矩阵在解线性方程组中的应用

矩阵在解线性方程组中的应用

摘要

线性方程组的求解是代数学中一个比较重要的内容. 线性方程组求解过程中，掌握各种求解线性方程组的方法是至关重要的. 基于线性方程组和矩阵之间的联系，可以用线性方程组系数和常数项所构成的行列式矩阵来研究线性方程组的求解问题. 本文主要讨论矩阵的秩在方程组的解的判断中的应用、矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用.

关键词: 矩阵；线性方程组；矩阵的秩；初等变换

The Application of Matrix in Solving Linear Equations

ABSTRACT

The solution of linear equations is an important part of algebra.In the process of solving line ar equations,it is very important to master various methods of solving linear equations.Based on the relationship between linear equations and matrix,the determinant matrix composed of coefficient and constant term of linear equations can be used to study the solution of linear equations. This paper mainly discusses the application of the rank of matrix in the judgment of the solution of equations and the application of the elementary transformation of matrix in the solution of linear equations.

Keywords: matrix；linear；equations；rank of matrix；elementary transformation

目录

摘要 ............................................................................................................................................. I ABSTRACT ............................................................................................................................... I I

一、引言 (1)

二、线性方程组的有关概念 (1)

1. 线性方程组的定义 (1)

2. 线性方程组的一般解法 (2)

三、矩阵的有关概念 (3)

1. 矩阵的概念 (3)

2. 矩阵的初等变换 (3)

3. 矩阵的秩[4] (4)

4. 基于矩阵的线性方程组解的判断条件 (5)

四、矩阵在解线性方程组中的应用以及解题思路 (6)

参考文献 (11)

一、引言

矩阵和线性代数在高等代数中占据重要的位置，而解线性方程组在高等代数中也是十分重要的知识点. 中学时我们也初步了解并学习了解简单的线性方程组，知线性方程组的重要性，但是不是每一个线性方程组都有解，所以我们首先要做的就是判断线性方程组有无解， 通过对矩阵的学习，我们知道矩阵的秩可以判断线性方程组有无解，在有解的情况下可以利用矩阵求解线性方程组.

在文献[1]中总结了矩阵、线性方程组的相关概念；文献[2]给出了线性方程组的一般解法的主要内容；文献[3-5]给出了矩阵的初等变换、矩阵的逆的相关概念概念以及龝矩阵的逆的一些相关问题；文献[6]给出了线性方程组解的判断条件；文献[7-10]给出了一些关于矩阵分析和解线性方程组问题分析中的简单的概念和应用. 本文主要研究矩阵和线性方程组的一些基本概念和其应用，通过矩阵来解线性方程组，并结合具体实际问题说明矩阵在解线性方程组中的应用，为今后的学习与研究提供有利工具.

二、线性方程组的有关概念

1. 线性方程组的定义

定义 1[1] 一般线性方程组的定义是形如

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s

n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 的方程组，这里的n x x x ，，

， 21代表n 个未知量，s 则表示为线性方程的未知个数. 如果我们知道一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就可以确定了，线性方程组就可以用下面的矩阵

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 2

12222

21111211

进行表示. 令

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 2122221

11211， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b b 21， 可知线性方程组的系数矩阵A ，未知数矩阵为X ，常数项矩阵为b ，则可得到b AX =. 若常数项矩阵为零矩阵即0=AX ，那么我们称之为齐次线性方程组. 反之，若常数项矩阵b 为非零矩阵，则称为非齐次线性方程组.

2. 线性方程组的一般解法

对于线性方程组的求解，除了可以进行特殊变换而获得特定形式的特殊型之外，还有两种线性方程组的一般解法：

（1）消元法[2]

所谓消元法，就是在方程中利用矩阵的初等变换，一步步地消去未知量的个数，最终得到一个具有阶梯性的方程组，如果把最终初等变换得到的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)全部去掉，观察其余的阶梯形方程看是否有零等于一个非零的常数的，如果方程组有，这个常数的方程组无解，如果没有，则有解. 在方程组有解的情况下，如果一个阶梯形方程组中一个方程的未知量的个数r 和方程中未知量的方程个数相等， 则这个方程组有唯一的解，如果一个阶梯形方程组中一个方程的未知量个数r 比方程中未知量的方程个数小，那么这个方程组可以有无穷多个解. 消元法也是我们在中学时解线性方程组是常用的一种方法，但当未知量有n 个的时候，一个一个的消元工作量也会很大.

（2）克拉默法则[2]

克拉默法则是建立在逆矩阵的使用基础上，对于线性方程组进行的一般解法，但要注意的是，使用克拉默法则求解线性方程组是有条件的：一是方程组必须是线性的，二是待求解的线性方程组中的方程的个数和未知量的个数相等，三是线性方程组中的未知系数矩阵行列式D 不等于0，满足以上三种情况则可使用克拉默法则.

定义 2 给出克拉默法则的一般描述：如果线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111

的系数矩阵