分类讨论问题经典题型

合集下载

数学分类讨论的例题

数学分类讨论的例题在数学学科中，分类讨论是解决问题的一种重要方法。

通过对问题进行合理的分类，可以将问题分解为较小、较简单的部分，从而更容易求解。

本文将针对数学分类讨论的例题进行详细阐述，帮助读者更好地理解和应用这一方法。

一、问题描述假设有一批水果，其中有苹果、梨子和桃子三种，共计20个。

已知：1. 每个篮子里至少有一个水果；2. 每个篮子里最多可以有8个苹果；3. 每个篮子里最多可以有7个梨子；4. 每个篮子里最多可以有6个桃子。

现在需要回答以下几个问题：1. 至少需要几个篮子才能将这批水果分装完毕？2. 若每个篮子内的水果总数相同，每个篮子里应该装多少个水果？二、问题分析首先，我们可以通过分类讨论的方法来解决这个问题。

我们可以将水果的种类与每个篮子里的水果总数作为分类的依据，具体分为以下几种情况：1. 第一种情况：每个篮子中只装有一种水果。

2. 第二种情况：每个篮子中装有两种水果。

3. 第三种情况：每个篮子中装有三种水果。

对于每种情况，我们分别分析并得出结论。

三、分类讨论1. 第一种情况：每个篮子中只装有一种水果。

假设每个篮子中只装有苹果，即每个篮子内只有苹果，不含其他水果。

由已知条件可知，每个篮子内最多可以放8个苹果。

因此，所需篮子的个数为20/8=2.5，即至少需要3个篮子才能将这批水果分装完毕。

每个篮子内的水果总数相同，为8个苹果。

同理，若每个篮子中只装有梨子或者桃子，也可得到类似的结论：- 每个篮子中只装有梨子时，所需篮子的个数为20/7≈2.86，即至少需要3个篮子；- 每个篮子中只装有桃子时，所需篮子的个数为20/6=3.33，即至少需要4个篮子。

2. 第二种情况：每个篮子中装有两种水果。

假设每个篮子中既有苹果又有梨子，即每个篮子内同时含有苹果和梨子。

根据已知条件：每个篮子内最多可以放8个苹果和7个梨子。

因此，所需篮子的个数至少为2，因为每个篮子放入3个苹果和3个梨子，加起来总数最多为6+6=12，超过20个水果的总数。

导数单调性之含参数的分类讨论(4个题型)讲义-高三数学一轮复习

导数单调性之含参数的分类讨论（4个题型）题型一导函数零点个数为0或1的讨论1.已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .讨论()f x 的单调性；2.已知函数f (x )=lnx +mx .（1）讨论函数f (x )的单调性；3. 设定义在R 上的函数()()x f x e ax a R =-∈.求函数()f x 的单调区间；4. 已知函数3()f x x ax =+.讨论()f x 的单调性；5.已知函数()()22e x x x f a x =-+.讨论函数()f x 的单调性；题型二导函数零点个数为1或2的讨论1.已知函数321()23f x x ax =-+，a ∈R ．求()f x 的单调区间； 2已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.讨论()f x 的单调性； 3已知函数2()1ln (1)()f x x x a x a R =----∈.讨论函数()f x 的单调性；4已知函211()()().22x f x x e a x =-++讨论()f x 的单调性； 5．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+，讨论函数()f x 的单调性；题型三能因式分解 1.已知函数f （x ）=ln x +ax 2+（2a +1）x ．讨论f （x ）的单调性 2.已知函数.讨论函数的单调性. 3．已知函数（其中）.讨论的单调性；4.已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ．（1）讨论f （x ）的单调性；5..已知函数f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ．（1）讨论f （x ）的单调性；题型四不能因式分解（∆判别）1..设()()3211232f x x x ax a =-++∈R ．（1）讨论()f x 的单调区间； 2.已知函数2()ln 31f x x x ax =+++.讨论函数()f x 的单调性； 3.已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．讨论()f x 的单调性； 4已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.讨论函数()f x 的单调性；5设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈讨论()f x 的单调性； 6已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性； 7已知函数()()1ln f x x ax a R x =++∈．（1）求函数()f x 的单调区间；。

专题分类讨论思想在勾股定理中的应用(四大题型)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册同步

（苏科版）八年级上册数学《第3章勾股定理》专题分类讨论思想在勾股定理中的应用【例题1】直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A ．13B ．√119 C ．13或√119 D ．13或12题型一直角边和斜边不明确时需分类讨论【变式1-1】（2021•滨州模拟）已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（）A ．5B ．7+√7C ．12D ．12或7+√7【变式1-2】（2022秋•肃州区期末）已知直角三角形两边的长分别为3cm ，4cm ，则以第三边为边长的正方形的面积为．【变式1-3】如图，长方形ABCD 中，AD ＝BC ＝6，AB ＝CD ＝10．点E 为射线DC 上的一个动点，△ADE 与△AD ′E 关于直线AE 对称，当△AD ′B 为直角三角形时，DE 的长为（）A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或18【变式1-4】（2022春•绥江县期中）如图，在△ABC 中，AC ＝5，D 为BC 边上一点，且CD ＝1，AD =√26，BD ＝4，点E 是AB 边上的动点，连接DE ．（1）求AB 的长；（2）当△BDE 是直角三角形时，求AE 的长．【变式1-5】（2022秋•崇义县月考）在四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，BC ＝12，CD ＝x ，AB ⊥AD ．（1）求BD的长；（2）若△BCD是直角三角形，求x的值．【变式1-6】（2022秋•宛城区校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．题型二锐角和钝角不明确时需分类讨论【例题2】（2022春•兰山区期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21B．15C．6D．21或9【变式2-1】（2021秋•海门市期末）△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（）A．66B．126C．54或44D．126或66【变式2-2】在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，求△ABC的周长．【变式2-3】等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，则底边BC＝．【变式2-4】△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，则BC的长为．【变式2-5】等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，求底边长．【例题3】（2022秋•南岗区校级期末）在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，则线段DE的长为．【变式3-1】（2022秋•新昌县校级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD＝1．（1）求AC与AB的长．（2）点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形．【变式3-2】（2022秋•禅城区校级月考）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．题型三腰和底不明确时需分类讨论（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，求△ABD的周长；（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，求△ABD的周长；（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．【变式3-3】（2022秋•大丰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝3：4，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【变式3-4】已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE是等腰三角形时，求a的值．【变式3-5】（2022秋•永春县期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．（1）求AB的长；（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【变式3-6】（2022春•铁西区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12．（1）直接写出AB的长度．（2）设点P在AB上，若∠P AC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．【变式3-7】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？【变式3-8】（2022春•福田区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发4秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，请直接写出t的值．【变式3-9】（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．（1）BC＝．（2）求斜边AC上的高线长．（3）①当P在AB上时，AP的长为，t的取值范围是．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为．（4）在整个运动过程中，直接写出△P AB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．题型四分类讨论思想在勾股定理的综合应用【例题4】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为．【变式4-1】（2022秋•南阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P 从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设运动时间为t（t＞0）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为．【变式4-2】（2022春•思明区校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．【变式4-3】（2023春•乳山市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P 从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动，设运动的时间为t秒．（1）若△ABP是以BP为斜边的直角三角形，求t的值；（2）若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，求t的值．【变式4-4】如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．（1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝；（2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值．【变式4-5】（2022秋•姑苏区校级月考）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD；AD：CD＝2：3：4．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时，整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒），若△DMN的边与BC平行，求t的值．【变式4-6】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，AD为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）当t为何值时，△CBD是直角三角形；（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．【变式4-7】（2022春•广州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求斜边AB 上的高；（2）①当点P 在BC 上时，PC ＝；（用含t 的代数式表示）②若点P 在∠BAC 的角平分线上，求t 的值．【变式4-8】（2021秋•青岛期末）已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B →C →A 方向运动，在BC 边上的运动速度是每秒2cm ，在AC 边上的运动速度是每秒1.5cm ，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ 的长；（2）当点Q 在边BC 上运动时，t 为何值时，△ACQ 的面积是△ABC 面积的13；（3）当点Q 在边CA 上运动时，t 为何值时，PQ 将△ABC 周长分为23：25两部分．【变式4-9】如图，△ABC 中，BA ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，AO ＝4，BO ＝6．（1）求BC ，AC 的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连接OE．当点D在线段OB上时，若△AOE 是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．。

