2021年高中数学核心知识点4.2 指数与指数函数(专题训练卷)(原卷版)新高考
2021高三数学北师大版(理)课后限时集训：指数与指数函数含解析
建议用时：45分钟一、选择题1．设a＞0，将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )C.故选C.][2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 7．不等式2－x 2＋2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x ＋4的解集为________．(－1,4) [原不等式等价为2－x 2＋2x ＞2－x －4， 又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]8．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫0，12 [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图像，由图像可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12；同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜12，与a ＞1矛盾．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，1．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜bC [∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1.∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ＞1.∴ab＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.] 2．设f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝错误!，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qC [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝错误!＝错误!＝e ＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.]3．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．12或32 [当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，。
4.2 指数函数(精讲)(原卷版附答案).docx
4.2指数函数考点一 指数函数的判断【例1-1】（2019·河北桥西.邢台一中高一月考）下列函数中指数函数的个数是（ ）①23x y =⋅ ②13x y += ③3xy = ④()21xy a =-（a 为常数,12a >,1a ≠） ⑤3y x = ⑥4xy =- ⑦()4xy =-A ．1B ．2C ．3D ．4【例1-2】（2019·河南中原.郑州一中高一开学考试）函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,则a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．1或3【一隅三反】1．（2019·山东高三学业考试）函数()2xy a a =-是指数函数,则（ ）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠2．（2019·呼和浩特开来中学高一期中）若函数1()(3)2xf x a a =-⋅是指数函数,则1()2f 的值为( )A ．2B ．-2C ．-D ．3．（2019·辽宁葫芦岛.高一月考）下列函数不是指数函数的是（ ） A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =考点二 定义域和值域【例2-1】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：（1）142x y -=；（2）23y ⎛= ⎪⎝⎭（3）22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【例2-2】（2018·湖南开福.长沙一中高一月考）若函数y =的值域为[0,+∞）,则实数a 的取值范围是_____．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域； （1）12x y +=；（2）y =（3）y =2．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域与值域.（1）y =（2）1(0,1x x a y a a -=>+且1)a ≠（3）110.3;x y -=（4）y =3．（2020·河北新华.石家庄二中高二期末）若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ,则a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦4．（2020·云南五华.昆明一中高三其他（理））设函数y =A ,函数12x y -=的值域为B ,则AB =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-5．（2019·湖南高一期中）若函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2考点三 指数函数性质【例3】（1）（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3（2）（2019·湖南岳阳楼.岳阳一中高一期中）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( ) A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)（3）（2019·湖北襄阳）如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【一隅三反】1．（2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考）函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2．（2019·浙江柯城.衢州二中高三一模）已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数）为偶函数,记()0.2log 3a f =,()5log b f e =,()c f m π=+,则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<3．（2020·浙江高一课时练习）设0.914y =,0.4828y =, 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>1.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清,抓住底数不放松； 反正底数大于0,不等于1已表明； 底数若是大于1,图象从下往上增； 底数0到1之间,图象从上往下减； 无论函数增和减,图象都过(0,1)点． 2.比较幂值大小的三种类型及处理方法4．（2020·永安市第三中学高二月考）若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-5（2020·上海高一课时练习）已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,则该函数的单调递增区间是__________.6．（2020·上海普陀.曹杨二中高一期末）函数12x y =-的单调递增区间为________7．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中的两个值的大小． （1）0.10.8-,0.21.25；（2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1；（3）30.2-,()0.23-.考点四 定点【例4】（2020·浙江高一课时练习）函数()-1=4+x f x a （0a >,且1a ≠）的图象过定点P ,则P 点的坐标为（ ） A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,5)D ．(0,4)【一隅三反】1．（2019·涡阳县第九中学高二期末）函数()10,1xy a a a =+>≠的图象必经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,1)C ．()0,2D ．(2,2)2．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点（ ） A ．(1,1) B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)23．（2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ）A ．（1,1）B ．（1,3）C ．（2,0）D ．（4,0）考点五 图像【例5-1】（2020·广东顺德一中高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【例5-2】（2020·浙江高一课时练习）若函数(01,1)xy a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内,则（ ） A ．1a >B ．1a >,且0m <C ．01a <<,且0m >D ．01a <<【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数y x a =+与xy a =,其中0a >,且1a ≠,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )A ．B ．C ．D ．2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中,二次函数2y ax bx c =++与函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·上海高一课时练习）若函数2xy m =+的图像不经过第二象限,则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-4．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））若直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点,则a的取值范围是___________4.2指数函数考点一 指数函数的判断【例1-1】（2019·河北桥西.邢台一中高一月考）下列函数中指数函数的个数是（ ）①23x y =⋅ ②13x y += ③3xy = ④()21xy a =-（a 为常数,12a >,1a ≠） ⑤3y x = ⑥4xy =- ⑦()4xy =-A ．1B ．2C ．3D ．4【参考答案】B【解析】对①：指数式的系数为2,不是1,故不是指数函数；对②：其指数为1x +,不是x ,故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义,故都是指数函数； 对⑤：是幂函数,不是指数函数；对⑥：指数式的系数为-1,不是1,故不是指数函数；对⑦：指数的底数为-4,不满足底数大于零且不为1的要求,故不是； 综上,是指数函数的只有③④,故选：B.【例1-2】（2019·河南中原.郑州一中高一开学考试）函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,则a 的值为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．1或3【参考答案】C【解析】因为函数f (x )=(a 2﹣3a +3)a x 是指数函数,故可得2331a a -+=解得1a =或2a =, 当1a =时,不是指数函数,舍去.故选：C.【一隅三反】1．（2019·山东高三学业考试）函数()2xy a a =-是指数函数,则（ ）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠【参考答案】C【解析】因为函数()2xy a a =-是指数函数所以21a -=,0a >且1a ≠,解得3a =.故选：C.2．（2019·呼和浩特开来中学高一期中）若函数1()(3)2xf x a a =-⋅是指数函数,则1()2f 的值为( )A ．2B ．-2C．-D．【参考答案】D【解析】∵函数f （x ）＝（12a ﹣3）•a x 是指数函数,∴12a ﹣3＝1,a ＞0,a ≠1,解得a ＝8, ∴f （x ）＝8x ,∴f （12）==,故选：D ． 3．（2019·辽宁葫芦岛.高一月考）下列函数不是指数函数的是（ ） A ．12x y += B ．3x y -= C ．4x y = D ．32x y =【参考答案】A【解析】指数函数是形如xy a =（0a >且1a ≠）的函数. 对于A ：1222x x y +==⨯,系数不是1,所以不是指数函数；对于B ：133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭,符合指数函数的定义,所以是指数函数；对于C ：4xy =,符合指数函数的定义,所以是指数函数；对于D ：382x xy ==,符合指数函数的定义,所以是指数函数.故选：A.考点二 定义域和值域【例2-1】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域： （1）142x y -=；（2）23y ⎛= ⎪⎝⎭（3）22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭.【参考答案】（1）定义域{|4}x x ≠,值域为{|0y y >且1}y ≠； （2）定义域{|0}x x =,值域{|1}y y =；（3）定义域R ,值域(]0,16【解析】（1）要使函数式有意义,则40x -≠,解得4x ≠.所以函数142x y -=的定义域为{|4}x x ≠.因为104x ≠-,所以1421x -≠,即函数142x y -=的值域为{|01}y y y >≠，且. （2）要使函数式有意义,则||0x -,解得0x =,所以函数23y ⎛= ⎪⎝⎭{|0}x x =.因为0x =,所以022133⎛⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数23y ⎛= ⎪⎝⎭{|1}y y =.（3）函数的定义域为R .因为2223(1)44x x x --=--≥-,所以2234111622x x ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又223102x x --⎛⎫>⎪⎝⎭,所以函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,16.【例2-2】（2018·湖南开福.长沙一中高一月考）若函数y =的值域为[0,+∞）,则实数a 的取值范围是_____． 【参考答案】（﹣∞,﹣2]【解析】设()421x x g x a =+⋅+,若函数y =的值域为[0,)+∞,则等价于[0,)+∞是()g x 值域的子集,2()421(2)21x x x x g x a a =+⋅+=+⋅+,设2x t =,则0t >,则2()1y h t t at ==++,(0)10h =>,∴当对称轴02at =-,即0a 时,不满足条件． 当02at =->,即0a <时,则判别式△240a =-,即022a a a <⎧⎨-⎩或,则2a -, 即实数a 的取值范围是(-∞,2]-.故参考答案为：(-∞,2]-【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域； （1）12x y +=；（2）y =（3）y =【参考答案】（1）定义域为R ,值域为(0,)+∞；（2）(,0]-∞,[0,1)；（3）[0,)+∞,[1,)+∞.【解析】（1）12x y +=的定义域为R ,值域为(0,)+∞.（2）由120x -≥知0x ,故y =(,0]-∞；由0121x -<知0121x -<,故y =[0,1).（3）y =[0,)+∞0x 知1x,故y =[1,)+∞.2．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域与值域.（1）y =（2）1(0,1x x a y a a -=>+且1)a ≠（3）110.3;x y -=（4）y =【参考答案】（1）定义域为[0,)+∞；值域为[0,1)；（2）定义域为R ；值域为(－1,1)；（3）定义域为{1}xx ≠∣；值域为{0y y >∣且1}y ≠；（4）定义域为15xx ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣；值域为{1}yy ≥∣. 【解析】（1）1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,解得：0x ≥, ∴原函数的定义域为[0,)+∞,令11(0)2xt x ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,则01,01t ≤<∴≤∴原函数的值域为[0,1) （2）原函数的定义域为R.