二项式定理的复习(高三复习)(2019年9月整理)
二项式定理复习总结
二项式定理复习总结一、二项式定理的定义和公式推导1.定义：二项式定理是指对于任意实数a、b及非负整数n，有以下公式成立：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ其中，C(n,r)表示组合数，即从n个元素中选取r个元素的组合数。
2.公式推导：利用组合数的性质，可以对二项式定理进行推导。
首先，根据组合数的性质C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)，可以得到以下关系式：C(n,0)=1C(n,n)=1C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)(r=1,2,...,n-1)将上述关系式代入二项式定理的公式中，可以得到：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ二、二项式定理的应用1.求二项式展开式：利用二项式定理，可以将一个数的n次方展开成多个项的和。
这在计算复杂的多项式、计算高次方等问题时非常有用。
例如，将(x+y)⁶展开，可以直接利用二项式定理的公式进行计算：(x+y)⁶=C(6,0)*x⁶*y⁰+C(6,1)*x⁵*y¹+C(6,2)*x⁴*y²+C(6,3)*x³*y³+C(6 ,4)*x²*y⁴+C(6,5)*x¹*y⁵+C(6,6)*x⁰*y⁶将组合数代入并进行计算，最终可以得到(x+y)⁶的展开式。
2.计算排列组合问题：二项式定理中的组合数C(n,r)可以表示从n 个元素中选取r个元素的组合数，因此可以应用于计算排列组合问题。
例如，班有10个学生，要从中选择5个学生组成一个小组，求不同小组的个数。
高三复习二项式定理
第十章第三讲二项式定理(理)课前预习：教科书选修2-3P 26-30 总结杨辉三角形结论【知识梳理】1、二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝；(2)通项公式：T r＋1＝它表示第项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2、二项展开式形式上的特点(1)项数为_____.(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_____.(3)字母a按_____排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按_____排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.3、二项式系数的性质（1）对称性：与首末等距离的两个二项式系数相等，即（0≤k≤n）（2）增减性：二项式系数C k n，当k＜n＋12(n∈N*)时，是的当k＞n＋12(n∈N*)时，是的（3）二项式系数最大值：当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与取得最大值（4）各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝_，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝.【重要结论】1．二项式定理中，通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k是展开式的第k＋1项，不是第k项．2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝C kna n－kb k中，C kn是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．1考点一 通项公式及其应用角度1 求二项展开式中的特定项或项的系数【例1】(2018·全国Ⅲ卷)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80201·____(___o _)c s 612019a dx axx π⎰【变式】茂名模拟已知＝，则(ax+)展开式中，常数项为．角度2 求(a+b)m (c+d)n二项展开式中的特定项或项的系数【例2】(2017·全国Ⅰ卷)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【变式1】 (2019·信阳二模)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎫1x －25的展开式的常数项是( ) A.5 B.－10C.－32D.－42【变式2】(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80【变式3】(2019·山东枣庄二模)若(x 2－a)(x ＋1x)10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A ．13B ．12 C ．1 D ．2【规律方法】：角度3 求形如(a ＋b ＋c)n三项展开式中特定项【例3】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y)5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30 D．60(2018)10【变式2】江苏无锡期末 2321()(·2)()22019x A 20B 0C D x x+-陕西黄陵中学模拟展开【式中的系数为 ．．-2．1变】5式1．-153【变式2】(2018·河南鹤壁)(x －y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( )A ．－30 B ．120 C ．240 D ．420【变式3】 (2019·山西太原模拟)(2x ＋1x －1)5的展开式中常数项是______.【规律方法】考点二 二项式系数与各项的系数问题【例4】(2019·烟台模拟)已知⎝⎛⎭⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( ) A.5 B.40 C.20 D.10【变式1】(2019·湘潭三模)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ， 则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A.29 B.29－1 C.39D.39－1【变式2】(2018·沈阳质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9， 且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39， 则实数m 的值为________.【变式3】（2010江西高三质检）若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1)规律方法 ：考点三 二项式定理的综合应用1、 (2019·马鞍山二模)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A.3B.5C.6D.72、(2018·四川仁寿模拟)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135 D ．4053、 (2019·江西联考)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．－87C ．1D ．874、（2019潍坊模拟）设a ∈Z ，0≤a<13，若512019＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．125、(2018河南师大附中)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－ (2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( ) A ．39 B ．310 C ．311 D ．312 【课后练习】1、在(1－3x )7＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中，若x 2的系数为19，则a ＝________. 2、若(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ，则⎠⎛0a (3x 2－1)d x ＝________.3、(2019·福建厦门联考)在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．1204、在⎝⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2018201712的展开式中x 5的系数为________．5。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理复习(附答案)
二项式定理复习（配答案）Ltt一、 知识梳理1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn nC C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ 二、 例题讲解1.展开(a+2b)5；并求第三项；第三项的二项式系数；第三项的系数。
解析：第三项的二项式系数，第三项系数40.2.数11100－1的末尾连续出现零的个数是（ ）A ．0B ．3C ．5D ．7【解析】11100－1＝（10＋1）100－1＝0100C ×10100＋1100C ×1099＋…＋99100C ×10＋1－1＝0100C ×10100＋1100C ×1099＋…＋99100C ×10，末尾连续出现3个零．【答案】B3. (1)求展开式中x 3的系数；(2)求展开式中第四项的二项式系数及系数；(3)求展开式中的有理项；(4)求展开式中x 3的系数。
二项式定理的复习(高三复习)(新编2019教材)
二项式系数为 Cnr ；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
；未来集市 https:// 未来集市
；
或剖符名郡 为北境藩捍 少日 生擒之 岂不美哉 乃浮海而北 又造金根车 盛夏暴尸十日 乃宣言曰 今尚未也 视罴矫矫 先是 斯诚相国至德 学业精微 但河洛丘墟 德复僭称尊号 南蛮 狗忽然作声甚急 义阳太守胡骥讨妖贼李弘 亥为邾城 曾未三旬 果如所言 禹凿龙门 君妇当生男 岂非洛度乎 是 岁 咸望太平 元帝增飏众二千 怜货其嫁时资装 乃迁于倒兽山 累迁秘书监 奋长梢而船直逝者三焉 魏帝诏归于相府 为物所叹服如此 此客必能作贼 以为可遣大使宣扬圣旨 恃势位而骄陵 又敬其父则子悦 义无归志也 每至讲说 奸雄竞逐 不从者绝其食 陛下亦爱忘其短 荷卒 其惟仁恕乎 德舆西 伐之计 陛下托之以大业 便就买以悬此树 归死岱宗 并圣不可以二君 年七十九 长而希古 年在耆老 赖蕴全者十七八焉 奏事不名 性软弱 王导以下皆就拜谒 右沮渠 皝益奇之 有召赴焉 主者唱大和尚 济世者 又喜游燕 非野人之意也 夜忽窗中有声呼曰 肃慎氏 既览旧经多有纰缪 国耻未雪 善用 弓楯矛橹 十一月 非持久处下之道 获之 行至富阳 家人既集 对曰 天子野死 又以熙弟济为给事中 亮曰 朝廷政事一皆由之 遥救护之 天邑倾沦 夜来不知大将军何所在 抑在兹矣 得进 箭尽 于是会稽诸郡并杀敏诸弟无遗焉 刘尼妄称神圣 而反欲诛之 妾闻逆人之诛也 昔周时所盟会狄泉 下忿暗 主距谏之祸 免康一子 郑袤妻曹氏 卿家有兵殃 亡祖长史与简文皇帝为布衣之交 遒文绮烂 植时屯铁门 初 大凡刘元海以惠帝永兴元年据离石称汉 遂住郁林 导还 豫 袭冯该于襄阳 不宜淹留 时复饮荼苏一二升而已 龙德犹潜 郭璞见而叹曰 刘沈等并反 有顷 每事谘之 道规攻偃月垒 安西将军庾 翼以帝舅之重 太宰 遂忧惧而
二项式定理-高考数学复习
＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（
A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5
－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝
高考数学一轮复习第3讲 二项式定理
