圆形薄板的横向振动
第十五章--薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
或
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
阶梯圆环盘横向弯曲振动特性研究
Ａｂｓｔｒａｃｔ: Ｔｈｅ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｈｏｎｉｎｇ ｄｅｖｉｃｅꎬａｎｄ ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｖｉ￣ ｂｒａｔｉｏｆ ｔｈｅ ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃ ｈｏｎｉｎｇ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｓｙｓｔｅｍ������ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｉｎｄｌｉｎ ｍｅｄｉｕｍ ｐｌａｔｅ ｔｈｅｏｒｙꎬｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｔｅｐｐｅｄ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｄｉｓｋ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ａｎｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔꎬ ｒｏｔａｔｉｏｎꎬ ｂｅｎｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔ ａｎｄ ｓｈｅａｒ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｅｐｐｅｄ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｄｉｓｋ������ Ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ｂｙ Ｍａｔｌａｂ������ Ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ ｖｅｒｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｏ￣ ｌｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓꎬａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｂｅｎ￣ ｄｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄｉｓｋ������
[ ９] Ｚｈｏｕ ＹꎬＮｙｂｅｒｇ ＴꎬＸｉｏｎｇ Ｇꎬｅｔ ａｌ������ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｓｅｄ ｄｅｐ￣
加热压电纤维复合材料圆板的横向自由振动
加热压电纤维复合材料圆板的横向自由振动王硕;滕兆春【摘要】基于经典薄板理论和极正交各向异性材料的本构理论,建立了加热压电纤维复合材料圆板的线性振动控制微分方程.采用打靶法分别获得了加热压电纤维复合材料圆板在周边固支和简支情况下,无量纲固有频率随温度和电场强度变化的关系曲线,并分析了压电纤维体积分数、刚度参数、电场强度和温度变化对压电纤维复合材料圆板无量纲固有频率的影响.结果表明,一定体积分数或者电场强度下,压电纤维复合材料圆板的无量纲固有频率都随温度的升高而单调下降;同一温度下,刚度参数越小,无量纲固有频率越低;电场强度越大,无量纲固有频率越高.%Based on the classical thin plate theory and the constitutive theory for orthotropic materials,the linear differential equations of vibration for circular plate of heated piezoelectric fibre composite materials are derived.By using a shooting method,the relationship curves of the dimensionless natural frequencies of the heated piezoelectric fibre composite circular plate versus temperature rise and electric field strength change are presented with clamped and simply supported boundary conditions.And the influence of the volume fraction of piezoelectric fibre,stiffness parameters,electric field strength and temperature rise on the dimensionless natural frequencies of piezoelectric fibre composite materials circular plate is also discussed.The results show that the dimensionless natural frequency of the piezoelectric fibre composite material circular plate monotonically decreases with the temperature.Itdecreases with decreasing the stiffness parameters,but increases with increasing electric field strength at certain fixed values of temperature.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2017(034)003【总页数】6页(P286-291)【关键词】压电纤维复合材料;圆板;自由振动;固有频率;打靶法【作者】王硕;滕兆春【作者单位】兰州理工大学理学院,兰州 730050;兰州理工大学理学院,兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O343因为具有力电耦合的性能，压电材料常用于传感器和致动器的制造，并广泛应用于机电系统和智能结构[1，2]。
