微专题30函数的单调性、奇偶性、周期性答案
2022高考数学一轮复习—函数的单调性、奇偶性、周期性习题含答案
函数的单调性与最值[A 组 基础保分练]1.下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（ ）A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln （x ＋1）D.y ＝2－x解析：函数y ＝11－x，y ＝ln （x ＋1）在（－1，1）上都是增函数，函数y ＝cos x 在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，而函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在（－1，1）上是减函数. 答案：D2.函数y ＝x 2－2x ＋3有（ ） A.最小值2 B.最小值2 C.最大值2 D.最大值2解析：易知y ＝（x －1）2＋2，因为（x －1）2＋2≥2，所以y ≥ 2. 答案：B3.函数f （x ）＝11－x （1－x ）的最大值是（ ）A.45B.54C.34D.43解析：由f （x ）＝1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，则f （x ）max ＝43.答案：D4.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞）时，f （x ）是增函数，则f （－2），f （π），f （－3）的大小关系是（ ） A.f （π）＞f （－3）＞f （－2） B.f （π）＞f （－2）＞f （－3） C.f （π）＜f （－3）＜f （－2） D.f （π）＜f （－2）＜f （－3）解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－3）＝f （3），f （－2）＝f （2）.又因为函数f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，所以f （π）＞f （3）＞f （2），即f （π）＞f （－3）＞f （－2）. 答案：A5.函数f （x ）＝log a （x 2－4x －5）（a ＞1）的单调递增区间是（ ） A.（－∞，－2） B.（－∞，－1） C.（2，＋∞） D.（5，＋∞）解析：根据题意，得x 2－4x －5＞0，解得x ＜－1或x ＞5，设u ＝x 2－4x －5＝（x －2）2－9，易知u ＝x 2－4x －5的单调递增区间为（2，＋∞），所以f （x ）＝log a （x 2－4x －5）的单调递增区间是（5，＋∞）. 答案：D6.已知函数f （x ）＝log 2x ＋11－x，若x 1∈（1，2），x 2∈（2，＋∞），则（ ）A.f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B.f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C.f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D.f （x 1）＞0，f （x 2）＞0解析：因为函数f （x ）＝log 2x ＋11－x在（1，＋∞）上为增函数，且f （2）＝0，所以当x 1∈（1，2）时，f （x 1）＜f （2）＝0；当x 2∈（2，＋∞）时，f （x 2）＞f （2）＝0， 即f （x 1）＜0，f （x 2）＞0. 答案：B7.函数f （x ）＝xx －1（x ≥2）的最大值为__________.解析：易得f （x ）＝x x －1＝1＋1x －1，当x ≥2时，x －1＞0，易知f （x ）在[2，＋∞）上是减函数，∴f （x ）max ＝f （2）＝1＋12－1＝2.答案：28.设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f （x ）在区间（a ，a ＋1）上是增加的，则实数a 的取值范围是__________.解析：作出函数f （x ）的图像如图所示，由图像可知f （x ）在（a ，a ＋1）上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案：（－∞，1]∪[4，＋∞）9.已知f （x ）＝xx －a（x ≠a ）.（1）若a ＝－2，试证f （x ）在（－∞，－2）上单调递增；（2）若a ＞0且f （x ）在（1，＋∞）上单调递减，求a 的取值范围. 解析：（1）证明：设x 1＜x 2＜－2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为（x 1＋2）（x 2＋2）＞0，x 1－x 2＜0，所以f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（－∞，－2）上单调递增. （2）设1＜x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f （x 1）－f （x 2）＞0， 只需（x 1－a ）（x 2－a ）＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是（0，1].[B 组 能力提升练]1.下列函数f （x ）中，满足“对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞）时，均有（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0”的是（ ）A.f （x ）＝12B.f （x ）＝x 2－4x ＋4C.f （x ）＝2xD.f （x ）＝log 12x解析：（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0等价于x 1－x 2与f （x 1）－f （x 2）正负号相同，故函数f（x ）在（0，＋∞）上单调递增.显然只有函数f （x ）＝2x 符合. 答案：C2.已知函数f （x ）满足f （x －1）＝f （5－x ），且对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，若p ＝f （log 216），q ＝f （log 47），m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1525，则p ，q ，m 的大小关系为（ ） A.q ＜m ＜p B.p ＜m ＜q C.q ＜p ＜m D.p ＜q ＜m 解析：∵f （x －1）＝f （5－x ），∴函数f （x ）的图像关于直线x ＝2对称.又对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，∴f （x ）在区间[2，＋∞）上单调递减，在（－∞，2）上单调递增.∵log 216＝4，∴f （log 216）＝f （4）＝f （0），又1＜log 47＜log 48＝32，0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1，∴0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1＜log 47＜2，∴p ＜m ＜q . 答案：B3.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x －（2⊕x ），x ∈[－2，2]的最大值等于（ ） A.－1 B.1 C.6 D.12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f （x ）＝x －2，当1<x ≤2时，f （x ）＝x 3－2， 因为f （x ）＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f （x ）≤f （1）＝－1，因为f （x ）＝x 3－2在（1，2]上是增函数，所以f （x ）≤f （2）＝6，所以f （x ）max ＝f （2）＝6. 答案：C4.（2021·西安模拟）已知函数y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.（0，1] B.[1，2] C.[1，＋∞） D.[2，＋∞）解析：要使y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则a ＞0且a －1≥0，∴a ≥1. 答案：C5.（2021·衡阳模拟）若函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝（ ） A.－1 B.1 C.0 D.±1解析：∵函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a ， ∴函数f （x ）的定义域为[a ，＋∞）. ∵函数f （x ）的定义域与值域相同， ∴函数f （x ）的值域为[a ，＋∞）.又∵函数f （x ）在[a ，＋∞）上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f （a ）＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1. 答案：B6.函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________.解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－（x －1）2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，二次函数的图像如图所示，由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞）.答案：[－1，0]，[1，＋∞）7.设f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为__________.解析：因为当x ≤0时，f （x ）＝（x －a ）2，f （0）是f （x ）的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f （x ）＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f （0）是f （x ）的最小值，需2＋a ≥f （0）＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， 所以a 的取值范围是[0，2]. 答案：[0，2]8.已知函数f （x ）＝x 2＋a |x －2|－4.（1）当a ＝2时，求f （x ）在[0，3]上的最大值和最小值；（2）若f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，求实数a 的取值范围.解析：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2，x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2，（x －1）2－1，x ＜2，当x ∈[0，2）时，－1≤f （x ）≤0，当x ∈[2，3]时，0≤f （x ）≤7， 所以f （x ）在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.（2）因为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2，x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，所以当x ＞2时，f （x ）单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1≤x ≤2时，f （x ）单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2].[C 组 创新应用练]1.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在（－∞，m ）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A.（－2，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－∞，－2） D.（－∞，－2]解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝（x －1）（x ＋3）－2×（－x ）＝x 2＋4x －3＝（x ＋2）2－7，∴f （x ）的单调递减区间为（－∞，－2）， ∵函数f （x ）在（－∞，m ）上单调递减， ∴（－∞，m ）⊆（－∞，－2），即m ≤－2. 答案：D2.如果函数y ＝f （x ）在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f （x ）是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数f （x ）＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ） A.[1，＋∞） B.[0，3] C.[0，1] D.[1，3]解析：因为函数f （x ）＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x .令g （x ）＝12x －1＋32x （x ≥1），则g ′（x ）＝12－32x 2＝x 2－32x2，由g ′（x ）≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3].答案：D3.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f （x ）满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f （x 1）－f （x 2），且当x ＞1时，f （x ）＞0，f （3）＝1.（1）判断f （x ）的单调性；（2）解关于x 的不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2；（3）若f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解析：（1）设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1，因为当x ＞1时，f （x ）＞0，所以f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＞0， 所以f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在区间（0，＋∞）上为增函数.（2）在f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2中， 令x 1＝9，x 2＝3，所以f （9）－f （3）＝f （3）. 又f （3）＝1，所以f （9）＝2.所以不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2，可转化为f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f （9）， 所以f （3x ＋6）＞f （9）－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f （9x ）， 由函数f （x ）为（0，＋∞）上的增函数，可得3x ＋6＞9x ＞0，所以0＜x ＜1， 所以原不等式的解集为（0，1）.（3）因为函数f （x ）在（0，3]上是增函数， 所以f （x ）在（0，3]上的最大值为f （3）＝1，所以不等式f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立. 设g （a ）＝－2ma ＋m 2，所以需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）.函数的奇偶性与周期性[A 组 基础保分练]1.（2021·石家庄模拟）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）A.y ＝1xB.y ＝|x |－1C.y ＝lg xD.y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：∵函数y ＝|x |－1和y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，其中y ＝|x |－1在（0，＋∞）上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在（0，＋∞）上单调递减.答案：B2.若函数f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）为偶函数，则实数a ＝（ ） A.0 B.1 C.－1 D.2 解析：f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）＝x 2＋（2－a ）x －2a 为偶函数，则2－a ＝0，即a ＝2. 答案：D3.已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝2x ＋m ，则f （－2）＝（ ）A.－3B.－54C.54D.3 解析：因为f （x ）为R 上的奇函数，所以f （0）＝0，即f （0）＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f （－2）＝－f （2）＝－（22－1）＝－3. 答案：A4.已知函数f （x ）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a ，b ]（a ＜b ＜0）上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上（ ） A.有最大值4 B.有最小值－4 C.有最大值－3 D.有最小值－3解析：根据题意作出y ＝f （x ）的简图如图所示，由图知，选B.答案：B5.定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ＋3）＝f （x ）.若f （2）＞1，f （7）＝a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.（－∞，－3） B.（3，＋∞） C.（－∞，－1） D.（1，＋∞） 解析：因为f （x ＋3）＝f （x ），所以f （x ）是定义在R 上的以3为周期的周期函数，所以f （7）＝f （7－9）＝f （－2）.又因为函数f （x ）是偶函数， 所以f （－2）＝f （2），所以f （7）＝f （2）＞1， 所以a ＞1，即a ∈（1，＋∞）. 答案：D6.已知函数y ＝f （x ），满足y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数，且f （1）＝π3，设F （x ）＝f （x ）＋f （－x ），则F （3）＝（ ） A.π3 B.2π3C.πD.4π3解析：由y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数知，f （－x ）＝f （x ），f （x ＋2）＝f （－x ＋2）＝f （x －2），故f （x ）＝f （x ＋4），则F （3）＝f （3）＋f （－3）＝2f （3）＝2f （－1）＝2f（1）＝2π3.答案：B7.若函数f （x ）＝x ln （x ＋a ＋x 2）为偶函数，则a ＝__________.解析：因为f （x ）为偶函数，所以f （－x ）－f （x ）＝0恒成立，所以－x ln （－x ＋a ＋x 2）－x ln （x ＋a ＋x 2）＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1. 答案：18.（2021·乐山模拟）已知函数f （x ）满足：f （－x ）＋f （x ）＝0，且当x ≥0时，f （x ）＝2＋m2x－1，则f （－1）＝__________. 解析：因为f （－x ）＋f （x ）＝0， 所以f （x ）为奇函数，又当x ≥0时，f （x ）＝2＋m2x －1，则f （0）＝2＋m1－1＝0，所以m ＝－1.所以当x ≥0时，f （x ）＝12x －1，所以f （－1）＝－f （1）＝－⎝⎛⎭⎫12－1＝12.答案：129.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f （x ）在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析：（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f （－x ）＝－（－x ）2＋2（－x ）＝－x 2－2x . 又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），于是x ＜0时，f （x ）＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. （2）要使f （x ）在[－1，a －2]上单调递增，结合f （x ）的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是（1，3].[B 组 能力提升练] 1.已知函数f （x ）＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f （lg 3）＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝（ ） A.13 B.－13C.5D.8解析：因为f （x ）＝a sin x ＋b 3x ＋4，则f （－x ）＝－a sin x －b 3x ＋4，所以f （x ）＋f （－x ）＝8，由于f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f （－lg 3），因此f （lg 3）＋f （－lg 3）＝8，即3＋f （－lg 3）＝8，所以f （－lg 3）＝5，即f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f （－lg 3）＝5. 答案：C2.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时f （x ）＝log 2（x ＋2）＋x ＋b ，则|f （x ）|＞3的解集为（ ）A.（－∞，－2）∪（2，＋∞）B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.（－2，2）D.（－4，4）解析：由题意知，f （0）＝1＋b ＝0，所以b ＝－1，所以f （x ）＝log 2（x ＋2）＋x －1，所以f （2）＝3，且该函数在R 上单调递增.因为|f （x ）|＞3＝f （2），所以f （x ）＞f （2）或f （x ）＜－f （2）＝f （－2），所以x ＞2或x ＜－2. 答案：A3.设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1－x ），则f ⎝⎛⎭⎫－52等于（ ） A.－12 B.－14C.14D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 答案：A4.（2021·郴州模拟）已知f （x ）是定义在[2b ，1－b ]上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则f （x －1）≤f （2x ）的解集为（ ）A.⎣⎡⎦⎤－1，23B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.[－1，1] D.⎣⎡⎦⎤13，1解析：因为f （x ）是定义在[2b ，1－b ]上的偶函数，所以2b ＋1－b ＝0，所以b ＝－1，因为f （x ）在[2b ，0]上为增函数，即函数f （x ）在[－2，0]上为增函数，故函数f （x ）在（0，2]上为减函数，则由f （x －1）≤f （2x ），可得|x －1|≥|2x |，即（x －1）2≥4x 2，解得－1≤x ≤13.又因为定义域为[－2，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤3，－1≤x ≤1.综上，－1≤x ≤13.答案：B5.已知偶函数f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，则对任意实数a ，b ，“a ＞|b |”是“f （a ）＞f （b ）”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为f （x ）为偶函数，所以f （x ）＝f （－x ）＝f （|x |），由于f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，因此若a ＞|b |≥0，则f （a ）＞f （|b |），即f （a ）＞f （b ），所以a ＞|b |是f （a ）＞f （b ）的充分条件；若f （a ）＞f （b ），则f （|a |）＞f （|b |），可得|a |＞|b |≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a ＞|b |，则a ＞|b |不是f （a ）＞f （b ）的必要条件，所以“a ＞|b |”是“f （a ）＞f （b ）”的充分不必要条件. 