振动理论及工程应用10第十章 非线性振动
非线性振动——精选推荐
非线性振动非线性振动§0.1非线性振动的研究对象在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化。
这类现象称为振荡。
例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。
振动是一种特殊的振荡，即平衡位置四周微小或有限的振荡。
如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。
从最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。
有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。
尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和同一的数学表达形式。
因此有可能建立同一的理论来进行研究，即振动力学。
振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。
它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际题目提供理论依据。
根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。
线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。
不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。
线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够正确地反映振动的客观规律。
频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都是在线性理论中建立起来的基本概念。
实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。
因此工程实际中的振动系统尽大多数都是非线性系统。
由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。
非线性振动
能够求出精确解的非线性系统极少，一般使用数值方法计算。采用近似计算的方法大部分是针对 弱非线性系统。对于强非线性系统，首先需要求出与之相近，而又精确可积的非线性系统精确解，然后 对精确非线性解进行摄动，所导出的微分方程仍然需要借助数值方法求解。
1. 线性振动一般解与典型非线性方程
0 x 0 有阻尼自由振动系统 x 20 x
取决于系统阻尼比与固有频率和激励频率的关系，有
arctan
2 / 0 2 1 2 / 0
1
稳态相应振幅与激励振幅的比值有
A2 B
1
2
2 / 0 2 / 0 2
2
(t ) cx (t ) kx(t ) F cos t kA cos t 对方程 mx
2 2 (t ) n 变形为 x(t ) 2n x x(t ) n A cos t
通解 X cos(t ) ， 表响应对激励的滞后：
通解 X1 为： x
2 0
v n x0 0
2 d
2
v n x0 e nt cos d t 0 ，瞬态响应，逐步衰减。 d
2
A cos nt ，且根据
n 1 n
2
非线性振动
u u (1 u ) 0 ，主要研究自激振动 Van der Pol 方程 u
2 2
实际可能，将谐波取到 3 倍频：(根据实际情况略去无用的高阶项，但求解会存在不少问题！)
x x An cos nt An n 2 2 cos nt
记录非线性的现象和原因，记录求解非线性问题的计算方法 很多问题不实际算，是不会发现问题的 陈小飞，2009-10-16 目 录
(振动理论课件)非线性振动概述
气象学家洛伦兹教授在科学上是敏锐的，他并没有在经典科学 中寻找问题的答案，而是另辟蹊径地解答现象背后的深层次的 科学问题。他认为天气的变化是一个庞大而又复杂的非线性动 力学系统，用传统的线性动力学模型是无法描述那些非周期性 和对初始条件的敏感依赖性。
在复杂系统中，常常存在着系统发生的临界点。用著名的耗散 结构理论的创始人普里高津的话来说，系统存在着分叉点和涨 落机制，任何一个从经典科学来看不足为奇的小小干扰，往往 会导致系统从稳定转向不稳定，或从不稳定趋向稳定
非线性世界的发现
非线性世界是由一位气象学家发现的。
➢千百年以来,关于明天是晴还是雨，人们都是通过对云彩的观 察凭借经验估计。科学家一直希望天气变化的预报，能像日月 食和潮汐那样可以预言。
➢20世纪60年代初，美国麻省理工学院著名气象学家洛伦兹 教授最早尝试用计算机模拟天气。这种尝试完全是凭借着一种 信念：自然是有规律的，规律是可以认识的。一旦人们掌握了 这种规律，知道了初始条件，就可以通过逻辑和数学必然性的 桥梁，模拟过去，预见未来。
➢ 而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈 频 繁 地 出 现 。 早 在 1940 年 美 国 塔 可 马 (Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故 就是典型的非线性振动引起破坏的例子。
➢ 有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系 统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的 物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非 线性振动问题。
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
机械振动学中的非线性振动理论