第二章 薄板振动
2 1 2 D W dxdy 2
（6）
对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为
d 2W 2 1 dW 2 dW d 2W U W D r dr 2 r dr 2 dr dr 2 dr
mn mn
思考题
能否将薄板受迫振动化为初值问题处理？
谢谢
第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
m 2 w px, y, t w 2 D t D
4
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。 首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
m 2w w 0 2 D t
4
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
2W 2W 2W 2 1 2 2 U W D W 21 2 2 xy dxdy 2 x y
（5）
对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为
于是得
63 a 4 4a2 1 4 2 2 b 7b a2 D m
对于正方形薄板
9.000 D a2 m
与最低固有频率的精确答案
几乎相同。
8.996 D a2 m
思考题
对于方形薄板 •是简支的基频较高 •还是夹支的基频较高
2 2 a2 D 8.996 D m a2 m
设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用 瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。
O
C
非线性弹性地基上圆形薄板主参数共振研究
第２ Ｏ卷 第 ６期 ２０ ０ ７年 儿 月
唐 山 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＴａ ｇ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｓ ａ ｏ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｖ０ ． Ｏ Ｎｏ ６ Ｉ２ ．
ＮＯＶ ０ ．２ ０７
非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形薄 板 主 参 数 共振 研究
ｐ ｒ ｍｅ ｒ ｃｒ ｓ ｎａ ｃ ；ｃｒ ｕｌｒ ｐｌ ｔ ａ ａ ｔ ｉ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｃ ａ ａ ｅ
０ 引 言
近年 来 ． 同 几 何 特 性 板 的非 线 性 振 动 得 到 了 人 们 广 泛 不
本 文 研 究 一 个 置 于 非 线 性地 基 上 圆板 的参 数 共 振 问题 。
ｌ 非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形 薄 板 受 简 谐 激 励
的 基 本 方 程
考 虑 图 １ 示 的周 边 固定 的 圆形 薄板 ． 厚 为 ｈ 半 径 为 所 板 。 Ｒ， 其 周 边 上 均 匀 分 布 简 谐 压 力 Ⅳｒ 。 在 —ｎ ＋ ｃｓ ｔ考 虑 非 ｏＳ ．
关键词 ： 非线 性地基 ； ａｅｋｎ方法 ； Ｇ ｌｒ ｉ 多尺度 法 ； 主参 数 共振 ； 圆板
中图分 类号 ： ２ 文献标 识码 ： ０３ １ Ａ 文章编 号 ：６ ２—３ ９ ２ ０ ） ６ ０ １ ４ １７ ４ Ｘ（０ ７ ０ —０ ０ —０
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｉ ａ ｙ Ｐａ ａ ｅ ｒ ｃ Ｒｅ ｏ ｎ ｅ ｔ ｄ ｎ Ｐｒ ｍ ｒ ｒ ｍ ｔ ｉ ｓ ｎａ ｃ
杨 志 安
（ 山学 院 唐 山市 结 构 与振 动工 程 重 点 实 验 室 ． 北 唐 山 ０ ３ ０ ） 唐 河 ６ ００
摘要 ： 究非 线性地 基 上 圆形 薄板 受简谐 激励 的非 线性振 动 问题 。按 照 弹性 力 学理 论 建 立 非线 性 研 地基 上 圆形 薄板 受简谐 激 励 的动 力学 方 程 ， 利用 Ｇａｅｋｎ方 法将 其 转 化 为 非 线 性振 动方 程 ， 方 ｌｒ ｉ 该 程是 马休 型方 程 。应用 非 线性 振 动 的 多尺 度 法 求 得 系 统 主参 数 共 振 的近似 解 ， 并进 行 数 值 计 算。 分析 阻尼 、 地基 系数 、 何参 数 等对 共振 响应 曲线 的影 响。 几
圆形薄板的横向振动学习资料27页PPT
6
、露ຫໍສະໝຸດ 凝无游氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
－α４Ｗ ＝０
（４）
式中：α４＝ω２ ρh D
Ｗ （ｘ，ｙ）为 ｘ，ｙ 的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的
边界条件写出 Ｗ （ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出