设x a t =,则(0,)t ∈+∞,11221111t t y t t t -+-===-+++, 0,11t t >∴+>,1201,2011t t -∴<<∴-<<++,21111t ∴-<-<+,即原函数的值域为(1,1)-. （3）由10x -≠得1x ≠,所以函数定义域为{|1}x x ≠,由101x ≠-得1y ≠, 所以函数值域为{|0y y >且1}y ≠.(4)由510x -≥得15x ≥,所以函数定义域为15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣,0≥得1y ≥,所以函数值域为{1}yy ≥∣. 3．（2020·河北新华.石家庄二中高二期末）若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ,则a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【参考答案】B【解析】当1x <时,()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝ 当1≥x 时,()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩,即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B 4．（2020·云南五华.昆明一中高三其他（理））设函数y =A ,函数12x y -=的值域为B ,则AB =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-【参考答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->,即11x -<<,所以{}11A x x =-<<,函数12x y -=的值域{}0B y y =>,所以()0,1AB =,故选：A.5．（2019·湖南高一期中）若函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【参考答案】D【解析】由于函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3,所以0a >,且当422x a a-=-=时,()f x 取得最大值为2224411412113333a a a aaf a ⎛⎫⋅-⋅+-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故4411,2,2a a a-===.故选：D 考点三 指数函数性质【例3】（1）（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3（2）（2019·湖南岳阳楼.岳阳一中高一期中）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( ) A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)（3）（2019·湖北襄阳）如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【参考答案】（1）B （2）B(3)C【解析】（1）函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增,()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．（2）可知函数()f x 为减函数,由2(4)(3)f a f a ->,可得243a a-<,整理得2340a a --<,解得14a -<<,所以不等式的解集为(1,4)-．故选B.(3) 根据函数()1()2x f x =在R 是减函数,且1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以10b a >>>,所以a a b a b a <<,故选C.【一隅三反】1．（2019·浙江南湖.嘉兴一中高一月考）函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞【参考答案】C【解析】∵13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数,222(1)1u x x x =-+=--+在(,1]-∞上递增,在[1,)+∞上递减,∴函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的增区间是[1,)+∞．故选：C ．2．（2019·浙江柯城.衢州二中高三一模）已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数）为偶函数,记()0.2log 3a f =,()5log b f e =,()c f m π=+,则( )11.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清,抓住底数不放松； 反正底数大于0,不等于1已表明； 底数若是大于1,图象从下往上增； 底数0到1之间,图象从上往下减； 无论函数增和减,图象都过(0,1)点． 2.比较幂值大小的三种类型及处理方法A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【参考答案】B【解析】()f x 为偶函数,()()f x f x ∴-=,||||3232x m x m --+-+∴+=+,||||x m x m ∴-+=+；0m ∴=；||()32x f x -∴=+；()f x ∴在[0,)+∞上单调递减,并且0.25(|log 3|)(log 3)a f f ==,5(log )b f e =,()()c f m f ππ=+=550log log 3e π<<<c a b ∴<<．故选：B ．3．（2020·浙江高一课时练习）设0.914y =,0.4828y =, 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>【参考答案】D【解析】 1.50.920.9 1.80.4830.481.44 1.35121422,22282,y y y -⨯⨯⎛⎫======⎝== ⎪⎭,因为函数2xy =在定义域上为单调递增函数,所以132y y y >>．故选：D ．4．（2020·永安市第三中学高二月考）若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【参考答案】D【解析】由9(4)340x xa ++⋅+=,得443(4)0,(4)3433xxx x a a +++=∴-+=+≥（当且仅当32x =时等号成立）,解得8a ≤-故选D5（2020·上海高一课时练习）已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,则该函数的单调递增区间是__________.【参考答案】(,1]-∞-【解析】由题得函数的定义域为R . 设2122,()2uu x x v =++=,函数222,u x x =++在∞(-,-1]单调递减,在[1,)-+∞单调递增,函数1()2uv =在其定义域内单调递减,所以2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在∞(-,-1]单调递增,在[1,)-+∞单调递减.故参考答案为：(,1]-∞-.6．（2020·上海普陀.曹杨二中高一期末）函数12x y =-的单调递增区间为________【参考答案】(,0]-∞【解析】函数12,010221,1x xxy x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭=⎩-, 根据指数函数单调性可得,函数在(,0]-∞单调递增,在0,单调递减,所以函数12xy =-的单调递增区间为(,0]-∞.故参考答案为：(,0]-∞ 7．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中的两个值的大小． （1）0.10.8-,0.21.25；（2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1；（3）30.2-,()0.23-.【参考答案】（1）0.10.20.81.25-<（2）11ππ-⎛⎫> ⎪⎝⎭（3）()0.230.23->-【解析】（1）因为0.10.10.1450.854--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 0.20.251.254⎛⎫= ⎪⎝⎭, 又指数函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数,且0.10.2<,所以0.10.25544⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即0.10.20.8 1.25-<. （2）1ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭01πππ=>=,（3）30.2-00.21>=,()()10.25330-=-=<,所以()0.230.23->-.考点四 定点【例4】（2020·浙江高一课时练习）函数()-1=4+x f x a （0a >,且1a ≠）的图象过定点P ,则P 点的坐标为（ ） A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,5)D ．(0,4)【参考答案】A【解析】因为xy a =的图象恒过(0,1)点,则1x y a-=的图象恒过(1,1)点,所以()-1=4+x f x a恒过定点()1,5P .故选A .【一隅三反】1．（2019·涡阳县第九中学高二期末）函数()10,1xy a a a =+>≠的图象必经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,1)C ．()0,2D ．(2,2)【参考答案】C【解析】函数x y a =的图象过点(0,1),而函数1x y a =+的图象是把函数x y a =的图象向上平移1个单位,∴函数1x y a =+的图象必经过的点(0,2)．故选：C ．2．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点（ ） A ．(1,1) B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【参考答案】D【解析】令12102x x -=⇒=,所以函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2． 3．（2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ）A ．（1,1）B ．（1,3）C ．（2,0）D ．（4,0）【参考答案】B 由x ﹣1=0,解得x=1,此时y=1+2=3,即函数的图象过定点（1,3）,故选B考点五 图像【例5-1】（2020·广东顺德一中高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【参考答案】D 【解析】∵0a >,∴10a>,∴函数x y a =需向下平移1a 个单位,不过（0,1）点,所以排除A,当1a >时,∴101a <<,所以排除B,当01a <<时,∴11a>,所以排除C,故选D. 【例5-2】（2020·浙江高一课时练习）若函数(01,1)xy a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内,则（ ） A ．1a >B ．1a >,且0m <C ．01a <<,且0m >D ．01a <<【参考答案】B【解析】因为函数xy a =的图像在第一、二象限内,所以欲使其图像在第三、四象限内,必须将xy a =向下移动,因为当01a <<时,图像向下移动,只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限, 所以只有当1a >时,图像向下移动才可能经过第一、三、四象限,故1a >,因为图像向下移动小于一个单位时,图像经过第一、二、三象限,而向下移动一个单位时,图像恰好经过原点和第一、三象限,所以欲使图像经过第一、三、四象限,则必须向下平移超过一个单位, 故11m -<-,0m <,故选：B.【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数y x a =+与xy a =,其中0a >,且1a ≠,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )A ．B ．C ．D ．【参考答案】D【解析】因为函数y x a =+单调递增,所以排除AC 选项；当1a >时,y x a =+与y 轴交点纵坐标大于1,函数xy a =单调递增,B 选项错误；当01a <<时,y x a =+与y 轴交点纵坐标大于0小于1,函数xy a =单调递减；D 选项正确.故选：D2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中,二次函数2y ax bx c =++与函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A【解析】根据选项中二次函数图象,可知0c ,根据选项中指数函数的图象,可知01b a <<,所以1022b a-<-<, 所以二次函数2y ax bx c =++的对称轴在y 轴左侧,且1,022b x a ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭, 所以可排除B 、C 、D,只有A 符合题意.故选：A.3．（2020·上海高一课时练习）若函数2xy m =+的图像不经过第二象限,则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【参考答案】D【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2xy m =+过点()0,1m +,若图像不经过第二象限,则10m +≤,即1m ≤-,故选：D4．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））若直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点,则a 的取值范围是___________【参考答案】102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】当01,1a a <<>时,做出|1|xy a =-图象,如下图所示,直线2y a =与函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象有两个大众点时,1021,02a a <<<<. 故参考答案为:102⎛⎫ ⎪⎝⎭，知识改变命运。
4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)
x
2
1 ，故值域为 y
|
0
y
1
.
8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数 f x 4x a 2x 3 ， a R ．
(1)当 a 4 ，且 x 0, 2 时，求函数 f x 的值域；
(2)若函数 f x 在0, 2 的最小值为1，求实数 a 的值；
【答案】(1)1,3 (2) a 2 2
③
y
2
x
是指数函数；
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
⑤
y
3
1 x
的指数不是自变量
x
，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
9．（2021·全国·高一专题练习）函数 y a2 5a 5 ax 是指数函数，则 a 的值为________．
【答案】 4
f
x
ax2 2x ,
a
1 x
x 1
3a,
x
1 的最小值为
2，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由题意，函数
f
x
ax2 2x ,
a 1 x
x 1
3a, x
1 的最小值为
2
，
因为函数 f x 在[1, ) 上为增函数，可得 x 1时，函数 f x 有最小值为 2 ，
则当 x (,1) 时，函数 f x 2 ， min
）
A． c a b
B． c b a
【答案】A
1
2
【解析】
b
1 4
3
1 2
3
，
C． b c a
4.2-指数函数 2025年高考数学知识点题型及考项复习
−
+
−1
+1
> , ≠ 的性质的研究
> 0, ≠ 1 .
（1）判断函数 的奇偶性；
【解析】易知函数 的定义域为，
因为 − =
− −1
− +1
=
− −1
− +1
定义域为，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是( BCD
A. = [0,2]
B. ⊆ (−∞, 1]
【解析】由于 = 22 − 2+1 + 2 = 2 − 1
C.0 ∈
2
)
D.1 ∈
+ 1 ∈ [1,2].当函数的最小值为1时，
仅有 = 0满足，所以0 ∈ ，故C正确；
当 = −0.5时,由图象观察可得
方法2 构造幂函数 = −0.5 =
2
又
3
<
3
2 −0.5
,所以
4
3
>
3 −0.5
.
4
3
1
>
2
3
3 −0.5
.
4
> 0 ,则该函数是减函数，
图4.2-10
（3）0.20.3 ，0.30.2 .
【解析】因为幂函数 = 0.2 在[0, +∞)上单调递增，且0.2 < 0.3，所以0.20.2 < 0.30.2 .
（2）0.2 < 25;
【答案】 > −
（3）−5 > +7 ( > 0,且 ≠ 1).
