上海交通大学-理论力学PPT-第4章 力系的平衡
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理论力学CAI 17
平面力系平衡方程的各种形式
基本形式：
F
i 1
n
ix
0,
F
i 1 i
n
iy
0,
n
M F 0
i 1 oz i Bz i
n
二矩式：
F
i 1 n
n
ix
0,
M F 0, M F 0
i 1 Az i 1
n
A、B连线不能与x轴垂直
26
为了测定火箭的重心位置，可将火箭悬挂起 来如图示，求重心位置x
h
利用力三角形与几 何三角形相似得到
2013年7月29日 理论力学CAI
2.5 5 4 2.5 x h 10 x
x 2.3 m
27
2013年7月29日 理论力学CAI
28
质量为50kg匀质杆放在光滑的相互垂直的两平面上，并由一 柔索系住。求杆两端磙子的约束反力和柔索的拉力。
Y 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
EB 0.4 1 tg AB 1.2 3
解得：
P SCD 4.24 kN 0 cos450 tg sin 45
2013年7月29日 理论力学CAI
cos450 R A SCD 3.16 kN cos
PP Q Q
4i 1.5 j 2k
4 2 1 .5 2 2 2 4i 1.5 j 2k
4 2 1 .5 2 2 2 W 100 k N F 20 j N
Mz 0: M
2013年7月29日 理论力学CAI
y
Q P
1.5 4 4 1 .5 2 2 4
2013年7月29日 理论力学CAI
？
？
2013年7月29日 理论力学CAI
8
W1 540 kN , W2 360 kN , W3 800 kN
？
W4 1700 kN
？
WA 656 kN, WB 1304 kN
2013年7月29日 理论力学CAI
9
Slide bearing Thrust bearing
Fx 0 :
2013年7月29日 理论力学CAI
Fy 0 : Ay 245 883 T 1 cos 20 o 376 .4 N
31
Ax T sin 20 o 132 .ຫໍສະໝຸດ Baidu N
4.2
静定和超静定
1．约束完全性的静力学判别法
上一章按照运动学的观点叙述了约束完全性的概念， 在第九章中将进一步介绍如何根据物体的自由度判别约 束的完全性。本节从静力学的观点出发，根据力系的独 立平衡方程的数目来确定约束的完全性。 在静力学问题中，一般是以约束力作为平衡方程的未知变 量，独立平衡方程的数目则取决于力系的分布状况。设全 部力系应满足的独立平衡方程数为l，仅由约束力构成的力 系应满足的独立平衡方程数为r，r可等于或小于l(r≤l)。分 两种情形讨论：
29
重200 lb的匀质招牌用3根铁丝悬挂，求每根铁丝的拉力。
M D 0 : TC 3 4 tan 30 o 2W 0
TC 75.3 lb
2013年7月29日 理论力学CAI
TC 86.9 lb o cos 30 Fy 0 : TA W TB sin 30 o 156 .6 lb
D
M D 0 : T 4 sin 40 o cos 20 o 2 cos 40 o sin 20 o 3W cos 40 o 0
2013年7月29日 理论力学CAI
T 383 N Fx 0 : N B T cos 20 o 359 .9 N Fy 0 : N A W T sin 20 o 359 N
o o C P o o
cos 60 o j sin 60 o k
F F F
x y
0 : FB FA 0 0: 0:
W Wk
FA FB 569 kN FC 69 kN
7
z
FB FA cos2 60 o FC FP cos 60 o 0 FA FB FC FP sin 60 o W 0
2 3
约束性质
刚体能否转动
可绕柱铰A转动
不完全约 束
可绕柱铰A微小转 动 可沿水平线平行 移动
平面平行力系
2 3 完全约束
平面一般力系 3 3 4 4 多余约束
不能
2013年7月29日 理论力学CAI
36
2．静定和超静定 静力学问题可区分为静定和超静定两种不同类型。凡 约束力未知变量可以由静力学平衡方程完全确定的问题称 为静定问题，反之为超静定问题。静定或超静定与约束的 完全性有着直接的联系。根据前面的分析，受不完全约束 的物体仅在特殊力系作用下才有可能平衡，在一般情况下 不能保证平衡而存在运动的可能性。完全约束或多余约束 能保证物体在任意力系作用下实现平衡，其中只有完全约 束的约束力变量可由平衡方程完全确定，多余约束则不能 。可得出以下结论：受完全约束的物体为静定，受多余约 束的物体为超静定。
i 1 n i 1
n
iy
0, 0,
F
i 1 n i 1
n
iz
0
iz
M
ix
M
iy
M
0
2013年7月29日 理论力学CAI
2
以下几种特殊力系，独立的平衡方程可以相应的减少。
空间汇交力系
空间平行力系
空间力偶系
2013年7月29日 理论力学CAI
3
静力学研究的主要问题之一是建立力系 的平衡条件，并应用它来确定被约束物体所
Fx 0 : TB
30
人通过拉住绳索以支撑自身和匀质梁。人重883N， 梁重245N，求绳索拉力和铰链A处的约束反力.
