实验三高斯列主元消去法
Gauss列主元素消去法实验
Lab06．Gauss 列主元素消去法实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解并掌握Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤； 2．通过对Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法的程序设计，以提高学生程序设计的能力；3．对具体问题，分别用Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法求解。
通过对结果的分析比较，使学生感受Gauss 列主元素消去法优点。
【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤。
2．编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b 的M 文件。
要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ，A=LU 分解的L 与U ，det A 及解向量x 。
3．编写用Gauss 列主元素消去法解线性方程组Ax=b 的M 文件。
要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b 、PA=LU 分解的L 与U 、det A 及解向量x ，交换顺序。
4．给定方程组(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----15900001.582012151********.23107104321x x x x 先用编写的程序计算，再将(1)中的系数3.01改为3.00，0.987改为0.990；将(2)中的系数2.099999改为2.1，5.900001改为9.5,再用Gauss 列主元素消去法解，并将两次计算的结果进行比较。
【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日Lab06．Gauss 列主元素消去法实验第一题：1、算法描述：Ⅰ、Gauss 消去法由书上定理5可知 设Ax=b ，其中A ∈R^(n(1)如果()0(1,2,....,1)k kka k n ≠=-，则可通过高斯消去法将Ax=b 约化为等价的 角形线性方程组，且计算公式为：① 消元计算（k=1,2，….，n-1）()()(1)()()(1)()()/,1,...,,,,1,...,,,1,...,.k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k iiik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+② 回带公式()()()()()1/,()/,1,...,2,1.n n n n nn ni i i i iii j ii j i x b a x ba x a i n =+==-=-∑（2）如果A 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法将方程组Ax=b 约化方程组为上三角矩阵以上消元和回代过程总的乘除法次数为332333nn nn +-≈，加减法次数为32353263nnn n+-≈以上过程就叫高斯消去法。
Gauss列主元消去法实验
<数值计算方法>实验报告1.实验名称实验2 Gauss 列主元消去法2.实验题目用Gauss 列主元消去法求解线性方程组。
0.0011 2.0002 3.0003 1.0001.0001 3.7122 4.6233 2.0002.0001 1.0722 5.6433 3.000x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩3.实验目的加深自己对Gauss 列主元消去法的理解和认识，并且通过做实验或做练习来加强自己Gauss 列主元消去法的掌握，学会并灵活运用Gauss 列主元消去法来求解方程组。
4.基础理论-------Gauss 列主元消去法1.Gauss 列主元消去法的基本思想是：在进行第k （k=1,2，...，n-1)步消元时，从第k 列的kk a 及以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换将它交换到主元素kk a 的位置上，再进行消元。
2.Gauss 列主元消去法的优点：当kk a （k=1,2，...，n-1)的绝对值很小时，用Gauss 列主元消去法来求解方程组时，可以避免所的数值结果产生较大误差或失真。
5.实验环境实验系统：Win 7实验平台：VisualC++语言6.实验过程写出算法→编写程序→计算结果Gauss 列元消去法的算法Input:方程组未知量的个数n;增广矩阵()()1,2,...,T ij A a A A An ==，其中i=1,2,…,n; j=1,2,…,n+1Output:方程组的解x1,x2,…,xn,或失败信息。
1. for i ←1ton-1 do;2. temp ←|ii a |;3. p ←I;4. for j ←i+1 to n do5. if ||ji a >temp then6. p ←j;8. end9. end10. if temp=0 then11. |return False;12. end13. if p ≠I then14. p A ⇔i A ;//i,p 两行交换15. end//列选主元16. for j ←i+1 to n do17.*j ji i A m A -ji m ←/ji ii a a ;18. j A ←*j ji i A m A -;//消元19. end7.实验结果原方程组的解为：X1=-0.490396 , x2=-0.051035 ,x3=0.3675208.附录程序清单#include<iostream.h> #include"stdio.h"#include"math.h"void main ( ){ int n=3,i,j,k,p;doubleA[10][10]={{0.001,2.000,3.000,1.000},{-1.000,3.712,4.623,2.000},{-2.0 00,1.072,5.643,3.000}},temp,m,x[100];for(i=0;i<n;i++){ //选主元temp=fabs(A[i][i]); p=i;for(k=i+1;k<n;k++)if(fabs(A[k][i])>temp){temp=fabs(A[k][i]); p=k;}if(temp==0){ printf("\n无法求解：");return;}if(p!