应用回归分析讲义_十三岭回归

合集下载

岭回归分析（RidgeRegressonAnalysis）

岭回归分析（RidgeRegressonAnalysis）简介1962年A.E.Hoerl⾸先提出，1970年他⼜和R.W.kennard合作在发表的论⽂中作了详细的讨论。

应⽤回归分析有⼀种实际情况是：研究者希望在回归⽅程内包含2个或⼏个⾼度相关的共线性⾃变量。

这在医学研究中有时会遇到，例如有些⽣理指标，特别是⽣长发育指标(⽐如⾝⾼和体重)，明知是⾼度相关的，有时却希望把它们都引⼊回归⽅程，以便作专业解释。

这时⽤逐步回归法不合适，⽤⼀般回归分析法所求得的各回归系数值不稳定、难于解释。

岭回归分析针对这种实际情况，⽤改进的最⼩⼆乘法拟合多元线性回归⽅程，叫做岭回归⽅程，可减少样本回归系数的标准误，使各回归系数值相对稳定和便于解释。

其基本原理是：在⽤样本的相关系数值拟合标准化变量的岭回归⽅程时，把两两变量(包括⾃变量和应变量)Xi和Xj的相关系数rij，⼈为地减少成为rij/(1+k)，k称为岭参数，取值0～1。

求得的标准化岭回归系数可记作bi′(k)，取使各bi′(k)相对稳定的k值，得标准化变量的岭回归⽅程为＝b1′(k)X1′+b2′(k)X2′+…+bm′(k)Xm′。

还可得岭回归⽅程为＝a(k)+b1(k)X1+b2(k)X2+…+bm(k)Xm，bi(k)为岭回归系数。

岭回归⽅程的⽅差分析、岭回归系数的标准误等的运算和⼀般多元线性回归分析的相同。

岭回归分析主要⽤于解释：⽤岭回归系数bi(k)说明各⾃变量和应变量的数量关系;⽤标准化岭回归系数bi′(k)⽐较各⾃变量对应变量的作⽤⼤⼩。

要指出的是：相对于⼀般回归分析所拟合的回归⽅程，特别是相对逐步回归分析所拟合的回归⽅程，岭回归⽅程的剩余均⽅要⼤，因此预报效果要差，⼀般不⽤于预报。

岭回归技术的原理和应用

岭回归技术的原理和应用1. 岭回归技术简介岭回归是一种常见的线性回归方法，用于处理特征矩阵存在高度多重共线性的情况。

它通过添加一个正则化项，缩小特征系数的幅度，从而降低过拟合的风险。

本文将介绍岭回归技术的原理和应用。

2. 岭回归的原理岭回归的原理基于以下假设条件： - 原始数据存在线性关系 - 特征矩阵的列之间存在多重共线性岭回归通过对特征矩阵的每一列添加一个正则化项进行优化，可以用以下公式表示：β_ridge = argmin ||y - Xβ||^2 + λ||β||^2其中，β_ridge是岭回归得到的特征系数向量，y是目标变量，X是特征矩阵，λ是正则化参数。

3. 岭回归的应用岭回归在实践中有许多应用场景，下面列举了几个常见的应用：3.1 特征选择岭回归可以通过对特征系数进行优化，选择最重要的特征变量。

通过调整正则化参数λ的值，可以控制特征系数的幅度，从而实现特征选择的目的。

3.2 预测分析岭回归可以用于对数据进行预测分析。

通过使用已有的数据集进行模型训练，得到特征系数向量，然后可以用该向量对新的未知数据进行预测。

3.3 多重共线性处理岭回归的一个主要应用是处理特征矩阵存在多重共线性的情况。

多重共线性指的是特征矩阵中有多个特征变量之间存在高度相关性的情况。

岭回归通过正则化项的引入，可以有效降低多重共线性对模型的影响。

3.4 泛化能力岭回归在具有较小样本量的情况下表现出较好的泛化能力。

通过控制正则化参数λ的值，岭回归可以在一定程度上平衡模型的拟合能力和泛化能力。

4. 总结岭回归技术是一种常见的线性回归方法，通过添加正则化项对特征系数进行优化，从而处理特征矩阵存在多重共线性的情况。

岭回归在特征选择、预测分析、多重共线性处理和提高模型的泛化能力等方面具有广泛的应用。

在实际应用中，需要根据具体问题选择适当的正则化参数λ，以平衡模型的复杂度和拟合能力。

以上是岭回归技术的原理和应用的概述，希望对您有所帮助！。

回归（三）：岭回归

回归（三）：岭回归概念在中提到⽤最⼩⼆乘法求解回归系数的过程中需要考虑特征矩阵是否可逆的问题，事实上当特征数量⽐样本数量多的时候（样本数m⼤于特征数n，X不是满秩矩阵）就会遇到这个问题，这个时候标准线性回归显然就⽆从下⼿了引⼊岭回归就是为了解决这个问题，它是最先⽤来处理特征数多余样本数的算法。