M A 0 : T 4.81 cos 20 o 2.8 sin 20 o 2.4 245 3 883 0
T 387.5 N
如果三力中有二力相交，则三力共面共点。
F2
O F3
F1
2013年7月29日 理论力学CAI
24
过光滑滑轮的柔索平衡时两端的拉力相等
T1
T1r T2 r
T2
2013年7月29日 理论力学CAI 25
[例] 已知 P=2kN 解：研究AB杆
求SCD , RA
X 0
RAcos SCD cos450 0
三矩式：
M F 0, M F 0, M F 0
i 1 Az i i 1 Bz i i 1 Cz i
n
n
A、B、C不能取在同一直线上 x B B y
B
C
2013年7月29日 理论力学CAI
A
A
18
例4.5
2013年7月29日 理论力学CAI
19
桌灯由灯头、2根匀质直杆和基座组成。若使桌灯 在图示位置下平衡，求销钉A需提供的摩擦力偶矩。
2013年7月29日 理论力学CAI 32
(1) r<l。必存在l-r个只包含主动力而不包含约束力 的平衡方程。除非在这些方程中出现的主动力自行平衡 ，一般情况下，由于缺少约束力与主动力抗衡，物体不 可能维持平衡而产生运动，这种约束为不完全约束。
(2) r=l。物体在主动力和约束力作用下可以保持平 衡，但根据约束力未知变量的总数n是否与l相等，还 可再区分为两种情形：n=l时，约束力变量可由相同 数量的独立平衡方程单值地解出，对应的约束为完全 约束；n>l时，由于约束力变量数超过独立平衡方程 数，解是不确定的，对应的约束为多余约束。
2013年7月29日 理论力学CAI
o o o B
F cos 60 sin 60 i cos 60 F cos 60 j sin 60 k F cos 60 j sin 60 k
o o C P o o
cos 60 o j sin 60 o k
2013年7月29日 理论力学CAI
20
例：匀质三角板受图示约束，已知板质量250kg，求A、C 处的约束反力.
2013年7月29日 理论力学CAI
21
2013年7月29日 理论力学CAI
22
2013年7月29日 理论力学CAI
23
三力平衡定理
刚体在三力作用下平衡，如果其中二力作用线相交，则 第三力必位于前二力所构成的平面上，且作用线经过前二力 的交点。即
第四章 力系的平衡
4.1 力系的平衡方程
定理：任意空间力系平衡的充分必要条件为： 力系的主矢和对于任意点简化的主矩均等于零
F
i 1
2013年7月29日 理论力学CAI
n
i
0,
M F 0
i 1 o i
n
1
空间力系的平衡方程
F
i 1 n i 1
n
ix
0, 0,
F
2 2 2 2 2
20 6 0 6 100 0
0 : P Q
4 1 .5 2
2
P 129 .7 N , Q 224 .1N , R 300 i 10 j 50k N
14
平面力系的平衡方程
F
i 1
n
ix
0,
F
i 1
n
2013年7月29日 理论力学CAI
33
以上结论可归纳为以下判别方法：
r<l r=l
不完全约束 n =l 完全约束
n>l
多余约束
2013年7月29日 理论力学CAI
34
2013年7月29日 理论力学CAI
35
l
a b c d e f 3 3 3 3 3 3
r
2 2 2 3
约束力系
平面汇交力系
n
受的约束力或平衡位置.