答案：A 6.函数y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且函数f （x ＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A.f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f ⎝⎛⎭⎫72 B.f ⎝⎛⎭⎫72＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52 C.f ⎝⎛⎭⎫72＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f （1） D.f ⎝⎛⎭⎫52＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫72 解析：因为函数f （x ＋2）是偶函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ＋2）， 所以函数f （x ）的图像关于x ＝2对称，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.因为y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且12＜1＜32，所以f ⎝⎛⎭⎫12＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52. 答案：B7.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）＝f （2－x ）及f （x ）＝－f （－x ），且在[0，1]上有f （x ）＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝__________. 解析：函数f （x ）的定义域是R ，f （x ）＝－f （－x ），所以函数f （x ）是奇函数.又f （x ）＝f （2－x ），所以f （－x ）＝f （2＋x ）＝－f （x ），所以f （4＋x ）＝－f （2＋x ）＝f （x ），故函数f （x ）是以4为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝f ⎝⎛⎭⎫2 020－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12.因为在[0，1]上有f （x ）＝x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14，故f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝－14. 答案：－148.（2021·柳州模拟）已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x ＋6）＋f （x ）＝2f （3），y ＝f （x －1）的图像关于点（1，0）对称且f （2）＝4，则f （22）＝__________.解析：因为y ＝f （x －1）的图像关于点（1，0）对称，所以y ＝f （x ）的图像关于点（0，0）对称，即函数f （x ）为奇函数，由f （x ＋6）＋f （x ）＝2f （3）得，f （x ＋12）＋f （x ＋6）＝2f （3），所以f （x ＋12）＝f （x ），T ＝12，因此f （22）＝f （－2）＝－f （2）＝－4. 答案：－49.已知函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）＋f （－x ）＝0，f （x －1）＝f （x ＋1），若当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x ＋b （a ＞0且a ≠1），且f ⎝⎛⎭⎫32＝12. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）的值域. 解析：（1）因为f （x ）＋f （－x ）＝0， 所以f （－x ）＝－f （x ），即f （x ）是奇函数. 因为f （x －1）＝f （x ＋1），所以f （x ＋2）＝f （x ）， 即函数f （x ）是周期为2的周期函数， 所以f （0）＝0，即b ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝1－a ＝12， 解得a ＝14.（2）当x ∈[0，1）时f （x ）＝a x＋b ＝⎝⎛⎭⎫14x －1∈⎝⎛⎦⎤－34，0， 由f （x ）为奇函数知，当x ∈（－1，0）时，f （x ）∈⎝⎛⎭⎫0，34， 又因为f （x ）是周期为2的周期函数，所以当x ∈R 时，f （x ）∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 设t ＝f （x ）∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 所以g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）＝t 2＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 即g （x ）＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14∈⎣⎡⎭⎫－14，2116.故函数g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2116. [C 组 创新应用练]1.（2021·兰州模拟）对任意实数x ，定义[x ]为不大于x 的最大整数（例如[3.4]＝3，[－3.4]＝－4等）.设函数f （x ）＝x －[x ]，给出下列四个结论：①f （x ）≥0；②f （x ）＜1；③f （x ）是周期函数；④f （x ）是偶函数.其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析：由题意有[x ]≤x ＜[x ]＋1，∴f （x ）＝x －[x ]≥0，且f （x ）＜1，∴①②正确；∵f （x ＋1）＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－（[x ]＋1）＝x －[x ]＝f （x ），∴f （x ）为周期函数，③正确；∵f （－0.1）＝－0.1－[－0.1]＝－0.1－（－1）＝0.9，f （0.1）＝0.1－[0.1]＝0.1－0＝0.1≠f （－0.1），∴f （x ）不是偶函数，④错误. 答案：C2.（2019·高考全国卷Ⅱ）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x ＋1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1] 时，f （x ）＝x （x －1）.若对任意x ∈（－∞，m ]，都有f （x ）≥－89，则m 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎦⎤－∞，94B.⎝⎛⎦⎤－∞，73C.⎝⎛⎦⎤－∞，52D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 解析：当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x －1），∴当x ∈（0，1]时，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－14，0. ∵f （x ＋1）＝2f （x ），∴当x ∈（－1，0]时，x ＋1∈（0，1]，f （x ）＝12f （x ＋1）＝12（x ＋1）x ，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－18，0； 当x ∈（－2，－1]时，x ＋1∈（－1，0]，f （x ）＝12f （x ＋1）＝14f （x ＋2）＝14（x ＋2）（x ＋1），f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－116，0； …；当x ∈（1，2]时，x －1∈（0，1]，f （x ）＝2f （x －1）＝2（x －1）（x －2），f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－12，0； 当x ∈（2，3]时，x －1∈（1，2]，f （x ）＝2f （x －1）＝4f （x －2）＝4（x －2）（x －3），f （x ）∈[－1，0]； ….f （x ）的图像如图所示.11若对任意x ∈（－∞，m ]，都有f （x ）≥－89，则有2＜m ≤3. 设f （m ）＝－89，则4（m －2）（m －3）＝－89， ∴m ＝73或m ＝83.结合图像可知，当m ≤73时，符合题意. 答案：B3.（2021·湘潭模拟）已知定义在R 上的偶函数y ＝f （x ＋2）的图像连续，当x ＞2时，函数y＝f （x ）是单调函数，则满足f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4的所有x 之积为__________. 解析：因为函数y ＝f （x ＋2）是连续的偶函数，所以直线x ＝0是它的图像的对称轴，所以直线x ＝2就是函数y ＝f （x ）图像的对称轴.因为f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4，所以x ＝1－1x ＋4或x ＋1－1x ＋4＝4.由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋3x －3＝0，设方程的两根为x 1，x 2，所以x 1x 2＝－3；由x ＋1－1x ＋4＝4，得x 2＋x －13＝0，设方程的两根为x 3，x 4，所以x 3x 4＝－13.所以x 1x 2x 3x 4＝39. 答案：39。
函数单调性奇偶性周期性
函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;2、三角函数的周期①π==T x y :tan ,||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析一考查一般函数的奇偶性例1、 设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称二考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性122(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由； 变式4、判断下下列函数的奇偶性121()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩三考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲例4、 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间 例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log 4x-x 2的单调区间.五考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<-变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．六考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;变式10、已知函数()f x 满足：()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ,验证fa ±f －a ≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.◆课后强化1.若函数2()()af x x a x=+∈R ,则下列结论正确的是A ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ,()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ,()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈0,+∞,当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A 13,23B 13,23C 12,23D 12,234.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 255.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间0,2上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则 A.—2 C.—987、设fx 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,fx=2x +2x+bb 为常数,则f-1= A 3 B 1 C-1 D-38、给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间0,1上单调递减的函数序号是A ①②B ②③C ③④D ①④9、若函数fx =3x +3-x 与gx =3x -3-x 的定义域均为R,则A ．fx 与gx 均为偶函数 B. fx 为偶函数,gx 为奇函数 C ．fx 与gx 均为奇函数 D. fx 为奇函数,gx 为偶函数 10、11、设函数fx=xe x +ae -x x ∈R 是偶函数,则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若f a ＝M, 则f －a 等于A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f x 是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f x ＝x 2－2 x, 则在R 上f x 的表达式为A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D. ) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f )1,0≠>a a 是减函数,则a 的取值范围是 A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是 A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)718．若fx=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间1,2上都是减函数,则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．0,1D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数fx 满足fx =fx +2,当x ∈3,5时,fx =2－|x －4|,则A ．f sin 6π<f cos 6πB ．f sin1>f cos1C ．f cos 32π<f sin 32πD ．f cos2>f sin224．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+3=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程)(x f =0在区间0,6内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ()sin f x x =B ()1f x x =-+C ()1()2x x f x a a -=+D 2()ln 2xf x x-=+ 28．若函数fx=121+X , 则该函数在-∞,+∞上是A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值 29．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a ＝A0 B1 C －1 D ±131．若函数fx 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f 2=0,则使得fx <0的x 的取值范围是A -∞,2B 2,+∞C -∞,-2⋃2,+∞D -2,232．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()()f x f x -是奇函数 B ()()f x f x -是奇函数 C ()()f x f x --是偶函数 D ()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设fx 是定义在R 上的奇函数,且y=f x 的图象关于直线21=x 对称,则f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f 5=______________.36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则a = . 37、函数fx =111122+++-++x x x x 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数fx 在R 上为增函数,则y =f |x +1|的一个单调递减区间是_________. 39、若fx 为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f －3=0,则xfx <0的解集为_________.40、如果函数fx 在R 上为奇函数,在－1,0上是增函数,且fx +2=－fx ,试比较f 31,f 32,f 1的大小关系______41、已知函数y =fx =cbx ax ++12 a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图象上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．1判断()f x 的奇偶性；2当1a >时,判断()f x 的单调性,并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,()30f =,则不等式()0f x ≥的解集是 ．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数,则实数a 的值为 ． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围分别是 ． 47、已知对于任意实数x ,函数()f x 满足()()f x f x -=,若方程()0f x =有2009个实数解,则这2009个实数解之和为 ．◆详细解析 例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：12222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数;2()f x 的定义域由240|3|30x x ⎧-≥⎨--≠⎩确定,解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩且∴定义域为[2,0)(0,2]-关于原点对称∴()f x x =-∵()()f x f x x-==- 故()f x 为奇函数 变式3、解：1当0=a 时,2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠，,取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．变式4、解：1由101x x ->+解得1,1x x <->或,则定义域关于原点对称; ∵222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+ ∴()f x 为奇函数 21,01,0()()1,01,0x x x x f x f x x x x x --->--<⎧⎧-===⎨⎨--≤-≥⎩⎩,故()f x 为偶函数;例3、证明： ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0, ∴f0=f0+f0,得f0=0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx, ∴fx 为奇函数. 变式5A 、C变式5B 、证明：令0x y ==,可得(0)0f =；令y x =-,可得()()()f x x xf x xf x -=--即(0)[()()]0f x f x f x =--= 又x R ∈ ∴()()f x f x -- ∴()f x 是偶函数例4、解：'22ln 1(),ln x f x x x +=-其中01x x >≠且若 '()0,f x < 则 1x e >,此时()f x 单调递减,故减区间为1(,1),(1,)e +∞；若 '()0,f x > 则 1x e <,此时()f x 单调递增,故增区间为1(0,)e；变式6、解析()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 例5、解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则fx=12-x ,可分解成两个简单函数.fx=)(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,ux 为增函数,)(x u 为增函数.∴fx=12-x 在1,+∞上为增函数.当x ≤-1时,ux 为减函数,)(x u 为减函数,∴fx=12-x 在-∞,-1上为减函数.变式7、解： 由4x-x 2＞0,得函数的定义域是0,4.令t=4x-x 2,则y=21log t.∵t=4x-x 2=-x-22+4,∴t=4x-x 2的单调减区间是2,4,增区间是0,2.又y=21log t 在0,+∞上是减函数,∴函数y=21log 4x-x 2的单调减区间是0,2,单调增区间是2,4.例6、答案:A. 解析:由2121()(()())0x x f x f x -->等价,于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 变式8、D例6B 、解：∵32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增 ∴2()320f x x ax a '=+-≥在区间(1,)+∞上恒成立 即2(21)3x a x -≥-在区间(1,)+∞上恒成立 ∵210x ->∴2321x a x ≥--在区间(1,)+∞上恒成立 只要满足2max 3()21x a x ≥-- ∵23333334[(21)](2)321422142x x x x -=--++≤-⨯+=--- ∴3a ≥-变式9、2解：∵)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∴ ()0f x '≥在[2)x ∈+∞，上恒成立即32202a x a x x-≥≤即在[2)x ∈+∞，上恒成立,故只要满足3min (2)a x ≤显然33min (2)2216x =⋅= a ∴的取值范围是(16]-∞，． 例7、解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+;变式10、解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ,寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有fn=fn+1+fn-1,同理fn+1=fn+2+fn 联立得fn+2= —fn-1 所以T=6 故()2010f =f0=21变式11、解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ,∴()()()()002246=-==+=f f f f ,故选择B; 1、答案：C 解析对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确;3、答案A 解析由于fx 是偶函数,故fx ＝f|x|∴得f|2x －1|＜f 13,再根据fx 的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜234、答案A 解析若x ≠0,则有)(1)1(x f xx x f +=+,取21-=x ,则有： )21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= ∵)(x f 是偶函数,则)21()21(f f =- 由此得0)21(=f 于是, 0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 5、解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.6、选A7、答案D8、答案：B9、D ．()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．10、11、解析 gx=e x +ae -x 为奇函数,由g0=0,得a =－1;12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D30、A 33.()+∞,2;()1,-∞- 34.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21;⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 36.22 37、答案：C 解析：f －x =－fx ,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令t =|x +1|,则t 在－∞,－1]上递减,又y =fx 在R 上单调递增,∴y =f |x +1|在－∞,－1]上递减.答案：－∞,－1]39、答案：－3,0∪0,3 解析：由题意可知：xfx ＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈－3,0∪0,3 40、答案：f 31＜f 32＜f 1 解析：∵fx 为R 上的奇函数∴f 31=－f －31,f 32=－f －32,f 1=－f －1,又fx 在－1,0上是增函数且－31> －32>－1. ∴f －31>f －32>f －1,∴f 31＜f 32＜f 1.41、解：1∵fx 是奇函数,∴f －x =－fx ,即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴fx =bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ,当且仅当x =a1时等号成立,于是22ba =2,∴a =b 2,由f 1＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴fx =x +x1.2设存在一点x 0,y 0在y =fx 的图象上,并且关于1,0的对称点2－x 0,－y 0也在y =fx 图象上,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =fx 图象上存在两点1+2,22,1－2,－22关于1,0对称.42、解：1由()f x 的定义域为R ,关于原点对称()()1111x xx xa a f x f x a a -----===-++得()f x 为R 上的奇函数 2证明：12x x ∀<∈R ,则由1a >得12x x a a <()()()()()()()12121212122121101111x x x x x x x x a a a a f x f x f x f x a a a a ----=-=<⇒>++++ ∴当1a >时,()f x 在R 上单调递增 43、(][),33,-∞-+∞ 44、[)1,3 45、1 46、00且a b >≤ 47、0。