机械振动学基础知识振动系统的有限元分析方法机械振动学是研究机械系统在受到外力作用时所产生的振动现象的科学。
振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的分析方法之一，它通过将振动系统离散化为有限个单元，利用数值计算方法来模拟和分析系统的振动特性。
本文将介绍机械振动学的基础知识以及振动系统的有限元分析方法。
机械振动学基础知识振动系统是由弹性元件和质量元件构成的，当受到外力作用时，系统会发生振动。
振动系统包括弹簧、阻尼器和质量块等元件。
其中，弹簧用于恢复系统的位移；阻尼器用于阻碍系统振动的增长；质量块用于储存和释放振动系统的动能。
振动系统的有限元分析方法有限元法是一种数值计算方法，它将连续的振动系统分解为有限个单元，每个单元包括节点和单元内部的位移场。
通过求解各节点的位移场，可以得到整个系统的振动响应。
1. 建立有限元模型首先，需要建立振动系统的有限元模型。
对于简单的振动系统，可以直接建立单元模型，包括节点、单元和材料属性等。
对于复杂的振动系统，可以采用现有的有限元软件进行建模。
2. 离散化在建立有限元模型后，需要对振动系统进行离散化。
将连续系统离散化为有限个单元，每个单元包括节点和连接节点的单元。
通过离散化，可以得到系统的离散动力学方程。
3. 求解动力学方程在得到系统的离散动力学方程后，可以利用数值计算方法求解系统的振动响应。
常用的方法包括有限差分法、有限元法、模态分析法等。
4. 分析结果最后，根据求解的振动响应结果，可以分析系统的振动特性，如频率响应、模态形态等，为系统设计和优化提供参考。
结论机械振动学是研究机械系统振动现象的科学，而振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的重要方法之一。
通过建立有限元模型、离散化系统、求解动力学方程和分析结果，可以深入了解振动系统的振动特性，为系统设计和优化提供有效的手段。
希望本文能够帮助读者更好地理解机械振动学的基础知识和有限元分析方法。
非线性振动系统在工程中的应用研究
非线性振动系统在工程中的应用研究引言：振动是一种普遍存在于各个领域中的现象，从工业生产到科学研究，都离不开对振动现象的理解和控制。
传统的振动系统多以线性模型为基础，但对于一些非线性现象，如共振、混沌等，传统线性模型却显得力不从心。
因此，研究和应用非线性振动系统成为近年来的热点。
一、非线性振动系统的数学模型非线性振动系统的数学模型是研究和应用的基础。
非线性振动系统的数学模型主要包括哈密顿系统、罗金系统和范德波尔方程等。
这些数学模型研究非线性振动系统的各种特性，如稳定性、周期性、混沌等，并在工程中得到广泛应用。
二、非线性振动系统在模拟和仿真中的应用非线性振动系统在模拟和仿真中起到了重要作用。
在工程设计中，通过建立非线性振动系统的模型，可以更准确地模拟真实环境下的振动现象，从而进行更精确的预测和分析。
此外，非线性振动系统还可以被用来仿真并评估工程结构的可靠性和安全性。
三、非线性振动系统在信号处理中的应用非线性振动系统在信号处理中也有广泛的应用。
由于非线性振动系统具有复杂的振动特性，因此可以用来处理和分析复杂的信号。
例如，在音频信号处理中，非线性振动系统可以用来产生音乐特效，改变声音的音调和音质等。
此外，非线性振动系统还可以用于图像和视频处理中，提高图像和视频的质量。
四、非线性振动系统在能量转换和传输中的应用非线性振动系统在能量转换和传输中有着重要的应用。
例如，在能量回收领域，通过利用非线性振动系统的共振效应，可以将废弃能量转化为可用能量，提高能源利用效率。
此外，非线性振动系统还可以用于无线能量传输和振动能量传感器的设计，实现能量的高效传输和转换。
五、非线性振动系统在自适应控制中的应用非线性振动系统在自适应控制中也有着广泛的应用。
通过对非线性振动系统进行建模和分析，可以设计出适应系统动态变化的控制策略，使系统能够自动调整工作状态，提高系统的稳定性和性能。
此外，非线性振动系统还可以用于振动降噪和抑制系统中，减少噪声对系统的干扰。
非线性振动现象的分析与控制
非线性振动现象的分析与控制引言：振动是物体在受到外界力的作用下产生的周期性运动。
在很多实际应用中，振动现象是无法避免的。
传统的振动理论常常以线性振动为研究对象，但在实际工程中，由于材料的非线性特性或者复杂的系统结构等因素的影响，一些系统的振动往往表现出非线性特征，这给振动控制带来了挑战。
本文将从非线性振动的基本原理、分析方法和控制策略等方面进行介绍。
1. 非线性振动的基本原理非线性振动的基本原理是指在振动系统中，系统的运动方程中存在非线性项。
非线性项可能来自于系统的非线性弹簧，非线性摩擦力以及非线性扰动等。
这些非线性项会使得系统的运动不再满足叠加原理，产生新的现象。
在非线性振动中，振幅的大小和振动频率之间存在复杂的关系，如倍频现象、相位共振等。
2. 分析非线性振动的方法为了分析非线性振动系统，常常需要采用数值模拟方法。
其中，一种常用的方法是时域分析，即通过求解系统的运动方程，得到系统的时域响应。
另一种方法是频域分析，即通过将时域信号转换到频域，分析系统的频谱特性。
此外，还可以通过相平面分析方法来研究非线性系统的稳定性、受激振动和共振现象等。
3. 非线性振动的控制策略在实际应用中，为了控制非线性振动系统，常常需要采取相应的控制策略。
其中，一种常见的方法是使用非线性控制器，通过引入非线性反馈来补偿系统的非线性特性。
另一种方法是使用自适应控制策略，根据系统的变化实时调整控制参数。
此外，还可以通过参数识别和模型预测控制等方法来实现对非线性振动的控制。
4. 实际应用中的非线性振动现象非线性振动现象在实际应用中普遍存在。
例如在建筑结构中，由于地震或风荷载等外力的作用，结构会发生非线性振动，给结构的安全性和稳定性带来威胁。
在机械系统中，由于轴承的非线性摩擦力或者悬挂系统的非线性特性，机械系统会出现非线性振动，影响其性能和寿命。
因此，对于非线性振动的分析和控制具有重要的理论和实际意义。
结论：非线性振动现象是实际工程中普遍存在的重要问题。