Ｗ （ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
本文介绍了基于泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋ ｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论的小
由滑动），其边缘上各点挠度为零并且沿该边垂直方向的挠度斜率为
零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣ｗ 鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ａ）
（２）简支边 若平板边界是铰接支承（无论水平方向可以或不可以
滑动），其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即：
鄣 鄣 （ｗ ）ｙ＝ｙ０ ＝０，
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｂ）
（３）自由边 若平板边界完全不受力，应该有边缘上各点弯矩、扭矩、
515518弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程乐山职业技术学院机电系要薄板振动属于弹性体振动本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程介绍薄板小挠度理论给出弹性薄板横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型
科技信息
高校理科研究
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
乐山职业技术学院机电系 杨丽媛
挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件
的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条
件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。
参考文献 ［1］黄炎.弹性薄板理论［M］.北京：国防科学技术大学出版社，1992 ［2］曹志远.板壳振动理论［M］.北京：中国铁道出版社，1989 ［3］张英世，刘宗德.矩形薄板的横向振动［J］.工程力学，1997 增刊: 515- 518
第二章 薄板振动分析
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
第2章 膜的横振动
Tdy cos Tdy cos 0 T T
z方向(横向)力分量：
dy
dx T T x
Fzx Tdy sin Tdy sin
小振动近似：
u u sin tan ;sin tan x x x x dx
The (3,1) and (1,3) Modes
17
2.2 圆形膜的对称本振振动模式
振动方程
x r cos; y r sin
1 2u 2u 2u 2 2 0 2 2 c t x y
y
(r,) x
1 u 1 2u 1 2u 2 2 0 r 2 2 r r r r c t
相应的振动模式
xn un (r ) AJ 0 a
r
22
n=1
x1 u1 (r ) AJ 0 r a
圆心r=0, 极大。 n=2
a
x2 u2 (r ) AJ 0 a
节线位置
r
a
x2 x1 2.405 r1 x1 r1 a a 0.436a a x2 5.520
26
利用关系
xJ
得到膜的平均位移
0
( x)dx xJ1 ( x)
2n J n 1 ( x) J n ( x) J n 1 ( x) x
p0 J 2 ( a / c) u (t ) 2 exp(it ) k T J 0 (a / c)
共振频率
J 0 (a / c) 0
X ( x)Y ( y) X ( x)Y ( y) k 2 X ( x)( y) 0 X ( x) x 0,l Y ( y) 0; Y ( y) y 0,l X ( x) 0
薄板振动特性的实验研究
毕业设计（论文）任务书摘要随着科技水平的发展，随着振动理论以及结构学的发展，越来越多的结构，开始使用薄板，薄板，即为厚度小于长度方向的1/6。
由于薄板，重量轻，体积小，节省材料。
在一定程度上，尤其是对以工业生产，可以降低成本。
但是，由于薄板的厚度比较薄，在实际情况中的振动，尤其是长期的振动条件下，损坏可能会较严重。
为了解决薄板的耐震寿命，以及了解在振动环境中，薄板结构的振动特点，做了实验研究。
首先，薄板的理论研究，已经趋于成熟。
无论是从基本的薄板的振动理论，还是发展到今天的各种薄板振动精确解的求解方法。
所以，对于理论的学习，是做薄板振动实验的基础。
从理论的角度，了解了薄板结构在边界条件下的振动特点，包括振动阻尼、频率以及振型函数的特点。
其次，是对于实验仪器的选择。
包括，激振方式的选择，传感器的选择，以及后续处理实验设备的选择和选择的注意事项。
再次，在实验模拟条件下，进行薄板的振动研究。
通过力锤进行敲击，通过传感器采集信号，以及后续的处理系统，得到薄板振动的振型函数、振动频率、以及直观的了解薄板结构在试验状态下的振动特点，分析了自由振动条件下和强迫振动条件下，薄板结构的振动特点，而且还分析了，不同的试验条件下，不同的输入条件下得到不同的输出响应，以及各自的特点。
本文对薄板结构的振动特性做了实验研究。
重点探讨了，在不同的激振条件下，薄板结构所表现出来的振动特性。
即在三种不同情况下，包括单输入单输出（SISO）、单输入多输出（SIMO）和多输入多输出（MIMO）情况下，薄板结构表现出来的各自的振动特点，以及不同点。
从而验证了理论研究中，所得到的结果。
而且，还可以通过比较，确定在实际的情况中，根据不同的需要，使用不同的约束条件、可以避免减少对薄板结构的损害，延长耐振寿命。