静力学解题五步骤：
确定研究对象 画受力图 建立坐标系，选取合适的平衡方程，尽量用1个方程解1个未知量 求解方程 校核
2013年7月29日 理论力学CAI 4
例4.1 三根直杆AD，BD，CD在点D处互相联结构成支架，缆绳 ED绕固定在D处的滑轮提升重量为500kN的载荷。设ABC组成等 边三角形，各杆和缆绳与地面的夹角均为60o，求平衡时各杆的 轴向压力。
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 220 12( kN) 2 a 2 0.8 Y A P qa RB 20 200.81224(kN) 2013年7月29日
?
2013年7月29日 理论力学CAI
10
F 200 N
2013年7月29日 理论力学CAI
11
F1 200 N F2 100 N W1 W2 100 N
2013年7月29日 理论力学CAI
12
2013年7月29日 理论力学CAI
13
例：路灯在自重、风载、拉力P、Q 的作用下，其合力通过O点 求：拉力P、Q
W Wk
6
FA FB FC FP W 0
FA FA cos 60 o sin 60 o i cos 60 o cos 60 o j sin 60 o k FB FC FP
o o o B
FP W 500 kN
F cos 60 sin 60 i cos 60 F cos 60 j sin 60 k F cos 60 j sin 60 k
iy
0,
M F 0
i 1 oz i
n
平面汇交力系
F
i 1 n
n
ix
0,
F
i 1 n
n
iy
0
平面平行力系
F
i 1 n
iy
0,
M F 0
i 1 oz i
平面力偶系
M
i 1
i
0
2013年7月29日 理论力学CAI
15
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究 ②画受力图
由 mA ( Fi ) 0
X 0
Y 0
2013年7月29日 理论力学CAI
2P P 2a N B 3a 0, N B 3
XA 0
YB N B P 0,
P A Y 3
16
[例] 已知：P=20kN, m=16kN· q=20kN/m, a=0.8m m, 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
2013年7月29日 理论力学CAI
5
对象：三根直杆+重物+缆绳
受力分析：汇交力系 建立坐标系：
FA , FB , FC , FP , W ,
FP W
FA FA cos 60 o sin 60 o i cos 60 o cos 60 o j sin 60 o k FB FC FP
平面力系平衡方程的各种形式
基本形式：
F
i 1
n
ix
0,
F
i 1 i
n
iy
0,
n
M F 0
i 1 oz i Bz i
n
二矩式：
F
i 1 n
n
ix
0,
M F 0, M F 0
i 1 Az i 1
n
A、B连线不能与x轴垂直
26
为了测定火箭的重心位置，可将火箭悬挂起 来如图示，求重心位置x
h
利用力三角形与几 何三角形相似得到
2013年7月29日 理论力学CAI
2.5 5 4 2.5 x h 10 x
x 2.3 m
27
2013年7月29日 理论力学CAI
28
质量为50kg匀质杆放在光滑的相互垂直的两平面上，并由一 柔索系住。求杆两端磙子的约束反力和柔索的拉力。
Y 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
EB 0.4 1 tg AB 1.2 3
解得：
P SCD 4.24 kN 0 cos450 tg sin 45
2013年7月29日 理论力学CAI
cos450 R A SCD 3.16 kN cos
PP Q Q
4i 1.5 j 2k
4 2 1 .5 2 2 2 4i 1.5 j 2k
4 2 1 .5 2 2 2 W 100 k N F 20 j N
Mz 0: M
2013年7月29日 理论力学CAI
y
Q P
1.5 4 4 1 .5 2 2 4
2013年7月29日 理论力学CAI
？
？
2013年7月29日 理论力学CAI
8
W1 540 kN , W2 360 kN , W3 800 kN
？
W4 1700 kN
？
WA 656 kN, WB 1304 kN
2013年7月29日 理论力学CAI
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Slide bearing Thrust bearing
Fx 0 :
2013年7月29日 理论力学CAI
Fy 0 : Ay 245 883 T 1 cos 20 o 376 .4 N
31
Ax T sin 20 o 132 .ຫໍສະໝຸດ Baidu N
4.2
静定和超静定
1．约束完全性的静力学判别法