函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题
函数的性质知识要点一、函数的奇偶性1．定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则f(x)是奇函数。
3．简单性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；（2）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇（3）任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 和的形式，则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-== 。
4． 奇偶函数图象的对称性(1)若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；(2)若)(x b f y +=是奇函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：（1） 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数，函数()x x f x a a -=- 是奇函数；（2）函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数；（3）函数1()log 1a x f x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数；（4）函数()log (a f x x = (0a > 且1)a ≠是奇函数。
函数的基本性质奇偶性、单调性、周期性、对称性
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
微专题30 三角函数中的ω取值与范围问题(解析版)
微专题30 三角函数中的ω取值与范围问题【方法技巧与总结】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 432(1)(3)(24)T b a k Tk a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点 ⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n Tn T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==-． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b -≤.【题型归纳目录】题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值 题型二：三角函数与零点 题型三：三角函数性质综合应用 【典型例题】题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值例1．若函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>在区间[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．10(0,]3B ．2(0,]3C ．210[,]33D ．10[,)3+∞【解析】解：当44xππ-，时，44x ππωωω-，34343x πππππωωω-++，要使()f x 在[4π-，]4π上单调递增， 则342432πππωπππω⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，得，得10323ωω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又0ω>， 203ω∴<． 故选：B ．例2．已知()sin 3(0)f x x x ωωω=>在区间[,]64ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．(0，2]3B ．(0，2][73，26]3C ．[7，2650][,19]33D ．(0，250][,19]33【解析】解：()sin 3cos 2sin()3f x x x x πωωω=+=+，由22232k x k ππππωπ-++，k Z ∈，得52266k x k πππωπ-+，k Z ∈，即52266k k xππππωω-+，即函数的单调递增区间为526[k ππω-，26]k ππω+，k Z ∈，()f x 在区间[,]64ππ上单调递增，∴5266264k k πππωπππω⎧-⎪⎪⎪⎨⎪+⎪⎪⎩，即125283k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩，即212583k k ω-+，0ω>，∴当0k =时253ω-，此时203ω<， 当1k =时，2673ω， 当2k =时，219163ω+，此时不成立， 综上ω的范围是203ω<或2673ω， 即(0，2][73，26]3，故选：B ．例3．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[4π-，2]3π上单调递增，则ω的取值范围为( )A ．(0，8]3B ．(0，1]2C ．1[2，8]3D ．3[8，2]【解析】解：函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[4π-，2]3π上单调递增，∴246222362k k πωπππωππππ⎧-+-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩，k Z ∈解得：883132k k ωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩ 0ω>，当0k =时，可得：102ω<． 故选：B ．变式1．若函数()sin()(0)4f x x πωω=->在区间(0,)2π上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．(0，3]2B ．[1，3]2C ．[1，2]D ．(0，2]【解析】解：由22242k x k ππππωπ-+-+，得232,44k k x k Z ππππωωωω-++∈， 取0k =，得344xππωω-， 函数()sin()(0)4f x x πωω=->在区间(0,)2π上单调递增，∴342ππω，即32ω． 又0ω>，ω∴的取值范围是(0，3]2．故选：A ．变式2．为了使sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( ) A ．98πB ．1972πC ．1992πD ．100π【解析】解：使sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现50次最大值 14914T ∴⨯，即197214πω⨯，1972πω∴． 故选：B ．变式3．（多选题）已知R ω∈，函数2()(3)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【解析】解：根据题意，2()(3)sin()f x x x ω=-⋅，则2()(3)sin[()]f x a x a x a ω+=+-+， 若()f x a +为偶函数，则30a -=且sin[()]sin[()]x a x a ωω+=-+， 则3a =，sin cos cos sin cos sin sin cos x a x a x a x a ωωωωωωωω+=-， 必有cos 0a ω=，则32k πωπ=+，必有36k ππω=+，()k Z ∈ 当0k =时，6πω=，当1k =时，2πω=，故选：AD ．变式4．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图，则ω= 4 ．【解析】解：由函数的图象可知，0(x ，0)y 与0(4x π+，0)y -，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期002()42T x x ππ=+-=，所以22T ππω==，所以4ω=．故答案为：4．变式5．为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现4次最大值，则ω的最小值是132π． 【解析】解：为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现4次最大值，则ω取得最小值时，需有2233144T T ππωω+=⨯+=⨯， 解得132πω=， 故答案为132π． 变式6．已知函数sin()(0y A x A ωϕ=+≠，0)ω>在(4π，)3π上单调，其图象经过点(4π，0)，且有一条对称轴为直线4x π=-，则ω的最大值是 5 ．【解析】解：因为函数图象经过点(,0)4π，所以14k πωϕπ+=，1k Z ∈，①因为直线4x π=-为函数的一条对称轴，所以242k ππωϕπ-+=+，2k Z ∈，②①-②可得12()22k k ππωπ=-+-，即1212()k k ω=-+-，由12k k Z -∈，0ω>，可得1ω=，3，5，⋯， 因为函数sin()y A x ωϕ=+在(,)43ππ上单调，所以434T ππ-，即212ππω，解得6ω，所以ω的最大值是5． 故答案为：5．题型二：三角函数与零点 例4．已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内有零点，则ω的取值范围是( )A ．1(4，55)(84⋃，)+∞B ．(0，15][48，1)C ．1(8，15)(48⋃，5)4D ．1(8，15)(48⋃，)+∞【解析】解：1cos sin 12()222x x f x ωω-=+-= ()4x πω-，由()0f x =，可得(41)()4k x k Z πω+=∈， 令2ω=得函数()f x 有一零点9(,2)8x πππ=∈，排除（B ）、（C ）， 令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：123x π=，2103x π，⋯显然1(,2)x ππ∉，2(,2)x ππ∉，可排除（A ）， 故选：D ．例5．已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x ωωω+-，(0,)x R ω>∈，若函数()f x 在区间(,)2ππ内没有零点，则ω的取值范围( )A ．(0，5]12B ．(0，5511][,]12612C ．(0，5]8D ．511(0,][,1)612【解析】解：函数21()3sin cos cos 2f x x x ωωω+-， 31cos21222x x ωω+=+-， sin(2)6x πω=+，函数()f x 在区间(,)2ππ内没有零点，所以：()()02f f ππ⋅>，即：sin()sin(2)066πππωωπ+⋅+>，所以：①sin()06sin(2)06ππωπωπ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：5(0,]12ω∈， ②sin()06sin(2)06ππωπωπ⎧+<⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得：511[,]612ω∈，综上所述：(0ω∈，5511][,]12612， 故选：B ．例6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，且()f x 在区间(0,)4π上恰有两个零点，则ω的取值范围是( ) A ．(6,10)B ．(6,8)C ．(8,10)D ．(6,12)【解析】解：依题意得()4f π为()f x 的最大值1，∴242k ππωϕπ+=+，k Z ∈，(0,)ϕπ∈，(82,82)k k k Z ω∴∈-+∈①又()f x 在区间(0,)4π上恰有两个零点，5044T π∴-，且3044T π<-，即53T ππ<，即253πππω<，解得610ω<，②∴由①②(6,10)ω∈．故选：A ．变式7．已知函数231()cos (0,)22xf x x x R ωωω=+->∈，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．5(0,]12B ．5(0,)6C ．5511(0,][,]12612D ．5511(0,](,]12612⋃ 【解析】解：13()cos sin()26f x x x x πωωω==+．令6x k πωπ+=可得6k x ππωω=-+，k Z ∈． 令26k ππππωω<-+<解得11266k ωω+<<+， 函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，∴区间1(6ω+，12)6ω+内不存在整数． 又2122ππππω-=，1ω∴， 又0ω>， 1(6ω∴+，12)(06ω+⊂，1)或1(6ω+，12)(16ω+⊂，2)．1216ω∴+或1112266ωω+<+， 解得5012ω<或511612ω． 故选：C ．变式8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，且()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，则ω的取值范围是 (6,10) ．【解析】解：函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，()14f π∴=，∴242k ωππϕπ+=+，k Z ∈，224k πωπϕπ∴=+-，k Z ∈．结合ϕ的范围，可得0k =或1k =． ①当0k =时，24πωπϕ=-，由0ω>，且(0,)ϕπ∈，可得(0ω∈，2 )． ()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，3(,)8x ωπωϕϕϕ+∈+， 3348πωπϕπ∴<+，即334824πωππωππ<+-，即57282πωππ<，即2028ω<． 综合可得，ω∈∅． ②当1k =时，522424πωππωπϕπ=+-=-， 由0ω>，且(0,)ϕπ∈，可得(6ω∈，10 )． ()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，3(,)8x ωϕϕωπϕ+∈+， 3348πωπϕπ∴<+，即3534824πωππωππ<+-，即412ω<．综合可得，此时，(6,10)ω∈． 综上，结合①②可得，(6,10)ω∈， 故答案为：(6,10)． 变式9．已知函数1()2cos sin()(0)2262xx f x ωωπω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 (0，5511][,]12612． 【解析】解：由1()2cos (sincoscossin )226262xxxf x ωωπωπ=+- 21313sincoscos sin()222226xxxcos x x x ωωωπωωω=+-=+=+． ()f x 在区间(,2)ππ内没有零点， 2ππππω∴-=，可得01ω<． 当(,2)x ππ∈时，(66x ππωπω+∈+，2)6ππω+，∴26()226k k Z k ππωπππωππ⎧+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，或26()2226k k Z k ππωππππωππ⎧++⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 解得152()612k k k Z ω-+∈，或5112()612k k k Z ω++∈， 又01ω<<，5012ω∴<或511612ω． ω∴的取值范围是(0，5511][,]12612． 故答案为：(0，5511][,]12612． 变式10．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[a ，](b a ，b R ∈且)a b <满足，()y g x =在[a ，]b 上恰有30个零点，求b a -的取值范围． 【解析】解：（1）对于函数()2sin f x x ω=，其中常数0ω>，若()y f x =在[4π-，2]3π上单调递增， 则()42ππω--，且232ππω，求得34ω，即ω的取值范围为(0，3]4． （2）令2ω=，将函数()2sin 2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度，可得函数2sin 2()2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数()2sin(2)13y g x x π==++的图象，令()0g x =，求得1sin(2)32x π+=-，72236x k πππ∴+=+，或112236x k πππ+=+，k z ∈， 求得512x k ππ=+或34x k ππ=+，k z ∈，故函数()g x 的零点为512x k ππ=+或34x k ππ=+，k z ∈． ()g x ∴的零点相离间隔依次为3π和23π， ()y g x =在[a ，]b 上恰有30个零点， b a ∴-的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=，2471615333b a πππ-<⨯+⨯=， ∴434733b a ππ-<． 题型三：三角函数性质综合应用例7．已知函数()sin()(06,)22f x x ππωϕωϕ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则(ωϕ= )A ．34π-B ．23π-C ．23π D ．34π 【解析】解：把函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度， 得到函数()sin()3g x x ωπωϕ=-+的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则432k πωππωϕπ-+=+，⋯①42k ππωϕπ+=+，⋯②由①②得3n ωππ=，n Z ∈；3n ω∴=，又(0,6)ω∈，3ω∴=； ()sin(3)f x x ϕ∴=+；由342k ππϕπ+=+，解得4k πϕπ=-，又(2πϕ∈-，)2π，4πϕ∴=-，34πωϕ∴=-． 故选：A ．例8．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在(4π，)3π单调，则ω的最大值为( ) A ．12B ．11C ．10D ．9【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，()4k πωϕπ∴-+=，且42k ππωϕπ+='+，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①．()f x 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-，12ω∴②．由①②可得ω的最大值为11． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=，满足4x π=-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在(4π，)3π单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ．例9．已知函数()sin()(0,||),24f x x x ππωϕωϕ=+>=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，且()f x 在区间(,)126ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．13B ．12C ．9D ．5【解析】解：函数()sin()(0,||),24f x x x ππωϕωϕ=+>=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，()f x 在区间(,)126ππ上单调，∴周期2()6126T πππ⨯-=，即26ππω，12ω∴．4x π=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，∴21242n ππω+=，n Z ∈，21n ω∴=+．当11ω=时，由题意可得114k πϕπ⨯+=，4πϕ=，函数为()sin(11)4y f x x π==+，在区间(,)126ππ上，711(46x ππ+∈，25)12π，()f x 在区间(,)126ππ上不单调，11ω∴≠．当9ω=时，由题意可得94k πϕπ⨯+=，4πϕ=-，函数为()sin(9)4y f x x π==-，在区间(,)126ππ上，9(42x ππ-∈，5)4π，()f x 在区间(,)126ππ上单调，满足条件，则ω的最大值为9， 故选：C ．变式11．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且11(36x π∀∈，17)36π，|()|1f x <，则ω的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴．4m πωϕπ∴-+=，42n ππωϕπ+=+．(,)m n Z ∈2()1n m ω∴=-+，即ω为奇数．下面验证5ω=不符合题意， 当5ω=时，可得4πϕ=，函数()sin(5)4f x x π=+，且11(36x π∈，17)36π时，64945(,)43636x πππ+∈， 而56494(,)23636πππ∈，不符合11(36x π∈，17)36π，|()|1f x <，则ω的最大值为3，故选：C ．变式12．将函数()sin(2)(0f x x ωϕω=+>，[0ϕ∈，2])π图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[0，2]π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为1)-，则ω的取值范围是( )A ．713(,]1212B ．713[,)1212C ．1117[,)1212D ．1117(,]1212【解析】解：将函数()sin(2)(0f x x ωϕω=+>，[0ϕ∈，2])π图象上每点的横坐标变为原来的2倍， 得函数()sin()g x x ωϕ=+，由()g x 图象过点3以及点在图象上的位置， 知3sin ϕ=，23πϕ=，02x π，∴2222333x πππωπω++， 由()g x 在[0，2]π上恰有一个最大值和一个最小值，∴5272232ππππω+<，∴11171212ω<， 故选：C ．