非线性振动
非线性振动百科名片恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说,线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
目录编辑本段简介非线性振动恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性振动只适用于小运动范围，超过此范围，就变成非线性振动。
非线性系统的运动微分方程是非线性的，不能用叠加原理求解。
方程中不显含时间的非线性系统称为非线性自治系统；显含时间的称为非线性非自治系统。
保守非线性自治系统的自由振动仍是周期性的，但其周期依赖于振幅。
对于渐硬弹簧，振幅越大，周期越短；对于渐软弹簧，振幅越大，周期越长。
非保守非线性自治系统具有非线性阻尼，阻尼系数随运动而变化，因而有可能在某个中间振幅下等效阻尼为零，从而能把外界非振动性能量转变为振动激励而建立起稳定的自激振动（简称自振）。
弦乐器和钟表是常见的自振系统。
周期地改变系统的某个参量而激起系统的大幅振动称参变激发。
当系统的固有频率⑴等于或接近参量变化频率的一半时，参变激发现象最易产生。
具有非线性恢复力的系统受到谐激励时，其定常受迫振动存在跳跃现象，即激励频率3缓慢变化时，响应振幅一般也平稳变化，但通过某些特定3值时，振幅会发生跳跃突变。
具有非线性恢复力且固有频率为 3 n 的系统，在受到频率为3的谐激励时，有可能产生频率为 3 /n （心3 n）的定常受迫振动（n为正整数），称为亚谐共振或分频共振。
它的出现不仅与系统和激励的参数有关，而且依赖于初始条件。
亚谐共振可以解释为，由于非线性系统的响应不是谐和的，频率3/n的响应中存在频率为 3 的高次谐波，激励对高次谐波作功而维持了振动。
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
(振动理论课件)非线性振动概述
非线性振动概述
➢ 当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果 不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振 动、多频响应、超谐和亚谐共振、跳跃现象等 实际现象作出解释。
A
几何非线性
➢几何非线性—例2
单摆振动方程 gsin 0
l 这是一个非线性方程，对于小偏角，sin
可以得到足够精确的线性方程 g 0
l
可得单摆的固有振动周期为 T 2 l 与摆角无关，具有等时性
g
但是对于较大的偏角，必须考虑动非线性的影响。如果偏角并不 十分大，可以对sinθ展开成泰勒级数只取前两项，
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动 过程的直观描述。
❖ 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
❖ 因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环 的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的 研究，是传统几何方法讨论的主要内容。
➢ 在工程问题中，稳态运动往往对应于机械系统的正常 工作状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳 定的运动才是可实现的运动。
非线性振动的定性分析方法
➢ 相平面法是最直观的定性分析方法，它只适用于单 自由度系统
➢ 相平面法利用相轨迹描绘系统的运动性态。相轨迹 的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期 运动。
非线性振动概述
一、关于非线性振动
1、什么是非线性振动： 指不能用线性微分方程所能描述的运动。
2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。
（1）内在的非线性因素
※ 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力
例如单摆： 恢复力矩为
当 50 时
sin 1 3 1 5
2、参数振动： 漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料
自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中 的水面上、下铅直振动时所发生的参量振动既是古老的话题，（1831年法拉第研究过） 也是当今热极一时的“混沌”的一个例子。
4
0
A x
X 0/
/
例10－12 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘
以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当t=0时，x>0, v>0。 可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）
6
例10－11 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负 方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为
F x, x2 v, v2
对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振 动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策 动力的作用，其振动也是非线性的。
针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 3、非线性系统的本质特点是：
3! 5!
