圆形薄板的横向振动
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固定边
（7-105）
简支边
自由边
（7-106）
（wk.baidu.com-107）
7.6 圆形薄板的横向振动
例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节 径）时较低的前三阶固有频率。
7.6 圆形薄板的横向振动
频率方程:
当n=0时，圆板不出现节径，上式为
7.6 圆形薄板的横向振动
200
150
100
f(x)
50 0 -50 0
7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到 （7-94） 其中 式(7-88)可改写为 （7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
（7-96）
（7-97）
设主振型
（7-98）
其中
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下 ①固定边 （7-90） ②简支边 （7-91） ③自由边 （7-92） （7-50） （7-49） （7-48）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
圆板的固有频率通常表示为
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
分析圆形薄板的横向振动，采用 极坐标最方便，如图7-17所示。
极坐标与直角坐标的关系为
y
P
a
由此得到
O
x
7.6 圆形薄板的横向振动
利用上述关系，可以得出
（7-85）
7.6 圆形薄板的横向振动
同样能得出
（7-86）
（7-87）
7.6 圆形薄板的横向振动
于是，式（7-46）所示的薄板振动方程 （7-47） 在极坐标系中成为 （7-88）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为
（7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为 （7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：
（7-105）
简支边
自由边
（7-106）
（wk.baidu.com-107）
7.6 圆形薄板的横向振动
例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节 径）时较低的前三阶固有频率。
7.6 圆形薄板的横向振动
频率方程:
当n=0时，圆板不出现节径，上式为
7.6 圆形薄板的横向振动
200
150
100
f(x)
50 0 -50 0
7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到 （7-94） 其中 式(7-88)可改写为 （7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
（7-96）
（7-97）
设主振型
（7-98）
其中
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下 ①固定边 （7-90） ②简支边 （7-91） ③自由边 （7-92） （7-50） （7-49） （7-48）
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7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
圆板的固有频率通常表示为
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
分析圆形薄板的横向振动，采用 极坐标最方便，如图7-17所示。
极坐标与直角坐标的关系为
y
P
a
由此得到
O
x
7.6 圆形薄板的横向振动
利用上述关系，可以得出
（7-85）
7.6 圆形薄板的横向振动
同样能得出
（7-86）
（7-87）
7.6 圆形薄板的横向振动
于是，式（7-46）所示的薄板振动方程 （7-47） 在极坐标系中成为 （7-88）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为
（7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为 （7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：