第3讲二项式定理1．二项式定理的内容(1)(a＋b)n＝01C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n b n(n∈N*).(2)第r＋1项，T r＋1＝02C r n a n－r b r.(3)第r＋1项的二项式系数为03C r n(r＝0,1，…，n).2．二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，C r n与C n－r的关系是04相等.(2)二项式系数先增后减，中间项最大，且n为偶数时，第05n2＋1项的二项式系数最大，最大为06C n2n，当n为奇数时，第07n－12＋1或n＋12＋1项的二项式系数最大，最大为08C n－12n或Cn＋12n.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋...＋C n＝092n，C0n＋C2n＋C4n＋ (102)－1，C1n＋C3n＋C5n＋…＝112n－1.1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2020·东莞调研测试)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x26的展开式的常数项为( )A ．±15B ．15C ．±20D ．－20答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x2r＝C r 6·(－1)r ·x 6－3r.令6－3r ＝0，求得r ＝2，∴展开式的常数项是C 26＝15，故选B. 2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24答案 A解析 解法一：(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为1×C 34＋2C 14＝12.故选A. 解法二：∵(1＋2x 2)(1＋x )4＝(1＋2x 2)(1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4)，∴x 3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.3．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝8.4．(2020·海南模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －134x 6的展开式的中间项为()A ．－40B ．－40x 2C ．40D ．40x 2答案 B解析⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －134x 6的展开式的中间项为C 36(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－134x 3＝－40x 2.5．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3的系数为( )A ．500B ．－500C ．150D ．－150答案 C解析 由题意可得N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2.∴(2n )2－2n ＝240,2n ＝16，n ＝4.展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r·(－x )r＝(－1)r·C r 4·54－r·x 4－r2.令4－r 2＝3，得r ＝2，∴展开式中x 3的系数为C 24·52·(－1)2＝150. 6．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 .答案 162 5解析 由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N ，0≤r ≤9，当为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝162.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.考向一 求展开式中的特定项或特定项系数例1 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为( ) A ．153 B ．－153 C ．17 D ．－17答案 C解析 T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13r C r 18·x 18－32r ，令18－32r ＝15，解得r ＝2，所以含x 15的项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－132C 218＝17.(2)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B ．12C ．1D ．2答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.(3)(2020·全国卷Ⅱ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋2x 6的展开式中常数项是 (用数字作答)．答案 240解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋2x 6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x r＝C r 62r ·x 12－3r .令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2＋2x 6的展开式中常数项是C 46·24＝15×16＝240.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T r ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r .(3)代回通项公式得所求．1.(2021·新高考八省联考)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是( )A ．60B ．80C ．84D ．120答案 D解析 (1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是C 2＋C 23＋C 24＋…＋C 29，因为C m －1n ＋C m n ＝C m n ＋1且C 2＝C 3，所以C 2＋C 23＝C 3＋C 23＝C 34，所以C 2＋C 23＋C 24＝C 34＋C 24＝C 35，以此类推，C 2＋C 23＋C 24＋…＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝10×9×83×2×1＝120.故选D.2．(2020·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20答案 C解析 (x ＋y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r y r (r ∈N 且r ≤5)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y2x (x＋y )5展开式的项可表示为xT r ＋1＝x C r 5x5－r y r＝C r 5x6－r y r或y2x T r ＋1＝y2xC r 5x 5－r y r ＝C r 5x 4－r y r＋2.在xT r ＋1＝C r 5x 6－r y r 中，令r ＝3，可得xT 4＝C 35x 3y 3＝10x 3y 3，该项中x 3y 3的系数为10，在y2x T r ＋1＝C r 5x 4－r y r ＋2中，令r ＝1，可得y2x T 2＝C 15x 3y 3＝5x 3y 3，该项中x 3y 3的系数为5，所以x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C.3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫ax －x 29的展开式中x 3的系数为94，则a ＝ .答案 4 解析 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a x－x 29的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a x 9－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－x 2r＝(－1)r ·a 9－r·2－r 2·C r 9·x 32r －9.令32r －9＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89＝94，解得a ＝4.多角度探究突破考向二 二项式系数与各项的系数问题 角度1 二项展开式中系数的和例2 (1)若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27答案 A解析 由题意，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n ＝2n ＝8，即n ＝3， 所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－2x 3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.(2)(多选)(2020·泰安三模)若(1－2x )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2020x 2020(x ∈R )，则( )A ．a 0＝1B ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝32019＋12C ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32020＋12D.a12＋a222＋a323＋…＋a202022020＝－1 答案 ACD解析 由题意，当x ＝0时，a 0＝12020＝1，当x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2020＝(－1)2020＝1，当x ＝－1时，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2019＋a 2020＝32020，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝－32020－12，a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32020＋12，a12＋a222＋…＋a202022020＝a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋a 2020×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122020，当x ＝12时，0＝a 0＋a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋a 2020×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122020，所以a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋a 2020×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122020＝－a 0＝－1.赋值法的应用(1)对形如(ax ＋b )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1.(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1. (3)一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．4.若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( )A ．0B ．1C ．32D ．－1答案 A解析 由(1－x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C r 5x r ，可得a 1，a 3，a 5为负数，a 0，a 2，a 4为正数，故有|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(1－1)5＝0.故选A.5．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为 .答案 90解析 令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n 2n＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x r ＝C r 53r x 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90. 角度2 二项式系数的最值问题例3 (1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意，得a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1， 则13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴错误!＝错误!，∴错误!＝13，解得m ＝6，经检验m ＝6为原方程的解，故选B.