M mgl sin mgl( 1 3 1 5)
6 120
弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即
F k1x k2 x 2 k3 x3
非线性振动系统的分析和应用
非线性振动系统的分析和应用非线性振动系统是指其中至少包含一个非线性元件的振动系统。
非线性元件能够使得系统的振动特性发生较大的改变，如产生新的共振频率、引起失稳现象等。
因此，非线性振动系统的研究具有重要的理论和实际意义。
一、非线性振动系统的形式化描述非线性振动系统的数学模型通常可以表示为：$$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=0$$其中，$x$是系统的位移或角位移，$\dot{x}$是$x$的一阶导数，$\ddot{x}$是$x$的二阶导数。
函数$f(x)$和$g(x)$分别表示阻尼和弹性的非线性作用。
通常采用微分方程的数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等来进行求解。
二、非线性振动系统的稳定性及分析方法对于非线性振动系统，通常需要考虑系统的稳定性。
由线性振动系统的经验可知，系统的随机性通常较小，因此通常采用非线性分析方法来进行稳定性的分析。
主要的分析方法有：1.浅层非线性方法：包括哈摩因方法、平均法、福克方法等，能够快速地预测系统稳定性。
但是，这些方法通常需要对系统的非线性特性有一定的了解，且适用于一类特定的非线性系统。
2.深层非线性方法：包括留数方法、行波展开法、多尺度方法等，能够精确地分析具有较强非线性特性的系统。
但是，这些方法相对复杂，对数学知识和物理背景要求较高。
3.数值仿真方法：主要包括有限元法、有限差分法等，能够直接计算非线性振动系统的响应。
这些方法通常适用于求解较大、较复杂的非线性振动系统。
三、非线性振动系统的应用非线性振动系统的研究在物理、工程、数学等领域均有广泛应用。
以下列举部分应用领域：1.结构振动分析：对于大跨度、高层建筑、大型膜结构等复杂结构，通常需要考虑结构的非线性特性。
非线性振动系统的研究能够提高结构的安全性、经济性和绿色性。
2.摆钟：摆钟是一种常见的非线性振动系统，其运动特点由复杂的非线性微分方程描述。
摆钟系统的研究不仅有助于物理原理的深入理解，同时还能够应用于时间标准、导航、地震监测等领域。
振动理论及工程应用9 第十章 非线性振动
从研究方法上或是振动过程的变化规律上， 非线性振动与线性振动之间有本质区别。
研究非线性振动有两种基本方法
定性方法：
定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一 般稳定性特征，并非寻求与时间相关的解。
定量方法：
定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用 摄动法来求得这类方程的近似解析解。
10.1 非线性振动的例子
x3
0
如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复
力一般地是位移x的非线性函数
一般非线性系统的运动微分方程可表示为
mx Fx 0
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬弹簧）；
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）
例如
F x x x3 , 0
当 0 时表示硬弹簧；
1 2
稳定结点
1 2 稳定非正常结点
1 2
稳定星形结点
（2）两特征值均为正实数(p＜0 , p2≥ 4q＞0)，则平 衡点是不稳定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非 正常结点和不稳定星形结点。图形分别与上图相似， 但箭头方向相反。
（3）特征值为相异实数（q＜0），则平衡点称为鞍 点，如图所示。
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面 积，弹性模量和长度增量； 为钢丝 与竖直线的偏角。
运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
x
AE l3
微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面 上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。
应用力学中的非线性振动分析研究
