2018年考研数学模拟试题(数学三)
考研数学三模拟题2018年(33)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(33)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.已知则f (n) (3)=______．SSS_FILL分值: 2[解析]则所以2.SSS_FILL分值: 23e [解析] 令则于是3.SSS_FILL分值: 22(1-ln2) [解析] 令则因为S(0)=0，所以则4.设级数条件收敛，则p的取值范围是______．SSS_FILL分值: 2[解析]因为条件收敛，所以即p的范围是5.设y=y(x)满足，且有y(1)=1，则．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由得函数y=y(x)可微且，积分得，因为y(1)=1，所以C=0，于是，故6.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由，得，即，令z=e y，则，解得，所以原方程的通解为．7.微分方程yy"-2(y") 2 =0的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y=C或者[解析] 令y"=p，得，代入原方程得则p=0，或．当p=0时，y=C；当时，，即．由，得，从而，所以原方程的通解为y=C或者．8.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2lnx+C [解析] 令，所以9.以y=C1 e x +e x (C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y""-3y"+4y"-2y=0 [解析] 特征值为λ1 =1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ 3 -3λ 2+4λ-2=0，所求方程为y""-3y"+4y"-2y=0．10.设y(x)为微分方程y"-4y"+4y=0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=2的特解，则SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] y"-4y"+4y=0的通解为y=(C1 +C2x)e 2x，由初始条件y(0)=1，y"(0)=2得C1 =1，C2=0，则y=e 2x，于是11.差分方程yt+1 -2yt=3×2 t的通解为y(t)=______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] yt+1 -2yt=0的通解为y(t)=C×2 t，f(t)=3×2 t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2 t，代入原方程得，故原方程的通解．二、选择题1.设条件收敛，且，则______．SSS_SINGLE_SELA |r|＜1B |r|＞1C r=-1D r=1分值: 2答案:C[解析] 因为条件收敛，所以级数一定不是正项或负项级数，故r≤0．若|r|＜1，则，级数绝对收敛，矛盾；若|r|＞1，则，存在充分大的N，当n＞N时，{|un|}单调增加，，于是发散，矛盾，故|r|=1，再由r≤0得r=-1，选C．2.设，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 显然条件收敛，，因为，而收敛，所以收敛，选B．3.设幂级数在x=6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为______．A．2B．4C．D．无法确定SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:A[解析] 因为在x=6处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=4，又因为级数有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R=4，于是的收敛半径为R=2，选A．4.设y(x)是微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x满足初始条件y(0)=0，y"(0)=1的解，则______．SSS_SINGLE_SELA 等于1B 等于2C 等于0D 不存在分值: 2答案:A[解析] 微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x中，令x=0，则y"(0)=2，于是，选A．5.二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为______．• A.(ax+b)e-x•**•**(ax+b)e-x**(ax+b)e-xSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:D[解析] 方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特征方程为λ 2 -2λ-3=0，特征值为λ1 =-1，λ2=3，故方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为x(ax+b)e -x，选D．6.设φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为______．SSS_SINGLE_SELA C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1分值: 2答案:D[解析] 因为φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1 (x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1 (x)y"+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D．三、解答题1.讨论级数的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令则因为而收敛，所以收敛，由正项级数的比较审敛法得收敛．2.设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令，由交错级数的Leibniz审敛法，级数收敛，而发散．设是正项收敛级数，则，取ε0 =1，存在自然数N，当n＞N时，|an-0|＜1，从而0≤an＜1，当n＞N时，有．由收敛得收敛，再由比较审敛法得收敛，所以收敛．3.设，级数中，哪个级数一定收敛?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解不一定收敛，如，显然，而，因为收敛，而发散，所以发散；不一定收敛，如，显然发散；不一定收敛，如，显然发散；一定收敛．由，得，又收敛，所以收敛，即绝对收敛，所以一定收敛．4.若正项级数收敛，证明：收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5证明因为收敛，所以，当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，而，所以再由收敛，故收敛．设．SSS_TEXT_QUSTI5.求的值；分值: 2.5解，则，，因为，所以．SSS_TEXT_QUSTI6.证明：对任意常数λ＞0，收敛．分值: 2.5证明因为，所以，而收敛(λ＞0)，所以收敛．7.设，讨论级数的敛散性，若收敛求其和．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解因为收敛，所以收敛．因为所以于是的和为8.设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明令Sn =a1+a2+…+an，S"n+1=(a1-a)+2(a2-a1)+…+(n+1)(an+1 -an)，则S"n+1 =(n+1)an+1-Sn-a，因为收敛且数列{nan}收敛，所以都存在，于是存在，根据级数收敛的定义，收敛．9.设an＞0(n=1，2，…)且单调减少，又级数发散，判断的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解因为单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以存在，令，由发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由，得级数收敛．证明：SSS_TEXT_QUSTI10.设an ＞0，且{nan}有界，则级数收敛；分值: 3证明因为{nan }有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即，而级数收敛，所以级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI11.若，则级数收敛．分值: 3证明取，因为，所以存在N＞0，当n＞N时，，即，或者，而收敛，所以收敛．设(n=1，2，…；an ＞0，bn＞0)，证明：SSS_TEXT_QUSTI12.若级数收敛，则级数收敛；分值: 3证明由，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，存在，令．无论A=0还是A＞0，若级数收敛，则级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI13.若级数发散，则级数发散．分值: 3证明若A=0，由级数发散，得级数发散；若A＞0，级数敛散性相同，故若级数发散，则级数发散．14.设{un }，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cn un-cn+1un+1≤0，且发散，则也发散；(2)若对一切正整数n满足，且收敛，则也收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明显然为正项级数．(1)因为对所有n满足cn un-cn+1un+1≤0，于是cn un≤cn+1un+1cnun≥…≥c1u1＞0，从而．因为发散，所以也发散．(2)因为对所有n满足，则cn un-cn+1un+1≥aun+1，即cn un≥(cn+1+a)an+1，所以，于是因为收敛，所以也收敛．15.对常数p，讨论幂级数的收敛区间．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解由，得幂级数的收敛半径为R=1．(1)当p＜0时，记q=-p，则有，因而当x=±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(-1，1)，(2)当0＜p＜1时，对，因为，所以x=1时，级数发散，当x=-1时，显然收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1)；(3)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x=-1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1]．1。
2018考研数学(三)真题
代入已知条件
f x dx 0, 得
0
1
2 1 1 f 1 1 0 f f x x dx 0 2 2 2 2 2 1 2 2 1 f x 1 1 1 x f f x dx 2 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 1 1 f f x dx 2 2 0 2 2 1 f 1 1 f x dx, 0 2 2 2
1 1 0 （5） 下列矩阵中， 与矩阵 0 1 1 相似的为 0 0 1 1 1 1 (A) 0 1 1 . 0 0 1 1 0 1 (B) 0 1 1 . 0 0 1
【
】
1 1 1 (C) 0 1 0 . 0 0 1
x
lim
0 x
x
2 x
2
0,
f 0 lim
x 0
cos x 1 lim x 0 x
x
2 x
2
1 , 2
f 0 lim
x 0
cos x 1 lim x 0 x
x 2 x
2
lim
1 ，Y 服从参数为 的泊松 2
设总体 X 的概率密度为 f x;
1 e , 其中 0, 为未知参数， X1 , X 2 X n 为来自总体 2
x
X 的简单随机样本，记 的最大似然估计量为 .
（Ι ）求 ； （Ⅱ）求 E 和 D .