人教版数学六上分类讨论题

人教版数学六上分类讨论题
人教版数学六年级上册分类讨论题包括以下几种类型：
1. 分情况讨论题：这类题目需要分不同的情况进行讨论，根据不同的情况得出不同的结论。

例题：某校六年级有120名学生，其中参加篮球比赛的有24人，参加乒乓球比赛的有18人，既参加篮球比赛又参加乒乓球比赛的有3人，参加这两
项比赛的学生共有多少人？
2. 分类计数原理题：这类题目需要使用分类计数原理进行计算，即各类事物独立地被考虑，各类事物之间无影响。

例题：用1、2、3、4四个数字可组成的四位数有（）个。

3. 分类讨论应用题：这类题目需要先对题目中的条件进行分类讨论，再根据不同的情况得出不同的结果。

例题：甲、乙两地相距150千米，小明和小华同时从甲地出发向乙地前进，小明每小时行4千米，小华每小时行5千米，小明到达乙地后立即返回，途中与小华相遇，从出发到相遇一共经过多少时间？
通过以上分类讨论题的练习，可以帮助学生更好地理解分类讨论的思想，提高数学思维能力和解决问题的能力。

应用题(分类讨论题型)专题

应用题（分类讨论题型）经典例题分析：例:甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，“五一”期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场按照原价八折出售，乙商场对累计购物超过200元后的价格部分打七折，设小明在同一商场累计购物X元，其中X>200.（1）根据题意，填写下表：（单位：元）(2)当X取何值时，小明在甲乙两个商场花费相同？当X取何值时，甲商场实际花费少?当X取何值时，乙商场实际花费少？强化训练：1.考虑下面两种移动电话的计费方式设每月通话时间为X分钟，其中X>150(1）根据题意，填写下表(2)当X取何值时，两种计费方式的费用相同？(3）当每月通话时间超过250分钟时，选用哪种计费方式费用较少?2.某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，甲乙印刷厂的收费方式不同，甲厂的收费方式是需要先收取制版费6元，然后按照印刷数量收取每份0.1元的制版费，乙厂的收费方式是没有制版费，只按照印刷数量收取每份0.12元的印刷费，现设需要印刷的份数为X份（1）根据题意，填写下表：（单位：元）(2)当X取何值时，两种收费方式的花费是一样的？(3)该校某年级每次需印制100-450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式比较合算？3.甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90％收费；在乙商场累积购物超过50元后，超出50元的部分按95％收费。

回答下列问题：当你在同一商场累积购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少?5.某旅行团计划今年暑假组织一个老年人旅游团去台湾旅游，预定宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案，甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费，乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按8折收费。

例说七类需要分类讨论的题型

例说七类需要分类讨论的题型当我们解决一个问题时，如果无法一次性解决，那么就需要用一个标准，将问题划分成几个能分别解决的小问题，将这些小问题加以解决，从而最终使问题得到解决，这就是分类讨论思想。

当数学问题中的条件，结论不明确，或题中含参数或图形不确定时，就需要分类讨论.本文举例说明如下:一、边(角)的指代不明有些图形中的边(或角)的大小虽是己知的但具体是哪条边(或哪个角)不明确.对此先需分类讨论，再依据定义或定理求解.例1 (2013年广安市中考题)等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为( )(A) 25 (B) 25或32 (C) 32 (D) 19分析长度为6和13的两边，没有明确出谁是底边谁是腰，所以先需分类再求周长. 解当6为底边时，其它两边都为6, 13,而边长为6,13,13可以构成三角形，周长为32; 当6为腰时，其它两边为6, 13, ∵ 6+6<13 ,∴边长为6, 6, 13不能构成三角形,应舍去，故选C.例2 一个直角三角形的两边长分别为6和8, 则该三角形中较小锐角的正弦值为_____.分析长为8的边虽是最长边，但没有明确出是直角边还是斜边，对此需分类.解当8为直角边时, 三边长为6, 8, 10; 当8为斜边时，三边长为所以该三角形中较小锐角的正弦值为35或4. 例3 (2013年荆门市中考题) 若等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角为______. 分析 50°的角，没有明确出是顶角还是底角，对此先要分类。

解 50°为顶角时，则底角为65°, 65°;50°为底角时，则其他两角分别为50°, 80°.综上,顶角为50°或80°.二、图形的相对位置关系不确定若几何图形之间的相对位置关系在已知条件中不明朗，则需分情况讨论，列举出所有可能的情况，以免疏漏现象的发生.例4 已知△ABC 的外心为点O ，若∠BOC = 100°，则∠A 的度数为_______.分析 △ABC 与其外心O 的位置关系有三种情况: 当△ABC 为锐角三角形时，其外心O 在形内;当△ABC 为钝角三角形时，其外心O 在形外;当△ABC 为直角三角形时，其外心O 在斜边上.这三种情况都有可能存在，如图1,2.解根据圆心角定理，得∠A 的度数为50°或130°.三、对应关系的不明确三角形的全等或相似中的判定和性质司体现了对应的思想.所以在已知图形全等或相似的前提下,解边(或角)的问题时，需要突出边(或角)的对应关系.例5 另一个三角形的两边长分别为1, 则它的第三边长为________.分析设第三边长为x，因为它和另一个三角形中三边中的哪一条是对应的并不明确,所以x的取值需分三种情况: x<1 (从小到大顺序为: x, x (从小到大顺序为:1, x,x (从小到大顺序为x).解21,所以x ＜1的情况应舍去.同理，舍去1＜x.当x1x2x,所以x四、动态问题对动点问题中的数量关系及其对应的图象进行“分段破译”，挖掘每段图象所蕴藏的信息和段与段间“折点”的信息，做到形数的结合与转换.例6 (2013四川南充中考题) 如图3, 点E为矩形ABCD边AD上一点，点P、点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s设P, Q出发秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分).则下列结论;①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，y＝25t2；③直线NH的解析式为y=﹣25t + 27；④若△ABE与△QBP相似，则t＝294秒。

分类讨论问题(经典题型)

1 / 2分类讨论问题初中数学中的分类讨论问题是近年来中考命题的热点内容之一，要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。

第一部分例题解析1、代数部分例1：化简：|x-1|+|x-2|例2、代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个2、函数部分例题1：一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（）。

A. 14B. -6C. -4或21D. -6或14例题2：已知一次函数2+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。

3、几何部分1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A ．50°B ．80°C ．65°或50°D ．50°或80°2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm4、综合类：例1：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。

如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。

2 / 2试题精练1、已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为2、在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的大小。

3、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。

含参数二次函数分类讨论的方法总结

二次函数求最值参数分类讨论的方法题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+-∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠(Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当0a =<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或32a --=评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

等边三角形分类讨论题型

等边三角形分类讨论题型题型一：基于边长的分类讨论题目示例：已知三角形ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足条件a=b。

若三角形ABC是等边三角形，求c的值。

解析：基础性质回顾：等边三角形的定义是三边相等，即a=b=c。

分类讨论：已知a=b，若三角形ABC是等边三角形，则必有c=a=b。

因此，直接得出c的值等于a（或b），即c=a。

结论：在给定a=b的条件下，若三角形ABC是等边三角形，则c的值必然等于a（或b）。

题型二：基于角度的分类讨论题目示例：在三角形ABC中，∠A=60°，且AB=AC。

判断三角形ABC的形状，并说明理由。

解析：基础性质回顾：等边三角形的三个内角都是60°。

分类讨论：已知∠A=60°，且AB=AC，说明三角形ABC是等腰三角形（两边相等，对应底角相等）。

由于∠A是顶角，且为60°，那么两个底角∠B和∠C各为(180°-60°)/2=60°。

此时，三角形ABC的三个内角都是60°，满足等边三角形的条件。

结论：三角形ABC是等边三角形，因为∠A=∠B=∠C=60°，且AB=AC= BC。

题型三：结合其他几何元素的分类讨论题目示例：在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F在CD上，且EF =EC。