该算法的基本思想是在X T X上加上⼀个λI使得矩阵⾮奇异，从⽽能够对X T X+λI求逆，其中I是⼀个n*n的单位矩阵，λ是⼀个超参数，需要⽤户⾃⼰调试。

I 作为⼀个对⾓的单位阵，由1组成的对⾓线就像⼀条在0矩阵中的岭，这就是岭回归的由来。

那么根据中的思路，回归系数的求解公式变成如下所⽰：事实上这是⼀种缩减（shrinkage）的算法，这种⽅法能够通过系数反映出参数的重要程度，也就是说能够把⼀些系数缩减成很⼩的值甚⾄零。

这有点类似于降维，保留更少的特征能够减少模型的复杂程度，便于理解。

⽽且研究表明与简单的线性回归相⽐，缩减法能够取得更好的预测效果。

代码实现需要指出的是，使⽤岭回归和缩减技术，⾸先需要对特征作标准化处理，使得每个特征具有相同的重要性，这样才能从得到的系数中反应各个参数的重要程度。

演⽰所⽤的数据集是《机器学习实战》第⼋张提供的abalone.txt数据，数据有⼋个特征，最后⼀列为⽬标值，概览如下：代码如下：1def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):2'''3岭回归，lam是需要调试的超参数4'''5 xTx = xMat.T*xMat6 denom = xTx + eye(shape(xMat)[1])*lam7if linalg.det(denom) == 0.0:8print"This matrix is singular, cannot do inverse"9return10 ws = denom.I * (xMat.T*yMat)11return ws1213def ridgeTest(xArr,yArr):14 xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T15 yMean = mean(yMat,0)16 yMat = yMat - yMean #to eliminate X0 take mean off of Y17#岭回归和缩减技术需要对特征作标准化处理，使每维特征具有相同的重要性18 xMeans = mean(xMat,0)19 xVar = var(xMat,0)20 xMat = (xMat - xMeans)/xVar21 numTestPts = 3022 wMat = zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))23#在30个不同的lambda下计算，为了找出最优参数24for i in range(numTestPts):25 ws = ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))26 wMat[i,:]=ws.T27return wMat可以看到，为了找出最优的λ，ridgeTest()函数在30个不同的λ下调⽤岭回归。

岭回归基本步骤

岭回归基本步骤第一步：目标确定岭是指两个山脉之间的山脉脊，回归是指回归到原本的位置。

以岭回归即是指将两个山脉之间的岭回归到原本的位置。

在进行以岭回归之前，首先要确定回归的目标，即希望将岭回归到哪个位置。

这个位置可以是两个山脉之间的最高点，也可以是两个山脉之间的中间位置，具体取决于实际需求。

第二步：数据收集进行以岭回归需要大量的数据支持。

在这一步，需要收集与岭相关的各种数据，包括岭的高度、形状、材质等。

这些数据可以通过现场勘测、遥感技术、地图等方式获取。

同时，还需要收集两个山脉之间的地形地貌数据，以及相关的气候、地质等数据。

第三步：模型建立在进行以岭回归之前，需要建立相应的数学模型。

这个模型可以是基于统计学原理的回归模型，也可以是基于物理学原理的模拟模型。

通过对数据的分析和处理，可以建立一个能够描述岭与两个山脉之间关系的模型。

第四步：参数调整在建立模型之后，需要对模型进行参数调整。

这个过程通常需要通过实验和观测来获取调整参数的准确值。

通过不断地调整模型的参数，可以使模型更好地拟合实际情况，提高回归结果的准确性。

第五步：回归实施在完成前面的准备工作之后，即可进行以岭回归的实施。

根据模型和参数的设定，通过一系列的操作和措施，将岭逐步回归到目标位置。

这个过程可能涉及到土地平整、植被恢复、水土保持等方面的工作。

第六步：效果评估完成以岭回归之后，需要对回归效果进行评估。

这个评估可以从多个角度进行，包括岭的形态、生态环境的变化、生物多样性的恢复等方面。

通过评估效果，可以判断回归是否达到预期目标，并对后续的工作进行调整和改进。

总结：以岭回归是一项复杂而艰巨的任务，需要经过目标确定、数据收集、模型建立、参数调整、回归实施和效果评估等多个步骤。

在整个过程中，需要充分考虑人类的角度和情感，注重保护自然环境和生态系统，以实现岭的回归和生态恢复的目标。

只有通过科学的方法和细致的工作，才能实现以岭回归的愿望，并为人类和自然环境创造更美好的未来。

岭回归的基本思想

岭回归的基本思想岭回归原理简单分析与理解首先说明一下，岭回归用于回归。

学习岭回归，给我的感受是，它的数学公式推导比较简单，然而理解其含义相对难一些，所以本文着重引导你去理解它，而不仅仅是会推导公式。

至于背景介绍，网络上很多，这里就不再“复制”了。

这里对数据以及直线方程等全部进行定义与说明，后面就不再重复，直接使用。

现在有一些数据(x_1 , y_1 ) , (x_2 , y_2 ) , … , (x_n , y_n )，其中x_i，i=1 , 2 , … , n 表示第i个样本的一些特征，y_i，i=1 , 2 , … , n 表示第i个样本的数值。

