微专题30函数的单调性、奇偶性、周期性答案

微专题30

1．答案：－2.

解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－0)＝－f (0)，f (－3)＝－f (3)，所以f (0)＝0，f (3)＝－2，则f (0)＋f (3)＝－2.

2．答案：f (3)＜f (－2)＜f (1)．

解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－2)＝f (2)．又任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1

＜0恒成立，则任意x 2＞x 1≥0时，f (x 2)－f (x 1)＜0，所以f (x )在[0，＋∞)上是单调递减函数．所以，f (3)＜f (－2)＜f (1)．

3．答案：－4.

解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，于是m ＝－1，所以f (－log 35)＝

－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.

4．答案：(－1，3)．

解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，所以f (x －1)＞0可化为f (|x －1|)＞f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以|x －1|＜2，解得－1＜x ＜3.

5．答案：(－2，0)∪(0，2)．

解析：因为函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函

数，f (2)＝0，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数，f (－2)＝0.由x ·f (x )＜0得，⎩⎨⎧x ＜0，f （x ）＞0，

或⎩⎨⎧x ＞0，f （x ）＜0，，即⎩⎨⎧x ＜0，－2＜x ＜0，或⎩⎨⎧x ＞0，0＜x ＜2，

所以原不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)． 6．答案：(2，3)．

解析：f ′(x )＝cos x －1－ln2(2－x ＋2x )≤cos x －1－22－

x ·2x ＝cos x －3＜0，则函数f (x )在R 上

是单调减函数．又f (－x )＝－sin x ＋x ＋1－4－x

2

－x ＝ －⎝

⎛⎭⎫sin x －x ＋1－4x 2x ＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，所以f (1－x 2)＋ f (5x －7)＜0可化为f (1－x 2)＜－f (5x －7)＝f (7－5x )，即1－x 2＞7－5x ，解得2＜x ＜3.所以，不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)＜0的解集为(2，3)．

7．答案：(1)奇函数；(2)(－∞，1)∪(4，＋∞)．

解析：(1)函数f (x )是奇函数，证明如下：由x ＋1x －1

＞0，得x ＜－1，或x ＞1，则函数 f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝

ln x 1＋1x 1－1－ln x 2＋1x 2－1＝ln （x 1＋1）·（x 2－1）（x 1－1）·（x 2＋1）＝ln x 1·x 2＋x 2－x 1－1x 1·x 2＋x 1－x 2－1 因为x 2＞x 1＞1，所以x 1·x 2＋x 2－x 1－1＞0，x 1·x 2＋x 1－x 2－1＞0，且(x 1·x 2＋x 2－x 1－1)

－(x 1·x 2＋x 1－x 2－1)＝2(x 2－x 1)＞0，

则x 1·x 2＋x 2－x 1－1x 1·x 2＋x 1－x 2－1＞1，所以f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1·x 2＋x 2－x 1－1x 1·x 2＋x 1－x 2－1

＞0，则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减函数．

因为函数f (x )是奇函数，所以f (x 2＋x ＋3)＋f (－2x 2＋4x －7)＞0可化为：f (x 2＋x ＋3)＞－f (－2x 2＋4x －7)＝f (2x 2－4x ＋7)，又x 2＋x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋122

＋114＞1，2x 2－4x ＋7＝2(x －1)2＋5＞1，函数f (x )在(1，＋∞)单调递减，所以x 2＋x ＋3＜2x 2－4x ＋7，解得x ＜1，或x ＞4，则原不等式的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)．

8．答案：(1)非奇非偶函数；(2)增函数；(3)[0，＋∞)．

解析：(1)由二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，得a ＞0且4ac －164a

＝0，解得ac ＝4.∵f (1)＝a ＋c －4，f (－1)＝a ＋c ＋4，a ＞0且c ＞0，从而f (－1)≠

f (1)，f (－1)≠－f (1)，∴此函数是非奇非偶函数．

(2)函数的单调递增区间是),2[+∞a

设x 1，x 2是满足x 2＞x 1≥2a 的任意两个数，从而有x 2－2a ＞x 1－2a

≥0，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2a 2＞⎝⎛⎭⎫x 1－2a 2.又a ＞0，∴a ⎝⎛⎭⎫x 2－2a 2＞a ⎝⎛⎭⎫x 1－2a 2，从而a ⎝⎛⎭⎫x 2－2a 2＋c －4a

＞ a ⎝⎛⎭⎫x 1－2a 2＋c －4a

，即ax 22－4x 2＋c ＞ax 12－4x 1＋c ，从而f (x 2)＞f (x 1)，∴函数在⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞上单调递增．

(3)f (x )＝ax 2－4x ＋c ，又a ＞0，x 0＝2a ，x ∈[1，＋∞)．当x 0＝2a

≥1，即0＜a ≤2时，最小值 g (a )＝f (x 0)＝0.当x 0＝2a

＜1，即a ＞2时，最小值g (a )＝ f (1)＝a ＋c －4＝a ＋4a －4.综上，最小值g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜a ≤2，a ＋4a

－4，a ＞2， 当0＜a ≤2时，最小值g (a )＝0；当a ＞2时，最小值

g (a )＝a ＋4a

－4∈(0，＋∞)，综上y ＝g (a )的值域为[0，＋∞)．