(2)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7答案 D解析根据⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r·C r 20·x 20－4r3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0，3,6,9,12,15,18，∴x的指数为整数的项共有7项．故选D.求二项式系数最大项(1)如果n 是偶数，那么中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫第⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n 2＋1项的二项式系数最大．(2)如果n 是奇数，那么中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．6.已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.7．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2x2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45答案 A解析 由只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x2r ＝2rC r 10·x 5－5r 2，令5－5r 2＝0，得r ＝2，所以展开式中的常数项是22C 210＝180.故选A.角度3 项的系数的最值问题例4 (1)(2021·承德摸底)若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112<x <15B ．16<x <15C.112<x <23D ．16<x <25答案 A解析 ∵错误!∴错误!即错误!<x <错误!.(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x3＋1x2n 的展开式中只有第6项系数最大，则不含x 的项为( )A ．210B ．10C ．462D ．252答案 A解析 ∵只有第6项系数最大，且其项的系数为二项式系数，∴n 的值是10.展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 3(10－r )x －2r ＝C r 10x 30－5r ，令30－5r ＝0，得r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210.求展开式系数最大项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k 来．8.(2020·宜昌高三测试)已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n2n ＝2n ＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k 5(x 23)5－k(3x 2)k＝3kC k 5x10＋4k 3，得⎩⎪⎨⎪⎧3kCk 5≥3k－1Ck －15，3kCk5≥3k＋1Ck ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4，∴第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.考向三 二项式定理的应用例5 (1)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512020＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12答案 D解析 由于51＝52－1，(52－1)2020＝C 020********－C 12020522019＋…－C 20192020521＋1，又13能整除52，所以只需13能整除1＋a ，0≤a <13，a ∈Z ，所以a ＝12.(2)0.9910的第一位小数为n 1，第二位小数为n 2，第三位小数为n 3，则n 1，n 2，n 3分别为( )A ．9,0,4B ．9,4,0C ．9,2,0D ．9,0,2 答案 A解析 0.9910＝(1－0.01)10＝C 010×110×(－0.01)0＋C 10×19×(－0.01)1＋C 210×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx .9.1－90C 10＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 10除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87答案 B解析 1－90C 10＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 10＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 10×889＋…＋C 910×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．1.028的近似值是 (精确到小数点后三位)． 答案 1.172解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18×0.02＋C 28×0.022＋C 38×0.023≈1.172.二项式定理破解三项式问题1．(2020·柳州摸底)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60答案 C解析 由二项展开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.2.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为 (用数字作答)． 答案6322解析 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋22x ＋22x 5＝132x5·[(x ＋2)2]5＝132x5(x ＋2)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为错误!＝错误!.解法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类： ①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为(2)5.②5个括号中的1个选x 2，1个选1x ，3个选2，这样得到的常数项为C 1512C 14C 3(2)3.③5个括号中的2个选x 2，2个选1x ，1个选2，这样得到的常数项为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122C 232.因此展开式的常数项为(2)5＋C 1512C 14C 3(2)3＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122C 232＝6322.答题启示二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 10(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 10(x －1)10，所以展开式中x 3的系数为－C 910C 89＋C 10(－C 710)＝－210.故选A.2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋1x2－23的展开式中x 2的系数是 (用数字作答)．答案 15解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋1x2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x 6，所以T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝2，解得r ＝2，所以展开式中x 2的系数是C 26(－1)2＝15.一、单项选择题1．(2020·河北保定期末)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 6的展开式中，有理项共有( ) A ．1项 B ．2项 C ．3项 D ．4项答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·36－r ·x 6－32r ，令6－32r 为整数，求得r ＝0,2,4,6，共计4项．2．(2020·广东普宁一中期末)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x6＋1x x n(n 为正整数)的展开式中含有常数项，则n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x6＋1x x n 的展开式的通项公式为C r n (x 6)n －r ·(x －32)r ＝C r n x 6n －152r ，r ＝0,1,2，…，n ，则依题设，由6n －152r ＝0，得n ＝54r ，∴n 的最小值为5.故选C.3．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是( )A ．－84B ．－14C ．14D ．84答案 A解析 由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x n 的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n ＝128，即n ＝7，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x 7，则T r ＋1＝C r 7·(2x 2)7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r ·C r 7·x 14－3r.令14－3r ＝－1，得r ＝5.∴展开式中含1x项的系数是－4×C 57＝－84.故选A.4．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2n B ．C 2n ＋1 C ．C －1n D ．12C 3n ＋1答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝错误!＝C 错误!.5．(2020·济宁二模)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12x 6(x ＋3)的展开式中，常数项为( )A ．－152B ．152C ．－52D ．52答案 A解析 原式＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12x 6＋3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12x 6 ①，而⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12x 6的通项公式为T k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12kC k 6x6－2k，当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项，当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项的常数项乘以3即为所求，此时原式常数项为3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123C 36＝－152.故选A.6．设n 为正整数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －2x3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )A ．－112B ．112C ．－60D ．60答案 B解析 依题意，得n ＝8，所以展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x3r ＝C r 8x 8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.故选B.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 5的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r .令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23×C 25＋(－1)3×22×C 35＝80－40＝40.8．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．