几何概率模型

袋内装有3个红球，2个黑球，从中任取两 个，计算
1) 取得的球均为红球（A）的概率.
2) 取得一个红球一个黑球（B）的概率.
Ω＝? A=? B=? P(A)=? P(B)=?
Ω＝{ R1R2，R1R3, R2R3, B1B2

R1B1，R2B1，R3B1，

R1B2，R2B2，R3B2}
因为抽取时这些球是 10个球中的任一个被取 完全平等的，我们没有理 出的机会都是1/10
由认为10个球中的某一个
会比另一个更容易取得 .
也就是说，10个球中的任
一个被取出的机会是相等 的，均为1/10.
85 1946 7 2 3 10
古典概型
定义在古典型试验所对应的样本空间上 的概率模型为古典概型
(2) .P(Ei ) P(E j ), i, j 1,2,, n
则称为古典概率空间.
例
投掷一枚均匀的硬币一次. Ω＝?
投掷一颗均匀的骰子. Ω＝? Ω={1,2,3,4,5,6} 事件A表示投掷得到偶数点，则 A=? P(A)=? A={2,4,6} P(A)=3/6=1/2
例
(超几何概率)
以上第二个小题 和 教材中 例3 是超几何概 率的计算.
此略.
概率的性质
古典概率空间
设（Ω，F，P）为一概率空间，
为基本事件E，i {i}, i 1, 2, , n
若满足:
(1) {1,2 , ,n}
(2) .P(Ei ) P(E j ), i, j 1,2,, n
μ(Ω) μ(A)
例
在一维直线[0，10]区域上投掷一质点，质点随机 地落入其中，且落在[0,10]上每一点的可能性相同， 求质点落在[3，5]区域上的概率
解：由题意，所有样本点充斥的区间为[0，10]， 所以Ω=[0，10]，令A={点落在[3，5]}， 因此事件A的概率P(A)自然定义为“[3, 5]区间的长 度”与“[0, 10]区间的长度”的比值。 即
第二讲 事件的概率
古典概型:等可能事件的概率模型 几何概型
统计概率：
概率的频率定义：利用频率稳定性
公理结构
古典概型
例 抽象概括 更多例
例
从30名学生中任取一名人参加某项活动， 设学生中有男生10名，女生20名。求派遣 一名女生去参加活动的可能性有多大？
用样本空间Ω表示任取一名学生这一试验的 所有可能的结果：
实际上，许多随机试验的结果并不概型 结果不等可能 ？？
几何概型
早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑 有限个等可能样本点的古典方法是不够的.
把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入 了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方 法——几何方法.
=A中样本点的个数/ Ω中样本点的个数 =#A/# Ω =P({F11})+ P({F12})+…+P({F30})=20/30
古典概型
Classical Probability
“概型”是指某种概率模型。“古典概型” 是一种最简单、最直观的概率模型.
概率论的发展过程中最早出现的研究对象.
Ω＝｛M1,M2,…,M10,F11,F12,…,F30｝ 事件A表示取得女生，即 A＝｛F11,F12,…,F30｝ P(A)＝2/3＝20/30
分析
各名学生被选取的机会均等的，即 P({M1})= P({M2}) =… = P({M10}) =
P({F11})=P({F12})=…=P({F30})=1/30 A中样本点的个数＝20 Ω中样本点的个数＝30 P(A)=2/3=20/30
例
在一个6 万平方公里的海域里，有表面积约 达2000 平方公里的大陆架贮藏着石油。假 设在这片海域里随机地选定一点钻探，问能 找出有油的概率有多大?
几何方法的要点
1、设样本空间Ω是平面上某个区域，它的
面积记为μ(Ω);
2、向区域Ω上随机投掷一点，这里“随机 投掷一点”的含义是指该点落入Ω 内任何 部分区域内的可能性只与这部分区域的面 积成比例，而与这部分区域的位置和形状 无关.
则称为古典概率空间.
概率的性质
非负性：for all A Ω, P(A)>=0 归一性：P(Ω)=1 可加性：设事件 A1, A2, … , An 互不相容，
则P(Ai)= P(Ai): P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…P(An)
古典概型的要求与局限
结果有限 等可能
等可能性 试验结果有限
试验结果
w1, w2, …，wN
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
85 1946 7 2 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
设E为古典型试验，Ω＝｛ ω1, ω2,…, ωn｝
对任一事件A，设A中包含m个基本事件，则 其概率定义为 P(A)=A中样本点的个数/ Ω中样本点的个数
=#A/# Ω =m/n
古典概率空间
设（Ω，F，P）为一概率空间，
为基本事件E，i {i}, i 1, 2, , n
若满足:
(1) {1,2 , ,n}
古典型试验
称一个试验E为古典型试验，若该随机试验
具有以下两个特点 每次试验只有有限个基本事件发生，即
Ω＝｛ ω1, ω2,…, ωn｝ 每个基本事件发生的可能性相等(等可能性)；
或云：每个样本点出现的可能性相等，即 P({ω1})= P({ω2}) =… = P({ωn}) =1/n
古典型试验的两个要点
3、设事件A是Ω的某个区域，它的面积为
μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点
落在区域A的概率为
P( A) ( A) (*)
()
4、假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某 个区域表示，并且向Ω上随机投掷一点的含 义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确
定，只不过把 (()) 理解为长度或体积即可.