材料力学-- 弯曲内力
《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
《材料力学》第四章 弯曲内力
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学_：弯曲内力_：载荷集度、剪力和弯矩间的关系_
dFS( x) q( x) dx
If:在 x=x1 和 x= x2 两个横截面处无集中力作用
x2 x1
dFS
Байду номын сангаас
(
x)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
115
1265
23.6
+
1.7
27
（3）弯矩图 每段弯矩图均为斜直线。
MA0
FRA F
1
2
A
C
F FRB
3
D
B
M C FRA0.2 4.72kN m
M D FRB0.115 3.11kN m
MB 0
200
115
1265
最大弯矩发生在 C 截面
M max 4.72kN m
+
（4）校核
FRA 1 F 2
二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0 FS(x)图为一向右下方倾斜的直线. M(x)图为一向上凸的二次抛物线.
M(x)
FS(x)
O
x
2.梁上无荷载段，q(x) = 0 剪力图为一条水平直线.
FS(x)
弯矩图为斜线.
O
x
dFS( x) q( x) dx
A
C
F 3 FRB
DB
1）集中力作用的C,D 两点： 剪力图发生突变,突变值F=25.3kN。
200
材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P a q
a
P
a
a
a M＝qa2
q
a a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a M=qa2
a
§4-4
剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q x q x 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程，并作内力图
M ( x) m Pa
x
(0 x a )
BC段:
Fs ( x) P
M ( x) m P( x a) 2 Pa Px
( a x 2a )
Fs ( x) 0
m=Pa
P
B C
M ( x) m Pa
(0 x a )
A
Fs ( x) P
弯矩图上凸；
总结3 3、梁上没有均布载荷时：
剪力的图 弯矩图
FS
Fb / l
F C
x
水平；
斜直线；
M
Fa / l
Fab / l
且剪力大于零时， 弯矩图上升； 剪力小于零时， 弯矩图下降；
x
总结4 4、集中力的作用点处
FS
Fb / l
F
C
Fa / l
剪力图 突变； 突变量 =集中力的大小； 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向
固定端截面处；
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点 1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学-第四章 弯曲内力
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
材料力学4弯曲内力
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
5 / 49
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学第6章 弯曲内力
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
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6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
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6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。
在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。
弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。
首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。
在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。
弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。
在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。
其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。
在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。
弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。
通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。
此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。
在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。
一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。
因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。
最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。
在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。
因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。
总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。
通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。
材料力学复习提纲
材料力学复习提纲二弯曲变形的基本理论：一、弯曲内力1、基本概念：平面弯曲、纯弯曲、横力弯曲、中性层、中性轴、惯性矩、极惯性矩、主轴、主矩、形心主轴、形心主矩、抗弯截面模2、弯曲内力：剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图; 符号规定3、剪力方程、弯矩方程1、首先求出支反力,并按实际方向标注结构图中;2、根据受力情况分成若干段;3、在段内任取一截面,设该截面到坐标原点的距离为x,则截面一侧所有竖向外力的代数和即为该截面的剪力方程,截面左侧向上的外力为正,向下的外力为负,右侧反之;4、在段内任取一截面,设该截面到坐标原点的距离为x,则截面一侧所有竖向外力对该截面形心之矩的代数和即为该截面的弯矩方程,截面左侧顺时针的力偶为正,逆时针的力偶为负,右侧反之;对所有各段均应写出剪力方程和弯矩方程4、作剪力图和弯矩图1、根据剪力方程和弯矩方程作图;剪力正值在坐标轴的上侧,弯矩正值在坐标轴的下侧,要逐段画出;2、利用微积分关系画图;二、弯曲应力1、正应力及其分布规律()()max max max3243411-1266432zz Zz z z zz z I M EM M M y y y W EII I W y bh bh d d I W I W σσσρρππα==========⨯抗弯截面模量矩形圆形空心2、剪应力及其分布规律一般公式 z zQS EI τ*=3、强度有条件正应力强度条件 [][][]max zz zMMM W W W σσσσ=≤≤≥剪应力强度条件 []maxmax maxz maz z QS QI EIE S τττ**≤==工字型 4、提高强度和刚度的措施1、改变载荷作用方式,降低追大弯矩;2、选择合理截面,尽量提高zW A的比值; 3、减少中性轴附近的材料; 4、采用变截面梁或等强度两;三、弯曲变形1、挠曲线近似微分方程： ()EIy M x ''=-掌握边界条件和连续条件的确定法2、叠加法计算梁的变形 掌握六种常用挠度和转角的数据3、梁的刚度条件 ；[]maxy f l≤max 1.5Q Aτ=max 43QAτ=max 2Q A=max max z zQS EI *=压杆的稳定问题的基本理论;1、基本概念：稳定、理想压杆和实际压杆、临界力、欧拉公式、柔度λ、柔度界限值P λ、 临界应力cr σ、杆长系数μ1、2、、、惯性半径mix i =2、临界应力总图3、稳定校核压杆稳定校核的方法有两种：1、安全系数法 在工程中,根据压杆的工作情况规定了不同的安全系数st n ,如在金属结构中 1.8 3.0st n =;其他可在有关设计手册中查到;设压杆临界力为cr P ,工作压力为P ,则：cr cr P n n p σσ⎛⎫== ⎪⎝⎭或,式中 n 为工作安全系数,则稳定条件为： st n n ≥2、折减系数法 