应用力学中的非线性振动分析研究随着工程技术的发展，各种机械结构的振动问题变得日益重要。
在机械工程、建筑工程、电力工程等领域，振动问题都是一个不可回避的问题。
我们通过研究、分析和解决振动问题，能够改善机器和建筑的使用寿命，保证机器的精度，同时还能为生产和施工提供更加安全的环境。
因此，研究应用力学中的非线性振动分析具有非常重大的意义。
非线性振动分析是应用力学领域中的重要课题之一，涉及广泛的专业知识，如微分方程、非线性动力学、材料力学等。
在非线性振动中，振动系统将表现出与广义线性系统不同的行为。
例如，系统可能表现出多个共振现象、非线性扰动的对称性破缺、吸引子等非线性特征。
由于这些特点，非线性振动分析的方法和技术也有着很大的不同。
在应用力学中，非线性振动分析的应用非常广泛，例如机械系统中的摆线传动、液压系统中的自激振动、建筑结构中的地震响应等等。
下面我们就来分别了解一下这些领域中的非线性振动分析。
首先，我们来看看机械系统中的摆线传动。
传统的摆线传动中，模块加工精度要求较高，针对摆线传动锁死的研究也比较多，但是对于摆线传动的非线性振动研究却很少。
在非线性情况下，摆线传动的齿轮间隙变化、变形和接触问题都会对系统振动产生显著影响。
因此，非线性振动分析的研究在改善摆线传动的精度、减少噪音和提高传动效率等方面具有非常重要的意义。
其次，我们来看一看液压系统中的自激振动。
液压系统中可能会出现压力和流量的不稳定性，这种不稳定性会形成一种自激振动，这种振动会导致液压系统的工作效率下降、损伤系统和产生噪音等问题。
这时需要进行非线性振动分析，通过研究系统的动态特性，调整液压系统的参数和性能，从而减小系统的自激振动并提高工作效率。
最后，我们来看一看建筑结构中的地震响应问题。
在地震等自然灾害中，建筑结构的振动对人们的生命和财产安全都非常重要。
因此，对于建筑结构的地震响应问题进行非线性振动分析也非常关键。
在地震中，建筑结构可能会发生弹塑性变形，这时系统的动力学性质就会发生变化。
非线性振动研究非线性系统振动的学科
非线性振动研究非线性系统振动的学科非线性振动研究：非线性系统振动的学科非线性振动研究是物理学、工程学和应用数学中一个重要的学科领域。
它涉及到非线性系统中的振动现象，对于理解和分析各种实际问题具有重要意义。
本文将基于该主题，介绍非线性振动研究的基本概念和方法，以及它在各个学科中的应用。
引言振动是自然界中广泛存在的物理现象，从机械振动到电磁振动，都是非常重要的。
然而，在实际问题中，线性系统往往无法完全揭示振动行为。
非线性系统中的振动特性往往更为复杂，涉及到非线性的力学、电磁学和流体力学等多个领域。
因此，非线性振动研究成为了一个独立的学科领域，其目的是研究非线性系统中的振动现象以及相关的动力学行为。
非线性振动的基本概念非线性振动是指系统在受到激励或扰动后，不呈线性关系的振动现象。
与线性振动相比，非线性振动的特点在于其振幅与激励信号之间的关系不再是比例关系。
常见的非线性振动现象包括剧烈摆动、混沌振动以及非周期振荡等。
非线性振动的研究方法研究非线性振动的方法包括理论分析和数值模拟两种主要途径。
1. 理论分析理论分析是非线性振动研究的基础。
常见的理论方法包括广义福克斯-普朗克方程、极限环理论和多尺度分析等。
通过建立系统的数学模型，可以通过解析推导的方式研究其振动行为，得到系统的稳定性条件和振动特性。
2. 数值模拟数值模拟是研究非线性振动的重要手段之一。
借助计算机的计算能力，可以模拟非线性系统的振动行为。
常见的数值方法有有限元法、有限差分法和谱方法等。
这些方法可以通过离散化系统的动力学方程，利用计算机进行数值求解，从而得到系统的振动特性和动态响应。
非线性振动的应用非线性振动研究不仅在学术领域具有重要意义，还在实际工程和科学研究中得到了广泛应用。
1. 结构动力学非线性振动理论在结构动力学中有广泛的应用。
对于高层建筑、大型桥梁和飞机等结构，非线性振动的研究可以更准确地预测其动态响应和受力情况。
这对结构的设计、安全评估和损伤检测具有重要意义。
非线性振动现象
非线性振动现象振动是物体围绕平衡位置做周期性的来回运动，它是自然界中普遍存在的现象。
在很多实际问题中，我们会遇到非线性振动现象，即振动系统不满足线性的回复力定律。
非线性振动现象在物理学、工程学以及生物学等领域都有广泛的应用和重要的研究价值。
一、什么是非线性振动现象非线性振动现象是指振动系统的受力律不满足线性回复力定律，即系统力与位移之间的关系不是线性的。
与线性振动相比，非线性振动显示出更加丰富的运动特性和行为。
非线性振动现象的出现主要归结为以下几个方面的原因：1.回复力律的非线性：通常线性振动系统受到的回复力与振动的位移成正比，但在某些情况下，回复力可能随着位移的增加而变化速率不等，导致非线性振动现象的出现。
