《数学分析(上)》复习题

数学分析考研试题及答案

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。

答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。

答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。

答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。

因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。

答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。

3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。

《数学分析(上)》复习题

《数学分析（上）》复习题一、单项选择题：1、x x x y arccos 21)1ln(++++=的定义域为：（）A ：),1(+∞-B ：]1,1(- C:)1,1(- D:),1(+∞2、函数ln(1)1y x =+-的反函数是（）A ：11x y e +=+B ：11x y e +=-C ：1x y e =-D ：1x y e =+3、设⎩⎨⎧+=,2,)(2a x e x f x 00≥<x x 且)(x f 在点0=x 处连续，则a 的值等于：（） A ：0 B ：1 C ：-1 D ：21 4、下列各式中，错误的是（）A ： []00()()f x f x ''=.B ：||sin3y x x =是奇函数C ：1sin 1x lin x x→∞= D ：22xdx x c =+⎰ 5、200lim sin xx x tdt →=⎰（）A ：-2B ：2C ：1D ：-16、若()()()f x a x x ϕ=-，且()x ϕ在x a =点可导，则()f a '=( ) A ：()a ϕ- B ：()a ϕ'- C ：()a ϕ' D ： ()a ϕ7、设)(x f =e 2x ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（）。

A 、奇函数；B 、偶函数；C 、既是奇函数又是偶函数；D 、非奇非偶函数。

8、下列函数中（）是基本初等函数。

A 、 xx f 2=)(； B 、 x x f 2=)(；C 、 2)(+=x x f ； C 、 x x x f +=2)(。

9、∞→x lim 5x 的值是（）。

A 、+∞； B 、 -∞； C 、 0； D 、不存在。

10、根据（）所给的条件，不能确定)(x f 在0x 处一定连续。

A 、 0lim 0=∆→∆y x ；B 、 )()(lim 00x f x f x x =→ C 、 )(lim )(lim 00x f x f x x x x +-→→=； D 、 0)]()([lim 000=-∆+→∆x f x x f x 。

数学分析期末考试复习题及参考答案

数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。

A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。

A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。

参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。

A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。

参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。

其中。

参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。

A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。

A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。

数学分析(上册)答案-张勇杨光崇-第六章一元函数积分学

思考与练习 6-11. 回答下列问题:① 定积分作为积分和的极限,能否表示为()∑=∞→∆nk kkn xf 1lim ξ?答：不能.因为n →∞并不能推出0T →.② 积分和()∑=∆nk k k x f 1ξ的值与哪些因素有关?定积分()⎰badx x f 的值与哪些因素有关?答：()∑=∆nk k k x f 1ξ与函数，区间和区间的分割和取的点有关。