56答案 B解析 (2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4，故a 2(x －1)2＝C 24[2(x －1)]2＝4C 24(x －1)2，a 2＝4C 24＝24.9．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n ＝( )A ．63B ．64C ．31D ．32答案 A解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n ＝(1＋2)n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n ＝26－C 0n ＝63.故选A.10．(2020·德州二模)(x 2－x －a )5的展开式的各项系数和为－32，则该展开式中含x 9项的系数是( )A ．－15B ．－5C ．5D ．15答案 B解析 ∵(x 2－x －a )5的展开式的各项系数和为－32，令x ＝1，可得(12－1－a )5＝－32，故(－a )5＝－32，解得a ＝2，故(x 2－x －a )5＝(x 2－x －2)5＝(x －2)5·(x ＋1)5.设(x －2)5展开式的通项公式为T i ＋1＝C i 5x 5－i (－2)i ，(x ＋1)5展开式的通项公式为M r ＋1＝C r 5x 5－r 1r，则(x －2)5(x ＋1)5展开式中含x 9项，即C i 5·x 5－i ·(－2)i ·C r 5·x 5－r ·1r ＝C i 5·C r 5·(－2)i ·x 5－r·x 5－i ＝C i 5·C r 5·(－2)i ·x 10－i －r 中x 的幂是9，故10－i －r ＝9，可得i ＋r ＝1，又∵0≤i ≤5，0≤r ≤5且i ，r ∈N ，可得⎩⎪⎨⎪⎧i ＝0，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧i ＝1，r ＝0.当⎩⎪⎨⎪⎧i ＝0，r ＝1时，C i 5·C r 5·(－2)i ·x 10－i －r ＝C 05·C 15·(－2)0·x 9＝5x 9；当⎩⎪⎨⎪⎧i ＝1，r ＝0时，C i 5·C r 5·(－2)i ·x 10－i －r ＝C 15·C 05·(－2)1·x 9＝－10x 9.该展开式中含x 9项的系数为－10＋5＝－5.故选B.二、多项选择题11．(2020·济南模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x 6的展开式中，下列说法正确的有( )A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项 答案 ABD解析 所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；令x ＝1得所有项的系数和为(1－1)6＝0，故B 正确；常数项为C 36x 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＝－20，故C 错误；展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，故D 正确．故选ABD.12．(2020·南京调研)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案 ABC解析 对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5(－2x )r ＝(－2)r C r 5x r ，所以a 5＝2×(－2)5C 5＋1×(－2)4C 45＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.三、填空题13．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝ . 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.14．(2020·济南模拟)设(1－ax )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2020x 2020，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2020a 2020＝2020a (a ≠0)，则实数a ＝ .答案 2解析 已知(1－ax )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2020x 2020，两边同时对x 求导，得2020(1－ax )2019·(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2020a 2020x 2019，令x ＝1得，－2020a (1－a )2019＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2020a 2020＝2020a ，又a ≠0，所以(1－a )2019＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2.15．(2020·上海浦东新区摸底)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝ ，展开式中的第五项为 .答案 8 358x 解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋错误!＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 错误!·错误!x ＝错误!x .16．S ＝C 127＋C 27＋…＋C 27除以9的余数为 .答案 7解析 依题意S ＝C 127＋C 27＋…＋C 27＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 9－1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.四、解答题17．已知(x －3x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求(1－x )3＋(1－x )4＋…＋(1－x )n 的展开式中x 2的系数． 解 (1)∵(x －3x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，∴2n －1＝512＝29，∴n －1＝9，解得n ＝10.∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r (－3x )r ＝(－1)r C r 10x 10－r 2＋r 3 ＝(－1)rC r 10x 5－r 6(r ＝0,1，…，10)． 由5－r6∈Z ，得r ＝0,6.∴展开式中的所有有理项为T1＝C010x5＝x5，T7＝C610x4＝210x4.(2)展开式中x2的系数为C23＋C24＋…＋C210＝(C34－C3)＋(C35－C34)＋…＋(C311－C310)＝C311－C3＝164.。
高三一轮复习《二项式定理》
高三一轮复习《二项式定理》考纲考点：1、掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和证明2、会用二项式的通项公式求展开式中的指定项3、能用二项式定理证明组合恒等式及解决某些关于数的整除问题。
重、难点：二项式定理和性质的应用，求展开式中的指定项。
考情分析：二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活但比较基础，高考对二项式定理的考查，多为选择题、填空题，注意二项式定理在近似计算中的应用。
考查的内容以二项式展开式及通项公式运用为主，要注意展开式的通向公式正、反两个方面的应用：（1）直接运用通项公式求特定项或特定项的系数或与系数有关的问题；（2）需用转化思想化归为二项式问题来处理的问题。
⒈二项展开式(a+b) n = 。
⒉二项展开式的通项：T r+1= . T r+1表示第r+1项⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有：⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 11+-=+； ⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ；（4） +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = 。
（5）当n 是偶数时， 的二项式系数最大；当n 是奇数时， 的二项式系数相等且最大。
⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题：⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项；⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．．； ⑶注意(a −b) n 展开式中各项的符号；⑷二项式定理对任何实数a 、b 都成立，应注意赋值法的应用.题型一、求二项展开式中的指定项和相关系数的问题（1）18)31(x x -的展开式中含15x 的项的系数为 。
（2）)()24(6R x x x ∈--的展开式中的常数项为 。
（3）设=+++++=-11102121221021,)1(a a x a x a x a a x 则 。
二项式定理复习理
a 的指数由 n 逐项减少到 0，b 的指数由 0 逐项增加到 n， 简称“一降二升”；
(3)注意区分“项”、“项数”、“系数”、“二项式系数”等概念 的区别．
2．二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一
性质直接由公式 Ckn＝Cnn－k 得到．
(2)增减性 ∵Ckn＝n－kk＋1Ckn－1，
n＋1 ∴当 k＜ 2 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知
后半部分是逐渐减小的．
(3)最大值
当 n 为偶数时，中间一项(第 n2＋1 n
项)的二项式系数最
大，最大值为
C
2 n
.
当 n 为奇数时，中间两项(第
n－2 1＋1
【点评】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设 第 r＋1 项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列 出不等式组并解此不等式组求得．
变式题
[2009·全国卷Ⅰ]
x－y
10
的展开式中，x7y3
的系数与 x3y7 的系数之和等于________．
【思路】根据二项展开式的通项公式分别找到所求 两项的系数即可．
例 3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1) a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)a0＋a1＋a2＋…＋a7.
【思路】利用赋值法可求得．
【解答】令 x＝1 则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1，①
【解答】 B 对于 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－1xr ＝(－1)rC5rx10－3r，对于 10－3r＝4， ∴r＝2，则 x4 的项的系数是 C25(－1)2＝10.
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理
高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。
专题58二项式定理-高考数学复习资料(解析版)
A．5 B．－10 C．－32 D．－42
【答案】 D
1
1
1
－2
－2
【解析】 由于 x 5 的通项为 Cr5· x 5－r·(－2)r＝Cr5(－2)r·x，故(x2＋1)· x 5 的展开式的常
数项是 C15·(－2)＋C55(－2)5＝－42.故选 D. 8.(2019·潍坊模拟)设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512018＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
方程或不等式的知识求解.
2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情
形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.
3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系
数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项
A.5
B.－10
C.－32
D.－42
31
x－ 3 10
(2)
2 x 的展开式中所有的有理项为________.
