初中数学竞赛 几何专题:点共线问题(含答案)

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第7讲 共线问题(解析版)

第7讲 共线问题(解析版)

第7讲 共线问题1.已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,焦点在y 轴上,离心率22e =,椭圆上的点到焦点的最短距离为212-, 直线l 与y 轴交于点P (0,m ),与椭圆C 交于相异两点A 、B ,且. (1)求椭圆方程;(2)求m 的取值范围.【答案】(1)y 2212x +=1.(2)(﹣1,12-)∪(12,1).【详解】 (1)由条件知a ﹣c =1,c a =, ∴a =1,b =c 2=,故C 的方程为:y 2212x +=1. (2)设l :y =kx +m 与椭圆C 交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)联立得(k 2+2)x 2+2kmx +(m 2﹣1)=0△=(2km )2﹣4(k 2+2)(m 2﹣1)=4(k 2﹣2m 2+2)>0 (*)x 1+x 2222km k =-+,x 1x 22212m k -=+ ∵AP =3PB , ∴﹣x 1=3x 2∴x 1+x 2=﹣2x 2,x 1x 2=﹣3x 22,消去x 2,得3(x 1+x 2)2+4x 1x 2=0,∴3(222km k -+)2+42212m k -⨯=+0整理得4k 2m 2+2m 2﹣k 2﹣2=0 m 214=时,上式不成立; m 214≠时,k 2222241m m -=-, 因λ=3,∴k ≠0,∴k 2222241m m -=->0, ∴﹣1<m 12-<或12<m <1 容易验证k 2>2m 2﹣2成立,所以(*)成立即所求m 的取值范围为(﹣1,12-)∪(12,1).2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ,右焦点为F ,过点A C 相交于A ,B ,且AB OB ⊥,O 坐标原点.(1)求椭圆的离心率e ;(2)若1b =,过点F 作与直线AB 平行的直线l ,l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点.(ⅰ)求OP OQ k k ⋅的值;(ⅰ)点M 满足2OM OP =,直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ,求NM NQ 的值.【答案】(1;(2)(ⅰ)15-;(ⅰ)38. 【分析】(1)由几何关系可得B 点坐标,代入椭圆方程即得a =,又222,c a b c e a=+=即得; (2)(ⅰ)将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果; (ⅰ),(01)NM NM NQ NQλλλ==<<将其坐标化,利用P ,Q ,N 在椭圆上求得结果即可. 【详解】(1)已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=,则4a B ⎛- ⎝⎭,代入椭圆C 的方程:2222311616a a a b +=,∴225,a a b==,∴2c b ==,∴c e a ==.(2)(ⅰ)由(1)可得1,b a ==22:15x C y +=设直线l :()()()1122332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+∵2OM OP =,∴11,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立直线l 与椭圆C的方程:22255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810,0y +-=∆>恒成立121218y y y y +==-∴))12121212522348x x y y y y =++=+++= ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-. (ⅰ)设,(01)NM NM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ,Q ,N 在椭圆上,∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+=()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=-- ∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由(ⅰ)可知121250x x y y +=,∴22144(1)λλ+=-, ∴38λ=∴38NM NQ =.3.已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.(1)若曲线C 表示双曲线,求m 的范围;(2)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的范围;(3)设4m =,曲线C 与y 轴交点为A ,B (A 在B 上方),4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ,N ,1y =与BM 交于G ,求证:A ,G ,N 三点共线.【答案】(1)()(),25,-∞+∞;(2)()3.5,5;(3)见解析 【分析】(1)若曲线C 表示双曲线,则:()()520m m --<,解得m 的范围;(2)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,则250m m ->->,解得m 的取值范围;(3)联立直线与椭圆方程结合()23223k =-,解得k ,设(),4N N N x kx +,(),4M M M x kx +,()1G G x ,,求出MB 的方程,可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,,从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,,() ,2N N AN x kx =+,欲证A ,G ,N 三点共线,只需证 AG ,AN 共线,利用韦达定理,可以证明.【详解】(1)若曲线C 表示双曲线,则:()()520m m --<,解得:()()25m ∈-∞⋃+∞,,. (2)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,则:250m m ->->, 解得:7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)当4m =,曲线C 可化为:2228x y +=,当0x =时,2y =±,故A 点坐标为:()02,,()02B -,, 将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得:()222116240k x kx +++=, 若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ,N ,则()232230k =->,解得232k >,由韦达定理得:21621m n k x x k +=-+ ①, 22421m n x x k ⋅=+ ② 设(),4N N N x kx +,(),4M M M x kx +,()1G G x ,, MB 方程为:62M M kx y x x +=-,则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,, ∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,,() ,2N N AN x kx =+, 欲证A ,G ,N 三点共线,只需证 AG ,AN 共线, 即()326M N N M x kx x kx +=-+, 将①②代入可得等式成立,则A ,G ,N 三点共线得证.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三点共线,解题的关键是直线与椭圆方程联立,利用韦达定理进行求解,属于中档题.4.已知圆O 的方程为224x y +=,圆O 与y 轴的交点为A ,B (点A 在点B 的上方),直线:1l y kx =+与圆O 相交于M ,N 两点(1)当k =1时,求弦长MN ;(2)若直线y =4与直线BM 交于点D ,求证:D 、A 、N 三点共线.【答案】(1(2)证明见解析;【分析】(1)先求出圆心到直线的距离d,再由MN =代入计算即可;(2)联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩,借用韦达定理表示出,DA AN →→,证明//DA AN →→,即可证明D 、A 、N 三点共线.【详解】(1)∵1k =,∴直线l 的方程为10x y -+=.圆心到直线的距离2d ==,∴MN === (2)由题可得()0,2A ,()0,2B -,设()11,M x y ,()22,N x y ,联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 得:()221230k x kx ++-=,12221k x x k +=-+,12231x x k-=+, 112:2BM y l y x x ++=,令4y =, 得1162x x y =+,∴116,42x D y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭, 116,22x DA y →⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭,()22,2AN x y →=-,∵()12121212211162612242222x y x y x x y x x y y y ---+++=++++ 1221121621242x y x y x x y -+++=+ ()()122112*********x kx x kx x x y -+++++=+ 12112212166221242kx x x kx x x x x y --++++=+ ()221212113246461122k k kx x x x k k y y --⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭==++ 22112121102k k k k y -++==+,//DA AN →→∴,∴D 、A 、N 三点共线.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,圆的弦长的求解,韦达定理的应用,考查了学生的运算求解能力.5.已知椭圆C : 2212x y +=的左顶点为A ,右焦点为F , O 为原点, M , N 是y 轴上的两个动点,且MF NF ⊥,直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E , D 两点.(ⅰ)求MFN ∆的面积的最小值;(ⅰ)证明: E , O , D 三点共线.【答案】(1)1;(2)详见解析。

初中数学竞赛:证明三点共线

初中数学竞赛:证明三点共线

初中数学竞赛:证明三点共线【内容提要】1.要证明A,B,C三点在同一直线上,常用方法有:①连结AB,BC证明∠ABC是平角②连结AB,AC证明AB,AC重合③连结AB,BC,AC证明AB+BC=AC④连结并延长AB证明延长线经过点C2.证明三点共线常用的定理有:①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤两圆相切,切点在连心线上⑥轴对称图形中,若对应线段(或延长线)相交,则交点在对称轴上【例题】例1.已知:梯形ABCD中,AB∥CD,点P是形内的任一点,PM⊥AB,PN⊥CD求证:M,N,P三点在同一直线上∵AB∥CD,∴EF∥CD∠1+∠2=180 ,∠3+∠4=180∵PM⊥AB,PN⊥CD∴∠1=90 ,∠3=90 ∴∠1+∠3=180∴M,N,P三点在同一直线上例2.求证:平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点,三点在同一直线上已知:平行四边形ABCD中,M,N分别是AD和BC的中点,O是AC和BD的交点求证:M ,O ,N 三点在同一直线上 证明一:连结MO ,NO∵MO ,NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ,NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M ,O ,N 三点在同一直线上 证明二:连结MO 并延长交BC 于N,∵MO 是△DAB 的中位线∴MO ∥AB在△CAB 中 ∵AO =OC ,ON ,∥AB∴BN ,=N ,C ,即N ,是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点, ∴点N ,和点N 重合 ∴ M ,O ,N 三点在同一直线上例3.已知:梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A +∠B =90,M ,N 分别是AB 和CD 的中点,BC ,AD 的延长线相交于P求证:M ,N ,P 三点在同一直线上 证明:∵∠A +∠B =90,∠APB =Rt ∠ 连结PM ,PN 根据直角三角形斜边中线性质PM =MA =MB ,PN =DN =DC ∴∠MPB =∠B ,∠NPC =∠B∴PM 和PN 重合 ∴M ,N ,P 三点在同一直线上,例4.在平面直角坐标系中,点A 关于横轴的对称点为B ,关于纵轴的对称点是C ,求证B 和C 是关于原点O 的对称点解:连结OA ,OB ,OC∵A ,B 关于X 轴对称, ∴OA =OB ,∠AOX =∠BOX 同理OC =OA ,∠AOY =∠COY∴∠COY +∠BOX =90∴B ,O ,C 三点在同一直线上 ∵OB =OC ∴ B 和C 是关于原点O 的对称点例5.已知:⊙O 1和⊙O 2相交于A ,B 两点,过点B 的直线EF 分别交⊙O 1和⊙O 2于E ,F 。

数学初中竞赛大题训练:几何专题(包含答案)

数学初中竞赛大题训练:几何专题(包含答案)

数学初中竞赛大题训练:几何专题1.阅读理解:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”.证明“四点共圆”判定定理有:1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆;2、若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆.例:如图1,若∠ADB=∠ACB,则A,B,C,D四点共圆;或若∠ADC+∠ABC=180°,则A,B,C,D四点共圆.(1)如图1,已知∠ADB=∠ACB=60°,∠BAD=65°,则∠ACD=55°;(2)如图2,若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点,且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE 的长;(3)如图3,正方形ABCD的边长为4,等边△EFG内接于此正方形,且E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AE=3,求EF的长.解:(1)∵∠ADB=∠ACB=60°,∴A,B,C,D四点共圆,∴∠ACD=∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣60°﹣65°=55°,故答案为:55°;(2)在线段CA取一点F,使得CF=CD,如图2所示:∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB,∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°,∴∠AFD=135°,∵BE⊥AB,∠ABC=45°,∴∠ABE=90°,∠DBE=135°,∴∠AFD=∠DBE,∵AD⊥DE,∴∠ADE=90°,∵∠FAD+∠ADC=90°,∠ADC+∠BDE=90°,∴∠FAD=∠BDE,在△ADF和△DEB中,,∴△ADF≌△DEB(ASA),∴AD=DE,∵∠ADE=90°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴AE=AD=2;(3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点,连接AK,BK,如图3所示:∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°,∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆,∴∠KBE=∠EGK=60°,∠EAK=∠EFK=60°,∴△ABK是等边三角形,∴AB=AK=KB=4,作KM⊥AB,则M为AB的中点,∴KM=AK•sin60°=2,∵AE=3,AM=AB=2,∴ME=3﹣2=1,∴EK===,∴EF===.2.问题再现:如图1:△ABC 中,AF 为BC 边上的中线,则S △ABF =S △ACP =S △ABC由这个结论解答下列问题:问题解决:问题1:如图2,△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,BE 为AC 边上的中线,则S △BOC =S 四边形ADOE .分析:△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,则S △BCD =S △ABC ,BE 为AC 边上的中线,则S △ABE =S △ABC∴S △BCD =S △ABE∴S △BCD ﹣S △BOD =S △ABE ﹣S △BOD又∵S △BOC =S △BCD ﹣S △BOD ,S 四边形ADOE =S △ABE ﹣S △BOD即S △BOC =S 四边形ADOE问题2:如图3,△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,BE 为AC 边上的中线,AF 为BC 边上的中线.(1)S △BOD =S △COE 吗?请说明理由.(2)请直接写出△BOD 的面积与△ABC 的面积之间的数量关系:S △BOD =S △ABC .问题拓广:(1)如图4,E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点,请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系:S 阴= S 四边形ABCD . (2)如图5,E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点,请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系:S 阴= S 四边形ABCD .(3)如图6,E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点,若S △AME =1、S △BNG =1.5、S △CQF =2、S △DPH =2.5,则S 阴= 7 .解:问题2:S △BOD =S △COE 成立,理由:∵△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,∴S △BCD =S △ABC ,∵BE 为AC 边上的中线,∴S △CBE =S △ABC∴S △BCD =S △CBE∵S △BCD =S △BOD +S △BOC ,S △CBE =S △COE +S △BOC∴S △BOD =S △COE(2)由(1)有S △BOD =S △COE ,同(1)方法得,S △BOD =S △AOD ,S △COE =S △AOE ,S △BOF =S △COF ,∴S △BOD =S △COE =S △AOE =S △AOD ,∵点O 是三角形三条中线的交点,∴OA =2OF ,∴S △AOC =2S △COF =S △AOE +S △COE =2S △COE ,∴S △COF =S △COE ,∴S △BOD =S △COE =S △AOE =S △AOD =S △BOF =S △COF ,∴S △BOD =S △ABC ,故答案为问题拓广:(1)如图4:连接BD,由问题再现:S△BDE =S△ABD,S△BDF =S△BCD,∴S阴影=S四边形ABCD,故答案为,(2)如图5:连接BD,由问题解决:S△BMD =S△ABD,S△BDN=S△BCD,∴S阴影=S四边形ABCD,故答案为;(3)如图6,设四边形的空白区域分别为a,b,c,d,∵S△AME =1、S△BNG=1.5、S△CQF=2、S△DPH=2.5,由(1)得出:a+1+2.5=a+3.5=S△ACD①,c+1.5+2=c+3.5=S△ACB②,b +1+1.5=b +2.5=S △ABD ③,d +2+2.5=d +4.5=S △BCD ④,①+②+③+④得,a +3.5+c +3.5+b +2.5+d +4.5=a +b +c +d +14=S 四边形ABCD ⑤而S 四边形ABCD =a +b +c +d +7+S 阴影⑥∴S 阴影=7,故答案为7.3.如图,在△ABC 中,AB >AC ,内切圆⊙I 与边BC 切于点D ,AD 与⊙I 的另一个交点为E ,⊙I 的切线EP 与BC 的延长线交于点P ,CF ∥PE 且与AD 交于点F ,直线BF 与⊙I 交于点M 、N ,M 在线段BF 上,线段PM 与⊙I 交于另一点Q .证明:∠ENP =∠ENQ .证明:如图,设⊙I 与AC 、AB 分别切于点S 、T ,连接ST 、AI 、IT ,设ST 与AI 交于点G .则IE ⊥PE ,ID ⊥PD ,故I 、E 、P 、D 四点共圆,∵AS 2=AE •AD =AG •AI ,∵∠EAG =∠DAI ,∴△AEG ∽△AID ,∴∠AGE=∠AID,∴E,G,D,I四点共圆,∴I、G、E、P、D五点共圆,∴∠IGP=∠IEP=90°,即IG⊥PG,∴P、S、T三点共线,对直线PST截△ABC,由梅涅劳斯定理知,∵AS=AT,CS=CD,BT=BD,∴,设BN的延长线与PE交于点H,对直线BFH截△PDE,由梅涅劳斯定理知,∵CF∥BE,∴,∴,∴PH=HE,∴PH2=HE2=HM•HN,∴,∴△PHN∽△MHP,∴∠HPN=∠HMP=∠NEQ,∵∠PEN=∠EQN,∴∠ENP=∠ENQ.4.如图,△ABC的垂心为H,AD⊥BC于D,点E在△ABC的外接圆上,且满足,直线ED交外接圆于点M.求证:∠AMH=90°.证明:作高BP,CQ.连结MB、MC、MP、MQ、PQ.===•①=•=•②由①②得:=,又∵∠MBA=∠MCA,∴△MBQ∽△MCP,∴点M、A、P、Q四点共圆,即点M、A、P、Q、H五点共圆,又AH为直径,∴∠AMH=90°.5.如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD 和AC交于点N.求证:OH⊥MN.证明:∵A 、C 、D 、F 四点共圆,∴∠BDF =∠BAC又∵∠OBC =(180°﹣∠BOC )=90°﹣∠BAC ,∴OB ⊥DF .∵CF ⊥MA ,∴MC 2﹣MH 2=AC 2﹣AH 2(①)∵BE ⊥NA ,∴NB 2﹣NH 2=AB 2﹣AH 2 (②)∵DA ⊥BC ,∴BD 2﹣CD 2=BA 2﹣AC 2 (③)∵OB ⊥DF ,∴BN 2﹣BD 2=ON 2﹣OD 2 (④)∵OC ⊥DE ,∴CM 2﹣CD 2=OM 2﹣OD 2,①﹣②+③+④﹣⑤,得NH 2﹣MH 2=ON 2﹣OM 2 MO 2﹣MH 2=NO 2﹣NH 2∴OH ⊥MN .6.在图1到图4中,已知△ABC 的面积为m .(1)如图1,延长△ABC 的边BC 到点D 使CD =BC ,连接DA ,若△ACD 的面积为S 1,则S 1= m .(用含m 的式子表示)(2)如图2,延长△ABC 的边BC 到点D ,延长边CA 到点E ,使CD =BC ,AE =CA ,连接DE .若△DEC 的面积为S 2,则S 2= 2m .(用含a 的代数式表示)(3)如图3,在图2的基础上延长AB 到点F ,使BF =AB ,连接FD 于E ,得到△DEF ,若阴影部分的面积为S 3,则S 3= 6m .(用含a 的代数式表示)(4)可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF ,如图3,此时,我们称△ABC 向外扩展了一次.可以发现扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 7 倍.(5)应用上面的结论解答下面问题:去年在面积为15平方面的△ABC 空地上栽种了各种花卉,今年准备扩大种植规模,把△ABC 内外进行两次扩展,第一次由△ABC 扩展成△DEF ,第二次由△DEF 扩展成△MGH ,如图4,求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?解:(1)∵CD =BC ,∴△ABC 和△ACD 的面积相等(等底同高),故得出结论S 1=m .(2)连接AD ,,∵AE =CA ,∴△DEC 的面积S 2为△ACD 的面积S 1的2倍,故得出结论S 2=2m .(3)结合(1)(2)得出阴影部分的面积为△DEC 面积的3倍, 故得出结论则S 3=6m .(4)S △DEF =S 阴影+S △ABC=S 3+S △ABC=6m +m=7m=7S △ABC故得出结论扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍.(5)根据(4)结论可得两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为(7×7﹣1)×15=720(平方米),答:求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为720平方米. 7.(1)如图①,AD 是△ABC 的中线,△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系?为什么?(2)若三角形的面积记为S ,例如:△ABC 的面积记为S △ABC ,如图②,已知S △ABC =1,△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ,求四边形BDOE 的面积.小华利用(1)的结论,解决了上述问题,解法如下:连接BO ,设S △BEO =x ,S △BDO =y ,由(1)结论可得:S,S △BCO =2S △BDO =2y ,S △BAO =2S △BEO =2x . 则有,即.所以.请仿照上面的方法,解决下列问题: ①如图③,已知S △ABC =1,D 、E 是BC 边上的三等分点,F 、G 是AB 边上的三等分点,AD 、CF 交于点O ,求四边形BDOF 的面积.②如图④,已知S △ABC =1,D 、E 、F 是BC 边上的四等分点,G 、H 、I 是AB 边上的四等分点,AD 、CG 交于点O ,则四边形BDOG 的面积为 .解:(1)S △ABD =S △ACD .∵AD 是△ABC 的中线,∴BD =CD ,又∵△ABD 与△ACD 高相等,∴S △ABD =S △ACD .(2)①如图3,连接BO ,设S △BFO =x ,S △BDO =y ,S △BCF =S △ABD =S △ABC =S △BCO =3S △BDO =3y ,S △BAO =3S △BFO =3x .则有,即,所以x +y =,即四边形BDOF 的面积为;②如图,连接BO ,设S △BDO =x ,S △BGO =y ,S△BCG =S△ABD=S△ABC=,S△BCO =4S△BDO=4x,S△BAO =4S△BGO=4y.则有,即,所以x+y=,即四边形BDOG的面积为,故答案为:.8.我们初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:平方差公式、完全平方公式.【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证:13+23=32?【解决问题】A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.由此可得:13+23=32【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33=62.要求:自己构造图形并写出详细的解题过程.【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3=.(参考公式:)注意:只需填空并画出图形即可,不必写出解题过程.【提炼运用】如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,如图(1)中,共有1个小立方体,其中1个看的见,0个看不见;如图(2)中,共有8个小立方体,其中7个看的见,1个看不见;如图(3)中,共有27个小立方体,其中19个看的见,8个看不见;求:从第(1)个图到第(101)个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数.解:【递进探究】如图,A表示一个1×1的正方形,即:1×1×1=13,B、C、D表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23,E、F、G表示3个3×3的正方形,即:3×3×3=33,而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形,边长为:1+2+3=6,,∵S A+S B+S C+S D+S E+S F+S G=S大正方形∴13+23+33=62;【推广探究】由上面表示几何图形的面积探究知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2,又∵1+2+3+…+n=,∴13+23+33+…+n3=()2=.【提炼运用】图(1)中,共有1个小立方体,其中1个看的见,0=(1﹣1)3个看不见;如图(2)中,共有8个小立方体,其中7个看的见,1=(2﹣1)3个看不见;如图(3)中,共有27个小立方体,其中19个看的见,8=(3﹣1)3个看不见;…,从第(1)个图到第(101)个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为:(1﹣1)3+(2﹣1)3+(3﹣1)3+…+(101﹣1)3=03+13+23+…+1003=50502=25502500.故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500.故答案为:62;.9.问题引入:如图,在△ABC中,D是BC上一点,AE=AD,求:尝试探究:过点A作BC的垂线,垂足为F,过点E作BC的垂线,垂足为G,如图所示,有=,=,.类比延伸:若E为AD上的任一点,如图所示,试猜S四边形ABEC 与S△ABC的比是图中哪条线段的比,并加以证明.拓展应用:如图,E为△ABC内一点,射线AE于BC于点D,射线BE交AC于点F,射线CE交AB于点G,求的值.解:问题引入:∵在△ABC中,D是BC上一点,AE=AD,∴,,∴==;尝试探究:∵AE=AD,∴=,∵AF⊥BC,EG⊥BC,∴AF∥EG,∴△EDG∽△ADB,∴=;∵===,∴=1﹣=;故答案为:,,;类比延伸:=,∵E为AD上的一点,∴=,=,∴==;拓展应用:∵==,同理:=,=,∴==2.10.如图,在凸四边形ABCD中,M为边AB的中点,且MC=MD,分别过点C、D作边BC、AD 的垂线,设两条垂线的交点为P,过点P作PQ⊥AB于Q,求证:∠PQC=∠PQD.证明:连接AP、BP,取AP的中点E,取BP的中点F,连接DE、ME、QE、CF、QF、MF,如图.∵E为AP的中点,F为BP的中点,M为AB的中点,∴EM∥BP,EM=BP,MF∥AP,MF=AP.∵E为AP的中点,F为BP的中点,∠ADP=∠BCP=90°,∴DE=AE=EP=AP,FC=PF=BF=BP,∴DE=MF,EM=FC.在△DEM和△MFC中,,∴△DEM≌△MFC(SSS),∴∠DEM=∠MFC.∵EM∥BP,MF∥AP,∴四边形PEMF是平行四边形,∴∠PEM=∠PFM.又∵∠DEM=∠MFC,∴∠DEP=∠CFP.∵DE=AE,FC=BF,∴∠DAE=∠ADE=∠DEP,∠FBC=∠FCB=∠CFP,∴∠DAE=∠FBC,即∠DAP=∠PBC.∵∠ADP=∠AQP=90°,E为AP中点,∴ED=EA=EQ=EP=AP,∴D、A、Q、P四点共圆,∴∠PQD=∠DAP.同理可得:∠PQC=∠PBC,∴∠PQD=∠PQC.11.如图:D是以AB为直径的圆O上任意一点,且不与点A、B重合,点C是弧BD的中点,作CE∥AB,交AD或其延长线于E,连接BE交AC与G,AE=CE,过C作CM⊥AD交AD延长线于点M,MC与⊙O相切,CE=7,CD=6,求EG的长.解:连接OC,如图.∵MC与⊙O相切,∴OC⊥MC.∵CM⊥AD,∴OC∥AM.∵CE∥AB,∴四边形AOCE是平行四边形,∴OA=CE=7,∴AB=14.∵点C是弧BD的中点,∴BC=CD=6.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC===4.∵CE∥AB,∴△CGE∽△AGB,∴===,∴AG=AC=.在Rt△ACB中,cos∠BAC===.∵点C是弧BD的中点,∴∠BAC=∠CAD,即∠BAC=∠EAG,∴cos∠EAG=.在△EAG中,cos∠EAG=.∴=.∵AG=,AE=CE=7,∴=.整理得:GE2=.∵GE>0,∴GE=.∴EG的长为.12.如图,圆内接四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于E,AD、BC延长线交于F,EF中点为G,AG与圆交于K.求证:C、E、F、K四点共圆.证明:延长AG到H,使得GH=AG,连接EH、FH、CK,如图所示.∵GH=AG,EG=FG,∴四边形AEHF是平行四边形,∴∠EAG=∠GHF,∠GAF=∠GHE.∵A、B、C、K四点共圆,∴∠KCF=∠EAG,∴∠KCF=∠GHF,∴K、C、H、F四点共圆.∵K、C、A、D四点共圆,∴∠KCD=∠KAF,∴∠KCD=∠GHE,∴K、C、E、H四点共圆,∴K、C、E、H、F五点共圆,∴C、E、F、K四点共圆.13.在半圆O中,AB为直径,一直线交半圆周于C、D,交AB延长线于M(MB<MA,AC<MD),设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点,求证:∠MKO=90°.证明:连接CK,BK,BC,如图所示.∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°,∴∠OAC+∠ABC=90°.∵A、B、C、D四点共圆,∴∠BDC=∠BAC.∵A、O、C、K四点共圆,∴∠CKO=∠OAC.∵D、O、B、K四点共圆,∴∠BKO=∠BDO.∴∠BKC=∠BKO﹣∠CKO=∠BDO﹣∠OAC.∵OB=OD,∴∠ABD=∠BDO.∴∠BMC=∠ABD﹣∠BDC=∠BDO﹣∠BAC=∠BKC.∴B、C、K、M四点共圆.∴∠ABC=∠MKC.∴∠MKO=∠MKC+∠CKO=∠ABC+∠OAC=90°.14.已知,在△ABC中,AC>AB,BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E,与BC相交点D,DE与AC相交于点F.(1)如图1,当∠ABC=3∠ACB时,求证:AB=AE;(2)如图2,当∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,过点D作AC的垂线,垂足为点H,并延是点D关于直线AC的对长DH交射线AE于点M,过点E作BP的垂线,垂足为点G,点D1称点,试探究AG和MD之间的数量关系,并证明你的结论.1解:(1)证明:连接BF,如图1.设∠A CB=x,则∠ABC=3x,∵FD垂直平分BC,∴FB=FC,∴∠FBC=∠FCB=x,∴∠ABF=∠AFB=2x,∴AB=AF,∠PAC=4x.∵AE平分∠PAC,∴∠EAC=2x.∵∠AFE=∠DFC=90°﹣x,∴∠AEF=180°﹣∠EAF﹣∠AFE=180°﹣2x﹣(90°﹣x)=90°﹣x,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AB=AE..(2)AG=MD1证明:作EN⊥AC于N,取EC中点O,、NM、MC、MO、NO、EB、EC,如图2.连接AD1∵AE平分∠PAC,EN⊥AC,EG⊥AP,∴EG=EN,∠EGA=∠ENA=90°.∵∠BAC=90°,∴∠EGA=∠ENA=∠BAC=90°,∴四边形EGAN是矩形.∵EG=EN,∴矩形EGAN是正方形,∴AG=AN,∠EAN=45°,∠GEN=90°.∵ED垂直平分BC,∴EB=EC.在Rt△BEG和Rt△CEN中,,∴Rt△BEG≌Rt△CEN(HL),∴∠GBE=∠NCE,∠GEB=∠NEC,∴∠GEN=∠BEC=90°∵EB=EC,∴∠ECB=∠EBC=45°.∵∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,∴∠ABC=60°,∠ACB=30°,∴∠ABE=∠ACE=15°.∵∠BAC=90°,点D为BC中点,∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA=30°.∵点D与点D关于AC对称,1AC=∠DAC=30°,∴∠D1=45°﹣30°=15°.∴∠MAD1∵DA=DC,DM⊥AC,∴DM垂直平分AC,∴MA=MC,∴∠CMH=∠AMH=90°﹣45°=45°,∴∠AMC=90°,∴∠ENC=∠AMC=90°.∵点O为EC中点,∴ON=OM=OE=OC=EC,∴E、N、C、M四点共圆,∴∠EMN=∠ECN=15°,∴∠MAD=∠EMN=15°,1中,在△AMN和△MAD1,,∴△AMN≌△MAD1,∴AN=MD1.∴AG=MD115.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C.(1)如图1,E为线段OB上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+EF的值;(2)如图2,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连接DA、CE、F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?若不变,求其值;若改变,求其变化范围.解:(1)∵AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C,∴∠ABO=∠ACO=90°.∵∠BOC=90°,∴四边形ABOC是正方形,∴AB=AC=BO=CO=2,OA平分∠BOC,∠BAC=90°.∵AF⊥AE,∴∠EAF=90°,∴∠BAC=∠EAF,∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC,即∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中,,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF,BE=CF.设BE=CF=t,OE=2﹣t,OF=2+t.∵ED平分∠OEF,∴点D是△OEF的内心.如图1,作DM⊥OB于M,作DH⊥OF于H,且DG⊥EF于G,∴DG=DM=DH,∴四边形MOHD是正方形,∴MO=HO=DM=DG.设DG=MO=x,∴x=,∴x=,∴EF=4﹣2x,∴WF=2﹣x.∴DG+EF=x+2﹣x=2.即DG+EF的值为2;(2)∠KBF的大小不变,∠KBF=45°如图2,延长BF交AC于G,连接KG,作KM⊥AB于M,KN⊥AC于N,∵四边形ABOC是正方形,∴O B∥AC.∴∠EBF=∠CGF,∠BEF=∠GCF.∵F是CE的中点,∴EF=CF.在△BEF和△GCF中,,∴△BEF≌△GCF(AAS),∴BF=GF.∵BF⊥FK,∴∠BFK=∠GFK=90°.在△BFK和△GFK中,,∴△BFK≌△GFK(SAS)∴BK=GK.∵AC=CD,∠ACD=90°,∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°.∵KN⊥AC,∴∠ANK=90°,∴∠AKN=45°,∴AN=KN.∵KM⊥AB,∴四边形AMKN是正方形,∴KM=KN.∠M=∠GNK=90°AM∥KN.在Rt△BKM和Rt△GKN中,,∴Rt△BKM≌Rt△GKN(HL),∴∠MBK=∠NGK.∠GKN=∠BKM.∵AM∥KN,∴∠BKN=∠MBK.∵∠BKM+∠BKN=90°,∴∠GKN+∠BKN=90°,即∠BKG=90°.∵BK=GK,∴△BKG是等腰直角三角形.∴∠KBF=45°,∴∠KBF的大小不变,∠KBF=45°.16.如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,直线MN⊥AB于A,且分别与⊙O1,⊙O2交于M、N,P为线段MN的中点,又∠AO1Q1=∠AO2Q2,求证:PQ1=PQ2.解:连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2,过点P作PH⊥Q1B于H,如图所示.则由圆内接四边形的性质可得:∠Q1MA+∠ABQ1=180°,∠ABQ2+∠ANQ2=180°,∠MAB=∠BQ2N.由圆周角定理可得:∠ABQ 1=∠AO 1Q 1,∠ANQ 2=∠AO 2Q 2. ∵∠AO 1Q 1=∠AO 2Q 2,∴∠ABQ 1=∠ANQ 2,∴∠ABQ 2+∠ABQ 1=∠ABQ 2+∠ANQ 2=180°, ∴Q 1、B 、Q 2三点共线.由圆内接四边形的性质可得:∠ABQ 1=∠ANQ 2, ∴∠Q 1MA +∠ANQ 2=∠Q 1MA +∠ABQ 1=180°, ∴MQ 1∥NQ 2.∵AB ⊥MN ,∴∠MAB =90°,∴∠Q 1Q 2N =∠MAB =90°.∵PH ⊥Q 1B ,即∠Q 1HP =90°,∴∠Q 1HP =∠Q 1Q 2N ,∴PH ∥NQ 2,∴MQ 1∥PH ∥NQ 2.∵P 为线段MN 的中点,∴H 为线段Q 1Q 2的中点,∴PH 垂直平分Q 1Q 2,∴PQ 1=PQ 2.。

