傅里叶级数

傅里叶级数（Fourier Series ）

引言

正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数

)sin(ϕω+=t A y 就是一个以ωπ

2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为

角频率，ϕ为初相。

但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ

=T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数

)sin(n n t n A ϕω+组成的级数来表示，记为

∑∞

=++

=10)sin()(n n n t n A A t f ϕω 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数。

将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为

)(t f 的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波（又叫做基波）

；而)2sin(22ϕω+t A ， )3sin(33ϕω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。

为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ωϕωϕϕωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,2

00，则上式等号右端的级数就可以改写成

∑∞=++1

0)sin cos (2n n n nx b nx a a 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。

1.函数能展开成傅里叶级数的条件

（1） 函数)(x f 须为周期函数；

（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但

左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点）

（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。

若满足以上条件则)(x f 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x 是)(x f 的连续点时，级数收敛于)(x f ，当x 是)(x f 的间断点时，级数收敛于)]0()0([2

1++-x f x f 。、 以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet ）充分条件）的内容。

2.函数展开成傅里叶级数

（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：

所谓三角函数1， ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos nx nx x x x x ① 在区间],[ππ-上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间

],[ππ- 上的积分等于零，即

⎰

-=ππ0cos nxdx )3,2,1( =n ， ⎰

-=ππ0sin nxdx )3,2,1( =n ， ⎰

-=ππ0cos sin nxdx kx )3,2,1,( =n k ， ⎰-=ππ0cos cos nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠= ， ⎰-=ππ

0sin sin nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠= . （2）傅里叶系数的推导

设)(x f 是周期为π2的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数)(x f 的傅里叶级数记作

∑∞=++=1

0)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ② 那么傅里叶系数 ,,,110b a a 如何利用)(x f 表达出来？

先求0a ，对②式从π-到π逐项积分：

=⎰-ππdx x f )(∑⎰⎰

⎰∞=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡++10sin cos 2n n n nxdx b nxdx a dx a ππππππ 根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：

=⎰

-ππdx x f )(π22

0⨯a 从而得出 ⎰-=π

ππdx x f a )(10 其次求n a ，用nx cos 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得

⎰⎰--=ππππnxdx a nxdx x f cos 2cos )(0∑⎰⎰

∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++12cos sin cos n n n nxdx nx b nxdx a ππππ 根据三角函数系①的正交性，可以得出： πππππππn n n a nx a nxdx a nxdx x f =+==⎰⎰⎰---2

2cos 1cos cos )(2 ⎰

-=⇒πππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1( =n . 类似地，用nx sin 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得

⎰⎰--=ππππnxdx a nxdx x f sin 2sin )(0∑⎰⎰

∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++12sin cos sin n n n nxdx b nxdx nx a ππππ 根据三角函数系①的正交性，可以得出：

πππππππn n n b nx a nxdx a nxdx x f =-==⎰⎰⎰---2

2cos 1sin sin )(2 ⎰

-=⇒πππnxdx x f b n sin )(1 )3,2,1( =n 由于当0=n 时，n a 的表达式正好给出0a ，因此，已得结果可以合并写成

⎰-=⇒π

ππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1,0( =n ，