变式13．已知22()sin ()cos ()(0)33f x x x ππωωω=+-+>．给出下列判断：①若1()1f x =，2()1f x =-，且12||2min x x π-=，则2ω=；②若()f x 在[0，2]π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359[,)2424； ③存在(0,2)ω∈，使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ④若()f x 在[,]63ππ-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]3．其中，判断正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：222()sin ()cos ()cos(2)sin(2)3336f x x x x x ππππωωωω=+-+=-+=+．①由题可知，最小正周期22T ππω==，1ω∴=，即①错误； ②设函数()sin(2)6f x x πω=+在y 轴右侧与x 轴的第9个交点的横坐标为α，第10个交点的横坐标为β，则296πωαπ+=，2106πωβπ+=，解得5312παω=，5912πβω=， 若()f x 在[0，2]π上恰有9个零点，则535921212πππωω<，解得53592424ω<，即②正确；③()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()sin[2()]sin(2)6636g x x x ππωππωω=-+=-+， 函数()g x 的图象关于y 轴对称，∴,362k k Z ωππππ-+=+∈，13k ω∴=--，k Z ∈，若存在(0,2)ω∈，则13(0,2)k --∈，解得1(1,)3k ∈--，与k Z ∈相矛盾，即③错误；④令2[2,2]622x k k πππωππ+∈-++，得[,]36k k x ππππωωωω∈-++，k Z ∈， ()f x 在[,]63ππ-上单调递增，∴当0k =时，有3636ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得12ω，0ω>，102ω∴<， 故ω的取值范围为1(0,]2，即④错误．∴正确的只有②，故选：A ．变式14．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在(18π，5)36π单调，求ω的最大值．【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，()4n πωϕπ∴-+=，n Z ∈，且42n ππωϕπ⋅+='+，n Z '∈，∴相减可得()222n n k πππωππ⋅='-+=+，k Z ∈，即21k ω=+，即ω为奇数．()f x 在(18π，5)36π单调，（1）若()f x 在(18π，5)36π单调递增，则2182k ππωϕπ⋅+-，且52362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈， 即2182k ππωϕπ-⋅--+①，且52362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈②， 把①②可得：336ωππ，12ω∴，故有奇数ω的最大值为11． 当11ω=时，114k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=-． 此时()sin(11)4f x x π=-在(18π，5)36π上不单调，不满足题意．当9ω=时，94k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=， 此时()sin(9)4f x x π=+在(18π，5)36π上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．（2）若()f x 在(18π，5)36π单调递减，则2182k ππωϕπ⋅++，且532362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈，即2182k ππωϕπ-⋅---③，且532362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈④， 把③④可得：336ωππ，12ω∴，故有奇数ω的最大值为11． 当11ω=时，114k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=-． 此时()sin(11)4f x x π=-在(18π，5)36π上不单调，不满足题意．当9ω=时，94k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=， 此时()sin(9)4f x x π=+在(18π，5)36π上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9． 故答案为：9．【过关测试】 一．选择题2．若函数()3sin (0)f x x ωω=>能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在[,]1110ππ-上是单调函数，则整数ω的值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：函数sin y x ω=能够在某个长度为3的区间上至少三次出现最大值3， 如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3， 由三角函数的图象与性质可知：即：223πω；解得：43πω； 又[11x π∈-，]10π上为单调函数，1110xωπωπω∴-，且102112ωππωππ⎧⎪⎪⎨⎪--⎪⎩， 解得5ω；综上可得，正整数5ω=． 故选：B ．3．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ，满足()06f π-=且对于任意的x R ∈都有2()()3f x f x π=-，若()f x 在52(,)369ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【解析】解：函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ，满足()0sin()66f A πωπϕ-==-+，6k ωπϕπ∴-+=，k Z ∈①． 对于任意的x R ∈都有2()()3f x f x π=-，故()f x 的图象关于直线3x π=对称，∴32n ωππϕπ+=+，n Z ∈②．∴②-①可得()362n k ωπωπππ+=-+，即2()1n k ω=-+，即ω等于π的奇数倍． 若()f x 在52(,)369ππ上单调，则12252936πππω⋅-，求得12ω． 当11ω=时，由①可得116k πϕπ-+=，k Z ∈，结合||2πϕ，可得6πϕ=-，此时，()sin(11)6f x A x π=-，当52(,)369x ππ∈，4911(636x ππ-∈，41)18π， 故不满足()f x 在52(,)369ππ上单调，故11ω=不满足条件． 当9ω=时，()sin(9)f x A x ϕ=+，由①可得32k πϕπ-+=，k Z ∈，结合||2πϕ，可得2πϕ=或2πϕ=-，满足()f x 在52(,)369ππ上单调，也满足③． 故ω的最大值为9， 故选：C ． 4．已知0ω>，||2πϕ，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(6x π∈-，)4π时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是() A ．(6π，)3πB ．[6π，]3πC ．(,)32ππD ．[,]32ππ【解析】解：由()()f x g x =，得sin()cos()x x ωϕωϕ+=+， 即tan()1x ωϕ+=， 即4x k πωϕπ+=+，则4x k πωπϕ=+-，4k x ππϕω+-=，当0k =时，14x πϕω-=，当1k =时，24x ππϕω+-=，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π， 21442x x πππϕϕππωωω+--∴-=-==， 即2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+， 当(6x π∈-，)4π时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，即此时()0f x >，恒成立， 由()0f x >，得222k x k πϕππ<+<+，k Z ∈， 得222k x k ϕϕπππ-<<-+，则26224k k ϕππϕπππ⎧--⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，得2624k k ϕππϕππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，得2322k k πϕππϕπ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，当0k =时，得32πϕπϕ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得32ππϕ， 则ϕ的取值范围是[3π，]2π，故选：D ．5．已知函数()2sin 1(0)f x x ωω=+>在区间[2π-，2]3π上是增函数，则ω的取值范围是( ) A ．(0，3]4B ．(0，1]C ．3[4，1]D ．3[2，1]【解析】解：函数()2sin 1(0)f x x ωω=+>， ()f x 区间[2π-，2]3π上是增函数， 则有2222232k k πωπππωππ⎧--+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，k Z ∈，解得：14k ω-且334k ω+， 0ω>，(0∴，3]4．故选：A ．6．已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>在区间[0，]π上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是()A ．()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点B ．()f x 的最小正周期可能是4π C ．ω的取值范围是1317[,)44D ．()f x 在区间(0,)16π上单调递增【解析】解：函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，令42x k ππωπ+=+，k Z ∈，得(41)4k x πω+=，k Z ∈， 函数()f x 在区间[0，]π上有且仅有4条对称轴，即有4个整数k 满足(41)04k ππω+，由(41)04k ππω+，得0144k ω+，可得0k =，1，2，3，则1434144ω+⨯<+⨯，∴131744ω<，即ω的取值范围是1317[,)44，故C 正确； (0,)x π∈，(44x ππω∴+∈，)4πωπ+，得7(42ππωπ+∈，9)2π，当[44x ππω+∈，9)2π时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有4个不同的零点，故A 错误； 周期2T πω=，由1317[,)44ω∈，得14(17ω∈，4]13， 8(17T π∴∈，8]13π，()f x ∴的最小正周期不可能是4π，故B 错误； (0,)16x π∈，(44x ππω∴+∈，)164ωππ+，又13[4ω∈，17)4，∴29[16464ωπππ+∈，33)64π，又33642ππ>，()f x ∴在区间(0,)16π上不一定单调递增，故D 错误．故选：C ．7．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[0，]3π上恰有三个零点，则ω的取值范围是( )A ．111722ω< B ．111722ωC ．172322ω< D ．172322ω【解析】解：函数sin()(0)6y x πωω=+>在区间[0，]3π恰有3个零点，[66x ππω+∈，]36ππω+，可得3436πππωπ+<，可得172322ω<． 故选：C ．8．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为( )A ．2937[,]66ππB ．2937[,)66ππC ．2537[,)66ππD ．[4π，6)π【解析】解：因为[0x ∈，1]，所以[33x ππω+∈，]3πω+，因为()f x 的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点， 所以46232ππππωπ++<+，解得253766ππω<． 故选：C ．9．若存在唯一的实数(0,)2t π∈，使得曲线sin()(0)4y x πωω=->关于直线x t =对称，则ω的取值范围是()A ．3(4，7]4B ．3[4，7]4C ．3(2，7]2D ．3[2，7]2【解析】解：函数sin()4y x πω=-，其对称方程为42x k ππωπ-=+，k Z ∈，解得34k x ππω+=，k Z ∈；对称轴(0,)2x t π=∈，∴当0k =时，可得对称性：342ππω<，，解得：32ω>； 当1k =时，可得对称性：342πππω+，解得：72ω； ω∴的取值范围是3(2，7]2．故选：C ． 二．多选题10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间75(,)126ππ上单调，且满足73()()124f f ππ=-则( )A ．2()03f π=B ．04ω<C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0，2)π上最多有4个不相等的实数解D ．若函数()f x 在区间213[,)36ππ上恰有5个零点，则ω的取值范围为8(,3]3【解析】解：函数()sin()f x x ωϕ=+满足73()()124f f ππ=-． 对于A ，因为1732()21243πππ⨯+=，所以()f x 的一个对称中心是(3π，0)，即2()03f π=，选项A 正确；对于B ，因为576122Tππ-，解得2T π，即22ππω，解得4ω，所以04ω<，选项B 正确；对于C ，关于x 的方程()1f x =只有一个实数解，函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间7(12π，5)6π上单调，且满足2()03f π=， 所以5224()633T πππ⨯-=， 当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[0，2)π上的实数解为6π，56π，32π共有三个，选项C 错误； 对于D ，函数()f x 在区间2[3π，13)6π上恰有5个零点，所以13252632TT ππ<-， 所以2132522632ππππωω⨯<-⨯，解得81033ω<， 且满足5224()63T πππω>⨯-=，即223ππω，解得3ω，所以8(3ω∈，3]，选项D 正确．故选：ABD ．11．已知函数()4sin cos()1(0)6f x x x πωωω=++>在(0,)x π∈上恰有3个零点，则( )A ．()f x 在(0,)π上恰有2个极大值点和2个极小值点B ．()f x 在(0,)8π上的最大值是2C ．()f x 在(0,)12π上是增函数D ．ω的取值范围是1723(,]1212【解析】解：函数()4sin cos()16f x x x πωω=++314sin (sin )12x x x ωωω=-+ 223sin cos 2sin 1x x x ωωω=-+ 3sin 2cos2x x ωω=+2sin(2)6x πω=+，0ω>； 当(0,)x π∈时，2(66x ππω+∈，2)6πωπ+，对于D ，因为()f x 在(0,)π内恰好3个零点，所以3246ππωππ<+，解得17231212ω<，选项D 正确； 对于A ，当(0,)x π∈时，2(66x ππω+∈，2)6πωπ+，因为3246ππωππ<+，所以()2sin(2)6f x x πω=+在区间(0,)π上可能有2个或1个极小值点，选项A 错误；对于B ，当(0,)8x π∈时，2(66x ππω+∈，)46ωππ+，因为17231212ω<，所以1725464126482ωππππππ+>⨯+=>，所以()f x 在区间(0,)8π上有最大值为2，选项B 正确；对于C ，当(0,)12x π∈时，2(66x ππω+∈，)66ωππ+，因为17231212ω<，所以2335666126722ωππππππ+⨯+=<，所以()f x 在区间(0,)12π上单调递增，选项C 正确．故选：BCD ．12．已知函数2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+>，下面结论正确的是( )A ．若1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的极值点，且12||x x -的最小值为π，则1ω=B ．存在(0,1)ω∈，使得()f x 往右平移6π个单位长度后得到的图象关于原点对称C ．若()f x 在[0，2]π上恰有6个零点，则ω的取值范围是3541[,)2424D ．若2(0,]3ω∈，则()f x 在[,]64ππ-上单调递增【解析】解：22()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x πππωωω=-+=-+=+，对于A ，12||2min T x x π-==，∴2ππω=，12ω=，错误； 对于B ，平移后12()sin(2)6g x x ωωπ-=+关于原点对称，则1216()62kk k Z ωππω--=∈⇒=，k Z ∈，当0k =时，1(0,1)2ω=∈，正确；对于C ，[0x ∈，2]π，2[,4]666x πππωωπ+∈+，3541647[,)62424ππωππω+<⇒∈，正确； 对于D ，当[,]64x ππ∈-，则2(636x πωππω+∈-+，)26ωππ+，若()f x 在[,]64ππ-上单调递增，则23623262ωπππωωπππ⎧-+-⎪⎪⇒⎨⎪+⎪⎩，0ω>，∴2(0,]3ω∈，正确．故选：BCD ． 三．填空题13．若函数sin y x ω=能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间[,]1615ππ-上为增函数，则正整数ω的值为 ．【解析】解：由题意函数sin y x ω=图象过(0,0)，其周期2T πω=，要使长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，则有1T ， 即21πω，解得2ωπ，在区间[,]1615ππ-上为增函数， ∴2216k ππωπ--且2215k πωππ+，k Z ∈，解得832k ω-且307.5k ω+，∴当0k =时，正整数ω值为7，符合条件．故答案为：7．14．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=⋅-->在区间52[,]63ππ-上是增函数，且在区间(0,)π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是 ．【解析】解：22()2sin cos ()sin 24x f x x x ωπωω=⋅-- 2sin [1cos()]2x x sin x πωωω=⋅+--2sin (1sin )sin x x x ωωω=⋅+- sin x ω=，令2,2x k k Z πωπ=+∈，解得2,2k x k Z ππωω=+∈， 因为()f x 在区间(0,)π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω<<，解得12ω>， 令22,22k xk k Z πππωπ-++∈，解得22,22k k x k Z ππππωωωω-++∈， 因为()f x 在区间52[,]63ππ-上是增函数， 所以562232ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得35ω， 综上所述，1325ω<， 所以ω的取值范围为13(,]25．故答案为：13(,]25．15．设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是 ． 【解析】解：由题意知，()sin ()sin()55f x x x ππωωω=+=+， 因为[0x ∈，2]π，所以[55x ππω+∈，2]5πωπ+，又()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点， 所以5265ππωππ+<，解得1229510ω<， 所以ω的取值范围是12[5，29)10．故答案为：12[5，29)10．16．若函数()2sin(2)4f x x π=+在[0，]2m和[3m ，]π上均单调递增，则实数m 的取值范围为 ．【解析】解：由()2sin(2)4f x x π=+知，当[0x ∈，]π时，()f x 在[0,]8π和5[,]8ππ上单调递增，[0，]2m和[3m ，]π上均单调递增， ∴28538m m ππ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴5244mππ， m ∴的取值范围为：5[,]244ππ． 故答案为：5[,]244ππ． 17．已知函数5()cos()(0)6f x x πωω=->在(0,)4π上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为 ．【解析】解：令()0f x =，则562x k πωππ-=+，k Z ∈，43k x ππωω∴=+， 由于()f x 在(0,)4π上有且仅有2个零点，则有434ππω<，且有734ππω，则有162833ω<为所求范围． 故答案为：16(3，28]3．18．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间75(,)126ππ上单调，且满足73()()124f f ππ=-．（1）若5()()6f x f x π-=，则函数()f x 的最小正周期为 π ；（2）若函数()f x 在区间213[,)36ππ上恰有5个零点，则ω的取值范围为 ． 【解析】解：因为7(12π，37)(412ππ⊆，5)6π， 所以()f x 在7(12π，3)4π上单调， 又73()()124f f ππ=-，所以73212423πππ+=，可得2()03f π=， 又由于5()()6f x f x π-=， 所以函数()f x 的对称轴方程为556212x ππ==，则2531244Tπππ-==，所以函数的最小正周期为π； 因为函数()f x 在区间2[3π，13)6π上恰有5个零点， 所以13252632T T ππ<-， 所以2132522632ππππωω⋅<-⋅，解得81033ω<， 且满足5224()633T πππ>⨯-=，即223ππω，即3ω， 故8(3ω∈，3]，故④正确；故答案为：π，8(,3]3．19．设()3sin()1(0)12f x x πωω=-+>，若()f x 在[,]36ππ-上为增函数，则ω的取值范围是 ． 【解析】解：设()3sin()1(0)12f x x πωω=-+>，若()f x 在[,]36ππ-上为增函数， [12312x πωππω-∈--，]63ωππ-， 故有3122ωπππ---，6122ωπππ-，求得54ω， 可得ω的取值范围是5(0,]4，故答案为：(0，5]4．20．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，[0x ∈，]π的值域为3[，则ω的取值范围是 ．【解析】解：因为[0x ∈，]π，所以[,]333x πππωωπ-∈--，因为函数()sin()3f x x πω=-的值域为3[，所以[32ππωπ-∈，4]3π，解得55[,]63ω∈． 故答案为：55[,]63．21．已知函数2sin()(0)3y x πωω=->图象与函数2sin()(0)6y x πωω=+>图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且ABC ∆是钝角三角形，则ω的取值范围是 ．【解析】解：因为2sin()2sin()326y x x πππωω=-+=+，所以函数2sin()3y x πω=-的图象向左平移2πω个单位得到函数2sin()6y x πω=+的图象，画出两函数2sin()(0)3y x πωω=->和函数2sin()(0)6y x πωω=+>的部分图象，如图所示：根据图象知，2AC πω=，取AC 的中点D ，连接BD ，由对称性知，ABC ∆是以ABC ∠为顶角的等腰三角形，因为ABC ∆是钝角三角形，所以4ABD π∠>，所以tan 1ADABD BD∠=>，所以AD BD >，由2sin()2sin()36x x ππωω-=+，整理可得()()236x x k ππωωππ-++=+，k Z ∈，可得712x k πωπ=+，k Z ∈；则72sin()2sin()23123y x k πππωπ=-=+-=±2||22B BD y ==ABC ∆为钝角三角形，只需AD BD >，即22πω>24ω<，所以ω的取值范围是2)4． 故答案为：2)．。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