判断△ECF的形状，并证明。

解析：基础性质回顾：正方形的性质包括四边相等、四个内角都是90°。

分类讨论与证明：已知正方形ABCD，所以BC=CD，且∠BCE=∠DCF=90°。

点E是BC的中点，所以BE=CE=BC/2。

已知EF=EC，结合CE=BE，可以得出EF=BE。

在△BCE和△FCE中，由于BE=EF，CE=CE（公共边），且∠BCE=∠FCE =90°，根据SAS全等条件，△BCE≌△FCE。

因此，∠CEF=∠CBE=45°（正方形对角线将直角分为两个45°角）。

中考压轴题分类之分类讨论(经典题型11页)

中考压轴题分类之分类讨论如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。

它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容之一；要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型初中数学中的分类讨论问题往往是不容易掌握好的一类问题，碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类讨论问题主要有：1、代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，分式、根式方程、方案策划、函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等；函数定义域变化；函数图象未给出；函数对称性（反比例函数的图象，二次函数）2、几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等；3、综合类：代数与几何分类情况的综合运用.一、代数类专练例1. 代数式aabbabab||||||++的所有可能的值有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个例2：化简：|x-1|+|x-2|例3：代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有（） A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个例4. 一次函数yk xb x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（）。

分类讨论题(含答案)

分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°2.(乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6.（威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

等腰三角形动点问题分类讨论题型

等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。

比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。

像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。

比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。

假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。

想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。

要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。

在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。

像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。

分类讨论例题

分类讨论例题
1. 哎呀呀，咱来看看这道题，就像分苹果一样，苹果有大有小，得分情况来分呢！比如说，小明和小红分 10 个苹果，要是小明想拿得多，那小红不就少啦？这就是一个分类讨论的情况呀！
2. 嘿，你想想看，走在路上也有分类讨论呀！比如前面有两条路，一条路近但不好走，一条路远但好走，你咋选呢？就像做数学题一样，不同情况得不同分析呀！比如计算三角形面积，锐角三角形和钝角三角形的算法能一样吗？肯定得分类讨论嘛！
3. 哇塞，分类讨论无处不在啊！好比去超市买东西，你得考虑价格、质量，不同的选择就是不同的分类讨论呢！比如说，有三种饮料，一种便宜但味道一般，一种贵但很好喝，还有一种中等价格和味道，你得根据自己的喜好和钱袋子来选吧，这就是很典型的分类讨论例题呀！
4. 哟呵，这分类讨论可有意思啦！就像一场比赛，不同的队伍有不同的策略，这就是分类呀！举个例子，数学考试里遇到一道题，要分奇数偶数来计算，这不是很明显的分类讨论嘛！
5. 哈哈，分类讨论就像选衣服，不同场合穿不同衣服呀！像是去运动穿运动服，参加派对穿礼服。

做题也一样呀！比如解一个方程，得看参数的大小来分别讨论呀！这道题：已知函数……，哎呀，根据不同情况来分析嘛，多有
趣呀！
6. 天哪，分类讨论太重要啦！就好比挑水果，有的甜有的酸，得按你的口味来选呀！比如算一个图形的周长，正方形和长方形能一样算吗？当然得分类讨论啦！你说对吧？
7. 哎呀呀，分类讨论简直是打开难题大门的钥匙嘛！就像安排行程，晴天和雨天有不同的玩法吧！比如说在解决几何证明题的时候，不同的图形情况就得分开来讨论，这样才能得出准确答案呀！咱可千万不能马虎呀！
我的观点结论是：分类讨论在数学和生活中都超级重要，能让我们更细致地思考和解决问题，一定要掌握好呀！。

