00023高等数学工本00023

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2019年10月全国自考高等数学工本00023真题试题(含详解)

2019年10月全国自考高等数学(工本)00023试题及其详解一、单项选择题：本大题共5小题。

每小题3分。

共l5分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.在空间直角坐标系中，点(0,0,2)-在A.x 轴上B.y 轴上C.z 轴上D.Oxy 平面上解：答案是C2.函数(,)f x y =(0,0)处A.连续B.间断C.偏导数存在D.可微解：答案是B.3.已知cos cos sin sin x ydx x ydy -是某个函数(,)u x y 的全微分，则(,)u x y =A. sin cos y xB. sin sin x yC. sin cos x y -D. sin cos x y 解：D 选项，d(sinxcosy)=cosxcosydx-sinxsinydy.答案是D.4.下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是A.3()ydy x y dx =+B.2(2)xdy x y dx =+C.sin 19dy x y dx -=D.29dy xy dx+= 解：B 选项，对2(2)xdy x y dx =+y x =.答案是B. 5.下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是 A. 11(1)3n n n -∞=-∑ B. 1(1)2n n n ∞=-∑ C. 1(1)n n n ∞=-∑ D. 1(1)21n n n n ∞=-+∑ 解：答案是A.二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。

6.与向量{2,0,α=同方向的单位向量是 .解：{1=,0,222αα=⎨⎪⎪⎩⎭.答案是22⎨⎪⎪⎩⎭. 7.设函数22(,)f x y x y x y +-=+，则(,)f x y = .解：令u=x+y,v=x-y,则2222(,).222u v u v u v f u v +-+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以(,)f x y =222x y +.答案是222x y +.8.设积分区域22:9D x y +≤，则二重积分22()D f x y dxdy +⎰⎰在极坐标下的二次积分为 .解：答案是23200()d f r rdr πθ⎰⎰. 9.微分方程(1)612y x y y '''+-+=的特解*y = .解：简化微分方程，令0y ''=，则(1)612x y y '-+=，解得 y=6611121dx dx x x e e C x ---⎡⎤⎰⎰+⎢⎥-⎣⎦⎰=6661161212(1)1(1)dx dx x x e e C x C x x ---⎡⎤⎰⎰⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎰=62(1)C x +-. 因为0y ''=，所以C=0.故取特解*y =2.答案是2. 10.设函数()f x 是周期为2π的周期函数，傅里叶级数为11(1)sin 2n n nx n π-∞=-+∑，，则()f x 的傅里叶系数0a = .解：0a =π.答案是π.三、计算题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。

2010年1月自学考试00023高等数学(工本)真题试卷及参考答案

2010年1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.在空间直角坐标系中，方程x 2+y 2=2的图形是（）A.圆B.球面C.圆柱面D.旋转抛物面2.设函数f(x+y,x-y)=xy2y x 22−,则f(x,y)=（） A.22y x xy − B.22y x xy 2− C. 22y x xy 4− D. )y x (2xy 22− 3.设积分区域Ω：x 2+y 2+z 2≤1，三重积分I=⎰⎰⎰Ω+dxdydz )1z (，则（） A.I<0B.I=0C.I>0D.I 与z 有关4.微分方程0y 2y 3y =+'−''的通解y=（）A.C 1e -x +C 2e 2xB. C 1e -x +C 2e -2xC. C 1e x +C 2e -2xD. C 1e x +C 2e 2x5.下列无穷级数中发散的无穷级数是（） A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+−1n n 1n )1( C. ∑∞=−−3n 1n n ln )1( D. ∑∞=+1n 1n n 32 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6. 设函数z=u+v, 而u=x+y, v=xy ，则xz ∂∂=___________. 7. 设区域D ：|x|≤1,0≤y ≤1,则二重积分⎰⎰+D 2dxdy )x sin x 1(的值等于___________. 8. 设λ是正常数，并且xy λdx+x λydy 是其个函数u(x,y)的全微分，则λ=___________.9. 微分方程3y y 2y =+'+''的一个特解为y*=___________.10. 函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数为___________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．求过点P （4，-1，2）并且与直线L ：⎩⎨⎧−=−−=−+1z y x 7z y x 平行的直线方程. 12．设函数z=)x ,x y (f ，其中f 是可微函数，求yz ,x z ∂∂∂∂. 13．已知函数z=e 3y (x 2+2y-x)，求y x z 2∂∂∂. 14．求函数f(x,y,z)=xyz-x 2-y 2+3z 在点（-1，-1, 2）处的梯度.15．求曲面z=4-x 2-y 2上平行于平面2x+2y+z-7=0的切平面方程.16．计算二重积分I=⎰⎰+D dxdy )y 2x (，其中D 是由坐标轴和直线x+y=4所围成的区域. 17．计算三重积分I=⎰⎰⎰Ω++dxdydz )z y x(222，其中积分区域Ω：x 2+y 2+z 2≤1.18．计算对弧长的曲线积分⎰+Lds )y 2x 3(，其中L 是连接点（1，0）和（0，1）的直线段. 19．计算对坐标的曲线积分⎰+L xdy ydx ，其中L 是椭圆1b y a x 2222=+的逆时针方向. 20．求微分方程（1+x 2）dy+(1+y 2)dx=0的通解.21．求幂级数∑∞=+1n n 32x 1n n 的收敛半径和收敛区间. 22．设函数f(x)=x+1,x ∈[)ππ−,的傅里叶级数展开式为∑∞=++1n n n 0)nx sin b nx cos a(2a 求系数a 5 .四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．求由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所构成的柱面和平面z=0及x+y+z=7所围成的立体的体积.24．设无穷级数∑∞=1n 2n a 和∑∞=1n 2n b 均收敛，证明无穷级数∑∞=1n n n b a 是绝对收敛.25．设曲线y=y(x)在其上任意点（x,y ）处的切线斜率为yx 1+，且过点（-1，0），求该曲线的方程.。