=i)for(j=0;j<n+1;j++){ temp=A[i][j];A[i][j]=A[p][j];A[p][j]=temp;}//消元for(k=i+1;k<n;k++){ m=A[k][i]/A[i][i];for(j=i+1;j<=n;j++)A[k][j]=A[k][j]-m*A[i][j];}}//回代for(i=n-1;i>=0;i--){x[i]=A[i][n];for(j=i+1;j<n;j++)x[i]=x[i]-A[i][j]*x[j];x[i]=x[i]/A[i][i];}printf("\nx=\n");for(i=0;i<n;i++)printf("%f \n",x[i]);}。
高斯列主元消去法实验报告
《数值计算方法》实验报告专业：年级：学号：姓名：成绩：1.实验名称实验2高斯列主元消去法2. ：用Gauss列主消去法求解线性方程组0.001*X1+2.000*X2+3.000*X3=1.000-1.000*X1+3.217*X2+4.623*X3=2.000-2.000*X1+1.072*X2+5.643*X3=3.0003.实验目的a.熟悉运用已学的数值运算方法求解线性方程—Gauss列主消去法；b.加深对计算方法技巧的认识，正确使用计算方法来求解方程；c.培养用计算机来实现科学计算和解决问题的能力。
4.基础理论列主元消去法：a.构造增广矩阵b.找到每列绝对值的最大数；c.行变换；d.消去；e.回代5.实验环境Visual C++语言6.实验过程实现算法的流程图：7.结果分析a.实验结果与理论一致；b.由于数值设置成双精度浮点型，所以初值对计算结果影响不大；c.运用程序能更好的实现计算机与科学计算的统一和协调。
8. 附录程序清单#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){int n=3,i,j,k,p;double a[4][4];double b[4];double x[4];double m[4][4];double temp;a[1][1]=0.001; a[1][2]=2.000; a[1][3]=3.000; b[1]=1.000;a[2][1]=-1.000; a[2][2]=3.1712; a[2][3]=2.000; b[2]=2.000;a[3][1]=-2.000; a[3][2]=1.072; a[3][3]=5.643; b[3]=3.000;for(i=1;i<=n-1;i++){temp=a[i][i];p=i;for(j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(a[j][i])>temp){temp=a[j][i];p=j;}if(temp==0)return 0;if(p!=i) //换行{for(j=1;j<=n;j++)a[0][j]=a[i][j];for(j=1;j<=n;j++)a[i][j]=a[p][j];for(j=1;j<=n;j++)a[p][j]=a[0][j];b[0]=b[i];b[i]=b[p];b[p]=b[0];}for(j=i+1;j<=n;j++){m[j][i]=a[j][i]/a[i][i];for(k=i;k<=n;k++)a[j][k]=a[j][k]-m[j][i]*a[i][k];}}if(a[n][n]==0)return 0;x[n]=b[n]/a[n][n];for(i=n-1;i>=1;i--)//回代{temp=0;for(j=i+1;j<=n;j++)temp=temp+a[i][j]*x[j];temp=b[i]-temp;x[i]=temp/a[i][i];}for(i=1;i<=n;i++)//输出结果{printf("输出结果为：x[%d]=%lf ",i,x[i]);}printf("\n");return 0;}。
高斯列主元消去法求线性方程
MATLAB 高斯列主元消去一． 高斯列主元消去法的算法过程对于线性方程组AX=b ，A 为n*n 矩阵：（1）Step1——在增广矩阵（A ，b ）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第一行第一列的系数 为1，且第一列其它系数都为0.Step2——在增广矩阵（A ，b ）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值 最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第二行第二列的系数为1，且第二列中第二行以下的系数都为0. Step3——在增广矩阵（A ，b ）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值 最大的元素，将其所在行与第三行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第三行第三列的系数为1，且第三列中第二行以下的系数都为0。
重复此过程…….（2）如果增广矩阵的秩为n ，则可以将增广矩阵的前n 列化为主对角线都为1的矩阵； 如果增广矩阵的秩为m<n ，则可以将增广矩阵的前m 行m 列矩阵化为主对角线 都是1的矩阵，m 行后的系数均为0；如果增广矩阵的前n 列的秩不等于增广矩 阵的秩，此时方程组无解。
（3）接下来，通过初等变换把对角线上每个1所对应的列上的其他元素变为0，就可以得到增广矩阵的最简阶梯型。
这时可以容易得到最简阶梯型对于方程组的解，即得到方程组的解。