()⎰badx x f 只与函数和区间有关.③ 将区间[]b a ,n 等分,[].,,2,1,,,1n k x x n ab x k k k k =∈-=∆-ξ,积分和()∑=∆nk k k x f 1ξ是否为定值?答：不是.因为和()∑=∆nk kkxf 1ξ还与k ξ的取法有关.④ 在定积分的定义给出之前,如下说法是否合理?为什么?“曲边梯形()x f y ≤≤0”,[]b a x ,∈的面积不大于矩形[]b a x M y ,,0∈≤≤的面积,其中[](){}x f M b a x ,max ∈=.答: 不合理.因为在定积分定义给出之前,曲边梯形的面积没有定义,当然也就不能与矩形的面积比较大小.⑤ 0→T 是什么意思?当0→T 时,积分和()∑=∆nk kkxf 1ξ的极限是J 是什么意思?答：}{max 1i ni x T ∆=≤≤，0→T 表示对区间分割后最大的区间的长度都趋于0.设f 是定义在],[b a 上的一个有界函数,J 是一个确定的实数.若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对],[b a 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集}{i ξ,只要δ<T ,就有εξ<-∆∑=ni iiJ xf 1)(,则称函数f 在区间],[b a 上可积或黎曼可积;数J 称为f 在],[b a 上的定积分或黎曼积分,记作()baJ f x dx =⎰.2. 按定积分定义证明:⎰-=baa b k kdx )(.证明：0ε∀>，对[,]a b 作任意分割T ，并在其上任意选取点集{}i ξ，因为111(),[,],()()n n ni i i i i i i f x k x a b f x k x k x k b a ξ===≡∈∆=∆=∆=-∑∑∑,对任意的0ε>,任意取定0δ>，当T δ<时,有()1()()()0niii f x k b a k b a k b a ξε=∆--=---=<∑,所以函数()f x k =在[,]a b 上可积，且()bakdx k b a =-⎰3. 通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集}{i ξ,把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分:①⎰13dx x ； ②⎰<<bab a x dx)0(2, 提示:()i i i i i i i i x x x x x x x x 111112212-=-+∆---; ()i i i i i i i i x x x x x x x x 1111212121-=-+∆----. 解 ①将[0,1]n 等分，分点为，0,1,2,,1k n =-.在区间1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取k n 作为k ξ 而 313011l i m nn k k x d x n n →∞=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑⎰3411l i m n n k k n →∞==∑224111lim (1)44n n n n →∞=⋅+=.②取i ξ=后211110111111()nn i i i i i i n x x x x x x a b -==-⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪⎝⎭∑∑ 将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，0,1,2,,k n =.在区间1[,]k k x x -作为k ξ则212111lim ()n b k k a n k dxx x x a b -→∞=⎛⎫=-=-∑⎰ 4. 已知一质量不均匀分布的棒的线密度x =ρ,长为l ,试求该棒的质量.解：所求质量为：22l xdx M l==⎰思考与练习 6-21．计算下列积分:①⎰+10)32(dx x ; ②⎰+10211dx x ; ③⎰22e e x dx ; ④⎰--102dx e e xx ; ⑤⎰-3211πdx x; ⑥⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+942123dx x x ; ⑦()⎰+π0sin 2cos dx x x . ⑧⎰1dx a x; ⑨⎰22sin πxdx ; ⑩ ⎰+21211dx x.解①()()112(23)313004x dx x x +=+=+-+=⎰；②4arctan 111102π==+⎰x dx x ； ③()()22222ln 2ln ln 2212e e e e dx x e e x==-=-=⎰；④()()111001001111()122222x x x x e e dx e e e e e e e e -----=+=+-+=+-⎰；⑤3arcsin arcsin 1130302πππ==-⎰x dx x；⑥()93131319222222449944301020dx x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰； ⑦()()()00cos 2sin (sin 2cos )sin 2cos sin02cos04x x dx x x ππππ+=-=---=⎡⎤⎣⎦⎰； ⑧aa a a dx a x xln 1ln 1010-==⎰；⑨()22011sin 2cos2cos cos0122xdx x πππ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰；⑩()2211ln ln(2ln(1x =+=+-+=⎰。

数学分析考研试题及答案

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

青岛科技大学成人高考2021年上学期《数学分析》期末复习题

【题型】计算题【题干】求极限：【答案】解：【难度】4 【分数】15【课程结构】00362001002【题型】计算题【题干】求极限：【答案】解：【难度】4 【分数】15【课程结构】00362001002【题型】计算题【题干】已知函数，求【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】已知函数，求，，，【答案】解：已知函数【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】计算不定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001004【题型】计算题【题干】已知函数，求定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005 【题型】计算题【题干】计算定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005 【题型】计算题【题干】求极限【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002 【题型】计算题【题干】求极限【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002【题型】计算题【题干】设函数，求【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】设函数，求【答案】解：所以【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】求不定积分【答案】解：原式【难度】4【分数】15【课程结构】00362001004 【题型】计算题【题干】求不定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001004 【题型】计算题【题干】求定积分【答案】解：令，即原式【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005 【题型】计算题【题干】求极限【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002;00362001003【题型】计算题【题干】求极限【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002【题型】计算题【题干】已知函数，求，，，【答案】解:【难度】4【分数】15【课程结构】00362001003【题型】计算题【题干】利用凑微分法计算不定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001004【题型】计算题【题干】利用分部积分法计算定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005【题型】计算题【题干】已知函数，求定积分【答案】解：【难度】4【分数】15【课程结构】00362001005【题型】计算题【题干】用洛必达法则求极限【答案】解：原式【难度】4【分数】15【课程结构】00362001002;00362001003;00362001005【题型】计算题【题干】求由参数方程所确定函数的一阶及二阶导函数。

数学分析(上)_习题集(含答案)

《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（）（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点（D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（）（A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界（D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（）（A ）)1ln(x +与x ；（B ）x cos 1-与2x ；（C ）x+11与x -1 ；（D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件（D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（）（A ）偶函数（B ）奇函数（C ）非奇非偶函数（D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在（D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数（B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数（C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数（D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小（D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（）（A ）连续点（B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点（D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （）（A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（）（A ）若n x 发散，则n y 必发散（B ）若n x 无界，则n y 必有界；（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（）（A ）无界函数（B ）周期为1的周期函数（C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（）（A ）存在（B ）存在但非零（C ）不存在（D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。

