线性代数 矩阵的秩
线性代数：矩阵秩的求法
6/44
定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
12/44
定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
13/44
x1 x2 a1
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
14/44
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
第十-十一次
线性代数 矩阵的秩与逆矩阵
BP1 P2
Ps = X
AP1 P2
Ps = E
3. AXC = B, A, C可逆。 解法I : X = A BC
解法II : AX = BC
−1
−1
−1
−1
XC = A B
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 .已知 A, 且 AB = A − B , 求 B .
−1 ⇒ B = ( A + E ) A ⇒ AB + B = A ⇒ ( A + E ) B = A
⎛1 − 1 − 1 ⎜ → ⎜0 −1 − 2 ⎜0 0 −1 ⎝
⎛1 0 0 ⎜ → ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝ 2
1 0 0⎞ ⎟ 3 1 0⎟ 4 2 1⎟ ⎠
1 ⎞ ⎟ 5 3 2⎟ − 4 − 2 − 1⎟ ⎠ 1
∴A
−1
=
1 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 3 2⎟ ⎜ 5 ⎜ − 4 − 2 − 1⎟ ⎝ ⎠
⎛2 ⎛1 − 1 ⎞ 3 . C = ⎜ 2.B = ⎜ ⎟ ⎜0 ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠
− 2⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎠
⎛2 1 ⎛ 1 1⎞ −1 2. B = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 3 ⎝ − 2 1⎠ ⎝
− 1⎞ −1 1 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ = C 3 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 2 2 − 1⎠ ⎝ ⎠
？？ ⎛ 1 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 的逆怎样求？ ？ A = ⎜− 3 2 1 ⎟
⎜ 2 ⎝ 0 1 ⎟ ⎠
逆阵的性质
1 (i ) A可逆 ⇒ A = ; A (ii ) A可逆 ⇒ A−1可逆, ( A−1 ) −1 = A;
−1
(iii ) AB = E (or BA = E ) ⇒ B = A ;
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
线性代数(第二版)第七节矩阵的秩
例 １ 求矩阵 A 的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5
4 7 1 解 在 A 中，容易看出２阶子式
12 1 0,
23 而 A 的三阶子式只有一个 ｜Ａ｜
单击这里计算 | A | 0, 因 此 r ( A) 2.
0 0 1 3
0
0
0
5
1 3 1 0 0 1 0 2 4 0 1 0
0 0
0 0
0 0
3 0
3 0
0 0
.
的第竖台方
第 一 个 非 零 元
,
一 个 元 素 为 非 也 零 就 元 是 非
)
(
线 每 段 竖 线 的 长 度 为 后 一
,
阶 数 即 是 非 零 行 的 阶 行 梯 数
;
的 元 素 全 为 每 零 个 台 阶 只
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
B3
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
其特点是：阶梯线以下 的元素全是０，台阶数即为 非零行数, 竖线后面的第一个 元素为非零元 .
行最简形矩阵
其特点是：非零行的第 一个非零元为１，且这些非 零元所在的列的其它元素都 为０.
m n 矩阵
A的
k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
利用这个概念，可以给出矩阵
的秩的定义.
定义 1.16 如果数域 F 上的 m n 矩阵
a11
A
a21
线性代数：矩阵的秩
例4
3 2 0
设
A
3
2
3
5 0 6 1, 求矩阵 A的
2 0 1 5 3
1
6
4 1
4
秩．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
11/44
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
7/44
若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为B，则 R( A) R(B).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) R( A).
定理1 若 A ~ B,则 RA RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
5/44
当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
15/44
例
设A
1 2 2 3
解
~ A
rr32
22rr11
r4 3r1
1 0
0 0
2 4 1 3
1 2 0 3
线性代数 矩阵的秩
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 2 0 0 0 0 0 0
求矩阵 A的列向量组的一个最大 无关组。
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
A
初等行变换
知R( A) 3，
故列向量组的最大无关 组含3个向量.
而三个非零行的非零首元在1、、三列， 24 故 a1 , a2 , a4 , 为列向量组的一个最大无关组.
1 2 3 4
初等行变换
2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
R( A) 2, R( B ) 3.
例5 已知两个2×4矩阵
2 0 1 3 1 A T 3 2 1 1 2
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例4 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b )的秩.