函数的奇偶性、单调性和周期性
函数的奇偶性与单调性湖南岳阳县七中胡旭光供稿一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。
令，得或。
由于在处取得极值，故，即。
（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a －1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则∵∴，，，当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴∴∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C. D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C. D.4.若不等式对于一切 (0,)成立,则的取值范围是( )A.0B. –2C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1B.0C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B. C. D.11.已知函数,若为奇函数,则 .12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时, .13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8.B 9.C 10. A 11. a=12. -x-x4 13. B 14.D 15.A 16.B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
高三一轮复习精题组函数奇偶性与周期性有详细答案
§函数的奇偶性与周期性1． 函数的奇偶性奇偶性 ,定义 ,图象特色偶函数 ,假如对于函数 f(x)的定义域内随意一个 x ，都有 f( －x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)是偶函数 ,对于 y 轴对称奇函数 ,假如对于函数 f(x)的定义域内随意一个x ，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函数 f(x)是奇函数 ,对于原点对称2.周期性(1)周期函数： 对于函数 y ＝ f(x)，假如存在一个非零常数T ，使适当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x ＋ T)＝ f(x) ，那么就称函数 y ＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期： 假如在周期函数 数就叫做 f(x)的最小正周期．f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正1．判断下边结论能否正确 (请在括号中打“√”或“×” )(1) 函数 f(x)＝ 0， x ∈(0 ，＋∞ )既是奇函数又是偶函数． ( × ) (2) 若函数 y ＝ f(x ＋a)是偶函数，则函数y ＝ f( x)对于直线 x ＝ a 对称．( √ ) (3) 若函数 y ＝ f(x ＋b)是奇函数，则函数y ＝ f( x)对于点 (b,0)中心对称． ( √ )x为奇函数，则 a ＝ 2.(√)(4) 若函数 f( x)＝ x － 2 x ＋ a(5) 函数 f(x)在定义域上知足f(x ＋ a)＝－ f(x)，则 f( x)是周期为 2a(a>0)的周期函数． (√ )(6) 函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x ＋ 2)＝ f(x)，则 f(2 014)＝ 0. ( √)2． (2013 山·东 )已知函数 f(x)为奇函数，且当x>0 时， f(x)＝ x 2＋1，则 f(－ 1)等于 ()x A ．－ 2 B ．0C ． 1D ． 2答案 A分析f(－ 1)＝－ f(1) ＝－ (1＋ 1)＝－ 2.3．已知 f(x)＝ ax 2＋ bx 是定义在 [a － 1,2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是()1 1 1 1 A ．－ 3 B.3C.2D ．－ 2答案B分析 依题意 b ＝ 0，且 2a ＝－ ( a － 1)， ∴a ＝113，则 a ＋ b ＝ 3.4．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且知足 f(x ＋ 4)＝ f(x)，当 x ∈ (0,2)时， f(x) ＝2x 2，则 f(2015)等 于()A ．－ 2B ．2C ．－ 98D ． 98答案 A分析∵ f(x ＋ 4)＝ f(x)，∴ f (x)是以 4 为周期的周期函数，∴ f (2 015) ＝f(503×4＋ 3)＝ f(3) ＝ f(－ 1)．又 f(x)为奇函数，∴ f (－ 1)＝－ f(1) ＝－ 2×12＝－ 2，即 f(2 015) ＝－ 2. 5．设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若当x ∈ (0，＋∞ )时， f(x)＝ lg x ，则知足 f(x)>0 的 x的取值范围是 ________．答案(－ 1,0)∪ (1，＋∞ )分析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0 的 x 的取值范围为(－ 1,0)∪(1，＋ ∞ ).题型一 判断函数的奇偶性例 1判断以下函数的奇偶性：(1) f (x)＝ 9－ x 2＋ x 2－ 9；(2) f (x)＝ (x ＋ 1)1－ x；1＋ x4－ x 2(3)f(x)＝ |x ＋ 3|－3.思想启示 确立函数的奇偶性时，一定先判断函数定义域能否对于原点对称．若对称，再验证 f(－ x)＝ ±f(x) 或其等价形式 f(－ x) ±f(x)＝ 0 能否建立．9－x 2≥0解(1) 由，得 x ＝ ±3.x 2－ 9≥0∴ f(x) 的定义域为 { － 3,3} ，对于原点对称．又 f(3)＋ f(－ 3)＝0， f(3) － f(－ 3)＝ 0.即 f(x)＝±f( －x) ．∴ f(x) 既是奇函数，又是偶函数．1－ x≥ 0 (2)由1＋ x，得－ 1< x ≤ 1.1＋ x ≠ 0∵ f(x) 的定义域 (－ 1,1] 不对于原点对称．∴ f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数．4－ x 2≥ 0(3)由，得－ 2≤ x ≤ 2 且 x ≠ 0.|x ＋ 3|－ 3≠0∴ f(x) 的定义域为 [ －2,0)∪ (0,2] ，对于原点对称．4－x 24－ x 2.∴ f(x) ＝ ＝xx ＋ 3 － 3∴ f(x) ＝－ f(－ x)， ∴f(x)是奇函数．思想升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)在判断奇偶性的运算中， 能够转变为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－ x)＝ 0(奇函数 )或 f(x)－f(－ x)＝ 0(偶函数 ))能否建立．判断以下函数的奇偶性：(1) f (x)＝ lg 1－ x 2；|x － 2|－2x 2＋ 2 x>0(2)f(x)＝ 0 x ＝ 0.－ x 2－ 2 x<01－x 2>0解(1) 由，得定义域为 (－ 1,0)∪ (0,1)，|x －2|－ 2≠ 0lg 1－ x 2lg 1－ x 2f(x) ＝＝－x.－ x －2 － 2lg[1 － － x 2]lg 1－ x 2＝－ f(x)． ∵ f(－ x)＝－ － x ＝－－ x∴ f(x) 为奇函数．(2) f (x)的定义域为 R ，对于原点对称，当 x>0 时， f(－ x) ＝－ (－ x)2－ 2＝－ (x 2＋ 2)＝－ f(x)；当 x<0 时， f(－ x) ＝(－ x)2＋ 2＝－ (－ x 2－ 2)＝－ f(x)；当 x ＝0 ， f(0)＝ 0，也 足 f(－ x)＝－ f(x)．故 函数 奇函数．型二 函数周期性的 用例 2 (1) 定 在 R 上的函数 f(x) 足 f(x ＋6)＝ f(x)，当－ 3≤ x<－ 1 ， f(x)＝－ (x ＋ 2)2；当－1≤ x<3 ， f(x) ＝ x. f(1) ＋ f(2)＋ f(3) ＋⋯＋ f(2 015)等于 ()A ． 335B ． 336C ． 1 678D ． 2 0121，当 2≤ x ≤ 3 ，f(x)＝ x ， f(105.5)(2)已知 f(x) 是定 在 R 上的偶函数， 而且 f( x ＋ 2)＝－ f x ＝ ________.思 启示(1)f(x) 的周期性已知，能够通 一个周期内函数 的 化状况乞降．(2)通 意先确立函数的周期性． 答案分析(1) 利用函数的周期性和函数 的求法求解．∵ f(x ＋ 6)＝ f(x)， ∴ T ＝ 6.∵ 当－ 3≤ x<－ 1 ， f(x)＝－ (x ＋ 2)2；当－ 1≤ x<3 ， f(x)＝ x ，∴ f(1) ＝ 1， f(2) ＝2， f(3) ＝ f(－ 3)＝－ 1， f(4) ＝ f(－ 2)＝ 0， f(5)＝ f( － 1)＝－ 1， f(6) ＝ f(0)＝ 0，∴ f(1) ＋ f(2) ＋ ⋯＋ f(6) ＝ 1，∴ f(1) ＋ f(2) ＋ ⋯＋ f(6) ＝ f(7) ＋ f(8)＋ ⋯ ＋f(12)＝ ⋯＝ f(2 005)＋f(2 006)＋⋯ ＋ f(2 010)＝ 1，2 010 ∴ f(1) ＋ f(2) ＋ ⋯＋ f(2 010) ＝1×6＝ 335.而 f(2 011)＋ f(2 012)＋ f(2 013) ＋f(2 014) ＋f(2 015)＝ f(1) ＋ f(2) ＋ f(3)＋ f(4)＋ f(5)＝ 1＋ 2－ 1＋ 0－ 1＝1.∴ f(1) ＋ f(2) ＋ ⋯＋ f(2 015) ＝335＋ 1＝336.(2)由已知，可得f(x ＋ 4)＝ f[( x ＋ 2)＋ 2] 11＝ f( x)． ＝－ f x ＋ 2 ＝－1－f x故函数的周期4.∴ f(105.5) ＝ f(4× 27－ 2.5)＝f(－ 2.5)＝f(2.5)． ∵ 2≤≤ 3，由 意，得 f(2.5) ＝2.5.∴ f(105.5) ＝ 2.5.思 升(1)函数的周期性反应了函数在整个定 域上的性 ． 函数周期性的考 ，主要波及函数周期性的判断，利用函数周期性求 ．(2)求函数周期的方法(1)若 f(x)是 R 上周期 5 的奇函数，且 足f(1) ＝1， f(2)＝ 2， f(3) － f(4) 等于()A ．－ 1B ．1C ．－ 2D ． 2(2)设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0≤x ≤ 1时， f(x)＝ 2x(1－ x)，则 f － 5等于 ()2111 1A ．－ 2B ．－ 4C.4D.2答案 (1)A (2)A分析 (1) 由 f( x)是 R 上周期为 5 的奇函数知f(3)＝ f(－2) ＝－ f(2)＝－ 2，f(4)＝ f(－1) ＝－ f(1)＝－ 1，∴ f (3) － f(4) ＝－ 1，应选 A.(2) ∵ f(x)是周期为 2 的奇函数，5 5 11∴f＝ f － 2＋ 2 ＝ f － 2 ＝－ f 2－ 21 1 1＝－ 2× 2× 1－ 2 ＝－ 2.题型三 函数性质的综合应用例 3设 f(x)是 (－∞，＋∞ )上的奇函数， f(x ＋ 2)＝－ f(x)，当 0≤x ≤ 1 时， f(x)＝ x.(1)求 f( π)的值；(2)当－ 4≤ x ≤ 4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积；(3)写出 (－∞，＋∞ )内函数 f(x)的单一区间． 思想启示能够先确立函数的周期性，求f( π)；而后依据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单一区间．解 (1)由 f( x ＋ 2)＝－ f(x)得，f(x ＋ 4)＝ f[(x ＋ 2)＋2]＝－ f(x ＋2) ＝f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，∴ f ( π)＝f(－ 1× 4＋ π)＝f( π－ 4)＝－ f(4－ π) ＝－ (4－ π)＝π－ 4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x ＋ 2)＝－ f(x)，得： f[(x － 1)＋ 2]＝－ f(x － 1)＝ f[－ (x － 1)] ，即 f(1＋ x)＝ f(1－ x)．故知函数 y ＝ f(x)的图象对于直线 x ＝ 1 对称．又当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝ x ，且 f(x)的图象对于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图．当－ 4≤ x ≤4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S ，则 S ＝ 4S △ OAB ＝ 4× 1× 2× 1 ＝4. 2(3)函数 f(x)的单一递加区间为[4k － 1,4k ＋ 1] ( k ∈ Z)，单一递减区间为 [4k ＋ 1,4k ＋ 3] ( k ∈Z) ．思想升华 对于奇偶性、 单一性、 周期性的综合性问题， 重点是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转变为已知区间上的问题，表现了转变思想．1(1)已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递加， 则知足 f(2x － 1)<f 3 的 x 的取值范围是()1 2 12A. 3， 3B. 3， 31， 21， 2C. 2 3D. 2 3 (2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 知足 f(x －4) ＝－ f( x)，且在区间 [0,2] 上是增函数， 则 ()A ． f(－ 25)<f(11)< f(80)B ． f(80)< f(11)<f(－ 25)C ． f(11)< f(80)<f(－ 25)D ． f(－ 25)<f(80)< f(11)答案(1)A (2)D分析 (1) 偶函数知足 f(x)＝f(|x|)，依据这个结论，11有 f(2x － 1)< f 3 ? f(|2x － 1|)<f 3 ，1从而转变为不等式|2x －1|<3，1 2解这个不等式即得 x 的取值范围是3， 3 .(2)由函数 f( x)是奇函数且 f(x)在[0,2] 上是增函数能够推知，f(x)在 [ － 2,2] 上递加，又 f(x － 4)＝－ f(x)? f(x －8)＝－ f( x －4)＝ f(x)，故函数 f(x)以 8 为周期，f(－ 25)＝ f(－ 1)， f(11)＝ f(3)＝－ f(3 －4)＝ f(1) ，f(80)＝ f(0) ，故 f(－ 25)<f(80)<f(11)．忽略定义域致误典例： (10 分 )(1) 若函数 f(x)＝k － 2xx 在定义域上为奇函数，则实数 k ＝________. 1＋ k ·2x 2＋ 1，x ≥ 0，(2)已知函数 f(x)＝ 则知足不等式 f(1－ x 2)>f(2x)的 x 的取值范围是 ________．1， x<0， 易错剖析(1)解题中忽略函数f(x)的定义域，直接经过计算f(0) ＝ 0 得 k ＝ 1.(2)此题易出现以下错误由f(1－ x2)>f(2x)得 1－x2>2x，忽略了 1－ x2>0 致使解答失误．k－ 2－x k·2x－ 1分析(1)∵f(－x)＝1＋k·2－x ＝2x＋k，k－ 2x 2x＋ k ＋ k·2x－ 1 ·1＋ k·2x ∴ f(－ x)＋ f(x)＝2x＋ k1＋ k·2xk2－ 122x＋ 1＝2x .1＋ k·2x＋k由f(－ x)＋ f(x)＝ 0 可得 k2＝ 1，∴ k＝±1.x2＋1， x≥ 0，(2) 画出 f(x)＝的图象，1， x<0由图象可知，若f(1－ x2)>f(2x) ，1－ x2>0 ，则1－ x2>2 x，－1<x<1，即－1－ 2< x<－ 1＋ 2，得x∈ (－1， 2－ 1)．答案(1) ±1 (2)( －1，2－ 1)温馨提示(1)已知函数的奇偶性，利用特别值确立参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单一性问题时，应高度关注：①抓住对变量所在区间的议论．②保证各段上同增(减 )时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最后结果取并仍是交．方法与技巧1．正确理解奇函数和偶函数的定义，一定掌握好两个问题：(1)定义域在数轴上对于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必需非充足条件；(2)f(－ x)＝－ f( x)或 f(－ x)＝ f(x) 是定义域上的恒等式．2．奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称，反之也建立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也能够利用它去判断函数的奇偶性．13．若对于函数f(x) 的定义域内任一个自变量的值x 都有 f(x＋ a)＝－ f(x)或 f(x＋ a)＝f x或 f(x 1＋a)＝－f x (a 是常数且 a≠ 0)，则 f( x)是一个周期为2a 的周期函数．失误与防备1．判断函数的奇偶性，第一应当判断函数定义域能否对于原点对称．定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的一个必需条件．2．判断函数f(x)是奇函数，一定对定义域内的每一个 x，均有 f(－ x)＝－ f(x)，而不可以说存在 x0使f(－ x0)＝－ f(x0) ．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判准时，要以整体的看法进行判断，不可以够利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否认函数在整个定义域上的奇偶性.A 组专项基础训练一、选择题1．(2013 ·东广 )定义域为R 的四个函数y＝ x3，y＝ 2x，y＝ x2＋ 1，y＝ 2sin x 中，奇函数的个数是()A ． 4B ． 3C． 2D． 1答案C分析由奇函数的定义可知y＝ x3，y＝ 2sin x 为奇函数．2．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x≤0 时， f(x) ＝2x2－x，则 f(1)等于()A ．－ 3B ．－ 1C． 1D． 3答案A分析∵ f(x)是奇函数，当x≤ 0 时， f( x)＝ 2x2－ x，∴f(1) ＝－ f(－ 1)＝－ [2 ×(－ 1)2－ (－ 1)]＝－ 3.3．定义在 R 上的偶函数 f(x)，对随意 x1， x2∈ [0，＋∞ )(x1≠ x2)，有f x2－ f x1<0，则 () 2－ x1xA ． f(3)< f(－ 2)< f(1)B ．f(1)< f(－2)< f(3) C． f(－2)< f(1)< f(3)D． f(3)< f(1)< f(－ 2)答案A分析由题意知 f(x) 为偶函数，所以f(－ 2)＝ f(2) ，又 x∈ [0，＋∞) 时， f(x)为减函数，且 3>2>1 ，∴f(3)< f(2)< f(1)，即 f(3)< f(－ 2)< f(1) ，应选 A.4．定义两种运算： a b＝a2－b2，a?b＝a－ b 2，则 f(x)＝2 x是() 2－ x?2A ．奇函数B ．偶函数C．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数答案A分析由于 2 x＝4－ x2， x?2＝x－ 2 2，4－ x24－ x24－ x2所以 f(x)＝＝＝x ，2－x－22 2－ 2－ x 该函数的定义域是[－ 2,0)∪ (0,2] ，且知足 f(－ x)＝－ f(x)．故函数 f(x)是奇函数．5．已知定义在 R 上的奇函数f(x)和偶函数x－x＋ 2(a>0，且 a≠1)．若g(x)知足 f(x)＋ g(x)＝ a － ag(2) ＝ a，则 f(2) 等于() 1517D． a2A ． 2 B. 4 C. 4答案B分析∵ f(x)为奇函数， g(x) 为偶函数，∴f(－ 2)＝－ f(2) ， g(－ 2)＝ g(2) ＝ a，∵f(2) ＋ g(2) ＝ a2－ a－2＋ 2，①∴f(－ 2)＋ g(－ 2)＝g(2) －f(2) ＝ a－2－ a2＋ 2，②由① 、②联立， g(2) ＝ a＝ 2， f(2) ＝ a2－ a－2＝154.二、填空题6．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且x>0 时， f(x)＝x＋ 1，则当 x<0 时， f(x)＝ ________.答案－－x－1分析∵ f(x)为奇函数， x>0 时， f(x)＝x＋ 1，∴当 x<0 时，－ x>0 ，f(x)＝－ f(－x)＝－ (－ x＋ 1)，即 x<0 时， f(x)＝－ (－ x＋ 1)＝－－ x－ 1.7．若函数 f(x)＝x2－ |x＋ a|为偶函数，则实数a＝ ________.答案0分析∵函数 f( x)＝ x2－ |x＋ a|偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，即 (－ x)2－ |－ x＋ a|＝x2－ |x＋a|，∴|－ x＋ a|＝ |x＋a|，∴ a＝ 0.18．已知函数 f(x)足： f(1)＝4， 4f(x)f(y)＝ f(x＋ y)＋ f(x－ y)(x， y∈ R) ， f(2 015)＝ ________.答案1 4分析方法一令 x＝1， y＝ 0 ， 4f(1) ·f(0) ＝f(1)＋ f(1) ，1解得 f(0) ＝2，令x＝ 1， y＝1 ， 4f(1) f(1)·＝ f(2)＋ f(0)，1解得 f(2) ＝－4，令x＝ 2， y＝1 ， 4f(2) f(1)·＝ f(3)＋ f(1)，1解得 f(3) ＝－2，挨次求得f(4)＝－1，f(5)＝1， f(6)＝1， f(7) ＝1，442411f(8)＝－4，f(9)＝－2，⋯可知 f(x)是以 6 周期的函数，1∴f(2 015) ＝f(335×6＋ 5)＝ f(5) ＝ .4方法二∵ f(1)＝1·f(y)＝ f(x＋ y)＋ f(x－ y)，4，4f(x)1π∴结构切合意的函数 f(x)＝ cos 3x，21π1.∴f(2 015) ＝ cos× 2 015＝234三、解答9．已知函数 f(x)是定在 R 上的奇函数，且它的象对于直x＝ 1 称．(1)求： f(x)是周期 4 的周期函数；(2)若 f(x)＝ x(0< x≤1)，求 x∈ [－ 5，－ 4]，函数 f( x)的分析式．(1)明由函数 f(x)的象对于直 x＝ 1 称，有 f(x＋ 1)＝ f(1－ x)，即有 f(－ x)＝ f(x＋ 2)．又函数 f(x)是定在 R 上的奇函数，故有 f(－ x)＝－ f(x)．故 f(x＋ 2)＝－ f(x)．从而 f(x＋4) ＝－ f(x＋2) ＝f(x)，即 f(x)是周期 4 的周期函数．(2)解由函数 f(x)是定在 R 上的奇函数，有f(0) ＝0.x∈[ －1,0)，－ x∈ (0,1] ， f(x)＝－ f(－ x)＝－－ x.故 x∈ [－ 1,0] ， f(x)＝－－ x.x∈[ －5，－ 4]， x＋ 4∈ [ － 1,0] ，f(x)＝ f(x＋ 4)＝－－x－4.从而， x∈ [－ 5，－ 4]时，函数f( x)＝－－x－ 4.－x2＋ 2x，x>0 ，10．已知函数f(x)＝0， x＝0，是奇函数．x2＋ mx， x<0(1)务实数 m 的值；(2)若函数 f( x)在区间 [ －1， a－ 2]上单一递加，务实数 a 的取值范围．解(1)设 x<0 ，则－ x>0 ，所以 f(－ x)＝－ (－ x)2＋2(－ x)＝－ x2－ 2x.又f(x)为奇函数，所以 f(－ x)＝－ f(x)，于是 x<0 时， f(x)＝ x2＋ 2x＝ x2＋mx，所以 m＝ 2.(2)由 (1) 知 f(x) 在[ －1,1] 上是增函数，要使 f(x)在 [－ 1，a－ 2]上单一递加．a－ 2>－ 1，联合 f(x)的图象知a－ 2≤ 1，所以 1< a≤3，故实数 a 的取值范围是 (1,3] ．B 组专项能力提高1．已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在R 上的奇函数，且 g(x) ＝ f(x－ 1)，则 f(2 013)＋f(2 015) 的值为()A ．－ 1B ．1C． 0D．没法计算答案C分析由题意，得g(－x)＝f(－ x－ 1)，又∵ f(x)是定义在R 上的偶函数， g( x)是定义在R 上的奇函数，∴ g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－ 1)＝－ f(x＋ 1)，∴f(x)＝－ f(x＋ 2)，∴ f(x)＝f(x＋ 4)，∴f(x)的周期为 4，∴f(2 013) ＝f(1)， f(2 015)＝ f(3) ＝ f(－ 1)，又∵ f(1) ＝ f(－ 1)＝ g(0) ＝ 0，∴f(2 013) ＋f(2 015)＝ 0.2．设奇函数 f(x)的定义域为 R ，最小正周期2a－3，则 a 的取值范T＝ 3，若 f(1)≥ 1， f(2) ＝a＋1围是() 2A ． a<－ 1 或 a≥3B ．a<－ 12 2C ．