关键词：薄板结构；振动特性；实验研究AbstractWith the development of scientific and technological level, with the development of the vibration theory and the structure of science, more and more of the structure, start using the thin plate, that is, the length of the direction of thickness of less than 1 / 6. As the thin, light weight, small size, material savings. To some extent, especially in industrial production, to reduce costs. However, due to the thickness of thin sheet metal, the vibration in the actual case, especially in long-term vibration conditions, the damage may be more serious. In order to solve the seismic plate life, and to understand the vibration environment, the vibration characteristics of thin plate and do experiments.Fristly，the thin plate theoryhas been maturing. Either from the basic theory of thin plate, or developed to a variety of thin plate solution of the exact solutions. Therefore, study of the theory is the basis for doing sheet metal vibration test. From a theoretical point of view, understanding of the thin structure in the vibration characteristics of the boundary conditions, including vibration damping, frequency and vibration mode function features.Secondly, the choice of the experimental apparatus. Include the choice of excitation methods, sensor selection, and subsequent processing laboratory equipment selection and choice of notes.Thirdly, the experiment simulated conditions, to the vibration of sheet metal. Carried out by hammer tapping, collecting signals through sensors, and follow-up treatment systems, are rectangular plate vibration mode function, vibration frequency, and the intuitive understanding of thin plate vibration in the experimental conditions to the characteristics of the free vibration conditions and under forced vibration, the vibration characteristics of thin plate structures, but also analyzes the different experimental conditions, different input conditions are different output response, and their respective characteristics. In this paper, thin structure of the vibration characteristics is studied. Focus on, and at different excitation conditions, plate structure shown by vibration. That is, in three different cases, including single-input single-output (SISO), single-input multiple-output (SIMO) and multiple-input multiple-output (MIMO) case, the thin plate shown their vibration characteristics, and different points. To verify the theoretical study, the results obtained. Moreover, it can be compared to determine the actual situation, according to the different needs of different constraints, can be avoided to reduce the damage to the sheet structure, vibration-resistant to extend life span.Keywords: thin plate; vibration characteristics; experimental