一元二次方程解法讲义
一元二次方程全章复习讲义
一元二次方程 内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠.2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题. 知识点一：一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
知识点二：一元二次方程的解【知识要点】1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、 在20(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m x x 的两个根，则m 的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
初中数学必备 一元二次方程的解法—知识讲解
x2
−
7 10
x
+
49 400
−
49 400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
49
400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
+
49 40
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
111 40
．
∵
−10
x
−
7 20
2
0
，∴
−10
x
+
7 4
2
=
25 16
，
直接开平方，得 x + 7 = 5 ． 44
∴
x1
=
−
1 2
，
x2
=
−3
．
【总结升华】方程(1)的二次项系数是 1，方程(2)的二次项系数不是 1，必须先化成 1，才能配方，这是
关键
的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为
(mx + n)2 = P(P 0) 的形式，然后用直接开平方法求解．同时要注意一次项的符号决定了左
【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程
1. 用配方法解方程： (1) x2 − 4x −1 = 0 ；
【答案与解析】 (1)移项，得 x2 − 4x = 1 ．
(2) 2x2 + 7 x + 3 = 0 ．
含参一元二次方程的解法-讲义
学科：数学专题：含参一元二次方程的解法重难点易错点解析当系数中含有字母时，注意有实解的判断。
题一题面：(x －m )2=n ．(n 为正数)金题精讲题一题面：解关于x 的一元二次方程1. x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．2. x 2－2mx ＋m 2－n 2=0．3. .04222=-+-b a ax x 4. abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)解含参的一元二次方程：配方法、因式分解满分冲刺题一题面：解关于x 的一元二次方程1. ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-022. ()()()01222≠--=-b a x b a x 3. ()()()0222222≠+-=-++b a b a bx a b ax解含参的一元二次方程：因式分解题二题面：解关于x 的方程kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．解含参的方程，分类讨论。
题三题面：已知关于x 的方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0，其中a ，b 为实数．(1)若此方程有一个根为2a (a ＜0)，判断a 与b 的大小关系并说明理由；(2)若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．一元二次方程的解，判别式。
讲义参考答案重难点易错点解析题一 答案：.,21m n x m n x +-=+=金题精讲题一答案：1. .,2221n m m x n m m x +--=++-= 2. x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n .3. .2,221b a x b a x +=-= 4. ⋅==ba x ab x 21, 满分冲刺题一答案：(1)121,c a x x a b -==- (2) 12,1a ab x a x b+==- (3)当b=0时，120x x ==；当b ≠0时，无实根。
题二答案：k ＝0时，x ＝1；k ≠0时，.1,121==x kx 题三答案：解：(1)∵方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0有一个根为2a ，∴4a 2－4a 2－a ＋2b ＝0． 整理，得2a b =． ∵0<a ，∴2a a <，即b a < (2)△＝4a 2－4(－a ＋2b )＝4a 2＋4a －8b ．∵对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴对于任何实数a ，都有4a 2＋4a －8b ≥0，即a 2＋a －2b ≥0．∴对于任何实数a ，都有⋅+≤22a a b∵,81)21(21222-+=+a a a 当21-=a 时，22a a +有最小值81-． ∴b 的取值范围是81-≤b。
一元二次方程解法讲义(全4讲)
一元二次方程解法讲义（全四讲）第一讲 直接开平一、学习目标了解形如()()20x h k k +=≥的一元二次方程的解法——直接开平方法；能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解．二、知识回顾1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．用式子表示：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根．记作x=如：9的平方根是3±；425的平方根是25±．平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根．2．x 2=4，则x=±2.想一想：求x 2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？三、新知讲解四、典例探究1．用直接开平方法求一元二次方程的解【例1】解方程：（1）2x 2﹣8=0；（2）（2x ﹣3）2=25．分析：（1）先变形得到x 2=4，然后利用直接开平方法求解；（2）首先两边直接开平方可得2x ﹣3=±5，再解一元一次方程即可．解答：解：（1）x 2=4，两边直接开平方，得x1=2，x2=﹣2．（2）两边直接开平方，得2x﹣3=±5，则2x﹣3=5，2x﹣3=﹣5，所以x=4，x=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．总结：运用直接开平方法解一元二次方程，首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式，右边化为非负数的形式，然后直接用开平方的方法求解．练1．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：（2x+3）2﹣25=0分析：先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．解答：解：移项得，（2x+3）2=25，开方得，2x+3=±5，解得x1=1，x2=﹣4．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．练2．（2014秋•昆明校级期中）解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）2．分析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：两边开方得：3（x+1）=±2（x﹣2），即3（x+1）=2（x﹣2），3（x+1）=﹣2（x﹣2），解得：x1=﹣7，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．2．用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围【例2】（2015春•南长区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0分析：根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．解答：解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∵一元二次方程x2﹣k=0有实数根，∴k≥0，故选：C．．