对于拟合的线性方程这里，为了使式子变得简化，可以进行一定的变换，令则原线性方程可写成先看一下岭回归的目标函数：显然，它是在最小二乘的基础之上，在目标函数中增加了后面一项，为了完全弄明白上面这个式子的含义，我们还是先简单说一下最小二乘法。

这里就不介绍背景部分了，直接进入正题，简单介绍最小二乘法。

现在，想一个问题：下面的这些样本，用哪条直线进行拟合比较好？显然，我们会觉得使用绿色的线进行拟合相对来讲更好一些，那么，我们为什么会觉得绿色的这条线，好一些呢？能不能给出一个比较合理的解释呢？每一个x都对应一个相应的y值，那么，我们可以设计一条直线使得每个x在这个函数上的y‘值与y很接近，当然，如果每个y’与y值都相等是最好的。

所以就可以写出目标函数用图形来表示，大概如下图所示（注：此时x是1维的）然后，我们再进行求解这个目标函数，为了使公式更为简洁，令则目标函数可以写成由于这个函数是凸函数，而且是求极小值，所以可以对其求导，导数为0的点，即是极小值点，简化过程（具体如何求导，这里就不仔细讲了）如下令其导数等于0，得似乎，写到这里，最开始的那个问题就解决了，因为X与Y是训练样本，都已知，完全可以求出w的值。

但是，还有一下几个问题需要考虑1.如果X的转置与X的乘积如果不可导，这个方法可行吗？答：如果不可导，那这个方法就不太可行。

回归分析中的岭回归模型应用技巧

回归分析是统计学中一种常用的方法，用来研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。

在回归分析中，岭回归模型是一种经典的技术，它可以帮助我们处理多重共线性和过拟合等问题。

本文将介绍岭回归模型的应用技巧，帮助读者更好地理解和使用这一技术。

1. 岭回归模型的原理岭回归模型是一种正则化方法，它通过引入一个正则化参数来限制模型的复杂度，从而避免过拟合的问题。

在岭回归模型中，我们的目标是最小化残差平方和加上正则化参数与模型系数的乘积。

这样一来，即使在存在多重共线性的情况下，岭回归模型也能够给出稳定可靠的估计结果。

2. 如何选择正则化参数选择正则化参数是岭回归模型中的关键问题。

一般来说，我们可以使用交叉验证的方法来选择最优的正则化参数。

具体而言，我们可以将数据集分为训练集和验证集，然后对不同的正则化参数进行测试，选择在验证集上表现最好的参数作为最终的选择。

另外，我们还可以使用留一法交叉验证或者k折交叉验证来进行参数选择，以确保结果的稳健性。

3. 岭回归模型与普通最小二乘法的比较岭回归模型和普通最小二乘法在处理多重共线性问题上有很大的不同。

普通最小二乘法在存在多重共线性时会导致估计系数的方差非常大，从而使得模型的预测能力变差。

而岭回归模型通过引入正则化参数，可以有效地缓解多重共线性的影响，提高了模型的稳定性和鲁棒性。

4. 岭回归模型的应用实例在实际应用中，岭回归模型有着广泛的应用。

例如在金融领域，我们可以使用岭回归模型来预测股票价格或者汇率变动；在医学领域，我们可以使用岭回归模型来研究疾病与基因之间的关联等。

岭回归模型的灵活性和鲁棒性使得它成为了统计学中一个不可或缺的工具。

5. 岭回归模型的局限性尽管岭回归模型有着诸多优点，但是它也存在一些局限性。

例如在处理大规模数据集时，岭回归模型的计算成本会非常高；另外，岭回归模型还要求自变量之间不存在严格的共线性，否则会导致参数估计的不准确性。

因此在具体应用时，我们需要根据实际情况选择合适的模型和方法。

岭回归

岭回归一、普通最小二乘估计带来的问题当设计矩阵X 呈病态时,X 的列向量之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性,在这种情况下,用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计的方差太大,即jj jj j L C 2)ˆvar(σβ=很大，jβˆ就很不稳定,在具体取值上与真值有较大的偏差,有时会出现与实际经济意义不符的正负号。

下面看一个例子,可以说明这一点。

假设已知1x ,2x 与y 的关系服从线性回归模型:ε+++=213210x x y ,给定1x ,2x 的10个值,如下表1，2行所示：表7.1然后用模拟的方法产生10个正态随机数,作为误差项ε,见表第3行。