二． 算法的流程图三．运行结果(1)随机生成增广矩阵(6*7)：C =-94 -89 -41 88 83 -57 -1441 70 -27 -30 -82 93 43-67 -24 -31 -62 -49 -14 8318 -21 26 83 -15 56 7821 -35 32 -43 15 5 -7454 11 98 10 79 -34 -77方程组的解为：x =-811/542554/10151329/1117521/628-1763/1053-673/4428检查结果：Right result!>>(2)随机生成增广矩阵(6*7)：C =78 -42 24 86 68 -43 830 -54 60 -81 11 -97 -44-92 -60 -80 19 67 40 -520 -24 45 -54 -60 90 -4378 18 29 -94 24 49 92-23 -47 -6 15 -66 51 -54 方程组的解为：x =1421/1429417/650-557/592-413/1529253/304964/1123检查结果：Right result!>>四．各个重点步骤的设计方法或注意事项生成增广矩阵时，对生成0到1之间的随机数进行变换：C=floor(200*rand(n,n+1)-100)求方程组的唯一解时，对第i列做初等变换前，应该注意找出首非零元绝对值最大的一行，并与第i行进行交换。
实验三 高斯消去法和三角分解法1
实验报告实验三 高斯消去法与矩阵的三角分解一、实验目的1、掌握列主元素消去法，并且能够用MATLAB 编写相关程序，实现高斯消去法的求解。
2、能够用矩阵理论理解与研究高斯消去法，通过对矩阵的初等变换实现高斯消去法。
3、学会矩阵的三角分解，并且能够用MATLAB 编写相关程序，实现矩阵的三角分解，解方程组。
二、上机内容⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2822171310871234567112345611123451111234111112311111121111111764321x x x x x x1、用列主元素高斯消去法求解方程组。
2、用列主元消去法求解方程组（实现PA=LU) 要求输出： （1）计算解X;（2）L,U;（3）正整型数组IP(i),(i=1,···,n) (记录主行信息)。
三、实验原理1、列主元素消去法用高斯消去法求解方程组时，为了减小误差，在消去的过程中要避免用绝对值较小的主元素。
因此在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵货消去后的低阶矩阵中选取绝对值较大的元素作为主元素，保持|m ik |<=1，以减小计算过程中的舍入误差对计算解的影响。
此方法为完全主元素消去法。
完全主元素消去法在选主元素时花费一定的计算机时间，因此实际计算中常用列主元消去法。
列主元消去法在每次选主元时，仅依次按列选取绝对值最大的元素作为主元素，且仅交换两行，再进行消元计算。
装订 线第k步计算如下：对于k=1，2，…，n-1（1）按列选主元：即确定t使（2）如果t≠k，则交换[A，b]第t行与第k行元素。
（3）消元计算（4）回代求解计算流程图回代求解 b=b/a (当a nn ≠0)b ←(b -∑a x )/adet=a nn *det输出计算解及行列式及detk=1,2,…,n-1输入n ,A,b,εdet=1按列主元|a i(k),k |=max|a ik |C 0=a i(k),k换行 a ik a i(k)j(j=k,…n ) b k b j(k), 消元计算 （i=k+1，…，n ） a ik=a ik -a kk *m ik a ij=a ij -a kj *m ik （j=k+1,…,n ）|C 0|<εi k =kdet=a kk det否否是是k<=n-1输出det(A)=0停机停机2. 矩阵的三角分解法 （1）定理设 n n R A ⨯∈ 。
高斯列主元素消去法
}
main()
{floata[N][N+1]={{0.101,2.304,3.555,1.183},{-1.347,3.712,4.623,2.137},{-2.835,1.072,5.643,3.035}};//方程组系数
float x[N],max,m,*c,*d;
int k=0,q=0,n=N,i,j;
for(k=0;k<n && q==0;k++)
{
max=max_value(a,n,k);
if(max==0) q=1;
else
{ if(I!=k)
{
for(j=k;j<n+1;j++)
{
c=&a[I][j];
d=&a[k][j];
change(c,d);
}
}
for(i=k+1;i<n;i++)
{
{ float max;
int i;
max=a[k][k];
for(i=k+1;i<n;i++)
if(max<a[i][k])
{
max=a[i][k];
I=i;
}
return(max);
}
void change(float *p,float *q)
{
float temp;
temp=*p; *p=*q; *q=temp;
}
printf("得到的结果如下：\n");
for(i=0;i<n;i++)
printf(" x[%d]=% 6.4f\n",i+1,x[i]);
实验三 编程实现列主元高斯消去法
实验三编程实现列主元高斯消去法1.实验目的：实现高斯主消元法，对计算过程加深理解。
2.实验内容：编写c++程序，实现对角占优方程组的编程求解。
3.实验步骤1、设计方程组的存储为二位数组，最大方程组数为100，第i行j列的元素值代表第i个方程的第j个系数，输入时没有的系数项填0。
2 对于每个方程按主消元法从0~n-1依次消元。
3迭代求解，对于第i个未知数的值，依次迭代i+1~n-1已求出的结果4．实验结果分析：对于除数很小的情况程序不能很好的解决，对于不是对角占优的也不能搜索出主元素，以后在进一步解决上述问题。
#include<iostream>using namespace std;const int MAX=100;double str[MAX][MAX];int main(){while(1){cout<<"输入方程组个数0<n<100"<<endl;int n,m,i,j,k,flag=0;cin>>n;if(n<=0||n>=100)break;cout<<"输入方程组的系数"<<endl;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<=n;j++){cin>>str[i][j];if(i==j&&str[i][j]==0)flag=1;}}if(flag==1){cout<<"方程组不是对角占优的，此程序不能解决"<<endl;system("pause");return 0;}for(i=0;i<n;i++){for(j=n;j>=i;j--)//对角变一str[i][j]/=str[i][i];for(k=i+1;k<n;k++)//方程消元{double tem=str[k][i]/str[i][i];for(j=i;j<=n;j++){str[k][j]-=str[i][j]*tem;}}}double ans[MAX]={0};ans[n-1]=str[n-1][n];for(i=n-2;i>=0;i--){ans[i]=str[i][n];for(j=n-1;j>i;j--)ans[i]-=str[i][j]*ans[j];}for(i=0;i<n;i++)cout<<"X"<<i+1<<" = "<<ans[i]<<endl;system("pause");}}。