说明
（1）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
线性代数第1章第7节矩阵的秩
6 7 8 的秩． 9 10
解：
从最后一行起,后 H 一行依次减前一行
1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
后，所得到的n-k阶行列式，称为k阶子式M的代数余子 式．子式M的代数余子式记为B，即
B (1)(i1 i2 ik )( j1 j2 jk ) N
2
例：四阶矩阵
3 1 1 1 2 1 1 1 A 0 0 5 2 0 0 2 1
1 1 r3 , r4 5 3
r2 r3 r4 r3
所以 当k≠0时，r(A)=3； 当k = 0时，r(A)=2.
18
t q q 例：设三阶方阵 A q t q 且r(A*)=1，则t与q的关 q q t 系是 ．
r ( A) 3
r ( B) 2
1 2 . 0 0
r (C ) 3
观察梯矩阵结构与其秩的关系． 矩阵的秩等于其梯矩阵的阶梯个数（即非零行 数）．
9
定理1.8 任意一个m×n矩阵，均可经过一系列行初等变
换化为m×n梯矩阵．
定理1.9 初等变换不改变矩阵的秩． 由这两个定理可知：如果要确定一个矩阵的秩，当 它不是梯矩阵时，我们可以先利用行初等变换将其化为
一阶： |1| 1 0. 二阶：
1 2 1 0. 0 1
1 2 0 0 1 1 0, 2 4 0 1 3 0 0 2 1 0, 2 6 0 0 1 2 0, 2 4 6 2 3 0 1 2 1 0. 4 6 0
线性代数中的秩与矩阵变换解读
线性代数中的秩与矩阵变换解读在线性代数中，秩是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解矩阵的性质和变换的本质。
本文将探讨线性代数中的秩与矩阵变换的关系，并解读其背后的数学原理和几何意义。
一、秩的定义与性质在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数。
我们用r(A)表示矩阵A的秩。
秩的定义可以通过高斯消元法得到，即将矩阵A进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，秩就是矩阵中非零行的个数。
秩具有以下性质：1. 对于任意矩阵A，秩满足0 ≤ r(A) ≤ min(m, n)，其中m和n分别是矩阵A的行数和列数。
2. 对于任意矩阵A，其秩与其转置矩阵的秩相等，即r(A) = r(A^T)。
3. 对于任意矩阵A和B，r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。
当r(A) = r(B) = n时，r(AB) = r(A) = r(B) = n。
二、秩与矩阵变换的关系矩阵变换是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量空间中的向量在某种变换下的映射关系。
而秩则是描述矩阵的性质的一个指标。
秩与矩阵变换之间有着密切的联系。
1. 矩阵变换的线性性质矩阵变换必须满足线性性质，即对于任意向量x和y以及标量c，有T(x + y) = T(x) + T(y)和T(cx) = cT(x)。
线性性质保证了矩阵变换的可加性和标量倍乘性。
2. 矩阵变换的表示对于一个线性变换T，我们可以用一个矩阵A来表示它。
具体而言，对于任意向量x，有T(x) = Ax。
其中，A是一个m×n的矩阵，m是变换后向量的维度，n是变换前向量的维度。
3. 矩阵变换与秩的关系矩阵变换与秩的关系可以通过矩阵的列空间和零空间来解释。
对于一个m×n的矩阵A，其列空间是所有由A的列向量线性组合而成的向量的集合，记作Col(A)；其零空间是所有满足Ax = 0的向量x的集合，记作Nul(A)。
根据秩的定义，我们可以得到以下结论：- 矩阵A的列空间的维度等于A的秩，即dim(Col(A)) = r(A)。
矩阵的秩理解
矩阵的秩理解矩阵是线性代数中最具有代表性的概念之一。
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的数目，它在解决线性方程组、逆矩阵、特征值、正交化等问题中都有重要应用。
矩阵秩的定义比较简单，如果一个矩阵中存在线性无关的行或列，则这些行或列的数目就是矩阵的秩。
