高中数学函数知识点归纳及常考题型

《函数》知识要点和基本方法

1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m

个映射。

2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ⊆B 。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备)

4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:

如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1f(x 2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x 1、x 2是给定区间内的两个任意的值，且x 1

第二步：作差f(x 2)-f(x 1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；

第三步：判断差式f(x 2)-f(x 1)的正负号，从而证得其增减性。 8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。如f(x)=x 2

+2，f(x)=x 3

-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：

奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)

()

(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)； 偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，

1)

()

(=-x f x f (fx)≠0)。 12.①若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0，常用于待定系数； ②偶函数f(x)满足f(x)=f(|x|)；

③定义域关于原点对称且函数值恒为0的函数既是奇函数又是偶函数。 13.①奇函数的图象关于原点对称，反之，图象关于原点对称的函数是奇函数； ②偶函数的图象关于y 轴对称，反之，图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③关于原点对称的区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。

14.函数图像变换：

①平移变换：形如y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a |个单位，就得到

y=f(x+a)的图象；形如y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位，就得到

y=f(x)+a的图象。

②对称变换：y=f(x)→ y=f(-x),关于ｙ轴对称；y=f(x)→ y=-f(x) ,关于ｘ轴对称。

③翻折变换：y=f(x)→y=f(|x|), (左折变换) 把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称。

15.反函数：f(a)=b a=f-1(b)。原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域。

17.求反函数的步骤：①求反函数的定义域（即y=f(x)的值域）；②将x,y互换，得y=f-1 (x)；③将y=f(x)看成关于x 的方程，解出x=f-1(y)，若有两解，要注意解的选择。

18.互为反函数的图象间的关系：关于直线y=x对称；

19.原函数与反函数的图象交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点。

20.原函数与反函数在对称区间上具有相同的单调性；奇函数的反函数仍为奇函数。

21.在定义域上单调的函数一定具有反函数；反之，并不成立（如y=1/x）。

22.复合函数的定义域求法：①已知y=f(x)的定义域为A，求y=f[g(x)]的定义域时，可令g(x)∈A，求得x的取值范围即可。②已知y=f[g(x)]的定义域为A，求y=f(x)的定义域时，可令x∈A，求得g(x)的函数值范围即可。

23.复合函数y=f[g(x)]的值域求法：首先根据定义域求出u=g(x)的取值范围A，在u∈A的情况下,求出y=f(u)的值域即可。

24 .复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数；单调性不同则函数是减函数。增增、减减为增；增减、减增才减（同增异减）。

①f(x)与f(x)+c (c为常数)具有相同的单调性；

②f(x)与c·f(x)当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性；

③当f(x)恒不为0时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性；

④当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性；

⑤当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)也是增(减)函数。

⑥设f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)当f (x)，g(x)两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数。

25.二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析。

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得。

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a>0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得；