study目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题研究的意义及现状 (1)1.2薄板理论的发展简况 (1)1.3振动实验研究的发展简况 (2)1.4论文主要研究内容 (3)第2章薄板振动的基本原理 (4)2.1振动的基本概念以及特点 (4)2.1.1 振动的基本概念 (4)2.1.2 振动的基本特征量 (4)2.1.3 振动的基本形式 (4)2.2薄板的横向振动的微分方程 (4)2.2.1 弹性薄板横向振动的基本假设 (5)2.2.2 弹性薄板横向振动的几何方程与物理方程 (5)2.2.3 弹性薄板的内力分析 (8)2.2.4 弹性薄板自由振动的微分方程和边界条件 (10)2.3矩形板的固有振动 (11)2.3.1 四边简支矩形板 (12)2.3.2 一对边简支一对边任意的矩形板 (14)2.4薄板的强迫振动 (16)第3章薄板振动的实验研究 (18)3.1研究振动的意义 (18)3.2研究薄板振动的意义 (19)3.3工程测振的一般方法 (19)3.4实验仪器的选择 (20)3.4.1 激振方式的选择 (20)3.4.2 激振试验设备的选择 (22)3.4.3 传感器的选择 (23)3.5不同试验条件下，薄板振动特性的研究 (28)3.5.1 自由振动下，薄板振动特性的研究 (30)3.5.2 谐振激励下，薄板振动特性的研究 (30)3.5.3 三种不同的激励方式下的，薄板振动特性的研究 (30)致谢 (31)附件1 ........................................................................... 错误！未定义书签。
板壳理论 15
现讨论特征根
m 2 2 m 2 2 2 , 2 2 2 a a
薄板的振动问题
板壳理论
14
则微分方程的解可以写成
Ym C1 cosh y C2 sinh y C3 cos y C4 sin y
其中
振形函数
m 2 2 m m 2 2 2 2 , a D a
m 1 n 1
A11
Amn 0 (m 1, n 1), Bmn 0
min 11 2
1 1 D x y w cos 2 2 2 t sin sin a b a b m
板壳理论
薄板的振动问题
12
2 wt at 2 t 2 wt qi m t 2
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
其中Ym为常系数
W 0
W
2m
D
则有
m 4 4 D 4 a m
2
m 2 2 a
D m
当两边不全是自由边，则其振动自然频率则有
2m
D
4
m 2 2 2 a
D m
2
D m 2 2 2 m a
D m
m 2 2 2 a
m 2 2 m 2 2 2 2 , i 2 a a
板壳理论
薄板的振动问题
11
例如：设初速度
汽车振动分析与测试课件 第10讲 圆形薄板的自由振动
0
上述微分方程的解就是下列两个微分方程通解之和
2
r
2
1 r
r
1 r2
2
2
2
f
(r, )
0
采用分离变量法来解上述两个微分方程。设它们的解为 w(r, ) R(r)F( )
代入微分方程可得
r2
d2R
dr 2
1 r
dR 1
dr
R
2
1 F
d2F
d 2
d2F k2F 0
于是 d 2
(6-123)
因 wm (x, y)是方程(6-116)的解，故有 D4wm (x, y) h2wm (x, y) (6-124)
将上式代入式(6-123)，可得 m (t) m2 m (t) hwm (x, y) q(x, y,t) m1
为了使这个方程解耦，要利用到薄板故有振型的一个正交关系，即
Jn
(a)
dIn dr
(a)
dJn dr
(a)In
(a）=
0
(6-100)
2009-2
山东理工大学 交通与车辆工程学院
3
下表列出了方程的前16个的 amn 值。
利用下列两个恒等式
a
dJ n dr
(a)
nJn (a)
aJ n 1 ( a)
a
dIn dr
(a)
nIn
(a)
aI n 1 ( a)
可以将方程(6-100)改写为
n b
2
D h
由题意得 q(x, y,t) q0 (t t1)
周边铰支矩形薄板
利用式(6-134)，可得
M mn
h
sin
m a
板的振动
1.薄板横向振动微分方程
2.薄板的边界条件
中面 当薄板弯曲变形时，中间弯成曲面，称为弹性曲面 板上任意一点沿x、y、z方向的位移分别用u、v、w表 示，其中w称为横向位移或挠度
克希霍夫的薄板理论有下面几个基本假设： （1）变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线并 与弹性曲面垂直。这个假设称为直法线假设，它表示横向 剪切变形 xz yz 被忽略不计，虽然横向剪应力 yz 并不为零。 及 xz （2）板弯曲时板内的应力以弯曲应力 为主，而 为次要应力， 为更次要应力。 （3）板弯曲时厚度的变化略去不计。这表示 ，于 是与中面垂直的直线上各点都具有相同的横向位移w，即w 与z无关。 （4）板的挠度w比板的厚度h小得多。由这个假设认为，板 弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面，因而中面内各 点都没有平行于中面的位移。
7.2 薄板的边界条件
1.固定边 薄板在AD边上的挠度为零，绕y轴的转角为零，因此AD边的边界条件为
w x 0 0
w x
x 0
0
（7.17）
2.简支边 薄板在AD边上的挠度为零，弯矩M x 为零，由式（7.11），AD边的边界 条件为
2w 2w w x 0 0，（ 2 2 ）x 0 0 x y
v 2w y z 2 z y y y
z z x y x y xy
2w x 2 x
y
2w 2 y
x y
2w 2 xy
（7.2）
图7-3
h
2w t 2
中面取出一矩形微元ABCD，弯曲变形 后成为曲面A’B’C’D’，如右图所示， 这个弹性曲面沿x、y方向的倾角分别为
在薄板中取一截面与oxz平面平行
第三章板壳理论
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
板的振动
s in knt )
sin