1 , 则 P AC A B 2
考研数学三模拟题2018年(13)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(13)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=______．SSS_FILL分值: 12 1[解析] 因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．2.设η为非零向量，η为方程组AX=0的解，则a=______，方程组的通解为______．SSS_FILL分值: 13 k(-3，1，2) T [解析] AX=0有非零解，所以|A|=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2) T．二、选择题1.设A是m×s矩阵，B为s×n矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=sB r(A)=mC r(B)=sD r(B)=n分值: 1答案:A[解析] 设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0。
因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．2.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是______．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1 -η2)D．AX=b的通解为SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A *≠O，所以r(A)=n-1，η2 -η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．3.设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是______．SSS_SINGLE_SELA (1)(2)B (1)(3)C (2)(4)D (3)(4)分值: 1答案:B[解析] 若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______．SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解分值: 1答案:A[解析] AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．5.设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=mB r(A)=nC A为可逆矩阵D r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示分值: 1答案:D[解析] 方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．三、解答题1.设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1 =0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．2.设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1 +x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0) T +k2 (-1，0，1，…，0) T+…+kn-1(-1，0，…，0，1) T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1) T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1) T (k为任意常数)．3.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又且AB=O，求方程组AX=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由得通解为4.a，b取何值时，方程组有解?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)a≠1时，唯一解为(2)a=1，b≠-1时，r(A)≠ ，因此方程组无解；(3)a=1，b=-1时，通解为X=k1 (1，-2，1，0) T +k2(1，-2，0，1) T +(-1，1，0，0) T (k1，k2为任意常数)．5.A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 方程组的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为所以方程组有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．设(Ⅰ) α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α1=SSS_TEXT_QUSTI 6.求方程组(Ⅰ)的基础解系；分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI7.求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；分值: 2[解] 因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组(Ⅱ)的基础解系；SSS_TEXT_QUSTI8.(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的通解为方程组(Ⅱ)的通解为=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1，令，则有取k21，1，1) T (其中k为任意常数)．设(Ⅰ)(Ⅱ)SSS_TEXT_QUSTI9.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；分值: 3[解] 的基础解系为的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI10.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．分值: 3[解] 方法一(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即为的解，(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为方法二(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ) =2k2，故(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(-k，k，2k，k) T =k(-1，1，2，1) T (k为任意常数)．方法三(Ⅰ)的通解为(Ⅱ)的通解为令∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为11.问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 方法一的通解为把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得方法二因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关．α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α1=-2β1+β2+aβ2a=-1，α2可由β1，β2，β3唯一线性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，α3可由β1，β2，β3唯一线性表出，α3=3β1+β2+β3c=4．12.证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令方程组(Ⅰ)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A TY=0及若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)=r( )，从而又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则从而r(A)=r( )，故方程组(Ⅰ)有解．13.设的一个基础解系为写出的通解并说明理由．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令则(Ⅰ)可写为AX=0，令其中则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，．α1T，α2T，…，αn T为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．14.设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r +kη=0，若k=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+kη=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，所以k≠0，故η可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．SSS_TEXT_QUSTI15.证明分值: 3[证明] 因为n=r(CA+DB)=所以SSS_TEXT_QUSTI16.设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组Ax=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．分值: 3[证明] 因为所以方程组只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．17.设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A * b=0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A * b=A * AX=|A|X=0．反之，设A * b=0，因为b≠0，所以方程组A * X=0有非零解，从而r(A * )＜n，又A11≠0，所以r(A * )=1，且r(A)=n-1．因为r(A * )=1，所以方程组A * X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A * A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A * X=0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A* X=0的基础解系．因为A * b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)= =n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．18.证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB) T ]=r(AB)=r(B T A T)≤r(A T )=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．19.证明：r(A)=r(A T A)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 只需证明AX=0与A T AX=0为同解方程组即可．若AX0 =0，则A T AX=0．反之，若A T AX0 =0，则XT A T AX=0 (AX) T (AX)=0 AX=0，所以AX=0与A T AX=0为同解方程组，从而r(A)=r(A T A)．20.设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足．证明：方程组AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r．设η为方程组AX=b的一个特解，令β0=η，β1=ξ1+η，β2=ξ2+η…，βn-r=ξn-r+η0，显然β，β1，β2，…，βn-r为方程组AX=b的一组解．令k0β+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即(k0 +k1+…+kn-r)η+k1β1+k2β2+…+kn-rβn-r=0，上式两边左乘A得(k0 +k1+…+kn-r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0 +k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ1，ξ2，…，ξn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．21.讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠-1，b≠-2时．因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=-1，b≠-2时，当b≠-1时，方程组无解当b=-1时，方程组的通解为(3)当a≠-1，b=-2时，当a=1时，方程组的通解为当a≠1时，显然r(A)=2≠ =3，方程组元解．22.设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令X=(X1，X2，X3)，B=(β1，β2，β3)，方程组AX=B等价于则AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r( )，由r(A)=r( )得a=1，b=2，c=-2，此时AX1=β1的通解为AX2=β2的通解为AX 3 =β 3 的通解为 则 其中k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数． 1。
2018年考研数学三真题及答案解析(完整版)
(C) f x cos x
(D) f x cos x
【答案】（D）
【解析】根据导数的定义：
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（A） x0 x
x0 x
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（B） x0
x
x0 x
cos lim
x
1
lim
1 2
t 0
t 0
2= lim (1 bt)et 1 lim et 1 lim btet 1 b,
t 0
t
t t 0
t t 0
从而b 1.
综上，a 1,b 1.
(16)(本题满分 10 分)
设平面区域D由曲线y 3 1 x2 与直线y 3x及y轴围成, 计算二重积分 x2dxdy.
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ ）
(A) f x x sin x
(B) f x x sin x
x
x
x 0时，可得f (x) 2xf (x) f (x) 2xf (x) 0.
由公式得：f (x) Ce(2x)dx =Cex2 , f (0) 2 C 2. 故f (x)=2ex2 f (1) 2e.
(13) 设A为3阶矩阵, a1, a2, a3是线性无关的向量组,若Aa1 a1 a2, Aa2 a2 a3, Aa3 a1 a3,
2018年考研数学三试题与答案解析(完整版)
M 2 (1
2
2x ) dx 22 1dx 1 x2
x - , 时， 1 cos x 1, 所以K M 2 2 令f ( x) 1 x e x , f (0) 0, f ( x) 1 e x 当x 0, 时，f ( x ) 0; 当x , 0 时，f ( x ) 0 2 2 1 x 所以x - , 时，有f ( x ) 0，从可有 x 1，由比较定理得N<M, 故选C e 2 2
B. f ( x ) x sin( D. f ( x ) cos(
x) x)
f - 0 lim
x 0
x sin x x x sin x x
lim
x 0
x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x
0 2
B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
【解析】特殊值法：由已知可将 f ( x ) 看成随机变量 X N 1, 布的对称性， P X 0 0.2
2
的概率密度，根据正态分
1 n Xi ， n i 1
Born to win
2018 年考研数学三试题与答案解析（完整版)
——跨考教育数学教研室
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． 1. 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ A. f ( x ) x sin( x ) C. f x cos( x ) 【答案】D 【解析】 A 可导： ） 。
(完整版)2018考研数学三真题.docx
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题 :1 : 8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的.(1)下列函数中，在 x 0 处不可导的是（）(A)f x x sin x(B)f x x sin x(C)f x cos x(D)f x cos x设函数 f x在 0,11x dx0,则（）(2)上二阶可导，且f(A) 当f( x)10(B)当 f( x)0时 , f(10 0时, f ()) 22(C)当 f ( x)10(D)当 f( x)0时 , f(10 0时 , f ( ))22 2xxdx, K(3)设 M21x2 dx, N 2121cosx dx, 则（）21x2e2(A) M N K(B) M K N(C) K M N(D)K N M(4)设某产品的成本函数 C (Q )可导，其中 Q为产量 .若产量为 Q0时平均成本最小，则()(A) C (Q0 )0(B) C (Q0 ) C (Q0 )(C) C (Q0 )Q0C (Q0 )(D)Q0 C (Q0 ) C (Q0 )110(5)下列矩阵中，与矩阵011相似的为（）001111101(A)011(B)011001001111101(C)010(D)010001001(6)设A、B为n阶矩阵，记 r X 为矩阵 X的秩， X ,Y 表示分块矩阵，则（）(A)r A, AB r A(B)r A, BA r A(C)(D)r A T B TX 的概率密度f x 满足 f1x f 120.6, 则 P X 0 （（ 7 ）设随机变量x , 且 f x dx）(A) 0.2(B) 0.3(C) 0.4(D) 0.5(8)设 X1 , X 2 ,..., X n (n 2)为来自总体 N (,2 )(0) 的简单随机样本，令X 1 n X i ,n i 1S1n( X i X ) 2 , S* 1 n( X i)2 , 则（）n 1 i 1n i 1n( X)(B)n ( X)1)(A)S ~ t( n)S~ t( nn( X)(D)n ( X)1)(C)S*~ t( n)S*~ t( n二、填空题： 9 :14 小题 , 每小题 4分, 共 24 分 .(9)曲线 y x22ln x在其拐点处的切线方程是________.(10)e x arcsin 1 e2 x dx________.(11)差分方程2 y x y x 5的通解是________.(12)设函数 f x 满足 f x x f x2xf x x o x x0 ,且 f0 2,则 f 1______.(13)设A为3阶矩阵 , a1 ,a2 , a3是线性无关的向量组 , 若Aa1a1a2 , Aa2 a2a3 , Aa3a1 a3 ,则A =__________.(14)随机事件 A, B,C 相互独立 , 且 P A P B P C 1, 则P AC A U B__________. 2三、解答题： 15～ 23 小题 , 共 94分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)( 本题满分 10 分)1已知实数 a, b 满足lim ax b e x x 2, 求a, b.x(16)( 本题满分 10 分)设平面区域 D由曲线 y 3 1x2与直线 y3x及 y轴围成 , 计算二重积分x2dxdy.D(17)( 本题满分 10 分)将长为 2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.(18)( 本题满分 10 分)已知 cos2 x1a n x n ( 1x1),求 a n .(1 x)2n 0(19)( 本题满分 10 分)设数列 x n满足： x10, x n e x n 1e x n1(n 1,2,L ), 证明 x n收敛，并求 lim x n .n (20)( 本题满分 11 分)设实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) (x1, x2x3 )2( x2x3 )2( x1ax3) 2 , 其中 a是参数 .(I)求 f (x1, x2 , x3 ) 0的解；(II)求 f ( x1 , x2 , x3 )的规范形 .(21)( 本题满分 11 分)12a1a2已知 a是常数，且矩阵 A= 130可经初等列变换化为矩阵B= 01 1 .27a111(I)求a;(II)求满足 AP B的可逆矩阵 P.(22)( 本题满分 11 分 )设随机变量 X 与 Y相互独立， X的概率分布为 P X 1 P X11,Y服从参数为的泊松分布 . 2令 Z XY .(I)求Cov X , Z ;(II)求 Z的概率分布 .(23)( 本题满分 11 分 )设总体 X的概率密度为1xf (x,) e ,x,2其中(0,)为未知参数，X1, X2,L, X n为来自总体X的简单随机样本记的最大似然估计量为μ..(I)求 ?；(II)求 E ?和 D ( ?).。
2018考研数学三真题及答案
2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018年考研数学三真题及答案解析
1
0 0 1
1 0 1
B. 0 1
1
0 0 1
1 1 1
C. 0 1
0
0 0 1
1 0 1
D. 0 1
0
0 0 1
答案: A
1 1 0
1 1 0
解析:令
P
0
1
0
则
P 1
0
1
0
0 0 1
0 0 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0
P 1
AP
一、 选择题
2018 年考研数学三真题及答案
1.下列函数中,在 x 0处不可导的是()
A. f x x sin x
B. f x x sin x
C. f x ?cos x
D. f x cos x
答案: D
解析:方法一:
A lim f x f 0 lim x sin x lim x sin x 0, 可导
n 1 i 1 i
2
1
n
(X
X )2 ，
ni i 1
则下列选项正确的是 ______ ．
n X
(A)
t n ；
S
n X
(C) S*
t n ；
n X
(B)
t n 1 ；
S
n X
(D) S*
t n 1 ．
n
解
由于
X
~
N
0, 1
，(n 1)S 2 2
(Xi X )2
x0
x
x0 x
应选 D .