数学分析复习题

数学分析复习题数学分析复习题数学分析是数学的重要分支之一，它研究的是函数的性质、极限、连续性、微积分等概念和方法。

在学习数学分析的过程中，做复习题是非常重要的一环。

通过做题，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。

下面，我将为大家提供一些常见的数学分析复习题，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要求出函数的导数。

f'(x) = 2x + 3。

然后，我们需要找出导数为零的点，即解方程 2x + 3 = 0。

解得 x = -3/2。

接下来，我们需要判断这个点是否为极值点。

通过二阶导数的符号可以判断。

f''(x) = 2，大于零，说明这个点是极小值点。

所以，函数的最小值为 f(-3/2) = (-3/2)^2 + 3(-3/2) - 2 = -11/4。

同理，我们可以求得最大值为 f(2) = 2^2 + 3*2 - 2 = 8。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在区间 [-1, 2] 上的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数。

f'(x) = 3x^2 - 3。

然后，我们需要找出导数为零的点，即解方程 3x^2 - 3 = 0。

解得x = ±1。

接下来，我们需要判断这些点是否为极值点。

通过二阶导数的符号可以判断。

f''(x) = 6x，当 x = -1 时，f''(-1) = -6，小于零，说明这个点是极大值点；当 x = 1 时，f''(1) = 6，大于零，说明这个点是极小值点。

所以，函数的极大值为 f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2，极小值为 f(1) = 1^3 - 3*1 = -2。

3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 在区间 [0, 1] 上的最大值和最小值。

数学分析(上册)答案-张勇杨光崇-第一章-实数集与函数

第一章实数集与函数思考与练习 1-11. 下述命题哪些成立?哪些不成立?①任何两个有理数的差是有理数. （成立） ②任何两个无理数的差是无理数. （不成立） ③两个不同无理数之间,总有别的无理数. （成立）2. 可以写成两个整数的比的数称为有理数 .3. 任何两个实数之间都有别的实数，这个性质称为实数的稠密性 .4. 在 9999.0和1之间还有别的数吗？（没有）5. 0111213141234567891.0是有理数还是无理数？(你将看到在一个给定数字序列中的模型).0.12345678910111213141516171819202199100101102103104105106107108是无理数6. 求两个无理数,使其和是有理数. (0=∈ ）7.“如果P 则Q ”的逆否命题是 “如果非Q 则非P ” .8. 公理和定义是已被认可的,而定理则必须证明.9. 设a 为有理数,x 为无理数,证明:①x a +是无理数; ②当0≠a 时,x a ⋅是无理数. 证：① 用反证法：若x a +是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知()x a x a =+-∈ ，与已知矛盾，所以x a +是无理数。

②用反证法：若a x ⋅是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知()0axx a a=∈≠ ，与已知矛盾，所以a x ⋅是无理数。