－ 1<a ≤ 3D ． a ≤ 3答案C 分析函数 f(x)为奇函数，则 f(1)＝－ f(－ 1)．由 f(1)＝－ f(－ 1)≥ 1，得 f(－1) ≤－ 1；函数的最小正周期 T ＝ 3，则 f(－ 1)＝ f(2) ，2a － 3 2 由 ≤ －1，解得－ 1<a ≤ .a ＋ 1 33．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且对随意的 x ∈ R 恒有 f(x ＋ 1)＝ f(x －1) ，已知当 x ∈ [0,1]时， f(x)＝ 2x ，则有①2 是函数 f(x)的周期；②函数 f(x)在(1,2) 上是减函数，在(2,3) 上是增函数；③函数 f(x)的最大值是1，最小值是 0.此中全部正确命题的序号是________．答案 ①②分析在 f(x ＋ 1)＝ f(x － 1)中，令 x －1＝ t ，则有 f(t ＋2)＝ f( t)，所以 2 是函数 f( x)的周期，故 ①正确；当 x ∈ [0,1] 时， f(x)＝2x 是增函数，则 f(x)在 [－ 1,0] 上是减函数，依据函数的周期性知，函数 f(x)在 (1,2)上是减函数，在(2,3) 上是增函数，故 ②正确；在区间 [ － 1,1] 上， f(x)的最大值为 f(1) ＝f(－ 1)＝ 2，f(x)的最小值为 f(0)＝ 1，故 ③ 错误．4．函数 f(x)的定义域为D ＝ { x|x ≠ 0} ，且知足对于随意 x 1， x 2∈ D ，有 f(x 1·x 2)＝ f(x 1)＋ f(x 2)．(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)假如 f(4)＝ 1， f(x － 1)<2 ，且 f(x)在 (0，＋∞ ) 上是增函数，求 x 的取值范围．解 (1) ∵ 对于随意 x 1， x 2∈ D ，有 f(x 1·x 2)＝ f(x 1) ＋f(x 2)，∴令 x 1＝ x 2＝ 1，得 f(1)＝ 2f(1) ， ∴ f(1) ＝ 0.(2) 令 x 1＝ x 2＝－ 1，有 f(1)＝ f(－ 1)＋ f(－ 1)，∴ f(－ 1)＝1f(1) ＝ 0.2令 x 1＝－ 1， x 2＝ x 有 f(－ x)＝ f(－ 1)＋ f(x)，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3) 依题设有 f(4× 4)＝ f(4) ＋f(4) ＝ 2，由(2) 知， f(x)是偶函数，∴f(x－ 1)<2? f(|x－ 1|)<f(16) ．又 f(x)在 (0，＋∞ )上是增函数．∴0<|x－ 1|<16，解之得－ 15<x<17 且 x≠ 1.∴x 的取值范围是 { x|－ 15<x<17 且 x≠ 1} ．5．设函数f(x)在(－∞，＋∞ )上知足 f(2－ x)＝ f(2＋ x)， f(7 －x)＝ f(7＋ x)，且在闭区间 [0,7] 上只有f(1) ＝ f(3) ＝ 0.(1)试判断函数y＝ f(x)的奇偶性；(2)试求方程f( x)＝ 0 在闭区间 [ －2 005,2 005] 上的根的个数，并证明你的结论．解(1) ∵ f(1)＝ 0，且 f(x)在 [0,7] 上只有 f(1) ＝f(3) ＝ 0，又∵ f(2－x)＝f(2＋ x)，令 x＝－ 3， f(－ 1)＝ f(5)≠ 0，∴f(－ 1)≠ f(1)，且 f(－ 1)≠ － f(1) ．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f(10＋ x)＝ f[2 ＋ 8＋ x]＝ f[2－ (8＋ x)]＝f(－ 6－x)＝f[7－ (13＋ x)] ＝ f[7＋ 13＋x]＝f(20＋ x)，∴f(x)以 10 为周期．又f(x)的图象对于 x＝ 7 对称知， f(x)＝ 0 在 (0,10)上有两个根，则 f(x)＝ 0 在(0,2 005] 上有 201× 2＝ 402 个根；在[ －2 005,0] 上有 200× 2＝ 400 个根；所以 f(x)＝ 0 在闭区间上共有802 个根．。
函数的单调性、奇偶性、周期性
函数的单调性、奇偶性、周期性一、知识回顾第一部分函数的单调性1.定义：一般地，设函数)(x f y =定义域为A ，区间A M ⊆.如果取区间M 中的任意两个值21,x x 该变量012>-=∆x x x 则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数，如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是偶函数，就说函数在这个区间M 上具有单调性.区间M 称为单调区间.2.单调性的判断:1.定义法：①21,x x 必须在定义域内，且给定关系21x x <；②作差)()(12x f x f -，作商)()(12x f x f （)(x f 恒大于零，或恒小于零）； ③整理变形.（转变成因式相乘，或相除的形式）；④定号判断)()(12x f x f -是否大于零，或)()(12x f x f 是否大于1； ⑤做结论.2.图象法：从左到右看图象的走势，上升即为增函数，下降即为减函数.3.定义变形：若0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则说)(x f 在这个区间上是增函数；若0)]()()[(2121<--x f x f x x ，则说)(x f 在这个区间上是减函数. 若0)()(2121>--x x x f x f ，则说)(x f 在这个区间上是增函数； 若0)()(2121<--x x x f x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数. （4）复合函数单调性判断：))((x g f y =，令)(x g m =，在区间),(b a 上，若)(x g m =为单调函数，且)(m f y =在区间))(),((b g a g 或))(),((a g b g 上也为单调函数，则)(m f y =，)(x g m =同增同减时，))((x g f y =为单调递增函数；)(m f y =，)(x g m =一增一减时，))((x g f y =为单调递减函数；3.性质：（1）若)(),(x g x f 均为增函数（减函数）则)()(x g x f +为增函数（减函数）.（2）若)(x f 为增函数（减函数）则)(x f -为减函数（增函数）.（3）互为反函数的两个函数单调性相同.（4）奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.（5）当),(b a x ∈时，)(),(x g x f 为增函数（减函数）且0)(,0)(>>x g x f 则)()(x g x f ⋅在),(b a 内递增（减）.（6）当),(b a x ∈时，)(x f 恒正（负），且)(x f 为增函数（减函数）则)(1x f 为减函数（增函数）. 第二部分函数的奇偶性1.奇函数：（1）设函数)(x f y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有D x ∈-，且)()(x f x f -=-则这个函数叫做奇函数.（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（3）奇函数的变式定义：对于函数)(x f y =，在它的定义域内，任意一个x 如果都有0)()(=+-x f x f 或)0)((,1)()(≠-=-x f x f x f ，则函数)(x f 叫奇函数. （4）奇函数)(x f 定义域为R ，则一定有0)0(=f .2.偶函数：（1）设函数)(x g y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有D x ∈-，且)()(x g x g =-则这个函数叫做偶函数.（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，那么这个函数是偶函数.（3）对于函数)(x f y =，在它的定义域内，任意一个x 如果都有0)()(=--x f x f 或1)()(=-x f x f ，)0)((≠x f 则函数)(x f 叫偶函数. （4）)(x f 为偶函数)()()(x f x f x f ==-⇔.3判断函数的奇偶性：（1）定义域必须对称.（2）整理)(x f -的形式，尤其是指数和对数.（3）确定⎩⎨⎧-=-奇函数偶函数)()()(x f x f x f4.若奇函数)(),(x g x f 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f ±为奇函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为偶函数；)()(x g x f 为偶函数. 若偶函数)(),(x g x f 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f ±为偶函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为偶函数；)()(x g x f 为偶函数. 若偶函数)(x f 与奇函数)(x g 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f 为奇函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为奇函数；)()(x g x f ±奇偶性不确定. 5.常见结论：（1）1()(01)1x x a f x a a a -=>≠+且为奇函数. （2）为奇函数且)10)(1(log )(2≠>++=a a x x x f a . （3）为奇函数且)10(log )(≠>-+=a a xb x b x f a . （4）若)(b ax f +为偶函数，有)()(b ax f b ax f +-=+;若)(b ax f +为奇函数，有)()(b ax f b ax f +-=+-.第三部分函数的周期性1.定义：对于函数)(x f 如果存在非零的常数T ，使得当x 取定义域内的任何数时，都有)()(x f T x f =+那么就称)(x f 为周期函数.T 为)(x f 的一个周期.2.相关结论:设实数0≠m ，若对于函数)(x f 的定义域内的任意x ，恒有以下关系：（1）)()(x f m x f -=+；（2）)(1)(x f m x f =+；（3）)(1)(x f m x f -=+； （4）1)(1)()(-+=+x f x f m x f ；（5）1)()(1)(+-=+x f x f m x f ； （6）)()(m x f m x f -=+；则)(x f 是周期m T 2=的周期函数.（7）)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； （8）)()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a ；（9）若)()(x a f x a f -=+且)(x f 是偶函数，则)(x f y =是周期为2a 的周期函数；若)()(x a f x a f -=+且)(x f 是奇函数，则)(x f y =是周期为4a 的周期函数（10）若)()(x a f x a f --=+且)(x f 是偶函数，则)(x f y =是周期为4a 的周期函数.若)()(x a f x a f --=+且)(x f 是奇函数，则)(x f y =是周期为2a 的周期函数. 若)(x f y =关于点（a ，0），（b ，0）对称，则)(x f 是周期为2b a -的周期函数.（11）)(x f y =的图象关于直线a x =，b x =（b a ≠）对称，则函数)(x f y =是周期为2b a -的周期函数.（12）如果函数)(x f y =的图象有一个对称中心)0.(a A 和一条对称轴)(,b a b x ≠=，则函数)(x f y =必是周期函数，且周期为b a T -=4.二、精选例题第一部分：函数的单调性例1.下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（）A 3x y =B 1+=x yC 12+-=x yD x y -=2【解析】因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以内层有它们的就是偶函数，但是它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定.由偶函数可排除A ，再由增函数排除C ，D ，故选B例2.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________【答案】1(,)2-+∞【解析】因为210x +>，所以定义域为1(,)2-+∞，由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2-+∞.例3.若函数32)(2+-=mx x x f 在[)∞+-,2上是增函数，在(]2,-∞-上为减函数，则)1(f 等于（）A : 11 B: 10 C: 12 D: 13 【解析】由题意可知对称轴24-==m x ，8-=∴m ，382)(2++=x x x f ，13)1(=∴f . 例4.求证：)0()(2>+=a xa x x f 在区间(]a ,0是单调递减函数. 【解析】任取a x x ≤<<210， 则212211212122212))(()()(x x a x x x x x a x x a x x f x f --=--+=-， a x ≤<20Θ，a x <<10Θ，2210a x x <<∴，又012>-x x ，0)()(12<-∴x f x f ，)()(12x f x f <∴，故)(x f 在区间(]a ,0是单调递减函数.例5.下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是（A ）(,1]-∞ （B ） 41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ） 3[0,)2 （D ） [1,2)【解析】用图象法解决，将lg y x =的图象关于y 轴对称得到()lg y x =-，再向右平移两个单位，得到()()lg 2y x =--，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，即得到()lg(2)f x x =-的图象.由图象，选项中()f x 是增函数的显然只有D例6.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，点A的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,12【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则0t =时3πα=，每秒钟旋转6π， 在[]0,1t ∈上[,]32ππα∈，在[]7,12上37[,]23ππα∈， 动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的.例7.求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间.【解析】由062≥-+x x ，得3-≤x ，或2≥x .)(x f ∴的定义域为{}2,3≥-≤x x x 或，令62-+=x x u ，则原函数化为u y =，而425)21(622-+=-+=x x x u ， （1）当(]3,-∞-∈x 时，函数u 关于x 为减函数，y 关于u 为增函数，为减函数，区间关于x y ∴(]3,-∞-为函数)(x f 的单调递减区间；（2）当(]∞+∈,2x 时，函数u 关于x 为增函数，y 关于u 为增函数，为增函数，区间关于x y ∴(]∞+,2为函数)(x f 的单调递增区间；故函数)(x f 的单调递增区间为(]∞+,2，单调递减区间为(]3,-∞-.例8.求函数421342)(22+-+-=x x x x x f 在区间),2(∞+上的单调性. 【解析】3)1(524252425842421342)(222222+-+=+-+=+-++-=+-+-=x x x x x x x x x x x x f ， 当2>x 时，3)1(2+-x 是递增的，∴3)1(52+-x 是递减的， 即3)1(52)(2+-+=x x f 是递减的， ∴421342)(22+-+-=x x x x x f 在区间),2(∞+上是递减的，区间),2(∞+为减区间. 例9.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.（1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 折取值范围.【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<， ∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数.（2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x ab >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x ab <-，则 1.5log ()2ax b <-.第二部分：函数的奇偶性例1.设函数()f x 和g （x ）分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） A . ()()f x g x +是偶函数 B. ()()f x g x +是奇函数C. ()()f x g x +是偶函数D. ()()f x g x -是奇函数【解析】设()()()h x f x g x =+，|)(|)(|)(|)(|)(|)()(|)(|)()(x g x f x g x f x g x f x h x g x f x h +=-+=-+-=-∴+=)(x h =，所以)(x h 是偶函数，所以选A .例2.若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a =.【答案】 0 【解析】22()(),)f x f x x x a x x a -=--+=-+即(-， 则,,0x a x a x R a -=+∈∴=Q例3.函数22log 2xy x -=+的图象（A ）关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称【解析】由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f （-x ）= 22log 2x x+-=-f （x ），故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A . 例4.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<-x f 的解集.【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x f <-， 又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出：1210<-<x ，得2321<<x ； 又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ， 于是又得)1()21(-<-f x f ，即121-<-x ，得21-<x ， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<212321x x x 或. 例5.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式.【解析】)0(12)(23>-+=x x x x f Θ，设0<x ，则0>-x 121)(2)()(2323-+-=--+-=-∴x x x x x f ，又Θ)(x f 为奇函数，12)(,12)(,12)(232323+-=∴-+-=-∴-+-=-∴x x x f x x x f x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<+-=∴0,120,00,12)(2323x x x x x x x x f例6.数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）（A ） ()f x 是偶函数 （B ） ()f x 是奇函数（C ） ()(2)f x f x =+ （D ） (3)f x +是奇函数【解析】Q (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D例7.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f 的解集. 【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x x f <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-， 又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出1)21(0<-<x x ， 解得417121+<<x 或04171<<-x ； 又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ， 于是又得)1()21(-<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-f x x f ，即1)21(-<-x x ，得φ∈x ， ∴原不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<+<<0417*******x x x 或. 例8.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则（ ） （A ）(3)(2)(1)f f f <-< （B ） (1)(2)(3)f f f <-<（C ） (2)(1)(3)f f f -<< （D ） (3)(1)(2)f f f <<-【解析】由2121()(()())0x x f x f x -->等价于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增，又()f x 是偶函数，故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时， (2)(2)f f -=， 03>21>>，得(3)(2)(1)f f f <-<，故选A .第三部分：函数的周期性例1.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（A ） -12 （B ）1 4- （C ）14 （D ）12【答案】A【解析】5511()(2)()()2222f f f f -=-+=-=-Q 1112()(1)222=-⨯-=-故选A 例2.设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为.【答案】[15,11]-例3.若定义在R 上的奇函数满足)()2(x f x f -=+，求)2010(f 的值.【解析】)()2(x f x f -=+Θ，)()4(x f x f =+∴，又)(x f 在R 上为奇函数，故0)0(=f ， 0)2(=∴f ，从而0)2()2010(==f f例4.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【解析】因为当02x ≤<时， 3()f x x x =-，又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =，所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====，又因为(1)0f =，所以(3)0f =，(5)0f =，故函数()y f x =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为7个，选B.例5.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（ ） A .T B.0 C.2T D.不能确定 【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(T f T f -=-， 从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴T f . 例6.给出下列三个命题：①函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图象也关于直线y x =对称；③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数.其中真命题是A . ①② B. ①③ C.②③ D. ②【解析】考虑定义域不同，①错误，排除A 、B ；验证③， ()[2()](2)f x f x f x -=--=+，又通过奇函数得()()f x f x -=-，所以f （x ）是周期为2的周期函数，选择C.例7.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）（A ） ()f x 是偶函数 （B ） ()f x 是奇函数（C ） ()(2)f x f x =+ （D ） (3)f x +是奇函数【解析】Q (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D例8.