高等数学工本00023历年真题题型解题方法总结10201

高等数学工本000２3历年真题题型解题方法总结2０1110201高等数学（工本)考试考题解题方法总结代码:00023一、选择题共5小题,共１5分,每题3分１、考点：向量夹角,假设向量a = {a1,a2， a3},b ＝｛b1，b2，b3}解题方法:cos ａ = a ·b / |a| ·｜b｜；２、考点:函数性质,函数的代替法运用推理顺序：可导（偏导数)→连续→可微解决方法：f(0, ０） = ０，所以f(ｘ,ｙ)在(0,０）点连续Ｆx(x0，y0） = Ｆy（x0，y0）＝０，则点F(ｘ０,，y0）是函数驻点3、考点：求面积积分、交换积分顺序解决方法：通过图解特殊点得出变量的定义域4、考点：微分方程：y’+ P（x）*y =Q(x）与y’’＋p(x)＊ｙ’+ q(x)＊y= f(x）通解与特解(无常数C）解题方法：公式法与特征根法（f（x)＝０，两个根的关系对应方程通解)微分方程分为:一阶方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程）二阶方程5、考点:无穷级数收敛性∑Ｕn解题方法:无穷级数性质：∑ C＊Un ＝Ｃ＊∑Ｕn; ∑Ｕn和∑ Vn都收敛，那么∑ (Un+Vｎ)收敛等；正项级数的审敛法:∑Ｕn和∑ Vn都是正项级数比较审敛法,0≤Un≤Vｎ，互相同时收敛;比较审敛法的极限,ｌim Un / Vn = L(０比值审敛法和根值审敛法p = lim Un+1 / Ｕｎ和p ＝ n√Un当Ｐ当p＞ 1时，级数发散；当p ＝ 1时，级数可能收敛或发散;特殊级数:等比数列总和∑a＊q’n-1当|q|当｜｜q|〉１时,该级数发散;P级数∑ 1／N的ｐ次方当P ＞ 1时,该级数收敛;当P 二、填空题共5小题，共１0，每题2分6、考点：向量简单运算假设向量ａ＝{a１，ａ2，a３｝，ｂ= ｛ｂ1，b２,b3｝解题方法：a·ｂ＝ a1·b２ + a２·b2 + a3·b3a xｂ= (a2·ｂ3–a3·b2）·i–（a1·b3 –a3·b1)·j ＋（a １·b2- a2·b1)·k7、考点:设区域,求积分Ｉ＝ｆ(ｘ)8、考点:求二重积分I=f （x）９、考点：微分方程的通解1０、考点:傅里叶级数的和函数三、计算题共12小题，共60分，每题5分11、考点：求Ｆ（x,y,ｚ）曲面切点法线方程（垂直的直线方程）解题方法:曲线一次方程一般式Ax+ Bｙ + Cz+D＝0曲面法向量为｛A, Ｂ，Ｃ}，法线方程(x–x0）/Ａ=(y-y0）／B = (z—z0）/C点的切面方程A（x-x0)+ B（y –y0）+ C（ｚ－z0）=0二次曲面方程切点F（ｘ0，y０,z0)的法向量｛Fx（x0，y０，z０)，Fy(x０，y０，ｚ０），Fz（x0，y０，z0）}1２、考点：微分方程的求导与积分1３、考点:求导数ｘz ∂∂。