10. 证明:在任意两个不同的实数之间,一定存在一个有理数;也一定存在无穷多个有理数(提示:如果b a <,则0>-a b ,所以存在一个自然数n 使得a b n-<1.考虑整数集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>b n k k 并注意到有下界的整数集一定有最小数). 证法1 (1) 由题目条件，可设b a <，则0>-a b ，由欧基米德定律，存在一个自然数n 使得a b n -<1，所以1a b b n <-<，又⎭⎬⎫⎩⎨⎧>b n k k 有下界，故有最小整数0k k k b n ⎧⎫∈>⎨⎬⎩⎭，所以当0m k <时，有mb n≤，因而有01k b n -≤,且01k a b n -≤≤,01k n -∈ .(事实上,如果0011k ka ab n n n->⇒+>>,此为矛盾) (2) 同上可证,在a 与01k c n -=(或01k n-与b )之间一定有另一个有理数d ,不妨设c d <,则()()(),,,1d cc cd a b n n n+-+∈⊂∈> ,即,a b 之间有无穷多个有理数. 证法2 由题目条件，可设b a <,由第1节的命题可知,存在非负整数n ,使得n n b b a a >>>,而,n n b a ∈ ,第一个结论得证.又因而()1,2n nn n n b a b a b +=∈⋂ ,而()12,2n n nn n b a b a b +=∈⋂ ,()1,,2k kn n n n n b a b a b -+=∈⋂ ,即,a b 之间有无穷多个有理数.第二个结论的另一证法:因为()()(),,,1n nn n n b a a a b a b n n n+-+∈⊂∈> ,即,a b之间有无穷多个有理数.11. 写出下述命题的逆命题、否命题和逆否命题,并指出哪些命题是真命题. ① 如果今天下雨,我就在家里工作; ╳② 如果这个候选人符合所有的条件,她就能被聘用; √③ 设c b a ,,是三角形的边长,如果222c b a =+,则这个三角形是直角三角形; √ ④ 如果角ABC 是锐角,则<00角ABC 090<;√ ⑤ 如果b a <,则22b a <.╳①逆命题: 今天我在家工作,是因为天下雨. ╳ 否命题: 如果今天不下雨,我就不在家工作. ╳ 逆否命题: 今天我不在家工作,是因为天没下雨. ╳②逆命题: 如果这个候选人能被聘用,是因为她符合所有的条件; ╳ 否命题: 如果这个候选人不符合某些条件,她就不能被聘用; ╳逆否命题: 如果这个候选人没被聘用,那就是因为她不符合某些条件. √ ③逆命题: 设c b a ,,是直角三角形的边长,则222c b a =+;√否命题: 设c b a ,,是三角形的边长,如果222a b c +≠,则这个三角形不是直角三角形; √逆否命题: 设c b a ,,是三角形的边长,如果这个三角形不是直角三角形, 则222a b c +≠;√④逆命题: 如果<00角ABC 090<,则角ABC 是锐角; √ 否命题: 如果角ABC 不是锐角,则角ABC 090≥.√ 逆否命题: 如果角ABC 090≥,则角ABC 不是锐角; √ ⑤逆命题: 如果22b a <,则b a <.╳否命题: 如果a b ≥,则22a b ≥.╳ 逆否命题: 如果22a b ≥,则a b ≥.╳ 12.若ε,x 和y 都是实数,下述命题哪些为真? ① 对任何00,2>⇒>x x x ; √ ② 对任何00,2>⇔>x x x ; ╳ ③ 对任何x x x >2,; ╳④ 对任何x ,存在y 使得2x y >; √⑤ 对任何正数y ,存在另一个正数x ,使得y x <<0; √ ⑥ 对任何的1,+<x x x ; √⑦ 存在一个自然数N ,使得N 大于任何素数; ╳⑧ 对任何的0>x ,存在一个y ,使得x y 1>; √ ⑨ 对任何的正数x ,存在一个自然数n ,使得x n <1; √⑩ 对任何的正数ε,都存在一个正整数n ,使得ε<n 21. √思考与练习 1-21. 下述命题成立的有:①由不等式z y y x ≤≤,和x z ≤可得z y x ==.√ ②如果x 和y 是实数,则()()0≤--x y y x .√ ③如果0<<b a ,则ba 11>.√ ④如果对任意的正数ε,都有ε<x ,则0=x .√ ⑤如果y x <,则y x <. ╳⑥如果实数x 和y 同号,则y x y x +=+√ ⑦如果1<r ,则r r r -≤-≤+111111.√ ⑧如果1>r ,则rr r +≤-≤-111111.√ 2. 下述等式成立的有①x x =-; ②22x x =; ③y x xy =; ④ x x =2.答: ②, ③.3. 不等式()4202≤-≤x 与220≤-≤x 所表示的实数范围是否相同?答:不相同, ()4202≤-≤x 所表示的实数范围是区间[]0,4,而220≤-≤x 所表示的实数范围是区间[2,4].4. 2<x 与42<x 表示的实数范围相同吗?答:相同,都是开区间()2,2-.5. 与32≤-x 等价的不等式是 -1 ≤≤x 5 .6. 如果b a ≤,则下列哪些结论为正确的:①ab a ≤2 ②33-≤-b a ③b a a 23≤ ④b a -≤-. 答: ②, ③.7. 试在数轴上表示出下列不等式的解:① 112+≥-x x ②31-<-x x ③23121-≥---x x x .解 ① 由⎩⎨⎧<<-<⎩⎨⎧⎩⎨⎧>-<>⇒>->⇒>-1101100100)1(22x x x x x x x x x 或或如图2-1； ② 两边平方得29612)3()1(22<⇒+-<+-⇒-<-x x x x x ，如图2-2；③ 两边平方得1210)12)(1(223)12)(1(223==⇒≥---⇒-≥----x x x x x x x x 且，此为矛盾，故解集为空集；用图形法给出数轴表示，如图2-3图2-1 图2-2 图2-3 8. 设R b a ∈, 证明:对任何正数ε有ε<-b a ,则b a =.证用反证法.若b a ≠,则令00>-=b a ε,由已知得b a b a -=<-0ε,此为矛盾.故b a =.9. 求δ(依赖于ε),使下述的蕴涵关系成立:①εδ<-⇒<-1535x x ; ② εδ<+⇒<+3666x x .解: ①3εδ=,②6εδ=10. 证明92922+≤+-x x x . (提示:用绝对值的三角形不等式,并注意到ab b a 110<⇒<<) 证 22222999x x x x x ++-≤≤++.11. 若0≠a ,则2122≥+a a . (提示:考虑21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a )证 2222211110220a a a a a a a a ⎛⎫-≥⇒-⋅+=-+≥⇒ ⎪⎝⎭2122≥+a a .12. 解不等式019922≤+++++xx x x .解 1002299111x x x x x x-+++++=- ,故不等式的为1x <.13. 如果3211111R R R R ++=,且4030,3020,2010321≤≤≤≤≤≤R R R ,求R 的取值范围.解131********=12020304010203060R ++≤≤++=。