这种方法是将工程中的压杆稳定问题,转换成轴向压缩问题,用折减系数φ将材料的许用压应力[]σ打一个较大的折扣;φ是柔度λ的函数,根据大量的实验和工()22cr EI P l πμ=li μλ=Pλ=S S a bσλ-=mix i b =矩形短边4i d =圆形直径mixi 工字型查表221234235304 1.1229.30.19P P S S S P cr S P cr l i E aEb a b Q a MPab MPaa MPab MPaμλσλσπσλλλσλλλλσλ→→⇒→⇒=-⇒=≥⇒=≤≤⇒=-====计算程序：比较：钢松木程实践已将它们之间的关系制成了表格、图像和公式,只要算出压杆的柔度λ,就可在有关的资料中查到相应的φ值,不分细长杆,中长杆和短粗杆;其稳定表达式为：[]PAσφσ=≤复习题一、是非题 在题后的括号内正确的画“√” ；错误的画“×”1、平面图形对过形心轴的静矩等于零,惯性矩也等于零; × ;2、梁横截面上各点剪应力的大小与该点到中性轴的距离成反比; ×3、矩形截面梁上、下边缘的正应力最大,剪应力为零; √4、剪应力互等定理一定要在弹性范围内使用; ×5、所有压杆的临界力都可以用欧拉公式计算; ×6、梁横截面上各点正应力大小与该点到中性轴的距离成正比; √7、细长压杆的承载能力主要取决于强度条件; ×8、形状不同但截面面积相等的梁,在相同的弯矩下最大正应力相同; ×9、欧拉公式只适用于大柔度压杆的稳定性计算; √ 10、细长压杆的临界力只与压杆的材料、长度、截面尺寸和形状有关; × 11、梁横截面中性轴上的正应力等于零,剪应力最大; × 12、矩形截面梁上、下边缘的正应力最大,剪应力为零; √ 13、横截面只有弯矩而无剪力的弯曲称为纯弯曲; √ 14、均布荷载作用下的悬臂梁,其最大挠度与杆长三次方成正比; √ 15、无论是压杆、还是拉杆都需考虑稳定性问题; × 16、若某段梁的弯矩等于零,该段梁变形后仍为直线; √ 17、均布荷载下梁的弯矩图为抛物线,抛物线顶点所对截面的剪力等于零; √ 18、中性轴将梁的横截面分为受拉、受压两个部分; √ 19、压杆的柔度与材料的性质无关; √ 20、某段梁上无外力作用,该段梁的剪力为常数; √ 21、梁的中性轴处应力等于零; × 22、材料不同、但其它条件相同两压杆的柔度相同; √ 24、平面图形对其对称轴的静矩为零; √ 25、截面面积相等、形状不同的梁,其承载能力相同; × 26、竖向荷载作用下,梁横截面上最大剪应力发生在截面的上下边缘; ×27、压杆的柔度λ不仅与压杆的长度、支座情况和截面形状有关而且还与压杆的横截面积有关; √ 28、在匀质材料的变截面梁中,最大正应力σmax不一定出现在弯矩值绝对值最大的截上 √二、选择题备选答案中只有一个是正确的,将你所选项前字母填入题后的括号内;1、 矩形截面里梁在横力弯曲时,在横截面的中性轴处 BA 正应力最大,剪应力为零;；B 正应力为零,剪应力最大 ；C 正应力和剪应力均最大；D 正应力和剪应力均为零2、圆形截面抗扭截面模量W P 与抗弯截面模量W zA W P ＝W Z ；B W P＝2W Z ；C 2W P ＝W Z ;3、图示梁1、2截面剪力与弯矩的关系为 AA Q 1＝Q 2,M 1＝M 2；B Q 1≠Q 2,M 1≠M 2；C Q 1＝Q 2,M 1≠M 2；D Q 1≠Q 2,M 1＝M 2;4、图示细长压杆长为l 、抗弯刚度为EI ,该压杆的临界力为： A A 224lEIP cr π=； B 22lEIP cr π=C 2249.0l EIP cr π=； D 224lEIP cr π=5、两根梁尺寸、受力和支承情况完全相同,但材料不同,弹性模量分别为1E 和2E217E E =,则两根梁的挠度之比21/y y 为： BA ﹒4/1B ﹒7/1C ﹒49/1D ﹒7/16、圆形截面对圆心CAA ﹒I P ＝I Z ；B ﹒I P ＝2I Z ；C ﹒2I P ＝I Z ;7正确的是 A A a,b,c,d ；B d,a,b,c ； C c,d,a,b ；D b,c,d,a ；8、图示矩形截面采用两种放置方式,从弯曲正应力强度观点, 承载能力b 是a 的多少倍 AA ﹒2；B ﹒4；C ﹒6；D ﹒8;9、图示梁欲使C 点挠度为零,则P 与q 的关系为 B A ﹒2/ql P = B ﹒8/5ql P = C ﹒6/5ql P = D ﹒5/3ql P =10、长方形截面细长压杆,2/1/=h b ；如果将b 改为h 后仍为细长杆,临界力cr P 是原来多少倍 A ﹒2 B ﹒4 C ﹒6 D ﹒811、图示梁支座B 两侧截面剪力与弯矩的关系为 : DA ﹒Q 1＝Q 2,M 1＝M 2；B ﹒Q 1≠Q 2,M 1≠M 2；C ﹒Q 1＝Q 2,M 1≠M 2；D ﹒Q 1≠Q 2,M 1＝M 2;12、材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ,所受荷载及截面尺寸如图所示;下列关于它们的挠度的结论正确的为A A ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的4/1倍 B ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2/1倍 C ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 D ﹒I 、Ⅱ梁最大挠度相等13．