2023年4月高等数学(00023)试卷参考答案

2023年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题答案（课程代码00023）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.A8.D9.C10.C二、计算题：本大题共10小题，每小题6分，共60分11.解：由题意可得设平面方程为1x y za a a++= 将点(),-321，带入上述平面方程可得a =2,故平面方程为20x y z ++-=12.解：由题意可得取所求直线的方向向量为{}3,0,1n =-则所求的直线方程为x y z --+==-12330113.解：令(),,F x y z x y z =++-2222315 ，则()()()()()()()2,2,12,2,12,2,1,,2,4,64,8,622,4,3x y z nF F F x y z ====切平面方程为()()()2242310243150x y z x y z -+-+-=⇒++-=14.解：由题意可得grad u u u u i j k y zi xyz j xy k x y z∂∂∂=++=++∂∂∂222 所以有()(),,,,grad u y zi xyz j xy ki j k =++=++221111112215.解：令(),,F x y z x y z xyz =++-3333，则有2233,33x z F x yz F z xy =-=-则有x z F z x yz yz x x F z xy z xy∂--=-=-=∂--22223333 16.解：积分区域为():,D θπr ≤≤≤≤0202极坐标，则πDπd θr dr ==⎰⎰222016317解：曲线::,L x y ds =-→==222，则LI y ds π-===⎰⎰2222418解：由意义可知()(),,,xy xy P x y ye xy y Q x y xe x xy =++=++22，由格林公式可得()()()xy xy L D DQ P I ye xy y dx xe x xy dy dxdy y dxdy x y ⎛⎫∂∂=+++++=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰221 其中区域:,D y y x -≤≤≤≤2111关于x 轴对称，则()yDDy dxdy dxdy dy dx --=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211141319解：该级数nn ∞=∑013为几何级数，且其公比q =<113，故该级数收敛。

2019年10月全国自考高等数学工本00023真题试题(含详解)

2019年10月全国自考高等数学(工本)00023试题及其详解一、单项选择题：本大题共5小题。

每小题3分。

共l5分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.在空间直角坐标系中，点(0,0,2)-在A.x 轴上B.y 轴上C.z 轴上D.Oxy 平面上解：答案是C2.函数(,)f x y =(0,0)处A.连续B.间断C.偏导数存在D.可微解：答案是B.3.已知cos cos sin sin x ydx x ydy -是某个函数(,)u x y 的全微分，则(,)u x y =A. sin cos y xB. sin sin x yC. sin cos x y -D. sin cos x y 解：D 选项，d(sinxcosy)=cosxcosydx-sinxsinydy.答案是D.4.下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是A.3()ydy x y dx =+B.2(2)xdy x y dx =+C.sin 19dy x y dx -=D.29dy xy dx += 解：B 选项，对2(2)xdy x y dx =+变形，得2dy y x dx x-=.答案是B. 5.下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是 A. 11(1)3n n n -∞=-∑ B. 1(1)2n n n ∞=-∑ C. 1(1)n n n ∞=-∑ D. 1(1)21n n n n ∞=-+∑ 解：答案是A.二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。

00023高等数学(工本) 笔记

高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。

它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。

它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。

以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。

一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。

在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。

二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。

复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。

三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。

常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。

四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。

泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。

通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。

它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。

在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。

通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。

我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。

高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。

通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。

自考00023《高等数学(工本)》考点押题版

1. a b a x bx a y b y a z bz
2. a b 的充要条件是： a b 0

3. cos( ab)
ab ab
2：向量的向量积{一级重点}{选择、计算} 公式：
i
1. a b a x
j ay by
k a z (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k bz

2
1
dx
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z 2 ( r , )
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z )dz
x r cos sin 3. 利用球面坐标计算：为 y r sin sin y r cos
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
dz z du z dv dx u dx v dx
3. 设 F ( x, y, z ) 0
f ( x, y)dxdy, 曲面 : z
D

f ( x, y )
2. 设 V 为的体积： V dv
3. 设为曲面 z f ( x, y )
曲面的面积为 S

1 f x2 f y2 d
第四章曲线积分与曲面积分
1：两类曲线积分的计算{一类重点}{计算题} 公式： 1. 对弧长的曲线积分计算： {1}若 L： y f ( x), a x b ，则