举个例子，对于一个3×3的矩阵A，如果存在两个线性无关的行或列，则A的秩就是2。
如果A中所有的行或列都线性无关，则A的秩就是3。
如果矩阵中没有线性无关的行或列则矩阵的秩为0。
矩阵秩的意义主要体现在以下几个方面。
第一个方面是线性方程组的解的判定。
考虑一个由n个未知数和m 个方程组成的线性方程组Ax=b，其中A表示系数矩阵，b表示右侧的常数项向量。
如果A的秩r等于n，则方程组有唯一解。
如果r<n，则有无数个解。
如果r<n并且存在0≠c∈Rn使得Ac=0，则无解。
因此，矩阵秩可以判断线性方程组的解的情况。
第二个方面是逆矩阵的存在性。
对于一个非零的n×n矩阵A，如果它的秩等于n，则其逆矩阵A−1存在。
这是因为如果A的秩等于n，则它的每一行和每一列都是线性无关的。
因此，通过高斯消元法可以将A化为阶梯矩阵，然后通过反演阶梯矩阵即可求得A的逆矩阵。
如果A的秩小于n，则A的逆矩阵不存在。
第三个方面是特征值和特征向量的求解。
在一些应用中，我们需要求出一个矩阵A的特征值和特征向量。
如果A的一个特征向量对应着一个特征值λ，则我们有(A−λI)x=0。
这里I是单位矩阵，x是特征向量。
我们可以将(A−λI)化为阶梯矩阵，然后通过高斯消元法求解。
如果(A−λI)的秩小于n−1，则λ不是A的特征值。
通过对所有可能的λ重复这个过程，我们最终可以求得所有的特征值和特征向量。
第四个方面是正交化。
在一些应用中，我们需要将一个矩阵的列向量正交化。
这可以通过对列向量进行高斯消元，然后将列向量化为阶梯形式进行操作。
如果矩阵的秩为r，则通过消元后得到的前r个列向量就是正交的。
Ch3-2线性代数矩阵的秩
rt,
故有
R ( A, B) R ( A) R ( B).
6 0 R( A+B ) R( A) +R( B) ． c i c n i ( , ) 证 ( A B , B) A B ， , n i 1, R ( A B ) R ( A B , B ) R ( A, B) R ( A) R (B) .
0 3 2 4 A 0 3 1 1 6 2
1 2 1 3
3 1 4 2
1 3 1 4
2 0 2 1
2 0 1 3 4 3 1 2 4
2 1 3 4
一般地： m×n 矩阵A 的 k
2 阶子式 3 阶子式 k C k 个. 阶子式共有 Cm n
k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式的区别!
定义3(P66) 设 A 为 n 阶方阵，若 R(A)= n， 则称 A 为 满秩矩阵；若 R(A)< n，则称 A 为降秩矩阵.
单位阵 E 是满秩矩阵， 1 2 2
A 0 3 1 是降秩矩阵. 0 0 0
① n 阶满秩阵化为行阶梯形时有多少非零行？ — n 行. ② 满秩阵的行列式 ≠ 0
左乘列满秩阵秩不变 Bnl ， 证明： 若 A mn， 且 R ( A) n , R ( AB ) R ( B ) . A的秩等于其列数 A列满秩
,
行满秩阵——矩阵的秩等于其行数. 上面的结论可以相应地推广到右乘行满秩阵. 请自证. 满秩矩阵——方阵,且既列满秩又行满秩. AB = O时,本题结论为：设 AB = O,若 A为列满秩矩阵,则B = O. 原本仅对可逆阵成立的零因子性质,可以推广到列(行)满秩矩阵. 由此可以体会到列(行)满秩矩阵概念的重要性.
线性代数矩阵的秩
a11 a12 a21 a22 ai 1 ai 2 a m 1 am 2
解
把矩阵 A 用初等行变换变成为阶梯形矩阵：
(-1)[1]+[2] [1，4] (-2)[1]+[3] (-3)[1]+[4] (-3)[2]+[3] (-4)[2]+[4] (-1)[3]+[4]
A
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
1 A 0 2 2 1 4 3 2 6 0 1 0
1 2 3 6
1 3 2 6 0 1 0 0
பைடு நூலகம்3 阶子式： 0
2
2 阶子式：
0
1 0
0 1
1
模式二 一、基本概念 1、 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中, 任取 k 行 k 列， 位于这些 行与列交叉处的元素， 保持原来的位置不变而构成的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式.