点评：此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a （a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”总结：先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围.练3．（2015春•利辛县校级月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（）A．n=0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号分析：首先求出x2的值为﹣，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．解答：解：mx2+n=0，x2=﹣，∵x2≥0，∴﹣≥0，∴≤0，∵n≠0，∴mn异号，故选：D．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．练4．（2015•岳阳模拟）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是．解：∵关于x的方程mx2=3有两个实数根，∴m＞0．故答案为：m＞0．五、课后小测一、选择题1．（2015•石城县模拟）方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3 B．x=9 C．x=±3 D．x=±92．（2015•河北模拟）已知一元二次方程x2﹣4=0，则该方程的解为（）A．x1=x2=2 B．x1=x2=﹣2 C．x1=﹣4，x2=4 D．x1=﹣2，x2=23．（2015•杭州模拟）关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，则方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）A．x1=﹣2，x2=3 B．x1=﹣7，x2=﹣2 C．x1=3，x2=﹣2 D．x1=3，x2=84．（2015•江岸区校级模拟）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（）A．3 B．﹣3 C．0 D．15．（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于36．（2014春•淮阴区校级月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，7．（2012秋•内江期末）已知a2﹣2ab+b2=6，则a﹣b的值是（）A． B．或 C．3 D．8．方程x2=0的实数根有（）A．1个 B．2个 C．无数个 D．0个9．方程5y2﹣3=y2+3的实数根的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题10．（2015•泉州）方程x2=2的解是．11．（2014•怀化模拟）方程8x2﹣72=0解为．三、解答题12．（2014•祁阳县校级模拟）解方程：（x ﹣2）2﹣16=0．13．（2014秋•青海校级月考）解方程：．14．已知一元二次方程x 2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．（1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程．第二讲 配方法一、 学习目标1.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤； 2．学会利用配方法解一元二次方程. 二、知识回顾1．形如2()x m n +=(n ≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.2．如果方程能化成x 2＝p 或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得xmx＋n三、新知讲解 1．配方法的依据配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±及直接开平方法．2．配方法的步骤（1）化—— 化二次项系数为1如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1. （2）移——移项通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 ，右边为 常数项 . （3）配——配方1．形如2()x m n +=(n ≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，根据完全平方公式把原方程变为2()x m n +=(n ≥0)的形式．（4）解——用直接开平方法解方程. 四、典例探究1．配方法解一元二次方程 【例1】（2015•科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99=0化为（x ﹣1）2=100B ．x 2+8x+9=0化为（x+4）2=25 C ．2t 2﹣7t ﹣4=0化为（t﹣）2=D ．3x 2﹣4x ﹣2=0化为（x ﹣）2=【解析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．解：A 、∵x 2﹣2x ﹣99=0，∴x 2﹣2x=99，∴x 2﹣2x+1=99+1，∴（x ﹣1）2=100，故A 选项正确．B 、∵x 2+8x+9=0，∴x 2+8x=﹣9，∴x 2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B 选项错误． C 、∵2t 2﹣7t ﹣4=0，∴2t 2﹣7t=4，∴t 2﹣t=2，∴t 2﹣t+=2+，∴（t ﹣）2=，故C 选项正确． D 、∵3x 2﹣4x ﹣2=0，∴3x 2﹣4x=2，∴x 2﹣x=，∴x 2﹣x+=+，∴（x ﹣）2=．故D 选项正确．故选：B ．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．练1用配方法解方程： x 2﹣2x ﹣24=0；（2）3x 2+8x-3=0；（3）x （x+2）=120.【解析】（1）移项，得x 2﹣2x=24，配方，得：x 2﹣2x+1=24+1，即：（x ﹣1）2=25， 开方，得：x ﹣1=±5， ∴x 1=6，x 2=﹣4．（2）两边除以3，得： 28103x x +-=, 移项，得：2813x x +=， 配方，得：222844()1()333x x ++=+，即：2245(x )()33+=，开方，得：4533x +=± ∴121,33x x ==- （3）整理，得：22120x x +=， 配方，得：2211201x x ++=+，即：2(1)121x +=，开方，得：111x +=±∴1210,12x x ==-点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．2．用配方法求多项式的最值【例2】（2015春•龙泉驿区校级月考）当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值． 【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0，∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4． ∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y ，4x 把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练2（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【解析】将﹣8x 2+12x ﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a 2≥0这一性质即可证得．解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣， ∵（x ﹣）2≥0， ∴﹣8（x ﹣）2≤0， ∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0． 点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．练3（2014秋•崇州市期末）已知a 、b 、c 为△ABC 三边的长．（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）∵a、b、c为△ABC三边的长，∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．五、课后小测一、选择题1．