方法二:
因为 f (x) cos x , f 0 1
f x f 0 cos
考研数学三模拟题2018年(45)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(45)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设每次试验成功的概率为0.2，失败的概率为0.8，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为X，则E(X)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 15 [解析] X的分布律为P(X=k)=0.2×0.8 k-1，k1，2，…．因为所以2.设总体X～N(0，8)，Y～N(0，2 2 )，且X1及(Y1，Y2)分别为来自上述两个总体的样本，则SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1F(1，2)[解析]3.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，则D(S 2 )=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1 [解析] 因为所以4.设X～N(1，σ 2 )，Y～N(2，σ 2 )为两个相互独立的总体，X1，X2，…，Xm 与Y1，Y2，…，Yn分别为来自两个总体的简单样本，则服从______分布．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1[解析]且相互独立，则5.设X～N(μ，σ 2 )，其中σ 2已知，μ为未知参数．从总体X中抽取容量为16的简单随机样本．且μ的置信度为0.95的置信区间中的最小长度为0.588，则σ 2 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1** [解析] 在σ 2 已知的情况下，μ的置信区间为 /其中 /于是有 /二、选择题1.对于随机变量X1，X2，…，Xn，下列说法不正确的是______．A．若X1，X2，…，Xn两两不相关，则B．若X1，X2，…，Xn相互独立，则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)C．若X1，X2，…，Xn相互独立同分布，服从N(0，σ 2 )，则D．若D(X1 +X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)，则X1+X2+…+Xn两两不相关SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 若X1 +X2+…+Xn相互独立，则B，C是正确的，若X1+X2+…+Xn两两不相关，则A是正确的，选．2.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相关系数为ρXY=-0.5，且P(aX+by≤1)=0.5，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以aX+bY服从正态分布，E(aX+bY)=a+2b，D(aX+by)=a 2 +4b 2 +2abCov(X，Y)=a 2 +4b 2 -2ab，即aX+bY～N(a+2b，a 2 +4b 2 -2ab)，由P(aX+by≤1)=0.5得a+2b=1，所以选D．3.设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(μ，σ 2 )的简单随机样本，记则服从t(n-1)分布的随机变量是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 即选D．4.设X～t(n)，则下列结论正确的是______．A．X 2～F(1，n)B．C．X 2～χ 2 (n)D．X 2～χ 2 (n-1)SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A[解析] 由X～t(n)，得其中U～N(0，1)，V～χ 2 (n)，且U，V相互独立，于是选A．5.从正态总体X～N(0，σ 2 )中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，则可作为参数σ 2的无偏估计量的是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A[解析] 因为所以为σ 2的无偏估计量，选A．三、解答题1.设总体X～N(0，σ 2 )，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，S 2 = 求所服从的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6 [解] 又且相互独立，则即设X1，X2，…，Xn(n＞2)是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，记Yi=Xi- (i=1，2，…，n)．求：SSS_TEXT_QUSTI2.D(Yi)；该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 由得SSS_TEXT_QUSTI3.Cov(Y1，Yn)．该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 因为X 1 ，X 2 ，…，X n (n ＞2)相互独立， 所以 由 得4.设总体X ～N(μ，σ 2 )，X 1 ，X 2 ，…，X n 是来自总体X 的样本，令 求E(X 1 T)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6[解] 因为X 1 ，X 2 ，…，X n 独立同分布，所以有E(X 1 T)=E(X 2 T)=…=E(X n T)5.设总体X 服从正态分布N(μ，σ 2 )(σ＞0)，X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，令求Y 的数学期望与方差．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6 [解]而于是 6.设总体X 服从正态分布N(μ，σ 2 )(σ＞0)．从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2 ，…，X 2n (n ＞2)．令求统计量 的数学期望．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6[解] 令Y i =X i +X n+i (i=1，2，…，n)，则Y 1 ，Y 2 ，…，Y n 为正态总体N(2μ，2σ 2 )的简单随机样本，=(n-1)S 2 ，其中S 2 为样本Y 1 ，Y2，…，Y n 的方差，而E(S 2 )=2σ 2 ，所以统计量U= 的数学期望为E(U)=E[(n-1)S 2 ]=2(n-1)σ 2 ． 7.设总体且X，Y相互独立，来自总体X，Y的样本均值为，样本方差为记求统计量的数学期望．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] 由相互独立，可知a，b与相互独立，显然a+b=1．E(U)=μ[E(a)+E(b)]=μE(a+b)=μE(1)=μ．8.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn+1为总体X的简单随机样本，记求统计量服从的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] 因为Xn+1～N(μ，σ 2 )，且它们相互独立，所以又相互独立，所以由t分布的定义，有9.设总体X的概率分布为X 0 1 2 3p θ 2 2θ(1-θ) θ 2 1-2θ是未知参数．用样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] E(X)=0×θ 2+1×2θ(1-θ)+2×θ 2+3×(1-2θ)=3-4θ，令得参数θ的矩估计值为L(θ)=θ 2×[2θ(1-θ)] 2×θ 2×(1-2θ) 4=4θ 6 (1-θ) 2 (1-2θ) 4，lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1-θ)+4ln(1-2θ)，令得参数θ的最大似然估计值为10.设总体样本值为1，1，3，2，1，2，3，3，求θ的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] (1)X为离散型随机变量，其分布律为E(X)=3-3θ．今3-3θ=2得θ的矩估计值为(2)L(1，1，3，2，1，2，3，3；θ)=P(X=1)P(X=1)…P(X=3)=θ 3×θ 2×(1-2θ) 3，lnL(θ)=5lnθ+3ln(1-2θ)，令得θ的最大似然估计值为11.设总体X～U[0，θ]，其中θ＞0，求θ的极大似然估计量，判断其是否是θ的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] 总体X的密度函数和分布函数分别为设x1，x2，…，xθ为总体X的样本观察值，似然函数为(i=1，2，…，n)．当0＜xi＜θ(i=1，2，…，n)时，且当θ越小时L(θ)越大，所以θ的最大似然估计值为=max{x1，x2，…，xn}，θ的最大似然估计量为=max{X1，X2，…，Xn}．因为=max{X1，X2，…，Xn}的分布函数为则的概率密度为所以=max{X1，X2，…，Xn}不是θ的无偏估计量．12.设总体X的密度函数为θ＞0为未知参数，a＞0为已知参数，求θ的极大似然估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解]令得参数θ的极大似然估计量为13.设总体X～U(θ1，θ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，求θ1，θ2的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7 [解] (1)令(2)lnL(θ1，θ2)=-nln(θ2-θ1)，而因为lnL(θ1，θ2)是θ1的单调增函数，是θ2的单调减函数，所以14.设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：都是参数θ的无偏估计量，试比较其有效性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] 因为总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，所以分布函数为令则则U，V的密度函数分别为因为所以都是参数θ的无偏估计量．因为所以更有效．15.设总体X，Y相互独立且都服从N(μ，σ 2 )分布，(X1，X2，…，Xm)与(Y1，Y2，…，Yn)分别为来自总体X，Y的简单随机样本．证明：为参数σ 2的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[证明] 令因为所以于是即为参数σ 2的无偏估计量．1。
2018年数学三考研真题及解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 下列函数中，在0x =错误!未找到引用源。
处不可导的是（ ）。
A. ()sin()f x x x =B. ()f x x =C. ()cos()f x x =D. ()f x =【答案】D 【解析】 A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''====== B 可导：()()-0000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''======C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x x x--+++→→→→--''====== D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim ,0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''======''≠2 .已知函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()10,=⎰f x dx 则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f B. 当()0''<f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f C. 当()0'>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f D. 当()0''>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f 【答案】D 【解析】A 错误：()()()11000,10111,2,022f x f x dx dx f x x f x ⎛⎫'===-< ⎪⎛⎫=-+-+= ⎝⎝⎭⎪⎭⎰⎰B 错误：()()()100212111111,033243120,20,f x dx dx f x x f f x x ⎛⎫''==⎛⎫=-+-+=-+=-< ⎪⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎰⎰C 错误：()()()1100111,0220,10,2f x d f x x x f x dx f x ⎛⎫=-⎛⎫'-===> ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⎰⎰D 正确：方法1：由()0f x ''>可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭方法2：21112200011111()()()()()(),22222111111()()()()()()()()()02222221()0,()0.2f x f f x f x x f x dx f f x f x dx f f x dx f x f ξξξξ'''=+-+-'''''=+-+-=+-=''><⎰⎰⎰介于和之间,又故 3.设()(2222222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x xM dx N dx K dx x e 则 A.