 E 确定必不出现时，即 P(E)=P(E/S) = 0，采用和上述类似的方法可得