高等数学(大一下学期期末考试)

高等数学II

填空题

1、()1

3

1sin x x dx -+=⎰ _______________________. 2、设()1

1

x x

f x e dx e C =+⎰, 则()f x =_________________. 3、微分方程2220d y dy y dx dx

-+=的通解为_______________________. 4、函数

(,)ln 1f x y x y =--_______________.

5、椭圆22

1169

x y += 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为______________________. 计算题

1、计算不定积分

2211sec dx x x ⎰. 2

、计算不定积分

dx , ()0a >.

3、计算定积分

320sin cos x x dx π⎰

4、计算定积分

1

0arcsin x dx ⎰ 解答题 1、设函数()f x 的原函数()F x 恒正, (0)1F =且()()f x F x x =, 且()f x 的表达式. 2、解微分方程()52211dy y x dx x =+++，并求出其满足初始条件01|3

x y ==-的特解. 3、设2ln z u v =，且x u y

=， 32v x y =-, 求z x ∂∂和z y ∂∂, 并写出dz . 4、设02

(), 0() , 0

x tf t dt x F x x A x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰, 其中()f x 具有连续导数且(0)0f =. (1) 如果()F x 在点0x =处连续, 求A 的值;

(2) 在(1)的前提下, 证明()F x 在点0x =处可导, 并求(0)F '的值.

证明题

1、设函数()f x 在[],a b 上连续，且()0f x >， 令 ()()()

1 x

x a b F x f t dt dt f t =+⎰⎰， [],x a b ∈. 证明: 方程()0F x =在[],a b 上有且仅有一个实数根.

2、证明：反常积分01p I dx x

+∞=⎰（0p >）发散. 3、设二元函数()ln x y z e e =+，

证明：222222z z z x y x y ⎛⎫∂∂∂⋅= ⎪∂∂∂∂⎝⎭

.