人教版初中数学《第14章共点线与共线点》竞赛专题复习含答案

人教版初中数学《第14章共点线与共线点》竞赛专题复习含答案

第14章 共点线与共线点§14.1 梅涅劳斯定理14.1.1★★设等腰直角三角形ABC ,90A ∠=︒,E 是AC 中点,D 在BC 上,AD BE ⊥,求证:AEB ∠= CED ∠.(试用梅氏定理证明)解析 如图,设AD 与BE 交于F ,则224BF AB FE AE ==,由梅氏定理,1CA EF BD AE FB CD ⋅⋅=,得2BD ABCD CE==,又45ABC C ∠=︒=∠,故ABD △∽ECD △,故CED BAD AEB ∠=∠=∠.ABDCE F14.1.2★设D 是锐角三角形ABC 的边BC 上的一点,23BD DC =,E 是边AC 上的一点,43AE EC =,AD 与BE 相交于点F ,求AF BFFD FE⋅. 解析 由梅涅劳斯定理1AF DB CE FD BC EA ⋅⋅=,1BF EA CD FE AC DB ⋅⋅=,得23154AF FD ⋅⋅=,43172BF FE ⋅⋅=,故103AF FD =,76BF FE =. 所以359AF BF FD FE ⋅=. AEFBDC14.1.3★证明:锐角三角形一条高线的垂足在另两边及另两条高线的身影在同一直线上.AF P DCS E H R Q解析 设ABC △的三条高线为AD 、BE 、CF ,D 在AB 、BE 、CF 、CA 上的身影分别为P 、Q 、R 、S ,欲证P 、Q 、R 、S 共线,先证P 、Q 、R 共线.由梅氏逆定理,知该结论为真,即221FR HQ BP AD HD BD AD HDRH QB PF HD BD CD CD BD⋅⋅=⋅⋅=⋅=,最后一步是由于ADC △∽BDH △.同理,S 、Q 、R 共线,故P 、Q 、R 、S 四点共线.14.1.4★已知AD 是ABC △的高,D 在BC 内,且3BD =,1CD =,作DE 与AB 垂直,DF 与AC 垂直,E 、F 分别是垂足,连结EF 并延长,交BC 延长线于G ,求CG . 解析 如图,设CG x =,则由梅氏定理AEBDC GF41x CF AEx FA EB+⋅⋅=. 又由身影定理,22CF DC FA AD =,22AE AD EB BD =,于是1419x x +⋅=,得12x =. 14.1.5★★如图,已知锐角三角形ABC ,AD 是高,D 在AB 、AC 上的垂足分别是N 、M ,NM 延长后交BC 延长线于E ,若1AD DE ==,求cot cot CAD BAD ∠-∠.ANBDCEM解析 由图知,AB AC >,故BD CD >.11cot cot AD AD CAD BAD CD BD CD BD∠-∠=-=-. 由梅氏定理及身影定理,有1BE CM ANEC AM NB⋅⋅=,22CM CD AM AD =,22AN AD NB BD =,故2211BD BD CD CD +=-,即221111BD BD CD CD +=-, 移项并因式分解,得111110CD BD CD BD ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,于是111CD BD -=,即是所求答案.14.1.6★证明,ABC △两内角B ∠、C ∠平分线分别交对边于E 、F ,而A ∠的外角平分线交直线BC 于D ,求证:D 、E 、F 共线.解析 如图,既然A ∠的外角平分线BC 直线相交,说明AB AC ≠,不防设AB AC >,则D 在BC 延长线上.FBCDE由角平分线性质知1BD CE AF AB BC ACDC EA FB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=, 故由梅氏逆定理知D 、E 、F 共线.14.1.7★★已知不等边三角形ABC ,A ∠、B ∠、C ∠的平分线分别交对边于A '、B '、C ',A A '的中垂线与直线BC 交于A '',同理得到B ''、C '',证明:A ''、B ''、C ''共线.A B A'C A''P解析 如图,不妨设AA '的中垂线PA ''与BC 延长线相交,连结AA '',则A AA AA A ''''''∠=∠,于是CAA A AA A AC AA A BAA B ''''''''''∠=∠-∠=∠-∠=∠,因此ACA ''△∽BAA ''△,于是22ABA ACA S BA AB A C S AC ''''''==''△△. 同理22CB BC B A AB ''='',22AC AC C B CB ''='',于是1BA CB AC A C B A C B''''''⋅⋅='''''',由梅氏逆定理,知A ''、B ''、C ''共线.14.1.8★★已知:D 是ABC △的边BC 上一点,G 是AD 上一点,E 、F 分别在AC 、AB 上,GB 与DF 交于M ,DE 与CG 交于N .求证:若EF BC ∥,则MN BC ∥. 解析 如图,由梅氏定理,A GF EMNBD1AD GM BF AD GN CEDG BM FA DG NC EA ⋅⋅==⋅⋅.于是 GM BF GN CEBM FA NC EA⋅=⋅. 由于EF BC ∥,故BF CE FA EA =,于是GM GNBM NC=,故MN BC ∥. 14.1.9★已知ABC △的面积为1,点D 、E 在BC 上,且BD ∶DE ∶1EC =∶2∶1,点G 在AC 上,且AG ∶3GC =∶5,AD 、AE 分别与BG 交于点F 、H ,求四边形DEHF 的面积.GHFB D解析 这类题目基本且典型,显然有ADE AFH DEHF S S S =-△△四边形,而12ADE S =△,于是下求AFH S △. 由梅氏定理,有1CB DF AG BD FA GC ⋅⋅=,代入已知数值得3415DF FA ⋅⋅=,于是515DF FA =,从而1217AF AD =. 又由1CB EH AG BE HA GC ⋅⋅=,即43135EH HA ⋅⋅=,得54EH HA =,从而49AH AE =,于是1241617951AFH ADE S S =⋅=△△,故116351251102DEHF S ⎛⎫=-=⎪⎝⎭四边形. 14.1.10★★★已知不等边锐角三角形ABC ,CP 、BQ 是高,且位置如图所示,PQ 与中位线MN 交于点E ,点O 、H 分别是ABC △的外心与垂心,求证:AE OH ⊥.A P M EN OHBDCFQ解析 一个熟知事实是AO PQ ⊥,AH BC ⊥.延长PQ 交直线BC 于点F ,则有OAH F ∠=∠,延长AE 交BC 于点D ,于是只需证明FED △∽AOH △,即只需证DF AHEF AO=. 由于2cos AH A AO =,问题归结为2cos DFA EF=,下面计算DF 与EF . 由梅氏定理知1FE QA CDEQ AC DF ⋅⋅=,于是cos 2cos DF AB A CD AB ENA EF AC EQ AC EQ=⋅=⋅. 因EQN B ∠=∠,由正弦定理有sin sin EN B ACEQ C AB==,故上式为2cos A .证毕. 14.1.11★★★如图,已知PA 、PB 是圆的两条切线,PQR 为圆的一条割线,交AB 于S ,F 在AF 上,QF PA ∥,QF 交AB 于E ,求证:QE EF =.PQ ABE SFR解析 易知P 、Q 、S 、R 为调和点列,于是 PR SRPQ QS=.(见题12.3.13) 由梅氏定理,1RA FE QS FE PR QS EFAF EQ SR EQ PQ SR EQ =⋅⋅=⋅⋅=, 因此 QE EF =.14.1.12★★★ 已知AOB 为O 的直径,弦CD AB ⊥,弦AN 与CO 交于M ,CM OM =,求证:DN 平分BC .解析 如图,无非要证明CDN BDN S S =△△,或证明CN CD NB BD NB BC ⋅=⋅=⋅,或证明CN BCNB CD=. 设CB 与AN 交于K ,AB 与CD 交于J .由梅氏定理,1BA OM CK AO MC KB ⋅⋅=,得2KBCK=,故ANB S =△ 2ACN S △,即2AC CN AB BN ⋅=⋅,得22CN AB BC BCBN AC CJ CD===,证毕. C N BMKAO JD14.1.13★★★证明牛顿定理:设ABC △中,D 、E 分别在AB 、AC 上,CD 、BE 交于F ,则DE 、AF 、BC 的中点在一条直线上(牛顿线).ADBR CY E X Q PFZ解析 设EF 、CE 、CF 的中点分别为X 、Y 、Z ,则易由中位线知P 、X 、Z 共线,Q 、X 、Y 共线,Y 、Z 、R 共线.且1YR ZP XQ EB CA DF RZ PX QY BF AE CD⋅⋅=⋅⋅= (后者是AB 截ECF △所得).故由梅氏逆定理,知P 、Q 、R 共线.评注 此题亦可由面积证.14.1.14★★★★设等腰直线三角形ABC 中,90B ∠=︒,D 是三角形内一点,90ADB ∠=︒,连结CD 并延长至E ,使90AEB ∠=︒,G 是AB 中点,直线CG 分别与AE 、AD 交于M 、N ,求证:G 是MN 的中点.解析 如图,延长AE 、AD ,分别交直线BC 于P 、Q ,设PB a =,BQ b =,CQ c =,则由梅氏定理,有1PC QD AE CQ DA EP ⋅⋅=,而222222QD AE BQ AB b DA EP AB PB a ⋅=⋅=,故22a b c a c b ++=,即222a b a b c b +-=,或bc=a b b -,或b c a c b+=. A M E Pa Bb QcCD N G又由梅氏定理,1BC NQ AG CQ NA GB ⋅⋅=,此即AN a PB NQ b BQ ==,所以NB AP ∥,于是1MG AGNG BG==.14.1.15★★★★设ABC △的边AB 的中点N ,A B ∠>∠,D 是射线AC 上一点,满足CD BC =,P 是射线DN 上一点,且与A 在边BC 的同侧,满足PBC A ∠=∠,PC 与AB 交于E ,BC 与DP 交于T ,求BC EATC EB-. QA CDTBN P E解析 设边长分别为a 、b 、c ,由梅氏定理,1AD CT BNDC TB NA⋅⋅=,由于AD AC BC b a =+=+,BN NA =,CD a =,故1TB AD b a bTC CD a a +===+, 2BC bTC a=+. 接下去处理EAEB.延长BP 与CA 交于Q ,则Q ABC ∠=∠,故22BC a CQ CA b ==,2()a a QD a a b b b =+=+,AD a b =+,又由梅氏定理,1QD AN BPDA NB PQ⋅⋅=,得2BP DA b a BC a PQ QD a CQ b====,故CP 平分ACB ∠,AE AC bEB BC a==.故答案为2. 14.1.16★★★在ABC △中,90ABC ∠=︒,F 为AB 的中点,以BC 为直径的圆O 交AC 、CF 于另一点D 、E .分别过点C 、E 作圆O 的切线C l 和E l .证明:C l 、E l 和直线BD 共点. 解析 如图设C l 交直线BD 于点G ,E l 与直线BD 交于点H .由条件,90ABC ∠=︒及圆O 以BC 为直径,可知C l AB ∥,于是CD DGDA BD=. ① 为证C l 、E l 与直线BD 共点,只需证明G 与H 重合.我们下证:GB HBGD HD=. 利用CBG GCD ∠=∠,可知BCG △∽CDG △,故BC CG BGCD DG CG ==,于是22BG BC DG CD =.同理可证2BH EB HD ED ⎛⎫= ⎪⎝⎭.于是222BEC EDC S BG BH BC EB BI DG HD CD ED S ID ⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△,其中I 为BD 与CE 的交点. 对ABD △考虑割线CIF ,运用梅涅劳斯定理,可知1BF AC DI FA CD BI ⋅⋅=,结合BF FA =,可知BI ACID CD=,从而2BG BH AC GD HD CD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.再由①可知CD DG AC BG =,综合上式,得BH BGHD GD=.命题获证. §14.2 塞瓦定理14.2.1★已知ABC △,向外外作长方形ABDE 、ACFG 、BCHK ,又设直线DE 与直线GF 交于P ,直线DE 与直线KH 交于Q ,直线KH 与直线GF 交于R ,则AP 、BQ 、CR 共点. 解析 如图,设PA 延长后交BC 于A ',同理定义B '、C '(图中未画出).P E GAD QKHR C F B A'连结PB 、PC ,则ABDEPAB PAC ACFGS S BA A C S S '=='矩形△△矩形, 同理BCHK ABDE S CB B A S '='矩形矩形,ACFG BCHK S AC C B S '='矩形矩形,故1BA CB AC A C B A C B'''⋅⋅=''',AP 、BQ 、CR 共点或平行,由于A 、B 、C 均在PQR △内,故平行不可能.14.2.2★已知ABC △内有一点P ,今过点A 作一直线1l 与AP 关于A ∠的角平分线对称,同样,过点B 、C 分别作直线2l 、3l ,求证:1l 、2l 、3l 交于一点.解析 如图,设1l 与直线BC 交于A ',则22sin sin AA B CAP AA C PAB S S BA AB BAA AB CA S AC PAB AC S ''''∠===⋅'∠△△△△,同理,CB B A '='22BAP CBP S CB BA S ⋅△△,22CBPCAPS AC AC C B CB S '=⋅'△△. AB A'CP于是1BA CB AC A C B A C B'''⋅⋅=''',由塞瓦逆定理,即知1l 、2l 、3l 共点.这个公共点P ',称为P 的等角共轭点. 14.2.3★已知ABC △,向外作相似的等腰三角形BCD △、ACE △及ABF △,其中D ∠、E ∠、F ∠是顶角.求证:AD 、BE 、CF 交于一点.解析 如图,不妨设AD 与BC 交于A ',同理定义B '、C '.设FAB FBA ACE θ∠=∠==∠=,则BA A C '⋅'AFEBC D A'B'C'sin()sin()sin()1sin()sin()sin()ABD BCE AFC ACD ABE BFC S S S CB AC AB B BC C AC A B A C B S S S AC C AB A BC B θθθθθθ''+++⋅=⋅⋅=⋅⋅=''+++△△△△△△,由塞瓦逆定理,便得结论.14.2.4★★★已知:ABC △中,AD 、BE 、CF 是角平分线,则120BAC ∠=︒当且仅当DE DF ⊥.K AGHFBD E解析 当120BAC ∠=︒,延长CA 至任一点K ,则60KAB BAD ∠=︒=∠,于是F 至AK 距离等于F 至AD 距离;又CF 平分ACB ∠,故F 至AK 距离等于F 至BC 距离,因此可知DF 平分ADB ∠,同理DE 平分ADC ∠,故DE DF ⊥. 反之,若DE DF ⊥,过A 作GH BC ∥,与DF 、DE 延长线分别交于G 、H ,则由塞瓦定理知AG BD =⋅AF AECD AH FB EC=⋅=,于是DA AG AH ==,故FDB G ADG ∠=∠=∠,即DF 平分ADB ∠,于是过F 作AK 、AD 、BC 的垂线,不难得出AF 平分KAD ∠,于是120BAC ∠=︒.14.2.5★★已知ABC △中,D 、E 分别在AB 、AC 上,DE BC ∥,BE 、CD 交于F ,AF 延长后交BC 于S ,SD 与BE 交于G ,SE 与CD 交于H ,AG 、AH 延长后分别交BC 于M 、P ,求BM ∶ MP ∶PC .P S MBHF GED A解析 由塞瓦定理易知BS CS =,又由梅氏定理,1BC PH ADCP HA BD ⋅⋅=, 1SC PH AE SP HA EC⋅⋅=, 两式相除,注意AD AE BD EC =,2BC SC =,得2CP SP =.易得13CP BC =,同理13BM BC =,故 BM ∶MP ∶1PC =∶1∶1.14.2.6★★如图,AM 是锐角ABC △的角平分线,ME AB ⊥于点E ,MF AC ⊥于点F ,CE 与BF 交于点P ,求证:AP BC ⊥. AD EGF HBMS P C解析 作AD BC ⊥,易知BEM △∽BDA △,MCF △∽ACD △,故而有BE BM ED AB =,CD ACCF MC=,于是1BE CD AC BMBD CF AB MC⋅=⋅=. 又由AE AF =,故由塞瓦逆定理知AD 、BF 、CE 共点.于是AP BC ⊥. 14.2.7★★锐角ABC △,向外作ABE △和ACF △, 使得AB BE ⊥,AC CF ⊥,EAB CAF ∠=∠,若BF 、CE 交于点P ,求证:AP BC ⊥.AEB DCFN P M解析 为证明结论,我们干脆作ABC △的高AD ,设法证明AD 、BF 与CE 共点.由EAC FAB ∠=∠及AE AFAB AC =知 AEC ABF S S =△△.设CE 与AB 交于点M ,BF 与AC 交于点N ,则有AM BD CNBM CD NA ⋅⋅cos cos ACE BCFEBC ABF S S AB B S AC C S ⋅=⋅⋅⋅△△△△ cos sin(90)cos sin(90)AB B BC C CFAC C BC B BE⋅⋅︒+⋅=⋅⋅⋅︒+⋅ 1AB CF AC BE=⋅=. 于是由塞瓦逆定理,结论成立,最后一步用到的仍是ABE △∽ACF △.14.2.8★ABC △中,D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上,且AD 、BE 、CF 共点于P .D '也在BC 上,且DD '与BC 的中点重合,同理定义E '、F '.求证:AD '、BE '、CF '也共点.解析 由塞瓦定理和逆定理,注意到BD DCD C BD'='等,立得结果. 评注 新共点与点P 互为等边共轭点.14.2.9★★★设ABC △的边AB 、BC 、CA 上分别有点F 、D 、E ,且AD 、BE 、CF 共点,又DEF △的边DE 、EF 、FD 上分别有点Z 、X 、Y ,DX 、EY 、FZ 也共点,求证:AX 、BY 、CZ 共点. 解析 如图,又设AX 延长后与BC 交于X '(为简洁起见,图中未图出),同理定义Y '、Z '.于是AFXAXBAXCAEX ABS S BX AB AE FX AF AC X C S AC AF EX S AE'===⋅⋅'△△△△,同理CY BC BF YD AY AB BD FY '=⋅⋅',AZ AC CD EZ BZ BC CE DZ '=⋅⋅',由条件及塞瓦定理,得1BX CY AZ X C AY BZ '''⋅⋅=''',于是AX 、BY 、CZ 共点.AF XEYZ BDC14.2.10★★★一个三角形的一边上的高、第二边上的中线与第三边上的角平分线交于一点,这个三角形一定是正三角形吗?解析 不一定.