高斯函数问题赏析

３．求 函 数 的 最 值
例３ （湖 北 省 部 分 重 点 中 学 ２０１４ 届 高 三 第
一 次 联 考 （文 ））对 于 任 意 实 数ｘ，［ｘ］表 示 不 超 过ｘ
的 最 大 整 数 ，如 ［１．１］＝ １，［－２．１］＝－３．定 义 在
Ｒ 上的函数ｆ（ｘ）＝ ［２ｘ］＋ ［４ｘ］＋ ［８ｘ］，若 Ａ ＝
期
期
中
卷
）设
函
数ｆ（ｘ）＝１２＋ｘ２ｘ
－
１ ２
，［ｘ］表
示
不
超过ｘ 的最大整数，则函数ｙ ＝ ［ｆ（ｘ）］的值域是
（ ）
（Ａ）｛０，１｝．
（Ｂ）｛０，－１｝．
（Ｃ）｛－１，１｝．
（Ｄ）｛１，１｝．
解
ｆ（ｘ）＝１２＋ｘ２ｘ
－
１ ２
＝２ｘ１＋＋１２－ｘ １－
１ ２
＝
１ ２
－１＋１２ｘ
，
当ｘ
＞ ０ 时 ，０ ＜ ｆ（ｘ）＜
由 ①② 得ｘ ＝６－π． 点评 本题考查新定义函数［ｘ）和｛ｘ｝的应用 以 及 一 元 二 次 不 等 式 和 三 角 方 程 的 解 法 ，考 查 转 化
思想和分类讨 论 思 想 ．将 不 等 式 和 方 程 中 的 ［ｘ）和
｛ｘ｝转化为熟悉的代数式是解答本题的关键．
９．求 参 数 的 取 值 范 围
其与函数ｙ ＝ｆ（ｘ）的图象恰有三个不同的交点．易
知ｋＡＣ
＝
１４，ｋＡＢ
＝
１，由于Ｂ（２，１），Ｃ（３，１）两点都不 ３
在 函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象上，所以直线ｙ＝ｋｘ＋ｋ（ｋ＞
０）可与直线ＡＣ
重合，但不能与直线ＡＢ
重合，即
１ ４
≤
ｋ＜ １３．故选（Ｄ）．
点评 本题考查函数的图象、斜率公式等．考
查的知 识 点 是 根 据 根 的 存 在 性 及 根 的 个 数 的 判
的取值范围是
（ ）
（Ａ）（１４ ，１３ ］．
（Ｂ）（０，１４］．
（Ｃ）［１４
，１ ３
］．
（Ｄ）［１４ ，１３ ）．
图１
解 作出函数ｙ ＝ｆ（ｘ）的图象（如图１），可知
ｆ（ｘ）是周期为１的函数，且在［０，１）上是一直线ｙ＝ｘ
的对应部分的含左端点不含右端点的线段，又易知ｙ
＝ｋｘ＋ｋ（ｋ＞０）过定点Ａ（－１，０）．由图２可知，当直 线ｙ＝ｋｘ＋ｋ（ｋ＞０）介于直线ＡＢ 与直线ＡＣ之间时，
１ ２
，［ｆ（ｘ）］＝
０；
当ｘ＜０时
，－
１ ２
＜ｆ（ｘ）＜０，［ｆ（ｘ）］＝－１；
当ｘ ＝０时，ｆ（ｘ）＝０，［ｆ（ｘ）］＝０．
所以，ｙ ＝ ［ｆ（ｘ）］的值域｛０，－１｝，故选 Ｂ．
点评 本题主要考查取整函数的概念．要得
到取整函数ｙ ＝ ［ｆ（ｘ）］的值域应先求出ｆ（ｘ）的
值域，再由取整函数的概念求ｙ＝ ［ｆ（ｘ）］的值域．
解法２ 根 据 规 定 各 班 每 １０ 人 推 选 一 名 代 表，当各班人数除以１０ 的 余 数 大 于 ６ 时 再 增 选 一
獉獉獉 名代表，即余数分别为 ７，８，９ 时可增选一名代表．
因此用取整函数可表示为ｙ ＝ ［ｘ１＋０３］．
点评 本题考查了学生的逻辑推理能力和综
合运用数 学 知 识 的 能 力．属 中 等 难 度 题，也 是 易
例９ （湖 南 省 株 洲 二 中 ２０１４ 届 高 三 第 二 次