（2015•延庆县一模）若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（）A．（x+1）2+4 B．（x﹣1）2+2C．（x﹣1）2+4 D．（x+1）2+22．（2015•东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（）A．（x﹣4）2=17 B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17 D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17二、填空题3．（2015春•盐城校级期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a= ．4．（2014秋•营山县校级月考）当x= 时，代数式3x2﹣6x的值等于12．三、解答题5．（2015•东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．6．（2013秋•安龙县校级期末）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？7．（2014秋•蓟县期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：（1）小华的求解过程正确吗？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．8．（2014秋•安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．9．（2014春•乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．10．（2014秋•江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时 a=﹣1．①当x= 时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．②当x= 时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？第三讲公式法一、学习目标了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；理解一元二次方程求根公式的推导过程；掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．二、知识回顾1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边； （2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．2．怎样用配方法解形如一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一元二次方程？ 解：移项，得2,ax bx c +=-二次项系数化为1，得2,b c x x a a +=-配方，得222()(),22b b c bx x a a a a++=-+ 即：222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0,a ≠所以当240b ac ->时，2b x a-=；当240;2b b ac a -==-12时，x =x240b ac -=当时，原方程无解.三、新知讲解一元二次方程根的判别式24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即24b ac ∆=-．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）240b ac ∆=->⇔方程有两个不相等的实数根； （2）240b ac ∆=-=⇔方程有两个相等的实数根； （3）240b ac ∆=-<⇔方程没有实数根． 公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当240b ac -≥时，它的两个根分别是1x =，2x =，这里，()2402b x b ac a-±=-≥叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)；确定a ，b ，c 的值；求出24b ac -的值，并判断方程根的情况：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； 当240b ac -<时，方程没有实数根．当240b ac -≥时，将a ，b ，c 和24b ac -的值代入公式2b x a-=（注意符号）．四、典例探究1．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况【例1】（2015•重庆）已知一元二次方程2x 2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 两个根都是自然数 D ．无实数根分析：判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2﹣4ac 的值的符号就可以了． 解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b 2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．总结：求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a ，b ，c 的值.根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．练1．（2015•铜仁市）已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5=0，下列说法不正确的是（ ） A ．方程有两个相等的实数根 B ．方程有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 分析：先求出△的值，再判断出其符号即可．解答：解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B ．点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．练2．（2015•泰州）已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m 的值． 分析：（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断； （2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．解答：解：（1）∵a=1，b=2m ，c=m 2﹣1，∵△=b 2﹣4ac=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．2．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围【例2】（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4分析：根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．解答：解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，∴△=42﹣4×4c=0，∴c=1，故选B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．总结：已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：先计算根的判别式；再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．练3．（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x﹣2=0；（2）y2﹣3y+1=0；（3）x2+3=2x．分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；（3）求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．解答：解：（1）这里a=1，b=2，c=﹣2，∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴x==﹣1，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；（2）这里a=1，b=﹣3，c=1．