参数思想与方法在解析几何中的应用

参数思想及参数方法在解析几何中的应用

当直接寻找变量X, y之间的关系显得很困难的时候，恰当地引入一个中间变量t （称之为参数），分别建立起变量x，y与参数t的直接关系，从而间接地知道了x与y之间的关系。这种数学思想即称之为

“参数思想”。通过引入参数、建立参数方程求解数学问题的方法即称之为“参数方法”。

参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用。比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题，变量

的范围及最值问题，定点和定值问题等等。运用参数方法的关键在于参数的选择，即如何引参（常见的引

参方式有：①点参数；②斜率参数；③截距参数；④距离参数；⑤比例参数；⑥角参数；⑦时间参数等。），然后通过必要的运算和推理，建立目标变量与参数的某种联系，最后又消去参数只保留目标变量而获解。

解题时应注意参数范围的限定，以确保变形过程的等价性。

一、知识概要

1. 一般曲线的参数方程X f（t）（t为参数）x，y分别是参数t的函数。

y g（t）

2. 直线的参数方程

设直线I过定点P o （X0，y o），a为其倾斜角，P （x、y）是I上任一点，P o P= t （有向线段P°P的数

X x0 t cos

量），则直线I的参数方程是，当P点在P o的上方（右方）时t>0 ;当P在P o的下方（左

y y o tsin

方）时t

如果把直线I看成以P o为原点，向上或向右为正方向的数轴，贝U t是点P的坐标。设P l，P2是直线|

t l t2

上的两个点，分别对应t l，t2 （即P o P= t l，P o P= t2 ），则线段P l P2的中点对应t中=一2—；线段P1P2 的长度为 |P l P2| = |t l - t2|。

3 .圆的参数方程

x 圆：(x — x o)2+ (y — y o)2= r2的参数方程为：X。r cos (a为参数，表0

C的动半径的旋转角)

y y。r sin 4 •椭圆的参数方程

x X。a cos

椭圆：b2(x— x o)2+ a2(y — y o)2= a2b2的参数方程为：

bsi n (0 为参数，表动点 P (x , y)

y y。

的离心角)

5 .双曲线的参数方程

x x o asec

双曲线:b2(x — x o)2— a2(y — y o)2= a2b2的参数方程为：

bta n (0 为参数，表双曲线上动点

y y o P ( x, y)的离心角)

6 .抛物线的参数方程

x 抛物线:(y — y0)2= 2p(x — X0)的参数方程为：X。

2pt2

(

t

为参数，表动点P (x, y)与顶点连线

y y。2pt

斜率的倒数)

二、典型例题

(一)轨迹问题

例1 (全国高中联赛) 若动点P ( x, y)以等角速度3在单位圆上逆时针运动，则点

0 (- 2xy , y2— x2)的运动方程是

A .以角速度3在单位圆上顺时针运动 B.以角速度3在单位圆上逆时针运动

C .以角速度2 3在单位圆上顺时针运动

D .以角速度2 3在单位圆上逆时针运动

x cos t

解：将P ( x, y)表示成(3 >0 , t为参数)又令0的坐标为(u , v),则u = — 2xy

y sin t

3

=—2cos 3 tsin 3 t = —sin2 3 t = cos( — 2 3 t + ), v= y2—x2= sin231 —cos23 t = —cos2 3

2

3u cos( 2 t 知

t = sin( — 2 31 + — ), •••0 ( u , v)的参数方程为2，显然，3 t与一2 3 t的旋转方向

2 3

v sin( 2 t ——)

2

y = x 2于 A 、B 两

是相反的。而 P (X, y)在单位圆上逆时针运动， /.0 (- 2xy , y 2-x 2)以角速度2 3在单位圆上顺时

针运动。选C 。

例2 (2000年希望杯一试18题) 过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线 点，则线

段AB 中点的轨迹方程是

若 0 i = n — 0 2,故过定点 A (a, 0), B

(b , 0)的直线方程分别为：I : y = k(x — a)

解：设 I OA : y = kx ，则 I OB :

y = lx (易知

k

k 应存在且不为0),联立： y

y

kx 2得 A ( k, k 2

),同 x

1

-^)。设AB 中点为M

k 2

x

(X, y),则

1 k —

k 2

彳消去k 得y= 2x 2+ 1 k

2 1 k

F

2

(全国高中联赛)

设0

物线y 2

= x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这两条直线 I 与m 的交点的轨迹。

解：本题是过定点弦冋题，宜用参数法。 在利用四点共圆条件时，应充分挖掘几何条件去转化，比如

圆幕定理。 交于点 P (x o , y o ),它们与

x 轴的倾角分别为

0 1 , 0 2, 于

X o 数① m : x X o y y o t cos 2 t 为参数 t sin 2 将①代入 y 2= x 得 t 2sin 20 1 + t(2ysin

2

0 1 — cos 0 1)+ (y

y o

tcos tsin 1 ,t 为参

1

—x o ) = 0 ,由韦达定理得 |t 1||t 2| =|芈 sin 1 2

，由参数t 的几何意义得|PA 1||PA 2|= I J sin 2

将②代入y 2= x,同理有|PB 1||PB 2| =丨牛 sin B i 、B 2四点共圆，由圆幕定理得, |PA i ||PA 2|

=|PB 1||PB 2|, /• sin 20 1 = sin 20 2，故 0 1 = 0 2 或 0 i = n — 0 2. 若0 i = 0 2，则I // m ，无交点，故舍去。