平面、空间直线及其方程

一、向量的向量积：b
a
⨯
二、平面及其方程
一、平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2．平面的点法式方程
已知平面上的一点)
,
,
(
z
y
x
M和它的一个法线向量}
,
,
{C
B
A
=
n，对平面上的任一点)
,
,
(z
y
x
M，有向量⊥
M
M
n，即
M M
⋅=
n
代入坐标式，有：
)
(
)
(
)
(
=
-
+
-
+
-z
z
C
y
y
B
x
x
A此即平面的点法式方程。

【求平面方程的方法】
233231131221
{,,}.
a b a b a b a b a b a b a b
⨯=---
;
(1)在平面上找出一个点.
(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。

平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax
几个平面图形特点：
1）D ＝0：通过原点的平面。

2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。

同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。

3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。

同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。

4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n
例2：设平面过原点及点)2,3
,6(-，且与平面8
2
4=
+
-z
y
x垂直，求此平面方程。

解：设平面为0
=
+
+
+D
Cz
By
Ax，由平面过原点知0
=
D
由平面过点)2,3
,6(-知0
2
3
6=
+
-C
B
A，
{4,1,2}
⊥-
n0
2
4=
+
-
∴C
B
A C
B
A
3
2
-
=
=
⇒
所求平面方程为0
3
2
2=
-
+z
y
x
三、空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。

故其一般方程为：
⎩
⎨
⎧
=
+
+
+
=
+
+
+
2
2
2
2
1
1
1
1
D
z
C
y
B
x
A
D
z
C
y
B
x
A
二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。

已知直线上的一点)
,
,
(
z
y
x
M和它的一方向向量}
,
,
{p
n
m
=
s，设直线上任一点为)
,
,
(z
y
x
M，那么
M
与s平行，由平行的坐标表示式有：
p
z
z
n
y
y
m
x
x
-
=
-
=
-
此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。

.
的直线
为方向向量
)
3
,
0,2
(
且以
)
3,2,1(
表示过点
3
-
3
2
2
1
例如-
-
=
-
=
-
s
z
y
x
如设
t p
z z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y mt x x 000
三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。

例2：求过点（2，1，3）且与直线1
2131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程． 解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为
0)3()1(2)2(3=---+-z y x
再求已知直线与这平面的交点。

将已知直线改成参数方程形式为
x = -1+3t y =1+2t
z=-t 并代入上面的平面方程中去，求得t ＝73，从而求得交点为)7
3,713,72(-． 以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s 即为所求直线的方向向量：
}4,1,2{7
6}733,7131,722{-=+--=s 故所求直线方程为
4
31122-=--=-z y x。