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，y=，∴y1=，y2=；（3）移项，得x2﹣2x+3=0，这里a=1，b=﹣2，c=3．∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．∴原方程没有实数根．点评：本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．总结：公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；（2）必须保证b2-4ac≥0．练4．（2014•锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．解答：解：x（x﹣2）=3x+1，整理得：x2﹣5x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，x=，x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？分析：根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．解答：解：根据题意得：3x2+4x﹣8=2x2﹣1，即x2+4x﹣7=0，a=1，b=4，c=﹣7，△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，则x==﹣2．点评：本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：判别式△≥0．五、课后小测一、选择题1．（2015•云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=02．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或104．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．（2013•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0二、填空题6．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= ，x1= ，x2= ．三、解答题7．（2014秋•通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．8．（2014秋•金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．9．（2013春•石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．10．（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．13．（2015•南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．（2）小华补充说，其中一个根与k无关．请你说说其中的道理．第四讲因式分解法一、学习目标1．会用因式分解法解一元二次方程；2．会用换元法解一元二次方程；3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾1.分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)（2）公式法：22()()-2(-)++=+222a ab b a b+=，a b a b a ba ab b a b-=+-，2222()（3）十字相乘法：2()()()+++=++x a b x ab x a x b三、新知讲解1．因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2．因式分解法解一元二次方程的步骤：①把方程的右边化为0；②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3．因式分解法的条件、理论依据因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.四、典例探究1．用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解方程：（1）2(2x －1)2=(1－2x )；（2）4(y ＋2)2=(y －3)2. 【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x －1)2=(1－2x )移项，得2(2x －1)2－(1－2x )=0，即：2(2x －1)2+(2x －1)=0，因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0， 整理，得(2x-1)(4x-1)=0， 解得x 1=12，x 2=14；（2）4(y ＋2)2=(y －3)2移项，得4(y ＋2)2-(y －3)2=0因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0 整理，得(3y+1)(y+7)=0 解得y 1=－13，y 2=－7.总结：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论. 因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）把方程的右边化为0；（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.练1（2014秋•赵县期末）用因式分解法解方程：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2解：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2，（x ﹣3）2﹣（5﹣2x ）2=0， 因式分解得：（x ﹣3+5﹣2x ）（x ﹣3﹣5+2x ）=0， 整理得：（2﹣x ）（3x ﹣8）=0， 解得：x 1=2，x 2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．2．用换元法解一元二次方程【例2】（2014•山西校级模拟）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4=0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，即x ﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x ﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x 1=2，x 2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．【解析】先设2x+5=y ，则方程即可变形为y 2﹣4y+3=0，解方程即可求得y （即2x+5）的值，进一步可求出x 的值．解：设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣4y+3=0， 所以（y ﹣1）（y ﹣3）=0 解得y 1=1，y 2=3．当y=1时，即2x+5=1， 解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3， 解得x=﹣1，所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．点评：本题运用换元法解一元二次方程．总结：换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．练2（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．【解析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x（即a+b）的值．解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得x1=﹣，x2=1．则a+b 的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．练3解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得x=当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.综上，x=3．灵活选用方法解一元二次方程【例3】（2014秋•漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．【解析】（1）利用配方法得到（x ﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.