>>M N K B.>>M K NC.>>K M ND.>>K N M 【答案】C 【解析】222222(1)11-,11,22()1,(0)0,()10,()0;,0()0221-,()01N<M,C22x xx xM dx dx x x K Mf x x e f f x e x f x x f x x x f x e ππππππππππ--=+=+⎡⎤∈≥>⎢⎥⎣⎦'=+-==-⎡⎤⎡⎤''∈<∈->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎡⎤∈≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选4. 设某产品的成本函数()C Q 可导，其中Q 为产量，若产量为0Q 时平均成本最小，则( ) A. ()00C Q '= B.()()00C Q C Q '= C.()()000C Q Q C Q '= D. ()()000Q C Q C Q '= 【答案】D【解析】根据平均成本()C Q C Q=，根据若产量为0Q 时平均成本最小，则有 ()()()()()()()0000000220Q Q Q QC Q Q C Q C Q Q C Q C C Q Q C Q Q Q ==''--''===⇒=5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 A. 111011001-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 111010001-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】方法一：排除法令110011001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征值为1,1,1，()2r E Q -= 选项A ：令111011001A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A 的特征值为1,1,1，()0110012000r E A r -⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 选项B ：令101011001B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B 的特征值为1,1,1，()0010011000r E B r ⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 选项C ：令111010001C -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C 的特征值为1,1,1，()0110001000r E C r -⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B ：令101010001D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，D 的特征值为1,1,1，()0010001000r E D r ⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦若矩阵Q 与J 相似，则矩阵E Q -与E J -相似，从而()()r E Q r E J -=-，故选（A ）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）令110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1110010001P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1110111011011001001P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，所以110111011011001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与相似故选（A ）6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则 A.()().r A AB r A = B.()().r A BA r A = C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().T T r A B r A B = 【答案】（A ）【解析】(,)(,)[(,)]()r E B n r A AB r A E B r A =⇒== 故选（A ）7.设()f x 为某分布的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，()200.6f x dx =⎰，则{0}P X <=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A【解析】特殊值法：由已知可将()f x 看成随机变量()21,X N σ的概率密度，根据正态分布的对称性，()00.2P X <= 8.已知12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的简单随即样本，11ni i X X n ==∑，*S S ==A.()~()X t n S μ- B.()~(1)X t n S μ--C.*)~()X t n Sμ-D. *)~(1)X t n Sμ-- 【答案】B 【解析】2,XN n σμ⎛⎫⎪⎝⎭()()()22211,0,1n SX N n χσ--， 又2X S 与相互独立，所以)()1X t n Sμ--，故选项B 正确，而A 错.()()()*22210,1,n S X Nn μχσσ--，2X S *与相互独立 ()n X t n μ-，故选项C ，D 错。
考研数学三模拟题2018年(4)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(4) (总分100, 做题时间90分钟) 解答题 1.若随机变量序列X 1 ，X 2 ，…，X n ，…满足条件 证明：{X n }服从大数定律．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5 【证】由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有所以对任意的ε＞0，故{X n }服从大数定律． 2.某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5【解】设则同时使用的终端数所求概率为3.设X 1 ，X 2 ，…，X n 为总体X 的一个样本，EX=μ，DX=σ 2 ＜∞，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5【解】 进而有从装有1个白球，2个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取5次得样本X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ．记Y=X 1 +X 2 +…+X 5 ，求：SSS_TEXT_QUSTI4.Y的分布律，EY，E(Y 2 )；该题您未回答:х该问题分值: 1.75【解】Y是连续5次取球中取得黑球的个数，所以从而SSS_TEXT_QUSTI5.，E(S 2 )(其中，S 2分别为样本X1，X2，…，X5的均值与方差)．该题您未回答:х该问题分值: 1.75【解】由于X的分布律为所以6.若X～χ 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】因X～χ 2 (n)，所以X可表示为其中X1，X2，…，Xn相互独立，且均服从N(0，1)，于是7.已知X～t(n)，求证：X 2～F(1，n)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】X～t(n)，则X可表示为其中Z～N(0，1)，Y～χ 2 (n)且Z，Y相互独立，又Z 2～χ 2 (1)，于是8.设X1，X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn独立．Xi～N(a，σ 2 )，i=1，2，…，m，Yi～N(b，σ 2 )，i=1，2，…，n，而α，β为常数．试求的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由于Xi ～N(a，σ 2 )，i=1，2，…，m，Yi～N(b，σ 2 )，i=1，2，…，n，且X1，X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn相互独立，则也服从正态分布．所以9.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为a:1．现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记X为所抽到的白球个数．这样做了n次以后，获得一组样本：X1，X2，…，Xn基于此，求未知参数a的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由题意知，随机变量X的分布律为令解得对于给定的样本X1，X2，…，Xn，似然函数为取对数，得令得解得10.罐中有N个硬币，其中有θ个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为0.5)，其余N-θ个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为n0，n1，n2，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数θ的估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设X为“连掷两次正面出现的次数”，A={取出的硬币为普通硬币}，则即X的分布为(1) 解得θ=N(2-μ1)，θ的矩估计为(2)解得θ的最大似然估计11.设总体X的概率密度为又设X1，X2，…，Xn是来自X的一个简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】X的数学期望为用样本均值代替①中的EX得此方程的解即为θ的矩估计量12.设总体X的概率密度为试用样本X1，X2，…，Xn求参数α的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】先求矩估计：解得所以α的矩估计为再求极大似然估计：解得α的极大似然估计：13.设X1，X2，…，Xn是来自对数级数分布的一个样本，求p的矩估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】因为p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩①÷②得所以所以得p的矩估计14.设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X2，Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】解之得N=μ1/p，即所以N和p的矩估计为15.设总体X的分布列为截尾几何分布P{X=k}=θk-1(1-θ)， k=1，2，…，r，P{X=r+1}=θr，从中抽得样本X1，X2，…，Xn，其中有m个取值为r+1，求θ的极大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】解似然方程得θ的极大似然估计设总体X服从正态分布N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn是其样本．SSS_TEXT_QUSTI16.求C使得是σ 2的无偏估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】可见当是σ 2的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI17.求k使得为σ的无偏估计量．该题您未回答:х该问题分值: 2【解】18.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，是θ的一个估计量，若θ+kn，试证：是θ的相合(一致)估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有于是即依概率收敛于θ，故是θ的相合(一致)估计量．19.设X1，X2，…，Xn是取自均匀分布在[0，θ]上的一个样本，试证：Tn=max{X1，X2，…，Xn}是θ的相合估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】Tn =X(n)的分布函数为Tn的密度为所以由切比雪夫不等式有当n→∞时，故Tn是θ的相合估计．20.已知X具有概率密度X1，X2，…，Xn为X的简单随机样本．求未知参数α的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】先求矩估计．故再求最大似然估计得α的最大似然估计21.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，X3是来自X的样本，证明：估计量都是μ的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】故都是μ的无偏估计．所以最有效．22.设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ 2，试确定常数C，使为μ 2的无偏估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由题意知：23.设总体服从U[0，θ]，X1，X2，…，Xn为总体的样本，证明：为θ的一致估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式有：因此得为θ的一致估计．24.设从均值为μ，方差为σ 2＞0的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为证明：对于任何满足条件a+b=1的常数a，b，是μ的无偏估计量，并确定常数a，b，使得方差DT达到最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由题意得：所以故T是μ的无偏估计量．