1 a 1
1 1 a
1 1 1 1 a 1
求 r( A)
解： A
a 1 1
1 a 1
[( n 1) a ]
1 1 a
[( n 1) a ]
1 a 1 0
1 0 a 1
[(n 1) a](a 1)n1
A [(n 1) a](a 1)n1
求
A O r1 r2 O B
《线性代数》矩阵的秩
B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩
(1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩 (3) ri+krj不改变矩阵的秩
第i行
A 第j行
B
A
第i行
B
第j行
…… …… ……
我们把B中与Dr对应的子式记为Dr .
则Dr = ri+krj =
ri
~ + krj = Dr + Dr .
若D~ r 0, 则说明A中有一个不含有第i行的非零子式. 若D~ r = 0, 则Dr = Dr .
(A+E)(2A2 3A +3E) = 2E
(A+E)
1 2
(2A2
3A
+3E)
=
E
Байду номын сангаас
(A+E)1
=
1 2
(2A2
3A
+3E).
结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩.
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等于零的 话, 它的4阶子式中会出现非零的吗?
答: 绝对不会!
因为每个4阶子式都可以按行展开, 通过一些3阶子式 的组合得到.)
例1. 求下列矩阵的秩.
1 2 3 2
C
2
4
6
4
3 0 9 6
解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即
A
B
第i行
1. 初等行变换不改变矩阵的秩
(1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩 (3) ri+krj不改变矩阵的秩
第i行
A
B
第j行
1. 初等行变换不改变矩阵的秩
线性代数：矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
作初等行变换, 阶梯形矩阵: 解 对 A 作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等 的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有 3行, 是一个行阶梯形矩阵,
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
因此 D r ≠ 0,从而 r ( B ) ≥ r . 分三种情况讨论: 当A → B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第 i行; (2)Dr中同时含第 i行和第 j行; (3)Dr中含第 i行但不含第 j行;
线性代数矩阵的秩与等价标准型
另一方面, 经过初等变换 (k) r2 r1, 矩阵 B 也 可变为 A, 故 r ( A) r (B) 也成立.
总 之 , 此 时 r ( B ) r ( A ) 仍 然 成 立 .
{PAGE}
7
【推论】 等价的矩阵有相同的秩.
【评注】 此定理说明, 为求一个矩阵的秩, 可通过 一系列初等变换将此矩阵化成一个秩是明显的矩阵, 如阶梯阵、行最简阵等.
【评注】
( 1 )若 一 个 矩 阵 的 r 阶 子 式 都 为 0 ,则 它 的 所 有 r 1 阶 子 式 ( 若 有 ) 也 都 为 0 .
( 2 )r ( A m n )m i n { m ,n } . ( 3 )n 阶 方 阵 A 的 秩 为 n |A | 0 .
{PAGE}
3
【例1】 求下列矩阵的秩:
r(B) = r(A).
(2) 设矩阵 A 的某一行乘非零数 k 得到矩阵 B.
此时, B的子式与 A的同位置的子式相等或差一个倍 数k, 故
r (B) r ( A).
{PAGE}
5
(3) 设矩阵 A 的某一行乘数 k 加到另一行上得到矩
阵 B , 且 r ( A) r.
由于(已经证明)交换矩阵的两行不改变矩阵的秩,
【 问 题 】 如 何 有 效 地 求 一 个 ( 大 型 ) 矩 阵 的 秩 ?
{PAGE}
4
【 定 理 2 . 1 】 初 等 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩 .
【证明】 我们仅对矩阵的行初等变换进行证明, 对 列初等变换同理可证.
(1) 设对换矩阵 A 的两行得到矩阵 B.
由于对换一个行列式的两行仅改变行列式的符号, 因而 B 的非零子式与 A 的非零子式相互对应, 故
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小结. 求m × n 矩阵A 的秩r(A), 可用以下方法: 1. 对于比较简单的矩阵, 直接用秩的定义 直接用秩的定义. .