｛ 月 考 理 ）设 函 数ｆ（ｘ）＝
ｘ－
［ｘ］，
ｘ
≥
０， 其中
ｆ（ｘ＋１），ｘ ＜０，
［ｘ］表示不超过ｘ 的最大整数，如［－１．２］＝－２，
［１．２］＝１，［１］＝１，若直线ｙ ＝ｋｘ＋ｋ（ｋ＞０）与
函数ｙ ＝ｆ（ｘ）的图象恰 有 三 个 不 同 的 交 点，则ｋ
错题．
８．解 不 等 式 和 解 方 程
例 ８ （湖 北 八 校 ２０１４ 届 第 一 次 联 考 数 学 文 ）
用符号［ｘ）表 示 超 过 ｘ 的 最 小 整 数，如 ［π）＝ ４，
［－１．５）＝－１，记｛ｘ｝＝ ［ｘ）－ｘ．
（１）若ｘ ∈ （１，２），则不等式｛ｘ｝·［ｘ）＜ｘ 的
解集为
；
（２）若ｘ∈ （１，３），则方程ｃｏｓ２［ｘ）＋ｓｉｎ２｛ｘ｝－
断，其中将方程的根转化 为 函 数 的 零 点，然 后 利 用
图象法结合数形结合的思想分析函数图象的交点
与ｋ 的关系是解答本题的关键 ．
１０．判 断 函 数 的 零 点 个 数
例１０ （湖 北 省 部 分 重 点 高 中２０１４届 高 三１１ 月 联 考 ）定 义 ［ｘ］表 示 不 超 过ｘ的 最 大 整 数 ，记 ｛ｘ｝
ｘ 的最大整数，ｇ（ｘ）＝ ［ｘ］为取整函数，我们易判 断 出 ｇ（ｘ０）的 值 ．
７．求 函 数 的 解 析 式
例 ７ （２０１０ 年 高 考 陕 西 卷 （文 １０，理 １０））某
学校要召开学生代表大 会，规 定 各 班 每 １０ 人 推 选
一名代表，当各班人数 除 以 １０ 的 余 数 大 于 ６ 时 再
（Ａ）４． （Ｂ）３．
（Ｃ）２．
（Ｄ）１．
解
∵ｆ（２）＝ｌｎ２－１ ＜ ０，ｆ（３）＝ｌｎ３－
２ ３
＞０，故ｘ０ ∈ （２，３），∴ｇ（ｘ０）＝ｘ０ ＝２．故选 Ｃ． 点评 本题考查的知识点是函数的零点，其
中根据零点存在定理，我们可以判断 出 函 数 ｆ（ｘ） 的 零 点 所 在 的 区 间 ，然 后 根 据 ［ｘ］表 示 不 超 过 实 数
＝１，∴ｆ（ｘ）＝ ［２ｘ］＋ ［４ｘ］＋ ［８ｘ］＝１；
当
２ ８
≤ｘ ＜
３ ８
时 ，［２ｘ］＝ ０，［４ｘ］＝ １，［８ｘ］
＝２，∴ｆ（ｘ）＝ ［２ｘ］＋ ［４ｘ］＋ ［８ｘ］＝３；
……；
当
７ ８
≤ｘ ＜１时 ，［２ｘ］＝１，［４ｘ］＝３，［８ｘ］＝
７，∴ｆ（ｘ）＝ ［２ｘ］＋ ［４ｘ］＋ ［８ｘ］＝１１．
＝ｘ－ ［ｘ］，其 中 对 于０≤ｘ ≤３１６时 ，函 数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ２［ｘ］＋ｓｉｎ２｛ｘ｝－１和函数ｇ（ｘ）＝ ［ｘ］·｛ｘ｝－
ｘ ３
－１
的零
点
个数
分别
为
ｍ，ｎ，则
（ ）
（Ａ）ｍ ＝１０１，ｎ ＝３１４． （Ｂ）ｍ ＝１０１，ｎ ＝３１３． （Ｃ）ｍ ＝１００，ｎ ＝３１３． （Ｄ）ｍ ＝１００，ｎ ＝３１４． 解 ⑴ 由ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２［ｘ］＋ｓｉｎ２｛ｘ｝－１＝
综上，Ａ ＝ ｛０，１，３，…，１１｝，∴Ａ 中 元 素 的 最
大 值 与 最 小 值 分 别 为 １１ 和 ０．故 选 （Ａ）．
