定积分的概念 PPT

n
f
(
i
)x
的极
i
限
i 1
i 1
就称为f ( x)在区间[a,b]上的积分
记作 b f ( x)dx a
y
y f (x)
o a xi1xi b x
积分上限 b f ( x)dx a
I
i
n
lim 0 i1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
积
分
表
变
达 式
量
[a,b] 积分区间
把[a,b]分成n个小区间 [ xi1, xi ] (i 1,2, ... , n)
y
y f (x)
其长度为
xi xi xi1 (i 1,2, ... , n) o a xi1 xi b x
过各个分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个 小曲边梯形，其面积为?
（1）分割：（前面）
（2）近似：用小矩形的面积近似代替小曲边
定理 设函数f ( x)在区间[a,b]上连续，又F( x)是
f ( x)的任一原函数，即F( x) f ( x)
则
b
b f ( x)dx F( x) F (b) F (a)
a
a
牛顿—莱布尼兹公式就是将定积分的计算问题转化 为求被积函数的一个原函数的问题，即把定积分问题 转化为求不定积分的问题.
解决，但这一问题可以用极限的方法来求解。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
根据上述分析求曲边梯形面积步骤如下：
（1）分割：在区间[a,b]中插入n-1个分点 a x0 x1 x2 ... xi ... xn b
[ xn1，xn ]，各小段时间的长依次为
x1 x1 x0 ,x2 x2 x1 ,xn xn xn1 ,
在每个小区间[ xi1 xi ]上任意到一个点i ,求函数值f (i )
,并与小区间长度xi相乘得f (i )xi (i 1,2,3,, n),再求
和得S
n
f
(
i
)x
，
i
把S
b
a f ( x)dx A.
2)如果 f (x) < 0 ，
o
曲边梯形在 x 轴下方，
此时该定积分为负值，
它在几何上表示 x 轴下方的
曲边梯形面积是负值，
即
b
f ( x)dx A.
a
y
a
b
O
x
A y=f (x) B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， 定积分
b f ( x)dx 在几何上表示 a
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx .
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
性质4 如果在区间[a, b]上 f (x) g(x) ，
则
b
f ( x)dx
a
b
a g( x)dx .
(a b)
四、定积分的计算
——牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式
(1) 3 e3xdx
(2) 2 sin2 x cos xdx
0
0
解: (1)
3 e3xdx
0
1 3
3 e3xd 3 x
0
1 3
e3x 3 0
1 3
(e9
1)
(2) 2 sin2 x2 1
导数、不定积分、定积分三者关系：
F( x) f ( x) f ( x)dx F( x) C
b
b
a
f ( x)dx F ( x) a
例2 求定积分：
(1) 2 x3dx 1
(2) 2 cos xdx
(3)
2
(x
1 )dx
0
1
x
(4) 1e xdx 0
解:(1)
2 1
x3dx
1 4
x
轴上方的曲边梯形面
积减去 x 轴下方的曲边梯形面积
y
y = f (x)
a
A2
b
A1
A3
x
注
：
A
B
轴
b
a f ( x)dx A1 A2 A3 .
上 方
取
例1.利用定积分的几何意义说明下列等式：
2 4 x2 dx 0
y 4 x2即x2 y2 4(0 x 2) 在0 x 2，y 0时为四分子一圆
梯形的面积
Ai f (i )xi , i [ xi1, xi ] y
y f (x)
（3） 求和：曲边梯形的面
积A的近似值A n f (i )xi .
i 1
o
（4） 取极限：当分割无限加细，
即小区间的最大长度
a xi1 xi b x
i
max
1in
xi
趋于零 (
0) 时，有：
n
A
lim
注意：
在定积分的定义中假定了a b，为了计算
方便，规定如下：
当a b时，b f ( x)dx a f ( x)dx
a
b
(即 定 积 分 上 下 限 互 换 时， 定 积 分 变 号 ）
特例：当a b时，b f ( x)dx 0 a
二.定积分的几何意义
1)当 f (x) > 0 时，定积分在几何上表示曲边 y = f (x) 在区间 [a, b] 上方的曲边梯形面积，
0
i 1
f (i )xi ,
一、定积分的定义
y
y f (x)
设函数f ( x)在区间[a, b]上有界，
在[a, b]中任意插入n 1个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b， o a xi1xi
把区间[a, b]分成n个小区间[ x0，x1 ]，[ x1，x2 ]，
b
i
x
a a2 x2 dx a2
0
4
三、 定积分的性质
性质1（常数因子可以提到积分号）
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数).
性质2（和差的积分等于积分的和差）
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
.
性质3（区间可加性）假设a c b
b
a
f
x4
2 1 (24 14 ) 15
14
4
(2) 2 0
cos
xdx
sin
x
2 0
sin
2
sin
0
1
0
1
(3)
2
(x
1
1 )dx x
1 (2
x2
ln
x)
2
1
1 (2
22
ln
2)
1 (2
12
ln 1)
3 2
ln
2
(4) 1e xdx 0
ex
1 0
e1 e0 e 1
练习:求下列定 积分
定积分的概念
The Concept of Definite Integral
定积分的概念
定积分概念的引入
1. 求曲边梯形的面积
曲边梯形是指由连续曲线 y
y f ( x) ( f ( x) 0)、 和直线
A?
y f (x)
y 0、x a、x b 所组成
的平面图形。
oa
bx
显然曲边梯形的面积无法用初等几何的方法