不妨设ABC △中,AD 、BE 、CF 分别为高、中线与角平分线,于是AE CE =,若三线交于一点,则由塞瓦定理(此处设AB c =,BC a =,CA b =),知有BD BF BC aCD FA AC b===. 而由BD CD a +=,222222BD CD AB AC c b -=-=-,知222222BD a c b CD a b c +-=+-,于是有222222a c b aa b c b +-=+-,c =例如令15a =,12b =,则13c =.14.2.11★★★ 如图,AB 、AC 是两条切线,APQ 与AMN 是任意两条割线,求证:PN 、MQ 与BC 交于一点.AB CQNMP解析 本题无疑是要运用塞瓦逆定理,比如在PQC △中,知只需证 1PQN QMCBPC BQC PCN QMPS S S S S S ⋅⋅=△△△△△△. 由圆内接四边形对角互补知,上式等价于1BP PC PQ QN QC MC BQ QC PC CN PQ PM ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,化简,得1BP QN MCBQ CN PM⋅⋅=⋅⋅.由ABP △∽AQB △、APM △∽ANQ △及AMC △∽ACN △,得BP AP BQ AB =,QN AN PM AP =,MC ACCN AN=,于是1BP QN MC ACBQ CN PM AB⋅⋅==. 14.2.14★★设ABC △的内切圆分别与BC 、CA 、AB 切于点D 、E 、F ,DM EF ⊥于点M ,BM 与FD 交于点P ,CM 与DE 交于点Q ,求证:MD 、FQ 与PE 共点.AF M EPQBDC解析 易知 FP DQPD QE ⋅FMB MCD BDM MECS SS S =⋅△△△△ sin sin sin sin BF FM AFE CD MD MDC FMBD MD MDB CE ME AEF ME⋅⋅∠⋅⋅∠=⋅=⋅⋅∠⋅⋅∠,由塞瓦逆定理,知三线共点. 评注 此处MD EF ⊥这个条件多余,但可用来证明MD 平分BMC ∠.证明如下:设ABC △中内角为A ∠、B ∠、C ∠,于是易知12FDM C ∠=∠,12EDM B ∠=∠,故sin2sin 2CFD FM BF B ME CE ED ==,又由BFM ∠= 1902A CEM ︒+∠=∠,故FMB △∽EMC △,于是命题得证.14.2.13★★★已知凸四边形ABCD ,BAC DAC ∠=∠,P 是AC 上任一点,延长BP 、DP ,分别交CD 、CB 于Q 、R ,求证:QAC RAC ∠=∠.解析 如图,分别作CM AB ∥,CN AD ∥,且M 、R 、A 共线,N 、Q 、A 共线,设BD 与AC 交于J .BARMJ PC QND由塞瓦定理及角平分线性质定理,有1AD BR CQ AB RC QD ⋅⋅=.但CRCM AB BR=⋅,CQ CN AD DQ =⋅,于是CM CN =.又180180ACM BAC DAC ACN ∠=︒-∠=︒-∠=∠,AC AC =,故ACM △≌ACN △,于是QAC RAC ∠=∠.14.2.14★★设1A 、1B 分别是ABC △的边BC 和AC 上的点,D 、E 分别是1AA 与1BB 、11A B 与CD 的交点.证明:若190A EC ∠=︒,点A 、B 、1A 、E 共圆,则11AA BA =.解析 如图,延长AE 交BC 于F ,为证11AA BA =,只需证明11ABA A AB ∠=∠.而A 、B 、1A 、E 共圆,故11A EF ABA ∠=∠,11A AB BEA ∠=∠,于是只需证明1EA 为BEF ∠的平分线.ABCDB 1A 1E F对1AA C △的割线1BDB 及其内一点E 分别利用梅涅劳斯定理和塞瓦定理,得 11111CB A BAD B A DA BC ⋅⋅=, 11111CB A FAD B A DA FC⋅⋅=. 所以,11A F CFA B CB=. ①在射线CB 上取一点B ',使得11B EA A EF '∠=∠,则由190A EC ∠=︒,可知EC 为B EF '∠的外角平分线,于是,利用内、外角平分线定理,可知 11B A B E CB A F EF CF '''==. 从而,11A F A B CF CB '='. 对比式①得11A B A BCB CB'=',故B 与B '重合,因此,1A E 为BEF ∠的角平分线. 14.2.15★★★给定ABC △,点M 为BAC △内一点,使得MAB MCA ∠=∠,MAC MBA ∠=∠;N 为ABC △内一点,使得NBA NCB ∠=∠,NBC NAB ∠=∠;P 为ACB △内一点,使得PCA PBC ∠=∠,PCB PAC ∠=∠.证明:AM 、BN 和CP 三线共点,且该公共点在MNP △的外接圆上.A M1解析 延长AM 交BC 于点1A ,则11BMA MAB MBA MAC MCA CMA BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠,即1MA 为BMC ∠的平分线,于是,11BA BM A C MC =.而由条件,易知ABM △∽CAM △,故BM AM ABAM MC AC=== cb (这里a 、b 、c 为ABC △的三边长),从而2BM BM AM c MC AM MC b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,故 211BA c A C b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理可证:211CB a A B c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,211AC b B C a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1B 为BN 与AC 的交点,1C 为CP 与AB 的交点(图中N 、P 未画出).从而1111111BA CB AC AC B A C B ⋅⋅=. 于是,由塞瓦定理的逆定理可知AM 、BN 、CP 三线共点.设上述公共点为K ,O 为ABC △的外心,则2BMC BAC BOC ∠=∠=∠,故B 、M 、O 、C 四点共圆.于是设1MA 交这个圆于另一点2A ,则2A 为BC 的中点.结合OB OC =,可知2OA 为B 、M 、O 、C 所共圆的直径.因此,290OMA OMK ∠=∠=︒,类似可证,90ONK ∠=︒,90OPK ∠=︒.所以,M 、N 、P 在以OK 为直径的圆上.§14.3 其他问题14.3.1★求证:已知ABC △,点P 是BC 上一点,则有sin sin sin BAP CAP BACAC AB AP∠∠∠+=;反之,若上式成立,且BAP CAP BAC ∠+∠=∠(即AP 不是“反方向”的),则点B 、P 、C 共线.解析 如图,由ABP ACP ABC S S S +=△△△,得111sin sin sin 222AB AP BAP AC AP PAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠,两边同时除以12AB AC AP ⋅⋅,即得结论. AB P为证三点共线,只需将上述过程反过来,得ABP ACP ABC S S S +=△△△,于是点B 、P 、C 共线.14.3.2★★已知ABC △及直线l ,A 在l 上的身影为A ',A '在BC 上的身影为A '',类似地定义B ',B ''和C '、C '',求证:A A '''、B B '''和C C '''共点.解析 如图,只需证明2222220A B A C B C B A C A C B ''''''''''''-+-+-=(B ''、C ''未画出).AB CB'A'C'lA''由于22222222A B A C A B A C A B B B A C C C ''''''''''''-=-=+--,同理2222B C B A B C C C '''''''-=+- 22B A A A '''-,222222C A C B C A A A C B B B ''''''''''-=+--,于是三式相加,便知结论成立.14.3.3.★★★锐角三角形ABC 中,45BAC ∠=︒,BE 、CF 是两条高,H 为ABC △的垂心,M 、K 分别是BC 、AH 的中点.证明:MK 、EF 和OH 共点,这里O 为ABC △的外心.解析 如图,由条件45BAE ∠=︒,可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形,而O 为AB 、BC 的中垂线上的点,故EO AB ⊥,FO AC ⊥,于是EO CF ∥,FO BE ∥,从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点.B另一方面,M 、K 为BC 、AH 的中点,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知12EM MF BC ==,12EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形,所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点.从而命题获证.14.3.4★★四边形SPNM 与PFET 都是正方形,且点S 、P 、T 共线,点N 、P 、F 共线,连结MT 、SE ,点S 在MT 上的射影是点A ,点T 在SE 上的射影是点B ,求证:点A 、P 、B 共线.MNAS P TFE解析 设AB 与ST 交于点P ',又设ATS α∠=,TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=︒,有 tan cot ASB ATB S SP AS BSP T S AT BTαβ'⋅===⋅'⋅△△ MS ST MS SPST TE TE PT =⋅==, 即点P 与点P '重合.14.3.5★★在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ,已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上. D M C NOLA K B解析 连结OB 、OD .因为KL MN ∥,KM 与LN 相交于O ,所以KLO △∽MNO △,可得KL LOMN NO=,KLO MNO ∠=∠. 又因BC AD ∥,所以BLO DNO ∠=∠,则BLK DNM ∠=∠;因此Rt BLK △∽Rt DNM △.综上,BL LK LODN NM NO ==,BLO DNO ∠=∠,所以BLO △∽DNO △,可得BOL DON ∠=∠,即B 、O 、D 共线.14.3.6★★证明:如果一个梯形内的n (2>)个点到梯形四边距离之和相等,那么这n 个点共线. 解析 如图,延长梯形ABCD 的腰BA 、CD 交于点E .设P 为这n 个点中的一个点,过P 作一直线,交EB 、EC 于点G 、H ,使得EGH △为等腰三角形(EG EH =).设Q 是这n 个点中的另一个点,我们证明Q 在直线GH 上.由条件Q 到EG 、EH 的距离和等于P 到EG 、EH 的距离和.若Q 在四边形AGHD 内,则EQG S +△ EQH EGH S S <△△,从而(,)(,)(,)(,)EG d Q EG EH d Q EH EG d P EG EH P EH ⨯+⨯<⨯+⨯,这里(,)d X YZ 表示点X 到直线YZ 的距离.结合EG EH =,可得()(,)(,)d Q EG d Q EH d P EG +<∥ (,)d P EH +,矛盾.类似地,若Q 在四边形BGHC 内,则(,)(,)(,)(,d Q EG d Q EH d P EG d P +>+ )EH ,亦矛盾.故Q 在线段GH 上.14.3.7★★★设四边形仅有一个内角是直角,且两对角线相等,则对边中垂线交点与直角顶点共线. 解析 如图,设四边形ABCD 中,90B ∠=︒,作矩形ABCE ,则BE AC BD ==,又设BC 的中垂线GP 与AD 之中垂线FP 交于P ,则易知PE PA PD ==,于是B 、P 均在DE 中垂线上.同理AB 、CD 中垂线之交点也在DE 中垂线上,故而结论成立.AFDEPB G C14.3.8★★等腰梯形ABCD 中AB CD =.将ABC △绕点C 旋转一个角度,得一个新的A B C ''△.证明:线段A D '、BC 和B C '的中点共线. 解析 如图,设A D '、BC 、B C '的中点分别为X 、Y 、Z ,W 为CA '的中点.并设ACA α'∠=,ABC β∠=, 则ZW A B ''∥,WX CD ∥,且111222ZW A B AB CD WX ''====,即XWZ △为等腰三角形,并且XWZ ∠等于180︒减去A B ''与CD 所成的角γ.CZ B'YB W A'DXA注意到,(180)2180γβαββα=-︒--=-︒+,所以,3602XWZ αβ∠=︒--,从而1(180)9022XZW XWZ αβ∠=︒-∠=+-︒.于是902CZX XZW αβ∠=-∠=︒-.另一方面,YZ BB '∥,而1(180)9022CB B αα'∠=︒-=︒-,故902CZY α∠=︒-.综上,CZX CZY ∠=∠.故X 、Y 、Z 共线.14.3.9★★直角三角形ABC 中,AB 是斜边,CH 为斜边上的高,以A 为圆心、AC 为半径作A ⊙.过B 作A ⊙的割线,交A ⊙于点D 和E ,交CH 于点F (D 在B 与F 之间).在A ⊙上取一点G ,使得ABG ABD ∠=∠,且G 与D 不在AB 的同一侧.证明:E 、H 、G 三点共线.G 'AHBDF C E解析 延长EH 交A ⊙于点G ',我们证明G 与G '重合,即证G BA DBA '∠=∠.由90ACB ∠=︒知BC 为A ⊙的切线,故2BC BD BE =⋅.再在Rt ABC △中,CH 为高,从而由身影定理可知2BC BH BA =⋅,所以BD BE BH BA ⋅=⋅,故E 、D 、H 、A 共圆,因此EDA EHA BHG '∠=∠=∠. 注意到EA DA =,故EDA DEA DHB ∠=∠=∠(这里再次用到E 、D 、H 、A 共圆),结合前面的结果,可知BHD BHG '∠=∠.由圆的对称性,即得HBG HBD '∠=∠.14.3.10★★设锐角三角形ABC ,AD 、BE 、CF 为高,H 是垂心,M 、N 分别在BF 、AE 上,且MHF NHE ∠=∠,求证:BM 、CN 的中垂线之交点在BC 上.解析 如图,若设BM 、CN 中垂线分别交BC 于K 、K '(K 、K '在图中未画出),只要证明BK CK BC '+=,即知结论成立.AF M BDCE N H由于2cos BM BK B =,2cos CN CK C '=,而2cos 2cos 22BF CE BC BC BC B C +=+=,故只需证明2cos 2cos BM CNB C+=2cos 2cos BF CE B C +或cos cos NE MFC B =即可. 由条件知MFH △∽NEH △,故sin cos sin cos MF FH AH BAD BNE HE AH CAD C∠===∠.结论证毕. 14.3.11★★★ABC △的内切圆切边AC 、BC 于点M 、N ,直线l 与该内切圆切于劣弧MN 内一点,l 分别交NC 、MC 于点P 、Q .T 为AP 与BQ 的交点.证明:T 在线段MN 上.C Q XP lMN TAYB解析 设AP 交MN 于点1T ,ABC △的内切圆切l 与AB 于点X 、Y .AP 交XY 于点2T ,先证:1T 与2T 重合.由正弦定理,可知11sin sin PT PNCNM PT N =∠∠, 11sin sin AT AMAMN AT M=∠∠, 结合11PT N AT M ∠=∠,180180AMN CMN CNM ∠=-∠=-∠,可知11PT PN AT AM =.同理可证:22PT PXAT AY=.所以,由PX PN =及AM AY =,可知1212PT PT AT AT =,即1T 与2T 重合.这表明AP 过MN 与XY 的交点. 类似可知,BQ 与MN 与XY 的交点.所以,AP 与BQ 的交点在线段MN 上.14.3.12★★★在ABC △中,90A ∠=︒,AB AC <.D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 上的点,使得四边形AFDE 为正方形.设A l 为过A 所作ABC △的外接圆的切线.证明:BC 、EF 和A l 三线共点.CE AD FB G解析 设A l 交直线BC 于点G ,连GF 延长交AC 于点E '.只需证明E 与E '重合. 记ABC △的三边长分别为a 、b 、c ,而正方形AFDE 的边长为x .则由DF FB AC AB =,可知x c xb c-=,故bcx b c=+. 由AG 为ABC △外接圆的切线,得BAG C ∠=∠,而AGC ∠为公共角,故ABG △∽CAG △,从而AB BG AGCA AG GC==,于是222GB BG AG AG c GC AG GC CA b ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭,即22GB c a GB b =+,从而222ac GB b c =-,结合BD DF x BC CA b ==,可知ac BD b c =+,故22222ac ac abc GD b c b c b c =+=-+-,22222b ab GC GB c b c =⋅=-.所以DFCE ='GD cGC b=,即2b CE b c '=+. 而2bc b CE b x b b c b c=-=-=++.所以CE CE '=,故E 与E '重合,命题获证. 14.3.13★★★AC 、BD 均为圆的切线,AB 是该圆的一条能弦,CD 与圆交于点Q 、P ,已知AP BP =,点M 为AB 中点,求证:点M 、R 、Q 共线,这里R 为AD 与BC 的交点.A MBC QPDR解析 连结MC 、MR 、MD ,易知题目无非是要证明 CMR DMR S CQS DQ =△△. 易知12CMRACR S S =△△,12DMR BDR S S =△△,2AC CQ CP =,2BD DQ DP =,于是问题转变为求证 22ACR BDR S AC BDS BD CP⋅=⋅△△. 由切线性质知CAB DBA ∠=∠,于是根据三角形面积公式,有 ACR ABC ACD ACDBDR DBC ABD CBD S S S S AR CR AC S DR BR S S BD S ⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△△△, 于是待证式又变为求证 ACD CBD S AC DPS BD CP ⋅=⋅△△. 事实上, ACPACD ACP CBDPBD PBD CDS S S DP DP ACCP CD S CP S CP BD S DP⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△, 这是由于AP BP =,且CAP DBP ∠=∠.。