【答案】 < − 或 > −
指数与指数函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解
2021高考数学复习专题指数与指数函数(精讲)
指数与指数函数精讲【核心素养分析】1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。
5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】 知识点一 根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.知识点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. 知识点三 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质【特别提醒】1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大. 【典型题分析】高频考点一 指数幂的运算例1.【2020·全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69【方法技巧】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【变式探究】（2020·四川棠湖中学模拟）⎝⎛⎭⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________． 高频考点二 指数函数的图像及其应用例2.（2020·广西柳州高级中学模拟） 函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．【变式探究】（2020·浙江余姚中学模拟）函数y ＝a x －b (a ＞0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围是________．高频考点三 比较指数式的大小例3．【2020·天津卷】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式探究】（2020·安徽马鞍山二中模拟）已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a高频考点四 解简单的指数方程或不等式例4.（2020·山东日照一中模拟）方程4x ＋|1－2x |＝11的解为________【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式探究】（2020·山东济南外国语学校模拟）已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1的图象过点⎝⎛⎭⎫1，－310，若－16≤f (x )≤0，则实数x 的取值范围是________．高频考点五 指数函数性质的综合应用例5.（2020·福建泉州五中模拟）已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值；243－＋ax x(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
考点12 指数运算和指数函数【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(原卷版)
考点12指数运算和指数函数1、正确区分n a n与(n a)n(1)(n a)n已暗含了n a有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)n a n中的a可以是全体实数，n a n的值取决于n的奇偶性．2、有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．3、根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．4、指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．5、利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(12x±12x-)2∓2，12x＋12x-＝(14x±14x-)2∓2.6、判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)a x前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．7、求指数函数的解析式或函数值(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．8、解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．9、函数y＝a f(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝a f(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．10、处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．11、比较幂值大小的3种类型及处理方法12、简单的指数不等式的解法(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式a f(x)>a g(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f(x)>a g(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．13、指数型复合函数的单调性(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．(2)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．考点一指数与指数幂的运算（一）根式化简求值1．（2022·西藏·拉萨中学高一期末）若a=b=a b+的值为（）π-A．1B．5C．1-D．25x<时，化简x__________. 2．（2022·上海长宁·高一期末）当03．（2022·全国·=_______．（二）利用分数指数幂的运算性质化简求值4．（2022·河南洛阳·高一期末）计算：22332728-⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭______．5．（2022·全国·04(1=___________________．6．（2022·江西·景德镇一中高一期末）化简)()146230.251624820229-=⎛⎫⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭____________.7．（2022·全国·高一单元测试）计算：(1)21023213(2)(9.6)(3(1.5)48-----+；10421()0.252-+⨯.（三）整体代换法求分数指数幂8．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知223x x --=，求44x x -+的值；9．（2022·广东汕头·高一期末）已知11223x x -+=，求1x x --的值．10．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知11223a a --=，求33221122a a a a----的值；考点二指数函数的概念（一）指数函数的概念11．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠12．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）已知函数()()33x f x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.（二）求指数函数的解析式或函数值13．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数()f x 是指数函数，且35225f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()3f =________.14．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.15．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）设0a >且1a ≠，函数()1,0,0x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩，若()()11f f =-，则a 的值为________．16．（2022·福建·厦门一中高一期末）已知函数()221,1,,1,x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩若()()03f f a =，则a 的值为______．17．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数()x f x a =，()xg x b =，若()()115f g +=，()()111f g -=．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)若()()f m g n =，试比较m ，n 的大小．18．（2022·广东汕头·高一期末）已知函数()1x f x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()14129f f +=-.(1)求a 的值；(2)解不等式()2f x >.考点三指数函数的定义域和值域（一）指数函数的定义域19．（2022·全国·高一课时练习）函数y =的定义域为（）A．(-∞B．(-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞20．（2022·广东广州·高一期末）函数1()1f x x =-的定义域为______．21．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x =______________．22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________．（二）指数函数的值域23．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）已知集合{}2320A x x x =-+≥，{}3,1x B y y x ==≥，那么A B =（）A ．[]2,3B ．[](]2,3,1-∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞24．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．25．（2022·浙江省义乌中学高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数":设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如:][1.32 3.43⎡⎤-=-=⎣⎦，，已知11()313x f x =-+，则函数[]()y f x =的值域为（）A ．{}0B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，，26．（2022·天津南开·高一期末）定义运算a b *为：,(){,(),a ab a b b a b ≤*=>如121*=，则函数()22x x f x -=*的值域为（）A ．RB ．(]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞27．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞28．（2022·山东烟台·高一期末）已知函数()()112,03,0x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为___________.29．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（）A ．32-B ．1-C ．1D ．32考点四指数函数的图象及应用（一）判断指数型函数图象的形状30．（2022·湖北黄石·高一期末）函数()2||24x x f x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．31．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()241x x xf x =+的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．32．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数3()22x xx xf x --=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．33．（2022·河南安阳·高一期末）函数()22xf x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．34．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．35．（2022·陕西渭南·高一期末）函数y x a =+与x y a -=（0a >且1a ≠）在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．36．【多选】（2022·吉林吉林·高一期末）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．（二）根据指数型函数图象判断参数范围37．（2022·全国·高一课时练习）已知113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23x y =，310x y -=，410x y =，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．38．（2022·全国·高一单元测试）函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．5413，12B 54，13，12C ．12，1354，D ．13，12，5439．【多选】（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <140．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<41．（2022·上海交大附中高一期末）已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________．42．（2022·全国·高一课时练习）若函数32x y m =-+的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是（）A ．（-∞，-2）B ．（-∞，-2]C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）43．（2022·全国·高一期末）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，且a ≠1)．(1)若()f x 的图象如图①所示，求a ，b 的值；(2)若()f x 的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|()|f x ＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．（三）指数型函数过定点问题44．（2022·四川泸州·高一期末）函数3x y a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点（）A ．()1,0B ．()0,4C ．()4,0D ．()3,345．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数11x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,446．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）过定点P ，且P 点在幂函数()f x 的图象上，则(3)f 的值为_________．47．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（）A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-48．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数42x y a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α的值为（）A ．45-B ．223-C ．23D ．3549．（2022·广东揭阳·高一期末）已知0a >且1a ≠，函数()22x f x a -=-的图象恒经过定点(),m n ，正数b 、c 满足b c m n +=+，则14bc+的最小值为____________.（四）指数函数图象应用50．（2022·全国·高一课时练习）（1）若曲线21x y =-与直线y a =有两个公共点，则实数a的取值范围是______；（2）若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则实数b 的取值范围是______．51．【多选】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<52．（2022·辽宁·高一阶段练习）函数()|21|x f x =-(1)请在下面坐标系中画出函数()f x 的图像．(2)不等式13()44f x x <+的解集为________．（写出结果即可，不需写过程）(3)若()(),m n f m f n <=，求m n +的取值范围．考点五指数型函数的单调性（一）判断指数函数的单调性53．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减54．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．y x=-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．3y x x =--D ．1y x=-55．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则函数()f x =（）A ．xe -B ．2x x+C ．x e x-D x（二）由指数（型）函数的单调性求参数56．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,257．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.58．【多选】（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）若函数,0()3(1),0x a a x f x a x x ⎧+≥=⎨+-<⎩（0a >且1a ≠）在R 上为单调函数，则a 的值可以是（）A ．13B ．23C D ．259．（2022·湖北·沙市中学高一期末）已知函数(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -<-0成立，则a 的取值范围是（）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)60．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()xf x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-（三）比较指数幂的大小61．（2022·云南丽江·高一期末）若221333111,,252a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．c b a<<62．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c>>63．（2022·全国·高一专题练习）设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（）A ．222a c +>B ．222a c +≥C ．222a c +≤D ．222a c +<（四）解简单的指数不等式64．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）不等式11(93x -≤的解集为_____________.65．（2022·河北张家口·高一期末）已知x R ∈，那么“4x >”是“124x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件66．（2022·云南·昆明一中高一期末）设函数2,2()2,2x x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，若2(2)(8)f t f t >-，则t 的取值范围是___________.67．（2022·湖南衡阳·高一期末）设函数()1e ,11,1x x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则满足()()12xf x f ->的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．()0,∞+C ．()1,0-D ．(),0∞-考点六指数函数的最值（一）求已知指数型函数的最值68．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.69．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()2x f x =的定义域是[]0,3，设()()()22g x f x f x =-+，(1)求()g x 的定义域；(2)求函数()g x 的最大值和最小值.（二）根据指数函数的最值求参数70．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数()21x x f x a a =++（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值为13，则实数a 的值为___________.71．（2022·上海·高一单元测试）指数函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则=a ______;72．（2022·上海徐汇·高一期末）已知函数()()1,1,,1x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为__________73．（2022·全国·高一单元测试）已知242,0()1,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为______________74．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.（三）指数函数的最值与不等式的综合问题75．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知函数()24,[2,1]x x f x x =-∈-.(1)求()f x 的值域；(2)若对[2,1]x ∀∈-，不等式()22x f x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.76．（2022·浙江宁波·高一期中）已知函数()212xxf x a=++(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．