kx
a
sin
ny
b
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动
取振形函数为
x
W
Yk
sin
kx
a
其中Yk是待定的y的函数。W可 以满足该两简支边的边界条件。
将其代入振形微分方程
y
4W 4W 0
得出常微分方程
其中Jn(x)及Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种 及第二种贝塞尔函数，In(x)及kn(x)分别为虚宗量 的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修 正贝塞尔函数）。
贝塞尔函数
将上式代入
W F(r) cosn
即得振形函数如下：
W (C1Jn (x) C2Nn (x) C3In (x) C4Kn (x)) cos n
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
v0( x,
y)
Akn Ckn
Bkn
Dkn
kn
w
k 1 n1
(Ckn
cosknt
Dkn
薄板的总挠度为
w
k 1 n1
(
Akn
cosknt
Bkn
sin
k nt )
sin
第十五章 薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 kx ny
W sin a sin b
其中 k及 n为整数，可以满足边界条件。代入振形 微分方程
4W 4W 0
得到
4 k 2 n 2 2 kx ny 4 sin sin 0 2 2 a b a b
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 a 2 b2 m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y Wkn sin sin a b
而薄板的挠度为
kx ny w ( Akn cos knt Bkn sin knt ) sin sin a b
当k＝n＝1时，得到薄板的最低自然频率
2 2 D k n 2 min a 2 b2 m
1 D 1 2 2 b m a
2
与此相应，薄板振动的振形函数为
W11 sin
x
a
sin
y
b
而薄板在x方向和y方向都只有一个正半弦波。最 大挠度发生在薄板的中央(x＝a／2，y＝b／2)。
( w) y 0 0 ( w) y b 0 2w y 2 0 y 0 w y 0 y b
将W的表达式代入(γ2>k2π2/a2)，得到Cl至 C4的齐次 线性方程组，
C1 C2 0
2C1 2 0 ch bC1 sh bC2 cos b ch bC3 sin b ch bC4 0 sh bC1 ch bC2 sin bC3 cos bC4 0
张力作用下的圆板大振幅振动
_
N U U
单 位 长度 上 的 薄 膜 力
,
弯曲 应 变能 张 力 势能
动能
Z
薄膜 应 变 能
压 力 势能
E无八 2 ( 1
“
D T
二
一
、`
)
板 的 抗弯 刚 度
张力
三
圆板 的 总 应 变能 为
U
=
方 程 推 导
U
l
+
U
Z
+
U
。
+
U
4
{ 上 2
J
J
(把
,
八
,
1
+ 义 嫂
口
人
e
) 艺汀 T口 T
+
—
1
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写一 1
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留 口
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第 1一 2 期
南
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7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到 （7-94） 其中 式(7-88)可改写为 （7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
（7-96）
（7-97）
设主振型
（7-98）
其中
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下 ①固定边 （7-90） ②简支边 （7-91） ③自由边 （7-92） （7-50） （7-49） （7-48）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为
（7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为 （7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：
7.6 圆形薄板的横向振动
分析圆形薄板的横向振动，采用 极坐标最方便，如图7-17所示。
极坐标与直角坐标的关系为
y
P
a
由此得到
O
x
7.6 圆形薄板的横向振动
利用上述关系，可以得出
（7-85）
7.6 圆形薄板的横向振动
同样能得出
（7-86）
（7-87）
7.6 圆形薄板的横向振动
于是，式（7-46）所示的薄板振动方程 （7-47） 在极坐标系中成为 （7-88）
固定边
（7-105）
简支边
自由边
（7-106）
（7-107）
7.6 圆形薄板的横向振动
例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节 径）时较低的前三阶固有频率。
7.6 圆形薄板的横向振动
频率方程:
当n=0时，圆板不出现节径，上式为
7.6 圆形薄板的横向振动
200
150
100
f(x)
50 0 -50 0
1
2
3
4
5
Hale Waihona Puke 6789
r
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
圆板的固有频率通常表示为
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动