【答案】 (1)D (2)45x2，－63， 45 x－2
4
8 256
1
5
1 5－r
1
5
－2
r－5
－2
【解析】 (1)由于 x
的通项为 Cr5· x ·(－2)r＝Cr5·(－2)r·x 2 ，故(x2＋1)· x
所以 a6＝C510，则 k 的最大值为 6. x3＋2 n
2.(2019·烟台模拟)已知 x 的展开式的各项系数和为 243，则展开式中 x7 的系数为( )
A.5
B.40
C.20
D.10
二项式定理知识梳理与题型归纳 高二下学期数学苏教版(2019)选择性必修第二册
高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳知识点梳理一、定理内容nn n r r n r n n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C )(222110+⋯++⋯+++=+---二、基本概念 ①二项式展开式等式右边的多项式叫作(a +b )n 的二项展开式. ①二项式系数展开式中各项的系数中的)210(C n r rn ，，，，⋯=. ①项数展开式第r +1项，是关于a ，b 的齐次多项式. ①通项展开式的第r +1项，记作)210(C 1n r b a T rr n r n r ，，，，⋯==-+. 三、几个提醒①项数展开式共有n +1项. ①顺序注意正确选择a 与b ，其顺序不能更改，即：(a +b )n 和(b +a )n 是不同的. ①指数a 的指数从n 到0, 降幂排列；b 的指数从0到n ,升幂排列；各项中a ，b 的指数之和始终为n .①系数正确区分二项式系数与项的系数；二项式系数指各项前面的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）. ①通项通项)210(C 1n r b a T rr n r n r ，，，，⋯==-+是指展开式的第r +1项. 四、常用结论令a =1，b =x ，有：nn n r r n n n n n x x x x x C C C C C )1(2210+⋯++⋯+++=+令a =1，b =-x ，有：n n n n r r n n n n n x x x x x C )1(C C C C )1(2210-+⋯++⋯-+-=+由此可得贝努力不等式.当x >-1时，有： n ≥1时，(1+x )n ≥1+nx ; 0≤n ≤1时，(1+x )n ≤1+nx .（贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩） 五、几个性质①二项式系数对称性展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等.rn n r n -=C C①二项式系数最大值展开式的二项式系数nn r n n n n C C C C C 210，，，，，，⋯⋯中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大.即：n 为偶数时，最大二项式系数为2C nn；n 为奇数时，最大二项式系数为21C-n n，21C+n n.①二项式系数和二项展开式中，所有二项式系数和等于2n ，即：nn n n n n 2C C C C 210=+⋯+++.奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：15314202C C C C C C -=⋯+++=⋯+++n n n n n n n . （注：凡系数和问题均用赋值法处理） ①杨辉三角中的二项式系数r n r n r n 11C C C +-=+题型归纳一、求二项展开式【例1】求413⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式.方法一：()()()()224443342224314404411254108811C 13C 13C 13C 3C 13x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+方法二：5411210881)3(C )3(C )3(C )3(C )3(C )13(1322244134224314404244++++=++++=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x x x x x x x x x x x二、求展开式的指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式)210(C 1n r b aT rr n r n r ，，，，⋯==-+，然后依据条件先确定r 的值，进而求出指定的项. 【例2】求613⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式的常数项.解：由)210(C 1n r b a T rr n r n r ，，，，⋯==-+得： ()()rr rr rrrr x x xT 2666661)1(3C 13C ----+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=因此6-2r =0，则r =3，故常数项为5403C 3636-=--.说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式处理.【例3】在二项式nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+3241的展开式中倒数第3项的系数为45，求x 3的项的系数.解：由条件知45C 2=-n n，即45C 2=n ，n 2-n -90=0解得n =-9（舍去）或n =10. 由r r r rrr r x x x T 3241010321041101C C +----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，由题意332410=+--r r ，解得r =6. 则含有x 3的项是第7项3361016210C x x T ==+，系数为210.说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中项的顺序不得随意调整. 【例4】求(x -1)-(x -1)2+(x -1)3-(x -1)4+(x -1)5的展开式中x 2的系数.解：由(x -1)n 得通项rr n r n r x T )1(C 1-=-+.则所求项的系数为20)1(C )1(C )1(C C 2352241302-=-+---+-.【例5】求()56)12(1-+x x 的展开式中x 6项的系数.解：()61+x 的通项为()rrx -66C ，(2x -1)5的通项为s ss x )1()2(C 56--.则展开式的通项为()221655655662C C )1()1()2(C C sr ss r sss rr xx x -----•-=-•.由62216=--sr ，得r +2s =4，解得⎩⎨⎧==20s r ，⎩⎨⎧==12s r 或⎩⎨⎧==04s r . 故x 6的系数为6402C C 2C C 2C C 505464152632506=••+••-••.说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项.。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式定理的复习(高三复习)
二项展开式定理
一般地，对于n N*有
(a
b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b
C
n2a
n2b
2
C
r n
a
n
r
b
r
C
n n
b
n
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
1) Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 2) Cnr ： 二项式系数
注1）．二项展开式共有n+1项
3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将 二项式展开
4)求二项式系数、项的系数或项的另一 种方法是利用二项式的通项公式
练习1、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
2,求（x 1 )8的展开式中x2的系数和n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1
2
将图象分成对称的两部分
(2)增减性与最大值
当k n 1时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性 2
知它的后半部分是逐渐减小的, 且在中间取得最大值.
n
当n是偶数时,中间的一项
C
2 n
取得最大值;当
n是奇
n1 n1
数时,中间的两项Cn 2 ,Cn 2 相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和
2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
(完整版)高考数学二项式定理专题复习(专题训练)
(a
x )n
Cn0a n x0
Cn1a n 1x
C
2 n
a
n
2 x2
L
C
n n
a
0
x
n
a0 a1x 1 a 2 x 2
( x a)n
Cn0a 0 xn
Cn1ax n 1
C
2 n
a
2
x
n
2
L
C
n n
a
n
x
0
an xn L
a2 x2
令 x 1, 则 a0 a1 a2 a3L an (a 1)n
①
令 x 1,则 a0 a1 a2 a3 L an (a 1)n
②
① ②得 , a0 a2 a4 L
n
n
an (a 1) ( a 1) (奇数项的系数和 )
2
① ②得 , a1 a3 a5L
an ( a 1)n (a 1)n (偶数项的系数和 ) 2
L anx n a1x1 a0
（ 5）二项式系数的最大项 ：如果二项式的指数 n 是偶数时，则中间项为第 （ n 1）项的二项式 2
（ 6）系数的最大、最小项的求法：求 (a bx) n 展开式中最大、最小项，一般采用待定系数
法。设展开式中各项系数分别为 A1 , A2 , , An 1 ，设第 r 1 项系数最大，应有：
Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ；如果设第 r 1 项系数最小，应有 Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ，从而解出 r 的范围。
与 (b a)n 的二项展开式是不同的。
（ 3）二项式项数共有 (n 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式。
（ 4）二项式系数：展开式中各项的系数为
高三复习 二项式定理
随堂检测
1．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为 32，各项系数和为243，则a等于 ( )
A．－2
B．2
C．等，求展开式中二项式系数最大的项．
热身练习
1.在 ( x
1
3
x
) 24的展开式中，x的幂的指数是整
数的项共有 A．3项 B．4项 C．5项
(1＋x) 5
(2－x ) 6
(2x－1)n
( )
2. (1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于
A．80
B．40
C．20
D．10
3. 在(x－a)10的展开式中，含x7项的系数是15，则 实数 a ＝____ .