截面形状不同、但面积相同,其它条件也相同的梁, 其承载能力的大小关系为 AA ﹒矩形＞方形＞圆形；B ﹒方形＞圆形＞矩形；C ﹒圆形＞方形＞矩形；D ﹒方形＞矩形＞圆形;14．T 形截面梁,横截面上a 、b 、c 三点正应力的大小关系为 B A ﹒σa ＝σb ＝σc ；B ﹒σa ＝σb ,σc ＝0；C ﹒σa >σb ,σc ＝0；D ﹒σa <σb ,σc ＝0;15．梁受力如图,在B 截面处,正确答案是 DA 剪力图有突变,弯矩图连续光滑；B 剪力图有尖角,弯矩图连续光滑；C 剪力图、弯矩图都有尖角；D 剪力图有突变,弯矩图有尖角;16．抗弯刚度相同的悬臂梁I 、Ⅱ如图所示;下列关于它们的挠度的结论正确的为； C()A I 、Ⅱ梁最大挠度相等 ()B I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2/1倍()C I 梁最大挠度是Ⅱ梁的4/1倍 ()D I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍17、如图所示的悬臂梁,自由端受力偶M 的作用, 梁中性层上正应力σ及剪应力τ正确的是： C()A 0,0=≠τσ ()B 0,0≠=τσ()C 0,0==τσ()D 0,0≠≠τσ三、填空题将答案填在题后的划线中1、图示圆截面压杆长m l 5.0=、直径mm d 20=,该压杆的柔度为：矩形方形圆形 zλ＝2、用积分法求图示梁的变形,试写出确定积分常数的边界条件和变形连续条件：3、图示圆截面悬臂梁,若其它条件不变,而直径增加一倍,则其最大正应力是原来截面上最大正应力的 1/8 倍;4、图示简支等截面梁C 处的挠度为 0 ;5、试画出矩形截面梁横截面沿高度的正应力分布规律,若截面弯矩为M , 则A 、C 两点的正=A σ ；=C σ ；67、图示梁支座B 左侧Ⅰ—Ⅰ截面的剪力和弯矩分别为：Q 1 ＝ ；z正应力分布规律M 1＝ ；8、图示悬臂梁自由端C 的转角和挠度分别为：=C θ ；=C y ；9．图示悬臂梁自由端C 的转角和挠度分别为：=Cθ ；=C y ；10、梁在弯曲时,横截面上正应力沿高度是按 分布的,中性轴上的正应力为 ；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按 分布的,中性轴上的剪应力为 ;11、图示矩形对C Z 轴的惯性矩ZC I ＝,对y 轴的惯性矩y I ＝12、利用叠加法计算杆件组合变形的条件是：1变形为 小变形；2材料处于 线弹性;13、按图示钢结构()a 变换成()b 的形式,若两种情形下CD 为细长杆,结构承载能力将：降低;14、图示三种截面的截面积相等,高度相同,则图_____所示截面的z W 最大,图_____所示截面的z W 最小;C(a)(b)(c)15、图示荷载,支座的四种布置中,从强度考虑,最佳方案为;四、计算题1、练习作以下各题的Q、M图,要标出各控制点的Q、M值;含作业中的题2、根据题意计算梁的强度,设计截面或求承载能力;1、矩形截面梁b=20cm、h=30cm,求梁的最大正应力m ax和最大剪应力m ax τ;2、求图示矩形截面梁1—1截面的最大正应力和最大剪应力;单位mm)3、求图示矩形截面梁D 截面上a 、b 、c 三点的正应力;Ca4、16号工字钢截面的尺寸及受力如图所示;[]MPa 160=σ试校核正应力强度条件;5、图示外伸梁,受均布荷载作用,已知：m KN q /10=,m a 4=,[]MPa 160=σ,试校核该梁的强度;6、图示为一铸铁梁,kN P 91=,kN P 42=,许用拉应力[]MPa 30=+σ,许用压应力[]MPa 60=-σ,461063.7m Iy-⨯=,试校核此梁的强度;max max 4628.8MPaMPa σσ-+==3、变形计算,练习以下各题,求指定位移;部分答案供参考AA B Cy yθAC78B BC CqAc By θc By θc BqA12561 437113246B B qa qa y EI EI θ=↓=2 45768C ql y EI =↓ 6 4348c B qa qa y EIEI θ=↓= 7 43472448A B ql ql y EIEIθ=↓=8 332C ql y EI=↓4、以下为压杆练习题,按要求求解;1、图示圆截面压杆,已知mm d 100=、GPa E 200=、MPa P 