数值分析高斯顺序消去法、列主元消去法LU分解法
数值分析实验报告（1）学院：信息学院班级：计算机0903班姓名：***学号：********课题一A.问题提出给定下列几个不同类型的线性方程组，请用适当的方法求解线性方程组1、设线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------1368243810041202913726422123417911101610352431205362177586832337616244911315120130123122400105635680000121324⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125 x *= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 )T2、设对称正定阵系数阵线方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------------19243360021411035204111443343104221812334161206538114140231212200420424⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡87654321x x x x x x x x = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4515229232060 x * = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 )T3、三对角形线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------4100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----5541412621357 x *= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 )TB.（1）对上述三个方程组分别用Gauss 顺序消去法与Gauss 列主元消去法；平方根 与改进平方根法；追赶法求解（选择其一） （2）编写算法通用程序（3）在应用Gauss 消去时，尽可能利用相应程序输出系数矩阵的三角分解式C.(1)通过该课题的程序编制，掌握模块化结构程序设计方法 (2)掌握求解各类线性方程组的直接方法，了解各种方法的特点 (3)体会高斯消去法选主元的必要性 实验步骤：（高斯消去法，列主元，LU ）1顺序高斯消去法2.LU 分解法3.列主元高斯消去法（如下图）（1）高斯消去法运行结果如下（2）对方程的系数矩阵进行LU分解并求出方程组的解（3）列主元高斯消去法实验体会总结：利用gauss消去法解线性方程组的时候，如果没有经过选主元，可能会出现数值不稳定的现象，使得方程组的解偏离精确解。
三种消元法程序——数学软件实验报告
北京大学数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数学0901 学号0912020112 姓名****实验课题线性方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全主元消去法实验目的熟悉线性代数方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全主元消去法实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成实验内容线性方程组高斯消去法线性方程组高斯列主元消去法线性方程组高斯全主元消去法成绩100 教师****实验一 高斯消去法求解线性方程组【实验名称】高斯消去法求解线性方程组【实验目的】进一步熟悉理解Guass 消元法解法思路，提高matlab 编程能力。
【实验要求】已知线性方程矩阵，利用软件求解线性方程组的解。
【实验原理】消元过程：设0)0(11≠a ，令乘数)0(11)0(11/a a m i i -=，完成以下步骤： 首先，进行消元操作（消去第i 个方程组的i x ）1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n ），则第i 个方程变为1)1(2)1(2...i n in i b x a x a =++；这样消去第2，3，... ，n 个方程的变元i x 后。
原线性方程组变为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . .... ...n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a这样就完成了第一步消元。
回代过程：在最后的一方程中解出n x ，得：)1()1(/--=n nnn n n a b x ；再将n x 的值代入倒数第二个方程，解出1-n x ，依次往上反推，即可求出方程组的解，其通项为：3,...,1-n 2,-n k /)()1(1)1()1(=-=-+=--∑k kk nk j j k kjk kk a x abx【程序设计】function maintest1 clc clear allnum=input('please input the order n=') A=zeros(num,num); for i=1:num for j=1:numA(i,j)=input(''); endend Aif det(A)~=0for i=1:numb(i)=input('');endb=b'num=length(b)for k=1:num-1for i=k+1:numif A(k,k)~=0l=A(i,k)/A(k,k);A(i,:)=A(i,:)-A(k,:).*l;b(i)=b(i)-b(k)*l;endendendAB%回代求xx(num)=b(num)/A(num,num);for i=num-1:-1:1sum=0;for j=i+1:numsum=sum+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endxend【实验结论】高斯消元能很好的求解线性方程组，和用克莱姆法则求解方程组该算法简单而且求解次数少。