∼
1 0 0 0
0 1 0 4
0 1 0 −1 0 0 5 0
2. 用有限次初等变换, 用有限次初等变换, 将矩阵A变为它的等价 标准形 , 则 r = r( A ) . O O 3. 用有限次行初等变换, 用有限次行初等变换,将矩阵A变为梯矩阵, 则 r(A)等于该梯矩阵的非零行的行数 等于该梯矩阵的非零行的行数. （方法2 与方法3 相比, 方法3 较为简单.）
例1 求下列矩阵的秩: 求下列矩阵的秩:
(1) A = 2 2
1 1
2 4 8 (2) B = 1 2 1
(3) C = 2
1 2 4 1 4 8 2 3 6 2 0
.
解 (1)因为
1 1 a = 1 ≠ 0 而 det A = 1 1 = 0 A= 11 , 2 2 2 2 故 r ( A) = 1
又B 并无3阶子式, 阶子式,故 r (B) =2.
8 2 2 0
故, 矩阵C 的秩不小于2.
= −3 ≠ 0
另外, 因为矩阵 C 不存在高于3阶的子式, 可知r (C) ≤ 3. 又因矩阵C 的第1, 2行元是对应成比例的, 行元是对应成比例的, 故C 的任一 3阶 子式皆等于零. 子式皆等于零.因此
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 B= 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 (2) 每个台阶只有一行， 每个台阶只有一行，台阶 A = 0 数即是非零行的行数， ，阶梯 数即是非零行的行数 0 线的竖线后面的第一个元素
为非零元， 为非零元，即非零行的第一 个非零元． 个非零元．
1 2 0 0
−2 −1 0 0
1 1 5 0
4 0 −3 0
（阶梯矩阵B有4个非零行， 个非零行，必有一个4阶子式不为 零，故 r ( B ) = 4. )
（阶梯矩阵A有3个非零行， 个非零行，必有
一个3阶子式不为零， 阶子式不为零，故 r( A) = 3.)
Ir O O O
Hale Waihona Puke 其中 r = r(A).例 用行初等变换法, 行初等变换法,将其化为梯矩阵. 将其化为梯矩阵.
1 0 并求矩阵 A= 1 2 3 −1 1 4 解 1 0 A= 1 2 3 −1 1 4 0 1 0 −1 0 4 5 1 0 1 0 −1 5 0 0 0 0 1 0 −1 的秩。 的秩。 0 4 5 1 1 0 0 1 2 0 −2 ∼ 0 0 −1 0 1 0 4 5 0
行初等变换而化为梯矩阵 初等变换而化为梯矩阵. 而化为梯矩阵.
则 r ( A) = r (即为单位阵 I r 的阶数) 的阶数).
证明
定理1 定理1和定理2 和定理2可以简洁地表述为:等价矩阵的秩 相等; 任一矩阵必有与之等价的梯矩阵.
证明 这样 也可以更明确地说, 也可以更明确地说,任一 m × n矩阵A的等 价标准形, 价标准形,指的是一特定的m × n矩阵,其分块形式为
r ( A) ≤ min( m,n ) r ( A) = r( AT )
det A≠0.
(4(4-1) (4(4-2)
(4) 若 A是n 阶矩阵, 矩阵, 则 r(A)≤n , 且 r(A)=n 当且仅当
将行列式不为零的矩阵 将行列式不为零的矩阵(即非退化阵)称为满秩 称为满秩[矩]阵， 并称退化阵为降秩 并称退化阵为降秩[矩]阵.
2
定理1 任一m × n 矩阵A 经过有限次行初等 变换后秩不变. . 变换后秩不变 证明 (证明思路： 证明思路：因为不为零的子式经过行初等变换后仍然不 为零， 为零，为零的子式经过行初等变换后仍然为零. 所以矩阵 的秩不变） 的秩不变） 推论1 任一m × n 矩阵A 经有限次列初等变换 后秩不变. 秩不变.
第一节 矩阵的秩
第4章 矩阵的秩和 线性代数方程组的解
概念
计算
4.1.1 概念
定义1 对m × n 矩阵A, 称其一切非退化方子
矩阵的最高阶数 k 为A 的秩(rank), 记作r (A)=k, 并规定 r (O) = 0 . 若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行 列式或者简称为 列式或者简称为子式 或者简称为子式， 子式，则定义１ 则定义１可以说成r (A)是A 的一切的非零子式的最高阶数 的一切的非零子式的最高阶数. 切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k , 则A 至少有一个取非零值的 至少有一个取非零值的k 阶子式， 阶子式，而所有k + 1阶子 式(如果存在的话 如果存在的话) 存在的话)的值都为零. 的值都为零.