200=σ;试求可用欧拉公式计算临界力杆的长度;2、两端铰支压杆,尺寸如图所示;已知材料的弹性模量GPa E 200=,比例极限MPa P 200=σ,直线经验公式)(12.1304MPa cr λσ-=; 若取稳定安全系数3=w n ,试确定容许压力; 3、图示压杆的GPa E 70=、MPa P 175=σ, 此压杆是否适用于欧拉公式,若能用, 临界力为多少;4、图示圆截面压杆,已知：m l 1=、mm d 40=,材料的GPa E 200=, 比例极限MPa P 200=σ,直线经验公式)(12.1304MPa cr λσ-=; 试求压杆的临界力;5、图示蒸气机的活塞杆AB,所受的压力KN P 120=,cm l 180=,截面为圆形,直径cm d 5.7=,GPa E 210=,MPa p 240=σ;规定8=st n ,两端视为铰接1=μ,试P y z 10040lPd校核该活塞杆的稳定性;6、图示结构,尺寸如图所示,立柱为圆截面,材料的GPa E 200=,MPa p 200=σ;若稳定安全系数2=st n ,试校核该立柱的稳定性; 2.152st n n =≥=;7、桁架ABC 由两根具有相同截面形状和尺寸及同样材料的细长杆组成,β已知,试求使荷载P 为最大时的θ角设πθ<<0;2arctan(cos )θθ=8、图示结构,力作用线沿竖直方向;AC 和BC 均为圆截面杆,其直径分别mm d AC 16=,mm d CB 14=,材料为3A 钢,GPa E 206=,直线公式λσb a cr -=的系数MPa a 310=,MPa b 14.1=;105=p λ,4.61=s λ,稳定安全系数4.2=st n ,校核该结构的稳定性;失稳9、求图是压杆的临界力;25a mm =,25d mm =,5210E MPa =⨯。
第四章弯曲内力
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学 第四章 弯曲内力
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
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y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
FN Fs M F M图 A F + 2FR O B
q
Fs图
– F
FN图
+ F
O O M (q ) F ( R Rcosq ) FR(1 cosq ) (0 q )
一、构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替梁。 二、载荷简化 1. 集中力(N，kN) 2. 集中力偶(Nm， kNm) 3. 分布载荷(N/m，kN/m)
P 载荷集度q： q lim0 x x
5
P m q m
三、 支座简化 ①固定铰支座：2个约束 A A A ③固定端：3个约束
XA MA
[例5-4] 求下列外伸梁的内力方程并画内力图。 q
C a
A
RA
x
2a
RB
Fs qa 1 qa2 2
1 qa 4+
解：(1)计算支反力： B R 5 qa() RB 1 qa() A 4 4 (2)列剪力、弯矩方程：以A 为原点。
q(a x) (a x 0)
M
-
（3）画内力图：
x
ql FS ( x) －qx0 x l 2
M ( x)
FS
M
ql q x x2 2 2 q ( x l ) 2 1 ql 2 0 x l 2 2 8
(3)绘制剪力图、弯矩图 在FS=0处，M取得最大值。 14
F A RA
x x a
l
C b M(x) FS(x) F
B A
q
FAy
3a
[例5-6]作图示刚架的弯矩图。 解：(1) 求支座反力
Fx 0 : FCx 3qa
M C 0 : FAy
3qa 3a 2 9 qa 2a 4 9 qa 4
20
CF
Cx
F y 0 : FCy
FCy
2a
(2) 对各杆分段求内力
0 x2 l
(外侧受拉)
（2）画弯矩图
P1a+ P2 l
23
4. 平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。 [例5-8] 如图所示平面曲杆，已知F及R 。试画Fs、M 及FN 图。 解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面m–m的位置。 R F 取研究对象，画其受力图如下 图示： q B A
B
q
3a
A 9qa 4
BA杆：以A为原点
F F
x
0 : FN ( x1 ) 0 0 x1 2a
C
9qa 4
3qa
FN 2
M2
q
FN 1
O x2
2a M1
0 : Fs ( x1 ) 9 qa 0 x1 2a y 4 M O 0 : M ( x1 ) 9 qax1 0 x1 2a 4