《数学分析》期末复习用各章习题+参考答案

f f f (x) = x + 2 ； 2x + 3
f f f f (x) = 2x + 3 。 3x + 5
9． f (x) = f (x) + f (−x) + f (x) − f (−x) ， f (x) + f (−x) 是偶函数， f (x) − f (−x) 是奇
2
2
2
2
函数.
⎧− 4x + 3
2⋅4⋅6⋅
⋅ (2n) 。 (提示：应用不等式 2k > (2k − 1)(2k + 1) )。
9. 求下列数列的极限：
⑴
lim
n→∞
3n2 + 4n − 1 n2 +1 ;
⑵
n3 + 2n2 − 3n + 1
lim
n→∞
2n3 − n + 3 ;
2
⑶
3n + n3
lim
n→∞
3n+1
+ (n + 1)3
k∈Z ⎝
2
2⎠
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1) ∪ [1,+∞)，值域： [0,1)∪ (1,+∞).
x +1
5．（1）定义域： ∪ (2kπ ,(2k +1)π )，值域： (− ∞,0]； k∈Z
（2）定义域：
∪
k∈Z
⎢⎣⎡2kπ
−
π 2
,2kπ
+
π 2
⎤ ⎥⎦
，值域： [0,1]；
1
（3）定义域：
[−
4,1] ，值域：
⎢⎣⎡0,

《数学分析》（华师大版）课本上习题

《数学分析》（华师大版）课本上习题第二十二章曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲线积分：（1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中?+为顶点的三角形；（2）+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）?L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段；（6）?Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段；（7）+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线??≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分：（１）++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ；（２）+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面；（３），??+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；（４）SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（１）?+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）?Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L=?),(),(00，其中L ?为L 的长．8. 计算dS z S2，其中S 为圆锥表面的一部分：≤≤≤≤??===,20,0:;cos sin sin sin cos :π?θθ?θa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（１）-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）?+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段；（３）++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）?+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（５）++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。

数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编

数学分析上册第三版华东师范大学数学系编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数。

证明（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。

这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。

3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。

证明由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。

这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明（1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。

因为三角形两边的差大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间。

数学分析(上)_习题集(含答案)

《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（）（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点（D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（）（A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界（D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（）（A ）)1ln(x +与x ；（B ）x cos 1-与2x ；（C ）x+11与x -1 ；（D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件（D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（）（A ）偶函数（B ）奇函数（C ）非奇非偶函数（D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在（D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数（B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数（C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数（D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小（D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（）（A ）连续点（B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点（D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （）（A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（）（A ）若n x 发散，则n y 必发散（B ）若n x 无界，则n y 必有界；（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（）（A ）无界函数（B ）周期为1的周期函数（C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（）（A ）存在（B ）存在但非零（C ）不存在（D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。

《数学分析》（上册）第一章实数集与函数试题和答案

第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾故ax 是无理数.1、试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集确界原理1、用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <，则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ，可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。