高斯列主元消元法解线性方程组
高斯列主元消元法解线性方程组一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中，A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068)二、原理及步骤分析设nn ij R a A ⨯∈=][)1(，nn Rb b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。
若约化主元素),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。
如果在消元过程中发现某个约化主元0)(=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。
此外，即使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。
为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。
相应过程为：（1）选主元：在子块的第一列中选择一个元)(k k i k a 使)(max k ik ni k kk i a a k ≤≤=并将第k 行元与第k i 行元互换。
高斯列主元消去法解线性方程组的实现
高斯列主元消去法解线性方程组的实现班级学号姓名榴莲一、实验任务采用高斯列主元消去法求解线性方程组，以下消解方程为例。
1 2 1 x1 02 2 2 x2 = 3-1 -3 0 x3 2二、编程环境Windows7，Codeblock.三、算法步骤Gauss 消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除某个数以及两个方程相加减这两种运算手续，逐步减少方程组中变元的数目，最终使某个方程只含有一个变元，从而得出所求的解。
对于，G auss消去法的求解思路为：（1）若，先让第一个方程组保持不变，利用它消去其余方程组中的,使之变成一个关于变元的n-1阶方程组。
（2）按照（1）中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。
（3）经过n-1步的消元后，得到一个三角方程。
（4）利用求解公式回代得到线性方程组的解。
四、程序流程图数据结构：i，j 变量double a[10][10] a 矩阵double b[10] b 矩阵double x[10] 求解的x矩阵n 矩阵的维度五、程序#include<stdio.h>#include<math.h>void guess(double a[][10],double b[],double x[],int n) { int k,i,j;for(k=0; k<n-1; k++){ double ma =a[k][k]; int tab = k;for(i=k+1; i<n; i++) {if(fabs(ma)<fabs(a[i][k])){ ma = a[i][k];tab = i;}}double mid; mid= b[k]; b[k] =b[tab]; b[tab] =mid; for(i=k; i<n;i++) {mid = a[k][i];a[k][i] = a[tab][i];a[tab][i] = mid;}for(i=k+1; i<n; i++) { b[i]=b[i]-a[i][k]/a[k][k]* b[k];for(j=k+1; j<n; j++) {a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]/a[k][k]*a[k][j];}a[i][k]=0;}}for(k=n-1; k>=0; k--){ double s =0;for(j=k+1; j<n; j++) s += a[k][j]*x[j];x[k]=(b[k]-s)/a[k][k];}}int main(){ int i,j;double a[10][10] = {{1,2,1},{2,2,3},{-1,-3,0}};double b[10] = {0,3,2};double x[10];int k,n=3;guess(a,b,x,n);printf("三角化矩阵A:\n");for(i=0; i<n; i++) {for(j=0; j<n; j++){ printf("%7.2lf",a[i][j]);}printf("\n");}printf("\n 方程数值 b:\n");for(i=0; i<n; i++) printf("%7.2lf",b[i]);printf("\n");printf("\n 求得的函数值 x:\n");for(i=0; i<n; i++) printf("%7.2lf",x[i]);printf("\n");}六、实验结果及分析高斯消去法由消元和回代两个过程组成。
Gauss消去法和列主元消去法
max=abs(C(s,s));big=0;
if det(C(s:n,s:n))==0
disp('此方程无解');
answer=0;
break;
end
for i=s:n
if max<abs(C(i,s))
max=abs(C(i,s));
k=i;
big=1;
else continue
for i=n:(-1):1
X(i,1)=C(i,n+1);
for j=(i+1):n
X(i,1)=X(i,1)-E(i,j)*X(j,1);
end
X(i,1)=X(i,1)/E(i,i);
ห้องสมุดไป่ตู้end
disp('此方程的解为：')
X
end
5、实验结果
请输入未知数系数矩阵A:
A=[2,-1,3;4,2,5;1,2,0]
3、实验原理
高斯列主元消去法
4、实验内容