然后再由回归模型i i i i x x y ε+++=213210计算出10个i y 值,见表第4行。

现在假设回归系数与误差项是未知的,用普通最小二乘法求回归系数的估计得：0ˆβ=11.292,1ˆβ=11.307,2ˆβ=-6.591,而原模型的参数0β=10,1β=2,2β=3看来相差太大。

计算1x ，2x 的样本相关系数得12r =0.986,表明1x 与2x 之间高度相关。

通过这个例子可以看到解释变量之间高度相关时，普通最小二乘估计明显变坏。

二、岭回归的定义当自变量间存在多重共线性,|X X '|≈0时，设想给X X '加上一个正常数矩阵kI (k>0)那么X X '+kI 接近奇异的程度就会比X X '接近奇异的程度小得多。

考虑到变量的量纲问题，先要对数据标准化，标准化后的设计矩阵仍用X 表示，定义y X kI X X k '+'=-1)()(ˆβ称为β的岭回归估计，其中，k 称为岭参数。

由于假设X 已经标准化，所以X X '就是自变量样本相关阵。

y 可以标准化也可以未标准化，如果y 也经过标准化，那么计算的实际是标准化岭回归估计。

)(ˆk β作为β的估计应比最小二乘估计βˆ稳定，当k=0时的岭回归估计)0(ˆβ就是普通的最小二乘估计。

推导岭回归的解析解

推导岭回归的解析解
岭回归（Ridge Regression）是一种用于处理多重共线性问题的线性回归方法。

相比于普通最小二乘法（Ordinary Least Squares,OLS），岭回归通过引入一个正则化项来惩罚回归系数的大小，从而减小模型的方差。

为了得到岭回归的解析解，我们首先需要了解岭回归的目标函数。

假设我们有一个数据集X，其中X是一个n×p的矩阵，n表示样本数量，p表示特征数量。

我们还有一个目标向量y，其中y是一个n×1的列向量。

岭回归的目标是最小化以下目标函数：
min||y-Xβ||^2+λ||β||^2
其中，β是回归系数向量，λ是正则化参数。

||y-Xβ||^2表示残差平方和，||β||^2表示回归系数的平方和。

为了求解上述目标函数的最小值，我们将目标函数转化为矩阵形式：
min(y-Xβ)^T(y-Xβ)+λβ^Tβ
对目标函数求导并令导数为0，可以得到解析解：2X^T(y-Xβ)+2λβ=0
将上式整理得到：
X^T(y-Xβ)+λβ=0
将上式展开可得：
X^Ty-X^TXβ+λβ=0
进一步整理得到：
(X^TX+λI)β=X^Ty
其中，I是单位矩阵。

最后，我们可以通过求解上述线性方程组得到岭回归的解析解：
β=(X^TX+λI)^-1X^Ty
通过这个解析解，我们可以计算出岭回归模型的回归系数，从而进行预测和分析。

总结而言，岭回归的解析解可以通过求解一个带有正则化项的线性方程组得到。

通过引入正则化项，岭回归能够有效应对多重共线性问题，提高模型的稳定性和泛化能力。

回归分析中的岭回归模型应用技巧(十)

回归分析是统计学中的一种常用方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在实际应用中，常常会遇到自变量间存在多重共线性的情况。