定义在R 上的函数()f x 满足()f x = ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则(2009)f 的值为 A .-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=，所以函数()f x 的值以6为周期重复性出现.，所以(2009)f = (5)f =1，故选C.例9.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A .(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<【解析】因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数，(0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D.三、课堂训练第一部分：函数的单调性1.对于函数(),y f x x R =∈，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要【解析】由奇函数定义，容易得选项B 正确.2.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A .1ln ||y x = B.3y x = C.||2x y = D.cos y x =【解析】由偶函数，排除B;由减函数，又排除B 、D ，故选A .3.函数1()f x x x=-的图象关于（ ） A .y 轴对称 B.直线x y -=对称 C.坐标原点对称 D.直线x y =对称 【解析】1()f x x x=-是奇函数，所以图象关于原点对称 4.已知函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，求实数a 的范围.【解析】[]222)1(2)1(2)1(2)(a a x x a x x f --+--=+--=[][]2222)1()1(12)1(++--=+++--=a a x a a a x ，∴函数减区间(]a -∞-1,，而已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数， ∴(]∈∞-4,(]a -∞-1,，即,14a -≤即3-≤a .5.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ） [1,)+∞（C ） (2,)+∞ （D ） [2,)+∞【解析】由0a b <<，且()()f a f b =得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x '=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2 6.已知函数10)2(2)(2-++=x m x x f 在区间()3,1上是增函数，求)1(f 的取值范围.【解析】10)2(2)(2-++=x m x x f 的对称轴为)2(+-=m x ，在区间()3,1上为增函数， 而)(x f 是开口向上的抛物线，在[]∞++-,)2(m 上是增函数，()3,1∴是[]∞++-,)2(m 的一个子区间，3,)2(1-≥+-≥∴m m ，115)3(252101)2(21)1(2-=--⨯≥-=-⨯++=∴m m f ，即11)1(-≥f .7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞【解析】由已知，函数先增后减再增，当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x当0<x ，3,36-==+x x 故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或8.已知函数[)∞+∈++=,1,2)(2x x a x x x f ，当21=a 时，求函数)(x f 的最小值； 【解析】当21=a 时，222)21(221)(2++-=++=x x x x x f ， 当且仅当xx 21=，即21=x 时，)(x f 最小，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,21上递增，∴在区间上[)∞+,1为增函数， 272211)1(=++=∴f 是函数)(x f 的最小值. 9.设函数)0()(>>++=b a bx a x x f ，求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在单调区间上的单调性. 【解析】在定义域内任取21x x <，))(())(()()(2121221121b x b x x x a b b x a x b x a x x f x f ++--=++-++=-∴， 0,0,021<-<-∴>>x x a b b a Θ，只有当b x x -<<21或21x x b <<-时函数才单调.当b x x -<<21或21x x b <<-时，函数0)()(21>-x f x f ，)(x f ∴在()b -∞-,和()∞+-,b 上是单调减函数.第二部分：函数的奇偶性1.函数()412x xf x +=的图象 A . 关于原点对称 B. 关于直线y =x 对称 C.关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称【解析】)(241214)(x f x f x xx x =+=+=---)(x f ∴是偶函数，图象关于y 轴对称 2.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f 2)(3+=；（2）xx x x f -+⋅-=11)1()( 【解析】（1）因为定义域为R ，关于原点对称，且)(2)(2)()(33x f x x x x x f -=--=-+-=-，故)(x f 为奇函数.（2）函数的定义域满足011≥-+xx ，所以函数的定义域为{}11<≤-x x ， 因为定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.3.判断下列函数的奇偶性：（1）2432)(x x x f +=；（2）2211)(x x x f -+-=【解析】（1）定义域关于原点对称，又有24)(3)(2)(x x x f -+-=-=)(3224x f x x =+，故)(x f 为偶函数.（2）由题意知，定义域为{}1,1-，关于原点对称，且有0)(=x f ，所以)(x f 为既奇又偶函数.4.下面四个结论：① 偶函数的图象一定与y 轴相交；② 奇函数的图象一定通过原点；③ 偶函数的图象关于y 轴对称；④ 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=.其中正确结论的是： .【解析】偶函数图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，反例：1)(-=x x f ，故①错；奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，反例：1)(-=x x f ，故②错；若)(x f 是既奇又偶，有0)(=x f ，但未必R x ∈，反例：0)(=x f ，2±=x ，故④错；所以，只有③正确.5.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（ ） A .2- B.1- C.1 D.2【解析】1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=，故选C.6.判断函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f 的奇偶性. 【解析】当0>x 时，1)(+=x x f ，0<-x ，)()1(1)(x f x x x f -=+-=--=-∴；当0<x 时，1)(-=x x f 0>-x ，)()1(1)(x f x x x f -=--=+-=-∴；当0=x 时，0)()(==-x f x f ，综上)()(x f x f -=-；故函数为奇函数.7.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式.【解析】)0(12)(23>-+=x x x x f Θ，设0<x ，则0>-x ， 121)(2)()(2323-+-=--+-=-∴x x x x x f ，又Θ)(x f 为奇函数，12)(,12)(,12)(232323+-=∴-+-=-∴-+-=-∴x x x f x x x f x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<+-=∴0,120,00,12)(2323x x x x x x x x f .8.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<-x f 的解集.【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x f <-， 又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出：1210<-<x ，得2321<<x ； 又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ， 于是又得)1()21(-<-f x f ，即121-<-x ，得21-<x ， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<212321x x x 或. 第三部分：函数的周期性1.若)(x f 的最小正周期是T 2，且)()(x T f T x f -=+对一切实数x 恒成立，则)(x f 是（ ）A . 奇函数 B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】)(x f Θ的周期是T 2，)()2()(T x f T x T f x T f --=--=-∴，[])()(T x f T x f +-=+∴，设u T x =+，)()(u f u f -=∴为偶函数.2.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（）A . T B. 0 C.2T D. 不能确定 【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(T f T f -=-， 从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴T f . 3.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且132)2(,1)1(+-=>m m f f ，求m 的取值范围. 【解析】Θ)(x f 是定义在R 上的奇函数，1)1()1(>--=∴f f ，1)1(-<-∴f ， 而)(x f 的最小正周期为3，1)2()31()1(-<=+-=-∴f f f ， 从而1132-<+-m m ，解得321<<-m . 4.已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1）若f （0）＝2004，求f （2004）【解析】因为f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1），所以f （x ＋1）＝f （x ）＋f （x ＋2）两式相加得0＝f （x －1）＋f （x ＋2） 即：f （x ＋3）＝－f （x ）∴f （x ＋6）＝f （x ），故f （x ）是以6为周期的周期函数，又2004＝6×334，∴f （2004）＝f （0）＝20045.定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为_____.【解析】()x f 为奇函数且周期为T ，().00=∴f()().0=-=∴T f T f 又,2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T f T f T T f T f Θ .02,02=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴T f T f ()x f ∴在[]T T ,-上至少有5个根. 6.对于定义在R 上的函数f （x ），有下述四个命题，其中正确命题的序号为________. ①若f （x ）是奇函数，则f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称；②若对x ∈R ，有f （x ＋1）＝f （x －1），则y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称； ③若函数f （x －1）的图象关于直线x ＝1对称，则f （x ）为偶函数；④函数y ＝f （1＋x ）与函数y ＝f （1－x ）的图象关于直线x ＝1对称.【解析】f （x －1）的图象是由f （x ）的图象向右平移一个单位而得到，又f （x ）是奇函数，其图象关于原点对称，所以f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称，故①正确；由f （x ＋1）＝f （x －1）可知f （x ）的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误； f （x －1）的图象关于直线x ＝1对称，则f （x ）关于y 轴对称，故f （x ）为偶函数，③正确；y ＝f （1＋x ）的图象是由y ＝f （x ）的图象向左平移一个单位后得到，y ＝f （1－x ）是由y =f （x ）的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到， 两者图象关于y 轴对称，故④错误.7.定义在R 上的奇函数)(x f 以5为周期，若0)3(=f ，则在()10,0内，0)(=x f 的解得最少个数是（ ）A .3 B.4 C .5 D .7【解析】0)8()53()3(==+=f f f ，又)0()0(f f -=-，)0()0(f f =∴，0)0()50()5(==+=∴f f f ，又0)3()3(=-=-f f ，0)2()53()3(==+-=-∴f f f ，0)2()52()7(==+=∴f f f ，从而有0)5()8()3()7()2(=====f f f f f ，而)25()525()25(f f f =+-=-∴，且)25()25(f f -=-，0)25(=∴f ， 0)5.7()525(==+∴f f ， ∴在()10,0内使0)(=x f 的解为8,7,5,3,2=x ，以及5.7,5.2=x .8.已知)(x f 是R 上的偶函数，)(x g 是R 上的奇函数，且)1()(-=x f x g ，若2)2(=f ，求)2004(f 的值为.【解析】Θ)1()(-=x f x g ，① ∴)1()1()(+=--=-x f x f x g ， ②两式相加得：0)1()1(=-++x f x f ，③，由③可知0)1()3(=+++x f x f ，④ ，④-③得)1()3(-=+x f x f ，即)()4(x f x f =+，)(x f ∴以4为周期，从而)0()05014()2004(f f f =+⨯=，2)2()0(-=-=f f ，2)2004(-=∴f .9.设)(x f 是()∞+∞-,上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，求)5.7(f 的值.【解析】Θ对任意的R x ∈，都有)()2(x f x f -=+，[][])()()2(2)2()4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+，∴)(x f 是周期4=T 的周期函数，)5.0()45.3()5.3()45.7()5.7(-=-==-=∴f f f f f ，)(x f Θ为奇函数，)5.0()5.0(f f -=-∴，5.0)5.0()5.7(-=-=∴f f .四、课后作业【训练题A 类】1.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是A . )2,(-∞B （0，3） C.（1，4） D. ),2(+∞2.若函数2()()a f x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（） A .a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数B.a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C.a ∃∈R ，()f x 是偶函数D.a ∃∈R ，()f x 是奇函数3.函数y =22log 2x y x-=+的图象 （A ）关于原点对称（B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称4.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A .()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+5.已知12a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 .6.已知)(x f 是周期为T 的周期函数，那么)12(+x f 是（）A . 周期为T 的周期函数 B. 周期为T 2的周期函数C.周期为2T 的周期函数 D.不是周期函数 7.若)(x f 的最小正周期是T 2，且)()(x T f T x f -=+对一切实数x 恒成立，则)(x f 是（）A .奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数8.定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为_____.9.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（） A . T B. 0 C.2T D. 不能确定 10.函数()21x b ax x f ++=是定义在()1,1-上的奇函数，且.5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 试确定函数()x f 的解析式.【参考答案】1.【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-，令()0f x '>，解得2x >2.【答案】C【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数 3.【答案】A【解析】由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A .4.【答案】A【解析】依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确.5.【答案】m <n【解析】 1(0,1)2a =∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m <n 6.【答案】C【解析】)()(T x f x f +=Θ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+∴1)2(2)12()12(T x f T x f x f ，所以周期为2T. 7.【答案】B【解析】)(x f Θ的周期是T 2，)()2()(T x f T x T f x T f --=--=-∴，[])()(T x f T x f +-=+∴，设u T x =+，)()(u f u f -=∴为偶函数.8.【答案】5【解析】()x f 为奇函数且周期为T ，().00=∴f ()().0=-=∴T f T f又,2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T f T f T T f T f Θ.02,02=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴T f T f()x f ∴在[]T T ,-上至少有5个根.9.【答案】【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(Tf T f -=-，从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴Tf10.【解析】依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==52)21(0)0(f f ， 即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+015241120012b a b a b，21)(x x x f +=∴ 【训练题B 类】1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程()f x =m （m >0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=2.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则f （f （52））的值是（ ）A .0B.12C.1D.523.奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，且最小值是5，则)(x f 在区间[]3,7--上是A .增函数，且最大值是5- B.增函数，且最小值是5- C. 减函数，且最大值是5- D.减函数，且最小值是5-4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且2)()(2-+=+x x x g x f ，求)(x f 、)(x g 的解析式.5.已知定义域为R 的函数)(x f 在()∞+,8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A .)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f >6.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对于任意的[]2,+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，求实数t 的取值范围.7.已知函数)(x f y =，R x ∈满足)()(x f x f =-，则下列各点中必在函数)(x f y =图象上的是（ ）A .())(,a f a - B.())(,a f a -- C.())(,a f a --- D.())(,a f a -8.下列说法正确的是.______① 函数3)(=x f ，因为该函数解析式中不含x ，无法判断其奇偶性； ② 偶函数一定与y 轴相交；③ 若)(x f y =是奇函数，由)()(x f x f -=-知0)0(=f ； ④ 若一个图形关于y 轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象.9.设()()()2++=x bg x af x F 在()+∞,0上有最大值8，且()()x g x f ,都是奇函数，则在()0,∞-上()x F 有（ ）A .最大值8 B.最小值8- C.最小值4- D.最大值10-【参考答案】1.【答案】-8【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =， 由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程f （x ）=m （m >0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ， 不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-2.【答案】A【解析】由已知令x ＝0，则(0)0f =，由已知令x ＝－12，得－12f （12）＝12f （－12）＝12f （12），∴f （12）＝0.又令x ＝12，得12f （32）＝32f （12），又∵f （12）＝0，∴f （32）＝0.再令x ＝32，得32f （52）＝52f （32），∵f （32）＝0，∴f （52）＝0.∴f （f （52））＝f （0）＝0.3.【答案】C【解析】Θ奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，∴)(x f 在区间[]3,7--上也是增函数，由图象可知结果.4.【解析】Θ)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，)()(,)()(x g x g x f x f -=-=-∴，由2)()(2-+=+x x x g x f ，得2)()(2--=-+-x x x g x f ， 即2)()(2--=-x x x g x f ，所以x x g x x f =-=)(,2)(2.5.【答案】D【解析】Θ)8(+=x f y 为偶函数，)8()8(+=+-∴x f x f ，)(x f ∴的对称轴为8=x ， Θ)(x f 在()∞+,8上为减函数，)(x f 由对称性知∴在()8,∞-上为增函数，故由单调性及对称轴结合图象知)10()7(f f >.6.