全国各地初中(九年级)数学竞赛《几何》真题大全 (附答案)

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全国各地初中(九年级)数学竞赛专题大全竞赛专题7 几何一、单选题 1.(2021·全国·九年级竞赛)某种产品由甲、乙、丙三种元件构成,如图为生产效率最高,在表示工人分配的扇形图中,生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是( ).A .120,180,60︒︒︒B .108,144,108︒︒︒C .90,180,90︒︒︒D .72,216,720︒︒︒2.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于AB 、两点,点O 为坐标原点,当AOB 的面积最小时,k ,b 的值为( )A .4k =-,8b =B .4k =-,4b =C .2k =-,4b =D .2k =-,2b =3.(2021·全国·九年级竞赛)如图,已知DEF 的边长分别为3,2,正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成,以这些正三角形的顶点画ABC ,使得ABC DEF ∽△△,相似比为ABk DE=,那么k 的不同值共有( )个.A .1B .2C .3D .4二、填空题4.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,正方形ABCD 的边长为10cm ,点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =,点P 在边CD 上运动,EP 与AB 的交点为F .设cm DP x =,EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ,那么y 与x 之间的函数关系式是________.5.(2021·全国·九年级竞赛)把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切.若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于________. 6.(2021·全国·九年级竞赛)由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______.7.(2021·全国·九年级竞赛)某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖,现向上抛掷半径为3cm 的圆碟,圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________. 三、解答题8.(2021·全国·九年级竞赛)平面上7个点,它们之间可以连一些线段,使7个点中任意三点必存在两点有线段相连.问最少要连几条线段?证明你的结论.9.(2021·全国·九年级竞赛)在直径为5的圆内放入10个点,证明其中必有两点的距离小于2.10.(2021·全国·九年级竞赛)设1M 是凸五边形12345A A A A A ,将1M 沿1i A A 方向平移,使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =.证明:12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形,它们有公共内点.11.(2021·全国·九年级竞赛)在圆周上任取21个点,证明:以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧.12.(2021·全国·九年级竞赛)两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面,先到的人要等候另一人20分钟,过时就可以离开.如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达,并且两人到达的时刻是彼此独立的(即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响),试计算两人能会面的概率.13.(2021·全国·九年级竞赛)平面上给出n个不全共线的点,求证:存在一条直线l,它恰通过其中两个点.14.(2021·全国·九年级竞赛)已知A,B,C,D为平面上两两距离不超过1的任意4点,今欲作一圆覆盖这4点(即A,B,C,D在圆内或圆周上)问圆的半径最小该是多少?试证明之.15.(2021·全国·九年级竞赛)任意凸四边形ABCD中总存在一条对角线和一条边,以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形.16.(2021·全国·九年级竞赛)设甲是边长为1的正三角形纸片,乙是边长为1的正方形纸片,丙是边长为1的正五边形纸片,丁是边长为1的正六边形纸片.证明:(1)不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆;(2)能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆.17.(2021·全国·九年级竞赛)在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆.证明:其中总还有一块空位置,可以完整地放入一个半径为1的小圆.18.(2021·全国·九年级竞赛)将4张圆形纸片放在桌面上,使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点,那么这4张圆形纸片是否一定有公共点?证明你的结论.19.(2021·全国·九年级竞赛)平面上给定了若干个圆,它们覆盖的面积为1.证明:从中可选出若干个两两不重叠的圆,使它们覆盖的面积不小于19.20.(2021·全国·九年级竞赛)证明:一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖.21.(2021·全国·九年级竞赛)如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液,现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①,②均为容器的纵截面).(1)当30α=︒时,通过计算说明此溶液是否会溢出;(2)现需要倒出不少于33000cm的溶液,当α等于60︒时,能实现要求吗?通过计算说明理由.22.(2021·全国·九年级竞赛)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲的停泊时间是1小时,乙的停泊时间是2小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率(精确到0.001).23.(2021·全国·九年级竞赛)把长为a 的线段任意分成3条线段,求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率.24.(2022·福建·九年级竞赛)如图,四边形ABCD 是平行四边形,∠DAC =45°,以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ,过点B 作AC 的垂线,垂足为H .求证:E ,H ,F 三点共线.竞赛专题7 几何答案解析一、单选题 1.(2021·全国·九年级竞赛)某种产品由甲、乙、丙三种元件构成,如图为生产效率最高,在表示工人分配的扇形图中,生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是( ).A .120,180,60︒︒︒B .108,144,108︒︒︒C .90,180,90︒︒︒D .72,216,720︒︒︒【答案】B 【详解】解 设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人,y 人,z 人,于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z .为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余.设共可组成k 件成品,则503020504020x y z k ===,即4,,3x k y k z k ===,从而4::1::13:4:33x y z ==.设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ,则3336036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++,4436036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++,3336036036010834310z x y z γ=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++.故应选B .2.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于A B 、两点,点O 为坐标原点,当AOB 的面积最小时,k ,b 的值为( )A .4k =-,8b =B .4k =-,4b =C .2k =-,4b =D .2k =-,2b =【答案】A 【详解】解 因函数y kx b =+的图象过点(1,4)P ,所以4,4k b b k =+=-,于是(4)y kx k =+-. 令0y =得4,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭. 令0x =得(0,4)B k -.连OP ,得 114122OABOAP OPBSSSOA OB =+=⨯⨯+⨯⨯ 14141(4)22k k k -=⨯⨯+⨯⨯- 11642k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.显然0k <.令k u =-,则0u >,于是116116442822OABSu u u u⎛⎫=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭.等号成立当且仅当16(0)u u u=>,即4u =,这时4,48k b k =-=-=. 故选A .注:OAB 的面积也可用114(4)22OABk SOA OB k k-=⨯⨯=⨯⨯-算出. 3.(2021·全国·九年级竞赛)如图,已知DEF 的边长分别为3,2,正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成,以这些正三角形的顶点画ABC ,使得ABC DEF ∽△△,相似比为ABk DE=,那么k 的不同值共有( )个.A .1B .2C .3D .4【答案】C 【详解】作图知与DEF 相似的三角形,而相似比不同的三角形只有如图所示的三种,故选C .二、填空题4.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,正方形ABCD 的边长为10cm ,点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =,点P 在边CD 上运动,EP 与AB 的交点为F .设cm DP x =,EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ,那么y 与x 之间的函数关系式是________.【答案】550(010)y x x =+<< 【详解】解 由DP x =得10PC x =-. 又12BF BE PC EC ==,即11(10),10(10)22BF x AF BF x =-=-=+, 所以EFBAFPD y SS =+四边形11()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤=⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦550(010)x x =+<<. 故应填550(010)y x x =+<<.5.(2021·全国·九年级竞赛)把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切.若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于________. 【答案】1133.【详解】如图,设1O 的半径为8,2O ,3O 的半径为5,切点为A .由对称性,能盖住这3个圆的最小圆形纸片的中心O 在对称轴1O A 上,且与已知三个圆内切.若设这个圆形纸片的半径为r ,则在12Rt O O A 中22221122(85)512O A OO O A =-=+-=,在2Rt OO A 中,25OO r =-,1112(8)OA O A OO r =-=--,25O A =,于是,由22222OO O A OA =+得222(5)5(128)r r -=+-+,由此解出4011333r ==,即所求圆形纸片的最小半径等于1133.6.(2021·全国·九年级竞赛)由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______. 【答案】42π+【详解】如图,所覆盖面积2 114214222ABCS S S ππ=+=⨯⨯+⋅=+半圆.故答案为:42π+.7.(2021·全国·九年级竞赛)某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖,现向上抛掷半径为3cm 的圆碟,圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________. 【答案】49【详解】解 要使圆碟与地砖的边缘不相交的条件是落地后圆碟的中心到正六边形地砖ABCDEF 的任何一边的距离不小于圆的半径63cm ,也就是圆碟的中心必落在与地砖ABCDEF 同中心且边与地砖边彼此平行、距离为63111111A B C D E F 内(图6-1).作OG AB ⊥于G ,交11A B 于1G 且163cm GG =,所以33336183OG AB ====1118363123OG OG GG =-==而113OG =,所以1132433OA ===,故11124A B OA ==. 设正六边形ABCDEF 和111111A B C D E F 的面积分别为S 和1S ,则所求概率为22211122224243639S A B p S AB =====.故应填49. 三、解答题8.(2021·全国·九年级竞赛)平面上7个点,它们之间可以连一些线段,使7个点中任意三点必存在两点有线段相连.问最少要连几条线段?证明你的结论.【答案】9条,见解析 【详解】解法一:设最少要连n 条线段,如图4-3中7个点之间共连有9条线段,其中任意三点间必有两点连有线段,故9n ≤.另一方面,我们证明9n ≥,下面分4种情形讨论: (1)若7点中存在一点1A 不与其他6点237,,,A A A 连线,则依题意1A ,i A ,j A (27)i j ≤<≤中必有2点连线,于是只可能i A 与j A 连有线,即237,,,A A A 这6点中任意两点连有线,图中一共连了65152⨯=条线. (2)若7点中存在一点1A 只连出一条线段,设1A 仅与2A 连有线而与其余5点3A ,4A ,5A ,6A ,7A ,没有连线,则同(1)可知3A ,4A ,5A ,6A ,7A 这5点中任意两点连有线,至少连有54102⨯=条线.(3)若每点出发至少连出2条线,且有一点恰连出2条线.设该点为1A ,它连出的两条线为12A A ,13A A ,则不与1A 相连的4个点每两点连有线,要连4362⨯=条线,而2A 连出的线段至少2条,除21A A 外,至少还有一条,所以此时至少要连6219++=条线. (4)若每点至少连出3条线,则至少要连73102⨯>条线. 综上所述,最少要连9条线段.解法二:设7点中从1A 出发所连的线段最少,只有k 条,设它们是121311,,,k A A A A A A +,其余6k -个点126,,,k B B B -都与1A 没有连线,于是对任意2点i B ,j B (16)i j k ≤<≤-,由已知条件知1A ,i B ,j B 中必有2点连有线,而1A 与i B ,1A 与j B 没有连线,故只可能i B 与j B 连有线,即16,,k B B -中每点与其余5k -点连有线,于是从各点连出的线段数的总和不少于(1)(6)(5)k k k k ++--221030k k =-+.但上述计数中每条线段计算了2次,故图中所连线段至少为()21210302k k -+=22551522k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22151522⎛⎫⎛⎫≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1569=-=,即至少要连9条线段. 另一方面,如图4-3中,7点中连有9条线段时满足题设条件. 综上所述,最少要连9条线段.9.(2021·全国·九年级竞赛)在直径为5的圆内放入10个点,证明其中必有两点的距离小于2. 【答案】见解析 【详解】分析 把圆等分为9个扇形显然不行(虽然必有一扇形内至少有2点,但不保证它们的距离小于2),因此,我们先作一个与已知圆同心的小圆(其直径必须小于2,但不能太小),然后将余下的圆环部分8等分. 证明 设O 是已知圆心,如图,以O 为圆心作半径为0.9的圆,再将余下的圆环8等分,于是将已知圆面分成了9个部分,由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦点,M N ,若,M N 在小圆内,则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<. 若,M N 同在一个扇面形内,则由余弦定理,有222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<.从例2可以看出,分割图形制造“抽屉”时,可能不是将图形等分为几部分,而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质(例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2),读者应用这种方法解题时,应该注意到这一点.10.(2021·全国·九年级竞赛)设1M 是凸五边形12345A A A A A ,将1M 沿1i A A 方向平移,使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =.证明:12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形,它们有公共内点.【答案】见解析 【详解】证明 如图,以1A 为位似中心,以2:1为相似比作1M 的位似图形M ,则M 仍为凸五边形且1M 在M 内.下面我们证明2345,,,M M M M 都在M 内,例如先证4M 在M 内.设P 是4M 内任意一点,它是1M 内的点Q 经过平移得到的,于是14QP A A ∥,故14A A PQ 为平行四边形,又R 是14A A PQ 的两条对角线的交点,因Q 和4A 属于1M ,且1M 是凸五边形,故R 属于M ,而111,:2:1A R RP A P A R ==,故P 属于M .又P 是M ,内任意一点,所以4M 包含在M 之内,同理235,,M M M 都包含在M 内,设12345,,,,M M M M M 及M 的面积分别为12345,,,,S S S S S 及S ,则2123451152S S S S S S S S ++++=>⋅=.于是,由图形重叠原理知,12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形,它们有公共内点.11.(2021·全国·九年级竞赛)在圆周上任取21个点,证明:以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧.【答案】见解析 【详解】证明:我们称不超过120︒的弧为好弧.不妨设以1A 为端点的好弧最少,并且设它只有1n -条,它们是12131,,,n A A A A A A ,从而以231,,,n A A A -为端点的好弧都至少有1n -条,故以这n 个点为端点的好弧至少有1(1)2n n ⋅-条,除这n 个点外,其余21n -个点记为1221,,,n n A A A ++,从中任取两点,(121)i j A A n i j +≤<≤.因1i j A A A ,至少有一个内角不超过60︒,故11,,i j i j A A A A A A 中至少有一条弧不超过260120⨯︒=︒,根据1A 的取法,这条弧不能是1i A A 和1j A A ,而只能是j i A A ,即j i A A 是好弧.可见以1221,,,n n A A A ++中任意两点,(121)i j A A n i j +≤<≤为端点的弧都为好弧.这样的好弧有1(21)(20)2n n ⋅--条.综上所述知好弧至少有2211213991399(1)(21)(20)100222424y n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅--=-+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭条.当10n =或11时,y 取到最小值100,于是结论成立.12.(2021·全国·九年级竞赛)两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面,先到的人要等候另一人20分钟,过时就可以离开.如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达,并且两人到达的时刻是彼此独立的(即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响),试计算两人能会面的概率. 【答案】59 【详解】解 我们用,x y 分别表示,A B 到达的时刻,而两人能会面的充分必要条件为20x y -≤,其中060,060x y ≤≤≤≤.我们用平面直角坐标系中的点(),x y 表示,A B 到达的时刻(从中午12点以后算起,以分为单位),于是所有可能结果是一个边长为60的正方形OABC .代表能够会面的点都落在图中画有阴影线的区域H 内(图6-2),于是21260240402H ADE OABC S S S =-⨯=-⨯⨯⨯正方形 226040=-,故两人能会面的概率为22226040251()6039HOABC S p S -===-=正方形. 答:两人能会面的概率等于59. 13.(2021·全国·九年级竞赛)平面上给出n 个不全共线的点,求证:存在一条直线l ,它恰通过其中两个点.【答案】见解析【详解】证明:平面上只有有限点,过每两点作一直线只有有限点直线,每条直线与不在这条直线上的点(由已知条件知这样的点必存在)配成对,则这样的点只有有限个,每个点线对中都有该点到直线的距离,记这些距离最小的点对为(,)P l ,则l 为所求.实际上,设l 上有不少于3个给定的已知点,则过P 作PA l ⊥于A (如图),则在l 上A 的某一侧(包括A )必有2个已知点,设为,M N (M 可能与A 重合,连PN ,并M 作MQ PN ⊥于Q ,过A 作AR PN ⊥于R ,则MQ AR AP d ≤<=,这与AP d =最小矛盾,于是结论得证.注 本题是英国著名数学家希尔维斯特(J.J. Sylvester)在其逝世前不久提出的一个有趣的问题.这个貌似简单的问题,当时困扰过不少的数学家,并且这状况持续350年之久,直到1933年,伽莱(T. Callai)给出了一个非常复杂的证明.不久以后,凯里(L. M. Kelly) 才给出上述很简单的证明,其证法的关键就是利用极端原理.14.(2021·全国·九年级竞赛)已知A ,B ,C ,D 为平面上两两距离不超过1的任意4点,今欲作一圆覆盖这4点(即A ,B ,C ,D 在圆内或圆周上)问圆的半径最小该是多少?试证明之. 3 【详解】注意最不利的情形点A 、B 、C 、D 中有3点构成边长等于1的正三角形,覆盖此三角形的圆的半径不小33 (1)A 、B 、C 、D 共线,这时4点在一条长度不超过1的线段内,结论显然成立;(2)A 、B 、C 、D 中有3点(例如A 、B 、C )构成一个三角形,第4点D 在此三角形内,不妨设60C ∠≥︒,以AB 为弦作圆O ,使AB 所对的弓形弧(含C 的一侧)为60︒,则此圆O 覆盖A 、B 、C 、D 4点.作此圆直径2AE R =,则22222(2)1R R AE BE AB -=-=≤,即3R ≤,故A 、B 、C 、D 4点被一个半径不大3 (3)A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的4个顶点,则A C ∠+∠,B D ∠+∠中必有一个不小于180︒,不妨设180B D ∠+∠≥︒,同(2)可证ABC 的外接圆半径3≤180B D ∠+∠≥︒知D 点也在这个圆内或圆周上,故A 、B 、C 、D 3 315.(2021·全国·九年级竞赛)任意凸四边形ABCD 中总存在一条对角线和一条边,以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形.【答案】见解析【详解】四边形的4个内角中至少有一个90≥︒,不妨设90A ∠≥︒,以对角BD 为直径的圆O 必覆盖ABD △.若90C ∠≥︒,圆O 覆盖四边形ABCD 结论成立,若90C ∠>︒,则C 在圆外,圆O 与CD 、CB 中至少一条线段相交,不妨设圆O 与CD 交于E ,于点分别以BD 、BC 为直径的两个圆覆盖四边形ABCD .16.(2021·全国·九年级竞赛)设甲是边长为1的正三角形纸片,乙是边长为1的正方形纸片,丙是边长为1的正五边形纸片,丁是边长为1的正六边形纸片.证明:(1)不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆;(2)能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆.【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】(1)因为对于半径为1的圆,边长为1的正三角形至多盖住60︒的弧,边长为1的正方形至多盖住90︒的弧,边长为1的正五边形至多盖住120︒的弧(因边长为1的正五边形对角线的长<边长为1的正六边形对角线的长3=,而6090120360︒+︒+︒<︒,所以甲、乙、丙合起来不得盖住半径为1的圆.(2)如图所示,用甲、乙、丙、丁合起来可盖住半径为1的圆.17.(2021·全国·九年级竞赛)在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆.证明:其中总还有一块空位置,可以完整地放入一个半径为1的小圆.【答案】见解析【详解】分析 与证明设半径为6的大圆O 内任意放入6个半径为1的小圆,则小圆圆心都在以O 为中心,615-=为半径的圆内.如果大圆内无论怎样再放入一个半径为1的小圆7O ,都要与6个小圆中某个(16)i O i ≤≤重叠,那么7112i O O ≤+≤,即半径为5的圆将被6个半径为2的圆所覆盖.由图形重叠原理知6个小圆的总面积将不小于半径为5的圆的面积.但实际上226224255ππππ⋅=<=⋅,得到矛盾,于是命题得证.注:本例的证题关键是将外圆缩小,而将里圆扩大,这是解决嵌入问题的一种技巧,即收缩与膨胀技巧或裁边与镶边技巧.18.(2021·全国·九年级竞赛)将4张圆形纸片放在桌面上,使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点,那么这4张圆形纸片是否一定有公共点?证明你的结论.【答案】见解析.【解析】【分析】【详解】设4张圆形纸片是(1,2,3,4)k O k ,其中1O ,2O ,3O 有公共点1A ,1O ,2O ,4O 有公共点2A ,1O ,3O ,4O 有公共点3A ,2O ,3O ,4O 公共点4A .(1)若1A ,2A ,3A ,4A 共线(如图顺序),因为1A ,3A 都是圆形纸片1O 与3O 的公共点,故线段13A A 在圆形纸片1O 与2O 的公共部分内,又24A A 都是圆形纸片2O 与4O 的公共点,故线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内,所以线段23A A 上任意一点都是这4张圆形纸片的公共点.(2)若1A ,2A ,3A ,4A 中有一点在以其余3点为顶点的三角形的边界上或内部(如图).因为1A ,2A ,3A 都在1O 内,故123A A A △被圆形纸片1O 所覆盖,从而4A 在圆形纸片1O 内,而4A 是圆形纸片2O ,3O ,4O 的公共点,所以4A 是这张圆形纸片的公共点.(3)若1A ,2A ,3A ,4A 是一个凸四边形的4个顶点(如图),同上可知线段13A A 在圆形纸片1O 与3O 的公共部分内,线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内,所以13A A 与24A A 的交点是这4张圆形纸片的公共点.总之,这4张圆形纸片一定有公共点.19.(2021·全国·九年级竞赛)平面上给定了若干个圆,它们覆盖的面积为1.证明:从中可选出若干个两两不重叠的圆,使它们覆盖的面积不小于19. 【答案】见解析.【解析】【分析】【详解】从给定圆中选出半径最大的圆1O ,其半径为1r ,面积为1S ,则与圆1O 有重叠的圆连同圆1O 一起覆盖的面积()211139M r S π≤=,即1119S M ≥.然后去掉与圆1O 重叠的圆,再从剩下的圆(圆1O 除外)选出半径最大的圆2O ,其半径为2r ,并将与圆2O 有重叠的圆去掉.这样经过有限步可得有限个两两不重叠的圆1O ,2O ,…k O ,它们覆盖的面积为()12121199k k S S S M M M ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=. 20.(2021·全国·九年级竞赛)证明:一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖.【答案】见解析.【解析】【分析】【详解】设正方形ABCD 的边长为5,先放置一个边长为4的正方形CEFG ,其中C 为原正方形ABCD 的一个顶点,E 在边CD 上,F 在正方形ABCD 内,G 在边CB 上.连AF ,再放置第二个边长为4的正方形111AB C D ,其中A 是原正方形的一个顶点,且使D 在射线11D C 上(如图),由勾股定理有:2211D D AD AD =-2211543D C =-=<.故D 在线段11D C 内,且1111431C D D C D D =-=-=.设11B C 与CD 交于H ,则1541DE CD CE DC DH =-=-==<,故E 在线段DH 内,从而E 被正方形111AB C D 覆盖.又11145B AD B AC FAD ∠>∠=︒=∠,即AF 在1B AD 内,且1224AF DE AB ==,故F 也被正方形111AB C D 覆盖,这就证明了梯形AFED 可以被一个边长为4的正方形111AB C D 所覆盖.同理,梯形AFGB 也可以被一个边长为4的正方形222AB C D 所覆盖,于是正方形ABCD 可被3个边长为4的正方形所覆盖. 21.(2021·全国·九年级竞赛)如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm 的正方形,高为30cm ,内有20cm 深的溶液,现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①,②均为容器的纵截面).(1)当30α=︒时,通过计算说明此溶液是否会溢出;(2)现需要倒出不少于33000cm 的溶液,当α等于60︒时,能实现要求吗?通过计算说明理由.【答案】(1)不会溢出,理由见解析;(2)不能实现要求,见解析.【解析】【分析】【详解】(1)当30α=︒时,如图a ,过C 作//CF BP 交AD 所在直线于F .在Rt CDF △中,20330,20cm,30cm FCD CD DF ∠=︒==<,所以点F 在线段AD 上,20330AF =此时容器内能容纳的溶液量为()3 ()203320203030201040003cm 2ABCF AF BC AB S ⎛⎫⎛+⋅=⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭梯形.而容器中原有溶液量为()32020208000cm ⨯⨯=.因为3400038000⎛> ⎝⎭,所以当30α=︒时溶液不会溢出. (2)如图b ,当60α=︒时,过C 作//CF BP 交AB 所在直线于F .在Rt CBF △中,30cm 30BC BCF =∠=︒,,10320cm BF =<,所以点F 在线段AB 上,故溶液纵截面为Rt BFC △.因211503cm 2BFC S BC BF =⨯⨯=,容器内溶液量为315032030003cm =,倒出的溶液量为3(80003)3000cm -<,所以不能实现要求. 22.(2021·全国·九年级竞赛)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲的停泊时间是1小时,乙的停泊时间是2小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率(精确到0.001).【答案】0.879.【解析】【分析】【详解】设自当天零时算起,甲、乙两船到达码头的时刻分别是x 和y ,则必须024,024x y ≤≤≤≤.我们视(),x y 为平面直角坐标系内的点,于是点(),x y 落在一个面积为224S =的正方形OABC 的内部或边界上(如下图).如果轮船不需要等候码头空出,那么当船甲先到时,船乙应迟来1个小时以上,即1y x -≥,即1y x ≥+;当船乙先到时,船甲应迟来2个小时以上,即2x y -≥,即2y x ≤-,即点(),x y 应在直线1y x =+的上方且在直线2y x =-的下方,也就是点(),x y 应在如图所示的两个三角形ADE 和CFG △中某一个的内部或边界上,故所求概率ADE CFGABCD S S p S +=四边形.而24123,24222CG CF AD AE ==-===-=,所以211222223231103220.879241152p ⨯⨯+⨯⨯===. 答:两船中任何一艘都不需要等候码头空出的概率为0.879.23.(2021·全国·九年级竞赛)把长为a 的线段任意分成3条线段,求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率.【答案】14【解析】【分析】【详解】解 设其中两条线段的长为,x y ,则第3条线段的长为()a x y -+,于是,x y 的取值范围是0,0,0,0,0()0.x a x a y a y a a x y a x y a ⎧<<<<⎧⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪<-+<<+<⎩⎩ ① 要使3条线段构成一个三角形的3条边,其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和.这等价于每条线段的长度都小于2a ,即 0,0,220,0,220().22a a x x a a y y a a a x y x y a ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<<+<⎪⎪⎩⎩ ②将(),x y 视为平面直角坐标系的坐标,则满足条件①的点(),x y 在以()()()0,0,,0,0,O A a B a 为顶点的OAB 内.而满足条件②的点(),x y 在以(,),(0,),,0()2222a a a a C D E 为顶点的CDE △内,故所求概率为11222142CDE OAB a a CD DE Sp S a a OA OB ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯.答:3条线段能构成一个三角形的三边的概率为14. 24.(2022·福建·九年级竞赛)如图,四边形ABCD 是平行四边形,∠DAC =45°,以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ,过点B 作AC 的垂线,垂足为H .求证:E ,H ,F 三点共线.【答案】见解析【解析】【分析】如图:证明P ,A ,B ,C 四点共圆.可得CBE APC ∠=∠.①,证明C ,E ,B ,H 四点共圆,可得CHE CBE ∠=∠.②,证明C ,H ,F ,P 四点共圆,可得180APC CHF ∠=︒-∠.③,由①②③代换可得180CHE CHF ∠+∠=︒.可得结论;【详解】如图,延长BH 与直线AD 相交于点P ,连接CP .因为45DAC ∠=︒,BP AC ⊥,所以45BPA ∠=︒.又45BCADAC∠=∠=︒,所以BPA BCA ∠=∠,于是P ,A ,B ,C 四点共圆.所以CBE APC ∠=∠.①连接CE ,由AC 为圆直径,得90CEA CHB ∠=︒=∠,所以C ,E ,B ,H 四点共圆,于是CHE CBE ∠=∠.②连接CF ,由AC 为圆直径,得90CFP CHP ∠=︒=∠,所以C ,H ,F ,P 四点共圆,于是180APC CHF ∠=︒-∠.③由②,①,③,得180CHE CBE APC CHF ∠=∠=∠=︒-∠,所以180CHE CHF ∠+∠=︒.所以E ,H ,F 三点共线.【点睛】本题考查了圆内接罩边形的判断及性质,难度较大,解题的关键是构造圆内接四边形.。