中考数学分类讨论题型整编

中考数学分类讨论题型整编【知识整合创新】整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一,此类题综合性强,难题较大,在各地中测试题中多以压轴题出现,对考生的水平要求较高,具有选拔性.目前,中测试卷中,觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点〔坐标未给定〕所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等. 3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 中考高分解密：题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义,其中以绝对值、方程及根的定义,函数的定义尤为重要,必须明确讨论对象及原因,进而确定其存在的条件和标准. 考题1．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？名师点拔：二次项系数中含有参数k,此函数可能是二次函数,也可能是一次函数,故应对52k -分类讨论.解：〔1〕当502k -=时,即52k =时,此函数为1122y x =-+,故其与x 轴只有一个交点〔1,0〕〔2〕当55022k k -≠≠，即时,此函数为二次函数,2251(3)4()(2)22k k k ∆=--⨯-⨯=-.①当2k =时,Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122x x x x -+===,交点坐标为〔1,0〕②当2k ≠时,Δ＞0,函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k-和.综合所述：当52k =或2k =时,函数图像与x 轴只有一个交点〔1,0〕；当52k ≠且2k ≠时,函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k-. 变式思考1关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-= 〔1〕假设方程有实数根,求k 的取值范围〔2〕假设等腰三角形ABC 的边长a=3,另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根,求ΔABC 的周长.易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程,同时应注意的是第〔2〕问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰,故应考虑其所有可能情况. 题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中表达颇多,考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题2．〔2022,河南〕如图〔1〕边长为2的正方形ABCD 中,顶点A 的坐标是〔0,2〕一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时,位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S 〔阴影局部〕.〔1〕当t 取何值时,S ＝3？〔2〕在平面直角坐标系下〔图2〕,画出S 与t 的函数图像.名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M,N,易知ΔDMN 是等腰Rt Δ,只有当MD ＝2时,1MDN S ∆=,那么3ABCDMDNS SS=-=,此时求得42t =-,第〔2〕问中,随着t 的变化,S的表达式发生变化,因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式,进而作出图像.解：〔1〕设l 与正方形ABCD 的交点为M,N, ∵l 的解析式y x t =+,在x 轴,y 轴上所截线段相等. ∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN∵S ＝3,∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-= 又∵21122DMN S MD ND ND ∆=⋅= ∴MD ＝ND ＝2,∴ON ＝OD －DM ＝4－2, 即D 点的坐标为〔0,4－2〕 ∴42t =-,即当42t =-时,S ＝3.图〔2〕〔2〕∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t∴当0≤t ＜2时,21122S B B t =M ⋅N = 当2≤t ＜4时,21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+当t ≥4时,S ＝4根据以上解析式,作图如下列图〔图2〕变式思考2 〔2022 资阳〕如下图,在平行四边形ABCD 中, 4AD cm =,∠A ＝60°,BD ⊥AD,一动点P 从A 出发,以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动,过点P 作直线PM,使PM ⊥AD.〔1〕当点P 运动2秒时,设直线PM 与AD 相交于点E,求△APE 的面积；〔2〕当点P 运动2秒时,另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动,且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动,在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN,使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒〔0≤t ≤10〕,直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2. ①求S 关于t 的函数关系式；②〔附加题〕求S 的最大值.易误点睛：讨论变量t 的取值范围,是解此题的关键,解此类题应十分注意变量的取值须符合题意,逐层分析.题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊性质,找准讨论对象,逐一解决.考题3．〔2022 上海〕在ΔABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ＝22,圆A 的半径为1,如下图,假设点O 在BC 边上运动,〔与点B 和C 不重合〕, 设BO ＝x,ΔAOC 的面积为y .〔1〕求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. 〔2〕以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切时ΔAOC 的面积.名师点拔：〔1〕过点A 作AD ⊥BC 于D 点 ∵AB ＝AC ＝22 ∴AD ＝AB sin 45⋅︒=2445ABBC Sin ==︒∴OC=BC －BO=4－x,故ΔAOC 的面积y 与x 的函数解析式为12y OC AD =⋅即1(4)242y x x =-⨯=- 〔2〕由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切,故解题中须分类讨论.解：〔1〕过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵∠BAC=90° AB=AC=22 ∴BC=4 AD ＝12BC ＝2 ∴112(4)422AOC S OC AD x x ∆=⋅=⨯⨯-=- 即4(04)y x x =-+<<〔2〕当点O 与点D 重合时,圆O 与圆A 相交,不合题意；当点O 与点D 不重合时,在Rt ΔAOD 中,222224248AO AD OD x x x =+=+-=-+∵⊙A 的半径为1,⊙O 的半径为x ∴①当⊙A 与⊙O 外切时22(1)48x x x +=-+ 解得76x =此时,ΔAOC 的面积717466y =-= ②当⊙A 与⊙O 内切时,22(1)48x x x +=-+ 解得72x = 此时ΔAOC 的面积71422y =-= ∴当⊙A 与⊙O 相切时,ΔAOC 的面积为17162或. 变式思考3〔2022 南京〕如图,直线443y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点M,N 〔1〕求M,N 两点的坐标；〔2〕如果点P 在坐标轴上,以点P 为圆心,125为半径的圆与直线443y x =-+相切,求点P 的坐标. 易误点睛：此题是一道函数与圆的综合题,注意第〔2〕小问涉及到分类讨论,与直线相切时的情况,此题可分为两大类,四小类,切勿漏掉,解决此类问题关键是把握标准,正确的分类. 题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题,对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.考题4〔2022 福州〕如下图,抛物线2()y x m =--的顶点为A,直线:33l y x m =-与y 轴的交点为B,其中m ＞0.〔1〕写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标〔用含有m 的代数式表示〕〔2〕证实点A 在直线l 上,并求∠OAB 的度数.〔3〕动点Q 在抛物线的对称轴上,那么抛物线上是否存在点P,使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？假设存在,求出m 的值,并写出所有符合上述条件的P 点坐标；假设不存在,说明理由.名师点拨：〔1〕对称轴x m =,顶点A 〔m,0〕〔2〕把x ＝m 代入33y x m =-得330y m m =-= ∴点A 〔m,0〕在直线l 上,直线l 与y 轴相交,那么B 点的横坐标为：3y m =-；B 点坐标为(0,3)m -,由三角函数知识可得：3tan 3OB mOAB OA m∠=== 即∠OAB ＝60° 〔3〕由于全等的对应关系,因而需进行分类论,找准对应关系,从而解决问题.解：〔1〕对称轴为直线x m =,顶点A 〔m,0〕〔2〕把x m =代入函数33330y x m y m m =-=-=得 ∴点A 〔m,0〕在直线l 上.当x=0时,3y m =-∴3(0,3),tan 3mB m OAB m-∠== ∴∠OAB=60°(3)如图,以P 、Q 、A 为顶点的三角形与ΔOAB 全等,共有以下4种情况：①1111190,3,PQ A PQ m Q A m ∠=︒== ∴1P 点的坐标为(3,)m m m --,代入抛物线解析式得：23,0m m m -=-> ∴13m =∴1131(,)33P --②22290,B P Q A P ∠=︒点与点重合 ∴2,0m m =->∴m =∴2(0,3)P -③3333390,,Q P A Q P m P A ∠=︒= ∴3P 点的坐标为3(,)22m m --代入抛物线解析式得：233,024m m m -=-> ∴2m = ∴3(23)P -④4444490,,Q P A Q P P A m ∠=︒== ∴4P 点的坐标为1(,)22m m m --,代入抛物线解析式得：213,024m m m -=-> ∴23m = ∴41)3P - 分析可知,1234,,,P P P P 关于抛物线对称轴的对称点均符合题意；综上所述,符合条件的P 点分别为1111),(),()3333----；〔0,3〕,3)-,(23)--,(23)+-.变式思考4〔2022宁波〕抛物线22ax bx c ++y ＝的顶点坐标为〔4,－1〕与y 轴交于点C 〔0,3〕,O 是原点.〔1〕求这条抛物线的解析式.〔2〕设此抛物线与x 轴的交点A 、B 〔A 在B 的左边〕,问在y 轴上是否存在点1P ,使以O,B,P 为顶点的三角形与ΔAOC 相似？假设存在,请求出点P 的坐标,假设不存在,请说明理由. 易误点睛：解决此类问题,必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心,对两三角形的对应角〔或边〕进行分类讨论,逐步找到符合题意的结论.中考零距离一、选择题1．假设m 为实数,那么点P 〔m －2,m+2〕不可能在〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．