【解析】若0>t ，则222)()(2)(x t x x f t x f ≥+⇔≥+，即[]2,,0222+∈≤--t t x t tx x 恒成立；⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≤--∴0)2(2)2(0222222t t t t t t t 恒成立，即2≥t . 7.【答案】A【解析】Θ)()(x f x f =-，∴当a x -=时，)()(a f a f y =-=，∴点())(,a f a -在图象上.8.【答案】④【解析】根据奇偶性的定义可知，错误的是①②③. 9.【答案】C【解析】由()()()+∞∈≤++,0,82x x bg x af 得()()()()x f x g x bg x af ,.6Θ≤+都是奇函数，()()()()42,6-≥+-+-∴-≥-+-∴x bg x af x bg x af ）【训练题C 类】1.有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.2.设函数ax x x f -+=1)(2，其中0a >.（Ⅰ）解不等式)(x f ≤1；（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数)(x f 在区间[0，+∞]上是单调函数.3.已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f . （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值： （2）若对任意0)(],,1[>+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围.4.已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围.5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）A . 必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或是减函数D.无法确定增减性6.当(]5,0∈x 时，函数c x x x f +-=43)(2的值域为（ ）A .[])5(,)0(f f B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡)23(,)0(f f C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5(,)32(f f D. [])5(,f c7.函数x x y )3(--=的递增区间是__________. 8.已知函数)1(13)(≠--=a a axx f （1）若0>a ，则)(x f 的定义域是________；（2）若)(x f 在区间(]1,0上是减函数，则实数a 的取值范围是________. 9.函数)(x f 的定义域为{}0>=x x D ，且满足：对于任意D n m ∈,，都有)()()(n f m f n m f +=⋅.（1）求)1(f 的值；（2）如果,2)62()13(,1)2(≤-++=x f x f f (2)1f =，且)(x f 在()∞+,0上是单调增函数，求x 的取值范围.10.若函数5)(2++=x mx x f 在[]∞+-,2上是增函数，求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】（1）当0.47(1)()(3)(4)x f x f x x x ≥+-=--时，而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)x x -->0故(1)()f x f x +-单调递减∴当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降（2）由题意可知0.1+15l n6a a -=0.85，整理得0.056a e a =- 解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1e a e =⋅=⨯=∈- 由此可知，该学科是乙学科2.【解析】（Ⅰ）不等式1)(≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0φa .所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥02)1(,02a x a x所以，当10≤≤a 时，所给不等式的解集为}120|{2aax x -≤≤； 当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x . （Ⅱ）在区间),0[+∞上任取21,x x 使得12x x <1212221212()()()()().f x f x a x x a x x x x a -=-=--⎛⎫⎪=--⎪⎭∵1,a 1<≥且0a -<，又120x x -<，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数.3.【解析】（1）当221)(,21++==xx x f a 时， )(x f Θ在区间),1(+∞上为增函数，∴)(x f 在区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， （2）解法一：在区间),1(+∞上，0202)(22<++⇔>++=a x x xa x x x f 恒成立恒成立，设),1(,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立， 故3->a .解法二：],1[,2)(+∞∈++=x xax x f ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， 当0<a 时，函数)(x f 递增，故当a x f x +==3)(,1min 时， 于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立， 故3->a .4.【解析】（1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数. （2）设212≥>x x ，()()22212121x a x x a x x f x f --+=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ， 即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a . 另解（导数法）：()22'xa x x f -=， 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立， 即022≥-xax ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立， 故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数.5.【答案】D6.【答案】C【解析】结合函数图象可知，当32≥x时，)(xf为增函数，当32<x时为减函数，故)(xf最大值为)5(f，最小值为)32(f，所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5(,)32(ff.7.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0【解析】⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=--=33)3(22xxxxxxxxy，作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0.8.【答案】3,a⎛⎤-∞⎥⎝⎦；(](]3,10,Y∞-∈a【解析】（1）Θ0>a且1≠a，要使)(xf有意义，只需03≥-ax，即ax3≤，⎥⎦⎤⎝⎛∞-∈∴ax3,.（2）若0=a，3)(-=xf，不合题意；若axya-=<3,0是(]1,0上的增函数，且01<-a，)(xf∴是(]1,0上的减函数；若0>a，axy-=3Θ是(]1,0上的减函数，故需01>-a，1>∴a，另一方面，)(xf的定义域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-a3,，(]3,1,3,13∈∴≤∴≥∴aaa，综上知(](]3,10,Y∞-∈a.9.【解析】（1）令,1==nm有)1()1()11(fff+=⨯，解得0)1(=f；（2）2)2()2()22()4(=+=⨯=ffff，所以)4()62()13(2)62()13(f x f x f x f x f ≤-++⇔≤-++， 因为)(x f 在()∞+,0上是单调增函数， 所以)4()62()13(f x f x f ≤-++⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>->+⇔4)62)(13(062013x x x x 33143+≤<⇔x故x 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+3314,3.10.【解析】当0=m ，5+=x y 在[]∞+-,2上是增函数，当0>m 时，且221-≤-m ，解得：410≤<m ， 综上所述，m 的取值范围是410≤≤m .。
高三函数的单调性、奇偶性、周期性
辅导讲义学员编号：年级：高三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题（单调性）（奇偶性和周期性）（函数的基本性质综合）授课日期及时段教学内容知识梳理函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。
2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法 （2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。
直接判定函数的单调性，可用到以下结论：（3.1）的单调性相反。
与函数函数)()(x f y x f y =-= （3.2）函数)(x f 恒为正或恒为负时，的单调性相反。
函数的奇偶性与周期性及答案
函数的奇偶性与周期性考点一：函数的奇偶性1、下列函数是偶函数的是（ ）A 、sin y x =B 、3y x =C 、x y e =D 、y =2、若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则A 、()f x 与()g x 均为偶函数B 、()f x 为偶函数，()g x 为奇函数C 、()f x 与()g x 均为奇函数D 、()f x 为奇函数，()g x 为偶函数3、设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -= 。
4、讨论下列函数的奇偶性（1）2()(1)f x x x =+；（2）()(f x x =+ （3）2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-++>=⎨+-<⎩（4）()f x =规律总结：1、利用定义判断奇偶性的方法：（1）首先求函数的定义域，只有定义域关于原点对称才能继续讨论奇偶性，否则这个函数非奇非偶；（2）在定义域关于原点对称的前提下，计算()f x -，看()()f x f x -=还是()()f x f x -=-或者两者都不是，如果()()f x f x -=，那么是偶函数；如果()()f x f x -=-，那么是奇函数；2、如果已知函数奇偶性以及一半区间的函数解析式，应利用()()f x f x -=或()()f x f x -=-的关系来求另一半函数的解析式。
考点二：函数的周期性1、若()f x 是周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，则(3)(4)f f -等于（ ）A 、1-B 、1C 、2-D 、22、已知()f x 在R 上为奇函数，并满足(2)()f x f x +=-，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则(2013)f =（ ）A 、2-B 、2C 、18-D 、183、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=-，当12x ≤≤时，()2f x x =-，则(6.5)f = 。
函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性(解析版)
函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性目录一、常规题型方法1题型一函数的单调性1题型二函数的奇偶性4题型三单调性与奇偶性的综合应用10题型四函数的周期性13题型五函数的对称性18题型六周期性与对称性的综合应用22二、针对性巩固练习26练习一函数的单调性26练习二函数的奇偶性28练习三单调性与奇偶性的综合应用30练习四函数的周期性32练习五函数的对称性34练习六周期性与对称性的综合应用36常规题型方法题型一函数的单调性【典例分析】典例1-1．(2020·天津·高一期末)函数f (x )=log 13-x 2+6x -5 的单调递减区间是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(1,3]D.[3,5)【答案】C 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由f x =log 13-x 2+6x -5 ，则-x 2+6x -5>0，x -5 x -1 <0，解得1<x <5，即函数f x 的定义域1,5 ，由题意，令g x =log 13x ，h x =-x 2+6x -5，则f x =g h x ，易知g x 在其定义域上单调递减，要求函数f x 的单调递减区间，需求在1,5 上二次函数h x 的递增区间，由h x =-x 2+6x -5=-x -3 2+4，则在1,5 上二次函数h x 的递增区间为1,3 ，故选：C .典例1-2．(2022·湖北武汉·高一期中)若二次函数f x =ax 2+a +6 x -5在区间-∞，1 为增函数，则a 的取值范围为( )A.-2，0B.-2，0C.-2，0D.-2，0【答案】A 【分析】根据条件确定二次函数的图象应开口向下，再利用端点值和对称轴比较大小.【详解】当a <0时，-a +62a≥1，解得：a ≥-2，所以-2≤a <0，当a >0时，不满足条件，综上可知：-2≤a <0故选：A典例1-3．(浙江省台州山海协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1ax ,x >1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,2B.1,2C.1,+∞D.0,1【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1a x,x >1 是定义在R 上的减函数，所以a ≥1a >01-2a +52a ≥a解得1≤a ≤2，即a ∈1,2 .故选：A .【方法技巧总结】1.函数单调性的判断方法有：定义法、性质法、图像法、导数法。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。
二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。
高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
函数的单调奇偶及周期性_附答案
三、函数的性质 1．函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．2．函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．例4．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<（2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例5．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2}【思路点拨】先求()f x 的解析式，即338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，然后再去解(2)0f x ->这个不等式。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性(含答案)函数的单调性及奇偶性1.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是上的增函数，若$x>0$，则下列不一定正确的是()答案：D解题思路：$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，所以选项D不一定正确。
2.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)=ax^2+bx+c$，则实数$a$的取值范围是()答案：C解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，即$a>0$，$b^2-4ac<0$，所以$a$的取值范围是$(0,+\infty)$，选项C正确。
3.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是()答案：B解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$a>0$，$b^2-4ac<0$，且$b\geq0$，所以$a\leq\frac{1}{4}$，选项B正确。
4.函数$f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$的单调递减区间是()答案：A解题思路：求出$f'(x)$，令其小于0，解得$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$，即$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$上单调递减，选项A正确。
(五)函数的单调性奇偶性与周期性
（五）函数的单调性、奇偶性与周期性（一） 知识归纳 ▲函数的单调性 1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ； ②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
▲函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =▲函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微专题30
1．答案：－2.
解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－0)＝－f (0)，f (－3)＝－f (3)，所以f (0)＝0，f (3)＝－2，则f (0)＋f (3)＝－2.
2．答案：f (3)＜f (－2)＜f (1)．
解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－2)＝f (2)．又任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1
＜0恒成立，则任意x 2＞x 1≥0时，f (x 2)－f (x 1)＜0，所以f (x )在[0，＋∞)上是单调递减函数．所以，f (3)＜f (－2)＜f (1)．
3．答案：－4.
解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，于是m ＝－1，所以f (－log 35)＝
－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.
4．答案：(－1，3)．
解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，所以f (x －1)＞0可化为f (|x －1|)＞f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以|x －1|＜2，解得－1＜x ＜3.
5．答案：(－2，0)∪(0，2)．
解析：因为函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函
数，f (2)＝0，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数，f (－2)＝0.由x ·f (x )＜0得，⎩⎨⎧x ＜0，f （x ）＞0，
或⎩⎨⎧x ＞0，f （x ）＜0，，即⎩⎨⎧x ＜0，－2＜x ＜0，或⎩⎨⎧x ＞0，0＜x ＜2，
所以原不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)． 6．答案：(2，3)．
解析：f ′(x )＝cos x －1－ln2(2－x ＋2x )≤cos x －1－22－
x ·2x ＝cos x －3＜0，则函数f (x )在R 上
是单调减函数．又f (－x )＝－sin x ＋x ＋1－4－x
2
－x ＝ －⎝
⎛⎭⎫sin x －x ＋1－4x 2x ＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，所以f (1－x 2)＋ f (5x －7)＜0可化为f (1－x 2)＜－f (5x －7)＝f (7－5x )，即1－x 2＞7－5x ，解得2＜x ＜3.所以，不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)＜0的解集为(2，3)．
7．答案：(1)奇函数；(2)(－∞，1)∪(4，＋∞)．
解析：(1)函数f (x )是奇函数，证明如下：由x ＋1x －1
＞0，得x ＜－1，或x ＞1，则函数 f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝
ln x 1＋1x 1－1－ln x 2＋1x 2－1＝ln （x 1＋1）·（x 2－1）（x 1－1）·（x 2＋1）＝ln x 1·x 2＋x 2－x 1－1x 1·x 2＋x 1－x 2－1 因为x 2＞x 1＞1，所以x 1·x 2＋x 2－x 1－1＞0，x 1·x 2＋x 1－x 2－1＞0，且(x 1·x 2＋x 2－x 1－1)
－(x 1·x 2＋x 1－x 2－1)＝2(x 2－x 1)＞0，
则x 1·x 2＋x 2－x 1－1x 1·x 2＋x 1－x 2－1＞1，所以f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1·x 2＋x 2－x 1－1x 1·x 2＋x 1－x 2－1
＞0，则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减函数．
因为函数f (x )是奇函数，所以f (x 2＋x ＋3)＋f (－2x 2＋4x －7)＞0可化为：f (x 2＋x ＋3)＞－f (－2x 2＋4x －7)＝f (2x 2－4x ＋7)，又x 2＋x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋122
＋114＞1，2x 2－4x ＋7＝2(x －1)2＋5＞1，函数f (x )在(1，＋∞)单调递减，所以x 2＋x ＋3＜2x 2－4x ＋7，解得x ＜1，或x ＞4，则原不等式的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)．
8．答案：(1)非奇非偶函数；(2)增函数；(3)[0，＋∞)．
解析：(1)由二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，得a ＞0且4ac －164a
＝0，解得ac ＝4.∵f (1)＝a ＋c －4，f (－1)＝a ＋c ＋4，a ＞0且c ＞0，从而f (－1)≠
f (1)，f (－1)≠－f (1)，∴此函数是非奇非偶函数．
(2)函数的单调递增区间是),2[+∞a
设x 1，x 2是满足x 2＞x 1≥2a 的任意两个数，从而有x 2－2a ＞x 1－2a
≥0，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2a 2＞⎝⎛⎭⎫x 1－2a 2.又a ＞0，∴a ⎝⎛⎭⎫x 2－2a 2＞a ⎝⎛⎭⎫x 1－2a 2，从而a ⎝⎛⎭⎫x 2－2a 2＋c －4a
＞ a ⎝⎛⎭⎫x 1－2a 2＋c －4a
，即ax 22－4x 2＋c ＞ax 12－4x 1＋c ，从而f (x 2)＞f (x 1)，∴函数在⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞上单调递增．
(3)f (x )＝ax 2－4x ＋c ，又a ＞0，x 0＝2a ，x ∈[1，＋∞)．当x 0＝2a
≥1，即0＜a ≤2时，最小值 g (a )＝f (x 0)＝0.当x 0＝2a
＜1，即a ＞2时，最小值g (a )＝ f (1)＝a ＋c －4＝a ＋4a －4.综上，最小值g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜a ≤2，a ＋4a
－4，a ＞2， 当0＜a ≤2时，最小值g (a )＝0；当a ＞2时，最小值
g (a )＝a ＋4a
－4∈(0，＋∞)，综上y ＝g (a )的值域为[0，＋∞)．。