clc;clear;format short
disp('请输入未知数系数矩阵A:');
A=input('A=');
disp('请输入常数项列向量B:');
B=input('B=');
C=[A,B];
[m,n]=size(A);
s=1;answer=1;P=zeros(1,n);L=zeros(n);I=eye(n);
y=a(i,k:n+1);a(i,k:n+1)=a(k,k:n+1);a(k,k:n+1)=y;
break;
高斯消元法与列主元消去法实验报告
实验报告：Gauss消元法小组成员：李岚岚、邱粉珊、缪晓浓、杨水清学号：0917020040、0917010078、0917010073、0917010112一、实验问题编写两个程序，分别利用Gauss消元法和列主元消去法求解方程组二、分析及其计算过程Gauss顺序消元法：源程序：function [x]=gaussl(A,b)[n1,n2]=size(A);n3=size(b);if n1~=n2|n2~=n3|n1~=n3disp('A的行和列的维数不同!');return;endif det(A)==0disp('系数矩阵A奇异');return;end%消元过程L=eye(n1);for j=2:n1for i=j:n1L(i,j-1)=A(i,j-1)/A(j-1,j-1);A(i,:)=A(i,:)-L(i,j-1)*A(j-1,:);b(i)=b(i)-L(i,j-1)*b(j-1);endend%回代过程x(n1)=b(n1)/A(n1,n1);for t=n1-1:-1:1for k=n1:-1:t+1b(t)=b(t)-A(t,k)*x(k);endx(t)=b(t)/A(t,t);end程序的运行以及结果：>>A=[1 2/3 1/3;9/20 1 11/20;2/3 1/3 1];>>b=[2 2 2];>> [x]=gaussl(A,b)x =1 1 1Gauss列主元消去法：源程序：function [x]=gaussll(A,b) [n1,n2]=size(A);n3=size(b);if n1~=n2|n1~=n3|n2~=n3disp('输入的方程错误！');return;endif det(A)==0disp('系数矩阵A奇异');return;endmax=zeros(n1);for m=1:n1%找主元for i=m:n1if abs(A(i,m))>maxmax=A(i,:);A(i,:)=A(m,:);A(m,:)=max;maxb=b(i);b(i)=b(m);b(m)=maxb;endend%消元过程L=eye(n1);for j=2:n1for i=j:n1L(i,j-1)=A(i,j-1)/A(j-1,j-1);A(i,:)=A(i,:)-L(i,j-1)*A(j-1,:);b(i)=b(i)-L(i,j-1)*b(j-1);endendend%回代过程x(n1)=b(n1)/A(n1,n1);for t=n1-1:-1:1for k=n1:-1:t+1b(t)=b(t)-A(t,k)*x(k);endx(t)=b(t)/A(t,t);end程序的运行以及结果：>>A=[-0.002 2 2;1 0.78125 0;3.996 5.5625 4]; >>b=[0.4 1.3816 7.4178];>>[x]= gaussll(A,b)x =1.9273 -0.6985 0.9004。
选列主元的高斯消去法实验报告2
选列主元的高斯消去法实验报告令狐烈一，实验目的：（1）掌握gauss消去法的基本算法思想和学会编写其MATLAB代码。
（2）掌握选列主元的gauss消去法的基本算法思想和学会编写其MATLAB代码。
（3）分析选列主元的gauss消去法相比于gauss消去法的优点。
（4）对选列主元的gauss消去法和gauss消去法进行误差分析二，实验原理对于非奇异矩阵A，求解线性方程组Ax=b可以使用gauss消去法进行。
但是，gauss消去法要求系数矩阵A的顺序主子式非奇异。
为此做出改进：每次消元之前，首先选出第i列（i<=k）中最大的作为列主元，这样，就能保证消元乘数不仅不被系数矩阵A的顺序主子式非奇异的限制，还这样就能有效的防止误差的传播与放大。
算法：（1）对增广矩阵[a b]进行第i次消元，首先选取列主元a(i,k)=Max|a(I,i:n),交换第i行与第k行；（2）以列主元进行消元，计算公式为a(k,i)= a(k,i)/a(i,i); (k=i+1:n)a(k,j)=a(k,j)-a(k,i)*a(i,j); (j=i:n)(3)回代法计算结果，计算公式为：x(n)=b(n)/a(n,n);x(p)=[b(p)-∑a(p,j)x(j)]/a(p,p) (j=p+1:n)注：gauss（a,b）为选取列主元gauss消去法，gauss2（a,b）为gauss消去法。
三，实验MATLAB程序代码实验的MATLAB程序代码如下四，实验结果与分析1，两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果分析实验结果（如图一）对于顺序主子式奇异的系数矩阵，使用gauss消去法（gauss2（a,b））不能解出，而使用选列主元的gauss消去法（gauss（a,b））能够解出。
主要是选列主元的gauss消去法每次都选出最大的列主元，从而保证了每次用作除数的a(I,i)≠0.图一：两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果2，两种算法对舍入误差的放大效应分析用随机生成函数random('Normal',1,7,10,10)生成10*10矩阵，分别gauss消去法和选列主元的高斯消去法解出，并用公式er(x)=||x−x∗||||x||≤cond(a)∗||r||||b||估计其误差，结果如下图。
计算方法实验报告_列主元高斯消去法
row_first=A[i][i]; for(int j=0;j<n+1;j++)
计算方法实验报告
{ A[i][j]=A[i][j]/row_first;
} }
for(int k=n-1;k>0;k--) {
for(int i=0;i<N;i++) {
for(int j=0;j<N;j++) {
A_B[i][j]=A[i][j]; } A_B[i][N]=B[i][0]; } return A_B; }
3