相交两圆公共弦长为6,两圆的半径分别为那么这两圆的圆心距等于〔〕A ．1B ．2或6C ．7D ．1或73．〔2022,河南〕如果关于x 的方程210x mx ++=的两个根的差为1,那么m 等于〔〕A ．2±B ．3±C ．5±D ．6±4．平面上A 、B 两点到直线l 的距离分别是2323-+与,那么线段AB 的中点C 到直线l 的距离是〔〕A ．2B ．3C ．2或3D ．不能确定 5．22(3)49x m x +-+是完全平方式,那么m 的值是〔〕A ．－3B ．10C ．－4D ．10或－4 二、填空题6．AB 是⊙O 的直径,AC 、AD 是弦,且AB ＝2,AC ＝2,AD ＝1,那么∠CAD ＝＿＿＿＿＿＿＿. 7．AB 、CD 是⊙O 的两条平行线,AB ＝12,CD ＝16,⊙O 的直径为20,那么AB 与CD 之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿.8．方程560x x x ⋅-+=的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.9．〔2022 上海〕直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于＿＿＿＿＿＿＿＿.10．〔2022 沈阳〕ΔABC 中,∠C ＝90°,AC ＝3,BC ＝4,分别以A 和C 为圆心作⊙A 和⊙C,且⊙C 与直线AB 不相交,⊙A 与⊙C 相切,设⊙A 的半径为r,那么r 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 11．2225,7x y x y +=+=,那么x y -的值等于＿＿＿＿＿＿＿.12．在平面直角坐标系内,A 、B 、C 三点的坐标分别是〔0,0〕,〔4,0〕,〔3,2〕,以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形,那么第四个顶点不可能在第＿＿＿＿＿象限. 三、解做题13．〔2022 广东〕实数a,b 分别满足221122,22,a a b b a b+=+=+求的值. 14．〔2022 黑龙江〕在劳技课上,老师请同学们在一张长为17cm,宽16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形〔要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余两个顶点在长方形上的边上〕请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.15．〔2022 芜湖〕在钝角△ABC 中,AD ⊥BC,垂足为D 点,且Ad 与DC 的长度为27120x x -+=方程的两个根,⊙O 是△ABC 的外接圆,如果BD 长为(0)a a >.求△ABC 的外接圆⊙O 的面积.16．〔2022 烟台〕在直角坐标系中,有以A 〔－1,－1〕,B 〔1,－1〕,C 〔1,1〕,D 〔－1,1〕为顶点的正方形,设正方形在直线y ＝x 上方及直线y=－x+2a 上方局部的面积为S,〔1〕求12a =时,S 的值.〔2〕a 在实数范围内变化时,求S 关于a 的函数关系式.17．(2022 黄冈)在直角坐标系XOY 中,O 为坐标原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为A 〔5,0〕,B 〔0,4〕,C 〔－1,0〕,点M 和点N 在x 轴上,〔点M 在点N 的左边〕点N 在原点的右边,作MP ⊥BN,垂足为P 〔点P 在线段BN 上,且点P 与点B 不重合〕直线MP 与y 轴交于点G ,MG ＝BN. 〔1〕求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式.〔2〕求点M 的坐标.〔3〕设ON ＝t,△MOG 的面积为S,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围. 〔4〕过点B 作直线BK 平行于x 轴,在直线BK 上是否存在点R,使△ORA 为等腰三角形？假设存在,请直接写出R 的坐标；假设不存在,请说明理由.变式思考答案1．解：〔1〕∵方程有实数根.∴①当k ＝0时,原方程变为1840,2x x -==,方程有实数根. ②当0k ≠时,24(4)4(4)k k k ∆=+--≥0,解之得43-k ≥,∴403k k -≠≥且故k 的取值范围是43-k ≥.〔2〕①假设b=c,那么24(4)4(4)0k k k ∆=+--=,解得43k =-,此时方程的根为b ＝c＝2,又∵a ＝3,满足三角形三边关系,∴2237ABC C a b c ∆=++=++=②假设a=b 或a=c,那么92(4)3(4)0k k k ++⨯+-=,∴54k =-,此时方程另一根为：7755c b ==或,满足三角形三边关系,∴7373355ABCC a b c ∆=++=++=.2．〔1〕当点P 运动2秒时,AP ＝2cm,由∠A ＝60°,知AE ＝1,PE .∴2APE S ∆=. 〔2〕①〔i 〕当0≤t ≤6时,点P 与点Q 都在AB 上运动,设PM 与AD 交于点G ,QN 与AD 交于点F,那么AQ ＝t,AF ＝2t ,QF ＝2,AP ＝t+2,AG ＝1+2t,PG 2.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S =+〔ii 〕当6≤t ≤8时,点P 在BC 上运动,点Q 仍在AB 上运动,设PM 与DC 交于点G,QN 与AD 交于点F,那么AQ ＝t,AF ＝2t ,DF ＝4－2t,QF＝2t ,BP ＝t －6, CP ＝10－t,PG ＝〔10－t而BD＝故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为28S =-+〔iii 〕当8≤t ≤10时,点P 和点Q 都在BC 上运动,设PM 与DC 交于点G,QN 与DC 交于点F,那么CQ ＝20－2t,OF ＝〔20－2t 〕,CP ＝10－t,PG ＝〔10－t∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为2S =-. 故S 关于t 的函数关系式为22+(0t 6)22S =t 8)-t 10)⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤≤ ②〔附加题〕当0≤t ≤6时,S的最大值为2；当6≤t ≤8时,S的最大值为当8≤t ≤10时,S的最大值为所以当t ＝8时,S有最大值为3．解：〔1〕当x ＝0时,y ＝4. 当y ＝0时,4403x -+=,∴x ＝3. ∴M 〔3,0〕,N 〔0,4〕〔2〕①当1P 点在y 轴上,并且在N 点的下方时,设⊙1P 与直线443y x =-+相切于点A,连接1P A,那么1P A ⊥MN.∴∠1P AN ＝∠MON ＝90°,∵∠1P NA=∠MNO,∴△1P AN ∽△MON,∴11P A P N MO MN=在Rt △OMN 中,OM ＝3,ON ＝4,∴MN ＝5. 又∵1125P A =,∴14P A =,∴1P 点坐标是〔0,0〕 ②2P 点在x 轴上,并且在M 点的左侧时,同理可得2P 点坐标是〔0,0〕 ③当3P 在x 轴上,并且在M 点的右侧时,设⊙3P 与直线443y x =-+相切于点B,连接3P B ,那么3P B MN ⊥ ∴OA//3P B . ∵OA ＝3P B ,∴33P M OM ==.∴36OP =,∴3P 点坐标是〔6,0〕④当4P 点在y 轴上,并且在点N 上方时,同理可得44P N ON ==. ∴48OP =. ∴4P 点坐标是〔0,8〕综上,P 点坐标是〔0,0〕,〔6,0〕,〔0,8〕.4．解：〔1〕可设2(4)1y a x =--. ∵交y 轴于点C 〔0,3〕,∴3＝16a －1,∴14a =. ∴抛物线的解析式为21(4)14y x =-－,即21234y x x+=－. 〔2〕存在当y ＝0时,那么21(4)104x --=,∴122, 6.x x ==∴A 〔2,0〕,B 〔6,0〕. 设P 〔0,m 〕,那么OP ＝m . 在△AOC 与△BOP 中, ①假设∠OCA ＝∠OBP,那么△BOP ∽△COA,∴OB OPOC OA=. OP ＝6243⨯=,∴4m =±. ②假设∠OCA ＝∠OPB,那么△BOP ∽△AOC,∴OP OBOC OA=. 6392OP ⨯==,∴9m =±. ∴存在符合题意的点P,其坐标为〔0,4〕、〔0,－4〕、〔0,9〕或〔0,－9〕中考零距离答案一、选择题1．C 2．D 3．C 4．C 5．D二、填空题6．15°或105° 7．14或2 8．3 9．4或5 10．327r <33<r 55≤或≤ 11．1± 12．三三、解做题程13．解：假设a b ≠,那么可知,a b 为方程2220x x +-=的两实数根,由韦达定理得a+b ＝－2,ab ＝－2. ∴11212a b a b ab +-+===- 假设a b =,那么解关于a,b 的方程分别得1313a b a b ==-+==--或113113a b+=+-或. 14．解：分三种情况计算：〔1〕当AE ＝AF ＝10cm 时,〔如图1〕,2150()2AEF S AE AF cm ∆=⋅= 〔2〕当AE ＝EF ＝10cm 时〔如图2〕,2228()140()2AEF BF EF EB cm S AE BF cm ∆=-==⋅= 〔3〕当AE ＝EF ＝10cm 时〔如图3〕,2251()DF EF ED cm =-=21551()2AEF S AE DF cm ∆=⋅=. 15．解：∵AD 与DC 的长度为27120x x -+=的两根 ∴有两种情况①AD ＝3,DC ＝4 ②AD ＝4,DC ＝3由勾股定理：求得AC ＝5,连接AO 并延长交⊙O 于E 点,连接BE ∴∠ABE ＝90° 又∵∠E ＝∠C∴△ABE ∽△ADC, 第15题图∴AB AE AB AE AC AD AC AD =⇒=⋅ 16．解：〔1〕当12a =时,如图1,直线1y x y x ==-+与的交点是11(,)22E∴1111224S =⨯⨯=〔2〕①当1a <-时,如图2,△ADC 的面积就是S,∴12222S =⨯⨯=②当－1≤a ＜0时,如图3,直线2y x y x a ==-+与的交点是E 〔a ,a 〕∴EG ＝〔1－a 〕＝1+a AF ＝2〔1+a 〕212(1)2(1)22(1)ADC AEFS S S a a a ∆∆=-=-+⨯+=-+∴③当0≤a ＜1时,如图4,直线2y x y x a ==-+与的交点是E 〔a,a 〕∴EG ＝1－a CF ＝2〔1－a 〕∴21(1)2(1)(1)2CEF S S a a a ∆==-⨯-=-　④当a ≥1时,如图5,S ＝0∴S 关于a 的函数关系式为222(a <1)2(1+a)1a <0S =(1a)0a 10a 1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ －－　（－≤）－（≤＜）（≥）17．〔1〕设所求抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠.由题意,得：255004a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩ 解得：451654a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求的解析式为2416455y x x =-++.〔2〕依题意,分两种情况：①当点M 在原点的左边〔如图1〕时,在Rt △BON 中,∠1+∠3＝90°∵MP ⊥BN,∴∠2+∠3＝90°在Rt △BON 和Rt △MOG 中,12BON MOGBN MG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △BON ≌Rt △MOG . ∴OM ＝OB ＝4∴M 点坐标为〔－4,0〕②当点M 在原点的右边〔如图2〕时,同理可证：OM ＝OB ＝4. 此时M 点的坐标为〔4,0〕∴M 点的坐标为〔－4,0〕或〔－4,0〕〔3〕图1中,Rt △BON ≌Rt △MOG . ∴OG ＝ON ＝t. ∴S ＝114222OM OG t t ⋅=⋅⋅=〔其中0＜t ＜4〕图2中,同理可得S ＝2t,其中t ＞4.∴所求的函数关系式为S ＝2t.t 的取值范围为t ＞0且t ≠4.〔4〕存在点R,使△ORA 为等腰三角形.其坐标为：123455(3,4),(3,4),(2,4),(,4),(8,4)2R R R R R -.。