变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
3
对称轴
P q
m
轴线
RA
纵向对称面
RB
对称轴
平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵 向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条 平面曲线。 4
§5.2
梁的计算简图
计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。
a A x
F1
C
计算方法：截面法 例：求截面1-1上的内力。 解：(1)确定支反力RA和RB
Fy 0 :
RA F1 FS 0
F1 1
F2
m
B
1
RA (2)取左段梁为研究对象：
RB M FS F2 M
m
FS RA F1
RA
x
M C 0 : M F ( x a) R x 0 1 A
Fs (q ) Fsinq (0 q )
FN (q ) Fcosq (0 q )
25
§5.5 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析：
F y 0:
FS ( x ) q( x )dx FS ( x ) dFS ( x ) 0
B
9 2 qa图 BA杆：以A为原点
M ( x1 ) 9 qax1 0 x1 2a 4
M
C
弯矩图画在 BC杆：以C为原点 q 2 M ( x2 ) 3qax2 - x2 0 x2 3a 受拉侧 2
B 9qa 4 + FS C
A
m A RA x x a
C b
B RB
解：(1)计算支反力：
l x
m RA FS x m /l + mb /l M ma /l
M A 0 : RB m / l M B 0 : RA m / l
RA
M(x) FS(x) M(x) FS(x)
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、 CB两段考虑，以A为原点。 m FS ( x ) RA 0 x a AC段： l
（3）分段规律：
19
3. 刚架：在工程中，常遇到由不同取向的杆件，通过 杆端相互连接而组成的框架(frame)结构。 具有刚节点的框架称为刚架(rigid frame)。 刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。 铰结点：能相对转动，不能相对移动。 注意：刚架的内力有Fs、M、FN , 这里只讲弯矩图画法。
6
②可动铰支座：1个约束 A
YA
XA
A A YA
A
YA
四、静定梁的三种基本形式 静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和 内力。 ① 简支梁(simple beam)
② 外伸梁(overhanging beam)
③ 悬臂梁(cantilever beam)
7
§5.3
弯曲内力——剪力和弯矩
（2）求截面内力 1-1截面: Fs1 R A 1 F
4 M1 R A a M 0 1 F a Fa 5 Fa 4 4 2-2截面: Fs 2 R B 3 F 4 M 2 R B a 3 Fa 4
12
§5.4
剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
1. 内力方程： 剪力方程：FS=FS（x） 弯矩方程：M=M（x） 2. 剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的 图形。 FS x M 计算步骤： (1)确定支座反力； (2)分段建立剪力、弯矩方程； (3)作剪力图、弯矩图。 x
FS 1
BC杆：以C为原点
A 9qa 4
O
x1
Fy 0 : FN ( x2 ) 9 qa 0 x2 3a 4
FS 2
F
x
0 : Fs ( x2 ) 3qa qx2
q 2 x 2 2
0 x2 3a
0 x2 3a
21
9qa 4
C
3qa
M O 0 : M ( x2 ) 3qax2 -
M RA x F1 ( x a)
FS
8
RB
内力的正负规定: ①剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正；反之为负。 或者说：左上右下的FS为正，反之相反。
FS(+) FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
B
9qa + 4
A
FN C
22
3qa
[例5-7] 试作图示刚架的弯矩图。
F2 B a F1
解：（1）列各杆弯矩方程 BC杆：以C为原点
M ( x1 ) F1 x1
x2
l
x1 C
0 x1 a
(外侧受拉)
A P1a
P1a
BA杆：以B为原点
M ( x2 ) F1a F2 x2