初中数学竞赛第三十七讲点共线与线共点

初中数学竞赛第三十七讲点共线与线共点

第三十七讲 点共线与线共点【趣题引路】证明梅涅劳斯定理:如图20-1,在△ABC 中,一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 时延长线于D 、E 、F 三点,求证:1=⋅⋅DBAD EA CE FC BE . 解析 左边是比值的积,而右边是1,转化比值使其能约简,想到平行线分线段成比例作平行线即可.证明 过点C 作CG ∥EF 交AB 于G . ∴DGBD CF BF =,AD DG AE EC =, ∴1=⋅⋅=⋅⋅BD AD AD DG DG BD DB AD EA CE FC BE .证明塞瓦定理:如图20-2,在△ABC 内任取一点P ,直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ,求证:1=⋅⋅FB AF EA CE DC BD . 证明A C P ABP S S DC BD ∆∆=,BAP BCP S S EA CE ∆∆=,BCP ACP S S FB AF ∆∆=. ∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACP ABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD 【知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题,是几何中常遇到的困难而有趣的问题,解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法.2.证明三点共线的方法是:(1)利用平角的概念;证明相邻两角互补.(2)当AB ±BC=AC 时,A 、B 、C 三点共线.(3)用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上.(4)当AB 、BC 平行于同一直线时,A 、B 、C 三点共线.(5)若B 在PQ 上,A 、C 在P 、Q 两侧,∠ABP=∠CBQ 时,A 、B 、C 三点共线.(6)利用梅涅劳斯定理的逆定理.3.证明三线共点的基本方法是:(1)证明其中两条直线的交点在第三条直线上.(2)证明三条直线都经过某一个特定的点.(3)利用已知定理,例如任意三角形三边的中垂线交于一点,三条内角平分线交于一点,三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等.(4)利用塞瓦定理的逆定理.在证题过程中要根据题意灵活选用方法.例题求解【例1】 如图20-3,已知BD=CE ,求证:AC×EF=AB×DF .思路点拨 等积转化为等比,由比例式可看出直线BCF 截△ADE 的三边,即可用梅氏定理加以证明.证明 直线BF 交△ADE 三边所在直线于B 、C 、F . 由梅氏定理得:1=⋅⋅ACEC EF DF BD AB , ∵BD=CE ∴AC×EF=AB×DF .【例2】 (1995年河北省初中竞赛题) 如图20-4,在正△ABC 的边BC 、CA 、AB 上分别有内分点D 、E 、F ,将边分成2:(n-2) (其中n >4),线段AD ,BE ,CF 相交所成的△PQR 的面积是△ABC 面积的71,则n 的值是( )A .5B .6C .7D .8思路点拨22-===n FB AF EA CE DC BD ,由梅氏定理有 1222=-⋅⋅=⋅⋅n n PD AP EA CE BC DB PD AP . ∴4)2(-=n n PD AP ,∴4)2()2(+--=n n n n AD AP , ∴ S △ABP = S △ABD =n n n n n 24)2()2(⋅+-- S △ABC =4)2()2(2+--n n n S △ABC 同理S △BCQ =S △CAR =4)2()2(2+--n n n S △ABC S △ABP +S △BCQ +S △CAR =4)2()2(6+--n n n S △ABC 由已知764)2()2(6=+--n n n ,解得6=n , 故选B . 【例3】 如图20-5,△ABC 的外角平分线与边BC 的延长线交于P ,∠B 的平分线交AC 于Q ,AC 的平分线交AB 于R ,求证:P 、Q 、R 三点共线.思路点拨 AP 为∠BAC 的外角平分线,∴PC BP AC AB =, ∴BQ 为角平分线,∴QC AQ BC AB =,同理得:RA BR AC BC =. ∵1=⋅⋅=⋅⋅ABBC AC AB BC AC QA CQ PC BP RB AR , ∴P 、Q 、R 三点共线.【例4】求证:三角形的三条角平分线交于一点.已知:如图20-6,AD 、BE 、CF 分别为角平分线,求证:AD 、BE 、CF 交于一点.思路点拨 AD 为∠BAC 的平分线,∴AC AB DC BD = 同理得:AB BC EA CE =,BC AC BF AF =. 1=⋅⋅=⋅⋅BCAC AB BC AC AB FB AF EA CE DC BD . ∴由塞瓦定理得AD 、BE 、CF 交于一点.【例5】 如图20-7,已知G 是△ABC 的重心,M 、N 是GB 、GC 的中点.延长AC 至E ,使CE=21AC ;又延长AB 至F ,使BF=21AB .求证:AG 、ME 、NF 三线共点.思路点拨 设AG 、BG 、CG 交BC 、CA 、AB 于X 、Y 、Z ,则GY=31BY=MG ,YC=21AC=CE , 从而GC ∥ME .又M 是BC 的中点,故ME 过BC 的中点X ,同理NF 也过BC 的中点X ,从而AG 、EM 、NF 三线共点.【例6】 如图20-8,已知等边△ABC ,在AB 上取点D ,在AC 上取点E ,使得AD=AE ,作等边△PCD ,等边△QAE 和等边△RAB .问R 、B 、P 三点是否共线,若共线判断△PQR 是什么三角形,若不共线,请说明理由.思路点拨 要判断R 、B 、Q 三点是否共线,可判断∠RBC 与∠PBC 的和是否等于180°.于是,我们以C 点为中心,将△CAD 逆时针旋转60°,这时A 点与B 点重合,D 点与P 点重合.不难证明∠RBQ+∠PBC=180°,故R 、B 、P 三点共线,△PQR 是等边三角形. 证明 连结BP ,∵△ABC 和△DPC 都是等边三角形,∴AC=BC ,DC=PC ,又 ∠ACD=60°—∠DCB=∠BCP ,∴△CAD ≌△CBP .∴∠PBC=∠BAC=60°.又∠RBC=60°+60°=120°,∴∠RBC+∠PBC=180°.故R 、B 、P 三点共线易知∠RAQ=60°+60°+60°=180°,R 、A 、Q 三点共线.而△CAD ≌△CBP , ∴BP=AD=AE=AQ .∴RP=RQ ,且∠R=60°,故△PQR 是等边三角形.【例7】 如图20-9,已知AD 、BE 、CF 为△ABC 外接圆的切线,AD 、BE 、CF 分别交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ,求证:D 、E 、F 共线.思路点拨 连接DE 、EF .∵AD 是圆的切线,∴∠DBA=∠DAC ,∠ADB=∠CDA ,∴△DBA ∽△DAC ,∴ABAC DB DA DA DC ==, ∴22AB AC DB DA DA DC DB DC =⋅=,同理得22BC BA EC EA =,22AC BC FA FB =, ∴1222222=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅AC BC BC BA AB AC FA BF DB CD EC AE FA FB EC EA DB DC . ∴由梅氏定理的逆定理得:D 、E 、F 三点共线.【例8】 (1994年“祖冲之杯”初中竞赛)如图20-10,已知25=DB AD ,34=CE AC .求FCBF 的值.思路点拨 由34=CE AC 得73=EA CE ,在△ABC 中,由梅氏定理得,1=⋅⋅EACE FC BF DB AD , 即17325=⋅⋅FC BF ,故1514=FC BF .学历训练1.(1996年江苏省初中竞赛题)如图20-11,如果ABCD 是2×2正方形,E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,AF 与DE 相交于I ,BD 和AF 相交于H ,那么四边形BEIH 的面积是( )A .31 B .52 C .157 D .158 2.(1996年武汉市初中竞赛题)在△ABC 中,AD 是中线,E 在AB 上,且AE=31AB ,CE 与AD 交于F ,则ACFDEF S S ∆∆的值是 . 3.(“祖冲之杯”初中竞赛题)如图20-12,D 、F 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点,且AD :DB=CF :FA=2:3.求FDEF 的值.4.如图20-13,已知P 为△ABC 内任意—点,连AP 、BP 、CP ,并延长分别交对边于D 、E 、F ,求证:1=++CFPF BE PE AD PD .5.(1995年上海市初中竞赛题)已知P 是△ABC 内一点,AP 、BP 、CP 的延长线分别交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ,设AP= x ,BP=y ,CP=z ,DP=EP=FP=d ,若x +y+z=43,d=3.求x 、y 、z 这三个数的乘积.6. (塞瓦定理的逆定理) 设D 、E 、F 分别是△BC 三边BC 、CA 、AB 内的一点.满足1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD .求证:AD 、BE 、CF 三线共点.7.证明:三角形三条高所在的直线共点.8.如图20-14,凸四边形ABCD 的对角线互相垂直.过AB 、AD 的中点K 、M 分别引对边CD 、CB 的垂线KP 、MT .证明:KP 、MT 、AC 三直线交于一点.9.(1998年全国初中数学竞赛题)如图20-15,已知P为平行四边形ABCD内一点,O为AC 与BD的交点,M、N分别为PB、PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:(1)P、Q、O三点在一条直线上;(2)PQ=2OQ.。

初中数学竞赛 几何专题:点共线问题(含答案)

初中数学竞赛 几何专题:点共线问题(含答案)

初中数学竞赛 几何专题:点共线问题(含答案)1. 锐角三角形ABC 中,45BAC ∠=︒,BE 、CF 是两条高,H 为ABC △的垂心,M 、K 分别是BC 、AH 的中点.证明:MK 、EF 和OH 共点,这里O 为ABC △的外心.解析 如图,由条件45BAE ∠=︒,可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形,而O 为AB 、BC 的中垂线上的点,故EO AB ⊥,FO AC ⊥,于是EO CF ∥,FO BE ∥,从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点.另一方面,M 、K 为BC 、AH 的中点,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知12EM MF BC ==,12EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形,所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点.从而命题获证.2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形,且点S 、P 、T 共线,点N 、P 、F 共线,连结MT 、SE ,点S 在MT 上的射影是点A ,点T 在SE 上的射影是点B ,求证:点A 、P 、B 共线.解析 设AB 与ST 交于点P ',又设ATS α∠=,TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=︒,有 tan cot ASB ATB S SP AS BSP T S AT BTαβ'⋅===⋅'⋅△△ MS ST MS SPST TE TE PT =⋅==, 即点P 与点P '重合.3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ,已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上.解析 连结OB 、OD .因为KL MN ∥,KM 与LN 相交于O ,所以KLO △∽MNO △,可得KL LOMN NO=,KLO MNO ∠=∠.BMNAS P TFED M C NOLA K B又因BC AD ∥,所以BLO DNO ∠=∠,则BLK DNM ∠=∠;因此Rt BLK △∽Rt DNM △.综上,BL LK LODN NM NO ==,BLO DNO ∠=∠,所以BLO △∽DNO △,可得BOL DON ∠=∠,即B 、O 、D 共线.4. 证明:如果一个梯形内的n (2>)个点到梯形四边距离之和相等,那么这n 个点共线.解析 如图,延长梯形ABCD 的腰BA 、CD 交于点E .设P 为这n 个点中的一个点,过P 作一直线,交EB 、EC 于点G 、H ,使得EGH △为等腰三角形(EG EH =).设Q 是这n 个点中的另一个点,我们证明Q 在直线GH 上.由条件Q 到EG 、EH 的距离和等于P 到EG 、EH 的距离和.若Q 在四边形AGHD 内,则EQG S +△ EQH EGH S S <△△,从而(,)(,)(,)(,)EG d Q EG EH d Q EH EG d P EG EH P EH ⨯+⨯<⨯+⨯,这里(,)d X YZ 表示点X 到直线YZ 的距离.结合EG EH =,可得()(,)(,)d Q EG d Q EH d P EG +<∥ (,)d P EH +,矛盾.类似地,若Q 在四边形BGHC 内,则(,)(,)(,)(,d Q EG d Q EH d P EG d P +>+ )EH ,亦矛盾.故Q 在线段GH 上.5. 设四边形仅有一个内角是直角,且两对角线相等,则对边中垂线交点与直角顶点共线.解析 如图,设四边形ABCD 中,90B ∠=︒,作矩形ABCE ,则BE AC BD ==,又设BC 的中垂线GP 与AD 之中垂线FP 交于P ,则易知PE PA PD ==,于是B 、P 均在DE 中垂线上.同理AB 、CD 中垂线之交点也在DE 中垂线上,故而结论成立.6. 等腰梯形ABCD 中AB CD =.将ABC △绕点C 旋转一个角度,得一个新的A B C ''△.证明:线段A D '、BC 和B C '的中点共线. 解析 如图,设A D '、BC 、B C '的中点分别为X 、Y 、Z ,W 为CA '的中点.并设ACA α'∠=,ABC β∠=, 则ZW A B ''∥,WX CD ∥,且111222ZW A B AB CD WX ''====,即XWZ △为等腰三角形,并且XWZ ∠等于180︒减去A B ''与CD 所成的角γ.AFDEPB G C注意到,(180)2180γβαββα=-︒--=-︒+,所以,3602XWZ αβ∠=︒--,从而1(180)9022XZW XWZ αβ∠=︒-∠=+-︒.于是902CZX XZW αβ∠=-∠=︒-.另一方面,YZ BB '∥,而1(180)9022CB B αα'∠=︒-=︒-,故902CZY α∠=︒-.综上,CZX CZY ∠=∠.故X 、Y 、Z 共线.7. 直角三角形ABC 中,AB 是斜边,CH 为斜边上的高,以A 为圆心、AC 为半径作A ⊙.过B 作A⊙的割线,交A ⊙于点D 和E ,交CH 于点F (D 在B 与F 之间).在A ⊙上取一点G ,使得ABG ABD ∠=∠,且G 与D 不在AB 的同一侧.证明:E 、H 、G 三点共线.解析 延长EH 交A ⊙于点G ',我们证明G 与G '重合,即证G BA DBA '∠=∠.由90ACB ∠=︒知BC 为A ⊙的切线,故2BC BD BE =⋅.再在Rt ABC △中,CH 为高,从而由身影定理可知2BC BH BA =⋅,所以BD BE BH BA ⋅=⋅,故E 、D 、H 、A 共圆,因此EDA EHA BHG '∠=∠=∠. 注意到EA DA =,故EDA DEA DHB ∠=∠=∠(这里再次用到E 、D 、H 、A 共圆),结合前面的结果,可知BHD BHG '∠=∠.由圆的对称性,即得HBG HBD '∠=∠. 8. 设锐角三角形ABC ,AD 、BE 、CF 为高,H 是垂心,M 、N 分别在BF 、AE 上,且MHF NHE ∠=∠,求证:BM 、CN 的中垂线之交点在BC 上.解析 如图,若设BM 、CN 中垂线分别交BC 于K 、K '(K 、K '在图中未画出),只要证明BK CK BC '+=,即知结论成立.由于2cos BM BK B =,2cos CN CK C '=,而2cos 2cos 22BF CE BC BC BC B C +=+=,故只需证明2cos 2cos BM CNB C+=CZ B'YB W A'DXAG 'AHBDF C EAF M BDCE N H2cos 2cos BF CE B C +或cos cos NE MFC B=即可. 由条件知MFH △∽NEH △,故sin cos sin cos MF FH AH BAD BNE HE AH CAD C∠===∠.结论证毕. 9.ABC △的内切圆切边AC 、BC 于点M 、N ,直线l 与该内切圆切于劣弧MN 内一点,l 分别交NC 、MC 于点P 、Q .T 为AP 与BQ 的交点.证明:T 在线段MN 上.解析 设AP 交MN 于点1T ,ABC △的内切圆切l 与AB 于点X 、Y .AP 交XY 于点2T ,先证:1T 与2T 重合.由正弦定理,可知11sin sin PT PNCNM PT N =∠∠, 11sin sin AT AMAMN AT M=∠∠, 结合11PT N AT M ∠=∠,180180AMN CMN CNM ∠=-∠=-∠,可知11PT PN AT AM =.同理可证:22PT PXAT AY=.所以,由PX PN =及AM AY =,可知1212PT PT AT AT =,即1T 与2T 重合.这表明AP 过MN 与XY 的交点. 类似可知,BQ 与MN 与XY 的交点.所以,AP 与BQ 的交点在线段MN 上.10. 在ABC △中,90A ∠=︒,AB AC <.D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 上的点,使得四边形AFDE为正方形.设A l 为过A 所作ABC △的外接圆的切线.证明:BC 、EF 和A l 三线共点.解析 设A l 交直线BC 于点G ,连GF 延长交AC 于点E '.只需证明E 与E '重合. 记ABC △的三边长分别为a 、b 、c ,而正方形AFDE 的边长为x .则由DF FB AC AB =,可知x c xb c-=,故C Q XP lMN TAYBCE AD FB Gbcx b c=+. 由AG 为ABC △外接圆的切线,得BAG C ∠=∠,而AGC ∠为公共角,故ABG △∽CAG △,从而AB BG AG CA AG GC ==,于是222GB BG AG AG c GC AG GC CA b ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭,即22GB c a GB b =+,从而222ac GB b c =-,结合BD DF x BC CA b ==,可知ac BD b c =+,故22222ac ac abc GD b c b c b c =+=-+-,22222b ab GC GB c b c =⋅=-.所以DF CE ='GD c GC b=,即2b CE bc '=+. 而2bc b CE b x b b c b c=-=-=++.所以CE CE '=,故E 与E '重合,命题获证. 11. AC 、BD 均为圆的切线,AB 是该圆的一条能弦,CD 与圆交于点Q 、P ,已知AP BP =,点M为AB 中点,求证:点M 、R 、Q 共线,这里R 为AD 与BC 的交点.解析 连结MC 、MR 、MD ,易知题目无非是要证明 CMR DMR S CQS DQ =△△. 易知12CMRACR S S =△△,12DMR BDR S S =△△,2AC CQ CP =,2BD DQ DP =,于是问题转变为求证 22ACR BDR S AC BDS BD CP⋅=⋅△△. 由切线性质知CAB DBA ∠=∠,于是根据三角形面积公式,有 ACR ABC ACD ACDBDR DBC ABD CBD S S S S AR CR AC S DR BR S S BD S ⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△△△, 于是待证式又变为求证 ACD CBD S AC DPS BD CP ⋅=⋅△△. 事实上, ACPACD ACP CBDPBD PBD CDS S S DP DP AC CP CD S CP S CP BD S DP⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△, 这是由于AP BP =,且CAP DBP ∠=∠.A MBC QPDR。