又令对a求导并解方程如下：得到所以处取得极小值，此时方差DT达到最小．25.设X1，X2，…，Xn独立同分布，X2的取值有四种可能，其概率分布分别为：p1 =1-θ，p2=θ-θ 2，p3=θ 2 -θ 3，p4=θ 3，记N，为X1，X2，…，Xn中出现各种可能的结果的次数，N1+N2+N3+N4=n．确定a1，a2，a3，a4使为θ的无偏估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由于Ni ～B(n，pi)，i=1，2，3，4，所以E(Ni)=npi，从而有：若使T是θ的无偏估计，即要求解之得：即是θ的无偏估计．设总体X～N(μ1，σ 2 )，Y～N(μ2，σ 2 )．从总体X，Y中独立地抽取两个容量为m，n的样本X1，…，Xm和Y1，…，Yn．记样本均值分别为若是σ 2的无偏估计．求：SSS_TEXT_QUSTI26.C；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】 同理故则SSS_TEXT_QUSTI27.Z 的方差DZ ．该题您未回答:х 该问题分值: 2 【解】因故 则有28.设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i ，i=1，2，…，k ，用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X 1 ，X 2 ，…，X k ，设仪器都没有系统误差，即E(X i )=θ，i=1，2，…，k ，试求：a 1 ，a 2 ，…，a k 应取何值，使用 估计θ时， 是无偏的，并且最小?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 【解】(1)即当 是无偏的．(2)令函数 问题归结为求多元函数g(a 1 ，a 2 ，…，a k )在条件 之下的最小值．作拉格朗日函数：G(a 1 ,a 2 ,…,a k ，λ)=g(a 1 ,a 2 ,…,a k )+λ(a 1 +a 2 +…+a k -1)．29.设{X n }是一随机变量序列，X n 的密度函数为：试证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】对任意给定的ε＞0，由于30.设X1，X2， (X)n，…是独立同分布的随机变量序列，EXi=μ，DXi=σ2，i=1，2，…，令证明：随机变量序列{Yn}依概率收敛于μ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式得：所以31.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977(Φ(2)=0.977)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设Xi是“装运的第i箱的重量”，n表示装运箱数．则EXi =50，DXi=5 2 =25，且装运的总重量Y=X1 +X2+…+Xn，{Xn}独立同分布，EY=50n，DY=25n．由列维—林德伯格中心极限定理知Y～N(50n，25n)．于是故也就是最多可以装98箱．32.用概率论方法证明：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设{Xn }为一独立同分布随机变量序列，每个Xk服从参数为1的泊松分布，则EXk =1，DXk=1，服从参数为n的泊松分布．故有由列维—林德伯格中心极限定理知：33.截至2010年10月25日，上海世博会参观人数超过了7000万人．游园最大的痛苦就是人太多．假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走3个小时可到达；沿第二条路径走5个小时又回到原处；沿第三条路径走7个小时也回到原处．假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设游客需要X小时到达中国馆，则X的可能取值为3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，…要写出X的分布律很困难，所以无法直接求EX．为此令Y={第一次所选的路径}，即{Y=i}表示“选择第i条路径”．则因为E(X|Y=1)=3，E(X|Y=2)=5+EX，E(X|Y=3)=7+EX，所以故EX=15，即该游客平均要15个小时才能到达中国馆．34.设X1，X2， (X)n为一列独立同分布的随机变量，随机变量N只取正整数且N与{Xn}独立，求证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】35.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为a(米)．假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为，且相互独立，若Z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求EZ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为1，2，…，n．X为“已经握手的女嘉宾的编号”，Y表示“将要去握手的女嘉宾的编号”，则于是36.对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】记pi =P(Ai)(i=1，2)，p12=P(A1A2)，而ρ是X1和X2的相关系数．易见，随机变量X1和X2都服从0—1分布，并且(1)必要性．设随机变量X1和X2独立，则P(A1 A2)=P{X1=1，X2=1}=P{X1=1}P{X2=1}=P(A1)P(A2)．从而，事件A1和A2相互独立．(2)充分性．设事件A1和A2相互独立，则也都独立，故从而，随机变量X1和X2相互独立．37.假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，a3，而另一张上同时印有a1，a2，a3．现在随意抽取一张卡片，令Ak={卡片上印有ak }．证明：事件A1，A2，A3两两独立但不相互独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由于对任意k，j=1，2，3且k≠j，有可见事件A1，A2，A3两两独立．但是，由于可见事件A1，A2，A3不相互独立．38.某商品一周的需求量X是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以Uk表示k周的总需求量，试求：(1)U2和U3的概率密度fk(x)(k=2，3)；(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度f(3)(x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】以Xi (i=1，2，3)表示“第i周的需求量”，则Xi的概率密度均为而U2 =X1+X2，U3=U2+X3．三周中周最大需求量为X(3)=max{X1，X2，X3}．(1)当x≤0时，显然f2 (x)=f3(x)=0；对于x＞0，有于是，两周和三周的总需求量U2和U3的概率密度(2)设F(x)是随机变量X的分布函数．由题意知连续三周中的周最大需求量X(3)的分布函数为G(x)=[F(x)] 3．于是，有39.设X和Y相互独立都服从0-1分布：P{X=1}=P{Y=1}=0.6，试证明：U=X+Y，V=X-Y不相关，但是不独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见Cov(U，V)=E(UV)-EUEV=E(X 2 -Y 2 )-E(X+Y)E(X-Y)=E(X 2 )-E(Y 2 )=0．于是，U=X+Y，V=X-Y不相关．(2)现在证明U=X+Y，V=X-Y不独立．事实上，由P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16，P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=0.52，P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16≠0.16×0.52=P{U=0}P{V=0}，可见U和V不独立．40.假设G={(x，y)|x 2 +y 2≤r 2 }是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在网G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】(1)X和Y的联合密度为那么，X的密度函数f1 (x)和Y的密度函数f2(y)相应为由于f(x，y)≠f1 (x)f2(y)，可见随机变量X和Y不独立．(2)证明X和Y不相关，即X和Y的相关系数ρ=0．因此，有于是，X和Y的相关系数ρ=0．这样，X和Y虽然不相关，但是不独立．41.假设某季节性商品，适时地售出1千克可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X(千克)是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】根据条件随机变量X的概率密度为以Y=P(h)表示“销售利润”，它与季初应安排商品的数量h有关．由条件知为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润Y=P(h)的数学期望．为此，首先注意到：a＜h＜b，销售利润Y=P(h)的数学期望为对h求导并令其等于0，得于是，季初安排h千克商品，可以使期望销售利润最大．42.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】以X表示“试验的总次数”，首先求X的概率分布．设Ak={第k次试验成功}(k=1，2，…)，则P(Ak)=p，X的概率分布为其中q=1-p．于是试验的总次数X服从参数为p的几何分布．现在求试验的总费用的期望值a．由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用Y是一随机变量，其期望值为例如，设p=0.8，q=0.2，得a=12.498元；设p=q=0.5，得a=19.6875元；设p=0.2，q=0.8，得a=41.808元；设p=0.1，q=0.9，得a=70.4755元．43.利用列维—林德伯格定理，证明：棣莫弗—拉普拉斯定理．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，同服从0—1分布；EXi =p，DXi=pq (i=1，2，…，n)，Sn =X1+X2+…+Xn，ESn=np，DSn=npq，其中q=1-p．X1，X2，…，Xn满足列维—林德伯格定理的条件：X1，X2，…，Xn独立同分布且数学期望和方差存在，当n充分大时近似地Sn～N(np，npq)．44.某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元．若车丢失，则赔偿车主1000元．假设车的丢失率为0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1)亏损的概率α；(2)一年获利润不少于40000元的概率β；(3)一年获利润不少于60000元的概率γ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设X为“需要赔偿的车主人数”，则需要赔偿的金额为Y=0.1X(万元)；保费总收入C=12万元．易见，随机变量X服从参数为n，p的二项分布，其中n=10000，p=0.006；EX=np=60，DX=np(1-p)=59.64．由棣莫弗—拉普拉斯定理知，随机变量X近似服从正态分布N(60，59，64)，随机变量Y近似服从正态分布N(6，0.5964)．(1)保险公司亏损的概率(2)保险公司一年获利润不少于4万元的概率(3)保险公司一年获利润不少于6万元的概率45.将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计：(1)试当n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；(2)估计数据个数n满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设Xi 是“第i个数据的舍位误差”，由条件可以认为Xi独立且都在区间[-0.5，0.5]上服从均匀分布，从而EXi =0，DXi=1/12．记Sn =X1+X2+…+Xn，为n个数据的舍位误差之和，则ESn =0，DSn=n/12．根据列维—林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从N(0，n/12)．记Φ(x)为N(0，1)的分布函数．(1)由于近似服从标准正态分布，且n=1500，可见(2)数据个数n应满足条件：由于近似服从N(0，1)，可见于是，当n＞721时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率不小于90%．46.设X是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知的数学期望存在，而ε＞0是任意实数．证明：不等式SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】(1)设X是离散型随机变量，其一切可能值为{xi}，则(2)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则47.设事件A出现的概率为p=0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A出现的次数在450到550次之间的概率α．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设vn是“1000次独立重复试验中事件A出现的次数”，则vn～B(1000，0.5)，EX=1000×0.5=500，DX=1000×0.5 2 =250．利用切比雪夫不等式，知设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求SSS_TEXT_QUSTI48.未知参数θ的最大似然估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】求参数θ的最大似然估计量．样本X1，X2，…，Xn中1，2和3出现的次数分别为v1，v2和n-v1-v2，则似然函数和似然方程为似然方程的唯一解就是参数θ的最大似然估计量SSS_TEXT_QUSTI49.未知参数θ的矩估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】求参数θ的矩估计量．总体X的数学期望为EX=θ 2+4θ(1-θ)+3(1-θ) 2．在上式中用样本均值估计数学期望EX，可得θ的矩估计量SSS_TEXT_QUSTI50.当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．该题您未回答:х该问题分值: 2【解】对于样本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值矩估计值51.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设a是这批产品中不合格品的件数，b是合格品的件数．从而，a=Rb，合格品率为设X是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数”，则X服从参数为p的0-1分布．对于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，记vn=X1+X2+…+Xn，则似然函数和似然方程为由条件知vn =X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是R的最大似然估计值．1。