上一章按照运动学的观点叙述了约束完全性的概念， 在第九章中将进一步介绍如何根据物体的自由度判别约 束的完全性。本节从静力学的观点出发，根据力系的独 立平衡方程的数目来确定约束的完全性。 在静力学问题中，一般是以约束力作为平衡方程的未知变 量，独立平衡方程的数目则取决于力系的分布状况。设全 部力系应满足的独立平衡方程数为l，仅由约束力构成的力 系应满足的独立平衡方程数为r，r可等于或小于l(r≤l)。分 两种情形讨论：
29
重200 lb的匀质招牌用3根铁丝悬挂，求每根铁丝的拉力。
M D 0 : TC 3 4 tan 30 o 2W 0
TC 75.3 lb
2013年7月29日 理论力学CAI
TC 86.9 lb o cos 30 Fy 0 : TA W TB sin 30 o 156 .6 lb
D
M D 0 : T 4 sin 40 o cos 20 o 2 cos 40 o sin 20 o 3W cos 40 o 0
2013年7月29日 理论力学CAI
T 383 N Fx 0 : N B T cos 20 o 359 .9 N Fy 0 : N A W T sin 20 o 359 N
o o C P o o
cos 60 o j sin 60 o k
F F F
x y
0 : FB FA 0 0: 0:
W Wk
FA FB 569 kN FC 69 kN
7
z
FB FA cos2 60 o FC FP cos 60 o 0 FA FB FC FP sin 60 o W 0
2 3
约束性质
刚体能否转动
可绕柱铰A转动
不完全约 束
可绕柱铰A微小转 动 可沿水平线平行 移动
平面平行力系
2 3 完全约束
平面一般力系 3 3 4 4 多余约束
不能
2013年7月29日 理论力学CAI
36
2．静定和超静定 静力学问题可区分为静定和超静定两种不同类型。凡 约束力未知变量可以由静力学平衡方程完全确定的问题称 为静定问题，反之为超静定问题。静定或超静定与约束的 完全性有着直接的联系。根据前面的分析，受不完全约束 的物体仅在特殊力系作用下才有可能平衡，在一般情况下 不能保证平衡而存在运动的可能性。完全约束或多余约束 能保证物体在任意力系作用下实现平衡，其中只有完全约 束的约束力变量可由平衡方程完全确定，多余约束则不能 。可得出以下结论：受完全约束的物体为静定，受多余约 束的物体为超静定。
i 1 n i 1
n
iy
0, 0,
F
i 1 n i 1
n
iz
0
iz
M
ix
M
iy
M
0
2013年7月29日 理论力学CAI
2
以下几种特殊力系，独立的平衡方程可以相应的减少。
空间汇交力系
空间平行力系
空间力偶系
2013年7月29日 理论力学CAI
3
静力学研究的主要问题之一是建立力系 的平衡条件，并应用它来确定被约束物体所
Fx 0 : TB
30
人通过拉住绳索以支撑自身和匀质梁。人重883N， 梁重245N，求绳索拉力和铰链A处的约束反力.
M A 0 : T 4.81 cos 20 o 2.8 sin 20 o 2.4 245 3 883 0
T 387.5 N
如果三力中有二力相交，则三力共面共点。
F2
O F3
F1
2013年7月29日 理论力学CAI
24
过光滑滑轮的柔索平衡时两端的拉力相等
T1
T1r T2 r
T2
2013年7月29日 理论力学CAI 25
[例] 已知 P=2kN 解：研究AB杆
求SCD , RA
X 0
RAcos SCD cos450 0
三矩式：
M F 0, M F 0, M F 0
i 1 Az i i 1 Bz i i 1 Cz i
n
n
A、B、C不能取在同一直线上 x B B y
B
C
2013年7月29日 理论力学CAI
A
A
18
例4.5
2013年7月29日 理论力学CAI
19
桌灯由灯头、2根匀质直杆和基座组成。若使桌灯 在图示位置下平衡，求销钉A需提供的摩擦力偶矩。
2013年7月29日 理论力学CAI 32
(1) r<l。必存在l-r个只包含主动力而不包含约束力 的平衡方程。除非在这些方程中出现的主动力自行平衡 ，一般情况下，由于缺少约束力与主动力抗衡，物体不 可能维持平衡而产生运动，这种约束为不完全约束。
(2) r=l。物体在主动力和约束力作用下可以保持平 衡，但根据约束力未知变量的总数n是否与l相等，还 可再区分为两种情形：n=l时，约束力变量可由相同 数量的独立平衡方程单值地解出，对应的约束为完全 约束；n>l时，由于约束力变量数超过独立平衡方程 数，解是不确定的，对应的约束为多余约束。
2013年7月29日 理论力学CAI
o o o B
F cos 60 sin 60 i cos 60 F cos 60 j sin 60 k F cos 60 j sin 60 k
o o C P o o
cos 60 o j sin 60 o k
2013年7月29日 理论力学CAI
20
例：匀质三角板受图示约束，已知板质量250kg，求A、C 处的约束反力.