初中数学竞赛第二轮专题复习(2)几何

初中数学竞赛第二轮专题复习(2)几何

初中数学竞赛第二轮专题复习(2)几何证明的基本方法(1)一、常用定理梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','C B A 三点共线,则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。

塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','CC BB AA 三线平行或共点,则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 所在直线上的点,则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABCD 为任意凸四边形,则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD,当且仅当A,B ,C ,D 四点共圆时取等号.斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点,P 不同于B ,C ,则有AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP -BP •PC 。

初中数学竞赛:点共线、线共点

初中数学竞赛:点共线、线共点

初中数学竞赛 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。

1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。

n (n ≥4)点共线可转化为三点共线。

例1 如图,设线段AB 的中点为C ,以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ,BFCG 。

又作平行四边形CFHD ,CGKE 。

求证:H ,C ,K 三点共线。

证 连AK ,DG ,HB 。

由题意,AD EC KG ,知四边形AKGD 是平行四边形,于是AK DG 。

同样可证AK HB 。

四边形AHBK 是平行四边形,其对角线AB ,KH 互相平分。

而C 是AB 中点,线段KH 过C 点,故K ,C ,H 三点共线。

例2 如图所示,菱形ABCD 中,∠A =120O 为△ABC 外接圆,M 为其上一点,连接MC 交AB 于E ,AM 交CB 延长线于F 。

求证:D ,E ,F 三点共线。

证 如图,连AC ,DF ,DE 。

因为M在O 上,则∠AMC =60°=∠ABC =∠ACB有△AMC ∽△ACF ,得CDCFCA CF MA MC ==。

又因为∠AMC =BAC ,所以△AMC ∽△EAC ,得AEADAE AC MA MC ==。

所以AEADCD CF =,又∠BAD =∠BCD =120°,知△CFD ∽ △ADE 。

所以∠ADE =∠DFB 。

因为AD ∥BC ,所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ,于是F ,E ,D 三点共线。

AB CD E FH K G例3 四边形ABCD 内接于圆,其边AB 与DC 的延长线交于点P ,AD 与BC 的延长线交于点Q 。

由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ,切点分别为E ,F 。

求证:P ,E ,F 三点共线。

证 如图。

连接PQ ,并在PQ 上取一点M ,使得B ,C ,M ,P 四点共圆,连CM ,PF 。

初中数学竞赛精品标准教程及练习36三点共线

初中数学竞赛精品标准教程及练习36三点共线

初中数学竞赛精品标准教程及练习36三点共线三点共线是初中数学中的基本概念之一,也是几何中的重要概念之一、本文将从定义、判定、性质等方面介绍三点共线的相关内容。

一、定义在平面直角坐标系中,如果三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)的坐标满足斜率关系式:(y2-y1)/(x2-x1)=(y3-y1)/(x3-x1),则称三个点A、B、C共线。

二、判定要判断三个点A、B、C是否共线,可以利用斜率判定法来判断。

具体步骤如下:1.计算点A(x1,y1)和点B(x2,y2)的斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1);2.计算点B(x2,y2)和点C(x3,y3)的斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2);3.如果k1=k2,则三个点A、B、C共线;如果k1≠k2,则三个点不共线。

三、性质1.任意两点确定一条直线。

即三点共线的必要条件是任意两点的斜率相等。

2.如果三个点A、B、C共线,那么它们所在的直线上的任意一点都可以表示为tA+(1-t)C的形式,其中t为任意实数。

3.如果A、B、C三点不共线,那么它们所在的直线称为折线。

四、示例练习练习1:已知三点A(1,2)、B(2,3)、C(3,4),判断它们是否共线。

解:计算斜率k1=(3-2)/(2-1)=1,k2=(4-3)/(3-2)=1,由此可知k1=k2,所以三点A、B、C共线。

练习2:已知三点A(-1,3)、B(2,2)、C(5,1),判断它们是否共线。

解:计算斜率k1=(2-3)/(2-(-1))=1/3,k2=(1-2)/(5-2)=-1/3,由此可知k1≠k2,所以三点A、B、C不共线。

练习3:已知三点A(7,8)、B(5,6)、C(-1,-2),判断它们是否共线。

解:计算斜率k1=(6-8)/(5-7)=1,k2=(-2-6)/(-1-5)=1,由此可知k1=k2,所以三点A、B、C共线。

本文从定义、判定、性质等方面介绍了三点共线的相关内容,并通过练习加深了对三点共线概念的理解。

初中数学竞赛证明三点共线

初中数学竞赛证明三点共线

初中数学竞赛证明三点共线要证明三点共线,我们可以使用反证法。

假设有三个点A,B和C,我们要证明它们共线。

那么我们可以假设它们不共线,即A,B和C不在同一条直线上。

首先,我们可以连接AB和AC这两条线段。

这样我们就得到了一个三角形ABC。

在三角形ABC中,我们可以找到一个内角D,使得D是一个钝角。

我们假设D是钝角。

现在,我们将点B向点C移动。

点B移动到B',新的线段BB'与AC相交于点E。

由于AB'与AC相交于E,所以根据隐含的直角定理,我们可以得知E是一个直角,即∠AEB'=90°。

同理,我们将点C向点B移动,点C移动到C',新的线段CC'与AB相交于点F。

由于AC'与AB相交于F,我们可以得知F是一个直角,即∠AFC'=90°。

现在,我们来考虑线段BB'和CC'的关系。

根据直线的传递性,我们可以得知∠EAF'=∠CFB'。

同时,根据直角的性质,我们可以得知∠EAF'=∠CAF'和∠CFB'=∠CBF'。

因此,∠CBF'=∠CAF'。

现在,考虑三角形BC'F'和AC'F'。

根据共边原理,我们可以得知∠C'BF'=∠A'CF'和∠F'CB'=∠F'CA'。

因此,∠C'BF'=∠A'C F'。

现在,我们来考虑三角形BC'F'和BA'F'。

根据角边对应原理,我们可以得知∠C'BF'=∠B'AF'和∠F'CB'=∠F'BA'。

因此,∠C'BF'=∠B'AF'。

现在,我们来考虑线段ABB'和ACC'的关系。

关于点共线、线共点问题的多种证法

关于点共线、线共点问题的多种证法

关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名:贾娟 指导教师:杨慧摘要: 在初等几何中,我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。

而射影几何的基本不变性是点线的结合性,因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。

对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多,本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题,通过比较发现具体问题用哪种方法更合适,以及解题时需要注意的问题。

关键词: 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生,将来若想成为一名合格的中学数学教师,就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。

而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。

对于高等几何到来说,尤其是其中的射影几何,既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容,也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。

因此,学习高等几何知识,不仅使我们开阔了几何学的视野,也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。

比如初等几何中点共线、线共点的问题,在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。

如果只是用初等几何方法去解决,有时会很复杂,相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决,会更简便。

这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。

用高等几何的观点指导初等几何的教学内容,进而不断地改进初等几何的教学方式,这样也有助于提高中学几何的教学质量。

1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应:定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。

同理,如果两个点列与同一线束成透视对应,则这两个点列叫做透视点列;如果两个线束与同一点列成透视对应,则这两个线束叫透视线束。

由此可知,两个成透视对应的点列,其对应点之连线共点。

中考数学难点旋转最值三点共线问题

中考数学难点旋转最值三点共线问题

中考数学难点旋转最值三点共线问题旋转最值三点共线问题是中考数学中的难点之一。

解决这个问题需要掌握旋转、最值和共线等概念,以及相应的解题方法。

本文将为大家详细介绍这个难点问题的解题思路和步骤,帮助大家更好地应对中考数学考试。

1. 问题描述假设平面上有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3),我们需要找到一个旋转中心O,使得当点A绕O旋转时,点B和C始终保持共线。

我们需要求解旋转中心O的坐标。

2. 解题思路为了求解旋转中心O的坐标,我们可以从两个方面入手,分别是旋转角度和旋转中心的坐标。

首先,我们可以假设旋转中心O的坐标为(x, y),然后通过计算旋转角度来确定旋转中心的位置。

接下来,我们根据最值和共线的概念,构建方程组,进而求解旋转中心的坐标。

3. 计算旋转角度为了构建方程组,我们需要先确定旋转角度。

根据题目要求,点B和C始终保持共线,说明它们的斜率相等。

我们可以求解点B和C的斜率,然后通过斜率之间的关系来确定旋转角度。

斜率的计算公式为:k = (y2 - y1) / (x2 - x1)设斜率k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1),斜率k2 = (y3 - y1) / (x3 - x1)由于点B和C始终共线,则k1 = k2,即 (y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 -y1) / (x3 - x1)化简上述方程,得到:(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)4. 求解旋转中心坐标通过4.计算旋转角度中的方程,我们得到了一个等式,然后我们将旋转中心的坐标代入该等式,从而求解旋转中心坐标。

具体步骤如下:将旋转中心坐标(x, y)代入方程,得到:(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)展开并整理得到:(x2 - x1) * y + (y2 - y1) * x = (x2 * y1 - x1 * y2) + (x1 * y3 - x3 * y1)由上述方程可知,旋转中心的坐标可以通过求解线性方程组来获得。

初中数学竞赛专题选讲三点共线

初中数学竞赛专题选讲三点共线

初中数学竞赛专题选讲三点共线一、内容提要1. 要证明A ,B ,C 三点在同一直线上, A 。

B 。

C 。

常用方法有:①连结AB ,BC 证明∠ABC 是平角②连结AB ,AC 证明AB ,AC 重合③连结AB ,BC ,AC 证明 AB +BC =AC④连结并延长AB 证明延长线经过点C2. 证明三点共线常用的定理有:① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤ 两圆相切,切点在连心线上⑥ 轴对称图形中,若对应线段(或延长线)相交,则交点在对称轴上二、例题例1.已知:梯形ABCD 中,AB ∥CD ,点P 是形内的任一点,PM ⊥AB ,PN ⊥CD求证:M ,N ,P 三点在同一直线上 证明:过点P 作EF ∥AB , ∵AB ∥CD ,∴EF ∥CD ∠1+∠2=180 ,∠3+∠4=180∵PM ⊥AB ,PN ⊥CD∴∠1=90 ,∠3=90 ∴∠1+∠3=180∴ M ,N ,P 三点在同一直线上例2.求证:平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点,三点在同一直线上已知:平行四边形ABCD 中,M ,N 分别是AD 和BC 的中点,O 是AC 和BD 的交点求证:M ,O ,N 三点在同一直线上证明一:连结MO ,NO ∵MO ,NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线∴MO ∥AB ,NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行4321A B C D F E N M P O A B C D M N∴ M ,O ,N 三点在同一直线上证明二:连结MO 并延长交BC 于N, ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中∵AO =OC ,ON ,∥AB∴BN ,=N ,C ,即N ,是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点,∴点N ,和点N 重合∴ M ,O ,N 三点在同一直线上例3.已知:梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A +∠B =90 ,M ,N 分别是AB和CD 的中点,BC ,AD 的延长线相交于P求证:M ,N ,P 三点在同一直线上 证明:∵∠A +∠B =90 ,∠APB =Rt ∠连结PM ,PN根据直角三角形斜边中线性质 PM =MA =MB ,PN =DN =DC ∴∠MPB =∠B ,∠NPC =∠B∴PM 和PN 重合 ∴M ,N ,P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中,点A 关于横轴的对称点为B ,关于纵轴的对称点是C ,求证B 和C 是关于原点O 的对称点 Y 解:连结OA ,OB ,OC ∵A ,B 关于X 轴对称, C A ∴OA =OB ,∠AOX =∠BOX 同理OC =OA ,∠AOY =∠COY ∴∠COY +∠BOX =90 O X ∴B ,O ,C 三点在同一直线上 ∵OB =OC∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 B 例5.已知:⊙O 1和⊙O 2相交于A ,B 两点,过点B 的直线EF 分别交⊙O 1和⊙O 2于E ,F 。