阶梯形矩阵： 阶梯形矩阵：
1 1 −2 1 0 2 −1 1 例如： A= 0 0 0 5 0 0 0 0 特点： 特点： (1) 可划出一条阶梯线， 可划出一条阶梯线， 线的下方全为零；
4 1 0 , B = 0 −3 0 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
证明
（证明思路： 证明思路：因为行列式经过转置值不变， 因为行列式经过转置值不变，因此， 因此，对 行成立的结论对列也成立.）
推论3 若已知任一个m × n矩阵A的等价标准形 分解 其中 N =
Ir O , O O
定理2
任一m × n矩阵 A必可通过有限次
A = PNQ
(2(2-21′)
例2 说明
0 0 A= 0 0
3 0 7 1 0 8 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0
为求r(A), 考虑以各行首个非零元为对角线元的 方子矩阵 方子矩阵
为梯矩阵, 为梯矩阵,并求出r(A) . 行是三个非零行,其非零首元分别 解 A的第1, 2, 3行是三个非零行, 是3, 8, 5,它们所在的 它们所在的列数 所在的列数分别为 列数分别为2, 3, 5; 而且全零 行之下已无非零行 行之下已无非零行. A 满足定义2的全部条件, 故 A 是个梯矩阵.
推论2 设A是任一 m × n 矩阵, 矩阵,而B 是m (或n) 阶 满秩矩阵 满秩矩阵, 矩阵,则必有
r ( BA) = r ( A) (或 r ( AB) = r ( A) ) 证明
(4(4-3)
（证明思路： 证明思路：因为任何一个满秩矩阵可以分解为有限个 初等矩阵的乘积， 初等矩阵的乘积，所以乘以一个满秩矩阵相当于对矩阵 做有限次初等变换， 做有限次初等变换，因此秩不变） 因此秩不变） 可以用一句话概括这个有用的推论: 可以用一句话概括这个有用的推论:“用满秩矩 阵去乘一个矩阵时不改变这个矩阵的秩. .” 阵去乘一个矩阵时不改变这个矩阵的秩
r (C ) = 2
1
从定义及上例的讨论过程可以看出: 从定义及上例的讨论过程可以看出: (1) 当且仅当A是零矩阵时, 是零矩阵时,r (A) = 0 . (2) 若A 存在一个非零 存在一个非零 k 阶子式， 阶子式，则必有r(A)≥k. (3) 若A 是 m × n 矩阵, 矩阵,则必有
4.1.2 计算 定义2 设A 是m×n 矩阵. 若对 k =1, 2, …, m-1, A 满 足以下两个条件: 足以下两个条件: 1.当第k 行是零 行是零( 即该行的元全为零) (即该行的元全为零 )时，第(k+1) 行必为零； 行必为零； 2.当第( 当第(k+1)行是非零行时， 行是非零行时，该行的首个非零元 所在的列号必大于第 所在的列号必大于第k 行首个非零元所在的列号, 行首个非零元所在的列号, 则矩阵A 称为梯矩阵 (echelon matrix).
Ir O
∼
1 0 0 0
0 1 4 0
∼
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 −1 5 4 0 0
1 0 0 因为 0 1 0 ≠0， 0 0 5
（或梯矩阵非零行数为3）
所以 r(A) =3。
3
( 3)
1 2 4 1 C = 2 4 8 2 3 6 2 0 首先 r (C) ≥2. 由于矩阵C 中有个零元 有个零元c34=0, 容易看出
2 4 8 (2) B = . 显然r (B) ≥1. 1 2 1 考察其2 2阶子式 阶子式, 考察其 ,此时虽有 2 4 2 8 但子式 = 0, = −6 ≠ 0. 1 2 1 1
3 0 1 0 8 2 0 0 5
这是个三阶三角阵, 这是个三阶三角阵,其行列式不等于零 其行列式不等于零. 不等于零.但是A 的任 一个四阶子式必含一个全零行 一个四阶子式必含一个全零行, 全零行,因此都等于零. 因此都等于零. 故
r ( A) = 3 = A 的非零行的数目. 的非零行的数目.