高一上分类讨论题型

高一上分类讨论题型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（） A ．与a 无关，且与b 有关 B ．与a 有关，且与b 无关 C ．与a 有关，且与b 有关 D ．与a 无关，且与b 无关二、多选题2．已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值可能是（）A ．98B ．1C ．0D ．233．已知全集U =R ，集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，则使UA B ⊆成立的实数m 的取值范围可以是（） A ．{}|610m m <≤ B ．{}|22m m -<< C ．1|22m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{}|58m m <≤三、填空题4．若函数()||f x x x a =-在[0，2]上的最大值为2，则a =_______四、解答题5．已知集合{}2230A x x x =--<，{}22280B x x mx m =+-<．（1）若集合{}42B x x =-<<，求m 的值；（2）已知p ：x A ∈，q ：x B ∈．若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围． 6．已知函数2()log f x x =，2()3h x x x =+.（1）记(2)4f x +<的解集为集合B ，且集合{}21C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围;（2）(),1()(),1h x x g x f x x ⎧≤=⎨>⎩，若方程()0g x m +=有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围.7．已知集合30,{23}2x A x B x m x m x ⎧⎫-=<=<<+⎨⎬-⎩⎭∣．（1）当0m =时，求()A B ⋂R ；（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．若x A ∈是x B ∈的___________条件，求m 的取值范围．8．已知函数()22()log 24f x ax ax =++，2()log g x x =．（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，对(0,)∀∈+∞x ，()()2f x g x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围． 9．已知二次函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()122f x f x x =-+-，且函数()f x 的图象过点()3,2﹒（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()g x f x mx =-，若函数()g x 在区间[]1,2的最小值为3，求实数m 的值﹒10．已知函数()2227f x x +=-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知函数()()g x f x mx =+在区间[]1,2-上具有单调性，求实数m 的取值范围．11．已知函数()21f x ax ax =-+．（1）设()()()22g x f x a x =+-，求()g x 在区间[]1,2上的最小值；（2）求不等式()f x x >的解集． 12．解下列关于x 不等式：（1）2(1)23(),(0)32ax a x a -+>> （2）log (21)log (1)x x x x ->+ 13．已知函数()()()20,11x x aa a f a a x a -=->≠-. （1）对于函数()f x ，当()3,3x ∈-时，()()2110f m f m -+-<，求实数m 的取值范围；（2）当(),2x ∈-∞时()4f x -的值恒为负，求a 的取值范围.14．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[0，2]的最大值比最小值大19，求实数a 的值.15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数()f x ＝2321x x++，求函数y ＝[()f x ]的值域． 16．已知函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()log (3)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）．（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间(1,1)-上恒有2()f x x ≥，求1()2ag a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的取值范围．17．已知函数()()222xf x a a a =--是指数函数.（1）求()f x 在(],1-∞上的值域；（2）判断()()()1F x f x f x =+的奇偶性，并加以证明；（3）设0m >，且1m ≠，解关于x 的不等式：()()log 1log 2m m x ax +<-. 18．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a ＞0，且a ≠1)．（1）求函数f (x )的定义域、值域；（2）若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．参考答案1．A 【分析】讨论1b >、0b <、01b ≤≤，利用二次函数的性质求[0,1]的最值，结合已知求M m -，即可判断与参数a 、b 是否有关. 【详解】函数2()23f x x bx a =-+的图象开口朝上，且对称轴为直线x b =，①当1b >时，()f x 在[0,1]上单调递减，则(0)3M f a ==，()1123m f b a ==-+，此时21M m b -=-，故M m -的值与a 无关，与b 有关，②当0b <时，()f x 在[0,1]上单调递增，则(1)123M f b a ==-+，()03m f a ==，此时12M m b -=-，故M m -的值与a 无关，与b 有关，③当01b ≤≤时，()23m f b a b ==-，若102b ≤≤时，(1)(0)f f ≥，有(1)123M f b a ==-+，221M m b b ∴-=-+，故M m -的值与a 无关，与b 有关，若12b >时，(1)(0)f f <，有(0)3M f a ==， 2M m b ∴-=，故M m -的值与a 无关，与b 有关，综上：M m -的值与a 无关，与b 有关. 故选：A. 2．AC 【分析】对a 进行分类讨论，结合A 有且只有一个元素求得a 的值. 【详解】当0a =时，{}2|3203A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意.当0a ≠时，9980,8a a ∆=-==，符合题意.故选：AC 3．ABC 【分析】讨论B =∅和B ≠∅时，计算UB ，根据UA B ⊆列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项. 【详解】当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时UR B =，符合题意，当B ≠∅时，121m m +≤-，即2m ≥，由{}|121B x m x m =+≤≤-可得{U |1B x x m =<+或}21x m >-，因为UA B ⊆，所以17m +>或212m -<-，可得6m >或12m <-，因为2m ≥，所以6m >，所以实数m 的取值范围为2m <或6m >，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.4．1 【分析】根据二次函数的性质对参数a 分类讨论，求出函数的最大值()max f x ，令()2max f x =，求出a 的值即可．【详解】解：若0a ，()f x 在[0，2]上单调递增，()max f x f =（2）2|2|2a =-=，解得1a =（舍去）或3a =（舍去）；若0a >时，(),()(),x x a x a f x x x a x a --⎧=⎨->⎩，当22a>，即4a >时，()max f x f =（2）2(2)2a =--=，解得3a =（舍去）；当x a >时，令()()2a f x f =，解得x =当(21)222a +1)4a 时，2()()224max a a f x f ===，解得a =当2>1)a <时，()max f x f =（2）2(2)2a =-=，解得1a =．故答案为：1． 5．（1）1m =（2）33,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）由题可得4-，2是方程22280x mx m +-=的两根，即可求出；（2）由题可得A B ，讨论m 的正负即可求出. （1）因为{}{}2228042B x x mx m x x =+-<=-<<，所以4-，2是方程22280x mx m +-=的两根，则2422428m m -+=-⎧⎨-⨯=-⎩，解得1m =．（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ． {}13A x x =-<<，()(){}240B x x m x m =-+<．当0m >时，()4,2B m m =-，则2341m m ≥⎧⎨-≤-⎩，解得32m ≥；当0m <时，()2,4B m m =-，则2143m m ≤-⎧⎨-≥⎩，解得34m ≤-；当0m =时，B =∅，此时不符合题意，舍去．综上，m 的取值范围为33,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 6．（1）[)1,-+∞ （2）9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）解对数不等式求得集合B ，根据集合C 是否为空集进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.（2）画出()g x 的图象，结合图象求得m 的取值范围. （1）()()222log 24log 16f x x +=+<=，0216,214x x <+<-<<.所以()2,14B =-.当21,1a a a ≥+≥时，C =∅，满足C B ⊆，当21,1a a a <+<时，C ≠∅，要使C B ⊆，则需22114111a a a a ≥-⎧⎪+≤⇒-≤<⎨⎪<⎩.综上所述，a 的取值范围是[)1,-+∞. （2）3399922424g h ⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()0,g x m m g x +=-=，画出()g x 的图象如下图所示，由图可知990,022m m <-<-<<，所以m 的取值范围是9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.7．（1）(]0,2；（2）见解析﹒ 【分析】(1)求解集合A 和B ，再根据集合补集与交集运算方法计算； (2)若选①，在A B ；若选②，则B A ﹒ （1）当0m =时，()0,3B =，302x x -<-，等价于()()230x x --<， ()][()2,3,,23,A A ∞∞∴==-⋃+R，(]0,2A B ∴⋂=R ．（2）若选条件①：x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，A ∴ B ，则2233m m ≤⎧⎨+≥⎩且22m =与33+=m 不同时成立，解得01m ，若选条件②：∵x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，∴B A ，当23m m +，即3m 时，B =∅，成立；当23m m <+，即3m <时，2233m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得m 不存在，3m ∴．8．