数学分析上期末复习提纲

工科数学分析（2001年11月）一. 试完成下列各题(每小题6分,合计60分)1. 求极限)13(1lim 0-→x x x;2. 设函数)(x y y =由方程y x y x ln ln +=+确定;求dy ;3. 计算定积分⎰--+222)11(sin ππdx xx x ;4. 求xx dt t e xt x 4020sin )1(lim⎰--→;5. 已知幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径2=R ,问幂级数∑∞=-0)3(n n n x a 在e x =与ex 1=处是否收敛?为什么? 6. 试判定级数∑∞=--+-211)11ln()1(n n n n 的敛散性,若收敛,请指出是绝对收敛还是条件收敛;7. 求定积分⎰-2121arcsin dx xx x 的值;8. 求方程022=+-'x y y xy 的通解;9. 设0>x 时,)()(x g x f '>',且)0()0(g f =,试证:当0>x 时,)()(x g x f >. 10. 设)(x f 是周期为3的周期函数,它在一个周期内的表达式为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤=.23||1,1;1|||,|)(x x x x f 试写出)(x f 在一个周期内的Fourier 级数和函数)(x S 的表达式,并求)2(-S ,)3(S ,)29(S 的值.二.(8分) 将函数x x x x f arctan 2111ln 41)(+-+=展开成x 的幂级数,并指出展开式成立的区间.三.(8分) 设由3ln ,0),20()1ln(==≤≤+=y x x x y 围成平面图形为D ,试求将D绕2=x 旋转而成的旋转体的体积.四.(8分) 通过静脉注射输入葡萄糖是一种常用的医疗技术.某人来注射前血液中葡萄糖含量为0Q ,现以常速率min)/(g k 注入葡萄糖.与此同时,血液中有一部分转化为其他物质或转移到其他地方,转化或转移的速率与该时刻血液中葡萄糖含量成正比.试求此人血液中葡萄糖含量随时间的变化规律. 五.(10分) 已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '='是三次多项式,导函数的图象如图所示.(1);(2) 若)(x f y =的极大值为6,点⎪⎪⎭⎫⎝⎛934,332是曲线)(x f y =的一个拐点,试求出)(x f y =的表达式.六.(6分) 设函数)(x f 在[0,1]上可导,且.)(2)1(210⎰=dx x xf f证明: 至少存在一点)1,0(∈ξ,使ξξξ)()(f f -='.工科数学分析（2002年11月）一. 求解下列各题(每小题6分,共60分) 1. 求极限1ln 30)(sin lim +→+x x x ;x2. 求⎰+dx xxx 23cos 1cos sin ; 3. 求⎰⎰-+→x xx dtt t t dtt 040)sin )(1ln(2lim;4. 设⎩⎨⎧==ty t x csc sec ,求22dx yd ;5. 求⎰-dx xx x 21arcsin ;6. 求微分方程232++=+'x x y y x 的通解.7. 求b a ,的值.使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>-=⎰0cos 100sin )]1(sin[)(02x tat x x bx x e a x f xx 在0=x 处连续. 8. 求不等式20,1cos sin π≤≤≤≤x y x x 所确定平面图形的面积,并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积.9. 设)(x f 在),(b a 有连续的导数.0)()(==b f a f 且1)(2=⎰badx x f ,求⎰'badx x f x xf )()(.10. 求∑∞=++111(n n n n x ）的收敛区域（要讨论端点的敛散性）,并求它的和函数.二.(8分) 在曲线x x y -=2上求一点P 的坐标使P 点与定点)1,0(A 的距离最近. 三.(9分) 将1)(-=x x f 在]2,0[∈x 上展成以4为周期的傅立叶余弦级数.并求∑∞=121n n 的和. 四.(9分) 将x x x x x f -+-+=arctan 2111ln 41)(在0=x 点展开成幂级数. 五.(8分) 设曲线)(x y y =上任意点),(y x M 处的切线、x 轴及M 点与坐标原点连线围成三角形面积的二倍,等于M 点横坐标的平方,且曲线过(1,1)点,求它的方程.六.(6分) 设)(x f 在[0,2]上二阶可导,且0)2(,0)1(==f f ,证明至少存在一点)2,0(∈η使0)(3)(='+''ηηηf f .工科数学分析（2003年11月）一. 求解下列各题(每小题6分,共60分)1. 求极限xx xx x 2cos 2sin 1cos sin 1lim 0-+-+→.2. 求曲线09cos )1(33=++++y x y x π在1-=x 处的法线方程.3. 设⎩⎨⎧==ty t x 33sin cos ,求22dx y d . 4. 计算⎰-+axa x dx 022.5. 求极限423limxdt te x t x ⎰→.6. 判定级数∑∞=12n n n的敛散性. 7. 求微分方程12+=+'x e xy y 的通解. 8. 计算广义积分dx xx⎰+∞12arctan . 9. 将x x f -=1)(在[0,1]区间上展开成以2为周期的傅里叶正弦级数. 10. 设有质量为m 的物体,在空气中由静止开始下降,如果空气阻力2v F =(其中v 为物体运动的速度),试求物体下落时速度与时间的函数关系.二.(10)分计算⎰-+21212)1(ln dx x .三.(10分) 将231)(2+-=x x x f 展开成x 的幂级数.四.(10分) 由曲线21x y -=与x 轴所围成的平面图形(1)绕x 轴旋转一周,(2) 绕直线1=x 旋转一周,计算所得两个旋转体体积分别是多少?五.(5分) 设A 是一个实数集,a 为一个实数,若a 的任何去心邻域内都含有A 中的点,则称a 是A 的一个聚点.证明:如果a 为A 的聚点,则必存在A 中点列}{n x ,使a x n n =∞→lim .六.(5分) 设)(x f 在区间[0,1]上二阶可导,0)1()0(==f f ，且2)(max 10=<<x f x ,证明:至少存在一点ξ使16)(-≤''ξf .。