成人自考00023《高等数学(工本)》考点

成人自考00023《高等数学（工本）》考点成人自考00023《高等数学（工本）》的考点主要包括以下内容：1. 函数与极限：函数的概念、函数的性质、函数的极限、无穷小与无穷大、极限存在准则、函数的连续性等。

2. 导数与微分：导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数与参数方程的导数、微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。

3. 微分中值定理与导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点等。

4. 不定积分与定积分：不定积分的概念与性质、基本积分表、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等。

5. 微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程的解法、高阶线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。

6. 无穷级数：数列极限的概念与性质、数列极限存在准则、无穷级数的概念与性质、正项级数的审敛法、交错级数的审敛法、幂级数的收敛半径等。

7. 空间解析几何：空间直线的方程与位置关系、平面的方程与位置关系、空间曲线的方程与位置关系、空间曲面的方程与位置关系、空间直线与平面的位置关系等。

8. 多元函数微分学：偏导数与全微分、多元函数的极值与条件极值、隐函数与参数方程的偏导数、多元函数的泰勒公式等。

9. 重积分与曲线积分：二重积分的概念与性质、二重积分的计算方法、三重积分的概念与性质、三重积分的计算方法、曲线积分的概念与性质、曲线积分的计算方法等。

以上是成人自考00023《高等数学（工本）》的主要考点，考生在备考过程中应重点掌握这些内容，并进行大量的练习和习题的解析，以提高自己的理解和应用能力。

00023自考高等数学(工本)

00023自考高等数学(工本) D则常数c=______.7.函数z =224y x --ln(x 2+y 2-1)的定义域为______. 8．二次积分I =⎰⎰--21011d d y x f ( x, y )y ,交换积分次序后I =______.9．已知y =sin2x +ce x 是微分方程y ''+4y =0的解，则常数c =______. 10.幂级数∑∞=+013n nn x 的收敛半径R =______.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．将直线⎩⎨⎧=-++=++0432023z y x z y x 化为参数式和对称式方程.12.设方程f ( x + y + z, x, x + y )=0确定函数z = z( x, y ),其中f 为可微函数，求xz∂∂和y z ∂∂.13.求曲面z = 2y + ln y x 在点（1，1，2）处的切平面方程.14.求函数z = x2 - y2在点（2，3）处，沿从点A （2，3）到点B（3，3+3）的方向l的导数.15.计算二重积分()⎰⎰+Dy xxy ddsin32，其中积分区域D是由y = | x |和y = 1所围成.16.计算三重积分I=⎰⎰⎰Ωzyxxy ddd，其中积分区域Ω是由x2+y2=4及平面z = 0，z = 2所围的在第一卦限内的区域.17.计算对弧长的曲线积分I=⎰Ldsy2，其中L为圆周x2+y2=9的左半圆.18.计算对坐标的曲线积分I =⎰-++Lyy x x x y d )1(d )1(22，其中L 是平面区域D ：x 2 + y 2 ≤4的正向边界.19.验证y 1 = e x ,y 2 = x 都是微分方程（1 – x ）y ''+y x '-y = 0的解，并写出该微分方程的通解。

20．求微分方程x ye xy=+1d d 的通解.21.设α为任意实数，判断无穷级数∑∞=1n 2)sin(n n α的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？22．设函数f ( x )=x 2cos x 的马克劳林级数为∑∞=0n nn x a ，求系数a 6.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数z=ln(x +y )，证明2x xz ∂∂+2y y z ∂∂=1.24.求函数f ( x, y )=3+14y +32x -8xy -2y 2-10x 2的极值.25.将函数f ( x )=322--x x x 展开为x 的幂级数.自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012”11。

00023高等数学(工本)