（1）[0,4)（2）[44)- 【分析】（1）要使得函数()f x 的定义域为R ，即2240ax ax ++>在R 上恒成立，分0a =和0a ≠两种情况，结合二次函数的性质，即可求解；（2）由(0,)∀∈+∞x ，()()2f x g x ≥+恒成立，转化为不等式2(402)4ax a x +-+≥在[0,4)a ∈和,()0x ∈+∞恒成立，设()2(24)4,[0,4)h x ax a x a =+-+∈，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. （1）解：由题意，函数()22()log 24f x ax ax =++，要使得函数()f x 的定义域为R ，即2240ax ax ++>在R 上恒成立，当0a =时，不等式40>在R 上恒成立，符合题意；当0a ≠时，则满足()2Δ2160a a a >⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得04a <<，综上可得，实数a 的取值范围为[0,4). （2）解：由(0,)∀∈+∞x ，()()2f x g x ≥+恒成立，即()222log 2log 24ax ax x +≥++恒成立，即不等式()222log 4log 24ax ax x ++≥在[0,4)a ∈和,()0x ∈+∞恒成立，即不等式2(402)4ax a x +-+≥在[0,4)a ∈和,()0x ∈+∞恒成立，设()2(24)4,[0,4)h x ax a x a =+-+∈若0a =时，不等式()440h x x -+≥=，显然不能恒成立；若04a <<时，函数()h x 表示开口向上，且对称轴2ax a-=的抛物线，当20aa-≤时，即24a ≤<时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增，因为()04h =，所以()()0h x h >，所以()0h x ≥恒成立；当20a a->时，即02a <<时，则()h x 在2(0,)aa -递减，在2(,)a a -+∞递增，要使得()0h x ≥，只需2284()0a a a h a a--+-=≥，即2840a a -+≤，解得44a -≤+42a -<，综上可得，实数a 的取值范围[44)-． 9．（1）()232f x x x =-+；（2）3-﹒ 【分析】(1)设二次函数的一般式解析式，待定系数法即可求其解析式；(2)求g (x )的解析式，根据对称轴的位置分类讨论其最小值即可求参数m 的值﹒ （1）设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠；∴()()()()221(1)1f x f x a x b x c ax bx c +-=++++-++222ax a b x =++=- ∴222a a b =⎧⎨+=-⎩解得13a b =⎧⎨=-⎩又因为过（3,2），932,2a b c c ++=∴=∴从而()232f x x x =-+﹒（2）由(1)知()()232g x x m x =-++，其图象的对称轴为32m x +=， (i)当312m +≤，即1m ≤-时 ()()min ()1333g x g m m ==-+=-=解得3m =- (ii)当322m +≥，即1m ≥时 ()()min ()262623g x g m m ==-+=-=，解得32m =-(舍去)(iii)当3122m +<<，即11m -<<时 2min3(3)()2324m m g x g ++⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭无解综上所述，3m =-﹒ 10．（1）()2281f x x x =-+；（2）(][),012,-∞+∞.【分析】（1）通过换元法即可求得答案；（2）先求出函数的对称轴，进而分函数在区间[]1,2-上单调递减和单调递增两种情况求出m 的范围. （1）令2x t +=，则2x t =-，所以()()22227281f t t t t =--=-+，所以()2281f x x x =-+．（2）()()()2281g x f x mx x m x =+=--+，对称轴为84mx -=，当()g x 在[]1,2-上单调递减时，824m-≥，解得0m ≤；当()g x 在[]1,2-上单调递增时，814m-≤-，解得12m ≥；综上可知，m 的取值范围是(][),012,-∞+∞.11．（1）()2min3,41,48892,8a a a g x a a a -≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩ （2）答案见解析【分析】（1）就4a ≤、48a <<、8a ≥分类讨论后可得()min g x .（2）就0a <、0a =、01a <<、1a =、1a >分类讨论后可得不等式的解. （1）()()()()222222212212148a a g x f x a x ax ax a x x ax x ⎛⎫=+-=-++-=-+=-+- ⎪⎝⎭，①当14a≤，即4a ≤时，函数()g x 在1x =处取得最小值，故()()min 13g x g a ==-； ②当124a<<时，即48a <<时，函数()g x 在4a x =处取得最小值，故此时()2min 18a g x =-；③当24a≥时，即8a ≥时，函数()g x 在2x =处取得最小值，故此时()()min 292g x g a ==-；综上可知：()2min3,41,48892,8a a a g x a a a -≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩ （2）∵21ax ax x -+>，()2110ax a x -++>∴当0a =时，10x -+>得1x <，故此时不等式的解集为(),1-∞.0a ≠时，分为0a >，0a <，当0a >时，当()0,1a ∈时，不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当()1,a ∈+∞，不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭当1a =，不等式的解集为()(),11,-∞+∞当0a <，不等式的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭．12．（1）答案见解析；（2）1{|12x x <<或2}x >. 【分析】（1）由2()3xy =的单调性可得(1)(1)0ax x --<，讨论参数a 求一元二次不等式的解集即可.（2）讨论01x <<、1x >，结合对数函数的性质求解集. （1）由题设，2(1)122()()33ax a x -+->，则2(1)1(1)(1)0ax a x ax x -++=--<且0a >，当01a <<时，11x a <<，则解集为1(1,)a；当1a =时，无解，则解集为∅；当1a >时，11x a<<，则解集为1(,1)a .（2）由题设，当01x <<时，21010211x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩，可得112x <<；当1x >时，21010211x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，可得2x >.综上，不等式的解集为1{|12x x <<或2}x >. 13．（1）()1,2；（2）()(21,2⋃. 【分析】（1）根据题意，利用定义法判断可知函数()f x 为奇函数，根据指数函数的单调性得出()f x 在R 为增函数，再利用单调性和奇偶性解不等式，即可求得m 的取值范围；（2）由（1）可知当(),2x ∈-∞时，()4f x -也是增函数，结合题意可知()240f -<，解不等式并结合0a >，1a ≠，即可求出a 的取值范围. （1）解：∵()()21x x af x a a a -=--，可知()f x 的定义域为x ∈R ， ()()()21x x af x a a f x a --=-=--，∴()f x 为奇函数，当1a >时，x y a =、x y a -=-为增函数，201aa >-，∴()f x 为增函数，当01a <<时，x y a =、x y a -=-为减函数，201aa <-，∴()f x 为增函数，综上可知()f x 在R 为增函数，由于当()3,3x ∈-时，()()2110f m f m -+-<，则()()()22111f m f m f m -<--=-，∴2211313313m m m m ⎧-<-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得：12m <<，所以实数m 的取值范围为()1,2. （2）解：已知当(),2x ∈-∞时()4f x -的值恒为负，由（1）可知()f x 在R 为增函数，则当(),2x ∈-∞时，()4f x -也是增函数，则()()(2222224124401a a a a a f a a a a a----+-=--==<-，又0a >，1a ≠，则(220a a --<，解得：21a <或12a <<所以a的取值范围为()(21,2⋃. 14【分析】根据01a <<，1a >分类讨论，利用函数的单调性建立方程求解即可. 【详解】当01a <<时，()x f x a =在[0,2]上单调递减， 02max min 1()()9f x f x a a ∴-=-=，得a =又01,a a <<∴=当1a >时，()x f x a =在[0,2]上单调递增， 20max min 1()()9f x f x a a ∴-=-=，得a =又1,a a >∴=综上所述，a =a =15．{1,2}. 【分析】由题设有2()121xf x =++求其值域，再根据高斯函数的定义，讨论()f x 范围求y ＝[()f x ]对应的值域即可. 【详解】232()12121x x x f x +==+++，∵2x ＞0，则1＋2x ＞1， ∴0＜221x +＜2，则1＜2121x++＜3，即1＜()f x ＜3，当1＜()f x ＜2时，[()f x ]＝1，当2≤()f x ＜3时，[()f x ]＝2.综上，函数y ＝[()f x ]的值域为{1，2}． 16．（1）33log (3)0()log (3)0ax x f x ax x ⎧-≥=⎨+<⎩（0a >，且1a ≠）（2）142⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】设0x <，则0x ->，再由函数为偶函数这一条件得到()()()log 3a f x f x ax =-=+，从而得到结果；（2）对参数a 分类讨论，01a <<时不合题意；当1a >时，因为函数是偶函数故得到只需满足在区间[)0,1上恒有()2f x x ≥，构造函数()()2h x f x x =-通过分析得知函数()()2h x f x x =-在[)0,1上单调递减，列出不等式解出参数a 的范围，从而得到结果. （1）当0x <时，0x ->，又()f x 是偶函数，所以()()()log 3a f x f x ax =-=+. 故当0x <时，()()log 3a f x ax =+（0a >，且1a ≠），∴ 33log (3)0()log (3)0ax x f x ax x ⎧-≥=⎨+<⎩（0a >，且1a ≠）（2）当01a <<时，()0log 30a f =<，显然不符合要求. 当1a >时，因为()f x 与2yx 都是偶函数，所以只需满足在区间[)0,1上恒有()2f x x ≥，即在区间[)0,1上恒有()20f x x -≥.令()()2h x f x x =-，易知函数()f x 在[)0,1上单调递减，2yx 在[)0,1上单调递增，所以()()2h x f x x =-在[)0,1上单调递减，所以()21110a f >⎧⎨-≥⎩，即()1log 31a a a >⎧⎨-≥⎩，解得312a <≤，此时()12ag a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的取值范围是12⎫⎪⎪⎣⎭. 17．（1）(]0,3（2）()F x 是偶函数，证明见解析（3）当1m 时，解集为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；当01m <<时，解集为12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由指数函数的定义先求出a ，然后根据指数函数单调性即可求解；（2）由函数奇偶性的定义即可证明；（3）对m 分1m 或01m <<，根据对数函数的单调性即可求解不等式的解集. （1）解：由2221a a --=，可得3a =或1a =-（舍去），∴()3xf x =，∵()f x 在(],1-∞上递增， ∴()()013f x f <≤=，∴()f x 在(],1-∞上的值域为(]0,3；（2）解：∵()()()1133x x F x f x f x =+=+， ∴()()133x x F x F x -=+=， ∴()F x 是偶函数；（3）解：()()log 1log 2m m x ax +<-，即()()log 1log 23m m x x +<-，当1m 时，2310x x ->+>， ∴114x -<<， ∴所求不等式的解集为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，当01m <<时，1230x x +>->， ∴1243x <<， ∴所求不等式的解集为12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.18．（1）见解析；（2）12﹒【分析】(1)由对数函数的性质，得函数的定义域{|31}x x -<<，再由()log (1)(3)a f x x x =-+，能求出函数()f x 的值域．(2)由题设知：当01a <<时，函数有最小值，由此能求a 的值．（1）由1030x x ->⎧⎨+>⎩，得31x -<<，∴函数的定义域{|31}x x -<<，()log (1)(3)a f x x x =-+，设2(1)(3)4(1)t x x x =-+=-+，4t ∴，又0t >，则04t <．当1a >时，log 4a y ，值域为{|log 4}a y y ．当01a <<时，log 4a y ，值域为{|log 4}a y y ．（2）由题设及(1)知：当01a <<时，函数有最小值， log 42a ∴=-，解得12a =．。