数学初中竞赛大题训练:几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练:几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练:几何专题1.阅读理解:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”.证明“四点共圆”判定定理有:1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆;2、若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆.例:如图1,若∠ADB=∠ACB,则A,B,C,D四点共圆;或若∠ADC+∠ABC=180°,则A,B,C,D四点共圆.(1)如图1,已知∠ADB=∠ACB=60°,∠BAD=65°,则∠ACD=55°;(2)如图2,若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点,且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE 的长;(3)如图3,正方形ABCD的边长为4,等边△EFG内接于此正方形,且E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AE=3,求EF的长.解:(1)∵∠ADB=∠ACB=60°,∴A,B,C,D四点共圆,∴∠ACD=∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣60°﹣65°=55°,故答案为:55°;(2)在线段CA取一点F,使得CF=CD,如图2所示:∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB,∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°,∴∠AFD=135°,∵BE⊥AB,∠ABC=45°,∴∠ABE=90°,∠DBE=135°,∴∠AFD=∠DBE,∵AD⊥DE,∴∠ADE=90°,∵∠FAD+∠ADC=90°,∠ADC+∠BDE=90°,∴∠FAD=∠BDE,在△ADF和△DEB中,,∴△ADF≌△DEB(ASA),∴AD=DE,∵∠ADE=90°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴AE=AD=2;(3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点,连接AK,BK,如图3所示:∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°,∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆,∴∠KBE=∠EGK=60°,∠EAK=∠EFK=60°,∴△ABK是等边三角形,∴AB=AK=KB=4,作KM⊥AB,则M为AB的中点,∴KM=AK•sin60°=2,∵AE=3,AM=AB=2,∴ME=3﹣2=1,∴EK===,∴EF===.2.问题再现:如图1:△ABC 中,AF 为BC 边上的中线,则S △ABF =S △ACP =S △ABC由这个结论解答下列问题:问题解决:问题1:如图2,△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,BE 为AC 边上的中线,则S △BOC =S 四边形ADOE .分析:△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,则S △BCD =S △ABC ,BE 为AC 边上的中线,则S △ABE =S △ABC∴S △BCD =S △ABE∴S △BCD ﹣S △BOD =S △ABE ﹣S △BOD又∵S △BOC =S △BCD ﹣S △BOD ,S 四边形ADOE =S △ABE ﹣S △BOD即S △BOC =S 四边形ADOE问题2:如图3,△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,BE 为AC 边上的中线,AF 为BC 边上的中线.(1)S △BOD =S △COE 吗?请说明理由.(2)请直接写出△BOD 的面积与△ABC 的面积之间的数量关系:S △BOD =S △ABC .问题拓广:(1)如图4,E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点,请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系:S 阴= S 四边形ABCD . (2)如图5,E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点,请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系:S 阴= S 四边形ABCD .(3)如图6,E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点,若S △AME =1、S △BNG =1.5、S △CQF =2、S △DPH =2.5,则S 阴= 7 .解:问题2:S △BOD =S △COE 成立,理由:∵△ABC 中,CD 为AB 边上的中线,∴S △BCD =S △ABC ,∵BE 为AC 边上的中线,∴S △CBE =S △ABC∴S △BCD =S △CBE∵S △BCD =S △BOD +S △BOC ,S △CBE =S △COE +S △BOC∴S △BOD =S △COE(2)由(1)有S △BOD =S △COE ,同(1)方法得,S △BOD =S △AOD ,S △COE =S △AOE ,S △BOF =S △COF ,∴S △BOD =S △COE =S △AOE =S △AOD ,∵点O 是三角形三条中线的交点,∴OA =2OF ,∴S △AOC =2S △COF =S △AOE +S △COE =2S △COE ,∴S △COF =S △COE ,∴S △BOD =S △COE =S △AOE =S △AOD =S △BOF =S △COF ,∴S △BOD =S △ABC , 故答案为问题拓广:(1)如图4:连接BD,由问题再现:S△BDE =S△ABD,S△BDF =S△BCD,∴S阴影=S四边形ABCD,故答案为,(2)如图5:连接BD,由问题解决:S△BMD =S△ABD,S△BDN=S△BCD,∴S阴影=S四边形ABCD,故答案为;(3)如图6,设四边形的空白区域分别为a,b,c,d,∵S△AME =1、S△BNG=1.5、S△CQF=2、S△DPH=2.5,由(1)得出:a+1+2.5=a+3.5=S△ACD①,c+1.5+2=c+3.5=S△ACB②,b +1+1.5=b +2.5=S △ABD ③,d +2+2.5=d +4.5=S △BCD ④,①+②+③+④得,a +3.5+c +3.5+b +2.5+d +4.5=a +b +c +d +14=S 四边形ABCD ⑤而S 四边形ABCD =a +b +c +d +7+S 阴影⑥∴S 阴影=7,故答案为7.3.如图,在△ABC 中,AB >AC ,内切圆⊙I 与边BC 切于点D ,AD 与⊙I 的另一个交点为E ,⊙I 的切线EP 与BC 的延长线交于点P ,CF ∥PE 且与AD 交于点F ,直线BF 与⊙I 交于点M 、N ,M 在线段BF 上,线段PM 与⊙I 交于另一点Q .证明:∠ENP =∠ENQ .证明:如图,设⊙I 与AC 、AB 分别切于点S 、T ,连接ST 、AI 、IT ,设ST 与AI 交于点G .则IE ⊥PE ,ID ⊥PD ,故I 、E 、P 、D 四点共圆,∵AS 2=AE •AD =AG •AI ,∵∠EAG =∠DAI ,∴△AEG ∽△AID ,∴∠AGE=∠AID,∴E,G,D,I四点共圆,∴I、G、E、P、D五点共圆,∴∠IGP=∠IEP=90°,即IG⊥PG,∴P、S、T三点共线,对直线PST截△ABC,由梅涅劳斯定理知,∵AS=AT,CS=CD,BT=BD,∴,设BN的延长线与PE交于点H,对直线BFH截△PDE,由梅涅劳斯定理知,∵CF∥BE,∴,∴,∴PH=HE,∴PH2=HE2=HM•HN,∴,∴△PHN∽△MHP,∴∠HPN=∠HMP=∠NEQ,∵∠PEN=∠EQN,∴∠ENP=∠ENQ.4.如图,△ABC的垂心为H,AD⊥BC于D,点E在△ABC的外接圆上,且满足,直线ED交外接圆于点M.求证:∠AMH=90°.证明:作高BP,CQ.连结MB、MC、MP、MQ、PQ.===•①=•=•②由①②得:=,又∵∠MBA=∠MCA,∴△MBQ∽△MCP,∴点M、A、P、Q四点共圆,即点M、A、P、Q、H五点共圆,又AH为直径,∴∠AMH=90°.5.如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD 和AC交于点N.求证:OH⊥MN.证明:∵A 、C 、D 、F 四点共圆,∴∠BDF =∠BAC又∵∠OBC =(180°﹣∠BOC )=90°﹣∠BAC ,∴OB ⊥DF .∵CF ⊥MA ,∴MC 2﹣MH 2=AC 2﹣AH 2(①)∵BE ⊥NA ,∴NB 2﹣NH 2=AB 2﹣AH 2 (②)∵DA ⊥BC ,∴BD 2﹣CD 2=BA 2﹣AC 2 (③)∵OB ⊥DF ,∴BN 2﹣BD 2=ON 2﹣OD 2 (④)∵OC ⊥DE ,∴CM 2﹣CD 2=OM 2﹣OD 2,①﹣②+③+④﹣⑤,得NH 2﹣MH 2=ON 2﹣OM 2 MO 2﹣MH 2=NO 2﹣NH 2∴OH ⊥MN .6.在图1到图4中,已知△ABC 的面积为m .(1)如图1,延长△ABC 的边BC 到点D 使CD =BC ,连接DA ,若△ACD 的面积为S 1,则S 1= m .(用含m 的式子表示)(2)如图2,延长△ABC 的边BC 到点D ,延长边CA 到点E ,使CD =BC ,AE =CA ,连接DE .若△DEC 的面积为S 2,则S 2= 2m .(用含a 的代数式表示)(3)如图3,在图2的基础上延长AB 到点F ,使BF =AB ,连接FD 于E ,得到△DEF ,若阴影部分的面积为S 3,则S 3= 6m .(用含a 的代数式表示)(4)可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF ,如图3,此时,我们称△ABC 向外扩展了一次.可以发现扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 7 倍.(5)应用上面的结论解答下面问题:去年在面积为15平方面的△ABC 空地上栽种了各种花卉,今年准备扩大种植规模,把△ABC 内外进行两次扩展,第一次由△ABC 扩展成△DEF ,第二次由△DEF 扩展成△MGH ,如图4,求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?解:(1)∵CD =BC ,∴△ABC 和△ACD 的面积相等(等底同高),故得出结论S 1=m .(2)连接AD ,,∵AE =CA ,∴△DEC 的面积S 2为△ACD 的面积S 1的2倍,故得出结论S 2=2m .(3)结合(1)(2)得出阴影部分的面积为△DEC 面积的3倍, 故得出结论则S 3=6m .(4)S △DEF =S 阴影+S △ABC=S 3+S △ABC=6m +m=7m=7S △ABC故得出结论扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍.(5)根据(4)结论可得两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为(7×7﹣1)×15=720(平方米),答:求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为720平方米.7.(1)如图①,AD 是△ABC 的中线,△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系?为什么?(2)若三角形的面积记为S ,例如:△ABC 的面积记为S △ABC ,如图②,已知S △ABC =1,△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ,求四边形BDOE 的面积.小华利用(1)的结论,解决了上述问题,解法如下:连接BO ,设S △BEO =x ,S △BDO =y ,由(1)结论可得:S,S △BCO =2S △BDO =2y ,S △BAO =2S △BEO =2x . 则有,即. 所以.请仿照上面的方法,解决下列问题: ①如图③,已知S △ABC =1,D 、E 是BC 边上的三等分点,F 、G 是AB 边上的三等分点,AD 、CF 交于点O ,求四边形BDOF 的面积.②如图④,已知S △ABC =1,D 、E 、F 是BC 边上的四等分点,G 、H 、I 是AB 边上的四等分点,AD 、CG 交于点O ,则四边形BDOG 的面积为 .解:(1)S △ABD =S △ACD .∵AD 是△ABC 的中线,∴BD =CD ,又∵△ABD 与△ACD 高相等,∴S △ABD =S △ACD .(2)①如图3,连接BO ,设S △BFO =x ,S △BDO =y ,S △BCF =S △ABD =S △ABC =S △BCO =3S △BDO =3y ,S △BAO =3S △BFO =3x . 则有,即,所以x +y =,即四边形BDOF 的面积为;②如图,连接BO ,设S △BDO =x ,S △BGO =y ,S△BCG =S△ABD=S△ABC=,S△BCO =4S△BDO=4x,S△BAO =4S△BGO=4y.则有,即,所以x+y=,即四边形BDOG的面积为,故答案为:.8.我们初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:平方差公式、完全平方公式.【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证:13+23=32?【解决问题】A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.由此可得:13+23=32【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33=62.要求:自己构造图形并写出详细的解题过程.【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3=.(参考公式:)注意:只需填空并画出图形即可,不必写出解题过程.【提炼运用】如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,如图(1)中,共有1个小立方体,其中1个看的见,0个看不见;如图(2)中,共有8个小立方体,其中7个看的见,1个看不见;如图(3)中,共有27个小立方体,其中19个看的见,8个看不见;求:从第(1)个图到第(101)个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数.解:【递进探究】如图,A表示一个1×1的正方形,即:1×1×1=13,B、C、D表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23,E、F、G表示3个3×3的正方形,即:3×3×3=33,而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形,边长为:1+2+3=6,,∵S A+S B+S C+S D+S E+S F+S G=S大正方形∴13+23+33=62;【推广探究】由上面表示几何图形的面积探究知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2,又∵1+2+3+…+n=,∴13+23+33+…+n3=()2=.【提炼运用】图(1)中,共有1个小立方体,其中1个看的见,0=(1﹣1)3个看不见;如图(2)中,共有8个小立方体,其中7个看的见,1=(2﹣1)3个看不见;如图(3)中,共有27个小立方体,其中19个看的见,8=(3﹣1)3个看不见;…,从第(1)个图到第(101)个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为:(1﹣1)3+(2﹣1)3+(3﹣1)3+…+(101﹣1)3=03+13+23+…+1003=50502=25502500.故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500.故答案为:62;.9.问题引入:如图,在△ABC中,D是BC上一点,AE=AD,求:尝试探究:过点A作BC的垂线,垂足为F,过点E作BC的垂线,垂足为G,如图所示,有=,=,.类比延伸:若E为AD上的任一点,如图所示,试猜S四边形ABEC 与S△ABC的比是图中哪条线段的比,并加以证明.拓展应用:如图,E为△ABC内一点,射线AE于BC于点D,射线BE交AC于点F,射线CE交AB于点G,求的值.解:问题引入:∵在△ABC中,D是BC上一点,AE=AD,∴,,∴==;尝试探究:∵AE=AD,∴=,∵AF⊥BC,EG⊥BC,∴AF∥EG,∴△EDG∽△ADB,∴=;∵===,∴=1﹣=;故答案为:,,;类比延伸:=,∵E为AD上的一点,∴=,=,∴==;拓展应用:∵==,同理:=,=,∴==2.10.如图,在凸四边形ABCD中,M为边AB的中点,且MC=MD,分别过点C、D作边BC、AD 的垂线,设两条垂线的交点为P,过点P作PQ⊥AB于Q,求证:∠PQC=∠PQD.证明:连接AP、BP,取AP的中点E,取BP的中点F,连接DE、ME、QE、CF、QF、MF,如图.∵E为AP的中点,F为BP的中点,M为AB的中点,∴EM∥BP,EM=BP,MF∥AP,MF=AP.∵E为AP的中点,F为BP的中点,∠ADP=∠BCP=90°,∴DE=AE=EP=AP,FC=PF=BF=BP,∴DE=MF,EM=FC.在△DEM和△MFC中,,∴△DEM≌△MFC(SSS),∴∠DEM=∠MFC.∵EM∥BP,MF∥AP,∴四边形PEMF是平行四边形,∴∠PEM=∠PFM.又∵∠DEM=∠MFC,∴∠DEP=∠CFP.∵DE=AE,FC=BF,∴∠DAE=∠ADE=∠DEP,∠FBC=∠FCB=∠CFP,∴∠DAE=∠FBC,即∠DAP=∠PBC.∵∠ADP=∠AQP=90°,E为AP中点,∴ED=EA=EQ=EP=AP,∴D、A、Q、P四点共圆,∴∠PQD=∠DAP.同理可得:∠PQC=∠PBC,∴∠PQD=∠PQC.11.如图:D是以AB为直径的圆O上任意一点,且不与点A、B重合,点C是弧BD的中点,作CE∥AB,交AD或其延长线于E,连接BE交AC与G,AE=CE,过C作CM⊥AD交AD延长线于点M,MC与⊙O相切,CE=7,CD=6,求EG的长.解:连接OC,如图.∵MC与⊙O相切,∴OC⊥MC.∵CM⊥AD,∴OC∥AM.∵CE∥AB,∴四边形AOCE是平行四边形,∴OA=CE=7,∴AB=14.∵点C是弧BD的中点,∴BC=CD=6.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC===4.∵CE∥AB,∴△CGE∽△AGB,∴===,∴AG=AC=.在Rt△ACB中,cos∠BAC===.∵点C是弧BD的中点,∴∠BAC=∠CAD,即∠BAC=∠EAG,∴cos∠EAG=.在△EAG中,cos∠EAG=.∴=.∵AG=,AE=CE=7,∴=.整理得:GE2=.∵GE>0,∴GE=.∴EG的长为.12.如图,圆内接四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于E,AD、BC延长线交于F,EF中点为G,AG与圆交于K.求证:C、E、F、K四点共圆.证明:延长AG到H,使得GH=AG,连接EH、FH、CK,如图所示.∵GH=AG,EG=FG,∴四边形AEHF是平行四边形,∴∠EAG=∠GHF,∠GAF=∠GHE.∵A、B、C、K四点共圆,∴∠KCF=∠EAG,∴∠KCF=∠GHF,∴K、C、H、F四点共圆.∵K、C、A、D四点共圆,∴∠KCD=∠KAF,∴∠KCD=∠GHE,∴K、C、E、H四点共圆,∴K、C、E、H、F五点共圆,∴C、E、F、K四点共圆.13.在半圆O中,AB为直径,一直线交半圆周于C、D,交AB延长线于M(MB<MA,AC<MD),设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点,求证:∠MKO=90°.证明:连接CK,BK,BC,如图所示.∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°,∴∠OAC+∠ABC=90°.∵A、B、C、D四点共圆,∴∠BDC=∠BAC.∵A、O、C、K四点共圆,∴∠CKO=∠OAC.∵D、O、B、K四点共圆,∴∠BKO=∠BDO.∴∠BKC=∠BKO﹣∠CKO=∠BDO﹣∠OAC.∵OB=OD,∴∠ABD=∠BDO.∴∠BMC=∠ABD﹣∠BDC=∠BDO﹣∠BAC=∠BKC.∴B、C、K、M四点共圆.∴∠ABC=∠MKC.∴∠MKO=∠MKC+∠CKO=∠ABC+∠OAC=90°.14.已知,在△ABC中,AC>AB,BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E,与BC相交点D,DE与AC相交于点F.(1)如图1,当∠ABC=3∠ACB时,求证:AB=AE;(2)如图2,当∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,过点D作AC的垂线,垂足为点H,并延是点D关于直线AC的对长DH交射线AE于点M,过点E作BP的垂线,垂足为点G,点D1称点,试探究AG和MD之间的数量关系,并证明你的结论.1解:(1)证明:连接BF,如图1.设∠A CB=x,则∠ABC=3x,∵FD垂直平分BC,∴FB=FC,∴∠FBC=∠FCB=x,∴∠ABF=∠AFB=2x,∴AB=AF,∠PAC=4x.∵AE平分∠PAC,∴∠EAC=2x.∵∠AFE=∠DFC=90°﹣x,∴∠AEF=180°﹣∠EAF﹣∠AFE=180°﹣2x﹣(90°﹣x)=90°﹣x,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AB=AE..(2)AG=MD1证明:作EN⊥AC于N,取EC中点O,、NM、MC、MO、NO、EB、EC,如图2.连接AD1∵AE平分∠PAC,EN⊥AC,EG⊥AP,∴EG=EN,∠EGA=∠ENA=90°.∵∠BAC=90°,∴∠EGA=∠ENA=∠BAC=90°,∴四边形EGAN是矩形.∵EG=EN,∴矩形EGAN是正方形,∴AG=AN,∠EAN=45°,∠GEN=90°.∵ED垂直平分BC,∴EB=EC.在Rt△BEG和Rt△CEN中,,∴Rt△BEG≌Rt△CEN(HL),∴∠GBE=∠NCE,∠GEB=∠NEC,∴∠GEN=∠BEC=90°∵EB=EC,∴∠ECB=∠EBC=45°.∵∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,∴∠ABC=60°,∠ACB=30°,∴∠ABE=∠ACE=15°.∵∠BAC=90°,点D为BC中点,∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA=30°.∵点D与点D关于AC对称,1AC=∠DAC=30°,∴∠D1=45°﹣30°=15°.∴∠MAD1∵DA=DC,DM⊥AC,∴DM垂直平分AC,∴MA=MC,∴∠CMH=∠AMH=90°﹣45°=45°,∴∠AMC=90°,∴∠ENC=∠AMC=90°.∵点O为EC中点,∴ON=OM=OE=OC=EC,∴E、N、C、M四点共圆,∴∠EMN=∠ECN=15°,∴∠MAD=∠EMN=15°,1中,在△AMN和△MAD1,,∴△AMN≌△MAD1,∴AN=MD1.∴AG=MD115.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C.(1)如图1,E为线段OB上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+EF的值;(2)如图2,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连接DA、CE、F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?若不变,求其值;若改变,求其变化范围.解:(1)∵AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C,∴∠ABO=∠ACO=90°.∵∠BOC=90°,∴四边形ABOC是正方形,∴AB=AC=BO=CO=2,OA平分∠BOC,∠BAC=90°.∵AF⊥AE,∴∠EAF=90°,∴∠BAC=∠EAF,∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC,即∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中,,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF,BE=CF.设BE=CF=t,OE=2﹣t,OF=2+t.∵ED平分∠OEF,∴点D是△OEF的内心.如图1,作DM⊥OB于M,作DH⊥OF于H,且DG⊥EF于G,∴DG=DM=DH,∴四边形MOHD是正方形,∴MO=HO=DM=DG.设DG=MO=x,∴x=,∴x=,∴EF=4﹣2x,∴WF=2﹣x.∴DG+EF=x+2﹣x=2.即DG+EF的值为2;(2)∠KBF的大小不变,∠KBF=45°如图2,延长BF交AC于G,连接KG,作KM⊥AB于M,KN⊥AC于N,∵四边形ABOC是正方形,∴O B∥AC.∴∠EBF=∠CGF,∠BEF=∠GCF.∵F是CE的中点,∴EF=CF.在△BEF和△GCF中,,∴△BEF≌△GCF(AAS),∴BF=GF.∵BF⊥FK,∴∠BFK=∠GFK=90°.在△BFK和△GFK中,,∴△BFK≌△GFK(SAS)∴BK=GK.∵AC=CD,∠ACD=90°,∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°.∵KN⊥AC,∴∠ANK=90°,∴∠AKN=45°,∴AN=KN.∵KM⊥AB,∴四边形AMKN是正方形,∴KM=KN.∠M=∠GNK=90°AM∥KN.在Rt△BKM和Rt△GKN中,,∴Rt△BKM≌Rt△GKN(HL),∴∠MBK=∠NGK.∠GKN=∠BKM.∵AM∥KN,∴∠BKN=∠MBK.∵∠BKM+∠BKN=90°,∴∠GKN+∠BKN=90°,即∠BKG=90°.∵BK=GK,∴△BKG是等腰直角三角形.∴∠KBF=45°,∴∠KBF的大小不变,∠KBF=45°.16.如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,直线MN⊥AB于A,且分别与⊙O1,⊙O2交于M、N,P为线段MN的中点,又∠AO1Q1=∠AO2Q2,求证:PQ1=PQ2.解:连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2,过点P作PH⊥Q1B于H,如图所示.则由圆内接四边形的性质可得:∠Q1MA+∠ABQ1=180°,∠ABQ2+∠ANQ2=180°,∠MAB=∠BQ2N.由圆周角定理可得:∠ABQ 1=∠AO 1Q 1,∠ANQ 2=∠AO 2Q 2. ∵∠AO 1Q 1=∠AO 2Q 2, ∴∠ABQ 1=∠ANQ 2, ∴∠ABQ 2+∠ABQ 1=∠ABQ 2+∠ANQ 2=180°, ∴Q 1、B 、Q 2三点共线.由圆内接四边形的性质可得:∠ABQ 1=∠ANQ 2, ∴∠Q 1MA +∠ANQ 2=∠Q 1MA +∠ABQ 1=180°, ∴MQ 1∥NQ 2.∵AB ⊥MN ,∴∠MAB =90°,∴∠Q 1Q 2N =∠MAB =90°. ∵PH ⊥Q 1B ,即∠Q 1HP =90°, ∴∠Q 1HP =∠Q 1Q 2N , ∴PH ∥NQ 2,∴MQ 1∥PH ∥NQ 2.∵P 为线段MN 的中点, ∴H 为线段Q 1Q 2的中点, ∴PH 垂直平分Q 1Q 2, ∴PQ 1=PQ 2.。

初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第14章共点线与共线点试题新人教版(2021年整理)

初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第14章共点线与共线点试题新人教版(2021年整理)

第14章 共点线与共线点§14。

1 梅涅劳斯定理14.1。

1★★设等腰直角三角形,,是中点,在上,,求证: .(试用梅氏定理证明)解析 如图,设与交于,则,由梅氏定理,,得,又,故∽,故。

14。

1。

2★设是锐角三角形的边上的一点,,是边上的一点,,与相交于点,求.解析 由梅涅劳斯定理,,得,,故,。

所以.14.1。

3★证明:锐角三角形一条高线的垂足在另两边及另两条高线的身影在同一直线上。

解析 设的三条高线为、、,在、、、上的身影分别为、、、,欲证、、、共线,先证、、共线.ABC 90A ∠=︒E AC DBC AD BE ⊥A E B ∠=C E D ∠AD BE F224B F A B F E A E ==1C A E F BD AE F B C D ⋅⋅=2B D A BC D C E ==45A B C C ∠=︒=∠A B D △E C D △C E D B A D A E B ∠=∠=∠ABDCE FDABC BC23BD DC =EAC 43AE EC =AD BE F AF BF FD FE ⋅1A F D B C E F D B C E A ⋅⋅=1B F E A C D FE A C D B ⋅⋅=23154AF FD ⋅⋅=43172BF FE ⋅⋅=103AF FD =76BF FE =359A F B F F D F E ⋅=AEFBDCAF P DCS E H R QA B C △AD BE CF D AB BE CF C A P Q R S P Q R S P Q R由梅氏逆定理,知该结论为真,即,最后一步是由于∽.同理,、、共线,故、、、四点共线。

14.1。

4★已知是的高,在内,且,,作与垂直,与垂直,、分别是垂足,连结并延长,交延长线于,求。

解析 如图,设,则由梅氏定理.又由身影定理,,,于是,得。

14.1.5★★如图,已知锐角三角形,是高,在、上的垂足分别是、,延长后交延长线于,若,求。

立体几何的共线.共点.共面问的题目教师版

立体几何的共线.共点.共面问的题目教师版

立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例1. 若ΔABC 所在的平面和ΔA 1B 1C 1所在平面相交,并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ,求证:(1)AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内; (2)如果AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别相交,那么交点在同一直线上(如图).例2. 点P 、Q 、R 分别在三棱锥A-BCD 的三条侧棱上,且PQ ∩BC =X,QR ∩CD =Z,PR ∩BD =Y.求证:X 、Y 、Z 三点共线.例3. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点,求证:P 、Q 、R 三点共线。