练4（2015春•无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解．解：（1）因式分解，得 （x ﹣1）（x ﹣6）=0，解得x 1=6，x 2=﹣1； （2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x 1=，x 2=；（3）方程化简得x 2+2x ﹣3=0， 因式分解，得（x+3）（x ﹣1）=0， 解得x 1=1，x 2=﹣3；（4）a=1，b=﹣2，c=1，x 1=1+，x 2=﹣1+．点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键．五、课后小测 一、选择题1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（ ）A. x 1=-16，x 2=8B. x 1=16，x 2=-8C. x 1=16，x 2=8D. x 1=-16，x 2=-8 2. 方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（ ） A.123,35x x == B.35x = C.123,35x x =-=- D.123,35x x ==-3.（2015•滕州市校级模拟）方程x 2﹣2x=3可以化简为（ ）A ．（x ﹣3）（x+1）=0B ．（x+3）（x ﹣1）=0C ．（x ﹣1）2=2D ．（x ﹣1）2+4=0 二、填空题4．（2015•丽水）解一元二次方程x 2+2x ﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ． 5．（2014•杭州模拟）方程x （x+1）=2（x+1）的解是 ．6．（2013秋•苏州期末）已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+2）=6，则x 2+y 2的值为 ． 三、解答题 7．（2014秋•静宁县期末）解下列方程：（1）x 2﹣2x+1=0（2）x 2﹣2x ﹣2=0（3）（x ﹣3）2+2（x ﹣3）=0． 8．（2014秋•沧浪区校级期末）解下列方程：（1）x 2﹣4x ﹣3=0（2）（x ﹣2）2=3（x ﹣2） （3）2（﹣x ）2﹣（x ﹣）﹣1=0．9．（2014秋•宛城区校级期中）为了解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4=0，我们可以将x 2﹣1看作一个整体，然后设x 2﹣1=y ，则（x 2﹣1）2=y 2，那么原方程可化为y 2﹣5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2﹣1=1，x 2=2，x=±．。
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法探求点1 用因式分解法解一元二次方程情形激疑直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢?知识解说(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。
(2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤：①移项,使方程的左边为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。
留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。
如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321=-=x x 是错误的。
典例剖析例1 用因式分解法解方程:(1)4x2=11x；(2)(x-2)2=2x-4.解析(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。
答案 (1)移项,得4x2-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,(x-2)2-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的普通步骤:一移(方程的左边为0);二分(将方程左边停止因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义1.解方程2(2)9x -=. 2（3x ﹣1）2=8．例题3：配方法1.已知方程260xx q +=-可以配方成27x p =（-）的形式，那么262x x q +=-可以配方成下列的（ ） A. 25x p =（-） B. 29x p =（-） C. 229x p +=（-） D. 225x p +=（-） 2.用配方法解方程：2420x x ++=练习：1． 用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0． 2x 2﹣3x+1=0．x 2﹣6x ﹣7=0．例题4.公式法1.一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断2.用公式法解方程：03822=+-x x.练习：1．用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．练习：1．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？例题2：利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？练习:1．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价﹣成本价）例题3：面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米．求人行道的宽。
初一数学一元二次方程全章精品讲义
当 <0,方程无实数解。
典例分析：
题型1：根据判别式判断根的情况
例1：方程 的根的情况（）
A、该方程有两个相等的实数根B、该方程有两个不相等的实数根
C、该方程没有实数根D、无法确定
例2：不解方程判断下列方程根的情况
（1） （2） （3）
（4） （5）
题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围
d=====(￣▽￣*)b_____________________________________
例2：已知 是完全平方式，则 的值为______。
例3：若 是完全平方公式，则 的值为_______。
例4：根据完全平方式填空
（1） （2）
（3） (4)
题型2：用配方法解一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
例3：已知一元二次方程 的两个根分别为 ，则二次三项式 可分解为_________________。
例4：在实数范围为定义一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规矩，方程 的解为______________。
例5：若关于 的方程 与 有相同的实数根，则 的值为_______。
例6：已知 为非负数，方程
（2）如果方程有两个相等的实数根，是判断△ABC的形状，并说明理由。
（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
例3：已知 的两边AB、AD的长是关于x的方程 的两个实数根。
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？
6、求证：关于 的一元二次方程 恒有两个实数根．
7、已知关于 的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求 的值及该方程的另一个根
(完整word版)一元二次方程讲义
第23章 一元二次方程1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：c b a c bx ax ,,(02=++是已知数，)0≠a 。
其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数,常数项。
（1)下列方程中,是关于x 的一元二次方程的是( ）A x 1＋x 2＝1B 212+x －21-x ＝1C x 2－x ＋1＝0D 2x 3－5xy －4y 2＝0(2）将方程x 2+3=x +3x 化成一般形式是____________，二次项系数是____________，一次项系数是____________，常数项是____________。