77．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．考点七指数型函数的奇偶性（一）已和函数奇偶性求值78．（2022·内蒙古包头·高一期末）()f x 是定义域为R 的函数，且2()f x x -为奇函数，()2x f x +为偶函数，则(2)f 的值是（）A ．178B ．174C ．478D ．47479．（2022·广东广州·高一期末）已知函数()()2,0,x x f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则(2)g =______．（二）由函数的奇偶性求解析式80．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．求()f x 的解析式；81．（2022·江西新余·高一期末）已知定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足()()124x f x g x +-=(1)求函数f （x ）和g （x ）的表达式；(2)当1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()()210f x ag x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.（三）已和函数奇偶性求参数82．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的值域．83．（2022·天津南开·高一期末）已知函数()f x =122xx a b+⋅+是奇函数，并且函数()f x 的图像经过点()1,3.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 在0x <时的值域.84．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）已知函数()31xx a f x =+（0a >）为偶函数，则函数()f x 的值域为__________．（四）函数的单调性和奇偶性的综合85．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在R 上的函数()22x xf x k -=-⋅是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若对任意的R x ∈，不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，求实数t 的取值范围．86．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（）A ．(4)(4)-∞-+∞，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞，，D ．(14)-，考点八指数函数的综合问题87．【多选】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数()24312x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(]0,2C ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递增D ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减88．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知指数函数()()01xf x a a a =>≠,过点()1,2，函数()()()11f xg x x f x -=⋅+.(1)求()1g ，()1g -的值；(2)判断函数()g x 在R 上的奇偶性，并给出证明；(3)已知()g x 在[)0,+∞上是单调函数，由此判断函数()y g x =，R x ∈的单调性（不需证明），并解不等式()1213g x +>.89．（2022·山东·德州市第一中学高一期末）已知定义域为R 的函数()22x x b nf x b +=--是奇函数，且指数函数x y b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．考点九指数增长型和指数衰减型函数的实际应用90．（2022·全国·高一课时练习）当生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物体内的碳14至少经过的“半衰期”个数是（参考数据：1328192=）（）A ．15B ．14C ．13D ．1291．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（其中0P ，k 是正的常数）．如果在前10h 消除了20%的污染物，则20h 后废气中污染物的含量是未处理前的（）A ．40%B ．50%C ．64%D ．81%92．（2022·全国·高一学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量()g μy 与时间()h t 之间近似满足如图所示的图象，则y 关于t 的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25g μ时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h ．93．（2022·重庆·高一期末）基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（）（参考数据：ln 20.69≈）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天。
第05讲 指数与指数函数(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第05讲指数与指数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：指数与指数幂的运算高频考点二：指数函数的概念高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象；②根据指数型函数图象求参数③指数型函数图象过定点问题；④指数函数图象应用高频考点四：指数（型）函数定义域高频考点五：指数（型）函数的值域m n上的值域；②指数型复合函数值域①指数函数在区间[,]③根据指数函数值域（最值）求参数高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性；②由指数（型）函数单调性求参数③判断指数型复合函数单调性；④比较大小⑤根据指数函数单调性解不等式高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域②根据指数函数最值求参数③含参指数（型）函数最值第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲指数与指数函数（精练）1、根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mna =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是m na-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈R ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈R .4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,2( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）11121321a ba( ) 二、单选题1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数()e 1x f x =+在[1,1]-的最大值是（ ） A ．eB ．e 1-+C ．e 1+D ．e 1-2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()x f x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-3．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,25．（2022·北京·高三专题练习）若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（ ）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12高频考点一：指数与指数幂的运算1．（2022·广东肇庆·高一期末）设62m =，63n =，则222m n mn ++=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2022·上海杨浦·高一期末）设0a >，下列计算中正确的是（ ） A ．4334a a a ⋅= B ．4334a a a ÷= C ．4334a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4 334a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A ．()12x -B ．)340xx ->C 13y =D ．()31420x x ⎤=<4．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3a b a b --⋅÷-的结果为（ ）A ．－23ab B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab高频考点二：指数函数的概念1．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0x f x a a =>，且a ≠1)的图象经过点13,27P ⎛⎫⎪⎝⎭，则f (-2)= （ ）A ．19B C ．13D ．92．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数()2()253xf x a a a =-+在R 上单调递增，则a的值为（ ） A ．3B ．2C ．12D ．323．（2022·全国·高一课时练习）函数()2xy a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数x y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于A B CD 高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数3x y -=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m ＜n ＜1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为（ ）．A ．B ．C ．D ．4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．②根据指数型函数图象求参数1．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >2．（2022·全国·高三专题练习）函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >3．（2021·全国·高一专题练习）函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <4．（2021·全国·高一专题练习）若函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．1a >，1b >B ．1a >，01b <<C ．01a <<，1b >D ．01a <<，01b <<③指数型函数图象过定点问题1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数()21(0x f x a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点（ ）A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(－1，－2)2．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+ B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =-3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数5()4x f x a +=+(0a >，1a ≠)恒过定点(,)M m n ，则函数()x g x m n =+的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限④指数函数图象应用1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高一课时练习）函数()(0x f x a a =>，且1a ≠）与()g x x a =-+的图像大致是A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高一课时练习）若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限高频考点四：指数（型）函数定义域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x = ） A ．[)1,+∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）函数()22f x x =-的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1D ．a ≠14．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数()f x 2x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,1高频考点五：指数（型）函数的值域①指数函数在区间[,]m n 上的值域1．（2022·全国·高一）当x ∈[-1，1]时，函数f (x )=3x -2的值域为________2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2421x x f x a =⋅--.当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域；4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.②指数型复合函数值域1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,22．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．3．（2022·全国·高三专题练习）函数1()41(0)2xxf x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________.4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24x x f x =-.（1）求()y f x =在[]1,1-上的值域；③根据指数函数值域（最值）求参数1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（ ） A ．32-B ．1-C ．1D ．322．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞3．（2022·全国·高一）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠在区间[]1,2上的最大值比最小值大2a ,求a 的值.4．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．高频考点六： 指数函数单调性①判断指数函数单调性1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减2．（2022·福建宁德·高一期末）已知()21x b f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并根据定义证明．3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数()(3)3(1)x f x k a b a =++->是指数函数 (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式(27)(43)f x f x ->-4．（2021·全国·高一期末）设函数2()12xx f x a =++，(1)判断()f x 的单调性，并证明你的结论；②由指数（型）函数单调性求参数1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数()33,0,0xx a x f x a x -+-<⎧=⎨⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是___．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数()()2,1,32,1x a x x f x a x -⎧-<=⎨⋅-≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是______.4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()()28xf x a =-是区间(),-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围．③判断指数型复合函数单调性1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数2251()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),a +∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数2()21x x af x +=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性.④比较大小1．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设233a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．（2022·福建三明·高一期末）已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2022·海南·模拟预测）设0.22e a -=，0.2e b =， 1.2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<⑤根据指数函数单调性解不等式1．（2022·全国·高一）若1()273x >，则x 的取值范围是______．2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式124x ->的解集是__________.3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(212a f f ->，则a 的取值范围是______．4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式()()22f x f x ≥．高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （ ） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数1()422x x f x +=-+，则(1)f =________；函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为_________．4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+，若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.②根据指数函数最值求参数1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有最大值19，则实数a的值为（ ） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1或1-2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ）A ．13B CD ．33．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2的最大值与最小值之差等于2a，则实数a 的值为______．4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,3上的最大值是最小值的2倍，则=a ______．5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()0,1xy a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值和最小值之和为6，则实数=a ______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()22x x f x a a =+-（0a >且1a ≠）在区间[]1,0-上的最小值为54-，求a 的值．③含参指数（型）函数最值1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y =a 2x +2ax -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数()1423x x f x a +=⋅--．（1）当1a =时，求函数()f x 的零点；（2）若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+． （1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．4．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()2x x f x e e =-的最值.1．（2020·山东·高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南·高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象； （2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.一、单选题1．（2022·江苏江苏·一模）设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240x B x =-≥，则集合()UAB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,22．（2022·河南·模拟预测（文））已知58a =，45b =，则ab =（ ） A ．2B ．32C ．43D ．13．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数()x x f x ππ-=-，若32(2)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton ）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是1T （单位：℃），环境温度是0T （单位：℃），且经过一定时间t （单位：min ）后物体的温度T （单位：℃）满足10e kt T T T T -=-（k 为正常数）.现有一杯100℃热水，环境温度20℃，冷却到40℃需要16min ，那么这杯热水要从40℃继续冷却到30℃，还需要的时间为（ ） A ．6minB ．7minC ．8minD ．9min5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数211()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()f x ≥（ ） A ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<二、填空题9．（2022·江苏连云港·二模）函数()1293x x f x -=+的最小值是___________.10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是________. （填序号）①()12f x x =；②()3f x x =；③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④f （x ）＝3x11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设R x ∈，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74 2.32-=-=，.已知()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为_________.12．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x的取值范围是________ 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）已知1x >，且13x x -+=，求下列各式的值： (1)1122x x -+； (2)1122x x --； (3)3322x x -+．14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21x f x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数()24x m x f x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域．。