//输出矩阵 A 的 row x col 个元素 void Show_Matrix(double **A,int row,int col) {
for(int i=0;i<N;i++)
{
int row=Choose_Colum_Main_Element(N,A_B,i);
if(Main_Element<=e) goto A_0;
Exchange(A_B,N+1,row,i);
Elimination(N,A_B,i);
cout<<"选取列主元后第"<<i+1<<"次消元:"<<endl;
double factor; for(int i=start+1;i<n;i++) {
factor=A[i][start]/A[start][start]; for(int j=start;j<n+1;j++) {
高斯列主消元数值分析实验报告
数值分析实验报告之高斯列主消元法一、实验目的：清楚高斯列主元消去法与高斯主元素消去法的区别，以及它提出的必要性；掌握高斯列主元消去法的原理及推导过程，会用其解简单的线性方程组。
二、实验内容：用高斯列主元消去法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--643.5072.1000.2623.4712.3000.1000.3000.2001.0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000.3000.2000.1 三、实验原理：在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦，即用其做除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最终使得计算的解不可靠。
故应避免采用绝对值小的主元素。
在消元之前，选择一个绝对值最大的元素作为主元，用其做除数来进行消元，这样就具有较好的数值稳定性。
这就是选主元消去法。
下面详细说明列主元素消去法。
第一步：在Ax=b 即)1()1(b x A =的系数矩阵)1(A 的第一列元素中选择一个绝对值最大的元素，不妨设为)1(1l a 。
对调)1(1j a 和)1(lj a 及)1(1b 和)1(l b (j=1,2,……,n ，1≤l ≤n)。
以)1(1l a 作为新的)1(11a 进行消元（消去对调后的第2～n 个方程中的1x ）。
第k 步：（1≤k ≤n-1）设第k-1步消元过程完成，得到)()(k k b x A =，检查)(k A 中第k 列的后n-k+1个元素)(k kk a ，)(1k k k a +，…，)(k nk a ，从中选出绝对值最大者，不妨设是)(k pk a ，称它为第k 列主元素。
若p=k ，则取)(k kk a 做除数直接进行消元。
若p ≠k,则将第p 个方程与第k 个方程对调，使)(k pk a 成为新的)(k kk a ，然后以其作为除数进行消元，继续这一过程，直至得到等价的三角形方程组)()(n n b x A =，下一阶段的回代过程不变。
高斯列主元消去法
问题提出：采用高斯列主元消去法解线性方程组。
算法（公式）推导：高斯顺序消去法有一个最大的缺点就是一旦对角元素为0，就进行不下去了，为了解决这个问题就有了高斯主元消去法。
如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，先选取a ri ()n r i ≤≤中（即第i 列）绝对值最大的元素，设为第j 行的元素aji ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii kj a a （k 代表行号），依次进行消元，这样得到的算法叫高斯按列主元消去法。
高斯按列主元消去法的算法步骤介绍如下:1. 将方程组写成以下的增广矩阵的形式： 432144434241343332312423222114131211b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a 2. 对k=1，2，3，…..，n-1,令∑==nk s sk pk a a max ，交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1,K+2,……..,n,计算*km jkjm jm kk a a a a a =-（m=k,k+1,....n)kk jk k j j a a b b b *-=算法结束。
3. 在MATLABE 中编程实现的高斯按列主元消去法函数为：GaussXQLineMain功能：高斯按列主元消去法求线性方程组Ax=b 的解调用格式：[x,XA]=GaussXQLineMain(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；B：线性方程组中的常数向量；x：线性方程组的解：XA：消元后的系数矩阵（可选的输出参数）。
高斯列主元消去法用MATLAB实现如下所示：4.其中用到上三角矩阵求解函数：在MATLABE中编程实现的上三角系数矩阵求解函数为：SolveUPTriangle 功能：求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解调用格式：x=SolveUpTriangel(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；b ：线性方程组中的常数向量； X ：线性方程组的解；上三角系数矩阵求解函数用MATLAB 实现如下所示：高斯按列主元消去法解线性方程组应用实例：用高斯按列主元消去法求解下列线性方程组的解。
3高斯列主元消去法
floatsum=0,h=(q-p)/n;
for(i=1;i<n;i++)
sum+=f(p+i*h);
sum+=(f(p)+f(q))/2;
return(h*sum);
}
voidmain()
{inti;
intn=N,m=0;
floatT[MAX+1][2];
T[0][1]=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱBG(a,b,n);
message();
main()
{
floatx[NUMBER];
intr,k,i,j;
charcelect;
clrscr();
printf("\n\nUse Gauss.");
printf("\n\n1.Jie please press Enter.");