(3）关于x 的方程m 2x －3x=2x －mx+2是一元二次方程，m 应满足什么条件？（4）已知关于x 的一元一次方程(m －2)2x +3x+2m －4=0，有一个解是0，求m 的值.（1）下列方程 ①－x 2+2=0 ②2x 2－3x =0 ③ －3x 2=0 ④ －3x 2=0 ⑤ x 2+x1=0 ⑥232+x ＝5x ⑦ 2x 2－3=（x －3）(x 2+1）中是一元二次方程的有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个(2）方程（m+1）2x －（2m+2）x+3m －1=0有一个根为0,则m 的值为（ ） A 32 B 31 C －32 D －31（1）若()5112=-+m x m 是一元二次方程,则m= 。
（2）一元二次方程()()0112=-+++c x b x a 化成一般形式为01342=++x x ，试求（2a+b ）·3c 的值.2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法（1)方程2x =1 的实数根的个数是 。
（2)用直接开平方法解下列方程① 92x －25=0 ② ()422=+x若方程()0212=--n m x ，试说明方程根的情况. （2）因式分解法(1)方程2x －1=0的根是 。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
解一元二次方程的方法讲义
解一元二次方程的方法讲义嘿，咱今儿个就来讲讲解一元二次方程的那些事儿！一元二次方程，就像是数学世界里的一个小怪兽，咱得找到合适的办法去打败它。
先来说说直接开平方法吧。
这就好比是打开一扇紧闭的门，找到那把合适的钥匙，“咔嚓”一下就打开啦。
如果方程能化成那种完全平方的形式，嘿，那用直接开平方法就轻松搞定。
然后呢，是配方法。
这有点像给小怪兽梳妆打扮一番，把它变成我们熟悉的模样。
通过巧妙地添加一些数字，让方程变得更容易对付。
再讲讲公式法，这可是个厉害的法宝啊！就像是有了一个万能公式，不管遇到啥样的一元二次方程，都能往里一套，答案就出来啦。
那个求根公式，可得记牢咯，就像记住自己的名字一样重要。
还有因式分解法呢！这就像是把一个大东西拆分成几个小块，让问题变得简单明了。
找到方程中的公因式，把它提取出来，或者通过一些巧妙的变形，让方程变成两个式子相乘等于零的形式，那解不就出来了嘛。
你想想看，解一元二次方程是不是挺有趣的呀？就像是一场和小怪兽的战斗，我们拿着各种武器，去攻克它。
有时候可能会遇到一些难题，哎呀，怎么这个方程这么难解呀！但别着急，慢慢来，多试试几种方法，说不定就找到突破口啦。
比如说，给你一个方程 x²+4x+3=0，那咱就可以用因式分解法呀，把它变成(x+1)(x+3)=0，这不就轻松找到解啦，x=-1 或者 x=-3。
是不是挺神奇的？再比如一个方程 4x²-12x+9=0，那咱可以用配方法呀，把它变成(2x-3)²=0，那解不就是 x=3/2 嘛。
在解一元二次方程的过程中，咱可得细心呀，一个小数字算错了，那可就前功尽弃啦。
就像走路一样，一步一个脚印，踏踏实实地走。
总之呢，解一元二次方程有这么多方法，咱得根据具体情况选择合适的那个。
别嫌麻烦，多试试，多练练，等你熟练了，就会发现，这也没那么难嘛。
加油哦，相信你一定能把这些小怪兽都打败的！。
讲义精品一元二次方程解法讲义精品1
一元二次方程讲义测试题目：一、选择题1．解方程：3x2+27=0得（）.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（）.(A),x2=-1 (B) ,(C)x1=x2= (D) ,x2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是( ).(A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.（A）（B）（C）（D）都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程12．（x+2）（x-2）=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2=0. +x-1=0.+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+ 1)+2=0.=0.+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．（b-c）x2-（c-a）x+（a-b）=0（a≠c）22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法23．解方程：（1）（2）24．解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=0。
一元二次不等式及其解法讲义
一元二次不等式及其解法讲义一、知识梳理1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2 (x 1<x 2) 有两相等实根x1＝x 2＝－b2a没有实数根 一元二次不等式ax 2＋bx＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} }2{a bx x -≠ {x |x ∈R }一元二次不等式ax 2＋bx＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1< x <x 2} ∅ ∅2.(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法不等式解集 a <b a ＝b a >b(x －a )·(x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a } {x |x <b 或x >a }(x －a )·(x －b )<0 {x |a <x <b } ∅ {x |b <x <a }注意：(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)，(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.() (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )题组二：教材改编2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝}014{≤+-x x x，那么集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．[－2,4)B ．(－1,3]C ．[－2，－1]D ．[－1,3] 3．]y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．题组三：易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是)31,21(-，则a ＋b ＝________. 6．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________．三、典型例题题型一：一元二次不等式的求解命题点1：不含参的不等式典例 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．命题点2：含参不等式典例 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．思维升华：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．跟踪训练 解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )．题型二：一元二次不等式恒成立问题命题点1：在R 上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)命题点2：在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．命题点3：给定参数范围的恒成立问题典例 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．思维升华：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．题型三：一元二次不等式的应用典例 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·)315(xx -+元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．思维升华：求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．注意：转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 四、反馈练习1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}2．