考研数学三模拟题2018年(29)_真题-无答案
考研数学三模拟题2018年(29)(总分100,考试时间90分钟)解答题1. 证明：方阵A是正交矩阵，即AA T=E的充分必要条件是：(1)A的列向量组组成标准正交向量组，即或(2)A的行向量组组成标准正交向量组，即2. 证明：n＞3的非零实方阵A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则A是正交矩阵．3. 证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=±1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若|A|=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-1．设α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT，试计算：4. |A|；5. An；6. A-1．7. 设A是主对角元为0的四阶实对称阵，E是4阶单位阵，且E+AB是不可逆的对称阵，求A．8. 设证明：A=E+B可逆，并求A-1．9. A，B均是n阶矩阵，且AB=A+B．证明：A-E可逆，并求(A-E)-1．10. 设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O证明：A和A+B都是可逆阵，并求A-1和(A+B)-1．11. 已知A，B是三阶方阵，A≠O，AB=O．证明：B不可逆．12. 设A=(aij)n×n，且求r(A*)及A*．13. 已知n阶矩阵求|A|中元素的代数余子式之和，第i行元素的代数余子式之和及主对角元的代数余子式之和14. 设矩阵A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，求B．15. 设A是n阶可逆阵，将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B．证明：B可逆，并推导A-1和B-1的关系．16. 设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为．17. A，B为n阶方阵．证明：18. 计算19. 设有矩阵Am×n，Bn×m，Em+AB可逆．(1)验证：En+BA也可逆，且(En+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A；(2)设其中利用(1)证明：P可逆，并求P-1．20. 已知α1=[1，-1，1]T，α2=[1，t，-1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，t2，-1]T，若β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式．21. 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．22. 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．23. 设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．24. 求齐次线性方程组的基础解系．25. 问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式．26. λ为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1[0，1，1，0]T+k2[-1，2，2，1]T．27. 求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；28. 问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由．29. 设γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt和η1，η2，…，ηs线性相关．30. 已知α1=[1，2，-3，1]T，α2=[5，-5，a，11]T，α3=[1，-3，6，3]T，α4=[2，-1，3，a]T．问：(1)a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关；(2)a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关；(3)a为何值时，α4能由α1，α2，α3线性表出，并写出它的表出式．31. 已知问λ取何值时，(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式唯一；(2)β可由α1，α2，α3线性表出，但表达式不唯一；(3)β不能由α1，α2，α3线性表出．32. 设向量组α1=[a11，a21，…，an1]T，α2=[a12，a22，…，an2]T，…，αs=[a1s，a2s，…，ans]T．证明：向量组α1，α2，…，αs线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组有非零解(有唯一零解)．33. 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．34. 已知向量组α1，α2，…，αs+1(s＞1)线性无关，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．证明：向量组β1，β2，…，βs线性无关．设A是3×3矩阵，α1，α2，α3是三维列向量，且线性无关，已知Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．35. 证明：Aα1，Aα2，Aα3线性无关；36. 求|A|．37. 已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs 线性相关．证明：A不可逆．38. 设A是n×m阶矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位阵．若AB=E，证明：B的列向量组线性无关．。
2018年考研数学三真题与答案解析
2018年考研数学三真题及答案解析一、选择题（4分）1 •下列函数中在e = oil：不可导的是（）扎f⑵-\x\sin. |x|B. = |a|siii y/\^\G f @）= CM |zD、J⑵=roe \/|r|【麻】D2谡團數在［0 J「上二阶可导.且力血=0 ■则（〉化当< 0时0B.当严go时」点心D、Sf ff（T）>0【答臺】DJT 空离1C王设Af =丄玉£［斗必,N= /_¥吕^忑-K = /_刍1 + idr，则（）久N> K艮M>K >NJ K > M>N匕K>N> M【答室】C4：殳某士品的5&本囲故G（Q）可导.具中Q九产量・若产量为班时平均成本最小.则（）&"Q D）- 0氐C\Q Q）= QQa）G 仪（QJ - Qo^（<?o）P Q0缶-叽）【蒔塞］D^1 1 0'5.下列拒氏中,空阵0 1 1梧似的为（）-0 0 1 _■1 1 -1'人 0 1 L0 0 1 ■1 0 -110 1 10 0 1ri 1 -rC.0 1 0_0 0 14 o -i iD、0 1 0 I0 0 1d al【答室】A匕设4 D知阶袒阵，记伪矩肚X的枝「(&幻表示甘埃矩隹，则()人r^A, AB) = T(J4)BS 3A) = r(A)J r(A?B) = max{r(4)?r(B)}D, r(A,3) = r(A T,B T)［答案】A了蛙随机豈量工的惑養厦f 0)淒定几1 +刃=/(1 - X).且k f (工问=0』，则P{X< 0}=()入0.2B、03C x 0.4D、05【希A&设Xl.Xd，…，X n(n> 2)为来自总脚仏/脸A0)的筲单随机样本<,令天■扌f J 土丈的一那.b■侶f 因-G 侧();-1 »1-1 » t-i【答套］8二、填空题(4分)虫曲㈱=/ +型”在具拐点处的切巻方程为_________【答却V=4®-310.J*E T arcsjin. 二店血=________【答案】e1 arrsiji v 1 - e Ha一讥一严 + C口■羞分方程-轴-5凶通解是倍臺】u, = e ■ 2T+1 - 5.12＞画数汛z)萬卫甲(h 4- Az)—归⑹—2Z^(B)A S十o(A*)g? T O)fi^(O) = 2 ,则就1) = _____【答棄】网=加1 窑盂^为” Ol.0!* 巧方誌向fi® * 若Afl] = dR + flg .A HJ =+ fls Aij =01+03 二#1 = __________【軽】214随匚事件儿乩牒互独立’且-P(3)-P[C)- i .则P(AC\A LIB}-【答垂】扌三解答题(10分)1王已知宾数仏b」満足1血匸一0险足+ b)E：—彳=2 »求仏b【答秦】叙-号可得皿s*包牡1. 2其中lim t^)+ 仏岬-J 吟十 lim t^)+ 时=l™t^)+ 远”十b可那吋亠4 吟=2 —齐而臺使得压叫卫* 吟存在,必须有■血=1.1W ,有Km匕T* o^1- L - 2- b. St&-1_踪上(a = 1^ & = 1【咎秦】稅分区域口凰17将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成HR 正方形与正三角形,三个圏形的面积之 和是否存在最小值？若存在.求出最小值.r 则有总+ J ； +之=2及乂,彭2 >^y 2 r 正三甬形的面积为気= 器H 「则问题擴化为在祭件a +y + z=2.x 隼/的最小值&令 資”+ A(i +y + z- 2) f a? +A = 0 2+入r =咗 血心n工曲=妒 r (vs (i-i 1)--占2 /少1二内滋-声丘2 x 3dx rV 』具于对于/ V3(l-z a)dz . * =血片可化为 屮僻r?g 丿应=芈圧血也⑺)=半•彳=徐「 而v 综上"昌一黒』喙一习0 J 圆前面积为 糾，总面积 ，爲之> OF .求 x-v ■鬲f'M 西+9_再9v^ir+4v ■存+9 r忑=—更—【答秦】设分成的三段分别为头闵 Si = ^x 2 t 正方形的面积为隔二 $=討+討 函数吉丞+壽/ “討+討 / QL 呢dL则有 M j 布—店龙十忍 鮫“+护+ ” 该点的囲数彳直即为最A 值,*解得唯n 牛极值点为〈 二 0 2 = 0最小值为^/X切卄 i = （一 1产日（刼 +2）=2n+2,n=O,l,2r -;口陥=需卢+ （一 1严刊（加十1）=气黑一（加+ l ）.n = 0J …Ui 益数列｛%”蒿足：4 >0^X B+1三『程-l （n = 1,2^-）.证明｛%｝收鈣I 「并 求】叽十入【答臺】由题意可和斗屮.=血吩严「 首先证阴&讣的有界性：证明跖j >■ 0 ;当n = 1时山1 > 0』斷=恵时「盹> 0 ,则孔+1 =加气詈,其中 e Jfc-1 > i fc ,可知用1 > B L 1 = 0 r 因此对于任息的U ,有弓> 0.再证明｛工讣的星疆性：JJ 因为才时]—£Xn=芒比」一已珈=e In-l-J n e Tng %令f （z ） = e* — 1 — xe^ t 则f （H ）=—詔 f f （H ）= —ze E< 0（x > 0） r 故当n > 0 时，fb ） < /（□） = 0 ,从而严羅一丹< 0 ”記却.一险C 0 ”可知｛唧单调递痰 综上「｛%｝为单希谨减有下界的憩列f 可知｛%｝收巍。
2018考研数学三模拟1试卷与解答
(B) 必要非充分
(C) 充分必要
1 1 x 2
(D) 非充分且非必要
(4)设 f ( x, y ) 为连续函数，则使 ( ) (A) f ( x, y) f ( x, y)
x 2 y 2 1
f ( x, y )dxdy 4 dx
0
0
f ( x, y )dy 成立的一个充分条件是
n x
x
(C)若 lim f ( x) ， lim g ( x) 均不存在，则 lim f ( x) g ( x) 不存在
x x0 x x0 x x0
(D) lim[ f ( x) g ( x)] 不存在，但 lim g ( x) 存在，则 lim f ( x) 不存在
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2018 数学考研模拟试卷
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数学三（模拟 1）参考答案
一、选择题： （1）～（8）小题,每小题 4 分,共 32 分.
(1)【解】当 f ( x)
0, x 0, 1, x 0, g ( x) ，则 lim f ( x) g ( x) 0 是存在的，故【答案】C． x 0 1, x 0. 0, x 0.
2
, X n 是 X ~ P( ) (Poisson 分布)的简单随机样本, X 与S 2 分别是样本 X1 ,
). (C) n、 (D) (B)
, X n 的样本
、
n
、
、
n
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指点位置上.