高考数学复习指数与指数函数-重难点题型精练(解析)
专题2.12 指数与指数函数—重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题(共8小题，满分40分,每小题5分）1．（5分)（2020秋•绍兴期末）设m ，n 都是正整数，且n ＞1，若a ＞0,则不正确的是（ ）A ．a mn=√a m nB ．(a 12+a −12)2=a +a −1C ．a−m n=1√a mnD ．a 0＝1【解题思路】利用根式与有理指数幂的互化可判断选项A ，C ,利用完全平方式展开可判断选项B ，利用a 0恒为1可判断选项D ． 【解答过程】解：对于选项A ，根据根式与有理指数幂的互化可得a mn=√a m n，故选项A 正确；对于选项B ，(a 12+a−12)2=a +a −1+2,故选项B 错误;对于选项C ，根据根式与有理指数幂的互化可得a −m n=√a mn，故选项C 正确； 对于选项D ，a 0＝1,故选项D 正确． 故选:B ．2．(5分）（2021•西安模拟）已知3a ﹣1+3a ﹣2+3a ﹣3＝117，则（a +1)（a +2)(a +3）＝( ）A ．120B ．210C ．336D ．504【解题思路】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答过程】解：∵3a ﹣1+3a ﹣2+3a ﹣3＝117，∴3a 3+3a 9+3a 27=117，∴9•3a +3•3a +3a ＝117×27，∴13•3a ＝117×27，∴3a ＝9×27，∴a ＝5， ∴(a +1)（a +2）（a +3）＝6×7×8＝336． 故选：C ．3．(5分）(2021•丰台区模拟）已知函数f (x ）＝2x ，下列说法正确的是（ ) A ．f （mn )＝f （m ）f （n ） B ．f （mn ）＝f (m )+f （n ）C ．f (m +n ）＝f (m ）+f （n ）D ．f （m ）f （n ）＝f （m +n ）【解题思路】利用函数解析式的含义以及指数的运算性质进行判断即可．【解答过程】解：因为f（x）＝2x，所以f（mn）＝2mn，而f(m）f（n）＝2m•2n＝2m+n＝f（m+n)，故选项A,B错误，选项D正确；f(m+n）＝2m+n,f（m）+f（n)＝2m+2n，故选项C错误．故选：D．4．（5分)（2021•淮南一模）设a=(47)37，b=(37)47，c=(47)47,则a,b，c的大小关系是（（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【解题思路】由题意利用幂函数、指数函数的单调性,判断a，b，c的大小关系．【解答过程】解：设a=(47)37，b=(37)47，c=(47)47,∵函数y=x 47是（0,+∞)的增函数，37＜47，∴b＜c．∵当0＜a＜1时,函数y=(47)x是R上的减函数，37＜47，∴(47)37＞(47)47，即a＞c，则a，b,c的大小关系为a＞c＞b,故选：A．5．（5分)（2020秋•安徽期末）已知函数y＝a x﹣b（a＞0,a≠1)的图象如图所示,则以下结论不正确的是（）A．a b＞1B．ln（a+b）＞0C．2b﹣a＜1D．b a＞1【解题思路】根据函数y＝a x﹣b（a＞0，a≠1）的图象与性质，得出a＞1且0＜b＜1,再判断选项中的命题是否正确即可．【解答过程】解：根据函数y＝a x﹣b（a＞0,a≠1）的图象知，函数y＝a x﹣b是单调增函数,所以a＞1，又x＝0时，y＝1﹣b，所以0＜1﹣b＜1,解得0＜b＜1．所以y＝a x是单调增函数,a b＞a0＝1,选项A正确；由a+b＞1，得ln(a+b）＞0,选项B正确；由b﹣a＜0，得2b﹣a＜20＝1，选项C正确;y＝b x是单调减函数,b a＜b0＝1，选项D错误．故选:D．6．（5分）（2020秋•玉林期末）已知函数f（x）＝a x﹣3+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（m，n），则（）A．log m n＞log n m B．2m＜3nC．2log2m＜3log3n D．m m＜n n【解题思路】根据指数函数的图象与性质求出f（x)的图象所过定点坐标，得出m、n的值,再判断选项中的命题是否正确即可．【解答过程】解：函数f（x)＝a x﹣3+1中,令x﹣3＝0，解得x＝3，所以y＝f（3）＝a0+1＝2，所以f(x）的图象恒过定点（3，2），所以m＝3，n＝2，对于A，log m n＝log32＜log23＝log n m，所以A错误；对于B,2m＝8,3n＝9，所以2m＜3n，选项B正确；对于C,2log2m＝2log23＝log29＞3log3n＝log323，所以C错误；对于D，m m＝33＞22＝n n，所以D错误．故选：B．7．(5分）（2020秋•罗湖区期末）已知f（x）＝｜2x﹣1|，若f（a）＝f（b）（a≠b)，则a+b的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0,+∞）D．（1，+∞)【解题思路】根据对a，b范围进行讨论,结合基本不等式即可求解．【解答过程】解：函数f(x）＝｜2x﹣1｜．若f（a）＝f（b)（a≠b），不妨设a＜b；①当a＜b＜0时，由f（a）＝f（b），可得1﹣2a＝1﹣2b，即a＝b,不成立②当0＜a＜b时，由f（a）＝f(b），可得2a﹣1＝2b﹣1，即a＝b，不成立②当a＜0＜b时,由f（a)＝f（b)，可得1﹣2a＝2b﹣1,那么2a+2b＝2．∴2＝2a+2b≥2 √2a⋅2b=2√2a+b．（当且仅当a＝b取等号）∴2a+b＜1 （等号不成立)，∴a+b＜0．故选：B．8．(5分)(2021•洛阳模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数"为：设x∈R，用［x］表示不超过x的最大整数，则y＝［x］称为高斯函数,也称取整函数，如：[﹣3。
4.2 指数函数(精讲)(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一
4.2指数函数（精讲）一．指数函数的概念1.定义：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.2.具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1.二．指数函数的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝11.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝－11y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．单调性的应用3.解指数型不等式(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y＝a x的单调性求解；(2)形如a f(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解；(3)形如a x>b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解.4.与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.一．函数图象1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).3.利用函数的性质：奇偶性与单调性.4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.二.y ＝a f (x )型函数的定义域、值域的求法(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域.(2)形如y ＝a f (x )的函数的值域，先求出u ＝f (x )的值域，再结合y ＝a u 的单调性求出y ＝a f (x )的值域.若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论.2.y ＝f (a x )型函数的定义域、值域的求法三．比较指数幂大小的常用方法1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较考点一指数函数的概念【例1-1】（2023秋·高一课时练习）下列函数：①23x y =⨯；②13x y +=；③πx y =；④x y x =．其中为指数函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例1-2】（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数()222x y m m m =--⋅是指数函数，则m等于（）A ．1-或3B ．1-C ．3D ．13【一隅三反】1．（2023·全国·高一课堂例题）下列函数为指数函数的是（）A ．4xy =-B ．()4xy =-C ．πxy =D ．24x y =2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．25x y =B ．4x y =-C ．3y x =D ．()63xy a =-（12a >且23a ≠）3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3xy =-B ．()121,12x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅考点二指数函数的解析式与函数值【例2】（2023春·新疆）指数函数()(0xf x a a =>且)0a ≠图像经过点()3,27，则()2f =（）A ．3B ．6C ．9D ．12【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象经过点()3,27P ，则()2f =（）A ．19B．3C ．13D ．92．（2023秋·高一课时练习）若指数函数()y f x =的图象经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．3．（2023春·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数()f x 的图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．考点三定义域与值域【例3-1】（2023秋·高一课前预习）求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =【例3-2】（2023秋·江西）求下列函数的值域；(1)12x y +=；(2)y =(3)y =【例3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数y =）A ．[2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,2]-∞-2．（2022秋·高一课时练习）函数()f x =+的定义域为.3．（2023秋·高一课时练习）函数42x y =+的值域是．4．（2023秋·高一单元测试）函数()[]2,1,1x f x x x =+∈-的值域为．5．（2023·上海）已知()2,01,0x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，则()f x 的值域是；6．（2023黑龙江）已知函数()()22223,121,1x x a x a x f x x +-⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则a 的取值范围是考点四指数函数的图像【例4-1】（2022春·北京）已知对不同的a 值，函数1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是.【例4-2】（2023秋·高一单元测试）函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数1xy a a=-（0a >，且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023·西藏林芝）()2e xf x x=的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于函数()(0xf x a a =>且1a ≠），()2g x ax x =-，在同一直角坐标系下的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．4．（2023秋·宁夏石嘴山）函数212(01)x y a a a -=->≠且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.5．（2023·全国·高一课堂例题）利用函数()2x y f x ==的图象，作出下列各函数的图象：(1)()1f x -；(2)()f x ；(3)()1f x -；(4)()f x -；(5)()1f x -．考点五指数函数型的单调性及应用【例5-1】（2023秋·高一课时练习）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)2,+∞【例5-2】（2023春·山东菏泽）设函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【例5-3】（1）（2023·全国·高一专题练习）已知0.143a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.134b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，c =）.A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c>>D ．c b a >>（2）（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）下列大小关系正确的是（）A ．0.20.20.50.50.20.2>>B ．0.50.20.20.20.50.2>>C ．0.50.20.20.20.20.5>>D ．0.20.20.50.20.50.2>>【例5-4】（2023·广东）已知函数()21,233,2x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则不等式()()342f x f x -<+的解集为．【一隅三反】1．（2023秋·广东湛江）已知函数()2313xx f x -+=，则()f x 的增区间为（）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．（2023春·宁夏石嘴山）设函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．[]2,1--C ．[]1,2D ．[)2,+∞3．（2022秋·青海海东·高一校考阶段练习）已知0.533,0.5,a b c ===）A ．b a c<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c b a<<4．（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知2π,2a b c ===，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c b a<<5（2023·河北）已知函数()e e x xf x -=-，则不等式()()110f x f -+>的解集是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,0-D ．()0,2考点六指数函数性质的综合运用【例6-1】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数()131xmf x =++为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求不等式()21102f x x --+<的解集．【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）已知函数()22x xf x a -=+奇函数．(1)求a 的值；(2)判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性并用定义证明；(3)设()()22222x xF x mf x -=+-，求()F x 在[]0,1上的最小值．【一隅三反】1．（2023秋·安徽）已知函数()32,32x xx xa f x a ⋅-=∈+R ．(1)若()f x 为奇函数，求a 的值；(2)在（1）的条件下，求()f x 的值域．2．（2023秋·河北衡水）已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >，且1a ≠）是奇函数，且3(1)2f =．(1)求a ，k 的值；(2)若对于[1,2]x ∀∈，不等式(2)()0f x mf x +≥成立，求m 的取值范围．3．（2023秋·江苏南通）已知二次函数()2f x x bx c =++，且不等式()2f x x <的解集为(1,3).(1)求()f x 解析式；(2)若不等式()2210x xkf -+≤在[1,2]x ∈上有解，求实数k 的取值范围.。
高中 指数与指数函数知识点+例题+练习 含答案
教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。
第14讲 指数函数(原卷版)(新高考专用)-《考点解透》高考数学一轮复习必备
第14讲指数函数【基础知识回顾】指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域值域性质[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．1、已知a ＝432，b ＝254，c ＝135，则 ( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <a <cD ．c <a <b2、若函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，则 ( )A ．a >1，b >1B ．a >1,0<b <1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13、函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a 的值是 ( ) A.12或 2 B.12或2 C.12D ．24、若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.5、已知a ＝⎝⎛⎭⎫35－13，b ＝⎝⎛⎭⎫35－14，c ＝⎝⎛⎭⎫32－34，则a ，b ，c 的大小关系是________.考向一 指数函数的性质与应用例1、（1）．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0．53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c ．（2）．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为（ ） A ．3 B ．13 C ．-5 D ．3或13．（3）．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．变式1、（1）已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A.b ＜a ＜c B.a ＜b ＜c C.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b（2）已知y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]变式2、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3)B.(1，＋∞)C.(－3，1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)方法总结： 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解考向二 指数函数的图像与性质例2、过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图像交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________．变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点O 的直线与函数3x y =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9x y =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 .变式2、(1)函数y ＝x|x |a x (0<a <1)的图象的大致形状是( )(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．考向三 指数函数的综合运用例3、关于函数f (x )＝14x ＋2的性质，下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形变式1、(2022·江苏南通市区期中)设函数f (x )的定义域为R ，f (x )为偶函数，f (x ＋1)为奇函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝a ·2x＋b ，若f (0)＋f (1)＝－4，则f (72)＝ ．变式2、已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x =对称 B ．()f x 的图象关于点()3,0对称 C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减变式3、已知定义域为R 的函数f (x )＝－12＋12x ＋1，则关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0的解集为________.方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y ＝af (x )的函数的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调增(减)区间；若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调减(增)区间.1、已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ） A ．32B ．23C．3D2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133logb b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<3、已知定义域为R 的函数f (x )＝－12＋12x ＋1，则关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0的解集为________.4、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(多选题)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋3)＝f (x －1)，若当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －1，则下列结论正确的是( )A ．当x ∈[－2，0]时，f (x )＝2－x－1 B ．f (2019)＝1C ．y ＝f (x )的图像关于点(2，0)对称D ．函数g (x )＝f (x )－log 2x 有3个零点。