点评 集合Ａ中元素的最大值与最小值即为 函数ｆ（ｘ）＝ ［２ｘ］＋ ［４ｘ］＋ ［８ｘ］（０＜ｘ ＜１）的 最 大 值 与 最 小 值 ，求 函 数 ｆ（ｘ）的 最 值 的 关 键 是 根 据取整函数的 定 义 恰 当 地 分 类 讨 论，因 而 本 题 很
好地考查了分类讨论的思想． ４．判 断 函 数 的 性 质
·辅教导学· 数学通讯———２０１４年第９期（上半月）
１７
例４ （２０１３年高考湖北 卷 （文 ８））ｘ 为 实 数，
［ｘ］表 示 不 超 过ｘ 的 最 大 整 数 ，则 函 数ｆ（ｘ）＝ｘ－
［ｘ］在 Ｒ 上为
（ ）
（Ａ）奇 函 数 ．
（Ｂ）偶 函 数 ．
（Ｃ）增 函 数 ．
（Ｄ）周 期 函 数 ．
解 本题考查函数的性质与判断．
当１≤ｘ ＜２时，ｆ（ｘ）＝ｘ－１； 当２≤ｘ ＜３时，ｆ（ｘ）＝ｘ－２； 当３≤ｘ ＜４时，ｆ（ｘ）＝ｘ－３； ……；
当ｎ ≤ｘ ＜ｎ＋１时，ｆ（ｘ）＝ｘ－ｎ． 易知：函 数 ｆ（ｘ）没 有 奇 偶 性，在 每 一 个 区 间 ［ｎ，ｎ＋１）上 单 调 递 增 ，是 周 期 函 数 ，周 期 为１．故 选
增
选一
名代
表
．那
么
，各 班
可
推
选
代wk.baidu.com
表
獉獉獉 人数ｙ
与
该
班人数ｘ 之间的函数关系用取整函数ｙ ＝ ［ｘ］（［ｘ］表示不大于ｘ 的最大整数）可以表示为
（ ）
（Ａ）ｙ ＝ ［１ｘ０］． （Ｂ）ｙ ＝ ［ｘ１＋０３］．
（Ｃ）ｙ ＝ ［ｘ１＋０４］． （Ｄ）ｙ ＝ ［ｘ１＋０５］．
解 法１ 取特殊值法，当ｘ ＝５６时，ｙ ＝５，排 除（Ｃ）、（Ｄ）；当ｘ ＝５７时，ｙ ＝６，排除（Ａ）．
例 ５ （２０１３ 年 高 考 陕 西 卷 （理 １０））设 ［ｘ］表
示不大于ｘ 的最大整数，则对任意实数ｘ，ｙ，有 （ ）
（Ａ）［－ｘ］＝－ ［ｘ］．
（Ｂ）［２ｘ］＝ ２［ｘ］．
（Ｃ）［ｘ＋ｙ］≤ ［ｘ］＋ ［ｙ］． （Ｄ）［ｘ－ｙ］≤ ［ｘ］－ ［ｙ］． 解 取ｘ ＝２．５，则［－ｘ］＝ ［－２．５］＝－３，
（Ｄ）（１，２）．
解 由［ｘ］＞０，结合函数ｙ＝ ［ｘ］的图象知，
ｘ ≥１，故选（Ｂ）． 点评 本题利用对数性质列不等式并不难，
难 点是解不等式，利用函数ｙ＝ ［ｘ］的图象是解此
不等式的关键．因 而 本 题 巧 妙 地 考 查 了 数 形 结 合
思想．
２．求 函 数 的 值 域
例２ （陕 西 省 西 安 市 一 中 ２０１４ 届 高 三 上 学
利用特殊值逐个验证排除即可．
６．求 函 数 的 值
例６ （湖 北 省 黄 冈 市２０１３届 高 三３月 份 质 量
检测（文））已知 ［ｘ］表 示 不 超 过 实 数 ｘ 的 最 大 实
数，ｇ（ｘ）＝ ［ｘ］为取整函数，ｘ０ 是函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ
－
２ ｘ
的 零 点 ，则 ｇ（ｘ０）等 于
（ ）
１６
数学通讯———２０１４年第９期（上半月） ·辅教导学·
高斯函数问题赏析
毛传宝
（湖 北 省 武 汉 市 马 房 山 中 学 ，４３００７９）
高 中课本新人教Ａ 版必修１第２５页第３题：函