考研数学三模拟题2018年(27)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(27) (总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设A为三阶实对称矩阵，α1 =(a，-a，1) T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1-a) T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 11 [解析] 因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1 =0，λ2=-1为矩阵A的特征值，α1=(a，-a，1) T，α2=(a，1，1-a) T是它们对应的特征向量，所以有=a 2 -a+1-a=0，解得a=1．2.设有三个线性无关的特征向量，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 14 [解析] 由得λ1 =-1，λ2=λ3=1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E-A)=1，解得a=4．3.设有三个线性无关的特征向量，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 10 [解析] 由|λE-A|=0得A的特征值为λ1 =-2，λ2=λ3=6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E-A)=1，解得a=0．4.f(x1，x2，x3，x4)=X T AX的正惯性指数是2，且A 2 -2A=O，该二次型的规范形为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1[解析] A 2 -2A=0 r(A)+r(2E-A)=4 A可以对角化，λ1 =2，λ2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1 =2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为．二、选择题1.设A为n阶矩阵，下列结论正确的是______．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] A不对，如A的两个特征值都是0，但r(A)=1；B不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；C不对，如A经过有限次行变换化为经过行变换不能化为因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得于是r(A)= 故选D．2.设A，B为n阶可逆矩阵，则______．• A.存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B• B.存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=B•**，B与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=BSSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 因为A，B都是可逆矩阵．所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选D．3.设则A与B______．SSS_SINGLE_SELA 合同且相似B 相似但不合同C 合同但不相似D 既不相似又不合同该题您未回答:х该问题分值: 1答案:C[解析] 显然A，B都是实对称矩阵，由|λE-A|=0，得A的特征值为λ1=1，λ2 =2，λ3=9，由|λE-B|=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选C．4.设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有X T AX=0，则______．SSS_SINGLE_SELA |A|=0B |A|＞0C |A|＜0D 以上都不对该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A[解析] 设二次型其中Q为正交矩阵．取则f=X T AX=λ1=0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=O，选A．三、解答题1.设有三个线性无关的特征向量，求a及A n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 由得λ1=λ2，λ3=2．因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以A一定可对角化，从而r(E-A)=1，即a=1，故由λ=1时，由(E-A)X=0，得由λ=2时，由(2E-A)X=0，得令则两边n次幂得从而设方程组有无穷多个解，为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2 =-2，λ3=-1的特征向量．SSS_TEXT_QUSTI2.求A；该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 因为方程组有无穷多个解，所以解得a=1．令则从SSS_TEXT_QUSTI3.求|A * +3E|．该题您未回答:х该问题分值: 3[解] |A|=2，A *对应的特征值为即2，-1，-2，A * +3E对应的特征值为5，2，1，所以|A * +3E|=10．=2是A 设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T．SSS_TEXT_QUSTI4.求A的其他特征值与特征向量；该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 因为A的每行元素之和为5，所以有=5，对应的特征向量为即A有特征值λ2又因为AX=0有非零解，所以r(A)＜3，从而A有特征值0，设特征值0对应的特征向量为，根据不同特征值对应的特征向量正交得解得特征值0对应的特征向量为SSS_TEXT_QUSTI5.求A．该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 令由得6.设求a，b及正交矩阵P，使得P T AP=B．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即解得a=1，b=0，则因为A～B，所以矩阵A，B的特征值都为λ1 =1，λ2=0，λ3=6．当λ=1时，由(E-A)X=0，得当λ=0时，由(0E-A)X=0，得当λ=6时，由(6E-A)X=0，得令再令则有P T AP=B．7.设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0为A，B公共的特征值，A的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解；B的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解，因为所以方程组有非零解，即A，B有公共的特征向量．设A是b阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．SSS_TEXT_QUSTI8.证明：α1，α2，…，αn线性无关；该题您未回答:х该问题分值: 2.5[证明] 令x1α1+x2α2+…+rnαn=0，则x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=0 x1α2+x2α3+…+xn-1αn=0x1Aα2+x2Aα3+…+xn-1Aαn=0 x1α3+x2α4+…+xn-22αn-2=0 …x1αn=0因为αn ≠0，所以x1=0，反推可得x2=…=xn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关．SSS_TEXT_QUSTI9.求A的特征值与特征向量．该题您未回答:х该问题分值: 2.5[解] 令P=(α1，α2，…，αn)，则则A与B相似，由|λE=B|=0 λ1=…=λn=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n-1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn =0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．10.设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为设β= 求Aβ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 因为A的每行元素之和为5，所以有即A有一个特征值为λ1=5，其对应的特征向量为又AX=0的通解为则r(A)=1 λ2=λ3=0，其对应的特征向量为Aξ2 =0，Aξ3=0．令x1ξ1，x2ξ2，x3ξ3=β，解得x1=8，x2=-1，x3=-2，则Aβ=8Aξ1 -Aξ2-2Aξ3=8Aξ1=11.求a，b及可逆矩阵P，使得P -1 AP=B．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 由|λE-B|=0，得λ1 =-1，λ2=1，λ3=2，因为A～B，所以A的特征值为λ1 =-1，λ2=1，λ3=2．由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由|A|=b=λ1λ2λ3=-2，得b=-2，即A=由(-E-A)X=0，得ξ1=(1，1，0) T；由(E-A)X=0，得ξ2=(-2，1，1) T；由(2E-A)X=0，得ξ3=(-2，1，0) T，令则由(-E-B)X=0，得η1=(-1，0，1) T；由(E-B)X=0，得η2=(1，0，0) T；由(2E-B)X=0，得η3=(8，3，4) T，令则由得令则P -1 AP=B．12.设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] |λE-A|= =(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1-a，λ2 =a，λ3=1+a．(1)当1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．λ1 =1-a时，由[(1-a)E-A]X=0得λ2=a时，由(aE-A)X=0得ξ2=λ3=1+a时，由[(1+a)E-A]X=0得(2)当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化．(3)当时，，因为，所以方程组的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．13.设A为m×n实矩阵，且r(A)=n．证明：A T A的特征值全大于零．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 首先A T A为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的X＞0，X T (A TA)X=(AX) T (AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX) T(AX)=α T α=|α| 2＞0，即二次型X T (A T A)X是正定二次型，A T A为正定矩阵，所以A T A的特征值全大于零．14.设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，P T AP为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 首先A T =A，因为(p T AP) T =P T A T (P T ) T =P T AP，所以P T AP为对称矩阵，对任意的X≠0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令PX=α，因为P 可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以α T Aα＞0，即X T (P T AP)X＞0，故X T (P T AP)X为正定二次型，于是P T AP为正定矩阵．15.设P为可逆矩阵，A=P T P．证明：A是正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 显然A T =A，对任意的X≠0，X T AX=(PX) T (PX)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是X T AX=(PX) T (PX)=|PX| 2＞0，即X T AX为正定二次型，故A为正定矩阵．16.设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 因为A，B正定，所以A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即A+B为对称矩阵．对任意的X≠0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为A，B为正定矩阵，所以X T AX＞0，X T BX＞0，因此X T (A+B)X＞0，于是A+B为正定矩阵．17.三元二次型f=X T AX经过正交变换化为标准形，且A * +2E的非零特征值对应的特征向量为求此二次型．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 因为f=X T AX经过正交变换后的标准形为，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2．由|A|=λ1λ2λ3=-2得A *的特征值为μ1=μ2 =-2，μ3=1，从而A * +2E的特征值为0，0，3，即α1为A * +2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3=-2的特征向量．令A的属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为因为A为实对称矩阵，所以有=0，即x1 +x3=0故矩阵A的属于λ1=λ2=1的特征向量为令由得所求的二次型为18.设二次型经过正交变换X=QY化为标准形，求参数a，b及正交矩阵Q．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 二次型的矩阵形式为f=X T AX其中因为所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而|λE-A|=λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2+2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2+2)λ+(-3a-2b+2b 2+2)=(λ-1) 2(λ-4)，解得a=2，b=1．当λ1=λ2=1时，由(E-A)X=0得由λ3=4时，由(4E-A)X=0得显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为则19.设齐次线性方程组有非零解，且为正定矩阵，求a，并求当|A|= 时X T AX的最大值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 因为方程组有非零解，所以=a(a+1)(a-3)=0，即a=-1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以aii＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得而当时，=Y T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=|X| 2 =2所以当时，X T AX的最大值为20(最大值20可以取到，如y1 =y2=0，y3= )．20.设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] A所对应的二次型为f=X T AX，因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X=QY，使得对任意的X≠0，因为X=QY，所以Y=Q T X≠0，于是，即对任意的X≠0有X T AX＞0，所以X T AX为正定二次型，故A 为正定矩阵．21.设A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵．证明：B T AB正定的充分必要条件是r(B)=n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以B T AB为对称矩阵，设B T AB是正定矩阵，则对任意的X≠0，X T B T ABX=(BX) T A(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n．反之，设r(B)=n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)＞0，所以B T AB为正定矩阵．1。
考研数学三模拟题2018年(2)_真题-无答案