高一数学指数函数归纳总结(原卷版)
4．2指数函数知识点一指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.知识点二两类指数模型1．y＝ka x(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．2．y＝ka x(k>0)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型．知识点三指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性在R上是增函数在R上是减函数知识点四比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．知识点五解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y＝a x的单调性求解；(2)形如a f(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解；(3)形如a x>b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．知识点六 指数型函数的单调性一般地，有形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质 (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反．【题型目录】题型一、指数函数的概念题型二、求指数函数的解析式、函数值题型三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 题型四、指数函数的图象及应用 题型五、指数型函数的定义域和值域 题型六、比较大小题型七、简单的指数不等式的解法 题型八、指数型函数的单调性题型一、指数函数的概念1．下列函数中是指数函数的是__________(填序号)． ①22xy =⋅；②12x y -=；③2xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④x y x =；⑤13x y -=；⑥13y x =．2．函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠题型二、求指数函数的解析式、函数值3．已知指数函数()f x 的图象经过12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，试求()1f -和()2f 的值．题型三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用4．当生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物体内的碳14至少经过的“半衰期”个数是（参考数据：1328192=）（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．125．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)题型四、指数函数的图象及应用6．函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，3，13，12B ．3，54，13，12C ．12，13，3，54，D ．13，12，54，3，7．函数e x y -=(e 是自然底数)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若0a >且1a ≠，则函数()43x f x a -=+的图像恒过的定点的坐标为______．9．（1）若曲线21xy =-与直线y a =有两个公共点，则实数a 的取值范围是______；（2）若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则实数b 的取值范围是______．题型五、指数型函数的定义域和值域 10．y ＝2x －1的定义域是（ ） A ．(－∞，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(0，1)∪(1，＋∞)11．（1）函数123x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是____________，值域是____________．（2）函数112x x y -+=的定义域是____________，值域是____________．12．函数1423x x y +=++的值域为____.题型六、比较大小13．比较下列几组值的大小： (1)23( 2.5)-和45( 2.5)-；(2)1225-⎛⎫ ⎪⎝⎭和32(0.4)-； (3)1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭和1232-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (4) 2.50.4-，0.22-， 1.62.5．14．比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1，1.250.2； (2)1()ππ-，1；(3)0.2－3，（－3）0.2.题型七、简单的指数不等式的解法15．关于x 的不等式102416x x --⋅->的解集为______;16．设 a >0，且a ≠1，解关于x 的不等式2223125x x xx a a -++->题型八、指数型函数的单调性17．已知指数函数f （x ）＝ax （a ＞0且a ≠1），过点（2，4）． (1)求f （x ）的解析式；(2)若f （2m ﹣1）﹣f （m +3）＜0，求实数m 的取值范围．18．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，()xf x e x =+．(1)求0x <时，()f x 的解析式； (2)写出函数()y f x =的单调增区间； (3)若()()21f x f x >-，求x 的取值范围．19．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点13,23⎛- ⎝⎭.(1)求a 的值；(2)设()()()F x f x f x =--， ①求不等式()83F x <的解集； ②若()23xF x k ≥-恒成立，求实数k 的取值范围.1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是（ ） A ．y ＝(－4)x B ．y ＝λx (λ>1)C ．y ＝－4xD ．y ＝ax ＋2(a >0且a ≠1)2．若函数()21xy m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（ ）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．123．已知函数()f x 是指数函数，且()29f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．4．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB ，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x 分钟后的病毒所占内存为y KB ．（1）y 关于x 的函数解析式为______；（2）如果病毒占据内存不超过101GB(1GB 2MB)=，101MB 2)KB =时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用_____分钟．5．已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，问： (1)经过7.66天以后，氡元素会全部消失吗？(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的18(3)质量为m 的氡经x 天衰变后其质量为()xf x m a =⋅，试用计算器求a 的值.6．函数x y a =与a y x =的图象如图所示，则实数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．12D ．137．如图所示，函数22xy =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数1(0,1)x y a a a +=>≠恒过定点___________．9．已知函数()2x f x a =-[)2,+∞，则=a _________．10．函数1(31)2xy x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭,的值域是__________.11．函数21()3(R)x f x x -+=∈的值域为_________．12．求下列函数的定义域： (1)442x y -=；(2)23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.13．（1）已知函数261712x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．①求函数的定义域、值域； ②确定函数的单调区间．（2）画出函数|1|2x y -=的图象，并依据图象指出它的相关性质．14．比较下列各组中两个数的大小： (1)0.30.2和0.20.2； (2)0.31.2和0.21.2； (3)0.10.3和0.10.3-； (4)0.21.35和0.21.35-．15．下列各数中，哪些大于1，哪些小于1？ 2365⎛⎫ ⎪⎝⎭，7334-⎛⎫ ⎪⎝⎭，5653-⎛⎫ ⎪⎝⎭，0.2(0.16).16．已知集合203x M xx +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，1282x N x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =RB ．{}23M N x x ⋃=-≤<C ．{}23M N x x ⋂=-≤<D ．{}13M N x x ⋂=-≤<17．（1）求()21223x x f x +=-+的值域；（2）解不等式232x x a a -->（0a >且1a ≠）.18．已知函数()()33x f x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数. (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.19．已知函数3()x x f x a +=(0a >且1)a ≠． (1)解不等式()1f x >；(2)当01a <<时，若(1,2)x ∀∈，(1,2)m ∃∈，22(2)()20f mx f x nx x nx mx --+++-+≥，求n 的取值范围．1．下列是指数函数的是（ ） A ．()4xy =- B ．212xy -=C ．x y a =D ．x y π=2．设函数14,1()2,1x x x f x a x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若7 88ff ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则=a （ ） A ．12 B ．34C ．1D ．23．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：℃）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080h ，在10℃时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h4．函数12x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与函数x y b =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数3x y -=与函数3x y =-的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称7．函数327x y -的定义域为（ ） A ．(3⎤-∞⎦ B ．(3-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞8．已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(2D ．()1,39．(多选)设指数函数()x f x a =(a >0，且a ≠1)，则下列等式中正确的是（ ） A ．()()()f x y f x f y += B ．()()()f x f x y f y -=C ．()()()xf f x f y y=-D ．()[()]()Q n x f nx f n =∈10．（多选）已知函数()21x f x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<11．（多选）已知函数()24312x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(]0,2C ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递增D ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减12．判断正误．（1）函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞．( ) （2）已知函数5()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若实数m ，n 满足()()f m f n >，则m n >．( ) （3）指数函数()f x 的图象过点(0,1)．( )（4）函数12x y -=的定义域是R ．( )13．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量()g μy 与时间()h t 之间近似满足如图所示的图象，则y 关于t 的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25g μ时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h ．14．不论a 为何值时，函数()1(0x f x a a a -=->且1)a ≠恒过定点__________．15．函数()120.58x y -=-的定义域为______．16．不等式22233xax x a ++->恒成立，则a 的取值范围是_________．17．求下列函数的定义域、值域：(1)513x y -=(2)2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭18．已知函数()221x x f x a a =+-（0a >，且1a ≠），求函数()f x 在[)0,+∞上的值域．19．已知函数2431()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()f x 的值域是(0,)+∞，求a 的值．20．比较下列各组中两个数的大小：(1) 2.51.6，31.7；(2)0.10.6-，0.50.6-；(3)0.31.7， 3.10.9．21．分别把下列各题中的3个数按从小到大的顺序用不等号连接起来：（1） 2.12， 1.92， 2.10.3；（2） 2.52，02.5， 2.512⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）0.80.8，0.90.8，0.81.2；（4）1323-⎛⎫ ⎪⎝⎭，2353-⎛⎫ ⎪⎝⎭，2332⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）经过点(3,27).(1)求()f x 的解析式及(1)f -的值；(2)若(1)()f x f x ->-，求x 的取值范围.23．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数．．．，当0x ≥时，()()R 3x f x a a =+∈． (1)求函数()f x 在R 上的解析式；(2)若R x ∀∈，()()240f x x f mx -+->恒成立，求实数m 的取值范围．24．已知函数()24x m x f x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22x f x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.。
高中试卷-专题4.2 指数函数(含答案)
专题4.2 指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1图像定义域R , 值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R 上是减函数(2)在R 上是增函数性质（3）当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1（3）当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1图象特征函数性质向x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R +图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数共性函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>10<a<1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<1a>1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=ka x 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数综合测试训练(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B版高