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于( )A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]7．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________．8．若0<a <1，则不等式(a －x ))1(a x ->0的解集是____________．9．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为}321{>-<x x x 或，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是__________．11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 12．已知不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集为}43{->x x ，求不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0的解集．13．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是____________．14．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0， 若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A．2 B．3C．5 D．816．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为__________．。
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第6讲 判别式和根与系数的关系【学习目标】1、 使学生会运用根与系数关系解题 2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆，（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=；（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，abx x 221-==； （3）当042<-ac b 时，方程无实数解。
2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式a acb b x x 24221-±-==，有ab x x -=+21，a cx x =⋅213、常见的形式：（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ （3）21221214)(x x x x x x -+±=-【典型例题】例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ， 求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程（2）01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解【经典练习】姓名： 成绩：一、选择题1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、 没有实数根D 、 与k 的取值有关2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ).A 、2±B 、2C 、 2-D 、03、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-B 、-2C 、91D 、92-4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±15、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫⎝⎛22，则方程的两根之比为（ ）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶3 二、填空题1、已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x =_____2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=?4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；51为根构造一个一元二次方程 三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。
一元二次方程讲义——绝对经典实用
一元二次方程基础知识1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。
2）计算式子b ac 24-的值。
3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理2一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑵ 2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。
九年级数学讲义一元二次方程定义和基本解法
九年级数学讲义一元二次方程定义和基本解法一、基础知识：1、一元一次方程知识回顾：（1）什么是一元一次方程？（2）如何解一元一次方程？2、一元二次方程的一般形式：（其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a≠0）02=++c bx ax 3、思考：如何解一元二次方程？二、例题解析与跟进训练：例1 判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程？（1）； （ ） 0232=-+x x（2）； （ ）1)1(2-=-x（3）； （ ） 022=-+ax x**（4）；（ ）是常数）a x ax (0232=-+ **（5）； （） 0122=+-+x x x 归纳总结：①“变元”的个数是一个；参数不影响；②方程是整式方程； ③含有未知数的最高次项的次数是二次；④与有没有实根无关；【链接中考】会判断是否为一元二次方程；含有参数问题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A. B.ax 2+bx+c=0 C.（x﹣1）（x+2）=1 D.3x 2﹣2xy﹣5y 2=00122=+x x 2．方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A.m=±2B.m=2C.m=﹣2D.m≠±23．方程5x 2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A.5和4B.5和﹣4C.5和﹣1D.5和14．将方程3x （x﹣1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）A.4x 2﹣4x+5=0B.3x 2﹣8x﹣10=0C.4x 2+4x﹣5=0D.3x 2+8x+10=05．若n （n≠0）是关于x 的方程x 2+mx+3n=0的一个根，则m+n 的值是（ ）A.﹣3B.﹣1C.1D.3例2 解一元二次方程的方法方法一：直接开方法 适用类型： （a 为常数）a x =2练习解下列方程，并归纳出解此类型方程的一般方法：（1）； （2）； （3）；12=x 1)1(2=-x 1)1)(1(=+-x x （4）；（5）； **（6）；02=x 12-=x 04322=+-x x解法归纳：类型：a x =2（1）当，两个不等实数根；a x a x a =-=>21,0时，（2）当时，，两个相等实数根；0=a 021==x x（3）当时，方程没有实数根；0<a （4）不是上面类型的，可以考虑用配方的方式，化为，再解答；a x =2【链接中考】直接开平方法1．一元二次方程x 2﹣2x+1=0的根为 ．2．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x﹣1=0的两根是 ．3．解一元二次方程：（x﹣1）2=4．4．解方程：（x﹣3）2﹣9=0． 5．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a ⊕b=a 2﹣b 2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解．6．（2x+3）2=x 2﹣6x+9．方法二： 配方法 适用类型： )0(02≠=++a c bx ax 练习解下列方程，并归纳出解此类型方程的一般方法：（1）；（讲解） （2）；（讲解）0122=-+x x 03622=+-x x （3）； （4）；2)3)(1(=+-x x 053212=+-x x解法归纳：对于，可以通过配方的方式，化为类型，)0(02≠=++a c bx ax a x =2 c a b a b x a -=+42(22⇒22244)2(a ac b a b x -=+ 然后针对方程右边的正负情况，进行具体解答。