00023 高等数学（工本）引言高等数学是一门基础性的数学课程，它的内容和方法贯穿于各个学科的研究中。

本文档将介绍高等数学的一些基本概念和方法，帮助读者更好地理解和应用高等数学知识。

一、函数与极限1.1 函数的概念函数是数学领域中一种基本的数学对象，它描述了输入和输出之间的关系。

函数可以用多种方式表示，包括数学表达式、图形或者数据集合等。

1.2 极限的定义极限是高等数学中一个重要的概念，它描述了函数在某个点附近的行为。

通过极限的概念，可以研究函数的连续性、导数和积分等重要性质。

二、微积分2.1 导数与微分导数和微分是微积分的基本概念，它们描述了函数在某个点处的变化率。

通过导数和微分，可以研究函数的最值、拐点和曲线的切线等问题。

2.2 积分与不定积分积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在某个区间上的累积效应。

通过积分，可以求解曲线下的面积、求解物理学中的平均值等问题。

三、级数3.1 数项级数数项级数是一种特殊的数列，它的每一项都是一个数。

通过对数项级数的求和，可以研究级数的收敛性和发散性，以及求解级数的和的问题。

3.2 函数项级数函数项级数是一种特殊的函数序列，它的每一项都是一个函数。

通过对函数项级数的求和，可以研究函数项级数的收敛性和发散性，以及求解函数项级数的和的问题。

四、微分方程微分方程是描述变量之间关系的方程，它是自然科学和工程技术中一种常见的数学模型。

通过求解微分方程，可以预测和分析各种现象和问题，如物体的运动、电路的行为等。

结论高等数学是一门基础性的数学课程，它具有广泛的应用领域和深远的影响。

本文档介绍了高等数学的一些基本概念和方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用高等数学知识。

参考文献1.Stewart, J. (2008). Calculus: Early Transcendentals.Cengage Learning.2.Cao, W. (2013). 微积分学教程. 北京大学出版社.以上文档使用Markdown格式编写，方便阅读和编辑。

高等数学(工本)00023历年试题及参考答案

高等数学(工本)历年试题及参考答案自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面D ．球面2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y xf )(22（）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f dr d θD ．⎰⎰⎰π102)(Rdz r f rdrd θ4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y5．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（）A ．∑∞=+1100n nuB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n nuD ．∑∞=+1)1(n nu二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．向量a ={1,1,2}与x 轴的夹角=α__________. 7．设函数22),(y x xy y x f -=，则=)1,(x yf __________.8．设∑是上半球面z =221y x --的上侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy y 3__________.9．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.10．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=.π,0,23sin .0,π,0)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0） =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．设平面π过点P 1（1，2，－1）和点P 2（－5，2，7），且平行于y 轴，求平面π的方程. 12．设函数22ln y x z +=，求yx z∂∂∂2.13．设函数232y x e z -=，求全微分dz .14．设函数)2,(22xy y x f z -=，其中f (u , v )具有一阶连续偏导数，求xz ∂∂和y z ∂∂. 15．求曲面x 2+y 2+2z 2=23在点（1，2，3）处的切平面方程. 16．计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x )sin(22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤a 2.17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面z =x 2+y 2，z =0及x 2+y 2=1所围区域.18．计算对弧长的曲线积分⎰Cds x 2，其中C 是圆周x 2+y 2=4的上半圆.19．计算对坐标的曲线积分⎰+-+-Cdy y x dx y )21()31(，其中C 为区域D ：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.20．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解. 21．判断无穷级数∑∞=--+1212)1(1n n n 的敛散性. 22．将函数51)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数)(x yz ϕ=，其中)(u ϕ为可微函数.证明：0=∂∂+∂∂y zy x z x24．设曲线y =y (x )在其上点（x , y ）处的切线斜率为xyx -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程. 25．证明：无穷级数∑∞=-=++-+121)122(n n n n .全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题一、单项选择题(本大题共5小题。

成人自考00023《高等数学(工本)》考点

第一章空间解析几何与向量代数考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系建立过空间定点O作三条垂直的数轴，以O为原点，具有相同单位长度，三条数轴分别为x轴、y轴、z轴，统称坐标轴。