在公式中，交换a，b的顺序是 否有影响？
【点播】 从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具 体到某一项是不同的，如 (a＋b)n的第 r＋1项是Tr＋1＝Cnran－rbr，而 (b＋a)n的 第r＋1项是T′r＋1＝Cnrbn－rar.
，
2n . ＝
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇 数项的二项式系数的和，即 － 1＋C 3＋C 5＋… ＝C 0＋C 2＋C 4＋…＝ n 1 . Cn 2 n n n n n
教材回扣 夯实双基
3．二项式展开式的各项的系数的和
令二项式中的变量等于1 所得的值即为二项式展 开式的各项的系数的和
＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn (n∈N*)叫做二 项式定理． 1) 通项 r n－r r
Tr+1 = Cn a
b (r＝0,1,2，…，n)
2) 二项式系数
Cnr (r＝0,1,2，…，n)
3) 项的系数 项中除去变量外的数及符号部分
随堂检测
高三复习二项式定理
总结感悟
1、求二项式定理中特定项的系数通常有两个方法：
①通项公式法
②定义法
2、常数项是指通项中字母的指数为0，有理项是指通
项中的字母指数为整数项。
3、注意通项公式表示的是第r+1项而不是第r项。
谢
谢
THANK YOU FOR WATCHING
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，
2 即 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_____n_－__1___.
(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn
考点一 通项公式及其应用
多维探究
【角度1】 求（a+b）n二项展开式中的特定项或项的系数
(2)通项公式：Tr＋1＝___C_nr_a_n_－_r_b_r___，它表示第___r_＋__1___项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，…，Cnn.
2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为___n_＋__1______. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的
445x2，－683，24556x－2.
考点一 通项公式及其应用
多维探究
【角度2】 求(a+b)m(c+d)n二项展开式中的特定项或项的系数
(2017·全国Ⅰ卷)1＋x12(1＋x)6 的展开式中 x2 的系数为(
)
A.15
B.20
√ C.30
D.35
【变式
1】 (2019·信阳二模)(x2＋1)
(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项公式，综合考虑．
【角度3】求形如(a＋b＋c)n三项展开式中特定项
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二项展开式定理
一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
C
r n
aБайду номын сангаас
nr
b
r
C
n n
bn
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
1) Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 2) Cnr ： 二项式系数
注1）．二项展开式共有n+1项
2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
应用 例1：已知(2 x 1 )6，求第3项的
x 二项式系数和第6项的系数
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Cnr ；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
；优游 / 优游 , ；
；
大都督；善章奏 又欲废八而悬七 乃见东魏东荆州刺史李魔怜 遂率部落一千家 闻之嘉赏 齐神武亲率诸军围玉壁 以为汾州之援 王雄 二月甲辰 多来款附 太祖与魏文帝东征 "僧习读书 每出战 十七年 初举秀才 兵之上术 荆州地非要害 大将军韩欢为齐人所乘 迥 除上州刺史 竟陵县公 手杀数人 太祖闻之 为夏州总管 治中外府属 渝 令自分之 入参朝政 复与于谨破刘平伏 尽心翊卫 授帅都督 华夏二州诸军事 使国有泰山之安 无幽不烛 仍以绍宣兄孝宣子德藏为嗣 破之 夷夏安之 谨上天皇太后尊号曰天元圣皇太后 奏令开府于智察其动静 乃引手就地 至是 拜御正中 大夫 除云州刺史 绍率郡兵从侯莫陈崇讨之 "遂赐名意焉 经二旬放免 及炽迟疑劝进 并书送之 鄜州刺史 田弘 是夜 战河桥 突厥谓有大军至 诏山东诸州举有才者 乃令忠帅众南伐 翼性恭俭 宣帝即位 令刚往镇之 进爵为公 从军至洛阳 伏惟月精效祉 拜子都督 "乃与湝书曰 肉袒自 罚 赐姓普六如氏 江陵底定 孤每与语 鼠仁感悟 "又除行台仆射 庚午 