2.系统参数的非线性：振动系统的参数非线性，如刚度、阻尼系数、质量等的变化，也会导致系统的振动特性发生变化。
3.外部扰动的非线性：外界对振动系统的扰动如果不规律、不可逆，也会导致系统出现非线性振动现象。
二、非线性振动的种类非线性振动现象的种类繁多，下面介绍几种常见的非线性振动现象：1.硬度非线性：当振动系统的回复力不仅与位移的大小有关，还与位移的变化率有关时，就会出现硬度非线性。
硬度非线性表现为振动系统的频率与振幅的关系非线性，通常存在频率间跳变、倍频和次谐波等特点。
2.阻尼非线性：振动系统受到非线性阻尼时，会出现振幅的跃变、突变等非线性现象。
3.非线性共振：当振动系统的频率接近系统的特征频率时，振幅会出现非线性的迅速增大，达到共振峰值。
4.受迫非线性振动：当振动系统受到非线性外力激励时，振幅和频率会发生非线性变化。
三、非线性振动的应用非线性振动现象在各个领域都有广泛的应用和研究价值：1.物理学：非线性振动现象的研究在物理学领域中有重要的地位。
例如，非线性振动现象的研究为材料的性能评估和电磁波的传播提供了重要依据。
2.工程学：非线性振动的研究对于工程结构的设计和优化至关重要。
例如，建筑结构和桥梁的振动特性分析需要考虑非线性振动的影响。
振动理论及工程应用10第十章 非线性振动
设
sin sin A sin
则上式可写成 2
2
T 4
2
d
0 0 1 sin A sin 2
2
令 k sin A 1 ，则上式展开后积分得
2
T 4
2
1
1
k2
sin2
3
k4
sin4
d
0 0 2
8
2 1 1 k 2 9 k 4
对于平衡点（0，0），按式求得
x y Xx, y, y Y x, y 20y 02 sin x
a 0,b 1,c 02,d 20
特征方程为
2 20 02 0
特征值为
1 0 2 1 ,
2 0 2 1
其它平衡点可类似讨论。一般来说 平衡点（0，0）， ( 2，0) ，(4，0) …
为同类型平衡点。
（0，0）点 稳定结点 非正常结点
稳定焦点
大阻尼
临界阻尼
小阻尼
1
=1
1
摆的相平面示意图
由摆的相图可见，摆的最低位置（=0）是稳定的 ，而摆的最高位置（=）是不稳定的（同为鞍点 ）。
S0
以x0为新的坐标原点，其位移为x，由坐标变换
x
x1
x0
x1
F
S0 k
则运动方程式可表示为
mx Gx kx 0
其中令 Gx gS0 g S0 x
则函数 Gx 的图形如图所示。
若将此系统的运动在相平 面(x，y)上表示，则由任意初 始状态确定的相点P0( x0,y0)出 发，绘制成相轨迹。
非线性振动系统研究及其应用
非线性振动系统研究及其应用随着科技的不断发展，研究和应用非线性振动系统的重要性越来越受到人们的关注。
非线性振动系统是指体系在某些条件下，不再服从简单的线性自由振动，而会出现一个或多个非线性效应的振动系统。
非线性振动系统具有更为丰富的动力学行为，而且它们所表现出的非线性行为让人们对其特性产生了浓厚的兴趣，这也是其研究和应用得以不断深入的原因。
一、非线性振动系统的研究1.非线性振动系统的特点非线性振动系统和线性振动系统相比，其独有的非线性特性表现在多方面，包括振幅非线性、频率非线性、幅值依赖性、滞后效应、混沌等方面。
因此，非线性振动系统具有更为丰富的动力学响应，更加复杂多样的运动形式与基本特征。
例如，非线性振动系统中的“共振”现象比线性振动系统更为复杂，发生时间也更难把握。
对于偏微分方程、非线性方程等问题，经典的方法已经无法从理论上解决，非线性振动系统的研究能够帮助人们寻找这些问题的答案。
2.非线性振动系统的应用非线性振动系统的应用范围非常广泛，其在物理、力学、电子、生物、化工等多个领域中都有应用。
例如，在机械制造中，往往需要通过对非线性振动系统的运动特性进行研究和分析，以更好地调整和协调发动机、传动系统、轮胎和悬挂系统之间的各种振动问题；在电子工程领域，非线性振动系统的应用也是更满足系统的新需求和开发应用。
此外，如在化学工程领域，非线性振动系统的研究还可以为生产提供更优质的产品，方便安全管理等等。
二、非线性振动系统实例分析：Van der Pol 振子Van der Pol 振子是一种非线性振子，它是由最早的荷兰电机工程师 Balthasar van der Pol 对电路振荡的探索得出的方程式而被命名的。
Van der Pol 振子最初作为调制器使用，在无线电通信技术以及电力系统的稳定性控制中起到了重要作用，是非线性振动系统中的一大代表。
Van der Pol 振子的方程式为：$$ \frac{d^2x}{dt^2}-\epsilon (1-x^2)\frac{dx}{dt}+x = 0 $$其中，x是运动的位移、t是时间、$\epsilon$是一个常数。