考研数学三模拟题2018年(2)(总分100,考试时间90分钟)解答题1. 设其中函数f，g具有二阶连续偏导数，求2. 设z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求3. 设函数z=f(u)，方程确定u是x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ"(u)连续，且φ"(u)≠1．求4. 设5. 设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程exy-y=0和ez-xz=0所确定，求设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且满足等式6. 验证7. 若f(1)=0，f"(1)=1，求函数f(u)的表达式．8. 设z=u(x，y)eax+y，求常数a，使9. 已知函数u=u(x，y)满足方程试选择参数a，b，利用变换u(x，y)=v(x，y)eax+by将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项．10. 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x1万元及报纸广告费用x2万元之间的关系有如下经验公式：11. 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；12. 若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略．13. 求f(x，y)=x+xy-x2-y2在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．14. 设f(x，y)=kx2+2kxy+y2在点(0，0)处取得极小值，求k的取值范围．15. 设f(x，y)具有二阶连续偏导数．证明：由方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=φ(x)在x=a 处取得极值b=φ(a)的必要条件是且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值，其中16. 求函数z=x2+y2+2x+y在区域D：x2+y2≤1上的最大值与最小值．17. 求内接于椭球面的长方体的最大体积．18. 在第一象限的椭圆上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大．19. 厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2，需求函数分别为q1=24-0.2p1和q2=10-0.05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)．试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少? 20. 在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式21. 设(1)(2)讨论它们在点(0，0)处的①偏导数的存在性；②函数的连续性；③方向导数的存在性；④函数的可微性．22. 设A，B，C为常数，B2-AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二阶连续偏导数．试证明：必存在非奇异线性变换ξ=λ1x+y，η=λ2x+y (λ1，λ2为常数)，将方程23. 设f(x，y)在点O(0，0)的某邻域U内连续，且常数．试讨论f(0，0)是否为f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?24. 求函数f(x，y)=x2+2y2-x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．25. 设h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，且满足求u的表达式，其中26. 证明：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件下有最大值和最小值，且它们是方程k2-(Aa2+Cb2)k+(AC-B2)a2b2=0的根．27. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2．需求函数分别为：q1=2-ap1+bp2，q2=1-cp2+dp1．总成本函数C=3+k(q1+q2)．其中a，b，c，d，k都为大于0的常数，且4ac≠(b+d)2．试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大．28. 设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量．如果生产函数为其中α，β为正常数，且α+β=1．假设两种要素价格分别为p1，p2．试问产出量为12时，两要素各投入多少，可以使得投入总费用最小?29. 设生产函数和成本函数分别为当成本预算为S时，两种要素投入量x和y为多少时，产量Q最大，并求最大产量．。
考研数学三模拟题2018年(63)_真题-无答案
考研数学三模拟题2018年(63)(总分100,考试时间90分钟)一、选择题1. 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组2α1+α3+α4，α2-α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是______A. 1B. 2C. 3D. 42. 设n阶(n≥3)矩阵若矩阵A的秩为n-1，则a必为______A．1B．C．-1D．3. 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为______A. 向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出B. 向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出C. 向量组α1，α2，…，αm向量组β1，β2，…，βm等价D. 矩阵A=[α1，α2，…，αm]与矩阵B=[β1，β2，…，βm]等价4. 要使都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为______A．[-2,1,1]B．C．D．5. 齐次线性方程组的系数矩阵为A，若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则______A. λ=-2且|B|=0B. λ=-2且|B|≠0C. λ=1且|B|=0D. λ=1且|B|≠06. 齐次线性方程组的系数矩阵A4×5=[β1，β2，β3，β4，β5]经过初等行变换化成阶梯形矩阵为则______A. β1不能由β3，β4，β5线性表出B. β2不能由β1，β3，β5线性表出C. β3不能由β1，β2，β5线性表出D. β4不能由β1，β2，β3线性表出7. 设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是______A. A的列向量线性无关B. A的列向量线性相关C. A的行向量线性无关D. A的行向量线性相关8. 设A为n阶实矩阵，则对线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有______A. (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B. (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C. (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D. (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解9. 已知β1，β2是AX=b的两个不同的解，α1，α2是相应的齐次方程组AX=0的基础解系，k1，k2是任意常数，则AX=b的通解是______A．B．C．D．10. 设A是m×n矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______A. m=n且|A|≠0B. AX=0有唯一零解C. A的列向量组α1，α2，…，αn和α1，α2，…，αn，b是等价向量组D. r(A)=n，b可由A的列向量线性表出11. 设A是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是______A.ATX=0只有零解**=0必有无穷多解C.对任意的b，ATX=b有唯一解D.对任意的b，AX=b有无穷多解12. 设A是m×n矩阵，B是s×n矩阵，则齐次线性方程组BX=0和ABX=0是同解方程组的一个充分条件是______A. r(A)=mB. r(A)=sC. r(B)=sD. r(B)=n13. 设A，B是n阶方阵，X，Y，b是n×1矩阵，则方程组有解的充要条件是______A. r(A)=r(A|b)，r(B)任意B. AX=b有解，BY=0有非零解C. |A|≠0，b可由B的列向量线性表出D. |B|≠0，b可由A的列向量线性表出14. 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是______A．B．C．D．15. 设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则______A. 当λ1=λ2时，α1，α2对应分量必成比例B. 当λ1=λ2时，α1，α2对应分量不成比例C. 当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必成比例D. 当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必不成比例16. 已知α1=[-1，1，a，4]T，α2=[-2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为______A. a≠5B. a≠-4C. a≠3D. a≠-3且a≠-417. 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则______A. λE-A=λE-BB. A与B有相同的特征值和特征向量C. A与B都相似于一个对角矩阵D. 对任意常数t，tE-A与tE-B相似18. 设A为n阶矩阵，下列命题正确的是______A.若α为AT的特征向量，那么α为A的特征向量B.若α为A*的特征向量，那么α为A的特征向量C.若α为A2的特征向量，那么α为A的特征向量D.若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量19. 已知3阶矩阵A有特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，则2A*的特征值是______A. 1，2，3B. 4，6，12C. 2，4，6D. 8，16，2420. 已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0______A. 必是A的二重特征值B. 至少是A的二重特征值C. 至多是A的二重特征值D. 一重、二重、三重特征值都可能21. 已知ξ1，ξ2是方程(λE-A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是______A. .ξ1B. .ξ1C. ξ1-ξ2D. ξ1+ξ222. 设则下列选项中是A的特征向量的是______A.ξ1=[1，2，1]TB.ξ2=[1，-2，1]TC.ξ3=[2，1，2]TD.ξ4=[2，1，-2]T23. 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是______A．B．C．D．24. 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是A．B．C．D．25. A是n阶方阵，则A相似于对角阵的充分必要条件是______A. A有n个不同的特征值B. A有n个不同的特征向量C. A的每个ri重特征值λi，r(λiE-A)=n-riD. A是实对称矩阵26. 设，其中与对角矩阵相似的有A. A,B,CB. B,DC. A,C,DD. A,C27. 设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中：①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A-1～B-1．正确命题的数量为______A. 1B. 2C. 3D. 428. 已知，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是______A. [α1，-α2，α3]B. [α1，α2+α3，α2-2α3]C. [α1，α3，α2]D. [α1+α2，α1-α2，α3]29. 设A是n阶实矩阵，将A的第i列与第j列对换，然后再将第i行和第j行对换，得到B，则A，B有______A．B．C．D．30. 下列矩阵中与合同的矩阵是______A．B．C．D．31. 实二次型f(x1，x2，…，xn)的秩为r，符号差为s，且f和-f合同，则必有______A. r是偶数，s=1B. r是奇数，s=1C. r是偶数，s=0D. r是奇数，s=032. 设A=E-2XXT，其中X=[x1，x2，…，xn]T，且XTX=1，则A不是______A. 对称阵B. 可逆阵C. 正交阵D. 正定阵二、填空题1.2. 设a，b，a+b均非0，则行列式3. 已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，|B|=2，则行列式4. 设n阶矩阵则|A|=______．5. 设A=[α1，α2，α3]是3阶矩阵，|A|=4，若B=[α1-3α2+2α3,α2-3α3,2α2+α3]，则|B|=______．6. 设α=[1，0，1]T，A=ααT，n是正数，则|aE-An|=______．7. 设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，，则|C|=______．8. 设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E，|A|＞0，则|A-E|=______．。
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2018年考研数学模拟试题（数学三）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
(1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则
2
0)(lim x x
x y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在.
（2）设在全平面上有0),(<∂∂x y x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ）
（A ）21x x >，21y y <.
（B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >.
（3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0<x 时有()0f x '<，()0f x ''>，则当0>x 时有（ ）
（A ）0)(,0)(>''<'x f x f . （B ）0)(,0)(<''>'x f x f .
（C ）0)(,0)(>''>'x f x f . （D ）0)(,0)(<''<'x f x f .
(4) 设函数)(x f 连续，且(0)0f '<，则存在0δ>，使得（ ）
（A ）在(0,)δ内单调增加（B ）在(,0)δ-内单调减少
（C ）对任意的(0,)x δ∈，有()(0)f x f >
（D ）对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >
（5）二次型222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-的规范型是（ ）.
（A ）222123f z z z =++. （B ）222123f z z z =+-.
（C ）2212f z z =-. （D ）21f z =.
（6）设1211121k A k k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，B 是三阶非零矩阵，且AB O =，则（ ）.
（A ）当1k =时，()1r B = . （B ）当3k =-时，()1r B =.
（C ）当1k =时，()2r B = . （D ）当2k =-时，()2r B =.
（7）设随机变量X 与Y 分别服从12N -（，）和2N （1，）
，且X 与Y 不相关，1k X Y +与2X k Y +也不相关，则（ ）.
（A ）120k k +=. （B ）120k k ==.
（C ）120k k +≠. （D ）120k k +≠.
(8) 设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样
本方差，则 （ ） （A ）~(0,1)nX N . （B ）22~()nS n χ.
（C ）)1(~)1(--n t S X n . （D ）212
2
(1)~(1,1)n i i n X F n X =--∑. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
（9）设)(1lim )(2212N n x bx
ax x x f n n n ∈+++=-∞→，若1lim ()x f x → 与1
lim ()x f x →-都存在，那么a =________， ________b =.
（10）2
22222
021
lim cos()xy r x y r e x y dxdy r π→+≤-⎰⎰________=.. (12) 设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，则
dx x f ⎰π
0|)(|________=.
（13）设矩阵2T A E αβ=+，其中,αβ是n 维列向量，且2T αβ=，则1______A
-=. （14）设129,,,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，
1161()6Y X X =++27891()3
Y X X X =++，922271()2i i S X Y ==-∑
，12)Y Y Z S -=，则统计量Z 服从______.
三、解答题（15-23题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（15）（10分）设()f x 在(,0]-∞上连续，且满足
222
2201()ln(1)12x x tf t x dt x x -=-++⎰
，求()f x 及其极小值.
（16）（10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导，且()0,()0,()0f a f b f a +'=><.证明：
①在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=；
②在(,)a b 内至少存在一点η，使得()0f η''>.
（17）（10分）求微分方程2
36xy y x '=-的一个解()y y x =，使得曲线()y y x =与直 线1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小.
（18）（10
分）计算1D I d σ=
，区域D
由曲线y =和x 轴围成.
（19）（10分）求幂级数21(1)n
n n n x n ∞
=+-∑的收敛域及和函数.
（20）（11分）设33A ⨯是实对称矩阵，12A =-，A 的三个特征值之和为1，且
102T α=-（，，）是方程组(4)0A E x *-=的一个解向量.
①求矩阵A ；
②求方程组(6)0A E x *
+=的通解.
（21）（11分）设n 阶实对称矩阵A 的秩为r ，且满足2A A =，求 ①二次型T
x Ax 的标准形；
②行列式||2n A A A E ++++ 的值，其中E 为单位矩阵.
（22）（11分）已知随机变量X 与Y 的联合概率分布为 0
10
11/31/3Y X αβ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ①证明X 与Y 不相关的充分必要条件是事件{1}Y =与{1}X Y +=相互独立； ②若X 与Y 不相关，求X 与Y 的边缘分布.
（23）（11分）设总体),1(~θU X ，参数1>θ未知，n X X ,,1 是来自X 的简单随机样本. ①求θ的矩估计和极大似然估计量；
②求上述两个估计量的数学期望.。