这时，传统的最小二乘法(OLS)估计存在严重的问题，会导致参数估计的不稳定性和方差的膨胀。

因此，人们引入了岭回归模型来解决这一问题。

一、岭回归模型概述岭回归模型是一种改进的回归分析方法，通常用于解决自变量之间存在共线性问题的情况。

它的核心思想是在最小二乘法的基础上引入了一个惩罚项，通过调整惩罚参数来平衡模型的拟合优度和参数的偏差。

这样可以有效地减小参数估计的方差，提高模型的稳定性。

二、岭回归模型应用技巧1. 数据标准化在进行岭回归分析之前，首先需要对数据进行标准化处理。

这是因为岭回归模型是对自变量进行惩罚，而惩罚项的大小与自变量的尺度有关。

如果不对数据进行标准化处理，那么得到的结果可能会受到自变量尺度的影响，导致参数估计的偏差。

因此，对于连续型的自变量，需要进行标准化处理，使其均值为0，标准差为1。

这样可以保证各个自变量的尺度一致，不会对参数估计产生影响。

2. 选择合适的惩罚参数岭回归模型中的惩罚参数λ是一个非常重要的调节参数，它决定了模型的拟合优度和参数估计的偏差程度。

一般来说，λ越大，模型对参数的惩罚越大，拟合优度越差，但参数估计的偏差越小；反之，λ越小，模型对参数的惩罚越小，拟合优度越好，但参数估计的偏差越大。

因此，选择合适的惩罚参数是非常关键的。

一种常用的方法是通过交叉验证来选择最优的惩罚参数。

通过在不同的λ取值下进行交叉验证，选择拟合优度和参数估计的折中点作为最优的惩罚参数。

3. 检验模型拟合效果在进行岭回归分析之后，需要对模型的拟合效果进行检验。

一般来说，可以通过残差分析、拟合优度指标和交叉验证等方法来评估模型的拟合效果。

残差分析可以帮助我们检验模型的假设条件是否满足，拟合优度指标可以帮助我们评价模型的拟合程度，而交叉验证可以帮助我们选择最优的惩罚参数。

4. 解释模型结果最后，当得到最优的岭回归模型之后，需要对模型结果进行解释。

岭回归系数

岭回归系数摘要：1.岭回归系数的定义与含义2.岭回归系数的作用与应用3.岭回归系数的计算方法与实例4.岭回归系数在实际问题中的应用5.岭回归系数的发展前景与挑战正文：岭回归系数是一种在统计学和数据分析领域中经常使用的概念，它主要用于岭回归模型的计算和分析。

岭回归模型是一种解决多重共线性问题的方法，它能够通过引入惩罚项来降低回归系数的大小，从而提高模型的稳定性和预测能力。

在这个过程中，岭回归系数扮演着至关重要的角色。

岭回归系数的作用与应用主要体现在以下几个方面：首先，岭回归系数可以用来衡量自变量与因变量之间的相关程度。

在回归分析中，回归系数表示自变量对因变量的影响程度，而岭回归系数则表示在考虑了多重共线性问题的情况下，自变量对因变量的影响程度。

其次，岭回归系数可以用来优化模型的预测效果。

在实际应用中，由于数据之间可能存在较高的相关性，这会导致模型的预测效果受到较大影响。

而岭回归系数可以通过降低相关性较强的自变量的权重，从而提高模型的预测能力。

再次，岭回归系数可以用来检验模型的可靠性。

在岭回归模型中，回归系数的大小受到惩罚项的影响，因此，我们可以通过观察岭回归系数的大小来判断惩罚项是否起到了预期的效果，从而检验模型的可靠性。

最后，虽然岭回归系数在实际问题中的应用已经非常广泛，但是，由于岭回归系数的计算方法较为复杂，需要借助于特殊的算法和工具，因此，对于研究者来说，如何快速准确地计算岭回归系数仍然是一个挑战。

同时，随着数据量的增加和数据分析需求的提高，如何更好地应用岭回归系数来解决实际问题，也是研究者们需要关注的问题。

总的来说，岭回归系数是一种重要的统计学概念，它在解决多重共线性问题，优化模型预测效果，检验模型可靠性等方面有着广泛的应用。

岭回归系数

岭回归系数【原创版】目录一、岭回归系数的概念二、岭回归系数的作用三、岭回归系数的计算方法四、岭回归系数的应用实例五、岭回归系数的优缺点正文一、岭回归系数的概念岭回归系数，是岭回归分析法中的一个重要参数，它是指在岭回归分析中，自变量对因变量的影响程度。

岭回归分析是一种解决多重共线性问题的统计分析方法，其主要思想是通过引入惩罚项来降低多重共线性对模型估计的影响，从而提高模型的预测精度。

二、岭回归系数的作用岭回归系数在岭回归分析中起着关键作用，它用于衡量自变量对因变量的影响程度。

岭回归系数的绝对值大小可以反映自变量对因变量的重要性，系数绝对值越大，说明自变量对因变量的影响越大；反之，系数绝对值越小，说明自变量对因变量的影响越小。

三、岭回归系数的计算方法岭回归系数的计算方法主要包括以下步骤：1.对自变量进行标准化处理，使其均值为 0，方差为 1；2.计算自变量和因变量之间的相关系数；3.引入惩罚项，计算岭回归系数；4.根据岭回归系数的正负值，确定自变量对因变量的影响方向。

四、岭回归系数的应用实例岭回归系数在实际应用中，可以帮助我们识别哪些自变量对因变量的影响较大，哪些自变量对因变量的影响较小，从而有针对性地选取重要自变量进行分析。