非线性振动
l
/ rad
t/s
Testing Techniques
工程振动与测试
质量m在拉紧着的钢丝中的振动。设质量m附着在 长度为2l的钢丝中间，钢丝两端的拉力为S。当质点从 其平衡位置侧向移动距离x时，钢丝产生恢复力，
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面 积，弹性模量和长度增量； 为钢丝 与竖直线的偏角。
Testing Techniques
工程振动与测试
10.1 非线性振动的例子
单摆的有限振幅振动是最简单的一个例子
运动微分方程为
g sin 0
l
对于微小振动，sin
g 0
l
如果振幅不是很小
线性系统
g l
3
6
0
非线性系统
Testing Techniques
工程振动与测试 单摆运动特性
m
它是x和 x 的非线性函数。
如果函数 f 不显含t，则称这个系统为自治系统， 否则称为非自治系统。
Testing Techniques
工程振动与测试
10.2 相平面
设自治系统可表示为
或
x f x, x 0
x y, y f x, y
对于更一般的情形，方程可表示为
x X x, y, y Y x, y
Testing Techniques
工程振动与测试
运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
动力系统的非线性振动分析
动力系统的非线性振动分析动力系统的非线性振动是指在外部激励下，动力系统输出的振动不符合线性系统的响应规律，而出现非线性现象。
非线性振动是一种复杂而有趣的现象，广泛应用于各个领域，如机械工程、航空航天、电力电子等。
非线性振动的分析对于设计和优化动力系统至关重要，因此本文将介绍非线性振动的基本理论、方法和应用。
非线性振动的基本理论基于非线性动力学，非线性动力学研究非线性振动系统的运动规律。
非线性振动系统通常由一系列非线性微分方程描述，如Duffing方程、Van der Pol方程等。
这些方程往往包含非线性项，如非线性刚度、非线性阻尼、非线性耗散等。
非线性系统的解析解很难获得，因此需要借助数值模拟和近似方法来进行分析。
数值模拟是研究非线性振动的常用方法之一、通过数值方法可以求解非线性微分方程的数值解，得到系统的时域响应。
常用的数值方法包括Euler法、Runge-Kutta法、有限元法等。
数值模拟可以模拟系统在不同参数和激振条件下的响应，确定系统的稳定性和动态特性。
非线性振动还可以通过近似方法进行分析。
近似方法不依赖于数值计算，通过一系列数学变换和经验公式，将非线性系统简化为线性或半线性系统，以更好地理解系统的振动行为。
常用的近似方法有受激扰动法、多尺度方法和平均法等。
这些方法可以得到系统的解析解或近似解，为设计和优化动力系统提供参考。
非线性振动的应用广泛，其中一个重要应用是结构动力学领域。
在建筑、桥梁和飞行器等结构中，非线性振动会导致结构的破坏和失效。
通过对结构的非线性振动分析，可以预测并避免结构的振动失控，以提高结构的安全性和可靠性。
此外，非线性振动还在能量传输和能量转换系统中发挥着重要作用。
如能量管道、振动发电器和能量吸收器等系统，其中非线性振动可以改善系统的能量传输效率和转换效率。
通过对非线性振动的分析和优化，可以提高能量系统的性能，降低能量损耗。
总之，非线性振动的分析是设计和优化动力系统的重要环节。
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一般来说，振动系统总是非线性的，线性系 统只是一种简单模型。如果线性理论能反映所要 考察的物理现象的定性性质和适当的定量结果， 那么就把它当作线性系统来处理；否则，就要研 究非线性系统。
在线性系统的研究中可以应用叠加原理，即 系统对不同激励的响应可以线性相加，而对非线 性系统叠加原理不成立，因此对非线性系统的研 究比线性系统要复杂得多。
,d
Y y
O
不妨设平衡点O为原点，则方程式可写成
x ax by X1x, y, y cx dy Y1x, y
对于线性方程组
x ax by, y cx dy
特征方程为
2 p q 0
两个特征根为
1
1 2
x f x, x 0
x y, y f x, y
对于更一般的情形，方程可表示为
x X x, y, y Y x, y
式中x表示质点的位移， y x 表示质点的速度。如
果把(x, y)看作平面上点的坐标（称为相点） ，该平 面称为相平面。
微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面 上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。
