一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课 题

一元二次方程的解法

教学目标

1. 理解一元二次方程及其有关概念

2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解

重点、难点

1. 一元二次方程的判定，求根公式

2. 一元二次方程的解法与应用

考点及考试要求

1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式

2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去

3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用

教学内容

考点一、概念

(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．

就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax

注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式

(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）

(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题：

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ()()12132+=+x x

B 02112=-+x x

C 02=++c bx ax

D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

例5、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a

变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则a

b b a +的值为 。 6、方程()()02=-+-+-a

c x c b x b a 的一个根为（ ）

A 1-

B 1

C c b -

D a -

7、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

考点三、方程解法

（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

类型一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如()m x m m x ±=≥=其解为：,02

※对于()m a x =+2，()()2

2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 典型例题：

例1、解方程：();08212=-x （2）7)132=+x （ ()();09132

=--x （4）()()2

221619+=-x x （5）11162492=+-x x 例2、解关于x 的方程：02=-b ax

3. 下列方程无解的是（ ）

A.12322-=+x x

B.()022

=-x C.x x -=+132 D.092=+x

类型二、配方法

基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边 2.将二次项系数化为1

3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方

4.方程左边成为一个完全平方式： ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：

例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

变式：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。 例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

变式1：已知04112

2=---+x x x x ，则=+x x 1 . 变式2：如果4122411-++-=--+

+b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。 例4、分解因式：31242++x x

类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如()()2

2n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x ※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法

针对练习：

例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A 25=x

B 3=x

C 3,2

521==x x D 52=x