第四章综合测试(时间：120分钟 满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若n ∈N ，a ∈R ，给出下列式子：①4－42n；②4－42n ＋1；③5a 4；④4a 5.其中恒有意义的式子的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 根据根指数是偶数时，被开方数非负，可知②无意义；当a ＜0时，④无意义；恒有意义的是①③.故选B ．2．函数y ＝log 12x －3的定义域为( C )A ．(－∞，18]B ．[18，＋∞)C ．(0，18]D ．(0,8][解析] 要使函数y ＝log 12x －3有意义，应满足log 12x －3≥0， ∴log 12x ≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，∴0＜x ≤18，故选C ．3．下列不等式中正确的是( C ) A ．lg 0.1＞lg 0.2 B ．0.20.1＜0.20.2C ．0.20.1＞lg 0.1D ．0.10.2＜lg 0.2[解析] lg 0.1＜0,0.20.1＞0，∴0.20.1＞lg 0.1，故选C ． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝( D ) A ．－18B ．18C ．－8D ．8[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log 3127＝log 33－3＝－3，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，故选D ．5．若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( C ) A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c[解析] 令a ＝4，b ＝2，c ＝12，则a c ＝412 ＝2，b c ＝212 ＝2，∴a c ＞b c，排除A ；ab c ＝42，ba c ＝4，∴ab c ＞ba c ，排除B ；log a c ＝log 412＝－12，log b c ＝log 212＝－1，∴log a c ＞log b c ，排除D ，故选C ．6．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图像是( C )[解析] 因为函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝2x ，所以f (x )＝2x .故f (1－x )＝21－x，因为此函数在R 上是减函数，且过点(0,2)．因此选C ．7．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的增函数是( B ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x[解析] 对于函数f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3，f (x )f (y )＝x 3·y 3，而(x ＋y )3≠x 3y 3，所以f (x )＝x 3不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故A 错误； 对于函数f (x )＝3x，f (x ＋y )＝3x ＋y＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，因此f (x )＝3x满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x是增函数，故B 正确；对于函数f (x )＝x 12 ，f (x ＋y )＝(x ＋y )12 ，f (x )f (y )＝x 12 y 12 ＝(xy )12 ，而(x ＋y )12 ≠(xy )12 ，所以f (x )＝x 12 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故C错误；对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝f (x )·f (y )，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x不是增函数，故D 错误．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＜12xx ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值X 围是( C )A ．[23，1]B ．[0,1]C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a≥1，二者取并集即得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知实数a ，b 满足等式3a＝6b，给出下列四个关系式：①a ＝b ；②0＜b ＜a ；③a ＜b ＜0；④b ＜0＜A ．其中可能成立的是( ABC )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 在同一个坐标系中画出函数y ＝3x，y ＝6x的图象如图所示．由图像，可知当a ＝b ＝0时，3a＝6b，故①可能成立；作出直线y ＝k ，如图所示，当k ＞1时，若3a＝6b，则0＜b ＜a ，故②可能成立；当0＜k ＜1时，若3a＝6b，则a ＜b ＜0，故③可能成立．故选ABC ．10．对于0＜a ＜1，下列四个不等式中成立的是( BD )A ．log a (1＋a )＜log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a B ．log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1aC ．a1＋a＜a1＋1aD ．a1＋a＞a1＋1a[解析] 因为0＜a ＜1，所以a ＜1a ，从而1＋a ＜1＋1a，所以log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ．又因为0＜a ＜1，所以a1＋a＞a1＋1a．11．设函数f (x )＝2x，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( ACD ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f x 1－f x 2x 1－x 2＞0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22[解析] 2x 1·2x 2＝2x 1＋x 2，所以A 成立，2x 1＋2x 2≠2x 1·x 2，所以B 不成立，函数f (x )＝2x，在R 上是单调递增函数，若x 1＞x 2则f (x 1)＞f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，故C 正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22说明函数是凹函数，而函数f (x )＝2x是凹函数，故ACD 正确．12．关于函数f (x )＝|ln |2－x ||，下列描述正确的有( ABD ) A ．函数f (x )在区间(1,2)上单调递增 B ．函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称 C ．若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4 D ．函数f (x )有且仅有两个零点[解析] 函数f (x )＝|ln |2－x ||的图像如图所示：由图可得：函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，B 正确；若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则当x 1，x 2＞2时，x 1＋x 2＞4，C 错误；函数f (x )有且仅有两个零点，D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．设函数f (x )＝x －a (其中a 为常数)的反函数为f －1(x )，若函数f －1(x )的图像经过点(0,1)，则方程f －1(x )＝2的解为__1__．[解析] 由y ＝f (x )＝x －a ，得x －a ＝y 2(y ≥0)把点(0,1)代入得a ＝1． 所以f －1(x )＝x 2＋1(x ≥0)．由f －1(x )＝2，得x 2＋1＝2，即x ＝1．14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2log 32x－1，x ≥2，则f [f (2)] ＝__2__．[解析] 因为f (2)＝log 3(22－1)＝1， 所以f [f (2)]＝f (1)＝2e1－1＝2．15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝__1__，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__22－3__．[解析] 因为f (x )是定义在[－2a,3a －1]上的奇函数． 所以定义域关于原点对称， 即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1， 因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为奇函数， 所以f (－x )＝b －2－x 2－x ＋1＝b ·2x －11＋2x ＝－b －2x1＋2x ，即b ·2x－1＝－b ＋2x，所以b ＝1， 所以f (x )＝1－2x1＋2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－212 1＋212 ＝1－21＋2＝22－3．16．下列说法中，正确的是__①④__． ①任取a ＞0，均有3a ＞2a， ②当a ＞0，且a ≠1，有a 3＞a 2， ③y ＝(3)－x是增函数，④在同一坐标系中，y ＝2x与y ＝2－x的图像关于y 轴对称． [解析] ∵幂函数y ＝x a ，当a ＞0时， 在(0，＋∞)上是增函数， ∵3＞2，∴3a＞2a，故①正确；当a ＝0.1时，0.13＜0.12，故②错； 函数y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x是减函数，故③错； 在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x＝(12)x 的图像关于y 轴对轴，故④正确．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8．[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ＝94＋1＋94＝112．(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1＋a (a 为常数，且a ∈R )恒过点(1,2)．(1)求a 的值；(2)若f (x )≥2x，求x 的取值X 围．[解析] (1)f (1)＝20＋a ＝1＋a ＝2，解得a ＝1． (2)由f (x )＝2x －1＋1＝2x 2＋1≥2x ，得2x2≤1，即2x －1≤1＝20，即x －1≤0，解得x ≤1，因此，实数x 的取值X 围是(－∞，1]．19．(本小题满分12分)求函数y ＝(2x )2－2×2x＋5，x ∈[－1,2]的最大值和最小值． [解析] 设2x＝t ，因为x ∈[－1,2]，所以2x＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4则y ＝t 2－2t ＋5为二次函数，图像开口向上，对称轴为t ＝1， 当t ＝1时，y 取最小值4，当t ＝4时，y 取最大值13．20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(8，m )和(9,3)． (1)求m 的值；(2)若函数g (x )＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1，某某数a 的值．[解析] (1)由题意，y ＝f (x )是幂函数，设f (x )＝x α，图像过点(8，m )和(9,3)可得9α＝3，所以α＝12，故f (x )＝x 12 ，所以m ＝f (8)＝22，故m 的值为22．(2)函数g (x )＝log a f (x )，即为g (x )＝log a x ， 因为x 在区间[16,36]上，所以x ∈[4,6]， ①当0＜a ＜1时，g (x )min ＝log a 6，g (x )max ＝log a 4， 由log a 4－log a 6＝log a 23＝1，解得a ＝23．②当a ＞1时，g (x )min ＝log a 4，g (x )max ＝log a 6，由log a 6－log a 4＝log a 32＝1，解得a ＝32，综上可得，实数a 的值为23或32．21．(本小题满分12分)一片森林原来的面积为a ，计算每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到森林面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22．(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－(12)110 ．(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ， 即(12)m 10 ＝(12)12 ，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，该森林已被砍伐5年． (3)设从今年开始，以后最多能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n ． 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10 ≥(12)32 ，n 10≤32，解得n ≤15． 故今后最多还能砍伐15年．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a ．(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值X 围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，某某数a 的取值X 围． [解析] (1)函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，求得a ＝0． 又此时f (x )＝－x 是R 上的奇函数，所以a ＝0为所求． (2)函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)．故只要a ≥0即可．(3)由已知函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )．最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ．由题设log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＞0a ＋1≥4a ＋2．故－12＜a ≤－13为所求．。
2021年高中数学核心知识点4.2 指数与指数函数(专题训练卷)(解析版)新高考
专题4.2指数与指数函数（专题训练卷）一、 单选题1．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ） A ．()nm m n a a += B ．()nnmm a a = C ．()nmm n a a -= D ．()nmmn a a =【答案】D 【解析】根据指数的运算性质()nm mn a a =排除ABC.故选:D2．（2020·湖北省高三其他（文））已知()12|12|xxf x =+--，则()f x 的值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]0,2C ．(]03,D ．[]1,2【答案】B 【解析】当120x -≥，即0x ≤时，()()112122xxx f x +=+--=，则()02f x <≤，当120x -<，即0x >时，()()12122xxf x =++-=，∴()f x 的值域是(]0,2， 故选：B ．3．（2020·上海高一课时练习）若指数函数x y a =是减函数，则下列不等式中一定成立的是( )A ．1a >B ．0.2a <C ．(1)0a a -<D ．(1)0a a ->【答案】C 【解析】由于指数函数xy a =是减函数，所以01a <<，所以10a -<，()10a a -<，所以ABD 选项错误，C 选项正确.4．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数xy a =和x y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1a b >>D ．1b a >>【答案】C 【解析】很显然a ，b 均大于1；x y a =与1x =的交点在x y b =与1x =的交点上方，故b a <，综上所述:1a b >>. 故选:C.5．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ）A ．（1，1）B ．（1，3）C ．（2，0）D ．（4，0）【答案】B 【解析】由x ﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3， 即函数的图象过定点（1，3），6．（2020·福建省高三其他（文））已知 1.22a =， 1.10.5b -=，0.44c =，则（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】1.1 1.1 1.110.5()22b --===，0.420.40.84(2)2c ===.因为2xy =在R 上为增函数，所以0.8 1.1 1.2222<<. 即c b a <<. 故选：A7．（2020·萍乡市上栗中学高三二模（文））已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．a b b b < B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a a b a <【答案】B 【解析】取14a =，12b =，则a a =12ba =，b b =，a b =， a b b b <，故排除A ；a b a a >，故排除C ；a a b a >，故排除D ；由幂函数的性质得：b b a b <. 故选：B.8．（2020·上海高一课时练习）若函数2xy m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【答案】D 【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2xy m =+过点()0,1m +,若图像不经过第二象限,则10m +≤, 即1m ≤-, 故选：D9．（2020·湖北省高三其他（文））若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（A ．x ＜z ＜yB ．y ＜x ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x【答案】A 【解析】 因为01a b <<<，故()xf x b =单调递减；故a b y b z b =>=，幂函数()bg x x =单调递增；故b b x a z b =<=，则x 、y 、z 的大小关系为：x z y <<； 故选：A10．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B 【解析】 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 二、多选题11．（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ．347a a a ⋅=B ．()326a a -=Ca =Dπ=-【答案】AD 【解析】34347a a a a +==，故A 正确；当1a =时，显然不成立，故B 不正确；88a a =，故C 不正确；()55ππ-=-，D 正确，故选AD.12．（2020·山东省高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系满足ty a =，则下列说法正确的是（ ）A ．蓝藻面积每个月的增长率为100 %B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则一定有123t t t += 【答案】ACD 【解析】由图可知，函数ty a =图象经过()1,2，即12a =，则2a =，∴2ty =；∴1222t t t +-=不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100 %，A 对、B 错；当6t =时，626460y ==>，C 对；若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则122t =，22 3 t =，326t =，则122223t t ⋅=⨯，即1226t t +=，则123t t t +=，D 对；故选：ACD ．13．（2020·全国高一课时练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数1()12=-+x xe f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{1,0,1}-E.()g x 的值域是{1,0}- 【答案】BCE 【解析】根据题意知，e 111()1e 221ex x xf x =-=-++. ∵e1(1)[(1)]01e 2g f ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦， 11(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦，(1)(1),(1)(1)g g g g ∴≠-≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；e 111()()1e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++， ∴()f x 是奇函数，B 正确； 由复合函数的单调性知11()21x f x e =-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x>，1e 1x ∴+>，1101,10,11x xe e<<-<-<++ 11()22f x ∴-<<，()[()]{1,0}g x f x ∴==-，D 错误，E 正确.故选:BCE .14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12x f x -=⊕，则下列命题正确的有（ ） A ．()f x 的值域为 [)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 【答案】AC 【解析】由函数()12xf x -=⊕，有1(12)()2(12)x xxf x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞， 若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有 当210x x <+≤即1x ≤-时成立， 当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立.所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <. 故选：AC. 三、单空题15．（2020·上海高三专题练习）函数2233x y -=的单调递减区间是_________.【答案】()0,∞+ 【解析】令223u x =-，则3u y =，u 在(),0x ∈-∞上递增，在()0,x ∈+∞上递减，而3uy =是增函数，∴原函数的递减区间为()0,∞+，故答案为()0,∞+.【方法点睛】判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.16．（2020·上海高二课时练习）设21*718(,)n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+_________. 【答案】21487n -⨯ 【解析】21*718(,)n m m n N -+=∈，21781n m -∴=- 21212217747=79n n n +--⨯=⨯，217149811=49(88)4n m m +∴+=⨯-+⨯- =8+48848=8+48(81)m m m m ⨯-⨯-21=8+487n m -⨯故答案为：21487n -⨯17．（2020·上海高三专题练习）若曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________． 【答案】[－1,1] 【解析】画出曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示由图象可得|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．18．（2019·北京市第二十五中学高一期中）在①112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、②122-、③1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭④12-中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）. 【答案】③. ①. 【解析】 ①1122-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②122222-==；③11221222-⎛⎫== ⎪⎝⎭；④1122-=. 所以最大的是③，最小的是①. 故答案为：(1). ③. (2). ①.19．（2020·上海高一课时练习）函数2x y =的图象与函数2xy -=的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________.【答案】y 轴 ()0,1 【解析】函数2x y =的图象与函数2xy -=的图象如下：由指数函数的性质可知，函数2xy =的图象与函数2xy -=的图象关于y 轴对称，它们的交点坐标是()0,1.故答案为：y 轴；()0,1.20．（2020·上海高一课时练习）已知函数22()2,[0,3]x xf x x -+=∈，则该函数的最大值为__________，最小值为_________. 【答案】218函数()()22211g x x x x =-+=--+在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，且()()0=033g g =-，，()11g =()[3,1]g x ∴∈-，函数2xy =单调递增，()1228g x ∴≤≤，即函数()f x 的最大值为2，最小值为18. 故答案为：2；1821．