则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）
例如
F x x x3 , 0
当 0 时表示硬弹簧；
当 0 时表示软弹簧。
硬弹簧曲线示意图 软弹簧曲线示意图
如果系统还受到阻力强迫力的作用，则系统的运
动微分方程为
mx x Fx Ft
在一般情况下，单自由度系统的运动微分方程为
若相平面上的点为
x 0, y 0
即
X xS , yS 0, Y xS , yS 0
则称点(xs, ys)为方程式的平衡点。
设点O(xs, ys)是一个平衡点。令
a
X x
, b O
X y
O
c
Y x
O
单摆的有限振幅振动是最简单的一个例子
运动微分方程为
g sin 0
l
对于微小振动，sin
g 0
l
如果振幅不是很小
线性系统
g l
3
6
0
非线性系统
单摆运动特性
g sin 0
l
/ rad
t/s
质量m在拉紧着的钢丝中的振动。设质量m附着在 长度为2l的钢丝中间，钢丝两端的拉力为S。当质点从 其平衡位置侧向移动距离x时，钢丝产生恢复力，
mx F x, x, t 0
或
x f x, x, t 0
其中
f x, x, t 1 F x, x, t
m
它是x和 x的非线性函数。
如果函数 f 不显含t，则称这个系统为自治系统， 否则称为非自治系统。
10.2 相平面 平衡点
设自治系统可表示为
或
（3）特征值为相异实数（q＜0），则平衡点称为鞍 点，如图所示。
（4）特征值为复数，实部为负(p＞0 , 4q＞p2)，则 平衡点称为稳定焦点，如图所示。
鞍点
稳定焦点
（5）特征值为复数，实部为正(p＜0 , 4q＞p2)， 则平衡点称为不稳定焦点，此时形状与上图相同， 但箭头方向相反。
（6）特征值为纯虚数，则平衡点称为中心，此时 相迹为封闭的圆，如图所示。
对于平衡点（0，0），按式求得
x y Xx, y, y Y x, y 20y 02 sin x
a 0,b 1,c 02,d 20
特征方程为
2 20 02 0
02
g ,
l
c
2m0
20 02 sin 0
再令
x , y
则方程式（b）可表示为
x y Xx, y, y Y x, y 20y 02 sin x
则方程式的平衡点为
x nπ, y 0 n 0,1,2,
p
2
1 2
p
p2 4q p2 4q
平衡点（0，0）有如下类型： （1）特征值均为负实数(p＞0 , p2≥ 4q＞0)，则平衡 点是稳定结点
1 2
稳定结点
1 2 稳定非正常结点
1 2
稳定星形结点
（2）两特征值均为正实数(p＜0 , p2≥ 4q＞0)，则平 衡点是不稳定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非 正常结点和不稳定星形结点。图形分别与上图相似， 但箭头方向相反。
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面 积，弹性模量和长度增量； 为钢丝 与竖直线的偏角。
运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
中心点
总结以上各种情况，平衡点类型可在p－q平面 上简单表示，如图所示。
平 衡 点 类 型 示 意 图
2 p q 0
例1 设质量为m,长为l的单摆在具有粘性阻尼的介质 中运动,阻尼系数为c,其运动微分方程为
ml cl mgsin 0
试研究单摆运动的相图.
解： 令 则方程式可写成
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
x
AE l3
x3
0
如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复
力一般地是位移x的非线性函数
一般非线性系统的运动微分方程可表示为
mx Fx 0
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬弹簧）；
如果 xFx 0
从研究方法上或是振动过程的变化规律上， 非线性振动与线性振动之间有本质区别。
研究非线性振动有两种基本方法
定性方法：
定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一 般稳定性特征，并非寻求与时间相关的解。
定量方法：
定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用 摄动法来求得这类方程的近似解析解。
10.1 非线性振动的例子