材料力学 内力与内力图.

Ma
L
M 2 ( x) RB (L x) M
(L x)
L
Mb L
讨论: 集中力偶M作用点C处：
M
M
c
M
c
M
§6-3 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
一、剪力和弯矩与载 荷 集度间的微分关系
q(x)
M(x)
q(x)
M(x) dM(x)
x
dx
FQ (x)
FQ (x) dFQ (x)
FQ (x) dFQ (x) FQ (x) q(x)dx d FQ (x) q(x) dx
FQ (x)
0求出
当 d2 M (x) d x2
q( x)
>0有极小值
当 d2 M (x) d x2
q( x)
<0有极大值
q0 q0
注意坐标方向 不同、曲线开 口不同。
各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图
载荷情况
无载荷(q=0)
剪力图
FQ 0 FQ 0
弯矩图
FQ 0 FQ 0
均布载荷(q=c)
㈩
㈠
剪力FQ的符号规定
左上右下为正
FQ
FQ FQ
FQ
弯矩M的符号规定
㈩
㈠
或使该段梁顺
时针转动为正
上压下拉(上凹下凸)为正
FQ1 FQ2
FQ3
[例6-1]求梁1-1、2-2、3-3
和4-4截面上的剪力和弯矩。
解：（1）求支座反力
FQ4
由 M B 0得
由 M A 0得
5
RA
74
qa
RB 4 qa
弯曲内力
§6-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
一. 弯曲的概念
1.工程实例 桥梁，屋梁，车轴都 是最常见梁的例子。 2.定义
当作用在杆件上的载荷和 支反力都垂直于杆件轴线 时，杆件的轴线因变形由 直线变成了曲线，此变形 称为弯曲变形。
工程中以弯曲变形为主的杆件称为
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴 所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均 位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成 一条位于纵向对称面内的曲线。
二.梁的计算简图
P
1.杆件的简化
用梁的轴线来代替实际的梁
q(x)
2.载荷
3.支座的分类
据支座对梁在载荷面内的约束情 况，一般可简化为三种基本形式
a.固定铰支座 b.可动铰支座 c.固定端支座
(a x l)
xx P
A
B C
a
b
Pa / l
l
Pb / l
FQ Pa / l
AC段：FQ (x)
Pb(0 l
x
a)
M (x) Pb x(0 x a)
l
CB段：FQ
(x)
Pa (a l
x
l)
M (x) Pa (l x)(a x l)
l
Pb / l
讨论：a.集中力ｐ作用点C处：
M
4.静定梁的基本形式 a.简支梁
b.外伸梁 c.悬臂梁
§6-2 梁的内力和内力方程
一. 梁的剪力与弯矩
(1)求支反力
a１
RAA
１
x
l
M
x FQ
RA
P
b B
RB
RAl Pb
Pb RA Pla
RB l (2)1-1面上的内力
P
M
剪力
FQ
RA
Pb l
弯矩 M RA x
FQ
RB
M Pbx l
[例6-3]简支梁受集中力作用, 写出内力方程并画内力图
xx P
Pb
Pa A
RA
, l
RB
l
AC段：
FQ (x)
RA
Pb l
RA
B
C
a
b
l
RB
(0 x a)
M (x)
RA x
Pb l
x
(0 x a)
CB段：FQ (x)
RB
Pa l
(a x l)
Pa M(x) RB (l x) l (l x)
M
ql2 / 8 •
[例6-2]简支梁受均布荷载,
B
求内力方程并画内力图
ql
RB a.求支反力 RA RB 2
ql / 2 b.求内力方程
ql FQ (x) RA qx 2 qx
(0 x l)
ql / 2•
M (x) q l x qx x
2
2
q 2
x
l 2
2
wk.baidu.com
ql2 8
(0 x l)
• Pab / l
FQ
FQ
c
FQ
c
P
剪力发生突变，突变量为P
[例6-4]用静力法作出受集中如图简支梁的内力图
M A
C
RA
a
b
B
RA
RB
M L
AC : (0 x a)
RB
FQ1 ( x)
RA
M L
FQ
M
M1(x) RAx
M L
x
CB : (a x l)
L
FQ 2 ( x)
RB
M L
M
M .l .l
二、内力方程与内力图
1. 剪力和弯矩方程 一般情况下：FQ=FQ（x）—剪力方程 M=M（x）弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
以X轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面 上的剪力FQ、弯矩M，称为剪力图、弯矩图。
表示FQ、M沿梁轴线变化情况。
q
A
x
RA ql / 2 l
Q ql / 2 •
q0 q0
q0 q0
P
突变P
尖角
C C
m
突变m
C
无变化
[例6-5]作外伸梁的内力图 q
ql RA 8
A
RB
5ql 8
RA
FQ
B
lC l
RB 2
ql / 2
ql / 8
M
ql2 / 8
二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系
d FQ (x) q(x) dx
d FQ (x) q(x) d x
(6-1a)
M
(x)
dM
(x)
M
(x)
FQ (x)dx
1 2
q(x)dx2
0
d M (x) dx
FQ (x)
(6-1b)
剪力、弯矩和载荷集度
q(x)
的微分关系:
d FQ (x) q(x) dx
M(x)
M(x) dM(x)
d
M (x) dx
FQ (x)
d2 M (x) d x2
d
FQ (x) dx
（2）求剪力与弯矩
FQ1 RA 5qa / 4 M 2 M1 RA a 5qa2 / 5
FQ3 FQ2 RA qa qa/ 4
M 3 2aRA qa a 3qa2 / 2
FQ4 qa RB
3qa 4
,
M4
5qa 2 4
小结：
FQ
M l l
FQ
q(x)
(6-1c) FQ (x)
FQ (x) dFQ (x)
二.简易法作剪力图和弯矩图
1、梁上无分布荷载作用：q（x）=0
由：dFQ (x)
dx
q(x)
FQ
(x)
C(常量)
FQ
C>0
剪力图斜率为零，FQ（x）为平
行于X轴的直线。
由： d
M (x) dx
FQ (x)
C
M (x)
Cx
D
弯矩图斜率为常量C，M（x） 斜直线。
M C>0
2、梁上作用有均布荷载q（x）=C
由：dFQ (x)
dx
q(x)
C
FQ (x)
Cx
D
C<0 C<0
剪力图斜率为q（常量），FQ（x）斜直线。
由： d
M (x) dx
FQ (x)
Cx
D
FQ
q0
q0
M (x) 1 Cx2 Dx E
2
（弯矩图为二次抛物线）
顶点（极值点）： M
令
d
M (x) dx