数ｆ（ｘ）＝ ［ｘ］的函数 值 表 示 不 超 过 ｘ 的 最 大 整
数，例 如，［－ ３．５］＝－ ４，［２．１］＝ ２．当 ｘ ∈ （－２．５，３］时 ，写 出 函 数ｆ（ｘ）的 解 析 式 ，并 作 出 函
－ ［ｘ］＝－ ［２．５］＝－２，所以（Ａ）项错误，［２ｘ］＝
［５］＝ ［２×２．５］，２× ［２．５］＝４，所以（Ｂ）项错误；
再取ｙ ＝２．８，则［ｘ＋ｙ］＝ ［５．３］＝５，［ｘ］＋ ［ｙ］ ＝ ［２．５］＋ ［２．８］＝２＋２＝４，所以（Ｃ）项错误．故
选（Ｄ）．
点评 本题考查对新定义的的理解和应用．
数的图象．
本题中的函数 为 高 斯 函 数，只 需 对 ｘ 进 行 分
类讨论 分 段 写 出 函 数 的 表 达 式 然 后 作 出 图 象 即
可，题目虽 然 不 难，但 笔 者 发 现，近 年 来 一 些 省 市
高考﹑模考命 题 者 对 此 类 题 型 情 有 独 钟，以 此 题
为背景引申出一系列既考查知识又考查能力且极
１＝０的实数解为
．
解 ⑴ 当ｘ∈ （１，２）时，［ｘ）＝２，｛ｘ｝＝２－
ｘ，由｛ｘ｝·［ｘ）＜ｘ
得（２－ｘ）·２＜ｘ，即
４ ３
＜ｘ
＜
２，其 解 集 为 （４ ，２）； ３
⑵ ① 当ｘ∈ （１，２）时，由ｃｏｓ２［ｘ）＋ｓｉｎ２｛ｘ｝－ １ ＝０得ｃｏｓ２２＋ｓｉｎ２（２－ｘ）－１＝０，即ｓｉｎ２（２－
富 思 考 性 和 挑 战 性 的 新 题 ，归 纳 介 绍 如 下 ．
１．求 函 数 的 定 义 域
例１ （湖北省荆州中学２０１４届高三 １０月测
试数学（理））设［ｘ］为表示不超过 ｘ 的最大整数，
则函数ｙ ＝ｌｇ［ｘ］的定义域为
（ ）
（Ａ）（０，＋ ∞）． （Ｂ）［１，＋ ∞）．
（Ｃ）（１，＋ ∞）．
｛ｙ ｙ ＝ｆ（ｘ），０＜ｘ ＜１｝，则 Ａ 中元素的最大值
与最小值之和为
（ ）
（Ａ）１１．
（Ｂ）１２．
（Ｃ）１４．
（Ｄ）１５．
解
当０＜ｘ
＜
１ ８
时 ，［２ｘ］＝０，［４ｘ］＝０，
［８ｘ］＝０，∴ｆ（ｘ）＝ ［２ｘ］＋ ［４ｘ］＋ ［８ｘ］＝０；
当
１ ８
≤ｘ ＜
２ ８
时 ，［２ｘ］＝ ０，［４ｘ］＝ ０，［８ｘ］
（Ｄ）．
点评 本题考查分段函数的性质、函数的周
期性以及数形结合的思想，由 本 题 可 知，当 通 过 函
数的解析式不好判断函数 的 奇 偶 性、单 调 性、周 期
性等基本性质时，可作出 函 数 的 图 象，通 过 图 象 来
直 观 判 断 ，既 方 便 快 捷 又 一 目 了 然 ．
５．判 断 恒 成 立 问 题
１８
数学通讯———２０１４年第９期（上半月） ·辅教导学·
ｘ）＝ｓｉｎ２２，∵０＜２－ｘ ＜ π，∴２－ｘ ＝２或２－ ｘ＋２＝ π，即ｘ ＝０或ｘ ＝４－π，而ｘ ∈ （１，２）， ∴ｘ ∈ ；
② 当ｘ ∈ （２，３）时，［ｘ）＝３，｛ｘ｝＝３－ｘ，由 ｃｏｓ２［ｘ）＋ｓｉｎ２｛ｘ｝－１＝０得ｃｏｓ２３＋ｓｉｎ２（３－ｘ） －１＝０，即ｓｉｎ２（３－ｘ）＝ｓｉｎ２３，∵０＜３－ｘ ＜π， ３－ｘ ＝３或３－ｘ＋３＝ π，即ｘ ＝０或ｘ ＝６－ π，又 ∵ｘ ∈ （２，３），∴ｘ ＝６－π．