不等式知识点总结
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期末复习之不等式知识点
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3
1） (x – 2)(ax – 2)>0
（2）x2–(a+a2)x+a3>0；
（3）2x2 +ax +2 > 0；
注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：
1、讨论a与0的大小；
2、讨论⊿与0的大小；
3、讨论两根的大小；运用的数学思想：
1、分类讨论的思想；
2、数形结合的思想；
3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：
例1．已知关于x的不等式
在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
≠
≤
⋅
⇔
≤
>
⋅
⇔
>
)x(g
)x(g
)x(f
)x(g
)x(f
)x(g
)x(f
)x(g
)x(f
22
(3)210
x a x a
+-+-<
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
用图象
分离参数后用最值
函数
、
、
、
3
2
1
例2．关于x 的不等式
对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.
4
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。
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（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +∈⇒2
a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）,a b R +∈⇒22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 总结：已知y x ,都是正数，则有
（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24
1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正，则要加负号，若不定，则要凑定值，若不等，则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x
=z ax by =+22y x z +=