单摆及研究单摆的周期

例题
周期T=2s的单摆叫做秒摆，试计算秒摆的摆 长。(g=9.8m/s2）
解：根据单摆周期公式：
T 2 L
g
gT 2 9.8 22
L =
m=1m
4 2 4 3.142
(g 2)
∴秒摆的摆长是1m.
跟踪训练
一个作简谐运动的单摆,周期是1s（ ACD ）
A.摆长缩短为原来的1/4时,频率是2Hz B.摆球的质量减小为原来的1/4时,周期是4秒 C.振幅减为原来的1/4时周期是1秒 D.如果重力加速度减为原来的1/4时,频率是0.5Hz.
当很小时，
（1）弧长≈x
弧
=
x
ll
sin x
l
(2)sin
mg sin mg x
l
若考虑回复力和位移的方向，
F回
mg l
x
kx(令k
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mg l
)
T
x
mg sin
mg cos
mg
2、单摆的回复力
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度
sinθ
弧度值θ
1o
0.01754
0.01754
2o
0.03490
重力加速度相同
摆长相同 振幅相同 质量不同
单摆振动周期和摆球质量无关。
返回
演示3：周期与摆长是否有关？
重力加速度相同
振幅相同 质量相同 摆长不同
单摆振动周期和摆长有关： 摆长越长，周期越长。
演示4：周期是否与重力加速度有关？
摆长相同 质量相同 振幅相同
重力加速度不同
单摆振动周期和重力加速度有关： 重力加速度越小，周期越长。
议一议： 单摆振动的周期与哪些因素有关呢？
单摆的周期
猜想？
振幅
质量
摆长
重力加速度
议一议： 单摆振动的周期与哪些因素有关呢？
单摆的周期
猜想？
振幅
质量
摆长
重力加速度
实验方法: 控制变量法
演示1：周期是否与振幅有关？
重力加速度相同
摆长相同 质量相同 振幅不同
单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。 单摆振动的等时性是意大利物理学家伽利略首先发现的。
实验现象：
重力加速度摆长和质量相同，振幅不同
周期相同
重力加速度摆长和振幅相同，质量不同
周期相同
重力加速度振幅和质量相同，摆长不同
周期不同
摆长振幅和质量相同，重力加速度不同
周期不同
实验结论：
单摆振动周期与小球质量，振幅无 关，与摆长、重力加速度有关；摆长 越长、重力加速度越小，周期越长。
三．单摆的周期
单摆做简谐运动的振动周期跟 摆长的平方根成正比，跟重力加 速度的平方根成反比。
惠更斯（荷兰）
周期公式： T 2 l
g
国际单位：秒（s）
单摆周期公式的理解:
T 2 L
g
1、单摆周期与摆长和重力加速度,摆长有关，与 振幅和质量无关。
2、摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一 定，通常称为单摆的固有周期和固有频率。
四、单摆的应用
1、计时器（利用单摆的等时性）
惠更斯在1656年首先利用摆的等时性发 明了带摆的计时器（1657年获得专利权）
2、测定重力加速度
T 2 l
g
g
4 2l
T2
②也可绘T2—L图像，利用g=4π2/k计算（k为图线的斜率）
学以致用：
那个大庆人所买的摆 钟，走时不准的原因是什 么？应该如何调整？
伽利略18岁时，到教堂做礼拜， 他发现吊灯摆动的幅度虽然慢慢地 在变小，但摆动一次所用时间却没 有变化。他用自己的脉搏的跳动次 数来测算。终于肯定了吊灯摆动周 期与摆动的幅度无关这个单摆摆动 的等时性规律。后来他利用这个原 理制成了一个 “脉搏计”，帮助 判断病人患病的情况。
返回
演示2：周期与摆球的质量是否有关?
结论：当最大摆角很小时，单摆在竖直面内
的摆动可看作是简谐运动。
F回
mg l
x
kx(令k
mg l
)
案例：
一个大庆人去香港旅游，在一家大型超 市以高价购买了一台精致的摆钟，买的时候 走时很准。回到大庆后不到两天走时就相差 一分多钟。于是大呼上当，心里极其气愤。 后来，他求助“消费者权益保护协会”，准 备与该超市打一场索赔官司，消费者协会调 查研究发现产品货真价实，那么问题出在哪 儿呢？
0.03491
3o
0.05234
0.05236
4o
0.06976
0.06981
5o
0.08716
0.08727
6o
0.10453
0.10472
7o
0.12187
0.12217
8o
0.13917
0.13863
当θ角很小（θ＜50）时，角的正弦值近似等于θ所对应 的弧度值，即sinθ≈θ
二．单摆的运动
Ａ. Ｏ 点 Ｂ. Ｏ点左侧 Ｃ. Ｏ点右侧 Ｄ. 无法确定
思维拓展
T 2 l
g
摆长(或等效摆长) 重力加速度(或等效重力加速度)
等效摆长: 摆球球心到摆动圆弧圆心的距离。
双线摆
等效摆长： l sin d
2
l
1.单摆作简谐运动的回复力由下列哪 些力提供（ ）B
A.摆球的重力 B.摆球重力沿圆弧切线的分力 C.摆线的拉力 D.摆球重力与摆线拉力的合力
2.下列哪些情况可使单摆（＜10°）的 振动周期增大( )B
A.摆球的质量增大 B.摆长增大 C.单摆由赤道移到北极 D.增大振幅
3.悬挂于同一点的两个单摆的摆长相等，A 的质量大于B的质量，O为平衡位置，分别 把它们拉离平衡位置同时释放，若最大的摆 角都小于10°，那么它们将相遇在（ A）
单摆振动图像
1.单摆的振动图像：
正弦图像
二．单摆的运动
二．单摆的运动
O'
法向：Fy T mg cos（向心力）
切向：Fx mgsinθ（回复力）
T
O
回复力： F回 mgsinθ
mg sin
mg cos
在平衡位置振子所受回复力是零，但
合力是向心力，指向悬点，不为零。
mg
二．单摆的运动
2.单摆的回复力 F回=mgsinθ
单摆是一个理想化的模型。
质量不计
摆线：长度远大于小球直径
不可伸缩
摆长
摆球：质点（体积小 质量大）
空气阻力不计
说明：实际应用的单摆小球大小不可忽略，
摆长 L＝摆线长度＋小球半径
想一想：下列装置能否看作单摆？
细
橡
绳
皮
筋
1
2
O
细粗
铁
绳棍
链
O’
挂上 在
3
4
长 细 线
钢球
5
ᄼ
二．单摆的运动 做一做：单摆在竖直面内的摆动是简谐运动吗？
研究单摆的周期
温故知新
什么是简谐运动？ 做简谐运动物体的回复力具有什么特征？
回复力与位移成正比而方向相反，总是指向平衡位置。
X F
AC O DB
F kx
一．单摆
在细线的一端拴上一 个小球，另一端固定在悬 点上，如果细线的质量与 小球相比可以忽略，球的 直径与线的长度相比也可 以忽略，这样的装置就叫 做单摆．