例如，在房价预测模型中，我们可以通过计算岭回归系数，确定哪些因素对房价的影响较大，如地段、房型等，从而更准确地预测房价。

五、岭回归系数的优缺点岭回归系数作为一种解决多重共线性问题的方法，具有一定的优点，如降低多重共线性对模型估计的影响，提高模型的预测精度等。

然而，岭回归系数也存在一定的缺点，如计算过程较为复杂，对计算机运算能力要求较高等。

岭回归分析

§7.2 岭回归估计的性质
性质 3 对任意 k＞0，‖βˆ ‖≠0 ‖βˆ(k)‖＜‖βˆ ‖
这里‖ ‖是向量的模，等于向量各分量的平方和。这个性质表明βˆ(k)可看成由βˆ 进行某种向原点的压缩，
从βˆ(k)的表达式可以看到，当 k→∞时，βˆ(k)→0，即βˆ(k)化为零向量。
§7.2 岭回归估计的性质
因此，岭估计βˆ(k)是最小二乘估计βˆ 的一个线性变换，根据定义式βˆ(k)(XX kI)-1 Xy 知βˆ(k)也是 y
这里需要注意的是，在实际应用中，由于岭参数 k 总是要通过数据来确定，因而 k 也依赖于y，因此从本质上说βˆ(k)并非βˆ 的线性变换，也不是 y 的线性函数。
§7.2 岭回归估计的性质
性质 2 在认为岭参数 k 是与 y 无关的常数时，βˆ(k)(XX kI)-1 Xy 是最小二乘估计βˆ 的一个线性变换，也是y
因为 βˆ(k)(XX kI)-1 Xy =(XX kI)-1 XX(XX)-1 Xy =(X X kI)-1 XXβˆ
§7.5 用岭回归选择变量
计算X′X的15个特征为： 4.5272，2.7547，2.0545，1.3487，1.2227 0.9605，0.6124, 0.4729，0.3708，0.2163 0.1665，0.1275，0.1142，0.0460，0.0049
注：以上特征根是按照原文献的计算方式，自变量观测阵未包含代表常数项的第一列1，与用SPSS计算结果有所不同
§7.4 岭参数k的选择
§7.4 岭参数k的选择
二、方差扩大因子法
方差扩大因子 cjj度量了多重共线性的严重程度，计算岭估计 βˆ(k)的协方差阵，得
D（βˆ(k)）=cov（βˆ(k)，βˆ(k)） =cov（(X′X+kI)-1X′y，(X′X+kI)-1X′y） =(X′X+kI)-1X′cov（y，y）X(X′X+kI)-1 =σ 2(X′X+kI)-1X′X(X′X+kI)-1 =σ 2(cij（k）)

回归分析中的岭回归模型应用技巧(Ⅱ)

回归分析是统计学中常见的一种分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在实际应用中，岭回归模型是回归分析中的一种重要技巧，它能够有效地处理自变量间存在多重共线性的情况，提高模型的稳定性和准确性。

本文将介绍岭回归模型的基本原理和应用技巧，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一技术。

一、岭回归模型的基本原理岭回归模型是由美国数学家Arthur E. Hoerl和Robert W. Kennard于1970年提出的，用于解决回归分析中存在多重共线性问题的方法。

在传统的最小二乘法中，如果自变量之间存在高度相关性，就会导致估计系数的方差变得很大，模型的稳定性和准确性都会受到影响。

岭回归通过对最小二乘估计加入一个参数λ的惩罚项，从而抑制了自变量之间的共线性，提高了估计系数的稳健性。

岭回归的基本原理可以用数学公式来描述，假设我们的回归模型为：Y =Xβ + ε，其中Y为因变量，X为自变量矩阵，β为系数向量，ε为随机误差项。

最小二乘法的估计是通过最小化残差平方和来得到，即最小化目标函数：RSS = (Y - Xβ)'(Y - Xβ)。

而岭回归则是在目标函数中加入一个惩罚项，变为：RSS(λ) = (Y - Xβ)'(Y - Xβ) + λβ'β，其中λ为岭参数。

通过调节λ的大小，可以在偏置方差之间做出权衡，得到更加合理的估计结果。

二、岭回归模型的应用技巧在实际应用中，岭回归模型的选择和调参是很重要的。

首先，选择合适的岭参数λ至关重要，通常可以通过交叉验证的方法来确定。

交叉验证是一种常用的模型选择技术，将数据集分为训练集和测试集，根据不同的λ值分别进行岭回归拟合，并计算在测试集上的预测误差，最终选择使得均方误差最小的λ值作为最优参数。

其次，岭回归模型的特征选择也是需要注意的。

由于岭回归对所有的自变量都进行了估计，因此可能会导致模型中包含许多无关紧要的变量，从而增加了模型的复杂度。

为了避免这种情况，可以引入稀疏岭回归或lasso回归来进行特征选择，通过对系数向量增加L1惩罚项，使得一些系数变为0，从而实现自动特征选择的效果。

应用回归分析讲义十三岭回归

应用回归分析讲义---十三岭回归一、岭回归的引入二、岭回归的SPSS 程序三、岭回归参数K 的选取,参数粗估计,参数精估计,确定参数模型四、岭回归模型的应用1962年由 A.E.Feorl 提出,R.W.Kennard 在1970年发展的岭回归(Ridge regression)，回归系数的有偏估计—岭回归1(')'X X X y β∧-=''110,()(')'当为了存在且稳定，定义β--≈=+P X X X X X X KI X YK 称为岭参数K=0时为最小二乘估计，K>0,小于1。