printf("\n\n2.Exit press Esc.");
{
me=me+A[k][j]*x[j];
}
x[k]=(A[k][n+1]-me)/A[k][k];
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
printf(" \n\nx%d=%f",i,x[i]);
}
message();
}
exchange(intr,intk)
{
inti;
for(i=1;i<=n+1;i++)
{for(j=i+1,mi=i,mx=fabs(a[i][j]);j<n-1;j++)
列选主元高斯消去法
列选主元高斯消去法
列选主元高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法，在求解大规模线性方程组时具有较高的数值稳定性和计算效率。
该方法的基本思想是，通过选取主元来消除非主元系数的影响，以减小计算误差。
具体步骤如下：
1. 首先将线性方程组的系数矩阵进行列选主元，即对每一列选取绝对值最大的元素所在的行，然后将该行与第一行交换位置。
2. 对于第一列，将选取的主元所在行除以主元的值，使主元变为1。
3. 利用第一行的主元，通过消去操作将其他行的第一列元素变为零。
具体操作是，对于每一行，将该行与第一行乘以适当的倍数后相减，使得第一列元素为零。
4. 重复以上步骤，对第二列以及其后的列重复进行列选主元和消去操作，直到系数矩阵变成上三角矩阵。
5. 根据上三角矩阵进行回代求解，从最后一行开始，依次代入已求解的变量值，计算出未知数的值。
需要注意的是，在进行列选主元时，要注意避免主元为零或接近零的情况，以免造成计算错误或数值不稳定性。
列选主元高斯消去法可以有效地提高线性方程组的求解精度和计算效率，特别适用于存在较大数值差异或特殊矩阵结构的情况。
然而，在某些情况下，该方法可能会导致数值不稳定性或计算量较大，因此在实际应用中需综合考虑问题的特点和求解需求，选择合适的方法。
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实验三 高斯列主元消去法
一、实验目的：
1、掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤。
2、 培养编程与上机调试能力。
二、高斯列主元消去法的基本思路与计算步骤：
设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。
高斯消去法的基本思想就是僵局真的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。
列主元高斯消去法计算步骤：
将方程组用增广矩阵[]()(1)ij n n B A b a ⨯+== 表示。
步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =-
（1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得
,max k i k ik
k i n a a ≤≤= （2） 如果
,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）。
（3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。
（4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik
ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 .
ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程：
（1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。
（2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑
三：程序流程图
四：程序清单：
function X=uptrbk(A,b)
% A是一个n阶矩阵。
% b是一个n维向量。
% X是线性方程组AX=b的解。
[N N]=size(A);
X=zeros(1,N+1);
Aug=[A b];
for p=1:N-1
[Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));%返回向量的最大值存入y，最大值的序号存入j。
C=Aug(p,:);
Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);
Aug(j+p-1,:)=C;
if Aug(p,p)==0
'A是奇异阵，方程无惟一解'
break
end
for k=p+1:N
m=Aug(k,p)/Aug(p,p);
Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);
end
end
% 这里用到程序函数backsub来进行回代。
X=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1));
function X=backsub(A,b)
% A是一个n阶上三角非奇异阵。
% b是一个n维向量。
% X是线性方程组AX=b的解。
n=length(b);%取b向量的个数。
X=zeros(n,1);
X(n)=b(n)/A(n,n);
for k=n-1:-1:1
X(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n))/A(k,k);
End
五、测试数据与结果：
测试数据：（第8章习题三第2题）求解线性方程组：
解：建立一个主程序gs.m
clc
clear
A=[1,2,3;5,4,10;3,-0.1,1];
b=[1;0;2];
uptrbk(A,b)
然后在MA TLAB命令窗口运行上述主程序，即：
>> gs
计算结果如下:
ans =
1.2000
2.0000
-1.4000
六、小结
本实验通过MA TLAB程序编程实现了高斯列主元消去法的求解，能加深对高斯列主元消去法的基本思路与计算步骤的理解。
主元消去法解决了主元素的选择问题，避免主元素很小导致舍入误差扩散和其他元素的严重增长，这就使算法具有较好的数值稳定性。