2013年7月29日 理论力学CAI
21
2013年7月29日 理论力学CAI
22
2013年7月29日 理论力学CAI
23
三力平衡定理
刚体在三力作用下平衡，如果其中二力作用线相交，则 第三力必位于前二力所构成的平面上，且作用线经过前二力 的交点。即
第四章 力系的平衡
4.1 力系的平衡方程
定理：任意空间力系平衡的充分必要条件为： 力系的主矢和对于任意点简化的主矩均等于零
F
i 1
2013年7月29日 理论力学CAI
n
i
0,
M F 0
i 1 o i
n
1
空间力系的平衡方程
F
i 1 n i 1
n
ix
0, 0,
F
2 2 2 2 2
20 6 0 6 100 0
0 : P Q
4 1 .5 2
2
P 129 .7 N , Q 224 .1N , R 300 i 10 j 50k N
14
平面力系的平衡方程
F
i 1
n
ix
0,
F
i 1
n
2013年7月29日 理论力学CAI
33
以上结论可归纳为以下判别方法：
r<l r=l
不完全约束 n =l 完全约束
n>l
多余约束
2013年7月29日 理论力学CAI
34
2013年7月29日 理论力学CAI
35
l
a b c d e f 3 3 3 3 3 3
r
2 2 2 3
约束力系
平面汇交力系
n
受的约束力或平衡位置.
静力学解题五步骤：
确定研究对象 画受力图 建立坐标系，选取合适的平衡方程，尽量用1个方程解1个未知量 求解方程 校核
2013年7月29日 理论力学CAI 4
例4.1 三根直杆AD，BD，CD在点D处互相联结构成支架，缆绳 ED绕固定在D处的滑轮提升重量为500kN的载荷。设ABC组成等 边三角形，各杆和缆绳与地面的夹角均为60o，求平衡时各杆的 轴向压力。
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 220 12( kN) 2 a 2 0.8 Y A P qa RB 20 200.81224(kN) 2013年7月29日
?
2013年7月29日 理论力学CAI
10
F 200 N
2013年7月29日 理论力学CAI
11
F1 200 N F2 100 N W1 W2 100 N
2013年7月29日 理论力学CAI
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2013年7月29日 理论力学CAI
13
例：路灯在自重、风载、拉力P、Q 的作用下，其合力通过O点 求：拉力P、Q
W Wk
6
FA FB FC FP W 0
FA FA cos 60 o sin 60 o i cos 60 o cos 60 o j sin 60 o k FB FC FP
o o o B
FP W 500 kN
F cos 60 sin 60 i cos 60 F cos 60 j sin 60 k F cos 60 j sin 60 k
iy
0,
M F 0
i 1 oz i
n
平面汇交力系
F
i 1 n
n
ix
0,
F
i 1 n
n
iy
0
平面平行力系
F
i 1 n
iy
0,
M F 0
i 1 oz i
平面力偶系
M
i 1
i
0
2013年7月29日 理论力学CAI
15
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究 ②画受力图
由 mA ( Fi ) 0
X 0
Y 0
2013年7月29日 理论力学CAI
2P P 2a N B 3a 0, N B 3
XA 0
YB N B P 0,
P A Y 3
16
[例] 已知：P=20kN, m=16kN· q=20kN/m, a=0.8m m, 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
2013年7月29日 理论力学CAI
5
对象：三根直杆+重物+缆绳
受力分析：汇交力系 建立坐标系：
FA , FB , FC , FP , W ,
FP W
FA FA cos 60 o sin 60 o i cos 60 o cos 60 o j sin 60 o k FB FC FP