K 从0到1逐渐增大，选择一个最合适的K 值。

岭回归用于解决模型的自变量共线性问题。

P92建立回归模型,共线性诊断1、VIF，容忍度，条件指数，2、变量X2的系数为负值，经济理论认为应为正相关。

说明共线性造成后果。

进行岭回归分析一、岭迹模型系数随参数K变化的曲线岭迹图根据岭迹确定K。

K=0时表示古典回归二、岭回归根据岭迹图确定参数K P193图A,系数趋于0,变量不重要图B.系数由正变负,变化大,对Y有显著影响图C. 古典模型时系数为正,岭回归时系数为负.图D. 两个系数不稳定,一个增大时另一个减少, 但其和稳定,可以考虑保留一个变量.图E. 变量对Y不显著图F. 变量对Y的影响趋于稳定选择标准：1、各回归系数基本稳定2、用最小二乘法时不合理的系数用岭回归变得合理3、残差平方和增长不大例岭回归SPSS程序和岭回归模型应用P199变量标准化1、参数K粗估计INCLUDE 'c:/program files/SPSS/Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=zy /ENTER = zx1,zx2,zx3,zx4,zx5.默认参数K从0 开始，到1，步长为0.052、参数K精估计INCLUDE 'c:/program files/SPSS/Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=zy /ENTER = zx1,zx2,zx3,zx4,zx5/START=0.0 /STOP=0.5/INC=0.01.3、确定参数K=0.08时，建立模型INCLUDE 'c:/program files/SPSS/Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=zy /ENTER = zx1,zx2,zx3,zx4,zx5/k=0.08 .岭回归选择变量1. 删除系数趋于0的变量2. 删除不稳定的变量例例1INCLUDE 'c:/program files/SPSS/Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=y /ENTER = x1,x2,x3,x4,x5.默认参数K从0 开始，到1，步长为0.05例2INCLUDE 'c:/program files/SPSS/Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=y /ENTER = x1,x2,x3,x4,x5/START=0.01 /STOP=0.8/INC=0.01.例3例2确定系数为0.35时，INCLUDE 'c:/program files/SPSS/Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=y /ENTER = x1,x2,x3,x4,x5/k=0.35 .SPSS宏ridge regression macro,ridge regression macro,ridge regression macro INCLUDE '[SPSS installdir]\Ridge regression.sps'.RIDGEREG DEP=varname /ENTER = varlist[/START={0**}] [/STOP={1**}] [/INC={0.05**}]{value} {value} {value }[ /K=value] .[SPSS installdir] is the directory in which SPSS is installed.。

岭回归用法

岭回归用法岭回归（Ridge Regression）是一种线性回归模型的改进方法，用于解决多重共线性问题。

在线性回归中，当自变量之间存在高度相关性时，估计的系数可能不稳定或过拟合。

岭回归通过增加一个正则化项，限制模型的复杂度，从而降低估计的方差,改善模型的稳定性。

岭回归的基本步骤如下：1. 准备数据集：将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y。

2. 特征标准化：对自变量矩阵X进行标准化处理，将每个特征的均值调整为0，标准差调整为1。

3. 建立模型：建立岭回归模型，选择合适的正则化参数λ。

4. 训练模型：使用标准化后的数据集训练岭回归模型，得到模型的系数。

5. 模型评估：使用测试集评估模型的性能，可以使用均方误差（Mean Squared Error）等指标进行评估。

岭回归的优点是可以减小模型的方差，稳定性更好，适用于处理多重共线性问题。

但也存在一些缺点，如无法自动选择变量，需要事先确定正则化参数λ。

在Python中，可以使用sklearn库中的Ridge类进行岭回归建模。

具体使用方法如下：```pythonfrom sklearn.linear_model import Ridgefrom sklearn.model_selection import train_test_splitfrom sklearn.metrics import mean_squared_error# 准备数据集X = ...y = ...# 划分训练集和测试集X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y,test_size=0.2, random_state=0)# 特征标准化# 建立岭回归模型ridge = Ridge(alpha=1.0) # alpha为正则化参数lambda，可以根据需要调整# 训练模型ridge.fit(X_train, y_train)# 预测y_pred = ridge.predict(X_test)# 模型评估mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)```以上是岭回归的基本用法，你也可以根据具体需求调整正则化参数λ以及其他参数。

【学习笔记】回归算法-岭回归

【学习笔记】回归算法-岭回归
具有L2正则化的线性最⼩⼆乘法。

岭回归是⼀种专⽤于线性数据分析的有偏估计回归⽅法，实质上是⼀种改良的最⼩⼆乘估计法，通过放弃最⼩⼆乘法的⽆偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归⽅法，对病态数据的拟合要强于最⼩⼆乘法。

当数据集中存在共线性的时候，岭回归就会有⽤。

正则化程度的变化，对结果的影响：
sklearn.linear_model.Ridge(alpha=1.0)
具有l2正则化的线性最⼩⼆乘法
alpha:正则化⼒度
coef_:回归系数
使⽤岭回归预测中的波斯顿房价的例⼦：
from sklearn.linear_model import Ridge
...
# 岭回归预测房价
rd = Ridge(alpha=1.0)
rd.fit(x_train, y_train)
print(rd.coef_)
y_rd_predict = std_y.inverse_transform(rd.predict(x_test))
print("岭回归预测的房⼦价格：", y_rd_predict)
print("岭回归的均⽅误差:", mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_rd_predict))
线性回归 LinearRegression与Ridge对⽐:岭回归：回归得到的回归系数更符合实际，更可靠。