三条坐标轴的任意两条都可确定一个平面，称为坐标面。

分别是x和y确定的Oxy平面，y和z确定的Oyz平面,x和z确定的Oxz平面。

三个相互垂直的坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦象。

2．空间中两点间的距离公式设空间两点（）,（）,他们两点之间的距离为：||==。

特别地，点P（x，y，z）到原点O（0，0，0）的距离|OP|=。

考点二：向量代数1.向量的概念由数值决定大小的量，如：质量，温度，面积，密度等，称之为标量（数量）。

有大小还有方向，如：力，加速度，速度等，称之为向量。

空间中以A为起点，B为终点的线段称为有向线段，记为，简记为，将向量的长度记为||或||，称为向量的模。

如果向量的模为零，称为零向量。

定义1：如果两个向量与的长度相等且方向相同，则称这两个向量是相等的向量，记作=。

一个向量在空间中平移到任何位置而得到的向量与原向量相等，称为自由向量。

将若干个向量起点平移到同一个点后，它们的起点和终点都位于同一直线上，则称向量是共线的；起点和终点都位于同一个平面上，则称这些向量是共面的。

不论长度大小，两向量与的方向相反或相同，称与平行，记为。

2.向量的加法平行四边形法则：给定两个向量与，平移到同一个O点，设它们终点为A和B，则=，=，以，为邻边构造一个平行四边形OBCA。

以O为起点C为终点的向量=称为向量与的和，记为+=，即+=。

三角形法则：给定两个向量与，将平移，使其起点平移到的终点，此时的终点与用平行四边形法则确定的点C重合，从而=，于是与的和为+=。

零向量起点与终点重合，对于任何向量，三角形法则可得+0=。

向量加法的逆运算称为向量减法。

给定向量与，如存在使得=，则称是向量与的差，记为-=。

设=，=，有三角形法则可知=+，于是-=。

自考本科00023高等数学(工本)01月考试真题及答案

1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：0023一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.函数f(x)=cos2x +sin 4x 的周期为（） A.2π B.πC.2πD.4π 2.极限=+∞→arctgx lim x （） A.-2π B.0 C.2π D.+∞ 3. 极限=---+++∞→)1x 2x 1x 3x (lim 22x （）A.0B.21C. 25D.∞4.函数f(x)= x x 1x 1lim n2n2n +-+∞→的间断点个数是（） A.1B.2C.3D.4 5.设函数f(x)=x 1x 1+-，则=')0(f （） A.-2B.0C.1D.26.曲线y=ctgx 在点（1,4π）处的法线方程为（） A.y-1=-2(x-4π) B.y-1=21(x-4π) C. y-1=-21(x-4π) D. y-1=2 (x-4π) 7.下列结论正确的是（）A.点（0，0）不是曲线y=3x 3的拐点B.点（0，0）是曲线y=3x 3的拐点C.x=0是函数y=3x 3的极大值点D. x=0是函数y=3x 3的极小值点8.函数f(x)=cos πx2的一个原函数是（） A.ππ-x2sin 2B.ππ-x2sin 2 C.ππx2sin 2 D.ππx2sin 29.已知f(x)=dt t 13x 32⎰+,则)2(f '=（） A.-62 B.-3C.3D.6210.下列广义积分发散的是（） A.⎰+∞∞-+dx x 112 B.⎰+∞∞-dx x 1C. ⎰-a 022dx x a 1D. ⎰+∞12dx x 111.过点(3,-2,-1)并且平行于xoz 坐标面的平面方程为（）A.x-3=0B.z-1=0C.y+2=0D.y-2=012.设有平面p:x-2y+z-1=0和直线L:26z 11y 11x --=+=-,则p 与L 的夹角为（） A.6πB.4πC.3πD.2π13.设函数f(x-y,x+y)=x 2-y 2，则=∂∂)y ,x (f y （）A.-2yB.x-yC.x+yD.x14.设函数u=(z y)x ，则du|(1,1,1)=（）A.dx+dy+dzB.dx+dyC.dx-dy+dzD.dy-dz15.设积分区域B ：x 2+y 2≤4，则二重积分⎰⎰σ+B 22d )y x (f 在极坐标下的累积分为（）A.⎰⎰πρρρθ20202d )(f dB.⎰⎰πρρθ20202d )(f dC.⎰⎰πρρρθ20402d )(f d D.⎰⎰πρρθ20402d )(f d 16.设积分区域G 是由坐标面和平面x+2y+3z=6所围成的，则三重积分⎰⎰⎰=Gdv （） A.6B.12C.18D.36 17.微分方程0x 3y )y (y y 2=-+''+'''的阶数是（）A.1B.2C.3D.418.微分方程x sin y =''的通解为y=（）A.sinx+C 1x+C 2B.sinx+C 1+C 2C.-sinx+C 1x+C 2D.-sinx+C 1+C 2 19.下列绝对收敛的级数是（） A.∑∞=--1n nn 1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1( C.∑∞=--1n 51n n )1( D.∑∞=--1n n 21)1( 20.幂级数1+x++++n 2x !n 1x !21的收敛半径R=（） A.0B.1C.2D.+∞二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。