（2020·浙江省诸暨中学高二期中）设函数f （x ）2212x a x ax x ⎧+=⎨+≤⎩，＞，，若a ＝1，则f （f （2））＝_____；若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】9 [3，+∞） 【解析】若a ＝1，则f (f (2))＝f (3）＝23+1＝9， 当x ＞2时，f （x ）＝2x +a ＞4+a ，当x ≤2时，由函数的值域为R 可知，a ＞0，此时f (x )≤2a +1， 结合分段函数的性质可知，2a +1≥a +4即a ≥3． 故答案为：9；[3，+∞）． 五、解答题22．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）若11a a --=，求下列各式的值: （1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a -【答案】（1）3（2）4（3）4）42【解析】（1）11a a --=，1222()21a a a a --∴-=+-=， 223a a -∴+=．（2）33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=⨯+=．（3）1222()2325a a a a --+=++=+=，1a a -∴+=（4）33122()(1)(32)a a a a a a ---+=++-=-=即33a a -+=2）得：334a a --=，3a -∴=23．（2020·上海高一课时练习）已知函数()2()2x x af x a a a -=--（其中0a >且1a ≠）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】(0,1))⋃+∞ 【解析】函数()2()2x x af x a a a -=--（其中0a >且1a ≠）在R 上是增函数，当1a >时，x y a =和xy a -=-单调递增，故只需满足202a a >-，故a > 当01a <<时，x y a =和xy a -=-单调递减，故只需满足202a a <-，故01a <<； 综上所述：(0,1)(2,)a ∈+∞.24．（2020·上海高三专题练习）已知[]3,2x ∈-，求11()142x x f x =-+的最小值与最大值． 【答案】最小值34；最大值57 【解析】()221113142122124224x x x x x x x f x -----⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭,∵[]3,2x ∈-, ∴1284x -≤≤. 则当122x-=,即1x =时,()f x 有最小值34；当28x -=,即3x =-时，()f x 有最大值 25．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)，（1）求a 值；（2）求函数2()(0)x f x a x -=≥的值域；【答案】（1）12a =（2）0,4]（ 【解析】 （1）函数()2x f x a-=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=12a ∴=（2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（26．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x x f x a a a a -=->≠.（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值.（2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()xx g x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .【答案】（1）7；（2）2；（3【解析】（1）由题意知11223a a -+=，可得112122()29a a a a --+=++=，可得17a a -+=， 又由1222(249a a a a--+=++=），可得2247a a -+=.（2）由函数()xxf x a a-=-，且3(1)2f =，可得132a a -=， 整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去），所以函数()f x 的解析式为()22x xf x -=-.（3）由（2）知()22x xf x -=-，可得()2222()2()22222xx x x x x g x aa mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+，令()22x x t f x -==-，可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-，又由函数()22x xf x -=-为增函数，因为1x ≥，所以3(1)2t f ≥=，当32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，即3m =±，解得3m =， 当32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去. 综上可知3m =.27．（2020·山东省莱州一中高二月考）如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()xf x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式； （2）比较b a 与a b 的大小； （3）已知(4)(32)bb m m --+<-，求m 的取值范围．【答案】（1）x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩；（2）b a a b <；（3）12(,)33-.【解析】（1）将11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入()xf x a =，()bg x x =，求得11612a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩；（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b a a b <； （3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，根据定义域和单调性，有40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<. 试题解析：（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b a a b <． （3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<，所以m 的取值范围是12(,)33-．。
第四章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一
C．52 个月
D．48 个月
2．（2023 秋·江苏盐城）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，
其次品率
p
与日产量
x（万件）之间满足关系：
p
1
1342,
x
x
,0 m
x
m （其中
m
为小于
12
的正整数）.已知每
生产 1 万件合格的羽绒服可以盈利 3 万元，但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元，故厂方希望定出合适的日 产量（注：次品率＝次品数/生产量，如 p 0.1表示每生产 10 件产品，有 1 件为次品，其余为合格品）. (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额 y（万元）表示为日产量 x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
B． 2,
C． 1, 2
D． 2,3
3（2023
春·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数
f
(x)
(a a x
2)x, x 1, x 2
2
是
R
上的单
调递增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． (, 0)
B．(0,1)
C． (0, 3)
D． (1,3)
考点四 指数对数函数单调性的应用
2)3
(
27
)
2 3
4
20
；
89
（2）计算： log2 5 log25 4 lg 50 lg 2 4log2 3 .
（3）化简：
a
2 3
b
1 2
2a
1 2
b
1 3
1 5
a
1 6
b
高考数学重难点第11讲 指数函数、对数函数与幂函数10大题型(原卷及答案)(全国通用)(新高考)
重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。
考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg5+，再应用公式lg 2lg51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。
2021年高中数学核心知识点4.1 指数与指数函数(精讲精析篇)(原卷版)新高考
专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 根式的化简与求值(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定．n a ⎩⎪⎨⎪⎧n 为偶数，a 为非负实数n 为奇数，a 为任意实数，且n a 符号与a 的符号一致【典例1】化简下列各式： ①4(x －2)4； ②5(x －π)5.【典例2】化简下列各式：(1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)； (2)(a －1)2＋1－2a ＋a 2＋3(1－a )3. 【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对n a n 与(na )n 的进一步认识(1)对(n a )n 的理解：当n 为大于1的奇数时，(n a )n 对任意a ∈R 都有意义，且(na )n ＝a ，当n 为大于1的偶数时，(n a )n 只有当a ≥0时才有意义，且(na )n ＝a (a ≥0)．(2)对na n的理解：对任意a ∈R 都有意义，且当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤热门考点02 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【典例3】计算：．【典例4】已知则的值为__________．【典例5】（2020·上海高三专题练习）若1a >，0b <，且22b b a a -+=b b a a --=_________. 【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点03 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．【典例6】（2020·上海高一课时练习）函数xy a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．【典例7】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点（ ）A ．(1,1)B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点04 指数函数的性质及应用1.指数函数图象的变化规律指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例8】（2016新课标全国III ）已知，，，则（ ）A. B. C.D.【典例9】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【典例10】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2【典例11】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围．【典例12】（2020·上海高三专题练习）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．巩固提升1.（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．2．（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知,a b ∈R ，则“ln ln a b >”是“11()()33ab<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．4．（2020·上海高三专题练习）函数()12x f x =-的定义域是 （ ） A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(),-∞+∞5.（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >>6．（2020·上海高三专题练习）函数f (x )=x a －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0 <a <1，b >0D ．0 <a <1，b <07．（2020·上海高三专题练习）已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2020·上海高三专题练习）若函数1()21x f x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值 9．（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．10.（2020·上海高一课时练习）已知实数a ，b 满足01a b <<<，则下列各式中正确的是( ) A ．221333b a b<<B ．122333b a b<<C ．212333a b b<<D ．221333a b b<<11.(2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）)定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A.B.C.D.12.（2015·江苏高考真题）不等式224x x-<的解集为________.13.（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x m y a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______．14. （2020·湖北省高一期末）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=） 15.（2015·湖南高考真题（理））已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．16.（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222xx f x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202xx m --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________.。
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专题4.2指数与指数函数（专题训练卷）
一、 单选题
1．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ） A ．()
n
m m n a a += B ．()
n
n
m
m a a = C ．()
n
m
m n a a -= D ．()
n
m
mn a a =
2．（2020·湖北省高三其他（文））已知()12|12|x
x
f x =+--，则()f x 的值域是（ ） A ．(],2-∞
B ．(]0,2
C ．(]03,
D ．[]1,2
3．（2020·上海高一课时练习）若指数函数x y a =是减函数，则下列不等式中一定成立的是( )
A ．1a >
B ．0.2a <
C ．(1)0a a -<
D ．(1)0a a ->
4．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数x y a =和x y b =的图象如图，
则下列关系中正确的是（ ）
A ．1a b <<
B ．1b a <<
C ．1a b >>
D ．1b a >>
5．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ）
A ．（1，1）
B ．（1，3）
C ．（2，0）
D ．（4，0）
6．（2020·福建省高三其他（文））已知 1.22a =， 1.10.5b -=，0.44c =，则（ ） A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
7．（2020·萍乡市上栗中学高三二模（文））已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．a b b b <
B ．b b a b <
C ．a b a a <
D ．a a b a <
8．（2020·上海高一课时练习）若函数2x
y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是( )
A ．m 1≥
B ．1m <
C ．1m >-
D ．1m ≤-
9．（2020·湖北省高三其他（文））若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（ A ．x ＜z ＜y
B ．y ＜x ＜z
C ．y ＜z ＜x
D ．z ＜y ＜x
10．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）若函数6
(3)3,7
(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩
单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．9
,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．()1,3
D ．()2,3
二、多选题
11．（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ．347a a a ⋅=
B ．()
3
2
6a a -=
C ．88a a =
D ．()5
5ππ-=-
12．（2020·山东省高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系满足t
y a =，则下列说法正确的是（ ）
A ．蓝藻面积每个月的增长率为100 %
B ．蓝藻每个月增加的面积都相等
C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260m
D ．若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则一定有123t t t +=
13．（2020·全国高一课时练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过
x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数1()12
=-+x x
e f x e ，则关
于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 在R 上是增函数
D ．()g x 的值域是{1,0,1}-
E.()g x 的值域是{1,0}-
14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算()()
a a
b a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12x
f x -=⊕，则下列
命题正确的有（ ） A ．()f x 的值域为 [
)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1
C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞
D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 三、单空题
15．（2020·上海高三专题练习）函数2
233x y -=的单调递减区间是_________.
16．（2020·上海高二课时练习）设21
*7
18(,)n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+_________. 17．（2020·上海高三专题练习）若曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________． 四、双空题
18．（2019·北京市第二十五中学高一期中）在①1
12-⎛⎫- ⎪⎝⎭、②122-、③1
2
12-
⎛⎫ ⎪⎝⎭
④12-中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）.
19．（2020·上海高一课时练习）函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于________对称，它们的交点坐
标是_________.
20．（2020·上海高一课时练习）已知函数2
2()2,[0,3]x x
f x x -+=∈，则该函数的最大值为__________，最小
值为_________.
21．（2020·浙江省诸暨中学高二期中）设函数f （x ）2212x a x ax x ⎧+=⎨+≤⎩
，＞，，若a ＝1，则f （f （2））＝_____；
若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____． 五、解答题
22．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）若11a a --=，求下列各式的值: （1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a - 23．（2020·上海高一课时练习）已知函数()2
()2
x x
a f x a a a -=--（其中0a >且1a ≠）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.
24．（2020·上海高三专题练习）已知[]3,2x ∈-，求11()142
x x f x =
-+的最小值与最大值． 25．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2
()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点
(3,0.5)，
（1）求a 值； （2）求函数2
()(0)x f x a
x -=≥的值域；
26．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x x f x a a a a -=->≠.
（1）若11
221
()32
f a a -=+=，求22a a -+的值.
（2）若3
(1)2
f =
，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()x x
g x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m . 27．（2020·山东省莱州一中高二月考）如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()x
f x a =与幂函数
()b g x x =“拼接”而成．
（1）求()F x 的解析式； （2）比较b a 与a b 的大小；
（3）已知(4)(32)b
b m m --+<-，求m 的取值范围．。