典中点《提分练习17 分类讨论思想的四种常见题型》

《提分练习17 分类讨论思想的四种常见题型》典例剖析例已知AD为等腰三角形ABC的腰BC上的高，∠DAB=60°，求△ABC中各内角的度数.解题秘方：应用分类讨论思想解题时，关键要确定分类标准，做到“不重复、不遗漏”.本题中，由于条件中只给出BC为腰，因此顶角可能为∠B，也可能为∠C，所以解答时，需按顶角的不同情况分类进行解答.提示：分类有图①、图②、图③三种情况，解答过程略.答案：△ABC三个内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.分类训练题型1 分类讨论思想在求等腰三角形边长中的应用1.已知等腰三角形的周长是24 cm.（1）腰长是底边长的2倍，求腰长；（2）已知其中一边长为6 cm，求其他两边长.题型2 分类讨论思想在求三角形角的度数中的应用2.已知BD，CE是△ABC的高，且直线BD，CE相交所成的角中有一个角为45°，求∠BAC的度数.题型3 分类讨论思想在求完全平方式的字母系数中的应用3.二次三项式29x kx-+是一个完全平方式，求k的值.题型4 分类讨论思想在求分式方程的字母系数中的应用4.若关于x的方程12212(1)(2)m mx x x x++=----无解，求m的值.参考答案1.解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm.根据题意，得x+2x+2x=24，解得x=4.8.故腰长=2×4.8=9.6（cm）.（2）因为长为6 cm的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算.当长为6 cm的边为腰时，底边长为24-6×2=12（cm）.因为6+6=12（cm），所以长为6 cm的边为腰时不能组成三角形，舍去.当长为6 cm的边为底边时，腰长为（24-6）÷2=9（cm）.因为6 cm，9 cm，9 cm可以组成三角形，所以三角形其他两边长均为9 cm.点拨：（1）可以通过设未知数来进行计算，列出方程，通过求方程的解从而求出答案，其中体现了方程思想.（2）要注意分两种情况考虑，因为题目中没有说明6 cm长的这条边究竟是腰还是底边，所以应该分成两种情况考虑：一种是6 cm长的边为腰，另一种是6 cm长的边为底，体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合三角形的三边关系.2.解：本题中没有图形，△ABC的形状不确定，应分两种情况如图①，△ABC 是锐角三角形.∵BD，CE是△ABC的高，∴△BOE，△BAD都是直角三角形.∴∠A+∠2=90°，∠1+∠2=90°.∴∠A=∠1=45°，即∠BAC=45°.如图②，△ABC是钝角三角形.∵BD，CE是△ABC的高，∴△ABD，△OBE都是直角三角形.∴∠1+∠2=90°，∠O+∠2=90°.∴∠1=∠O=45°.∴∠BAC=180°-∠1=180°-45°=135°.综上所述，∠BAC为45°或135°.点拨：在解几何题目时，若题目中没有图，一般需要在草稿纸上画出示意图.本题没有图形，因此不能确定△ABC是锐角三角形还是钝角三角形，所以需要进行分类讨论，否则容易漏解.3.解：因为二次三项式29x kx-+是一个完全平方式，所以-kx=2x×3或-kx=-2x×3，解得k=-6或6.点拨：本题运用了分类讨论思想求解.这是由完全平方公式出现两数和或差的平方所决定的，因此要分两种情况讨论，否则容易出现漏解现象.4.解：将原分式方程去分母，得x-2+m（x-1）=2m+2，则（m+1）x=3m+4.（1）当m≠-1时，x=341 mm++.∵原方程无解，∴x=1或x=2.∴341mm++=1或341mm++=2.∴m=32-或m=-2.∴当m=32-或-2时，原方程无解.（2）当m+1=0，即m=-1时，3m+4≠0，所化的整式方程无解，则原方程也无解.综上所述，m的值为32-或-2或-1.点拨：考虑问题要全面，不仅要考虑化成的整式方程的解使最简公分母的值为0时原分式方程无解，而且要考虑到化成的整式方程无解时原分式方程也无解.。

分类讨论思想的题型总结

分类讨论思想的题型总结分类讨论思想是一种通过对一系列相关事物进行分类、比较和讨论的方法，旨在将复杂的问题分解为更加具体和可操作的部分。

在分类讨论思想中，我们将相关的事物按照共同属性或特征进行分组，然后对每个组别进行比较和讨论，从而深入探究问题的本质和内在联系。

分类讨论思想不仅能够帮助我们更好地理解和掌握知识，还能够培养我们的思维能力、分析能力和判断能力。

下面将从不同的角度总结分类讨论思想的分类和应用。

从问题类型的角度来看，分类讨论思想可以分为以下几类：1.对比分析：将事物按照一定标准进行对比分析，找出其异同之处，以及优劣之分。

比如，我们可以对不同政治制度进行对比分析，找出其优劣和可行性。

2.分析原因：通过分类讨论来分析问题的原因和成因。

比如，我们可以通过对失业问题的分类讨论，找出造成失业的多种原因，并针对这些不同原因提出相应的解决方案。

3.归纳总结：将大量的材料进行分析和归纳，找出其中的共同点和规律。

比如，我们可以通过对历史事件的分类讨论，总结出历史的发展规律和重要教训。

4.因果关系：通过分类讨论来分析事物之间的因果关系。

比如，我们可以通过对环境污染问题的分类讨论，找出不同因素对环境污染的影响和作用。

5.解决问题：通过分类讨论来解决复杂的问题。

比如，我们可以通过对道德问题的分类讨论，找出不同的伦理观点和解决方案。

从学科领域的角度来看，分类讨论思想可以应用于不同的学科，包括但不限于以下几个方面：1.社会科学：在政治学、经济学、社会学等社会科学领域，分类讨论思想可以帮助我们更好地理解社会现象和问题，以及找出解决问题的方法和措施。

2.自然科学：在物理学、化学、生物学等自然科学领域，分类讨论思想可以帮助我们更好地理解自然规律和现象，以及推测未知事物的性质和特征。

3.人文科学：在历史学、文学学、哲学等人文科学领域，分类讨论思想可以帮助我们更好地理解人类文化和思想，以及分析历史事件和文学作品的内在联系。

4.工程技术：在工程学、计算机科学等工程技术领域，分类讨论思想可以帮助我们更好地理解问题的结构和关系，以及找出解决问题的方法和技术。

中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析

第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)内容特性分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.解题策略很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并得出结论.基本思想分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝1x的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是()A．b>2 B．－2<b<2 C．b>2或b<－2 D．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3(·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．8(2)(·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA 全等，则AP＝.(3)(·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s )，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造▱PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MFCO＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。