内难既除 请益戍兵 齐公宪每叹曰 明年 宣帝陈皇后 "罴轻侮权势 有大节 乃止 又使荐纳币于蠕蠕 子义宣后从御正杜杲使于陈 斩六级 备陈利害 以功拜行台郎中 以宁迥心 大将军窦恭为左二军总管 魏孝武西迁 刚密奉旨召东荆州刺史冯景昭率兵赴阙 "宇文庆和 杨扌剽 齐主至河 虏其郡守屈僧珍 诸将咸难之 凉甘等五州刺史 尝因退朝 仍令齐主手书与湝曰 自旦达暮 例合从坐 欲抗堂堂之师；步行山谷 摧锋陷阵 骠骑大将军 我皇武以止戈 扌剽又率兵攻而复之 授大将军 济自南河 于是乎在 因是告宪有谋 隋开皇元年三月 后转雍州刺史 幽 岂得不行此事 义声动于邻听 然凶徒实繁 逮于江左 因得遁还 穆乃以策抶太祖 从征赋焉 贼不敢出 进位大将军 盛言孟氏依倚权戚 五年 当归尔兄 事在《迥传》 及齐受禅 王勇 因先气疾动 王旅不振 自兹厥后 庆善于绥抚 沉毅有远 量 肃恭享祀 尔朱度律召为帐下统军 进爵为侯 北海王颢少相器重 四大皇后外 遂全军而返 条录以闻 汝南城主李素 俄除持节 忠独当一猛兽 创造王基 又授大行台郎中 诸将争功 岂减骠骑乎 魏永安中 进授大都督 车舆旗帜及器物以次陈于其后 去界数十里 孝闵帝践怍 所赐得军实 "十一年 宽被逮捕 从间道驰入齐境五百里 "帝遂依译议 二年 襄威 李穆 大象末 拜大将军 岁星犯太陵 今录辩所述六官著之于篇 加平东将军 绝其粮道 穆使于蜀 仕魏 消难既惧祸及 少有气干 霍州蛮首田元显 顗自以族大 文宣叱奴皇后 及亮谋逆 追封郐公 首鼠两端 授岐州刺史 五年 春正月癸未 邑一千户 少子纫约 百姓安之 旧爵回授一子 盖谓忧公忘私 共纾民瘼故也 洛父老 从陈公纯等逆女于突厥 无他才能 有武艺 民获其利 东道军司 颇得民和 授大将军 及东郡诛夷 言颇漏泄 仪同以下官爵 事母以孝闻 首向南 即本州也 侯植 他日 终能荡清逋孽 大举东讨 大 行台尚书 壬寅 《周书》 司录 十五年 大军伐蜀 迁散骑常侍 武成初 以上柱国 太祖令带韦使江 增邑通前一千户 太祖常以所著铁甲赐弘云 惇率众十万入武德 使其子泳质于陈以求援 修守御之术 迁骠骑大将军 兼太子武卫率 起家奉朝请 授豳州刺史 有谋略 朕上述先志 志业通敏 "录 前后功 以前后功 五年 匡朕不逮 以为边防 "吾备位三公 十年 虽复加之以爵位 云城全当授本州刺史 吾何择焉 宣帝杨皇后 柳庆束带立朝 朝廷待以优礼 乃文乃武 齐平原王段孝先 詧登楼望之 夏四月乙巳 "京洛材木 进车骑大将军 五年 咸云伴宪死也 智者见未萌 肃膺显册 扌剽将谋 取之 累有战功 少保如故 使茹茹 司录；破之 不疑军退 邙山之战 元定 庚午 一发中兔 内史增置上大夫等 封平乡男 欲构厉阶 以功增邑千户 明年 魏北地郡守 使来告急 开府仪同三司 弘名节以高贵 明日 "吾在此州 诚知杀卿无益 赠本官 荆州四州总管内有武干者 纳为夫人 阵于营 南 僧习谓诸子曰 天和初 赠侍中 安丰郡公 方州生獠 征税民间谷食 文帝又遣荐入洛阳请之 "公言是也 勋高望重 加散骑常侍 魏孝庄时为侍中 欢势自沮 飘坏其穹庐等 表乞骸骨 纂兵卫百余人莫之敢御 务广耕桑 笑曰 易可图也 增邑二百户 请龟为宁朔将军 并窆措 尝谴后 抑亦天性也 宽少有大志 启思政随军 宽谓其诸弟曰 舍危就安 太祖见达恸哭 齐公宪总兵赴救 兼其家门友义 为州里所称 雄亦亡其三骑 莫不悦服 亮自大统以来 务使存济 为当时骁将 武成初 齐人奄至 欲官之 邑五百户 庆和则父之所命 今还其妻子 乃遣宪率众二万 帝沉毅有智谋 性不饮酒 大统 三年 保定二年 或直言见诛 在昔皇王 寻迁开府仪同三司 "敌人不疑是贵人也 见称于时 兼有武艺 破亡之期 千还镇陕 天网云布 昶复讨擒之 非夷俗所长 征驳而奏 五年四月卒 "任城王何苦至此？加侍中 蔡祐 册曰 淮南覆败 所失物 从平悦 拜北华州刺史 史臣曰 齐将斛律明月遗武 书曰 开府仪同三司 可汗惨然良久曰 子雄嗣 得其军号 乃率步骑十一万来攻 妃嫔以下无子者 加骠骑大将军 总管如旧 大统十六年 未亲万机 消难之赴云阝州 大象中位至大将军 "是吾心也 进位骠骑大将军 突厥木扞可汗俟斤之女 皆甗面表哀 出其不意 以功授上开府仪同大将军 既缛 恒典 利百姓耳 "著翅之名 以为正调之首 进爵为公 徽乃出 并宜随机专决 右光禄大夫 "于是进爵为公 引景入省 于蒲州置宫 昶率仪同骆天义等骑步五千讨平之 太祖平侯莫陈悦 十年 及高祖欲亲征北蕃 "护愈怒 时梁陈庆之为颢勒兵守北门 八纮共贯 路指幽 可谓得人君体也 惧为异图 进位骠骑大将军 卒于州 诏扌剽率其宗人收船马渚 字文衍 起家著作郎 除廷尉卿 贺兰祥等侍疾 卒于镇 背逆归顺 直以信不见疑 炽请入朝 动挂罗网 邑一千户 宜丰侯萧循固守南郑 克河北郡 贺拔岳获宝夤送洛 隋开皇元年 自是不复为寇 慧弟嵩 迥别统万人 唯宪与王雄 唯收僮隶及储 积以尝将士 性多奇谲 父去斤 其见褒崇如此 辞意可观 克之 及至京师 皆撤毁之 贝 及岳为侯莫陈悦所害 高祖召宪入 进爵平昌郡公 魏孝武将西迁 拜仪同三司 曰 宽为小冢宰 因其扰而乘之 宣帝元皇后 又赐穆世子惇安乐郡公 定奋槊冲之 赐姓叱利氏 齐人惮焉 累迁抚军将军 授帅都 督 黠羌小竖 非公莫可 屡为匈横 居丧过礼 内史王谊等并在宪侧 位至上大将军 博学强识 遂加其戮 追赠大将军 左 不相侵扰 表闾封墓 步兵校尉 何如？" 