数学分析上册练习题及答案第三章函数极限

第三章函数极限1．函数极限概念1．按定义证明下列极限：（1）65lim 6x x x→+∞+=；（2）22lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=；（5）00lim cos cos x x x x →=.证明（1）任意给定0ε>，取5M ε=，则当x M >时有65556x x x Mε+-=<=.按函数极限定义有65lim6x x x→+∞+=.（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3εδ=，则当02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22lim(610)2x x x →-+=.(3)由于22254111x x x --=--.若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22225441111x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.(4)0==若此时限制021x <-<，==<=0ε>，取2min{1,}4εδ=，当02x δ<-<022εε<≤⋅=，故由定义得2lim 0x -→=.（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则0000000cos cos 2sinsin 2sin sin 222222x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有00lim cos cos x x x x →=.2．叙述0lim ()x x f x A →≠。

华东理工大学《数学分析(上)》期末考试试卷及答案

x→a+0 x→b−0
八、证明方程 x sin x = 2010 在(−∞, +∞)内有无穷多个解.（8分）九、设 f ( x )在[0, +∞)连续, 且 lim [ f ( x ) − x −1] = 0, 证明 f ( x )在[0, +∞)一致连续.（本
x → +∞
题8分）十、设函数 f ( x )在 [a, b] 连续, 在(a, b)可导, 求证在(a, b)内存在相异两点 ξ 和 η 使 2 f (b) − f (a) 得 f (ξ) f (η) = .（本题8分） b−a
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
二、求极限（共14分, 每小题7分） 1. lim x − √ x
x→∞
1 e−1
2.
ห้องสมุดไป่ตู้
x → +∞
lim
√ 5
x5 + x4 −
√ 3
x3 − x2
三、求不定积分（共14分, 每小题7分） 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) 2. cos x dx sin x + cos x
华东理工大学 2009 - 2010 学年第一学期
《数学分析 (上 )》课程期末考试标准答案 A 2010. 1. 13
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
(注: 不等式放缩3分, 定义4分) ln 2010 证：∀ε > 0, 令N = log1+ ε 2010 , 则 ∀n > N 有n > , 因此 ln(1+ ε) √ √ 1 n n ln(1− ε) < 0 < ln 2010 < ln(1+ ε), 即1− ε < 2010 < 1+ ε, 故 lim 2010 = 1. n →∞ n 二、求极限（共14分, 每小题7分） √ √ 5 3 1 5 + x4 − 1. lim x − √ 2. lim x x3 − x2 x x→∞ x → +∞ e−1 1 1 et − t − 1 1. 解: 原式= lim − t (2分) = lim t→0 t t → 0 t(e t − 1) e −1 et − t − 1 et − 1 et 1 = lim (2 分 ) = lim (1 分 ) = lim (1分) = (1分) 2 t→0 t→0 t→0 2 t 2t 2 1 1 1 1 5 3 2. 解: 原式= lim x 1 + − 1− (2分) x → +∞ x x 1 11 8 11 + o( ) − 1 − + o( 1 (1分) ) (4分) = = lim x 1 + x x → +∞ 5x x 3x 15 三、求不定积分（共14分, 每小题7分） cos x 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) dx 2. sin x + cos x 1. 解: 设 I = e ax sin bx d x (1)当a 0时, 由分部积分 b b 1 1 1 sin bx d (e ax )= e ax sin bx− e ax cos bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 cos bx d (e ax ) I= a a a a a b ax b b2 b2 1 ax 1 = e sin bx− 2 e cos bx− 2 e ax sin bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 e ax cos bx− 2 I +C1 a a a a a a (a sin bx − b cos bx )e ax 故I = (2分) + C (1分) a2 + b2 (2)当a = 0, b 0时, 上述结果仍成立; (3)当a = 0, b = 0时, I = C . cos x − sin x x d(sin x + cos x) 1 1+ d x (3分) = + (2分) 2.解法一: 原式= 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x x 1 = + ln | sin x + cos x | (1分) + C (1分) 2 2 dt 解法二: 设 t = tan x, 则 x = arctan t, d x = . (2分) 1 + t2 dt 2 dx 1 1 1 t 原式= = 1+t = + − d t (2分) 2 1 + tan x 1+ t 2 1+t 1+t 1 + t2 1 d (1 + t) 1 dt 1 d (1 + t 2 ) = + − 2 1+t 2 1 + t2 4 1 + t2 1 1 1 = ln |1 + t | + arctan t − ln(1 + t 2 ) + C (2分) 2 2 4 i