1.如图1,正方体1111ABCD A B C D -中,1A C 与截面1DBC 交O 点,AC BD ,交M 点,求证:1C O M ,,三点共线. 证明:连结11A C ,1C ∈平面11A ACC ,且1C ∈平面1DBC ,1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点.又M AC M ∈∴∈,平面11A ACC . M BD M ∈∴∈,平面1DBC .M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点.1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线.O 为1A C 与截面1DBC 的交点, O ∴∈平面11A ACC O ∈,平面1DBC ,即O 也是两平面的公共点. 1O C M ∈∴,即1C M O ,,三点共线.2.如图,在四边形ABCD 中,已知AB∥CD,直线AB ,BC ,AD ,DC 分别与平面α相交于点E ,G ,H ,F .求证:E ,F ,G ,H 四点必定共线(在同一条直线上). 分析:先确定一个平面,然后证明相关直线在这个平面内,最后证明四点共线. 证明 ∵ AB//CD, AB ,CD 确定一个平面β. 又∵AB ∩α=E ,ABβ,∴ E ∈α,E ∈β, 即 E 为平面α与β的一个公共点.同理可证F ,G ,H 均为平面α与β的公共点.∵ 两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴ E ,F ,G ,H 四点必定共线.点 评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,先证明这些点都是某两平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.二、共面问题1.如图3,设P Q R S M N ,,,,,分别为正方体1111ABCD A B C D - 的棱111111AB BC CC C D A D A A ,,,,,的中点, 求证:P Q R S M N ,,,,,共面.证明:如图3,连结1A B MQ NR ,,.P N ,分别为1AB A A ,的中点,1A B PN ∴∥.111A D BC A M BQ ∴,∥∥. M Q ,分别为11A D BC ,的中点,1A M BQ ∴=.∴四边形1A BQM 为平行四边形. 1A B MQ ∴∥.PN MQ ∴∥. 因此,直线PN MQ ,可确定一个平面α.同理,由PQ NR ∥可知,直线PQ NR ,确定一个平面β.过两条相交直线PN PQ ,有且只有一个平面,α∴与β重合,即R α∈. 同理可证S α∈. 因此,P Q R S M N ,,,,,共面.例4. 直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交,交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ,如图,求证:直线a 、b 、c 、m 、n 共面.例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知:如图,直线l 1,l 2,l 3,l 4两两相交,且不共点. 求证:直线l 1,l 2,l 3,l 4在同一平面内例6. 已知:A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点,M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证:M 、N 、R 、T 四点共面.例7. 在空间四边形ABCD 中,M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点,且满足MB AM =NBCN=QD AQ =PDCP=k. (1)求证:M 、N 、P 、Q 共面.(2)当对角线AC =a,BD =b ,且MNPQ 是正方形时,求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)三、共点问题例8. 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行. 1.如图2,已知空间四边形ABCD E F ,,分别是 AB AD ,的中点,G H ,分别是BC CD ,上的点, 且2BG DHGC HC==,求证:EG FH AC ,,相交于同一点P . 错解:证明:E 、F 分别是AB,AD 的中点, EF ∴∥BD,EF=21BD,又2==HC DHGC BG ,∴ GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形,设两腰EG,FH 相交于一点T,2=HCDH ,F 分别是AD.∴AC 与FH 交于一点.∴直线EG,FH,AC 相交于一点正解:证明:E F ,分别是AB AD ,的中点,EF BD ∴∥,且12EF BD =.又2BG DHGC HC ==, GH BD ∴∥,且13GH BD =. EF GH ∴∥,且EF GH >.∴四边形EFHG 是梯形,其两腰必相交,设两腰EG FH ,相交于一点P , EG ⊂∵平面ABC FH ⊂,平面ACD ,P ∴∈平面ABC P ∈,平面ACD ,又平面ABC 平面ACD AC P AC =∴∈,.故EG FH AC ,,相交于同一点P .2. 如图,已知平面α,β,且α∩β=l .设梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且ABα,CDβ,求证:AB ,CD ,l共点(相交于一点).分析:AB ,CD 是梯形ABCD 的两条腰,必定相交于一点M ,只要证明M 在l 上,而l 是两个平面α,β的交线,因此,只要证明M ∈α,且M ∈β即可.证明: ∵ 梯形ABCD 中,AD ∥BC , ∴AB ,CD 是梯形ABCD 的两条腰. ∴ AB ,CD 必定相交于一点, 设 AB ∩CD=M .又∵ ABα,CDβ,∴ M ∈α,且M ∈β. ∴ M ∈α∩β.又∵ α∩β=l ,∴ M ∈l , 即 AB ,CD ,l共点. 点 评:证明多条直线共点时,与证明多点共线是一样的. 1、(1)证明:∵AA 1∩BB 1=O, ∴AA 1、BB 1确定平面BAO ,∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内, ∴AB ⊂平面ABO ;A 1B 1⊂平面ABO.同理可证,BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.(2)分析:欲证两直线的交点在一条直线上,可根据公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内,那么,它们的交点就在这两个平面的交线上. 2证明:如图,设AB ∩A 1B 1=P ; AC ∩A 1C 1=R ;∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1=PR.∵ BC ⊂面ABC ;B 1C 1⊂面A 1B 1C 1, 且 BC ∩B 1C 1=Q ∴ Q ∈PR, 即 P 、R 、Q 在同一直线上.3解析:∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点 ∴过A 、B 、C 有一个平面β 又βα⊂=⋂AB P AB 且,.,,l p l P ∈=⋂∴则设内内又在既在点βααβ .,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈4解析: 证明若干条直线共面的方法有两类:一是先确定一个平面,证明其余的直线在这个平面里;二是分别确定几个平面,然后证明这些平面重合. 证明 ∵a ∥b,∴过a 、b 可以确定一个平面α.∵A ∈a,a ⊂α,∴A ∈α,同理B ∈a.又∵A ∈m ,B ∈m,∴m ⊂α.同理可证n ⊂α.∵b ∥c,∴过b,c 可以确定平面β,同理可证m ⊂β. ∵平面α、β都经过相交直线b 、m,∴平面α和平面β重合,即直线a 、b 、c 、m 、n 共面.5、解析:证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α,然后证其它直线也在α内. 证明:图①中,l 1∩l 2=P , ∴ l 1,l 2确定平面α.又 l 1∩l 3=A,l 2∩l 3=C, ∴ C,A ∈α. 故 l 3⊂α. 同理 l 4⊂α.∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面.图②中,l 1,l 2,l 3,l 4的位置关系,同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面. 所以结论成立.6、证明 如图,连结MN 、NR ,则MN ∥l 1,NR ∥l 2,且M 、N 、R 不在同一直线上(否则,根据三线平行公理,知l 1∥l 2与条件矛盾).∴ MN 、NR 可确定平面β,连结B 1C 2,取其中点S.连RS 、ST ,则RS ∥l 2,又RN ∥l 2,∴ N 、R 、S 三点共线.即有S ∈β,又ST ∥l 1,MN ∥l 1,∴MN ∥ST ,又S ∈β,∴ ST ⊂β. ∴ M 、N 、R 、T 四点共面. 7解析:(1)∵MB AM =QDAQ =k ∴ MQ ∥BD ,且MB AM AM +=1+k k∴BDMQ =AB AM=1+k k∴ MQ =1+k kBD 又NB CN =PDCP=k∴ PN ∥BD ,且NB CN CN +=1+k k∴BD NP =CB CN =1+k k 从而NP =1+k kBD ∴ MQ ∥NP ,MQ ,NP 共面,从而M 、N 、P 、Q 四点共面. (2)∵MA BM =k1,NC BN =k 1∴MA BM =NC BN =k 1,MA BM BM +=11+k ∴ MN ∥AC ,又NP ∥BD.∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角. ∵ MNPQ 是正方形,∴ ∠MNP =90° ∴ AC 与BD 所成的角为90°, 又AC =a ,BD =b ,AC MN =BA BM=11+k ∴ MN =11+k a 又 MQ =11+k b,且MQ =MN , 1+k k b =11+k a ,即k =ba .说明:公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.已知:平面α∩平面β=a ,平面β∩平面γ=b ,平面γ∩平面α=c . 求证:a 、b 、c 相交于同一点,或a ∥b ∥c .证明:∵α∩β=a ,β∩γ=b ∴a 、b ⊂β∴a 、b 相交或a ∥b .(1)a 、b 相交时,不妨设a ∩b =P ,即P ∈a ,P ∈b 而a 、b ⊂β,a ⊂α∴P ∈β,P ∈α,故P 为α和β的公共点 又∵α∩γ=c 由公理2知P ∈c∴a 、b 、c 都经过点P ,即a 、b 、c 三线共点. (2)当a ∥b 时∵α∩γ=c 且a ⊂α,a ⊄γ ∴a ∥c 且a ∥b ∴a ∥b ∥c故a 、b 、c 两两平行.由此可知a 、b 、c 相交于一点或两两平行.题2.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点,如图SA =SB =SC ,且∠ASB =∠BSC =∠CSA =2π,M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值.证明:连结CM ,设Q 为CM 的中点,连结QN 则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ,设SC =a ,在△BQN 中 BN =a 25 NQ =21SM =42a BQ =a 414B MAN CSA 1∴COS ∠QNB =5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN 题3.正∆ABC 的边长为a ,S 为∆ABC 所在平面外的一点,SA =SB =SC =a ,E ,F 分别是SC 和AB 的中点.求异面直线SA 和EF 所成角.答案:45° 题4.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点, 若BC =CA =CC 1,求NM 与AN 所成的角.解:连接MN ,作NG ∥BM 交BC 于G ,连接AG ,易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角. 设:BC =CA =CC 1=2,则AG =AN =5,GN =B 1M =6, cos ∠GNA =1030562556=⨯⨯-+。

三点共线经典题型

三点共线经典题型

三点共线经典题型例1如图△ABC,D是△ABC内的一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M分别为BD,AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线,求证:AB=CD.分析由三角形的中位线得,MS∥AE,MS=0.5AE,HS∥CF,HS=0.5CF由已知得HS=SM,从而得出∠SHM=∠SMH,则得出∠TGH=∠THG,GT=TH,最后不难看出AB=CD.解答:证明:取BC中点T,AF的中点S,连接GT,HT,HS,SM,∵GHM分别为BD,AC,EF的中点,∴MS∥AE,MS=0.5AE,HS∥CF,HS=0.5CF∵GT∥CD,HT∥AB,GT=0.5CD,HT=0.5AB,∴GT∥HS,HT∥SM∴∠SHM=∠TGH,∠SMH=∠THG,∴∠TGH=∠THG,∴GT=TH,∴AB=CD.例2如图,已知菱形ABCD,∠B=60°,△ADC内一点M满足∠AMC=120°,若直线BA与CM交于点P,直线BC与AM交于点Q,求证:P,D,Q三点共线.分析求证:P,D,Q三点共线就是证明平角的问题,可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°,根据△PAC∽△A MC,△AMC∽△ACQ,可以得出∠PAD=∠DCQ=60°;进而证明△PAD∽△DCQ,得出∠APD=∠CDQ,则结论可证解答连接PD,DQ,由已知∠PAC=120°,∠QCA=120°,∴△PAC∽△AMC,△AMC∽△ACQ.∴PA/AM=AC/MC,AC/AM=QC/MC∴AC2=PA•QC,又AC=AD=DC.∴PA/DC=AD/QC,又∠PAD=∠DCQ=60°,∴△PAD∽△DCQ,∴∠APD=∠CDQ.∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°,∴P,D,Q三点共线.本题是证明三点共线的问题,这类题目可以转化为求证平角的问题.并且本题利用相似三角形的性质,对应角相等.例3如图,△ABC内接于圆⊙,点D是圆⊙上异于A、B、C三点的任意一点,过D点作DP⊥AB,DQ⊥BC,DR⊥AC,交AB、BC、AC分别为P,Q,R.(1)求证:∠BDP=∠CDR;(2)求证:P,Q,R三点共线.分析(1)由已知中四边形ABDC为圆内接四边形,根据圆内接四边形性质,我们易得∠DBP=∠DCP,结合已知中DP⊥AB,DR⊥AC,根据等角的余角相等,即可得到答案.(2)由已知中DP⊥AB,DQ⊥BC,可判断出P、D、Q、B四点共圆,进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD,同理可得∠RQC=∠RDC,结合(1)中结论,我们易证明∠PQD+∠RQD=180°,进而得到P、Q、R三点共线.证明:(1)由已知可得四边形ABDC为圆内接四边形则∠DBP=∠DCP又∵DP⊥AB,DR⊥AC,∴∠BDP=90°-∠DBP,∠CDR=90°-∠DCP;∴∠BDP=∠CDR;(2)∵DP⊥AB,DQ⊥BC,∴P、D、Q、B四点共圆∴∠PQD=∠PBD同理可得∠RQC=∠RDC∵∠PBD+∠RDC=90°∴∠PQD+∠RQD=90°+∠CQD=180°故P、Q、R三点共线本题考查的知识点是圆内接四边形的判定与性质,其中根据已知条件判断出P、D、Q、B四点共圆,进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD,并同理得到∠RQC=∠RDC,是证明三点共线的关键.例4已知四边形ABCD是矩形,M、N分别是AD、BC的中点,P是CD上一点,Q是AB上一点,CP=BQ,PM与QN的交点为R.求证:R,A,C三点共线.分析延长RN交DC于T,连接RC交MN于O,易证PN=NT,PC=CT,进而根据O是MN 的中点所以R,C,O三点共线、A,O,C三点共线,可以证明R,A,C三点共线.证明:延长RN交DC于T,连接RC交MN于O,∵∠BNQ=∠CNT,BN=CN,∠NBQ=∠NCT,∴△BNQ≌△CNT(ASA),∴CT=BQ=CP,∴PN=NT,PC=CT,∵MN∥CD,∴MO=ON∴O是MN的中点所以R,C,O三点共线,又A,O,C三点共线,所以R,A,C三点共线本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质,矩形各内角为直角的性质,本题中求证R,C,O三点共线是解题的关键.例4如图,O,H分别是锐角△ABC的外心和垂心,D是BC边上的中点.由H向∠A及其外角平分线作垂线,垂足分别是E,F.求证:D,E,F三点共线.分析根据AE平分∠BAC,M为弦BC的中点,可证A、E、M三点共线,根据已知证明EG∥OA,DG∥OA,可证D、E、G三点共线,而F在EG上,故可证D、E、F三点共线.证明:如图,连接OA、OD,并延长OD交⊙O于M,则OD⊥BC,弦BC=弦CM∴A、E、M三点共线,又AE、AF是∠A及其外角平分线,∴AE⊥AF,∵HE⊥AE,HF⊥AF,∴四边形AEHF为平行四边形,∴AH与EF互相平分,设其交点为G,于是,AG=0.5AH=0.5EF=EG∵OA=OM,OD∥AH,∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE,∴EG∥OA ①又O、H分别是△ABC的外心和垂心,且OD⊥BC,∴OD=0.5AH=AG,∴四边形AODG为平行四边形,∴DG∥OA,②由①②可知,D、E、G三点共线,而F在EG上,∴D、E、F三点共线.本题考查了三角形外接圆的性质在证明三点共线问题中的运用.关键是利用平行线,圆周角定理,垂径定理证明三点共线.。

四点共线经典题

四点共线经典题

四点共线经典题概述本文档介绍了四点共线经典题,包括定义、求解方法和实例分析。

定义四点共线经典题是一个几何学中常见的问题,要求判断给定的四个点是否共线。

共线是指所有点都位于同一直线上。

求解方法方法一:斜率相等法通过计算给定四个点两两连线的斜率来判断是否共线。

具体步骤如下:1. 连接第一个点和第二个点,计算得到斜率a。

2. 连接第一个点和第三个点,计算得到斜率b。

3. 连接第一个点和第四个点,计算得到斜率c。

4. 如果a、b、c均相等,则四个点共线。

方法二:三角形面积法通过计算给定四个点构成的三角形的面积来判断是否共线。

具体步骤如下:1. 计算第一个点、第二个点和第三个点构成的三角形的面积S1。

2. 计算第一个点、第二个点和第四个点构成的三角形的面积S2。

3. 计算第一个点、第三个点和第四个点构成的三角形的面积S3。

4. 如果S1、S2、S3均为0,则四个点共线。

实例分析实例一给定四个点A(1, 2),B(2, 3),C(3, 4),D(4, 5)。

我们通过斜率相等法来判断是否共线:1. 连接A和B,斜率为1。

2. 连接A和C,斜率为1。

3. 连接A和D,斜率为1。

4. 由于a、b、c均相等,因此四个点共线。

实例二给定四个点A(1, 2),B(2, 3),C(3, 4),D(5, 6)。

我们通过三角形面积法来判断是否共线:1. 计算三角形ABC的面积为0。

2. 计算三角形ABD的面积为0。

3. 计算三角形ACD的面积为0。

4. 由于S1、S2、S3均为0,因此四个点共线。

结论通过斜率相等法和三角形面积法,我们可以判断四个给定点是否共线。

这两种方法在几何学中被广泛应用,能够有效解决四点共线经典题。

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初中数学竞赛 几何专题:点共线问题(含答案)1. 锐角三角形ABC 中,45BAC ∠=︒,BE 、CF 是两条高,H 为ABC △的垂心,M 、K 分别是BC 、AH 的中点.证明:MK 、EF 和OH 共点,这里O 为ABC △的外心.解析 如图,由条件45BAE ∠=︒,可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形,而O 为AB 、BC 的中垂线上的点,故EO AB ⊥,FO AC ⊥,于是EO CF ∥,FO BE ∥,从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点.另一方面,M 、K 为BC 、AH 的中点,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知12EM MF BC ==,12EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形,所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点.从而命题获证.2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形,且点S 、P 、T 共线,点N 、P 、F 共线,连结MT 、SE ,点S 在MT 上的射影是点A ,点T 在SE 上的射影是点B ,求证:点A 、P 、B 共线.解析 设AB 与ST 交于点P ',又设ATS α∠=,TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=︒,有 tan cot ASB ATB S SP AS BSP T S AT BTαβ'⋅===⋅'⋅△△ MS ST MS SPST TE TE PT =⋅==, 即点P 与点P '重合.3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ,已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上.解析 连结OB 、OD .BMNAS P TFED M C NOLA K B因为KL MN ∥,KM 与LN 相交于O ,所以KLO △∽MNO △,可得KL LOMN NO=,KLO MNO ∠=∠. 又因BC AD ∥,所以BLO DNO ∠=∠,则BLK DNM ∠=∠;因此Rt BLK △∽Rt DNM △. 综上,BL LK LODN NM NO ==,BLO DNO ∠=∠,所以BLO △∽DNO △,可得BOL DON ∠=∠,即B 、O 、D 共线.4. 证明:如果一个梯形内的n (2>)个点到梯形四边距离之和相等,那么这n 个点共线.解析 如图,延长梯形ABCD 的腰BA 、CD 交于点E .设P 为这n 个点中的一个点,过P 作一直线,交EB 、EC 于点G 、H ,使得EGH △为等腰三角形(EG EH =).设Q 是这n 个点中的另一个点,我们证明Q 在直线GH 上.由条件Q 到EG 、EH 的距离和等于P 到EG 、EH 的距离和.若Q 在四边形AGHD 内,则EQG S +△ EQH EGH S S <△△,从而(,)(,)(,)(,)EG d Q EG EH d Q EH EG d P EG EH P EH ⨯+⨯<⨯+⨯,这里(,)d X YZ 表示点X 到直线YZ 的距离.结合EG EH =,可得()(,)(,)d Q EG d Q EH d P EG +<∥ (,)d P EH +,矛盾.类似地,若Q 在四边形BGHC 内,则(,)(,)(,)(,d Q EG d Q EH d P EG d P +>+ )EH ,亦矛盾.故Q 在线段GH 上.5. 设四边形仅有一个内角是直角,且两对角线相等,则对边中垂线交点与直角顶点共线.解析 如图,设四边形ABCD 中,90B ∠=︒,作矩形ABCE ,则BE AC BD ==,又设BC 的中垂线GP 与AD 之中垂线FP 交于P ,则易知PE PA PD ==,于是B 、P 均在DE 中垂线上.同理AB 、CD 中垂线之交点也在DE 中垂线上,故而结论成立.6. 等腰梯形ABCD 中AB CD =.将ABC △绕点C 旋转一个角度,得一个新的A B C ''△.证明:线段A D '、BC 和B C '的中点共线. 解析 如图,设A D '、BC 、B C '的中点分别为X 、Y 、Z ,W 为CA '的中点.并设ACA α'∠=,ABC β∠=, 则ZW A B ''∥,WX CD ∥,且111222ZW A B AB CD WX ''====,即XWZ △为等腰三角形,并且XWZ ∠等于180︒减去A B ''与CD 所成的角γ.AFDEPB G C注意到,(180)2180γβαββα=-︒--=-︒+,所以,3602XWZ αβ∠=︒--,从而1(180)9022XZW XWZ αβ∠=︒-∠=+-︒.于是902CZX XZW αβ∠=-∠=︒-.另一方面,YZ BB '∥,而1(180)9022CB B αα'∠=︒-=︒-,故902CZY α∠=︒-.综上,CZX CZY ∠=∠.故X 、Y 、Z 共线.7. 直角三角形ABC 中,AB 是斜边,CH 为斜边上的高,以A 为圆心、AC 为半径作A ⊙.过B 作A⊙的割线,交A ⊙于点D 和E ,交CH 于点F (D 在B 与F 之间).在A ⊙上取一点G ,使得ABG ABD ∠=∠,且G 与D 不在AB 的同一侧.证明:E 、H 、G 三点共线.解析 延长EH 交A ⊙于点G ',我们证明G 与G '重合,即证G BA DBA '∠=∠.由90ACB ∠=︒知BC 为A ⊙的切线,故2BC BD BE =⋅.再在Rt ABC △中,CH 为高,从而由身影定理可知2BC BH BA =⋅,所以BD BE BH BA ⋅=⋅,故E 、D 、H 、A 共圆,因此EDA EHA BHG '∠=∠=∠. 注意到EA DA =,故EDA DEA DHB ∠=∠=∠(这里再次用到E 、D 、H 、A 共圆),结合前面的结果,可知BHD BHG '∠=∠.由圆的对称性,即得HBG HBD '∠=∠. 8. 设锐角三角形ABC ,AD 、BE 、CF 为高,H 是垂心,M 、N 分别在BF 、AE 上,且MHF NHE ∠=∠,求证:BM 、CN 的中垂线之交点在BC 上.解析 如图,若设BM 、CN 中垂线分别交BC 于K 、K '(K 、K '在图中未画出),只要证明BK CK BC '+=,即知结论成立.由于2cos BM BK B =,2cos CN CK C '=,而2cos 2cos 22BF CE BC BC BC B C +=+=,故只需证明2cos 2cos BM CNB C+=CZ B'YB W A'DXAG 'AHBDF C EAF M BDCE N H2cos 2cos BF CE B C +或cos cos NE MFC B=即可. 由条件知MFH △∽NEH △,故sin cos sin cos MF FH AH BAD BNE HE AH CAD C∠===∠.结论证毕. 9.ABC △的内切圆切边AC 、BC 于点M 、N ,直线l 与该内切圆切于劣弧¼MN内一点,l 分别交NC 、MC 于点P 、Q .T 为AP 与BQ 的交点.证明:T 在线段MN 上.解析 设AP 交MN 于点1T ,ABC △的内切圆切l 与AB 于点X 、Y .AP 交XY 于点2T ,先证:1T 与2T 重合.由正弦定理,可知11sin sin PT PNCNM PT N =∠∠, 11sin sin AT AMAMN AT M=∠∠, 结合11PT N AT M ∠=∠,180180AMN CMN CNM ∠=-∠=-∠,可知11PT PN AT AM =.同理可证:22PT PXAT AY=.所以,由PX PN =及AM AY =,可知1212PT PT AT AT =,即1T 与2T 重合.这表明AP 过MN 与XY 的交点. 类似可知,BQ 与MN 与XY 的交点.所以,AP 与BQ 的交点在线段MN 上.10. 在ABC △中,90A ∠=︒,AB AC <.D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 上的点,使得四边形AFDE为正方形.设A l 为过A 所作ABC △的外接圆的切线.证明:BC 、EF 和A l 三线共点.解析 设A l 交直线BC 于点G ,连GF 延长交AC 于点E '.只需证明E 与E '重合. 记ABC △的三边长分别为a 、b 、c ,而正方形AFDE 的边长为x .则由DF FB AC AB =,可知x c xb c-=,故C Q XP lMN TAYBCE AD FB Gbcx b c=+. 由AG 为ABC △外接圆的切线,得BAG C ∠=∠,而AGC ∠为公共角,故ABG △∽CAG △,从而AB BG AG CA AG GC==,于是222GB BG AG AG c GC AG GC CA b ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭,即22GB c a GB b =+,从而222ac GB b c =-,结合BD DF x BC CA b ==,可知ac BD b c =+,故22222ac ac abc GD b c b c b c =+=-+-,22222b ab GC GB c b c =⋅=-.所以DF CE ='GD c GC b=,即2b CE bc '=+. 而2bc b CE b x b b c b c=-=-=++.所以CE CE '=,故E 与E '重合,命题获证. 11. AC 、BD 均为圆的切线,AB 是该圆的一条能弦,CD 与圆交于点Q 、P ,已知AP BP =,点M为AB 中点,求证:点M 、R 、Q 共线,这里R 为AD 与BC 的交点.解析 连结MC 、MR 、MD ,易知题目无非是要证明 CMR DMR S CQS DQ =△△. 易知12CMRACR S S =△△,12DMR BDR S S =△△,2AC CQ CP =,2BD DQ DP =,于是问题转变为求证 22ACR BDR S AC BDS BD CP⋅=⋅△△. 由切线性质知CAB DBA ∠=∠,于是根据三角形面积公式,有 ACR ABC ACD ACDBDR DBC ABD CBD S S S S AR CR AC S DR BR S S BD S ⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△△△, 于是待证式又变为求证 ACD CBD S AC DPS BD CP ⋅=⋅△△. 事实上, ACPACD ACP CBDPBD PBD CDS S S DP DP AC CP CD S CP S CP BD S DP⋅==⋅=⋅⋅△△△△△△, 这是由于AP BP =,且CAP DBP ∠=∠.A MBC QPDR。

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