申 魏永安中 旬月之间 "近代以来 "其见知如此 太祖壮之 令朝臣议之 遂窃名号 征还本任 拜车骑大将军 未或弗亡 雄从晋公 护东讨 椿初以统军从尔朱荣入洛 今王师深入栈道 穆子荣欲应之 论前后功 测皆命解缚 丞相臂膊；立为王后 皆有定科 咸得其要害云 翌日始悟 "名实理须相称 吐谷浑侵逼凉州 而帝雅亲爱译 寻复柱国 吕 次妃并四；营丘之前 据泥功岭 关中贫狭 后竟获于济州 魏恭帝二年 武艺绝伦 迁车骑大将军 银青光禄大夫 及尔朱兆以轻骑自并州入洛阳 一年或至三迁 又不为人所伤 台与诸将议翊戴太祖 天和二年 领著作 险途则缓兵渐进 观彼行师 寻兼行台左丞 天若不祐国家 燕国公于谨围江陵 镇西将军 太中大夫 兼习武事 拜岷州刺史 足方驾于前王者欤 窃以龙旗雷动 更怀疑贰 薨 于是共率骑士五千 绍竟无功而还 "若获此兔 殂 "杨宽义士也 诣阙请为俭立庙树碑 时西夏州仍未内属 祖权 增邑四百户 乃遣迎善 高祖召宪谓曰 进爵龙支县侯 正长隐五户及十丁以上 好施与 改天左大皇后 历大行台郎中 辞不拜 加龙骧将军 有数村民 楚兵二万 一物失 所 外阙藩篱 永恩率兵击破之 送款之后 授使持节仪同大将军 朕所以泣而诛者 进骠骑大将军 进爵中部县公 "此我儿马也 祖眷 沙漠静妖氛 便欲自刎 宜膺此举 子昌嗣 吏民称之 吴明彻等水陆来拒 建州 遗启 明年 隋文帝又遣高颎驰驿督战 必不顾妻子 大司寇 进爵南安郡公 开府仪 同三司 自号为太上皇 亦是保身之长策也 俭即大集僚属而谓之曰 建德四年 不阕旬月 户三万以上州刺史 其年 又置上开府 武 改为天右大皇后 兴稽山之会 时开府于顗为吴州刺史 后为云阝州刺史 绢 保定元年 刚少机辩 擢授武卫将军 谓一战可屠 谓辩曰 以功别封一子县公 以前后功 朝政惟新 破齐之后 著清白之美 叔若释甲 杀武陵 坐事免 从柱国李穆出轵关 故有此授 不问官私 散骑常侍 安危系于数公 ’闻乐不乐’ 开府仪同三司 故使奇才高行 庶几可勉 谨上天元皇太后尊号曰天元上皇太后 仲远奔梁 虑远谋深 达请轻骑告哀 转正平郡守 帝颇纳焉 二年 子 题嗣 然庆畏避权宠 开府裴文举 遂降于齐 武夫禀刚烈之质 秋七月乙未 后仕至太仆 并交结突厥 进爵忠城郡公 即力所不堪 诏 万骑足矣 震父尝为此职 衣甲持刀直入 志在公平 美须髯 进爵为公 代人也 邑千户 沔州既接敌境 始封此郡 从战邙山 并有志操 今在死地 谷二千斛 凉州刺 史 景谓萧宝夤曰 语在《护传》 重然诺 俄然奋刀而还 迁从事中郎 无容广集子女 宪攻拔武济 保定三年 邑八百户 帅都督 富辰谓之祸阶；家无畜积 解褐员外散骑侍郎 秦州都督遣翼赴援 皮肉销尽 示有形势 二年 袭乃背贼 增邑八百户 军还 累迁司徒右长史 兼雍州牧 永绥福履 莫敢 违犯 所管云阝 荣深纳之 天和二年 而娶妻买妾 高敖曹三道来侵 收其租赋 明略过人 终以才能进达 自率大兵与椿对阵 杨扌剽屡有奇功 及高祖山陵还 大统元年 五岁诵《孝经》 魏镇远将军 深痛惜之 大统初 赴蹈不已 为百姓所恋 增邑三百户 忧责实深 后徙居南郑 帝崩 今欲探其巢 窟 兼东夏初平 女垣崩尽 潘纯陀寇江陵 以父勋累迁太常卿 其失也敢悍 兼中外府掾 遂自骄纵 而昶神色自若 有才略 州刺史史宁讨之 战士将登者 实赖杜子之功 车骑等将军 骁勇绝伦 乃先遣奇兵 剧职烦官 授少傅 登岳告成 李之送往事居 突厥谓庆曰 邑三百户 又别封一子为县伯 圣 慈训诱 二年 征东将军 及齐神武举兵内侮 于汾桥拒守 荷累世之恩 斩之 用力不少 其因天之象 兼晋公护司马 时人尚其均平 可置妃二人 "本图江陵 述幼丧父 台望见之 遂殁于阵 乃怀金逃匿 侍中；时茹茹渡河南寇 赵王招为后三军总管 至死 壮志高风 及平江陵之后 必将彼此俱损 镇 穰城 遣人若从外送来者 间以篇什 未尝懈怠 抚军等将军 号为著翅人 则曰某官之力；除中散大夫 衣冠士民之族 阐业弘风 邑三百户 无复余恨 为敌所败 官员班品 初以晋公护专权 贵自洛阳率步骑二千救之 赏奴婢三百口 袭爵郑国公 过故宅 性恭谨 "宝夤深然之 未时款塞 遂宥之 拜 延绥丹三州武安伏夷安民三防诸军事 改封华阳县侯 遂徐引而还 又与晋公护废帝 不复为仇雠矣 其况作乎 "咨尔弥宣四德 诣阁陈谢 久事攻围 故当世敬慕焉 后改华州为同州 父仑以雄著勋 尽心勤公 今日获罪 岂望富贵 署官司 骠骑大将军 若攻拔河阴 "公若为忠臣 结为兄弟 字长 宽 增邑三百户 宣帝传位于帝 进位大将军 有识学 一皆禁断 延州刺史 谥曰武皇帝 由公画计 袭爵扶风郡公 九月丁丑 子都督 至自东伐 思政乃进所部都督韦孝宽 非十万不可 仍许测以便宜从事 每参预之 若大军南讨 梁人束刃于象鼻以战 齐文襄更益岳兵 远近沾洽 授军司马 封齐王 宪第四子广都公负为莒国公 又除黄门侍郎 天和二年 营于涑水 "哭数十声 太祖期寄更深 拜大都督 既属国步多虞 乃令带韦入城说循 名胡摩 己未 又别封小黄县伯 从破窦泰 语在《氐传》 梁武义之 并平之 并二总管各置宫及六府官 在于兹日 军不得进 率骑御之 孝闵帝践阼 皆幼弱 金紫光禄大夫 甚得众心 戊午 弘农华阴人也 帝先伏壮士于别室 侵渔黎庶 正七命州别驾；开府李延孙为长史杨伯兰所害 "癸巳 仪同三司 岂肯尽节于朝廷 但吴民离散 武威司马 祐性聪敏 甚礼之 并与之参详 皆有功 魏孝武初 镇小平津 万队启行 朔州大中正 破沙苑 后乃送款 "昔 于公断狱无私 先是 况大贼未平 父欣 翼谏曰 后以刚师出逾年 魏正光中 至如初置四辅官 椿擒其别帅刘持塞 寻徙豫州总管 请魏以石城为限 获郡守一人 太祖深器之 邑六百户 转内史中大夫 纪安州刺史乐广 加通直散骑常侍 去此弗图 薨于同州 帝发京师 下永安 独孤信镇洛阳 《周书》 老中数疮而退 四年 仍兼侍读 不可顿忘畴昔 或隐匿者 所向无前 劾之 "幸无所疑