数学分析上册复习题

数学分析上册复习题数学分析上册复习题数学分析是大学数学中的一门重要课程，它是数学的基础和核心。

上册的内容主要包括实数与数列、函数与极限、连续与间断、导数与微分等。

这些知识是数学分析的基础，也是后续学习的重要基石。

在这篇文章中，我将对数学分析上册的一些重要复习题进行讨论和解答，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识。

一、实数与数列实数是数学中最基本的概念之一，它包括有理数和无理数。

数列是一系列有序的数的集合。

在实数与数列的学习中，我们需要掌握实数的性质和数列的收敛性质等。

1. 证明：有理数的小数表示是有循环节的。

解答：设有理数为a/b，其中a和b为整数，b≠0。

我们将a除以b，得到商q 和余数r。

如果余数r为0，则a/b为有限小数；如果余数r不为0，则将余数r 乘以10再除以b，得到商q1和余数r1。

重复这个过程，直到余数为0或者出现重复的余数。

如果余数为0，则a/b为无限小数；如果出现重复的余数，则a/b为有循环节的无限小数。

2. 证明：无理数的小数表示是无限不循环的。

解答：假设无理数的小数表示是有限小数或有循环节的无限小数。

如果是有限小数，那么它可以表示为a/b的形式，其中a和b为整数，b≠0。

这与无理数的定义相矛盾。

如果是有循环节的无限小数，那么它可以表示为a/b的形式，其中a和b为整数，b≠0。

同样地，这与无理数的定义相矛盾。

所以，无理数的小数表示是无限不循环的。

3. 证明：如果数列{an}收敛于a，那么数列的任意子列也收敛于a。

解答：假设数列{an}收敛于a，即对于任意的ε>0，存在正整数N，使得当n>N 时，|an-a|<ε。

现在考虑数列{an}的任意子列{an_k}，其中n1<n2<...<nk<...。

由于{an}收敛于a，对于任意的ε>0，存在正整数N1，使得当n>N1时，|an-a|<ε。

由于{an_k}是{an}的一个子列，所以存在正整数N2，使得当n_k>N2时，|an_k-a|<ε。

欧阳光中《数学分析》(上)配套题库-名校考研真题(Fourier级数)【圣才出品】

第15章Fourier级数1．在区间（0，2π）内展开f（x）的Fourier级数[北京大学、湖南大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期函数，则故当x＝0，2π时，上述级数收敛于0．2．已知函数（1）在[－π，π]上将f（x）展为傅里叶级数；（2）求级数的和．[天津大学研]解：（1）f（x）＝f（－x），f（x）为偶函数，故又故在[－π，π]上，①（2）在①式中令，得即3．设以2π为周期的连续函数．f（x）的Fourier系数为，求的Fourier系数，并证明．[中国地质大学研] 证明：（1）根据Fourier系数公式，有同理（2）由（1）的结果可得4．将f（x）展开成以2π为周期的正弦级数[南京航空航天大学研] 解：因为要展开成正弦级数，所以所以f（x）展开成以2π为周期的正弦级数为5．将函数f（x）＝x在[0，π]上展开成余弦级数，并求．[上海大学研、天津工业大学2006研、华中科技大学2007研]解：由于所以f（x）＝x在[0，π]上展开成余弦级数为，从而故．6．令f是R上周期为2π的函数，当时满足．（1）证明f的Fourier级数具有形式，并写出的积分表达式．（2）该Fourier级数是否一致收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．（3）证明．[中科院武汉物理与数学研究所研]证明：（1）由于是奇函数，所以f的Fourier级数具有形式，且．（2）不一致收敛．由Fourier级数收敛定理知由于在上连续，但和函数在上不连续，所以该Fourier级数不一致收敛．（3）由于在上可积且平方可积，所以Parseval等式成立7．证明函数系{sin（2n＋1）x}是上的正交系，对应如何延拓到（－π，π），才能使f（x）的Fourier级数恰为函数系{sin（2n＋1）x}的展开式？求出此展开式，并做出延拓后在上的函数．[西安交通大学研]证明：当m≠n时，有所以函数系{sin（2n＋1）x}是上的正交系．要使f（x）的Fourier级数恰为函数系{sin（2n＋1）x}的展开式，只要即可．由于所以当时，取，然后再做奇延拓．此时所以此展开式为．f（x）延拓后在上的函数为。

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