另外，能让估计参数的波动范围变⼩，变的更稳定。

在存在病态数据偏多的研究中有较⼤的实⽤价值。

线性回归——Lasso回归和岭回归

线性回归——Lasso回归和岭回归线性回归——最⼩⼆乘线性回归（linear regression），就是⽤线性函数 f(x)=w⊤x+bf(x)=w⊤x+b 去拟合⼀组数据 D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}D={(x1,y1),(x2,y2),..., (xn,yn)} 并使得损失 J=1n∑ni=1(f(xi)−yi)2J=1n∑i=1n(f(xi)−yi)2 最⼩。

线性回归的⽬标就是找到⼀组 (w∗,b∗)(w∗,b∗)，使得损失 JJ 最⼩。

线性回归的拟合函数（或 hypothesis）为：cost function (mse) 为：Lasso回归和岭回归Lasso 回归和岭回归（ridge regression）都是在标准线性回归的基础上修改 cost function，即修改式（2），其它地⽅不变。

Lasso 的全称为 least absolute shrinkage and selection operator，⼜译最⼩绝对值收敛和选择算⼦、套索算法。

Lasso 回归对式（2）加⼊ L1 正则化，其 cost function 如下：岭回归对式（2）加⼊ L2 正则化，其 cost function 如下：Lasso回归和岭回归的同和异：相同：都可以⽤来解决标准线性回归的过拟合问题。

不同：lasso 可以⽤来做 feature selection，⽽ ridge 不⾏。

或者说，lasso 更容易使得权重变为 0，⽽ ridge 更容易使得权重接近 0。

从贝叶斯⾓度看，lasso（L1 正则）等价于参数 ww 的先验概率分布满⾜拉普拉斯分布，⽽ ridge（L2 正则）等价于参数 ww 的先验概率分布满⾜⾼斯分布。

具体参考博客。

也许会有个疑问，线性回归还会有过拟合问题？加⼊ L1 或 L2 正则化，让权值尽可能⼩，最后构造⼀个所有参数都⽐较⼩的模型。

因为⼀般认为参数值⼩的模型⽐较简单，能适应不同的数据集，也在⼀定程度上避免了过拟合现象。

岭回归

k是k的函数在平面坐标???k5543210?j??j?k1??2??kk54321123三岭迹分析续岭迹法的直观考虑是如果最小二乘估计看来有不合理之处如估计值以及正负号不符合经济意义则希望能通过采用适当的岭估计k来加以一定程度的改善岭参数k值的选择就显得尤为重要
岭回归
一、岭回归的定义二、岭回归估计的性质三、岭迹分析
一、岭回归的定义
针对出现多重共线性时，普通最小二乘法明显变坏的问题， A.E.Hoerl (霍尔)在1962年首先提出一种最小二乘估计的方法，叫岭估计(Ridge Estimate)，后来Hoerl和Kennard(肯纳德)于1970年给予了详细讨论。岭回归(Ridge Regression，简记为RR)提出的想法是很自然的。当自变量间存在多重共线性。|X’X|≈0时，我们设想给X’X加上一个正常数矩阵kI (k>0)，那么X’X +kI接近奇异的程度就会比X’X接近奇异的程度小得多。考虑到定量的量纲问题，我们先对数据作标准化，为了记算方便，标准化后的设计阵仍然用X表示，定义为
ˆ β (k)
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5
ˆ β1(k)
1
2
3
ˆ β 2(k)
k
三、岭迹分析(续) 岭迹分析续
岭迹法的直观考虑是，如果最小二乘估计看来有不合理之处，如估计值以及正负号不符合经济意义，则希望能通过采用适当的 β 岭估计 ˆ (k)来加以一定程度的改善，岭参数k值的选择就显得尤为重要。选择k值的一般原则是： 1. 各回归系数的岭估计基本稳定； 2. 用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，其岭估计的符号变得合理； 3. 回归系数没有不合乎经济意义的绝对值； 4. 残差平方和增大不太多。

应用回归分析讲义_十三 岭回归

岭回归分析（RidgeRegressonAnalysis）

岭回归技术的原理和应用

回归（三）：岭回归

岭回归基本步骤

岭回归的基本思想

回归分析中的岭回归模型应用技巧

岭回归

推导岭回归的解析解

回归分析中的岭回归模型应用技巧(十)

岭回归系数

岭回归系数

岭回归分析

回归分析中的岭回归模型应用技巧(Ⅱ)

应用回归分析讲义十三岭回归

岭回归用法

【学习笔记】回归算法-岭回归

线性回归——Lasso回归和岭回归

岭回归

应用回归分析讲义_十三岭回归