人教版初三数学上册 一元二次方程的解法 讲义
一元二次方程的解法一元二次方程的解法：1.直接开平方法、2.配方法、3.公式法、4.因式分解法一、直接开平方法：利用“开平方根”得出“±”两个数从而解出方程281x = 2121x = 2144x =2375x = 22274x += 238139x -=22(1)6x -= 23(2)250x ++= 211(32)10121x -+=方程492=x 与a x =23的解相同，则a = 。
二、配方法：配成完全平方公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2或(a-b)2=a 2-2ab+b 2关键两步！！！！！！1. 二次项系数化为12. 加上一次项系数一半的平方1、2x 2-3x+1=0变为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对2、以配方法解3x 2＋4x ＋1＝0时，我们可得下列哪一个方程式？( )A 、(x ＋2)2＝3B 、(3x ＋23)2＝ 54C 、(x ＋23)2＝13D 、(x ＋23)2＝193、2x 2+4x+10=12中，可以配方得到( )A 、2(x+1) 2=3B 、2(x+2) 2=3C 、(2x+1) 2=3D 、(2x+1)2=54、用配方法填空++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2)25x x -+ +=x ( 2)；-2x 3(x += 2)212x x -+ +=x ( 2)；-2x 9(x += 2)232x x -+ +=x ( 2)；-2x 11(x += 2)5、用配方法解下列方程：x 2+6x-27=0 2x 2+6x-8=0 2x 2+5x-8=0三、公式法：先化为一般式，再套公式2b x a -±=，其中24b ac∆=-1、用公式法解下列方程：3x 2+4x+1=2 2x 2+3x+1=34x 2+x+1=52、若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数，则x 的值是 。
一元二次方程(讲义)
是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
ax2+bx+c=0 (a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。
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龙文教育学科教师辅导讲义 课 题一元二次方程的解法教学目标1. 理解一元二次方程及其有关概念2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
例5、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。
6、方程()()02=-+-+-ac x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -7、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
考点三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法类型一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如()m x m m x ±=≥=其解为：,02※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 典型例题：例1、解方程：();08212=-x （2）7)132=+x （ ()();09132=--x （4）()()2221619+=-x x （5）11162492=+-x x 例2、解关于x 的方程：02=-b ax3. 下列方程无解的是（ ）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x类型二、配方法基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边 2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式： ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
变式：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
变式1：已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 . 变式2：如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
例4、分解因式：31242++x x类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x ※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x x D 52=x例2. （1）221694b a -(平方差) (2) y x y x y x 3234268-+-(提公因式)（3）22)(4)(n m n m --+（平方差) （4）962++a a (完全平方式)(5）223612y x xy ++- (完全平方式) （6）4)(5)(2++++b a b a （十字相乘法）（7）22127q pq p +-（十字相乘法） （8）32)2(2)2(5m n n m n ---(提公因式)例3、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。
例4、方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x 例5、解方程： ()04321322=++++x x例6、已知023222=--y xy x ,则yx y x -+的值为 。
变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 。
例7、解下列方程(1) (2x – 3)2 = (3x – 2)2 (2) 4x+145 -x-52 = 23x+2 (4) 5m 2 – 17m + 14=0 (5) (x 2 +x+1)(x 2 +x + 12)=42 (6) 2x 2 + (3a-b)x –2a 2+3ab- b 2 =0例8、解关于x 的方程x 2+x – 2+k(x 2+2x)=0 （对k 要讨论）类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式,就可得到方程的根。
⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a ac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且 典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。
例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
典型例题：例1、已知0232=+-x x ，求代数式()11123-+--x x x 的值。
例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
例3、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。
⑵主要内容：ac x x a b x x =-=+2121, ⑶应用：整体代入求值。
典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ）A.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握b a +、b a -、ab 、22b a +之间的运算关系.例2、解方程组：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+.2,10)2(;24,10)1(22y x y x xy y x 说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。