数值分析期末复习资料

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数值分析期末复习

题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明

第一章误差与有效数字

一、有效数字

1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说

x*有n 位有效数字。 2、

两点理解：

（1） 四舍五入的一定是有效数字

（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、

考点：

（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:

（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =

c ・2 X

2sin

7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.

P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：

（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时

除以f （卅））eg. P19习题1、2、5

(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1

；1 — cos X =

（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4

第二章插值法

一、插值条件

1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不

超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力

2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一

二、拉格朗日插值及其余项

1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))

2、插值多项式表达式(P26 (2.9))

3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计

4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1

三、差商(均差)及牛顿插值多项式

1、差商性质(P30)：

(1)可表示为函数值的线性组合

(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关

(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))

2、均差表计算及牛顿插值多项式

例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。

P2 (x) = 1 + 0.33333( 丫—l)-0.01667(x-l)(.v- 4) 因此计算得祈的近似值为為(7) = 2.69992.

四、埃尔米特插值(书P36)

两种解法：

(1)用定义做：设P$(x)二ax'+bY+cx+d,将已知条件代入求解(4个条件：节点函数值、导数值相

等各2个)

(2)牛顿法(借助差商)：重节点eg. P49习题14

五、三次样条插值定义

(1)分段函数，每段都是三次多项式

(2)在拼接点上连续(一阶、二阶导数均连续)

S(x j) = y j/j = O/l/---/n

(3)

考点：利用节点函数值.导数值相等进行解题

第三章函数逼近与曲线拟合

曲线拟合的最小二乘法

解题思路：确定輕，解法方程组，列方程组求系数(注意％应与系数一一对应)eg.F95习题17 形如尸ae “解题步骤：

(1)线性化(2)重新制表(3)列法方程组求解(4)回代

第四章数值积分与数值微分

一、代数精度

K概念：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立, 则称该求积公式具有m次代数精度

2、计算方法：将f (x)=l, x, x2,…x”代入式子求解eg. P100例1

二.插值型的求积公式

.•・[f(x)dx 匕£(J lk(x)dxjf(xQ

(*)

二0

其中k(x)二n匕生为Lagrange插值基函数“

'胪f 求积系数A k=j a l k(x)dx

定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。

三、牛顿-科特斯公式

K 掌握科特斯系数n=l,2的情况即可（P104表4-1）,性质：和为1,对称性

2. 定理：当n 为奇数时，牛顿-柯斯特公式至少有n 次代数精度；当阶n 为偶数时，牛顿-科特斯公

式至少具有n+1次代数精度

b — ci

3. 在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即x k =a + khji = —— ,k=0, 1, 2,…・n 。则

n

可构造牛顿-柯斯特求积公式：

时，求积公式为梯形公式：『匕冲〜 与0［几4）+/（町 n=2时，求积公式为辛普森公式：口］+ /0） a 6

L I 2 丿

n=4时，求积公式为柯特斯公式：

”（护心气］^7/（观）+ 32/（召）+ 12/（勺）+ 32/（耳）+ 7/（亠）］ CI

4、低阶求积公式的余项：

梯形公式：R 丁 = -匚-U ）2

/"（“）,〃 e ［a,b ］

丄厶

6.复合辛普森公式及余项(P107)

h

"一】

w-i

S” = 7 .心)+ 4》f (%%) + 2》/ (“ ) + f (b) ° L A=O

k=\ _

h J ( h 、4

心(/) = /-s” =£-曲& f 4

(久),％ e(x, + x k+l ) A=0 loU\ Z 7

（吨c 叽心好加呂"辟y

加以

辛普森公式：R s =

g ）3-讥⑷⑺，忤问

180 I 2

2( b — a)

柯特斯公式：)

5、复合梯形公式及余项(P106)

h

71-1

n-I T lt =- /3 + 2》.f(xJ + .f(b) R“m

A=I

k=0

罟仃”（久），久E （无+垛+J

6

严g,b]