数学分析学年论文隐函数有关定理及其应用

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

前言 (1)

1 隐函数 (1)

1.1隐函数的定义 (1)

1.2. 隐函数存在定理 (2)

1.3. 隐函数的可导条件 (2)

2.隐函数组 (4)

2.1 隐函数组概念 (4)

2.2 隐函数组存在条件 (4)

3 隐函数的几何应用 (6)

3.1 平面曲线的切线与法线 (6)

3.2 空间曲线的切线与法平面 (6)

3.3空间曲面的切平面与法线 (8)

参考文献 (9)

摘 要：本文主要介绍了隐函数与隐函数组的相关定理,并讨论了此类定理在求平面的法线及切平面方面的应用.

关键词：隐函数;唯一性;隐函数组;可微性

Theorem and application of Implicit function

Abstract ：we will discussion of Implicit function existence,and differentiability and the Geometry application in the solution of the normal to plane and tangent plant.

Keywords :Implicit function; uniqueness; implicit function group; differentiable

前言

这篇论文我们将重点介绍有关隐函数定理的的条件及隐函数存在的条件,掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决,这样既是解决实际问题的需要,也为后来的函数系统的完善打下基础.

1 隐函数

1.1隐函数的定义

设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程

(,)0F x y = ()1

若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为

(),,,f x y x I y J =∈∈

则成立恒等式

(,())0F x f x ≡,x I ∈.

例如方程

10xy y +-=

能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.

1.2. 隐函数存在定理

（1） 定理1 若满足下列条件隐函数的存在定理。设),(y x F 满足下面条件： 1） 在区域a x x D ≤-|:|0，b y y ≤-||0上y x F F ,连续； 2） 0),(00=y x F ； 3） 0),(00≠y x F y 。

则 1）在点),(00y x 的某一邻域),(0ηx O 内，0),(=y x F 唯一确定一个函数)(x f y =，且)(00x f y =。

2）)(x f y =在),(0ηx O 内连续；

3）)(x f y =在),(0ηx O 内具有连续导数，且)

,()

,('y x F y x F y y x -=。对于方程组的情形也

有类似的定理。

1.3. 隐函数的求导方法

（2） 隐函数的求导法：通常有三种方法。

1） 把方程（或方程组）看作恒等式，两边对自变量求导，然后解出所求的导数或偏

导数。 2） 公式法：设),(y x f z =，是由方程),,(z y x F 所确定的隐函数，且0≠z F ，则

z x F F x z -=∂∂，z

y F F y z

-=∂∂ 3）微分法：利用一阶全微分形式的不变性，方程两边求全微分可求出所求的偏导数或

导数。

例1设vw x =2，uw y =2，uv z =2 及 ),,(),,(w v u F z y x f =，证明

w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++

证 方程组 ⎪⎩

⎪

⎨⎧===uv z uw y vw x 222 确定了函数组

⎪⎩

⎪

⎨⎧===),,(),,(),,(w v u z z w v u y y w v u x x ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=udv vdu zdz udw wdu ydy vdw wdv xdx 222， 即 ⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=

dv z

u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 222222 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

=0 2 2 2 0 2 2

2 0 z u

z v y u y

w x v x w

将函数组代入方程),,(),,(w v u F z y x f =，得关于变元w v u ,,的方程

),,()),,(),,,(),,,((w v u F w v u z w v u y w v u x f =，

在这方程两边分别对w v u ,,求偏导，得

u z y x F u z f u y f u x f =∂∂+∂∂+∂∂ v z y x F v z f v y f v x f =∂∂+∂∂+∂∂ w z y x F w

z f w y f w x f =∂∂+∂∂+∂∂ 将上面三式分别乘以w v u ,,后再相加，得

++z uv

f y uw f z y

22z uv f x vw f z x 22+y

uw f x vw f y x 22++ w v u wF vF uF ++=

将vw x =2

，uw y =2

，uv z =2

代入即得

w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++。

例2 讨论方程

323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=

在原点附近所确定的二元隐数及其偏导数.

解 (0,0,0)0,(0,0,0)10z F F ==-≠且,,x y z F F F F 处处连续,因此在原点(0,0,0)